Според знака на dalamber цифрови серии. Числени редове: дефиниции, свойства, признаци на конвергенция, примери, решения

Знак за сближаването на даламберския радикален знак за конвергенция на Cauchy интегрален знак за сближаване на Cauchy

Един от обичайните признаци на сравнение, който се намира в практически примери, е знак за даламбер. Признаците на Cauchy са по-малко общи, но и много популярни. Както винаги, ще се опитам да изгладя материала просто, достъпна и разбираема. Темата не е най-трудната и всички задачи до известна степен са шабло.

Жан Лорсън Дема е известната френска математика от 18-ти век. Като цяло, специалността, специализирана в диференциални уравнения и въз основа на своите изследвания е ангажирана с балистична, така че величието му прелетя с каноничните ядки. В същото време те не забравяха за числови пръчките, не напразно, тогава Шерни Наполеоновите войски толкова ясно се сближиха и разсеяха.

Преди да формулирате знака, разгледайте важен въпрос:
Кога трябва да приложите знак за сближаването на Даламбер?

Първо, нека започнем с повторението. Спомнете си случаите, когато трябва да приложите най-много шаси маркетинг знак за сравнение. Ограничаването на знака за сравнение се прилага, когато в общия член на поредицата:
1) В знаменателя има полином.
2) полиномите са в числителя и в знаменателя.
3) един или и двата полиномя могат да бъдат под корена.

Основните предпоставки за използване на функцията Dalamber са както следва:

1) В цялостния член на серията ("пълнене" на номер) включва определен брой до степен, например и т.н. Освен това, няма значение къде се намира това нещо, в числителя или в знаменателя - важно е да присъства там.

2) Общият член на поредицата включва фактически. С фактори, които прекосихме мечовете все още в урока Последователност на номера и нейната граница. Въпреки това, той няма да попречи отново да разпространявате сензорното покритие:

…

…

! Когато използвате знак за даламбер, просто трябва да рисуваме фактора подробно. Както и в предишния параграф, фактическият може да бъде разположен в горната или долната част на фракцията.

3) Ако в общия член на серията има "верига от мултипликатори", например. Този случай е рядко, но! В проучването на такава серия често прави грешка - виж пример 6.

Заедно с градуси или (и) фактории в пълнежа на число често срещат полиноми, това не променя нещата - трябва да използвате знак за даламбер.

В допълнение, в общия член на даден номер, степен и факторант може да се срещне едновременно; може да посрещне два фактора, две степени, важно е да бъдеш там поне нещо Считат за елементи - и това е просто предпоставка за използването на знак за даламбер.

Знак за Даламбер: Обмисли положителна цифрова серия . Ако има ограничение на следващия член на предишния: тогава:
а) с номер сближаване. По-специално серията се превръща в.
б) с номер различни. По-специално, редът се различава в.
в) за знак не дава отговор. Трябва да използвате друга функция. Най-често устройството се получава в случая, когато знакът на даламбер се опитва да приложи там, където е необходимо да се използва знак за сравнение.

Който все още има проблеми с границите или недоразуменията, консултирайте се с урок Ограничения. Примери за решения. Без разбиране за лимита и способност за разкриване на несигурността, за съжаление, за съжаление, да не се движат.

И сега дългоочакваните примери.

Пример 1.

Виждаме това в общия член на един номер, който имаме, и това е вярна предпоставка, която трябва да използвате знак за даламбер. Първо, цялостното решение и проба дизайн, коментари по-долу.

Ние използваме знак на Даламбер:

сближаване.

(1) Съставете съотношението на следващия член на поредицата към предишния :. От състоянието виждаме, че общия член на поредицата. За да получите следния член на серията, от която се нуждаете вместо заместител: .
(2) да се отървете от четири етажни фракции. С определен експеримент, тази стъпка може да бъде пропусната.
(3) В цифроратора разкриват скобите. В знаменателя вземаме четири от степента.
(4) Намаляване. Константа ние изваждаме границата за лимита. В числата в скоби, ние даваме такива компоненти.
(5) Несигурността се елиминира по стандартния метод - разделението на числителя и знаменателя на "EN" в най-високата степен.
(6) Разделяме цифрите на знаменателите и посочваме термините, които искат нула.
(7) Опростяваме отговора и отбелязваме, че със заключението, че въз основа на даламбер, серията под проучване се сгъва.

В разглеждания пример, в общия член на поредицата, срещнахме полиномна 2-ра степен. Ами ако има полином 3-ти, 4-ти или по-висок? Факт е, че ако се получи много висока степен, ще възникнат трудности при разкриването на скобите. В този случай може да се използва "турбо" решение.

Пример 2.

Вземете подобна гама и го проучване за сближаване.

Първо цялостно решение, след това коментари:

Ние използваме знак на Даламбер:

По този начин, поредицата в проучването сближаване.

(1) извършване на връзка.
(2) да се отървете от четири етажни фракции.
(3) Помислете за експресията в числителя и експресията в знаменателя. Виждаме, че в числителя трябва да разкриете скоби и да изправите в четвъртата степен: какво изобщо не искам да правя. В допълнение, за тези, които не са запознати с Бином Нютон, тази задача Като цяло може да е невъзможно. Да анализираме най-лошата градуса: ако разкрием скобите на върха, ще получим най-старата степен. На дъното имаме една и съща висша степен :. По аналогия с предишния пример е очевидно, че с разделението на дълбочината на числителя и знаменателя на нашия лимит ще получи единица. Или, като математика казват, полиноми и - един ред на растеж. По този начин е напълно възможно да се заобиколи отношението на прост молив и веднага да покаже, че това нещо се стреми към единица. По същия начин ние рисуваме с втория двойка полиноми: и те също един ред на растежи тяхното отношение търси единица.

В действителност, такава "Halica" може да бъде проверена в пример № 1, но за полиномна 2-ра степен, такъв разтвор е все още непоколебим. Лично аз правя това: ако има полином (или полином) от първата или втора степен, използвам "дълъг" метод за решаване на пример 1. Ако се появи полином 3-ти и по-високи степени, използвам "турбо) "Модел според пример 2.

Пример 3.

Разгледа ред на конвергенция

Пълно решение и проба дизайн в края на числените последователности.
(4) Redfish всичко, което може да бъде намалено.
(5) Постоянно изваждаме лимита за лимита. В цифроратора разкриват скобите.
(6) Несигурността елиминира стандартния метод - разделянето на числителя и знаменателя на "EN" в най-високата степен.

Пример 5.

Разгледа ред на конвергенция

Пълно решение и проба дизайн в края на урока

Пример 6.

Разгледа ред на конвергенция

Понякога има редове, които в тяхното пълнене съдържат "верига" на множителите, този тип серия все още не е разгледан. Как да проучим ред с "верига" на множителите? Използвайте знак за даламбер. Но първо да се разбере какво се случва от срива на детайла на реда:

От разлагането виждаме, че всеки следващ член от поредицата добавя допълнителен фактор в знаменателя, следователно, ако общ член на една серия, след това следващия член на поредицата:
. Тук често автоматично прави грешка, формално чрез записване на алгоритъм

Възможно е примерно решение за проби:

Ние използваме знак на Даламбер:

По този начин, поредицата в проучването сближаване.

Основните предпоставки за използване на функцията Dalamber са както следва:

2) Общият член на поредицата включва фактически. Какво е факториално? Нищо сложно, факториално е просто усукана работа:

…

…

В допълнение, в общия член на даден номер, степен и факторант може да се срещне едновременно; може да посрещне два фактора, две степени, важно е да бъдеш там поне нещоот разглежданите елементи - и това е просто предпоставка за използването на знака на Даламбер.

Знак за Даламбер: Обмисли положителна цифрова серия . Ако има ограничение на следващия член на предишния: тогава:
а) с номер сближаване
б) с номер различни
в) за знак не дава отговор. Трябва да използвате друга функция. Най-често устройството се получава в случая, когато знакът на даламбер се опитва да приложи там, където е необходимо да се използва знак за сравнение.

Който все още има проблеми с границите или недоразуменията, вижте темата Ограничения. Примери за решения. Без разбиране за лимита и способност за разкриване на несигурността, за съжаление, за съжаление, да не се движат. И сега дългоочакваните примери.

Пример 1.
Виждаме това в общия член на един номер, който имаме, и това е вярна предпоставка, която трябва да използвате знак за даламбер. Първо, цялостното решение и проба дизайн, коментари по-долу.

Ние използваме знак на Даламбер:

сближаване.

Пример 2. Вземете подобна гама и го проучване за сближаване.
Първо цялостно решение, след това коментари:

Ние използваме знак на Даламбер:

По този начин, поредицата в проучването сближаване.

(1) извършване на връзка.
(2) да се отървете от четири етажни фракции.
(3) Помислете за експресията в числителя и експресията в знаменателя. Виждаме, че в числителя трябва да разкриете скоби и да изправите в четвъртата степен: какво изобщо не искам да правя. В допълнение, за тези, които не са запознати с Бином Нютон, тази задача може да не е неприложима. Да анализираме най-лошата градуса: ако разкрием скобите на върха, ще получим най-старата степен. На дъното имаме една и съща висша степен :. По аналогия с предишния пример е очевидно, че с разделението на дълбочината на числителя и знаменателя на нашия лимит ще получи единица. Или, като математика казват, полиноми и - един ред на растеж. По този начин е напълно възможно да се заобиколи отношението на прост молив и веднага да покаже, че това нещо се стреми към единица. По същия начин ние рисуваме с втория двойка полиноми: и те също един ред на растежи тяхното отношение търси единица.

Пример 3. .

Обмислете типични примери с фактории:

Пример 4. Разгледа ред на конвергенция

Общият член на поредицата включва степен и факторис. Ясно е как този ден е необходимо да се използва знак за даламбер. Ние решаваме.

По този начин, поредицата в проучването различни.

(1) извършване на връзка. Повтарям отново. Чрез условие, общият член на поредицата :. За да получите следния член на реда вместо това трябва да замени, по този начин: .
(2) да се отървете от четири етажни фракции.
(3) Натиснете от седемте. Факториите описват подробно. Как да го направите - вижте началото на урока.
(4) Redfish всичко, което може да бъде намалено.
(5) Постоянно изваждаме лимита за лимита. В цифроратора разкриват скобите.
(6) Несигурността елиминира стандартния метод - разделянето на числителя и знаменателя на "EN" в най-високата степен.

Пример 5.Разгледайте редица конвергенция на цялостно решение по-долу.

Пример 6.Разгледа ред на конвергенция

Примерна пробна разтвор може да изглежда така: ние използваме знак на даламбер:
По този начин, поредицата в проучването сближаване.
Cauchy радикален знак

Augusten Louis Cauchy е още по-известен френски математик. Биографията на Cauchy можете да разкажете на всеки ученик на техническа специалност. В най-живописните бои. Това не е случайно, че това фамилно име е издълбано на първия етаж на Айфеловата кула.

Знакът за сближаване на Cauchy за положителни цифрови редове е нещо подобно на простотата на знака на Даламбер.

Cauchy радикален знак:Обмисли положителна цифрова серия . Ако има ограничение: тогава:
а) с номер сближаване. По-специално серията се превръща в.
б) с номер различни. По-специално, редът се различава в.
в) за знак не дава отговор. Трябва да използвате друга функция. Интересно е да се отбележи, че ако знакът на Cauchy не ни даде отговор на въпроса за сближаването на един номер, тогава знакът на Даламбер също няма да ни даде отговор. Но ако знакът на Даламбер не дава отговор, знакът на Кауч може да "работи". Това означава, че знакът на Cauchy е в този смисъл по-силен знак.

Кога трябва да използвам радикалния знак Kauchi? Cauchy радикалният знак обикновено използва в случаите, когато генералният член на поредицата Напълно е в степен в зависимост от "en". Или когато коренът "добър" се извлича от общия член на поредицата. Все още има екзотични случаи, но те няма да отбележат главата.

Пример 7.Разгледа ред на конвергенция

Виждаме, че общият член на поредицата е изцяло в зависимост от и следователно трябва да използвате радикален знак за Cauchy:

По този начин, поредицата в проучването различни.

(1) Изготвяме общ член на поредица от корен.
(2) пренаписване на същото нещо, само без корен, използвайки свойството на градуси.
(3) в индикатора, числителят на знаменателя, показващ това
(4) В резултат на това оказахме несигурност. Тук беше възможно да се придвижи дълго: да се изгради в куба, ние изграждаме в куба, след това разделяме числителя и знаменателя на "EN" в най-високата степен. Но в този случай има по-ефективно решение: можете да повишите цифровия и знаменател директно под степента на постоянна. За да елиминирате несигурността, разделете цифровия и знаменател на (по-възрастен).
(5) Всъщност изпълняват почвеното разделение и посочваме термините, които се стремят към нула.
(6) Признавам отговора на ума, отбелязваме, че заключаваме, че ред се отклонява.

Но по-прост пример за независимо решение:

Пример 8. Разгледа ред на конвергенция

И няколко типични примера.

Пълно решение и дизайн на пробата по-долу.

Пример 9. Разгледа ред на конвергенция
Ние използваме радикалния знак Kauchi:

По този начин, поредицата в проучването сближаване.

(1) поставяме общ член на един ред.
(2) Пренаписвам същото нещо, но вече без корен, докато разкриваме скоби, използвайки формулата на съкратеното умножение :.
(3) В индикатора числителят на знаменателя се ремонтира и показва това.
(4) Получава се несигурността на вида. Тук можете директно в скобата да повдигнете числителя към знаменателя на "EN" в най-високата степен. Нещо подобно на нас беше намерено при изучаването втората забележителна граница. Но тук ситуацията е различна. Ако коефициентите в старши степени бяха същотоНапример: след това фокусът с делене на вдлъбнатина не би бил приет и би било необходимо да се използва второто чудесен лимит. Но имаме тези коефициенти различен (5 и 6), така че е възможно (и необходимо) да се раздели задната част (по пътя, напротив - вторият прекрасен лимит в различен Коефициентите на старшите градуси вече не се търкалят).
(5) Всъщност извършват почвеното разделение и посочете какви термини сме нулеви.
(6) елиминирана несигурността, остава най-простият лимит :. забранявам безкрайно голям степента има тенденция към нула? Защото основата на степента удовлетворява неравенството. Ако някой има съмнения относно правосъдието на лимита, тогава не лягам, вземам калкулатор в ръцете ми:
Ако тогава
Ако тогава
Ако тогава
Ако тогава
Ако тогава
... и т.н. До безкрайност - това е, в границата:
(7) Позоваваме, че заключаваме, че серията се сближава.

Пример 10. Разгледа ред на конвергенция

Това е пример за независимо решение.

Понякога се предлага провокативен пример за решаване, например :. Тук в индикатор не "en", само постоянна. Тук трябва да изградите числителя и знаменател на квадрата (полиномите се получават) и след това се придържат към алгоритъма от статията Редове за чайници. В такъв пример той трябва да се направи или необходимия знак за сближаването на даден номер или лимит знак за сравнение.
Интегрален знак cauchy.

Разочароващи тези, които лошо са научили първия материал за курса. За да приложите интегралната характеристика на Cauchy, е необходимо повече или по-малко уверено да можете да намерите деривати, интеграли, както и с уменията за изчисление несъвместим интегралпърви вид. В учебници по математически анализ, интегралния знак на Cauchy се дава математически, ние формулираме знак напълно първично, но разбираем. И веднага примери за обяснение.

Cauchy Integral знак:Обмисли положителна цифрова серия . Тази серия се сгъва или се различава

Пример 11. Разгледа ред на конвергенция

Почти класически. Естествен логаритъм и някакъв вид бияка.

Основната предпоставка за използване на интегрален знак за cauchyфактът е, че в общия член на една серия има някаква функция и нейното производно. От темата Дериватив Вероятно си спомняте най-простото таблично нещо: и имаме точно такъв каноничен случай.

Как да използвате интегрален знак? Първо вземаме интегрална икона и пренаписваме горната и долната граница от "брояча" :. Тогава под интеграла пренаписват "пълнежа" на един ред с клюн "той" :. Нещо липсва ..., о, да, в числителя трябва да се присъедините към иконата за диференциал :.

Сега трябва да изчислите включени интегрални . В същото време два случая могат да бъдат:

1) Ако се окаже, че интегралът се сближи, тогава нашият ред ще се приближи.

2) Ако се окаже, че интегралът се разпръсква, тогава нашият ред също ще се разпръсне.

Повтарям, ако материалът се стартира, четенето на абзаца ще бъде трудно и недоброво, тъй като използването на знак се намалява по същество до изчислението несъвместим интеграл Първи вид.

Пълното решение и дизайнът на примера трябва да изглеждат така:

Използваме цялостен знак:

По този начин, поредицата в проучването различни Заедно със съответния несъвместим интеграл.

Пример 12. Разгледа ред на конвергенция

Решение и проба дизайн в края на урока

В разглежданите примери логаритъмът може да бъде и под корена, няма да промени решението на разтвора.

И още два примера за закуска

Пример 13. Разгледа ред на конвергенция

Според общите "параметри", общият член на поредицата изглежда подходящ за използване на ограничителен знак за сравнение. Просто трябва да разкрием скобите и незабавно да предадем кандидата, за да сравним максимално тази серия с конвергентна страна. Въпреки това, аз имам малко нелепи, скоби не могат да бъдат разкрити, но все пак решението чрез пределния знак на сравнението ще изглежда доста красиво.

Ето защо ние използваме интегрален знак на Cauchy:

Интегрираната функция е непрекъсната

сближаване Заедно със съответния несъвместим интеграл.

! Забележка: Полученият номер ене е сума от номер !!!

Пример 14. Разгледа ред на конвергенция

Решението и дизайна на пробата в края на секцията, която приключва.

За целите на окончателното и неотменима асимилация на темата на цифрови редове, посетете темата.

Решения и отговори:

Пример 3:Ние използваме знак на Даламбер:

По този начин, поредицата в проучването различни.
Забележка: Възможно е да се използва и "Turbo" -Method на решенията: незабавно се справят с отношение на молив, посочете, че тя търси единица и прави бележка: "Един ред на растеж".

Пример 5: Ние използваме знак на Даламбер: T.O., поредицата в проучването сближаване.

Пример 8:

По този начин, поредицата в проучването сближаване.

Пример 10:
Използвайте радикалния знак на Cauchy.

По този начин, поредицата в проучването различни.
Забележка: Ето основата на степента, следователно

Пример 12.: Ние използваме цялостен знак.

Получава се крайният номер, което означава поредица по време на проучването сближаване

Пример 14.: Използваме цялостен знак
Интегралната функция е непрекъсната.

По този начин, поредицата в проучването различни Заедно със съответния несъвместим интеграл.
ЗАБЕЛЕЖКА: Серия също може да бъде проученамаксимален знак за сравнение . За да направите това, е необходимо да се разкриват скоби под корена и да сравните изследвания ред с различен.

Подравняване на редовете. Знак за лапия. Примери за решения

За да се разберат примерите за този урок, е необходимо да се придвижвате в положителни цифрови редове: да разберете какъв е номер, за да знаете необходимия знак за сближаване на една серия, за да можете да прилагате признаци на сравнение, знак на Даламбер, признаците на Cauchy. Темата може да бъде повдигната почти от нулата, последователно да изследва статиите Редове за чайниции Знак за даламбер. Признаци на cauchy.. Логично, този урок е третият подред и то не само ще разбере подравняването на редиците, но и да се определи материалът вече е преминал! Някои новост ще бъдат малко и да овладеят подравняването на редиците, няма да бъде много труд. Всичко е просто и достъпно.

Какво е променлив ред?Това е разбираемо или почти ясно от името. Незабавно най-простият пример. Ние изследваме реда и го напишете повече:

И сега ще има мъртъв коментар. Членове на алтернативните знаци за алтернативни серии: плюс, минус, плюс, минус, плюс, минус и др. до безкрайност.
Подравняването осигурява мултипликатор: ако знаете, тогава ще има знак "плюс", ако странният е "минус" знак. На математическия жаргон това нещо се нарича "Flasher". Така променливият ред "се признава" в минус един до степента на "EN".

В практически примери подравняването на членовете на число може да осигури не само множител, но и неговите родни братя: ,, .... Например:

Подводните камъни са "блогове": ,,,, - такива мултипликатори не променяйте знака. Ясно е, че с всякакъв вид :,,, Редове с измами се прилагат не само за силно надарени ученици, те имат "сами" по време на решението функционална серия.

Как да проучим един ред на конвергенция?Използвайте знак Leibice. За германските гигантски мисли на Gotfried Wilhelm Leibnitsa, не искам да кажа нищо, тъй като в допълнение към математическите работи, той завъртя няколко тома на философията. Опасни за мозъка.

Знак Лейбница: Ако членовете на алкалния ред monotonne. Намаляване на модула, след това серията се сгъва. Или две точки:

2) Ред на членовете намаляват по модул :. Освен това, намалява монотонно.

Ако се извършва и двете Условия, след това серия се сближават.

Кратко сертификат За модула е даден в методитеГореща математическа учебна курса Формули Но за удобство отново:

Какво означава "модул"? Модулът, както си спомняме от училище, "яде" "минус" знак. Нека да се върнем в ред. Психически изтриване на губещите всички знаци и нека разгледаме числата. Ще видим това всеки следващ Член на реда по-малкоот предишния. Така следните фрази означават едно и също нещо:

- членове на реда с изключение на знака намаление.
- членове на редица намаление по модул.
- членове на редица намаление в абсолютна стойност.
– Модул Общият член на реда търси нула: Референтен край

Сега нека поговорим малко за монотонността. Монотонността е скучна постоянство.

Членове на лъча строго монотон Намаляване на модула, ако всеки следващ член на реда по модул По-малко от предишния :. За номер се прави строго монотонност на спускане, тя може да бъде боядисана подробно:

И можете да кажете накратко: всеки следващ член на поредицата по модул по-малко от предишния :.

Членове на лъча ниско Мононне Намаляване на модула, ако всеки следващ член на реда не е повече от предишния :. Помислете за ред с факторат: има монотонност без инсулт, тъй като първите двама членове на поредица от същия модул. Това е всеки следващ член на реда по модул Не повече от предишния :.

При условията на напускането на теорема трябва да се извърши монотонността на низходящите (тя няма значение, стриктен или неръден). В същото време членовете на един брой могат дори едно време увеличава модулаНо "опашката" на един брой трябва непременно да бъде монотонно намаляване. Не е нужно да се страхувате, че предполагам, практическите примери ще изчезнат на нашите места:

Пример 1.Разгледа ред на конвергенция

Общият член на поредицата включва множител и следователно е необходимо да се използва знак за леики

1) Проверка на номер за знак. Обикновено в този параграф на решението редът описва подробно и премахват присъдата "номер е алкален."

2) Намаляват ли членовете на поредица от модул? Необходимо е да се реши лимитът, който най-често е много прост.

- членовете на серията не намаляват в модула. Между другото, имаше нужда от разсъждение за низходяща монотонност. Заключение: ред се отклонява.

Как да разбера какво е равно? Много просто. Както знаете, модулът унищожава минусите, така че за да се компенсира, просто трябва да премахнете мигащия фар от покрива. В този случай общият член на поредицата. Глупаво извадете "светкавицата" :.

Пример 2. Разгледа ред на конвергенция

Ние използваме знак Leibnitsa:

1) Номерът е алкален.

2) - членове на редица намаление на модула. Всеки следващ член на поредица от модул е \u200b\u200bпо-малък от предишния: така намалява монотонно.

Заключение: серия се слива.

Всичко беше много просто - но това не е краят на решението!

Ако серия се сближава върху телта, те също казват, че номер конвергенция сближаване.

Ако ред също е изготвен от модулите:, тогава те казват, че ред тя се сближава абсолютно.

Ето защо, в дневния ред на втория етап от типичната задача, изследването на алкалния ред в абсолютната конвергенция.

Аз не съм виновен - такава теория на цифрови редове \u003d)

Ние изследваме нашия ред в абсолютната конвергенция.
Ние ще формираме ред модули - отново просто премахнете множителя, който осигурява дим: - разсея (хармонична серия).

Така че нашият ред не е абсолютно конвергентен.
Изследваната серия тя се сближава само условно.

Обърнете внимание, че в пример № 1 не е необходимо да се провежда проучване, а не абсолютно сближаване, защото в първата стъпка се стига до заключението, че ред се различава.

Ние събираме съдове, остриета, коли и оставяме пясъчника да гледат на света широко отворени очи от кабината на багера ми:

Пример 3. Разгледайте ред на конвергенция, ние използваме знак на Лайбница:

1)
Тази серия е знак.

2) - членове на редица намаление на модула. Всеки следващ член на поредица от модул е \u200b\u200bпо-малък от предишния:, това означава, че монотонното намаление. Заключение: серия се слива.

Анализ на пълнежа на номер, стигаме до заключението, че трябва да използвате знак за сравнение. Скоби в знаменателя е по-удобно да се разкрие:

Сравнете тази серия с конвергиране наблизо. Използвайте ограничителния знак за сравнение.

Получава се краен номер, различен от нула, това означава, че серията се сближава заедно с наблизо. Изследваната серия тя се сближава абсолютно.

Пример 4. Разгледа ред на конвергенция

Пример 5. Разгледа ред на конвергенция

Това са примери за независимо решение. Пълно решение и проба дизайн в края на секцията.

Както виждате, редуващите редове са прости и твърде много! Но не бързайте да затворите страницата, точно след няколко екрана, ние разглеждаме случая, че мнозина поставят вдъхновение. Докато два примера за обучение и повторение.

Пример 6. Разгледа ред на конвергенция

Ние използваме знак Leiby.
1) Номерът е алкален.
2)
Членове на брой намаляват в модула. Всеки следващ член на поредица от модул е \u200b\u200bпо-малък от предишния, това означава, че монотонното намаление. Заключение: серия се слива.

Моля, обърнете внимание, че не рисувам детайли на членовете на поредицата. Те винаги са желателни за боядисване, но от непреодолимата мързел в "тежки" случаи може да се ограничи до фразата "номер е подравняващ". Между другото, не е необходимо да третирате този елемент формално, винаги проверявайте (Поне психически), че един номер наистина се редува. Бърз поглед води и грешката е разрешена на машината. Не забравяйте за "измама", ако те са, тогава те трябва да се отърват от тях, като са получили "обикновен" ред с положителни членове.

Втората финес се отнася до фразата за монотонността, аз също го намалих колкото е възможно повече. Така че можете да направите и почти винаги задачата ви ще бъде кредитирана. Ще кажа съвсем добро нещо - лично, често обикновено мълчаливо за монотонност и такъв брой минават. Но бъдете готови да рисувате всичко подробно, точно до подробни вериги на неравенство (вж. Пример в началото на урока). В допълнение, понякога монотонността е невероятна и за това трябва също да следвате, за да замените думата "по-малко" на думата "не повече".

Ние изследваме серия от абсолютна конвергенция:

Очевидно е, че трябва да използвате радикалния знак Kauchi:

По този начин серията се приближава. Изследваната серия тя се сближава абсолютно.

Пример 7.Разгледа ред на конвергенция

Този пример за независими решения често се среща за някои редове, които причиняват трудности.

Пример 8.Разгледа ред на конвергенция

Ние използваме знак Leibnitsa:
1) Номерът е алкален.

Факт е, че няма стандартни ежедневни техники за решаване на такива граници. Къде се търси такъв лимит? До нула, до безкрайност? Важно е тук, че в безкрайността расте по-бързо - числител или знаменател.

Забележка: Концепцията за функцията за нареждане на растежа е подчертана в статиятаМетоди за разрешаване на граници . Ние имаме граници на последователностиНо това не променя същността.

Нека се опитаме да запишем първите няколко членове на поредицата:
Можете да замените всеки полином от хилядна, това отново няма да промени ситуацията - рано или късно факторът все още ще "нарушава" и такъв ужасен полином. Фактор по-висок растежот всяка мощна последователност.

- факторат расте по-бързо от това работа на всеки номер Индикативни и силови последователности (наши случаи).

– . \\ T Индикативната последователност нараства по-бързо от всяка мощна последователност, например: ,. Индикативна последователност по-висок растежот всяка мощна последователност. Подобно на факториацията, демонстрационната последователност "изтегля" продукта от произволен брой захранващи последователности или полиноми :. \\ t

- Има ли нещо "по-хладно" факториално? Има! Постепенната индикативна последователност ("EN" до степента на "EN") нараства по-бързо. На практика е рядкост, но информацията няма да бъде твърде много. Референтен край

Така, вторият параграф на изследването (все още си спомняте за това? \u003d)) Можете да пишете така:
2), като по-висок ред на растеж, отколкото.
Членове на редица намаление от модула, започвайки с някакъв брой В същото време всеки член на поредица от модул е \u200b\u200bпо-малък от предишния, като по този начин се спуска монотонно.

Заключение: серия се слива.

Тук просто този любопитен случай, когато членовете на число първо растат в модула, поради което сме имали погрешно първоначално мнение за лимита. Но, започвайки от някакъв номер "en"Факториалът изпреварва числителя и "опашката" на число става монотонно намалява, което е фундаментално важно за прилагането на състоянието на теоремата на лапията. Какво е специално равно на това "EN", трудно е да се открие достатъчно.

Според съответната теорема от абсолютната конвергенция на серията следва условното сближаване на серията. Изход: Серия в процес на изследване тя се сближава абсолютно.

И накрая, чифт примери за независимо решение. Една от същата опера (препрочетена сертификата), но по-лесна. Друг за гурме е да консолидираме цялостта на сближаване.

Пример 9.Разгледа ред на конвергенция

Пример 10.Разгледа ред на конвергенция

След висококачественото изследване на цифрови положителни и алтернативни редове с чиста съвест, можете да отидете функционални редове които не са по-малко монотонни и монотонни.

Решения и отговори:

Пример 4.: Ние използваме знак Leibrniza:

1) Тази серия е алкална.
2)
Членовете на серията не намаляват в модула. Заключение: ред се отклонява.. В същото време всеки член на поредица от модул е \u200b\u200bпо-малък от предишния, като по този начин се спуска монотонно.

По този начин редът се различава заедно със съответния несъвместим интеграл. Изследваната серия тя се сближава само условно.

Тази статия съдържа и структурирана информацията, необходима за решаването на почти всякакъв пример по темата за числените редици, от намирането на сумата от число, преди да се изследва за сближаване.

Преглед на статията.

Нека започнем с определенията на подравняването, редуващи се серии и концепцията за сближаване. След това разглеждаме стандартните редици, като например хармонична серия, генерализирана хармонична серия, припомнете формулата за намиране на сумата на безкрайно намаляване на геометричната прогресия. След това преминем към свойствата на конвергиращата серия, ще се съсредоточим върху необходимото условие за сближаването на серия и глас достатъчно признаци на сближаването на серия. Теорията ще бъде разредена с решението на характеристичните примери с подробни обяснения.

Навигация.

Основни определения и концепции.

Нека имаме цифрова последователност, където .

Нека дадем примерна цифрова последователност: .

Числен ред - това е сумата на членовете на числената последователност на формуляра .

Като пример за цифрова серия, сумата от безкрайно намалява геометричната прогресия с знаменателя Q \u003d -0.5: .

Обади се общ член на цифровите серии или K-ти член на поредицата.

За предишния пример, общият член на числената серия има формата.

Частично количество числен ред - Това е сумата от вида, където п е определено естествено число. Те също така се отнасят до N-OH частичната сума на цифровите серии.

Например, четвъртото частично количество от реда има .

Частични суми Образуване на безкрайна последователност от частични суми на цифровите серии.

За нашата серия N е частично количество се намира в зависимост от формулата на първия N член на геометричната прогресия Това означава, че ще имаме следната последователност от частични суми: .

Се нарича цифров ред конвергентАко има крайна граница на последователността на частични суми. Ако границата на последователността на частичните суми на числената серия не съществува или не е безкрайна, тогава диапазонът се нарича изтеглен.

Сумата на съответната цифрова серия наречена граница на последователността на частичните си суми, т.е. .

Следователно в нашия пример, номер Той се слива и сумата му е на шестнадесет и трета: .

Като пример, различната серия може да бъде дадена на количеството геометрична прогресия с знаменател, по-голям от устройството: . N-aya частичното количество се определя от изразяването и границата на частичните суми е безкрайна: \\ t .

Друг пример за различна цифрова серия е количеството на вида . В този случай, N-AYA частичната сума може да бъде изчислена като. Границата на частичните суми е безкрайна .

Количество тип Наречен хармонично число в близост.

Количество тип където s е някакво валидно номерът обобщени хармонични цифри наблизо.

Посочените дефиниции са достатъчни, за да обосноват следните много често използвани изявления, препоръчваме да ги запомните.

Хармоничният ред се различава.

Доказваме отклонението на хармоничната серия.

Да предположим, че номер се сближи. Тогава има ограничена граница на частичните му суми. В този случай можете да записвате и, което ни води към равенство .

От друга страна,

Не предизвикват съмнения следните неравенства. По този начин, . Полученото неравенство ни показва това равенство Тя не може да бъде постигната, която противоречи на нашето предположение за сближаването на хармоничните серии.

Заключение: Хармоничният ред се различава.

Сумата от геометричната прогресия на формата с знаменател Q е конвергентен цифров близо, ако и се различава до него.

Доказваме го.

Знаем, че сумата на първите n членове на геометричната прогресия е по формулата .

С панаир

Какво сочи сближаването на цифрова серия.

При Q \u003d 1 имат цифрова серия . Неговите частични суми са като и границата на частичните суми е безкрайна Какви точки за разминаване на номер в този случай.

Ако q \u003d -1, тогава числовият номер ще вземе формата . Частичните суми имат стойност за нечетни N, и дори за n. От това можем да заключим, че границата на частичните суми не съществува, а редът се различава.

С панаир

Какви точки за разграничаване на цифрова серия.

Обобщената хармонична серия се превръща в s\u003e 1 и се различава към.

Доказателства.

За s \u003d 1, получаваме хармоничен ред и по-горе го изключваме.

За справедливо неравенство за всички естествени к. Поради различията на хармоничната серия може да се твърди, че последователността на нейните частични суми е неограничена (тъй като няма ограничение). След това последователността на частичните суми на числената серия е по-неограничена (всеки член на тази серия е по-голям от съответния член на хармоничната серия), следователно, генерализиран хармоничен ред е разделен на s.

Остава да докаже конвергенцията на серията при S\u003e 1.

Пишаме разлика:

Очевидно тогава

Нарежете полученото неравенство за n \u003d 2, 4, 8, 16, ...

Използвайки тези резултати, могат да се извършват следните действия с първоначалния цифров номер:

Изразяване Това е количество геометрична прогресия, чийто знаменател е равен. Тъй като разглеждаме случая в s\u003e 1, тогава. Следователно
. По този начин последователността на частичните суми на обобщената хармонична серия при S\u003e 1 се увеличава и в същото време е ограничена от над стойността, следователно тя има ограничение, което показва сближаването на реда. Доказателство е завършено.

Се нарича цифров ред подравняванеАко всичките му членове са положителни, т.е. .

Се нарича цифров ред подравняванеАко признаците на съседните му членове са различни. Пеенето на цифровия ред може да бъде написано като или където .

Се нарича цифров ред подписанАко съдържа безкраен набор от положителни и отрицателни членове.

Променлив номер на цифрова серия е специален повод на алтернативна серия.

Редове

са съответно подравняване, подравняване и редуване.

За забранена серия има концепция за абсолютна и условна конвергенция.

абсолютно конвергентАко ред се сближи от абсолютните стойности на своите членове, т.е. подравняващите цифрови серии се сближават.

Например, цифрови редове и абсолютно сближаване, защото номер се свързва , което е сумата от безкрайно намаляване на геометричната прогресия.

Обявен ред, наречен условно конвергентноАко ред се отклони, и серията се сближава.

Като пример може да бъде донесена конвергивна числена серия . Числен ред Съставен от абсолютните стойности на членовете на първоначалната серии, изпратени, както е хармонично. В същото време първоначалният номер е конвергентен, който лесно се инсталира. Така, числова серия от променливост Условно преместване.

Свойства на конвергиращите цифрови редове.

Пример.

Докажете сближаването на цифрова серия.

Решение.

Пишем ред в друга форма . Числовите серии се сближават, тъй като обобщената хармонична серия се сближава в S\u003e 1, а по силата на втория имот на конвергиращата цифрова серия също ще се сближи с цифров коефициент.

Пример.

Малък ред се слива.

Решение.

Конвертираме Ред на източника: . Така получихме сумата от две цифрови редове и и всеки от тях се сближава (виж предишния пример). Ето защо, поради третия имот на конвергиращите цифрови редове, първоначалните серии се сближават.

Пример.

Докажете сближаването на цифровите серии И изчислете неговата сума.

Решение.

Тази цифрова серия може да бъде представена като разлика от два реда:

Всяка от тези редове е сумата от безкрайно намаляващата геометрична прогресия, следователно е конвергентна. Третият имот на конвергиращата серия предполага, че първоначалната цифрова серия се сближава. Изчислявам се.

Първият член на поредицата е единица, а знаменателят на съответната геометрична прогресия е 0.5, следователно, .

Първият член на реда е 3, а знаменателят на съответното безкрайно намаляваща геометрична прогресия е 1/3, така че .

Използваме резултатите, получени за намиране на количеството на първоначалната цифрова серия:

Необходимото условие за сближаване на серията.

Ако числови серии се сближават, границата на неговия K-C елемент е нула :.

В проучването на всяка цифрова серия за конвергенция, на първо място, прилагането на необходимото състояние на конвергенция трябва да бъде потвърдено. Неспазването на това състояние показва отклонението на цифровите серии, т.е. ако редът се различава.

От друга страна, е необходимо да се разбере, че това условие не е достатъчно. Това означава, че изпълнението на равенството не говори за сближаването на цифровите серии. Например, за хармоничните серии се извършва необходимото условие за конвергенция, а редът се различава.

Пример.

Изследвайте числен ред на конвергенция.

Решение.

Проверете необходимото условие за сближаването на цифровите серии:

Лимит следователно N-тият член на числовия номер не е нула, като редът се различава.

Достатъчно признаци на сближаване на последователността.

Когато използвате достатъчни признаци за изследване на цифрови редове, конвергенцията е постоянно изправена, така че препоръчваме да се свържете с този раздел в затруднение.

Изисква се и достатъчно условие за сближаване на изравняемите цифрови серии.

За сближаване на подравняването на цифровите серии Необходимо е и достатъчно за последователността на частичните си суми е ограничено.

Нека започнем с признаци на сравнение на редовете. Тяхната същност се състои в сравняване на изследваната цифрова серия с известен номер, конвергенция или дивергенция.

Първият, втори и третия знак за сравнение.

Първия знак за сравняване на редиците.

Нека и двамата са два подравнени цифрови реда и неравенство за всички K \u003d 1, 2, 3, ... след това от сближаването на редица конвергенция, и от отклонението на серията трябва да бъде различия.

Първият знак за сравнение се използва много често и е много мощен инструмент за изследване на числови редове за сближаване. Основният проблем е подборът на подходящ ред за сравнение. Номер за сравнение обикновено (но не винаги) е избран по такъв начин, че индикаторът на неговия K-C елемент е равен на разликата в степента на цифровата степен и знаменателя на К без член на изследваната цифрова серия. Например, нека разликата в степента на числителя и индикаторите за знамена данни са 2 - 3 \u003d -1, следователно, за сравнение, ние избираме ред с K-ти елемент, т.е. хармоничен ред. Разгледайте няколко примера.

Пример.

Инсталирайте конвергенцията или дивергенцията на реда.

Решение.

Тъй като границата на общия член на поредицата е нула, се прави необходимото условие за сближаване на серията.

Лесно е да се види, че неравенството е справедливо за всички естествени К. Знаем, че хармоничният ред се различава, следователно, при първия знак за сравнение, първоначалната серия също се различава.

Пример.

Разгледайте цифров ред на конвергенция.

Решение.

Оттогава се извършва необходимото условие за сближаване на цифровите серии . Очевидно изпълнението на неравенството За всяка естествена стойност k. Номер се сближава, тъй като генерализираната хармонична серия се събира за S\u003e 1. По този начин първият знак за сравнение на редовете ви позволява да посочите конвергенцията на първоначалната цифрова серия.

Пример.

Определете конвергенцията или дивергенцията на цифровите серии.

Решение.

Следователно е изпълнено необходимото условие за сближаване на цифровите серии. Какъв номер да изберете за сравнение? Предлага се от цифрова серия и да се определи s, внимателно проучване на числената последователност. Членове на числената последователност се увеличават до безкрайност. По този начин, започвайки от някакъв брой N (а именно, с n \u003d 1619), членовете на тази последователност ще бъдат по-големи от 2. Започвайки от този номер n, неравенството е вярно. Числената серия се слива по силата на първото свойство на конвергиращата серия, тъй като се оказва от поредицата с конвергията, изхвърлянето на първия N е 1 член. Така, на първия знак за сравнение, има редица сближаване и по силата на първия имот на конвергиращите цифрови редове също ще се сближи.

Вторият знак за сравнение.

Нека и двамата да подравнят цифровите редове. Ако, тогава сближаването на серията следва сближаването. Ако, от дивергенцията на числената серия, следва отклонението.

Следствие.

Ако, тогава сближаването на един ред следва сближаването на другия, и отклонението трябва да бъде отделено от различията.

Ние проучваме ред на конвергенция, използвайки втория знак за сравнение. Като номер, поречете. Ще намерим границата на връзката на K-големите членове на цифровите серии:

Така, според втория знак за сравнение, сближаването на цифровите серии следва сближаването на оригиналната серия.

Пример.

Изследвайте сближаването на цифров ред.

Решение.

Проверете необходимото условие за сближаването на серията . Състоянието е изпълнено. За да приложите втория знак за сравнение, ние приемаме хармоничен ред. Ще намерим границата на връзката на член на K-S:

Следователно, от различията на хармоничната серия тя следва отклонението на първоначалната серия на втория знак за сравнение.

За информация ние даваме третия знак за сравнението на редиците.

Трето сравнение.

Нека и двамата да подравнят цифровите редове. Ако условието е удовлетворено от някакъв номер n, тогава сближаването трябва да се сближи от сближаването на серията.

Знак за даламбер.

Коментар.

Знакът на даламбер е валиден, ако лимитът е безкраен, т.е. ако , след това серия се сгъва, ако , след това един ред се отклонява.

Ако знакът на Даламбер не предоставя информация за сближаването или разминаването на серията и се изисква допълнително изследване.

Пример.

Разгледайте числения ред на сближаването на Даламбер.

Решение.

Проверяваме изпълнението на необходимото условие за сближаването на числените серии, границата се изчислява от:

Състоянието е изпълнено.

Ние използваме знака на Даламбер:

По този начин серията се приближава.

Радикален знак cauchy.

Позволявам е цифров ред за записване. Ако числовият серия се приближава, ако редът се различава.

Коментар.

Радикалният знак на Cauchy е вярно, ако лимитът е безкраен, т.е. ако , след това серия се сгъва, ако , след това един ред се отклонява.

Ако такъв радикален знак не предоставя информация за конвергенцията или разликата на число и изисква допълнителни изследвания.

Обикновено е лесно да се видят случаи, когато е най-добре да се използва радикален знак за cauchy. Случаят е характерен, когато цяло член на числена серия представлява значителен израз. Разгледайте няколко примера.

Пример.

Разгледайте последователния цифров ред на конвергенцията, използвайки радикален знак на Cauchy.

Решение.

. Върху радикалния знак на Cauchy .

Следователно серия се сближава.

Пример.

Дали цифров ред се сближава .

Решение.

Ние използваме радикалния знак на Cauchy Следователно цифровите серии се сближават.

Интегрален знак cauchy.

Позволявам е цифров ред за записване. Ние ще формираме функция на непрекъснат аргумент Y \u003d F (x), подобни функции. Нека y \u003d f (x) функционира положително, непрекъснато и намалява интервала, където). Тогава в случай на конвергенция несъвместим интеграл Изследваната числена серия се приближава. Ако неизменният интеграл се различава, първоначалният номер също се различава.

Когато проверявате намаляването на функцията Y \u003d F (x), теорията може да бъде полезна на интервала от секцията.

Пример.

Разгледайте цифров ред с положителен член за сближаване.

Решение.

Оттогава се прави необходимото условие за сближаване на номера . Помислете за функция. Той е положителен, непрекъснат и слизащ на интервала. Непрекъснатостта и позитивността на тази функция не предизвикват съмнение, но на низходящи, ще спрем повече подробности. Намерете дериват:
. Следователно тя е отрицателна в интервала, функцията намалява на този интервал.

Основните предпоставки за използване на функцията Dalamber са както следва:

1) В цялостния член на серията ("пълнене" на номер) включва определен брой до степен, например и т.н. Освен това, няма значение къде се намират тези функции в числителя или в знаменателя - важно е те да присъстват там.

2) Общият член на поредицата включва фактически. Какво е факториално?

…

…

3) Ако има "верига от мултипликатори" в общия член на поредицата, например, . Този случай е рядкост.

В допълнение, в общия член на даден номер, степен и факторант може да се срещне едновременно; може да посрещне два фактора, две степени, важно е да бъдеш там поне нещо От разглежданите елементи - и това е просто предпоставка за използването на знака на Даламбер.

Без разбиране за лимита и способност за разкриване на несигурността, за съжаление, за съжаление, да не се движат.

Пример:
Решение:Виждаме това в общия член на един номер, който имаме, и това е вярна предпоставка, която трябва да използвате знак за даламбер.

Ние използваме знак на Даламбер:

сближаване.

Радикален знак cauchy.

Знакът за сближаване на Cauchy за положителни цифрови редове е нещо подобно на простотата на знака на Даламбер.

! Интересно е да се отбележи, че ако знакът на Cauchy не ни даде отговор на въпроса за сближаването на един номер, тогава знакът на Даламбер също няма да ни даде отговор. Но ако знакът на Даламбер не дава отговор, знакът на Кауч може да "работи". Това означава, че знакът на Cauchy е в този смисъл по-силен знак.

!!! Кога трябва да използвам радикалния знак Kauchi? Cauchy радикалният знак обикновено използва в случаите, когато генералният член на поредицата Напълно е в степен в зависимост от "en". Или когато коренът "добър" се извлича от общия член на поредицата. Все още има екзотични случаи, но те няма да отбележат главата.

Пример: Разгледа ред на конвергенция

Решение:Виждаме, че общият член на поредицата е изцяло в зависимост от и следователно трябва да използвате радикален знак за Cauchy:

По този начин, поредицата в проучването различни.

Интегрален знак cauchy.

За да приложите интегралната характеристика на Cauchy, е необходимо повече или по-малко уверено да можете да намерите деривати, интеграли, както и с уменията за изчисление несъвместим интеграл Първи вид.

Аз формулирам думите си (за лекота на разбиране).

Cauchy Integral знак: Обмисли положителна цифрова серия . Тази серия се слива или се различава заедно със съответния несъвместим интеграл.

! !! Основната предпоставка за използване на интегрален знак за cauchy Фактът е, че в общия член на една серия има някаква функция и нейното производно.

Пример: Разгледа ред на конвергенция

Решение:От темата Дериватив Вероятно си спомняте най-простото таблично нещо: и имаме точно такъв каноничен случай.

Как да използвате интегрален знак? Първо вземаме интегрална икона и пренаписваме горната и долната граница от "брояча" :. След това под интегралното пренаписване "пълнене" на ред с бук "x" :.

Сега трябва да се изчисли неизменният интеграл. В същото време два случая могат да бъдат:

1) Ако се окаже, че интегралът се сближи, тогава нашият ред ще се приближи.

2) Ако се окаже, че интегралът се разпръсква, тогава нашият ред също ще се разпръсне.

Използваме цялостен знак:

Интегрираната функция е непрекъсната

По този начин, поредицата в проучването различни Заедно със съответния несъвместим интеграл.

Пример: Разгледайте сближаването на реда

Решение: На първо място, проверете задължително сближаване на знака на число. Това не е формалност, а отличен шанс да се справите с пример за "ниска кръв".

Последователност на числа По-висок нареждане на растежотколкото следователно Това означава, че необходимия знак за конвергенция е изпълнен и серията може, как да се сближи и разпръсне.

По този начин, трябва да използвате всеки знак. Но какво? Маркетинг знак за сравнение Очевидно не е подходящо, тъй като логаритъм е подаден на общия член на реда, признаци на даламбер и cauchy Също не води до резултата. Ако бяхме, би било лошо, ще бъде възможно да се обърнем интегрален знак.

"Проверка на сцената" предполага различен брой (случай на генерализирана хармонична серия), но отново възниква въпросът, как да се вземе предвид логаритъмът в числителя?

Първият знак за сравнение, базиран на неравенствата, който често не се взема под внимание и прах на далечния рафт. Нарежете ред Прочетете повече:

Напомням ви това - за неопределено време последователност на числа:

И, като се започне от броя, ще се извърши неравенството:

Това означава, че членовете на серията ще много повече съответните членове изкорм ред.

В резултат на това, ред нищо не остава, както и да се различава.

Конвергенцията или дивергенцията на числената серия зависи от неговата "безкрайна опашка" (остатъка). В нашия случай, ние не можем да вземем предвид факта, че неравенството е неправилно за първите две числа - не засяга заключението.

Кратският дизайн на примера трябва да изглежда по този начин:

Сравнете тази серия с различен.
За всички стаи, като се изпълняват неравенството, се извършва, въз основа на сравнението, изследваната серия различни.

Подравняване на редовете. Знак за лапия. Примери за решения.

Какво е променлив ред?Това е разбираемо или почти ясно от името. Незабавно най-простия пример.

Помислете за ред и го нарежете по-подробно:

Подравняването осигурява множител: ако знаете, тогава ще има знак "плюс", ако странният знак е "минус" знак

Подводните камъни са "блогове": ,,,, - такива мултипликатори не променяйте знака. Ясно е, че с всякакъв вид :,,,

Как да проучим един ред на конвергенция?Използвайте знак Leibice.

Знак Лейбница: Ако се следват две условия в знак на номер: 1) членовете на число монотонно намаление на абсолютната стойност. 2) Границата на общия член съгласно модула е нула, след което серията се превръща и модулът на количеството на този ред не надвишава модула на първия мандат.

Кратка справка на модула:

Какво означава "модул"? Модулът, както си спомняме от училище, "яде" "минус" знак. Да се \u200b\u200bвърнем към реда . Психически изтриване на губещите всички знаци и нека разгледаме числата. Ще видим това всеки следващ Член на реда по-малкоот предишния.

Сега малко за монотонността.

Членове на лъча строго монотон Намаляване на модула, ако всеки следващ член на реда по модул По-малко от предишния :. За ред Извършва се строга понижаване на монотонността, тя може да бъде написана подробно:

И можете да кажете накратко: всеки следващ член на поредицата по модул по-малко от предишния :.

Членове на лъча ниско Мононне Намаляване на модула, ако всеки следващ член на реда не е повече от предишния :. Помислете за ред с факторат: Има монотонност без инсулт, тъй като първите двама членове на поредица от същия модул. Това е всеки следващ член на реда по модул Не повече от предишния :.

Пример: Разгледа ред на конвергенция

Решение: Общият член на поредицата включва множител и следователно е необходимо да се използва знак за леики

1) Проверка на число върху монотонното намаление.

1<2<3<…, т.е. n + 1\u003e n -първото условие не се извършва

2) - второто условие също не е изпълнено.

Заключение: ред се отклонява.

Определение: Ако серия се сближава на лейбалния знак и номер, изготвен от модули: също се сближава, казват, че това е ред тя се сближава абсолютно.

Ако серия се сближава на знака за ластер и диапазонът, изготвен от модулите: се различават, те казват, че ред конвергенция сближаване.

Ако серия, изтеглена от модулите, се сгъва, тази серия се слива.

Следователно променливият слух трябва да бъде изследван в абсолютна или условна конвергенция.

Пример:

Решение: Ние използваме знак Leibnitsa:

1) Всеки следващ член на поредица от модул е \u200b\u200bпо-малък от предишния: - първото условие е изпълнено.

2) - Също така е изпълнено второто условие.

Заключение: серия се слива.

Проверка на условно или абсолютно конвергенция.

Ще направим серия от модули - отново просто премахнете множителя, който осигурява дим:
- Разведени (серии хармонични).

Така че нашият ред не е абсолютно конвергентен.
Изследваната серия конвергенция сближаване.

Пример:Разгледайте ред за условно или абсолютно конвергенция

Решение: Ние използваме знак Leibnitsa:
1) Нека се опитаме да напишем малкото първите членове на поредицата:

…?!

Ако цифровият номер нараства по-бързо, тогава. Ако, при безкрайност, фактическият расте по-бързо от числителя, тогава той, напротив, "караше" границата до нула: . Или може би този лимит е равен на някакъв различен брой от нула? или . Вместо това можете да замените всеки полином от хилядна, тя няма да промени ситуацията отново - рано или по-късно факторат все още ще "нарушава" и такъв ужасен полином. Фактор по-висок растеж.

– Факторът нараства по-бързо от това работа на всеки номер Индикативни и силови последователности (Наши случаи).

– . \\ T Индикативната последователност нараства по-бързо от всяка мощна последователност, например: ,. Индикативна последователност по-висок растежот всяка мощна последователност. Подобно на фактора, демонстрационната последователност "изтегля" продукта на произволен брой на всяка мощни последователности или полиноми: .

- Има ли нещо "по-силно" факториално? Има! Постепенната индикативна последователност ("EN" до степента на "EN") нараства по-бързо. На практика е рядкост, но информацията няма да бъде твърде много.

Референтен край

Така вторият елемент от изследването може да бъде написан като:
2) От по-високо ниво на растеж от.
Членове на редица намаление от модула, започвайки с някакъв брой В същото време всеки член на поредица от модул е \u200b\u200bпо-малък от предишния, като по този начин се спуска монотонно.

Изход: Номер се сближи.

Тук просто този любопитен случай, когато членовете на число първо растат в модула, поради което сме имали погрешно първоначално мнение за лимита. Но, започвайки от някакъв номер "en"Факториалът изпреварва числителя, а "опашката" на реда става монотонно намаляваща, която е фундаментално важна за състоянието на теоремата на Labitsa. Какво е специално равно на това "EN", разберете достатъчно трудно.

Ние проучваме ред на абсолютна или условна конвергенция:

И тук знакът на Даламберт вече работи:

Ние използваме знак на Даламбер:

По този начин серията се приближава.

Изследваната серия тя се сближава абсолютно.

Разглобеният пример може да бъде решен по различен начин (използваме достатъчен признак на сближаване на плавен ред).

Достатъчен признак на сближаване на серия дим:Ако серия от компилирани от абсолютните стойности на членовете на тази серия се сгъват, тогава тази серия се сближава.

Вторият начин:

Разгледайте ред за условно или абсолютно конвергенция

Решение : Ние изследваме серия от абсолютна конвергенция:

Ние използваме знак на Даламбер:

По този начин серията се приближава.
Въз основа на достатъчния признак на сближаването на алкалния ред, самият ред се сближава.

Изход: Серия в процес на изследване тя се сближава абсолютно.

Да се \u200b\u200bизчисли сумата от число с дадена точностще използваме следната теорема:

Нека променливият редис Задоволява условията на знака Leiby и го остави н.Частична сума. След това серията се слива и грешката, когато изчисляването на неговата сума С. Абсолютната стойност не надвишава модула на първия дъмпиран член:

Функционална серия. Редове за захранване.
Регионът на сближаването на серията.

За успешното развитие на темата е необходимо да се разберат добре в конвенционалните цифрови редове.

Признаци на сближаване на редовете.
Знак за даламбер. Признаци на cauchy.

Работа, работа - и разбирането ще дойде по-късно
J.l. Арет

Поздравявам всички в началото на учебната година! Днес, на 1 септември и реших да въведа читателите в чест на празника с факта, че очаквате с нетърпение да гледате напред и нетърпеливи да разберете - признаци на сближаване на числените положителни редове. Първият септември и моята поздравления винаги са от значение, нищо ужасно, ако всъщност, лятото извън прозореца, сега освобождавате изпита за трети път, ако сте отишли \u200b\u200bна тази страница!

За тези, които просто започват да изучават редиците, препоръчвам да се запознаете с статията Числени редове за чайници. Всъщност тази количка е продължение на банкета. Така че днес в урока ще разгледаме примери и решения по темите:

Знак за сближаване на даламбер

1) В знаменателя има полином.
2) полиномите са в числителя и в знаменателя.
3) един или и двата полиномя могат да бъдат под корена.
4) Полиноми и корени, разбира се, може би повече.

Основните предпоставки за използване на функцията Dalamber са както следва:

1) В цялостния член на серията ("пълнеж" на даден номер) включва определен брой до степен, например, и така нататък. Освен това, няма значение къде се намира това нещо, в числителя или в знаменателя - важно е да присъства там.

2) Общият член на поредицата включва фактически. С фактория прекосихме мечовете дори в урока по последователността на числата и нейната граница. Въпреки това, той няма да попречи отново да разпространявате сензорното покритие:

…

…

3) Ако има "верига от мултипликатори" в общия член на поредицата, например, . Този случай е рядко, но! В проучването на такава серия често прави грешка - виж пример 6.

И сега дългоочакваните примери.

Пример 1.

Ние използваме знак на Даламбер:

сближаване.
(1) Съставете съотношението на следващия член на поредицата към предишния :. От състоянието виждаме, че общия член на поредицата. За да получите следващия член на серията, от която се нуждаете Вместо заместител: .
(2) да се отървете от четири етажни фракции. С определен експеримент, тази стъпка може да бъде пропусната.
(3) В цифроратора разкриват скобите. В знаменателя вземаме четири от степента.
(4) Намаляване. Константа ние изваждаме границата за лимита. В числата в скоби, ние даваме такива компоненти.
(5) Несигурността се елиминира по стандартния метод - разделението на числителя и знаменателя на "EN" в най-високата степен.
(6) Разделяме цифрите на знаменателите и посочваме термините, които искат нула.
(7) Опростяваме отговора и отбелязваме, че със заключението, че въз основа на даламбер, серията под проучване се сгъва.

В разглеждания пример, в общия член на номер, ние срещнахме полиномна 2-ра степен. Ами ако има полином 3-ти, 4-ти или по-висок? Факт е, че ако се получи много висока степен, ще възникнат трудности при разкриването на скобите. В този случай може да се използва "турбо" решение.

Пример 2.

Вземете подобна гама и го проучване за сближаване.

Първо цялостно решение, след това коментари:

Ние използваме знак на Даламбер:

По този начин, поредицата в проучването сближаване.

(1) извършване на връзка.

(3) Разгледайте изразяването В числителя и експресията в знаменателя. Виждаме, че в числителя трябва да разкриете скоби и да изправите в четвъртата степен: какво изобщо не искам да правя. И за тези, които не са запознати с Бином Нютон, тази задача ще бъде още по-трудна. Да анализираме по-старите степени: ако разкриваме скоби на върха , Получавам по-старата степен. На дъното имаме една и съща висша степен :. По аналогия с предишния пример е очевидно, че с разделението на дълбочината на числителя и знаменателя на нашия лимит ще получи единица. Или, както казва математиката, полиноми и - един ред на растеж. Така е напълно възможно да се циркулира Прост молив и веднага показват, че това нещо се стреми към единица. По същия начин ние рисуваме с втория двойка полиноми: и те също един ред на растежи тяхното отношение търси единица.

Всъщност такъв "хактур" може да бъде проверен в Пример 1, но за полином от 2-ра степен, такова решение изглежда все още нерешаващо. Лично аз правя това: ако има полином (или полином) от първата или втора степен, използвам "дълъг" метод за решаване на примера 1. Ако полиномът от 3-ти и по-високи степени се появяват, използвам " Метод Turbo "съгласно примера на пример 2.

Пример 3.

Разгледа ред на конвергенция

Обмислете типични примери с фактории:

Пример 4.

Разгледа ред на конвергенция

По този начин, поредицата в проучването различни.
(1) извършване на връзка. Повтарям отново. Чрез условие, общият член на поредицата: . За да получите следния член на реда вместо това трябва да замени, по този начин: .
(2) да се отървете от четири етажни фракции.
(3) Натиснете от седемте. Факториите описват подробно. Как да го направите - вижте началото на урока или статия за числените последователности.
(4) Redfish всичко, което може да бъде намалено.
(5) Постоянно изваждаме лимита за лимита. В цифроратора разкриват скобите.
(6) Несигурността елиминира стандартния метод - разделянето на числителя и знаменателя на "EN" в най-високата степен.

Пример 5.

Разгледа ред на конвергенция

Пълно решение и проба дизайн в края на урока

Пример 6.

Разгледа ред на конвергенция

От разлагането виждаме, че всеки следващ член от поредицата добавя допълнителен мултипликатор в знаменателя, така че ако генералният член на поредицата , след това следващия член на поредицата:
. Тук често автоматично прави грешка, формално чрез записване на алгоритъм

Възможно е примерно решение за проби:

Ние използваме знак на Даламбер:

По този начин, поредицата в проучването сближаване.

Cauchy радикален знак

Знакът за сближаване на Cauchy за положителни цифрови редове е нещо подобно на простотата на знака на Даламбер.

Cauchy радикален знак:Обмисли положителна цифрова серия . Ако има ограничение: тогава:
а) с номер сближаване. По-специално серията се превръща в.
б) с номер различни. По-специално, редът се различава в.
в) за знак не дава отговор. Трябва да използвате друга функция. Интересно е да се отбележи, че ако знакът на Cauchy не ни даде отговор на въпроса за сближаването на един номер, тогава знакът на Даламбер също няма да даде отговор. Но ако знакът на Даламбер не дава отговор, знакът на Кауч може да "работи". Това означава, че знакът на Cauchy е в този смисъл по-силен знак.

Кога трябва да използвам радикалния знак Kauchi? Радикалният знак на Cauchy обикновено използва в случаите, когато коренът "добър" се извлича от общия член на поредицата. Като правило този пипер е в степен, което зависи от . Все още има екзотични случаи, но те няма да отбележат главата.

Пример 7.

Разгледа ред на конвергенция

Виждаме, че фракцията е изцяло в зависимост от "EN" и следователно е необходимо да се използва радикален знак за Cauchy:

По този начин, поредицата в проучването различни.

(1) Изготвяме общ член на поредица от корен.

(2) пренаписване на същото нещо, само без корен, използвайки свойството на градуси.
(3) в индикатора, числителят на знаменателя, показващ това
(4) В резултат на това оказахме несигурност. Тук е възможно да се премине дълъг: да се изгради в куб, да се натрупа в куб, след това да се раздели числителят и знаменател на "EN" в Куба. Но в този случай има по-ефективно решение: това приемане може да се използва директно в степента на постоянна. За да се елиминира несигурността да разделят цифровия и знаменател (по-старата степен на полиноми).

(5) Ние изпълняваме почвеното разделение и посочваме термините, които искат нула.
(6) Признавам отговора на ума, отбелязваме, че заключаваме, че ред се отклонява.

Но по-прост пример за независимо решение:

Пример 8.

Разгледа ред на конвергенция

И няколко типични примера.

Пълно решение и проба дизайн в края на урока

Пример 9.

Разгледа ред на конвергенция
Ние използваме радикалния знак Kauchi:

По този начин, поредицата в проучването сближаване.

(1) поставяме общ член на един ред.

(2) пренаписване на същото нещо, но вече без корен, докато разкрива скоби, използвайки формулата на съкратеното умножение: .
(3) В индикатора числителят на знаменателя се ремонтира и показва това.
(4) Получава се несигурността на вида и тук можете да изпълнявате директно под степента. Но с едно условие: Коефициентите за възрастни степени на полиноми трябва да бъдат различни. Ние имаме различно (5 и 6) и затова е възможно (и необходимо) да разделят двата етажа. Ако тези коефициенти същото, например (1 и 1): след това такъв фокус не преминава и трябва да използвате втората прекрасна граница. Ако си спомняте, тези тънкости бяха разгледани в последния параграф на статията Методи за разрешаване на граници.

(5) Всъщност извършват почвеното разделение и посочете какви термини сме нулеви.
(6) Елиминира несигурността, ние имаме най-простия лимит :. Защо безкрайно голям степента има тенденция към нула? Защото основата на степента удовлетворява неравенството. Ако някой има съмнения относно справедливостта на лимита , Аз не съм мързелив, ще взема калкулатор в ръцете си:
Ако тогава
Ако тогава
Ако тогава
Ако тогава
Ако тогава
... и т.н. До безкрайност - това е, в границата:

Бита безкрайно намаляване на геометричната прогресия на пръстите \u003d)
! Никога не използвайте тази техника като доказателство! Защото, ако нещо е очевидно, това не означава, че е правилно.

(7) Позоваваме, че заключаваме, че серията се сближава.

Пример 10.

Разгледа ред на конвергенция

Това е пример за независимо решение.

Интегрален знак cauchy.

Или просто един интегрален знак. Разочароващи тези, които лошо са научили първия материал за курса. За да приложите интегралната характеристика на Cauchy, е необходимо повече или по-малко уверено да можете да намерите деривати, интеграли, както и с уменията за изчисление несъвместим интеграл Първи вид.

В учебници по математически анализ интегрален знак cauchy. Дан математически стриктно, но твърде трептичен, така че формулирах знак, който не е твърде строго, но е ясно:

Обмисли положителна цифрова серия . Ако има неизменна интеграл, тогава серия се сгъва или се различава с този интеграл.

И незабавно примери за обяснение:

Пример 11.

Разгледа ред на конвергенция

Почти класически. Естествен логаритъм и някакъв вид бияка.

Основната предпоставка за използване на интегрален знак за cauchy Фактът, че в общия член на числото съдържа множители, подобни на някаква функция и нейното производно. От темата