Качествен анализ на динамичните системи. Портрети на фаза на изграждане на DS

Препис.

1 качествен анализ на динамичните системи изграждане на фазови портрети на DS

2 Динамична система 2 Динамична система математически обект, съответстваща на реални физически, химически, биологични и др. Системи, еволюция във времето, която във всеки интервал от време е уникално определен от първоначалното състояние. Такъв математически обект може да бъде система от автономни диференциални уравнения. Еволюцията на динамичната система може да се наблюдава в пространството на пространството. Диференциалните уравнения се решават аналитично изрично. Използването на компютри дава приблизително решение на диференциалните уравнения на крайния времеви сегмент, което не позволява да се разбере поведението на фазовите траектории като цяло. Следователно методите за качествено проучване на диференциалните уравнения придобиват важна роля.

3 3 Отговорът на въпроса кой режими на поведение може да бъде установено в тази система, възможно е да се получи от така наречения фазов портрет на системата на множеството от всичките му траектории, изобразени в пространството на фазовите променливи (фаза пространство). Сред тези траектории съществуват редица основни, които определят качествените свойства на системата. Това са преди всичко равновесните точки, които отговарят на стационарните режими на системата и затворени траектории (ограничаващи цикли), които отговарят на периодичните режими на трептене. Дали режимът е стабилен или не, той може да бъде съден от поведението на съседните траектории: стабилно равновесие или цикъл привлича всички близки траектории, нестабилни отблъскват поне някои от тях. Така, "фазовата равнина, разбита на траекторията, дава лесно видим" портрет "на динамичната система, той дава възможност незабавно да се покрие целият набор от движения, които могат да възникнат с всякакви начални условия." (A.A. Андронов, а.А. Уит, с.е. Хайкин. Теория на трептенията)

4 Част 1 Качествен анализ на линейни динамични системи

5 5 Линейна автономна динамична система Разгледайте линейна хомогенна система с постоянни коефициенти: (1) dx ax by, dt dy cx dy. DT Координатът на Xoy се нарича фазов самолет. През всяка точка на равнината, една и само една фазова крива (траектория) преминава. В системата (1) са възможни три вида фазови траектории: точка, затворена крива, нарушена крива. Точката върху фазовата равнина съответства на стационарен разтвор (положението на равновесието, точката на преместване) на системата (1), затворена крива на периодичния разтвор и отключен непериодик.

6 Равновесни равновесибриум 6 позиции на системното равновесие (1) Ще намерим решаването на системата: (2) AX с 0, CX DY 0. Системата (1) има едно ниво на равновесно равновесие, ако детерминанта на системата матрица: det AD CB 0. CD Ако Det A \u003d 0, след това, в допълнение към позицията на нулевото равновесие, има и други, тъй като в този случай системата (2) има безкрайни решения. Качественото поведение на фазовите траектории (вида на равновесно положение) се определя от естествения брой на системата на системата.

7 Класификация на точките за почивка 7 Eigenvalues \u200b\u200bна системните матрици Ние ще намерим, решаване на уравнение: (3) 2 λ (AD) λ ad bc 0. Обърнете внимание, че a + d \u003d tr a (матрична пътека) и ad bc \u003d det А. Класификация на местата за почивка в случая, когато Det A 0 е показан в таблица: корени на уравнение (3) 1, 2 - реален, единичен знак (1 2\u003e 0) 1, 2 - реален, различен знак (1 2) \\ t< 0) 1, 2 - комплексные, Re 1 = Re 2 0 1, 2 - комплексные, Re 1 = Re 2 = 0 Тип точки покоя Узел Седло Фокус Центр

8 Стабилността на точките за почивка 8 Eigenvalues \u200b\u200bна системата Matrix (1) определят естеството на стабилността на равновесните позиции: условието за реалната част от корените на уравнение (3) 1. Ако реалните части на Всички корени на уравнение (3) са отрицателни, след това системата на системата за почивка (1) е асимптотично стабилна. 2. Ако реалната част от поне един корен на уравнение (3) е положителен, тогава точката на системата за почивка (1) е нестабилна. Точков тип и стабилност характер устойчив възел, стабилен фокус седло, нестабилен възел, нестабилен фокус 3. Ако уравнението (3) има чисто въображаеми корени, тогава точката на система за почивка (1) е стабилна, но не асимптотично. Център

9 фазови портрети 9 Стабилен възел 1 2, 1< 0, 2 < 0 Неустойчивый узел 1 2, 1 > 0, 2 >

10 фазови портрети 10 Стабилен фокус 1.2 \u003d I,< 0, 0 Неустойчивый фокус 1,2 = i, > 0, 0 посоката на фазовата крива показва посоката на движение на фазовата точка чрез кривата при увеличаване на Т.

11 фазови портрети 11 седловина 1 2, 1< 0, 2 > 0 център 1,2 \u003d I, 0 посоката на фазовата крива показва посоката на движение на фазовата точка от кривата при увеличаване на Т.

12 фазови портрети 12 Dicritic възел се извършва за системи от тип: DX AX, DT DY AY, DT, когато е 0. Освен това, 1 \u003d 2 \u003d a. Нестабилен дибритен възел, ако a< 0, то узел асимптотически устойчив, если a > 0, след това нестабилен. Посоката на фазовата крива показва посоката на движение на фазовата точка по кривата при увеличаване на Т.

13 фазови портрети 13 дегенерат възел, ако 1 \u003d 2 0 и в системата (1) b 2 + С2 0. Ако 1< 0, то устойчивый Если 1 > 0, след това нестабилната посока на фазовата крива показва посоката на движение на фазовата точка по кривата при увеличаване на Т.

14 безкраен набор от точки на почивка 14 Ако Det A \u003d 0, тогава системата (1) има безкраен набор от равновесни позиции. В този случай са възможни три случая: корените на уравнението (3) 1 1 \u003d 0, \u003d 2 \u003d 2 \u003d 0 дефиниране на система за точките за почивка (2) е еквивалентна на едно уравнение на вида X + Y \u003d 0 система ( 2) е еквивалентно на числова равенство 0 \u003d 0 система (2) е еквивалентна на уравнение X + y \u003d 0 геометрично местоположение на точките за почивка направо на фаза равнина: x + y \u003d 0 цялата фаза равнина е x + y \u003d 0 Във втория случай всяка точка за почивка е устойчива на Ляпунов. В първия случай, само ако 2< 0.

15 фазови портрета 15 директни устойчиви печа 1 \u003d 0, 2< 0 Прямая неустойчивых точек покоя 1 = 0, 2 > 0 Посоката на фазовата крива показва посоката на движение на фазовата точка по кривата при увеличаване на Т.

16 Фазови портрети 16 Директни нестабилни точки за почивка 1 \u003d 2 \u003d 0 Фаза прави линии ще бъдат успоредни на правилните точки на почивка (X + Y \u003d 0), ако първият интеграл на DY CX DY DX AX чрез уравнение има форма X + Y \u003d C, където С е произволна константа. Посоката на фазовата крива показва посоката на движение на фазовата точка по кривата при увеличаване на Т.

17 Правила за определяне на точката на почивка 17 Можете да определите вида на точката за почивка и естеството на неговата стабилност, а не намирането на собствените стойности на системата Matrix (1) и да знаете само следи TR A и детерминанта А. Детерминанта на матрицата< 0 tra 0 det A 2 tra det A 2 tra det A След матрицы tr A < 0 tr A > 0 TR A.< 0 tr A > 0 TR A.< 0 tr A = 0 tr A > 0 Вид на Sedo Sedo устойчив възел (У) нестабилен възел (добре) дикротичен или дегенериран дикротичен или дегенериран добре резистентен фокус (UV) нестабилен фокус (NF)

18 Централна част на бифуркацията 18 Det Det Tra A 2 2 UV UV NF добре TR A C E D L O

19 19 алгоритъм за изграждане на фазов портрет на LDS (1) 1. Определете равновесните позиции, решаването на системата на уравнения: AX с 0, CX DY за намиране на еigenValues \u200b\u200bна системата MATRIX, решаване на характерното уравнение: 2 λ ( AD) λ ad bc Определете вида на точката за почивка и направете заключение за стабилността. 4. Намерете уравненията на главната изоклин хоризонтална и вертикална и ги изградете на фазовата равнина. 5. Ако равновесното положение е уплътнение или възел, намерете тези фазови траектории, които лежат при директно преминаване през произхода на координатите. 6. Начертайте траекториите за фаза. 7. Определете посоката на движение по фазови траектории, показващи стрелките му на фазовия портрет.

20 главни изоклинс 20 вертикален ISOCline (v) набор от фазови равнинни точки, в които допирателната, проведена към фазовата траектория, успоредна на вертикалната ос. Тъй като в тези точки на фазовите траектории X (t) \u003d 0, след това за LDS (1), E уравнението има формата: AX + by \u003d 0. Хоризонтален ISOCline (GI) набор от фазови равнинни точки, в които допирателната на Фазовият път е успореден на хоризонталната ос. Тъй като в тези точки на фазовите траектории Y (t) \u003d 0, след това за LDS (1), уравнението е: cx + dy \u003d 0. Обърнете внимание, че точката на почивка на фазовата равнина е пресечната точка на главния изоклин. Вертикалният изоклин върху фаза равнина ще бъде маркиран вертикални удари и хоризонтален хоризонтален.

21 Фазови траектории 21 Ако равновесното положение е уплътнение или възел, тогава има фазови пътища, които лежат върху правите линии, преминаващи през произхода на координатите. Уравненията на такова директно могат да бъдат подписани като * y \u003d k x. Заместване на Y \u003d KX до уравнение: DY CX DY, DX AX, за да се определи k получаваме: (4) c kd () 0. bk 2 k bk adkc Ние ще дадем описание на фазовите траектории в зависимост от броя и множествеността на корените на уравнението (4). * Уравненията на преките траектории на фаза могат също да бъдат подписани като X \u003d K y. AK B CK D Тогава за намиране на коефициенти трябва да решават уравнението k.

22 Фаза траектории 22 Корени на уравнение (4) K 1 K 2 точка тип седлови възел Описание на фазовите траектории Straight Y \u003d K 1 x и y \u003d k 2 x се наричат \u200b\u200bспасици. Останалите фазови траектории са хиперболи, за които е установено, че разходите са асимптоти y \u003d k 1 x и y \u003d k2 x. Останалите траектории от фаза формират параброла, които се отнасят в началото на координатите на една от установените права. Фазовите траектории се отнасят до това право, което е насочено по свой вектор, съответстващ на по-малка в абсолютна стойност (уравнителен корен (3))

23 Фаза траектории 23 Корени уравнение (4) k 1 k 2! K 1 Вид на точката на почивка Дегенерация Седло възел Описание на фазовите траектории Straight Y \u003d K 1 x. Останалите траектории на фаза са парабола клона, които се отнасят в началото на координатите на този прав прав * y \u003d k 1 x и x \u003d 0 са сепатрици. Останалите фазови траектории са хиперболи, за които са намерени прави линии, а асимптотите са направо * y \u003d k 1 x и x \u003d 0. Останалите фазови траектории формират параброла, които се отнасят в началото на координатите на един от тези, които са открити. * Ако уравненията се търсят директно във формата x \u003d k y, тогава ще бъде прав x \u003d k 1 y и y \u003d 0.

24 Фаза траектории 24 Корения на уравнение (4) КР Тип на точката на почивка Diciritic възел Описание на фазовите траектории Всички фазови траектории лежат на прав y \u003d k x, kr. Ако равновесното положение е центърът, фазовите траектории са елипси. Ако равновесното положение е фокус, тогава фазовите траектории са спирали. В случая, когато LDS има директни точки за почивка, можете да намерите уравнения на всички фазови траектории, решаване на уравнението: DY CX DY DX AX чрез първия си интеграл X + y \u003d C и определя фазовото пряко семейство.

25 посока на движение 25 Ако равновесното положение е възел или фокус, посоката на движение във фазоворейони се определя уникално неговата стабилност (до началото на координатите) или нестабилност (от произхода). Вярно е, че в случай на фокус, вие също трябва да зададете посоката на усукване (въртене) спирала по часовниковата стрелка или обратно на часовниковата стрелка. Това може да се направи, например, така. Определете знака на производно Y (t) в точките на ос от х. DY, когато cx 0, ако x 0, след това на покачването на движението през фазовия път с пресечната точка на "оста на положителната лъч x" се увеличава. Така че, "Twisting (чучур) траекториите се срещат обратно на часовниковата стрелка. Когато dt dy dt y0 y0 cx 0, ако x 0, след това "twist (въртене)" траектории се появяват по посока на часовниковата стрелка.

26 посока на движение 26 Ако равновесието е център, посоката на движение чрез фазови траектории (по посока на часовниковата стрелка или срещу) може да бъде определена по същия начин, както посоката на "усукване (въртене)" на траекторията е инсталирана в случай на фокус. В случай на "седло", движението на една от неговите сепатрикс възниква в посоката на започване на координатите, от друга страна от началото на координатите. Във всички други фазови траектории движението се случва в съответствие с движението на сепатриците. Ето защо, ако позицията на равновесното седло е достатъчно да се установи посоката на движение на някаква траектория. И тогава можете недвусмислено да установите посоката на движение във всички останали траектории.

27 Посока на движение (седло) 27 За да поставите посоката на движение по фазовите траектории в случай на седло, можете да използвате в един от следните методи: 1 методът за определяне на коя от двете сепарат съответства на отрицателна собствена стойност. Движението върху то се случва до точката на почивка. 2 метода, за да се определи как абсцисата на движеща се точка варира в зависимост от промените в сепатрикса. Например, за y \u003d k 1 x имаме: dx (ABK1) t ax bk1x (a bk1) x, x (t) x (0) E. Dt yk x 1 ако х (t) при t +, след това движението по отделяте y \u003d k 1 x се появява до точката на почивка. Ако x (t) с t +, тогава движението идва от точката на почивка.

28 Посока на движение (седло) 28 3 Метод Ако оста на х не е сепаратор, за да определите как началникът на движещата точка по фазовия път се променя, когато оста се премине. Когато DY DT Y0 CX 0, ако x 0, тогава редът на точката се увеличава и това означава, че движението чрез фазови траектории, пресичащи положителната част на ос от х, се случва отдолу нагоре. Ако ординатата намалее, движението ще се появи отгоре надолу. Ако определите посоката на движение по фазовата траектория, пресичаща y оста, по-добре е да се анализира по-добре промяната в абсцисата на движещата точка.

29 Посока на движение 29 4 Метод * Конструкция в произволна точка (x 0, Y 0) фаза равнина (различна от равновесна позиция) скорост вектор: dx dy v, (ax0 by0, cx0 dy0). DT DT (x, Y) 0 0 е насочен и показва посоката на движение по фазовия път, преминаващ през точката (x 0, y 0): (x 0, y 0) v * Този метод може да се използва при определяне посоката на движение чрез фазови траектории за всякакъв вид топка за почивка.

30 Посока на движение 30 5 Метод * Определете зоните на "подравняване" на производни: DX DT DY AX от, CX DY. DT границите на тези зони ще бъдат основните изоцелни. Деривативният знак ще покаже как ордината и абсцисата на движещата се точка чрез фазовите траектория се променят в различни области. Y Y x (t)<0, y (t)>0 x (t)<0, y (t)<0 x x x (t)>0, Y (t)\u003e 0 x (t)\u003e 0, y (t)<0 * Этот способ может быть использован при определении направления движения по фазовым траекториям для любого типа точки покоя.

31 Пример DX DT DT 2x 2 Y, X 2Y 1. Системата има еднозначно равновесно положение, тъй като det a \u003d конструиране на съответното характеристично уравнение 2 6 \u003d 0, ние ще намерим своите корени 1.2 6. следователно, позицията на равновесие на седлото. 3. Отслабки на седалката, които търсим Y \u003d KX. 4. Vertical IsoCline: X + Y \u003d 0. HORIZONTAL ISOCLINE: X 2Y \u003d 0. Корени реални и различни знаци. 1 2K 2 6 K K K K K K2 2K, 2, 1 2, 22, 2 0, 22.

32 Пример 1 (седло) 32 Начертайте на фазовата равнина сепатрика y \u003d k 1 x и y \u003d k 2 x и основните изоцелини. y x Останалата част от самолета Напълнете траекторите - Hyperbolas, за които са асимптоти.

33 Пример 1 (седло) 33 Y x Ще намерим посоката на движение по траекторите. За да направите това, можете да определите знака на производно Y (t) в точките на ос x. С Y \u003d 0, ние имаме: DY DT Y0 x 0, ако x 0. Така, наредбата на движещата се точка чрез фазова траектория с пресечната точка на "положителния лъч на X x" намалява. Това означава, че движението по фазови траектории, пресичащи положителната част на осната ос, се появява отгоре надолу.

34 Пример 1 (седло) 34 Сега е лесно да се инсталира посоката на движение върху други траектории. Y X.

35 Пример DX 4x2 Y, DT DY X3Y DT 1. Системата има единично нулево равновесно положение, тъй като det a \u003d конструиране на съответното характерно уравнение \u003d 0, ние откриваме своите корени 1 \u003d 2, 2 \u003d 5. Следователно, равновесното положение е нестабилен възел. 3. Директно: Y \u003d KX. 1 3K 1 K K K K K 4 2K, вертикална ISOCline: 2x + y \u003d 0. Хоризонтална ISOCline: X + 3Y \u003d 0.

36 Пример 2 (нестабилен възел) 36 YX От 1 \u003d 2 е по-малко от абсолютна стойност, след това намирането на подходящо със собствен вектор \u003d (A 1, A 2) t: 4 2 A1 A1 2 A1 A2 0, 1 3 AA 2 2 \u003d (1,1) t, ние установяваме, че останалите фазови траектории, образуващи Parabolas, се отнасят в началото на координатите на права линия y \u003d x. Нестабилността на позицията на равновесието уникално определя посоката на движение от точката на почивка.

37 Пример 2 (нестабилен възел) 37 Тъй като 1 \u003d 2 е по-малък в абсолютна стойност, след това намирането на подходящия вектор \u003d (A 1, A 2) t: 4 2 A1 A1 2 A1 A2 0, 1 3 AA 2 2 \u003d ( 1,1) t, ние установяваме, че останалите фазови траектории, образуващи парабола, се отнасят в началото на координатите на права линия y \u003d x. Нестабилността на позицията на равновесието уникално определя посоката на движение от точката на почивка. Y X.

38 Пример DX X 4 Y, DT DY 4x2Y DT 1. Системата има единично нулево равновесно положение, тъй като det a \u003d конструиране на съответното характерно уравнение \u003d 0, ние го намираме дискриминационен D. от D< 0, то корни уравнения комплексные, причем Re 1,2 = 3/2. Следовательно, положение равновесия устойчивый фокус. 3. Вертикальная изоклина: x 4y = 0. Горизонтальная изоклина: 2x y 0. Фазовые траектории являются спиралями, движение по которым происходит к началу координат. Направления «закручивания траекторий» можно определить следующим образом.

39 Пример 3 (устойчив фокус) 39 Определете знака на y (t) към точките на ос x. С Y \u003d 0, ние имаме: dy 4x 0, ако x 0. dt y0 y по този начин, ордината на движещата се точка през фазовата траектория с пресечната точка на "оста на положителната лъч x" се увеличава. Така че "обрат" на траекторите се среща обратно на часовниковата стрелка. Х.

40 Пример DX X4 Y, DT DY X Y DT 1. Системата има едно ниво на равновесно равновесие, тъй като det a \u003d конструиране на съответното характеристично уравнение 2 3 \u003d 0, ние ще намерим своите корени 1.2 \u003d i3. Следователно позицията на равновесителния център. 3. Вертикална ISOCline: x 4Y \u003d 0. Хоризонтална ISOCline: X Y 0. Фаза траектории на елипската система. Посоката на движението върху тях може да бъде инсталирана, например, така.

41 Пример 4 (Център) 41 Определете знака на производно Y (t) в точките на ос от х. При y \u003d 0, ние имаме: dy dt y0 x 0, ако x 0. y по този начин, ордината на движещата точка по фазовата траектория с пресечната точка на "положителната ос x ос" се увеличава. Така че, движението на елипси се среща обратно на часовниковата стрелка. Х.

42 Пример 5 (дегенерален възел) 42 DX XY, DT DY X3Y DT 1. Системата има единично нулево равновесно положение, тъй като det a \u003d конструиране на съответното характерно уравнение \u003d 0, ние ще намерим своите корени 1 \u003d 2 \u003d 2. следователно , равновесието положение е стабилен дегенеративен възел. 3. Директно: Y \u003d KX. 13k K 2 K K K1,2 4. Vertical IsoCline: X + Y \u003d 0. Хоризонтална ISOCline: X 3Y \u003d 0.

43 Пример 5 (дегенерален възел) 43 y x чертеж на изоклини върху фазовата равнина и директни фазови траектории. Останалата част от равнината е пълна с траектории, които лежат върху клоните на парабола, свързани с прав y \u003d x.

44 Пример 5 (дегенеративно сглобяване) 44 Устойчивостта на равновесното положение недвусмислено определя посоката на движение до началото на координатите. Y X.

45 Пример DX 4X 2 Y, DT DY 2x Y DT Тъй като детерминанта на матрицата на системата Det A \u003d 0, тогава системата има безкрайно много равновесни позиции. Всички те лежат по права линия Y 2 x. Чрез изграждане на съответното характерно уравнение 2 5 \u003d 0, ние откриваме своите корени 1 \u003d 0, 2 \u003d 5. Следователно всички равновесни позиции са резистентни към Ляпунов. Ние изграждаме уравненията на останалите фазови траектории: dy 2x y dy 1 1, \u003d, y x C. dx 4x 2y dx по този начин фазовите траектории лежат върху директния y x c, c const. 2.

46 Пример Посоката на движение е уникално определена от стабилността на точките на прав Y 2 х. Y X.

47 Пример DX 2 x Y, DT DY 4x2Y DT Тъй като определянето на матрицата на системата Det A \u003d 0, тогава системата има безкрайно много равновесни позиции. Всички те лежат по права линия Y 2 x. Тъй като следата на матрицата на TR система, корените на характерното уравнение 1 \u003d 2 \u003d 0. Следователно всички равновесни позиции са нестабилни. Ние изграждаме уравненията на останалите фазови траектории: DY 4x 2 Y Dy, 2, Y 2 X C. DX 2x Y DX Така, фазовите траектории лежат на директни y 2 x c, c const и успоредно на правилни точки. Ние поставяме посоката на движение чрез траектории, както следва.

48 Пример за определяне на знака на производно Y (t) в точките на ос X. Когато y \u003d 0, ние имаме: dy 0, ако x 0, 4 x dt y0 0, ако x 0. по този начин, покарата на движещата точка по фазовата траектория с кръстовището на "положителния лъч x" се увеличава и "отрицателното" намалява. Следователно движението на фазовите траектории вдясно на правата точка на останалите ще бъде нагоре и наляво от горе до долу. Y X.

49 Упражнения 49 Упражнение 1. За определени системи определят вида и естеството на стабилността на равновесното положение. Изграждане на фазови портрети. 1. DX 3, 3. DX 2 5, 5. DX x Y X Y 2 x Y, dt dt dt dy dy 6x 5 y; 2x 2 Y; 4x 2 Y; DT DT 2. DX, 4. DX 3, 6. DX x x Y 2x 2 Y, dt dt dt dy dy dy 2 х y; x y; x y. DT DT упражнение 2. При какви стойности на параметъра A R Система DX DY 2 AX Y, AY 2AX DT DT има равновесна позиция и е място? възел? Фокус? Какво има фазов портрет?

50 INHOMOGENEUL LDS 50 Помислете за линейна нехомогенна система (NLLA) с постоянни коефициенти: DX AX от, (5) DT DY CX DY, DT, когато 2 2. Решаване на системата на уравнения: AX чрез, CX DY, ще отговори на въпроса дали системата има (5) равновесни позиции. Ако Det a 0, тогава системата има единствената позиция на равновесието р (x 0, y 0). Ако det a 0, след това системата, или има безкрайно много равновесни позиции на точката, определена от AX + чрез + \u003d 0 уравнение (или CX + DY + \u003d 0), или няма равновесна позиция.

51 Преобразуване на NLLS 51 Ако системата (5) има равновесна позиция, чрез замяна на променливите: XX0, Y Y0, където в случая, когато системата (5) има безкрайно много равновесни позиции, x 0, y 0 координати От всяка точка, принадлежаща към линията на почивка, получаваме хомогенна система: DAB, (6) DT DC D. DT влизане на фаза на X0Y с нова координатна система с център в точка P, ще изградим фазов портрет на системата в нея (6). В резултат на равнината на X0Y получаваме фазовия портрет на системата (5).

52 Пример DX 2X 2Y12, DT DY X 2Y 3 DT От 2x 2Y 12 0, X 3, X 2Y 3 0Y3, след това DS има едно равновесно положение Р (3; 3). Чрез подмяна на променливите X \u003d + 3, Y \u003d + 3, получаваме системата: D2 2, DT D2, DT нулева позиция на която е нестабилна и е седло (виж пример 1).

53 Пример за изграждане на фазов портрет на равнината P, съвместим със своя X0y фаза равнина, знаейки кои координати имат точка P. Y P X

54 фазови портрети на NLLS 54 При изграждане на фазови портрети в случая, когато системата (5) няма равновесни позиции, можете да използвате следните препоръки: 1. Намерете първия интеграл на уравнението DX DY, AX от CX DY и по този начин Определете семейството на всички фазови траектории. 2. Намерете основния iSoblin: ax с 0 (w), cx dy 0 (gi). 3. Намерете прави линии, съдържащи фазови траектории под формата на Y \u003d KX +. В същото време, за да намерите коефициентите К и, като се има предвид, че c: a d: b, за изграждане на уравнение: dy (ax by) k. DX Y KX AX от (A KB) x B Y KX

55 фазови портрети на NLDs 55 Тъй като изразът (A KB) x B не зависи от X, ако A + KB \u003d 0, тогава получаваме следните условия за намиране на K и: A KB 0, K. b Уравнението може да се търси и във формата x \u003d ky +. Условия за определяне K и са построени по подобен начин. Ако има само една права линия, тя е асимптота за другите траектории. 2. За да се определи посоката на движение чрез фазови траектории, определят областите на "подравняването" на правилните части на системата (5). 3. Да се \u200b\u200bопредели естеството на фазовите траектории на изпъкналост (вдлъбнатини), да се изгради дериватив y (x) и да се установят областите на нейното "подравняване". Различни техники за изграждане на фазови портрети ще разгледат примерите.

56 Пример DX DT DY DT 0, 1. y Като решават уравнението: dx dy 0 0, 1 получаваме всички фазови траектории лежат върху директен xc, c r. от y (t) \u003d 1\u003e 0, след това на ординатата на движещата точка във всяка фазова траектория се увеличава. Следователно движението по фазови траектории се появява отдолу нагоре. Х.

57 Пример DX DT DY DT 2, 2. Y решава уравнение: DY DX 2 1, 2 Получаваме, че всички фазови траектории лежат на Direct Y X + C, C R. От y (t)< 0, то ордината движущейся точки по любой фазовой траектории убывает. Следовательно, движение по фазовым траекториям происходит сверху вниз. x

58 Пример DX 1, DT DY X 1. DT Разрешаване на уравнението: DY X 1, DX 2 (x 1) YC, CR, 2 Получаваме фазовите пътеки на системата са парабола: осите, които лежат върху хоризонталата Isoblin x 1 0 и клоните са насочени нагоре. Тъй като X (t) 1\u003e 0, абсцисата на движеща се точка при всяка фазова траектория се увеличава. Следователно, движението по левия клон на параболата се появява отгоре надолу до кръстовището с прав хоризонтален изоклин и след това под нагоре.

59 Пример y Определете посоката на движение във фазовите траектории, би било възможно да се установи областта на "подравняването" на правилните части на системата. Y 1 x x "(t)\u003e 0, y" (t)< 0 x"(t) > 0, y "(t)\u003e 0 x 1

60 Пример DX Y, DT DY 1. DT вертикален ISOCline Y \u003d 0; HORIZONTAL ISOCLINE Y 1 \u003d 0. Ще разберем дали има директни, които съдържат фазови траектории. Ще има такива директни уравнения във формата y \u003d kx + b. Тъй като k dy y, dx yy kx b ykxb ykxb ykxb, тогава последният израз не зависи от x, ако k \u003d 0. След това за намиране на b, получаваме b 1. b по този начин, на прав Y \u003d 1, фазови траектории са на линията. Това директно е асимптота на фазовия план.

61 Пример ще бъде инструкцията, какъв характер на изпъкналост (вдлъбнатина) има фазови траектории по отношение на ос. За да направите това, ние откриваме производно Y (x): Y (x)\u003e 0 y 1 1 "() 1 1, dx y dx yyyy 2 dydydyxy и ние определяме областите на" алпула "на получения израз. В тези области, където y (x)\u003e< 0, выпуклость «вверх». y (x) < 0 y (x) > 0 x.

Пример чрез откриване на посоката на движение чрез фазови траектории, определящи областите на "редуващи се" на десните части на DX Y, DT DY 1. DT, границите на тези зони ще бъдат вертикални и хоризонтални изоблизени. Получената информация е достатъчна за изграждане на фаза портрет. Y x (t)\u003e 0, y (t)\u003e 0 y (x)\u003e 0 x (t)\u003e 0, y (t)< 0, y (x) < 0 x (t) > 0, y (t)< 0 y (x) > 0 x.

63 Пример X (t)\u003e 0, Y (t)\u003e 0 y (x)\u003e 0, y x (t)\u003e 0, y (t)< 0, y (x) < 0 x x x (t) > 0, y (t)< 0 y (x) > 0

64 Пример DX 2, DT DY 2 x Y. DT HORIZONTAL ISOCLINE: 2x Y \u003d 0. Ще разберем дали има директни, които съдържат фазови траектории. Ще има такива директни уравнения във формата y \u003d kx + b. От dy 2 xy (2 k) xbk, 2 2 dx y kx от kx b, след това последният израз не зависи от x, ако k \u003d 2. след това за намиране b, получаваме b 2 b 4. 2 по този начин, на Право y \u003d 2x 4 са фазови траектории. Това директно е асимптота на фазовия план.

65 Пример за създаване на характер на изпъкналост (вдлъбнатина) има фазови траектории по отношение на ос. За да направите това, ние ще намерим производна y (x): 2 dydxyyxxyyyx dx "() dx Ние определяме областите на" алтернатичност "на произтичащия израз. В тези зони, където Y (x)\u003e 0, фазовите траектории имат изпъкналост "надолу", и където y (x)< 0, выпуклость «вверх». y (x) > 0 Y x Y (x)< 0

66 Пример чрез намиране на посоката на движение по фазови траектории, идентифициране на областите на "редуването" на десните части на системата: DX 2, DT DY 2 x Y. DT границата на тези зони ще бъде хоризонтална ISOCline. x (t)\u003e 0, y (t)<0 y x (t)>0, Y (t)\u003e 0 x Получена информация е достатъчно, за да се изгради фазов портрет.

67 Пример Y (x)\u003e 0 y x Y Y (x)< 0 x x (t)>0, y (t)<0 y x x (t)>0, y (t)\u003e 0

68 Пример DX X Y, DT DY 2 (x Y) 2. DT вертикален изоклин: x y \u003d 0; HORIZONTAL ISOCLINE: x Y + 1 \u003d 0. Ще разберем дали има директни, които съдържат фазови траектории. Ще има такива директни уравнения във формата y \u003d kx + b. От dy 2 (xy) k 2 2, dx xyxy (1 k) xb ykxb ykxb ykxb, след това последният израз не зависи от x, ако k \u003d 1. след това за намиране b получаваме b 2. b така че на прав y \u003d x +2 фазови траектории на лъжа. Това директно е асимптота на фазовия план.

69 Пример Определете как абсцисата и ордината на движещата точка чрез промяната на фазовия траектория. За да направите това, ние изграждаме областта на "подравняването" на правилните части на системата. Y x (t)<0, y (t)<0 x (t)<0, y (t)>0 x x (t)\u003e 0, y (t)\u003e 0 Тази информация ще бъде необходима за определяне на посоката на движение по траекторите.

70 Пример за установяване на кой характер на издатината (вдлъбнатината) има фазови пътеки по отношение на ос от х. За да направите това, намерете производно Y (x): 2 (xy) () 2 2 ("(" ("(" ("(" в тези зони, където y (x)\u003e 0 фазовите траектории имат "надолу" изпъкналост и къде (x)< 0, выпуклость «вверх». y (x)> 0 Y y (x)< 0 x Полученной информации достаточно для построения фазового портрета. y (x)> 0

71 ПРИМЕР 14 (FP) 71 Y Y X Y X X

72 Упражнения 72 Портрети по фазово изграждане на следните системи: DX 3X 3, DT DY 2X Y1; Dt dx x, dt dy 2x 4; dt dx x Y 2, dt dy 2x 2y1; Dt dx 1, dt dy 2 x y; Dt dx dt dy dt dx dt dy dt 2, 4; Y 2, 2.

73 Литература 73 Pontryagin L.S. Обикновени диференциални уравнения. М., Филикс А.f. Събиране на задачи по диференциални уравнения. М., Пантелеев A.V., Якимова А.с., Босов A.V. Обикновени диференциални уравнения в примери и задачи. М.: По-високо. Shk., 2001.

03.03.07 Класове 4. Съществуването и устойчивостта на равновесните позиции на линейните динамични (PLS) системи в равнината. Изграждане на параметричен портрет и съответните фазови портрети на LDS (X, YR, AR):

Семинар 4 система от две обикновени диференциални уравнения (ODU). Фаза равнина. Фазов портрет. Кинетични криви. Специални точки. Стабилност на стационарното състояние. Линеаризация на системата Б.

Математически методи в екологията: събиране на задачи и упражнения / SOST. Тя. Семенова, E.V. Kudryavtseva. Petrozavodsk: Издателство Pettgu, 005..04.09 Урок 7 Модел "хищник-жертва" Тарелки Volterra 86 (сграда

Руски технологичен университет на Миреа Допълнителни глави на по-висша математика Глава 5. Точки за почивка е посветена на моделиране на динамични системи, използващи елементи на по-висока математика

Система от линейни диференциални уравнения с постоянни коефициенти. Колцов с.н. www.linis.ru метод за промяна на произволни константи. Помислете за линейно нехомогенно диференциално уравнение:

Пс. Лекция 3 Стабилност на решаването на системи DB Ако някой феномен е описан от системата DX DX DT I \u003d F (t, x, x ... x), i \u003d. Nc начален в условия xi (t 0) \u003d x i0, i \u003d .. n, които обикновено са

4.04.7 Урок 7. Стабилност на равновесните позиции на автономни системи (Lyapunov Linerization метод, тереем на Lyapunov) x "(F (x, y), f, gc (). Y" (g (x, y), d Търсене за равновесни позиции p (x *,: f

Семинари 5 и 6 система от две автономни обикновени линейни диференциални уравнения. Фаза равнина. Isoklin. Фазови портрети. Кинетични криви. Запознаване с програмата Trax. Фаза

Лекция 6. Класификация на линейната система на две уравнения с постоянни ценни коефициенти. Помислете за система от две линейни диференциални уравнения с постоянна валидна

Семинар 4 система от две автономни обикновени линейни диференциални уравнения (ODU). Решение на системата от две линейни автономни одус. Видове единични точки. Решаване на система от линейни диференциални уравнения

Министерство на образованието и науката за Руската федерация Федерална държавна бюджетна образователна институция по висше образование "UFA Държавен петролен технически университет"

Лекция 1 Елементи на висококачествения анализ на динамични системи с непрекъснато време на директно ще разгледат автономното диференциално уравнение du \u003d f (u), (1) dt, което може да се използва

Семинар 7 Разследване на стабилността на стационарни състояния на нелинейни системи за втори ред. Класическа система V. Volterra. Аналитично проучване (определение на стационарни държави и тяхната устойчивост)

Специални точки във втора и трета последователна последователност. Критерии за стабилност на стационарни състояния на линейни и нелинейни системи. Дефиниране на плана за отговор на център за специален тип. Определяне на специална точка

Практически класове по диференциални уравнения Методично развитие Компилатор: Prom Salamatian Въз основа на: AF Philippov Събиране на задачи по диференциални уравнения Москва-Ижевск Нци "Редовен

1 Лекция 2 Системи за нелинейни диференциални уравнения. Пространствено пространство или фазово пространство. Специални точки и тяхната класификация. Условия за устойчивост. Възел, фокус, седло, център, лимит.

7 позиции на равновесието на линейните автономни системи на втори ред от автономна система за функции (t) (t) се нарича система за диференциални уравнения d d () q () (7) dt dt, където правилните части не зависят

Министерство на образованието и науката за Руската федерация Ярославс държавен университет. П. Г. Демидов Катедра по алгебра и математическа логика S. I. Yablokova Кривите на втората част на семинара

Глава IV. Първите интеграли на ODU системи 1. Първите интегрални системи на автономни системи на обикновени диференциални уравнения в този параграф ще разгледат автономните системи на формуляра F X \u003d F 1 x, F N x C1

Лекция 9 линеаризация на неуместни уравнения линейни диференциални уравнения на по-високи поръчки хомогенни уравнения на свойствата на техните решения Имотът на разтворите на нехомогенни уравнения Определение 9 линейни

Изграждане на интегрирани криви и фазови портрети на автономно уравнение, имащо графика на гладка функция F (U), е възможно да се конструира схематично интегрираните криви на уравнението du dt \u003d f (u). (1) Сградата се основава на

7.0.07 Урок. Динамични системи с непрекъснато време. Задача 4. Изграждане на диаграма на бифуркация и типични фазови портрети за динамична система: D DT разтвор на уравнението f (,, 55, \\ t

Теория за стабилност на Ляпунов. В много задачи, механика и технология е важно да не знаят специфични стойности на решението с определена стойност на аргумента, а естеството на решението на решението при смяна

Пс. 1 от 17 10.26.2012 11:39 Сертификационни тестове в областта на професионалното образование Специалност: 010300.62 Математика. Дисциплина на компютърните науки: Диференциални уравнения

Семинар 5 модели, описани от системи от две автономни диференциални уравнения. Изследване на нелинейни системи за втори ред. Модел на тави. Модел на Volterra. В общата форма на модела, описан от системите

Различно уравнение на първия ред. Фазово пространство. Фазови променливи. Стационарно състояние. Стабилност на стационарното състояние на Ляпунов. Линеаризация на системата в околността

Математически анализ Раздел: Диференциални уравнения Относно: Концепцията за стабилността на решението на Дв и решаването на системата на Лек Лек Пахомова, напр. 2012 5. Концепцията за устойчивост на решението 1. Предварителни коментари

Задачи с параметъра (решения за графично приемане) Въведение Използването на графики в проучването на задачите с параметрите е необичайно ефективно. В зависимост от метода на тяхното използване се разграничават два основни подхода.

Руски технологичен университет в Мирея допълнителни глави на по-висша математика Глава 3. Системи за диференциални уравнения работата е посветена на моделиране на динамични системи, използващи елементи

Квадратни уравнения таблица на съдържанието квадратни уравнения ... 4. и изучаването на квадратни уравнения ... 4 .. квадратно уравнение с цифрови коефициенти ... 4.

7..5, .. 5 урок. Дискретни динамични системи на пряка задача за изучаване на динамиката на плътността на населението (t), описана от уравнението: t, const. Съществуват между решенията на уравнението

Изследователска функция и изграждане на графика. Изследователски позиции: 1) Регионът на определяне, непрекъснатост, паритет / странност, честота на функция. 2) асимптоти на графиката на функцията. 3) нули на функции, интервали

Лекция 16 Задачата на стабилността на равновесното положение в консервативната система 1. Теоремата на Лагранж върху стабилността на равновесното положение на консервативната система може да бъде пчела на свобода. Q 1, Q 2,

Кривите на кръга на втория ред на елипсата на хипербола на Parabola позволяват на равнината да определи правоъгълната координатна система за кариеца. Втората крива на поръчката се нарича различни точки, чиито координати отговарят

Лекция 1 диференциални уравнения на първата поръчка 1 Концепцията за диференциално уравнение и нейните решения на обикновеното диференциално уравнение на 1-та поръчка се нарича експресията на формата f (x, y, y) 0, където

Тема 41 "Задачи с параметър" Основни формулировки на задачи с параметър: 1) Намерете всички стойности на параметрите, всеки от тях сме доволни от определено състояние.) Разрешаване на уравнение или неравенство с

Лекция 3. Фазови нишки в равнината 1. Стационарни точки, линеаризация и стабилност. 2. Ограничете циклите. 3. Бифуркиране на фазови потоци в равнината. 1. Стационарни точки, линеаризация и стабилност.

Лекция 3 устойчивост на равновесието и движение на системата при разглеждане на стабилните движения на възмутеното уравнение на възмутеното движение под формата на d, където векторната колона е квадратна матрица на постоянни коефициенти

5. Устойчивост на атракторите 1 5. Стабилността на атрактора в миналото се научихме да намерим фиксирани точки на динамични системи. Разбрахме и, че има няколко различни вида фиксирани

4 февруари, 9 g Практическа професия Най-простите задачи за контролиране на проблема с динамиката на популациите позволяват свободното развитие на населението, описано от Malthus модел N N, където N е броят или обемът на популацията от биомаса

1) Осигурете уравнението на втори ред на кривата на втория ред x 4X Y 0 към каноничната форма и намерете точките за пресичане на него с права х и 0. Извършете графична илюстрация на получения разтвор. x 4x Y 0 x x 1 y 0 x 1 y 4

Глава 4 Системи за обикновени диференциални уравнения Общи понятия и дефиниции Основни определения за описание на някои процеси и явления, често се изисква няколко функции да намерят тези функции.

Семинар 9 линеен анализ на стабилността на хомогенно стационарно състояние на системата от две уравнения реакционна дифузия нестабилността на активатора на течове и инхибитор на условията за появата на дисипативни структури

Лекция 17 Критерии raus gurwitz. Малки трептения 1. Стабилността на линейната система разглеждат система от две уравнения. Уравненията на възмущане са: DX 1 DT \u003d X + AX \u200b\u200b3 1, DX \u003d X 1 + AX \u200b\u200b3,

Министерство на образованието и науката на Руската фейлетие Новосибирска държавна университет по по-висша математика на физическия факултет за решаване на обикновени диференциални уравнения.

1. Какво представлява обикновените диференциални уравнения и системи. Концепцията за решение. Автономни и неавтономни уравнения. Уравнения и системи на поръчката над първото и тяхното намаляване на системите за първи ред.

Лекция 1 Проучване на движението в консервативна система с една степен на свобода 1. Основни понятия. Консервативната система с една степен на свобода ще се обадим на системата, описана от разликата

Глава. Стабилност на линейните системи 8 градуса с A + знак, от което е следното, че () π се увеличава от до π. Така че, термините φ i () и k () +, т.е. вектор (i) φ monotonically φ увеличава

Фаза равнина за нелинейно автономно уравнение. Помислете за автономно уравнение на формуляра \u003d f. () Както знаете, това уравнение е еквивалентно на следващата нормална система.

Диференциални уравнения 1. Основни концепции Различното уравнение спрямо някаква функция се нарича уравнение, което свързва тази функция със своя независим лак и с нейните производни.

Математически методи в екологията: събиране на задачи и упражнения / SOST. Тя. Семенова, E.V. Kudryavtseva. Петрозаводск: Издателство Петрева, 2005. 2 семестър урок. Модел "хищник-жертва" тарелки Volterra Topic 5.2.

Геометричното значение на производно, допирателна 1. Фигурата показва графиката на функцията y \u003d F (x) и допирателна към нея в точката с абсциса х 0. Намерете стойността на производна функция F (X) в точка x 0. стойност

Лекция 23 Изказан и вложка на графиката на функцията на точката на инфлексията Графиката на функцията y \u003d f (x) се нарича изпъкнала на интервала (a; б), ако се намира под всеки тангенциален график на този интервал

Глава 6 Основи на теорията на устойчивостта Настройване на проблема Основните понятия бяха показани преди това, че решението на проблема с нормалната система ODU \u003d F, () непрекъснато зависи от първоначалните условия, когато

11/19/15 Урок 16. Основен модел "Брусльор" преди началото на 70-те години. Повечето химици смятат, че химическите реакции не могат да отидат в асоциативен режим. Експериментални изследвания на съветските учени

Глава 8 Функции и графични променливи и взаимоотношения между тях. Две стойности и се наричат \u200b\u200bпряко пропорционални, ако тяхното съотношение е постоянно, т.е. ако \u003d, където постоянен номер, който не се променя с промяна

Системата за обучение на ученици за изпита по математика на нивото на профила. (задачи с параметър) определение на теоретичния материал. Параметърът се нарича независима променлива, чиято стойност се разглежда в задачата

Изследователска функция и изграждане на нейната графична резюма: функцията се изследва върху монотонност, екстремум, бесни-бетонизма, съществуването на асимптоти се дава пример за функция на функциите, построена

29. Асимптотична стабилност на решенията на системите на обикновените диференциални уравнения, областта на привличането и методите на нейната оценка. Теорема V.I. Zubov за границата на района на привличане. V.d.nogin 1 o. Дефиниция

Лекция 13 Тема: кривите на втория ред на кривите на втори ред на самолета: елипса, хипербола, парабола. Изходът на уравненията на кривите на втория ред въз основа на техните геометрични свойства. Изследване на формата на елипса,

Одобрен заместник-ректор за академични дела и Dovuzovskaya обучение А. А. Воронов 9 януари 2018 г. Програма за дисциплината: динамични системи в посока на подготовка: 03.03.01 "Приложна математика

Автоматизация и телемеханика, L-1, 2007

Ras b 02.70.-c, 47.ll.-j

© 2007 Y.. Попков, д-р Техн. Науки (Институт по системен анализ на Руската академия на науките, Москва)

Качествен анализ на динамичните системи с VD-ентропиен оператор

Предлага се методът за изследване на съществуването, уникалността и локализацията на единствените точки на класа на разглеждания клас DSECO. Получиха условията за стабилност "в малки" и "в големи". Дадени са примери за прилагане на получените условия.

1. Въведение

Много от проблемите на математическото моделиране на динамичните процеси могат да бъдат решени въз основа на концепцията за динамични системи с ентропия (DSEC). Dseo е динамична система, в която нелинейността е описана от параметричната задача за максимизиране на ентропията. Fairo-moiologically DSECO е модел на макросистема с "бавно" саморазразуване и "бързо" разпределение на ресурсите. Бяха разгледани някои свойства на DSEO. Тази работа продължава цикъла на изследване на качествените свойства на DSECO.

Разглежда се динамичната система с VD-ентропия:

^ \u003d £ (x, y (x)), x e

y (x) \u003d a ^ shah (HB (Y) | tu \u003d c (x), u e ^)\u003e 0.

В тези изрази:

C (x, y), c (x) - непрекъснато диференцирани векторни функции;

Ентропия

(1.2) HB (Y) \u003d UZ 1P AZ\u003e 0, s \u003d t °;

T - (g x sh) -matza с елементи ^ 0 има пълен ранг, равен на r;

Векторната функция c (x) се приема непрекъснато диференцируема, наборът ^ ^^ ^ tanaches c е положителен паралелепипед

(1.3) Q \u003d (c: 0<оТ ^ ц ^ а+} С Е+,

където a- и a + са вектори на Е +, въпросът за A-вектора с малки компоненти.

Възползвайки се от добре познатото представителство на ентропия чрез мултипликатори на Лагранж. Ние трансформираме системата (1.1) към следната форма:

- \u003d £ (x, y (d)), x e kp, y (g) e до?, G e eger +

Uz (d) \u003d az \\ _3, 3 \u003d 1,

O (x, d) \u003d tu (g) \u200b\u200b\u003d d (x),

където gk \u003d exp (-ak)\u003e 0 е експоненциалният фактор на лаграндъра.

Заедно с DSEO на общия поглед (1.1) ще обмислим следването на класификацията.

Dseo с отделен поток:

(1-5) ^ \u003d i (x) + w (g),

където в (p x t) -matza;

Dseo с мултипликативен поток:

(1.6) ^ \u003d x ® (A - x ® shu (d)), о

където w е (p x t) -matza с не-отрицателни елементи, и вектор с положителни компоненти, ® - знак за координатно умножение.

Задачата на тази работа е да проучи съществуването, уникалността и локализацията на единични DSEC точки и тяхната стабилност.

2. Единствени точки

2.1. Съществуване

Помислете за системата (1.4). Единствените точки на тази динамична система се определят от следните уравнения:

(2.1) c ^ (x, y (d)) \u003d 0, r \u003d tp;

(2.2) uz (d) \u003d a ^ g ^, 3 \u003d t ^:

(2.3) vk (d) \u003d ^ az g ^ \u003d dc (x), k \u003d 1, g.

Помислете за първата спомагателна система на уравнения:

(2.4) c (d, d) \u003d g, d e i

където много съм дефинирал от равенство (1.3) и c (d, d) - векторна функция с компоненти

(2.5) sk (d, d) \u003d - ok (d), a-< дк < а+, к =1,г.

Уравнение (2.4) има едно решение G * с всеки фиксиран вектор D, който следва от свойствата на VD-ентропия (виж).

От дефиницията на компонента на векторната функция C (d, г) има очевидна оценка:

(2.6) c (a +, d)< С(д, г) < С(а-,г), г в Е+. Рассмотрим два уравнения:

Разтворът на първото уравнение чрез G + и второто - чрез G-. Определи

(2.7) c (a +, z) \u003d z, c (a

(2.8) zmax \u003d max z +, zmin \u003d mm zk

и r-размерени вектори

(2.9) z (zmax, zmax), z (zmin, zmin).

Lemma 2.1. За всички разтвори Z * (Q) на уравнения (2.4) принадлежат към, Vector 1 Summ

zmin.< z*(q) < zmax,

където Zmin и Zmax векторите се определят чрез изрази (2.7) - (2.9).

Доказателството на теоремата е дадено в заявлението. QQ.

qk (x) (1.3) за x g rn, след това се извършва

Следствие 2.1. Нека условията на Lemma 2.1 и QK (X) да отговарят на условията (1.3) за въздухоплавателното средство ex x g RN. След това за в SECH G RM, Z * уравненията (2.3) принадлежат към вектора

zmin.< z* < zmax

Нека се върнем сега в уравнения (2.2). които определят компонентите на векторната функция Y (Z). Елементите на якобияя имат изгледа

(2.10) JB AJ ZK JJ &\u003e 0

за всички z g r +, с изключение на 0 и w. Следователно, функцията на вектор Y (Z) е строго монотонна. Според Lemma 2.1, той е ограничен до по-долу и отгоре, т.е. За всички z g rr (следователно, за всички x g rn), неговите стойности принадлежат към комплекта

(2.11) y \u003d (y:< y < y+},

където компонентите на векторите yk, y + се определят от изрази:

(2.12) YK \u003d AJ Y + \u003d AJ Znlax, J \u003d H ™.

(2.13) bj \u003d y, tsj, 3 \u003d 1,

Помислете за първото уравнение в (2.1) и го пренапишете във формуляра:

(2.14) l (x, y) \u003d 0 за всички y e y s e ^.

Това уравнение определя зависимостта на променливата x от променливата y, принадлежа

ние (1.4) намалява наличието на имплицитна функция X (Y), определена по уравнение (2.14).

Lemma 2.2. Нека следят следните условия:

а) функцията на вектор l (x, y) е непрекъсната чрез набор от променливи;

б) lim l (x, y) \u003d ±<ж для любого фиксированного у е Y;

в) det j (x, y) \u003d 0 за слънце ex x e за всички фиксатори на Ан Y y Y.

След това има една имплицитна функция x * (Y), дефинирана на Y. в тази лема J (x, y) - якобия с елементи

(2.15) ji, i (x, y) \u003d --i, i, l \u003d l, n.

Доказателството е дадено в приложението. От горните леми

Теорема 2.1. Да предположим, че lemas 2.1 и 2.2 са изпълнени. След това има една единична точка на DSEC (1.4) и съответно (1.1).

2.2. Локализация

Под проучването на локализацията на единичната точка означава възможността за установяване на интервала, в който се намира. Тази задача не е много проста, но за някой клас Dseco може да бъде инсталиран такъв интервал.

Обръщаме се към първата група уравнения в (2.1) и ги представяме като

(2.16) l (x, y) \u003d 0, y y y +,

където U- и Y + се определят от равенство (2.12), (2.13).

Теорема 2.2. Оставете векторната функция L (x, y) да бъде непрекъснато диференцираща и монотонно увеличаваща се според двете променливи, т.е.

-\u003e 0, -\u003e 0; i, l \u003d 1, n; J \u003d 1, m. Dxi dyj.

След това решението на системата (2.16) в променливата x принадлежи към интервала (2.17) на Xmin x Xmax,

а) Xmin вектори, Xmax се разглеждат

Min \u003d i x 1 xmax \u003d R x t;

Xmin :. .., xminlxmax ,. . , Xmax):

xmin - ^ Qin ^ ■, Xmax - ^ Qax ^;

6) x- и x + - компоненти, решават следните уравнения

(2.19) l (x, y -) \u003d 0, l (x, y +) \u003d 0

с OO m е всеки.

Доказателството на теоремата е дадено в заявлението.

3. Устойчивост на DSEA "в малом"

3.1. Dseo с отделен поток се обръщаме към уравненията на DSEO с отделен поток, представяйки ги като:

- \u003d / (x) + bu (r (x)), x e kp

Y- (g (x)) \u003d azp (x) y33, 3 \u003d 1, "~ 8 \u003d 1

0 (x, g (x)) \u003d tu (r (x)) \u003d d (x), g e ng ,.

Тук стойностите на компонентите на векторната функция d (x) принадлежат към задателя Q (1.3), (p x W) - sathrition b има пълен ранг, равен на p (n< ш). Вектор-функция / (х) непрерывно дифференцируемая.

Нека системата под внимание има единствена точка w. Да проучи стабилността на тази единична точка! "В Мал" ще изградим линеаризирана система

където a - (p x N) -matza, чиито елементи се изчисляват в точката на g и вектора £ \u003d x - w. Съгласно първото уравнение в (3.1) матрицата на линеаризирана система има

A \u003d 7 (x) + бъг (g) от техните (x), x \u003d g (x), \\ t

| 3 \u003d 1, sh, k \u003d 1,

I k \u003d 1, g, i \u003d 1, n

От (3.1) се определят елементи от UG матрицата: du.

"Lkz p" 8 \u003d 1

3, G8 x8, 5 1, g.

За да определите елементите на матрицата ZX, ние се обръщаме към последната група уравнения в (3.1). Показано е, че тези уравнения определят имплицитната векторна функция на R (X), която непрекъснато е диференцируема, ако функцията на вектор D (X) непрекъснато е диференцирана. Jacobian zx векторни функции r (x) се определя от уравнението

<Эг (z)Zx(Х) = Qx(Х),

vG (x) \u003d t ug (x),

ddk, -t-, - "- k \u003d 1, g, i \u003d 1, n dh \\ t

От това уравнение имаме (3.9) ZX (x) \u003d b - 1 (z) QX (x).

Замествайки този резултат в равенството (3.3). Получаваме:

A \u003d 1 (x) + p (x), p (x) \u003d vug (g) [влекач (g)] - 1 QX (x).

Така уравнението на линеаризирана система придобива гледката

(Z.i) | \u003d (J + p) e

Тук елементите на матриците J, P се изчисляват в единствена точка. Достатъчните условия за стабилност "в малкия" DSEC (3.1) определят следното

Теорема 3.1. Dseo (3.1) има стабилна "малка" единична точка x, ако се извършват следните условия:

а) Matrix J, P (3.10) на линейната система (3.11) имат реални и различни собственици, а матрицата J има максимален правилен брой

Ptah \u003d max pg\u003e 0,

Wmax \u003d max ui< 0;

Umax + ptah.<

От тази теорема и равенство (3.10) следва това за единични точки, за които qx (x) \u003d 0 и (или) за x, \u003d 0 и (или (или) за x, \u003d 0, не са достатъчно условия на теоремата извършени.

3.2. DSREO с мултипликативен поток разгледа добива (1.6). Представлявайки ги във формата:

X ® (A - x ® wy (z (x))), x e rn;

yJ (z (x)) \u003d AJ pzs (x)] ISI "J \u003d 1, m;

(ZL2) YJ (z (x)) \u003d a ^<~"ts

Q (x, z (x)) \u003d ty (z (x)) \u003d q (x), z e r ++.

системи. Ще има:

(3.13) a \u003d ^ [cm] - 2xxh (g ^ x (x).

В този израз, DIAGC] е диагонална матрица с положителни елементи А1, ..., AU, UG, ZX - матрици, дефинирани от равенство (3.4) - (3.7).

Представете си матрицата А под формата

(3.14) a \u003d diaag + p (x),

(3.15) p (x) \u003d -2xwyz (z) zx (x).

Обозначи: maxi ai \u003d nmax и wmax - съответно собствена матрица P (x) (3.15). Тогава теорема 3.1 също е валидна за DSEC (1.6). (3.12).

4. Устойчивост на DSEO "в голяма"

Нека се обърнем към уравненията на Deso (1.4), при които стойностите на компонента на векторната функция q (x) принадлежат към задателя Q (1.3). В разглежданата система има единична точка Z, която съответства на векторите z (x) \u003d z ^ z-\u003e 0 и

y (x) \u003d y (z) \u003d y\u003e y-\u003e 0.

Ние въвеждаме векторите от отклонение £, c, n от единичната точка: (4.1) £ \u003d x - x, (\u003d y - y, n \u003d z - z.

A. Pokrovsky A.V. - 2009.

1

Целта на проучването е да се разработи логически ориентиран метод за суперкомпютри (метод на булеви ограничения) и технологията, ориентирана към услугите за създаване и използване на компютърна система за качествено проучване на динамиката на поведението на автономните двоични динамични системи на финала времеви интервал. Уместността на темата се потвърждава чрез непрекъснато увеличаване на спектъра на прилагане на двоични модели в научни и приложни проучвания, както и необходимостта от качествен анализ на такива модели с голямо измерение на вектора на състоянието. Математическият модел на автономната двоична система е показан на последния интервал от време и уравнението, еквивалентно на тази система. Спецификацията на динамичното свойство се предлага да се записва предикат логика на езика, като се използват ограничени количества от съществуване и универсалност. Получават се булеви уравнения за търсене на равновесни състояния и цикли на двоичната система и техните условия за изолиране. Основните свойства на вида на постижимостта (постижимостта, безопасността, едновременното постигане, постигане на фазови ограничения, привличане, свързаност, пълна постижимост). За всеки имот, неговият модел е изграден като булево ограничение (булево уравнение или количествено млечна формула), отговаряща на логическата спецификация на имота и уравненията на системата динамиката. По този начин, проверка на осъществимостта на различни свойства на поведението на пътищата на автономни двоични динамични системи на последния интервал на време се намалява до задачата на тора на булеви ограничения, използвайки модерни SAT и TQBF решатели. Дадена е демонстрационен пример за използване на тази технология, за да се провери осъществимостта на някои от показаните по-рано свойства. Изводът изброява основните предимства на метода на булевите ограничения, характеристиките на нейното софтуерно прилагане в рамките на ориентиран към услуги подход и означават направленията за по-нататъшно развитие на метода за други класове двоични динамични системи.

дворна динамична система

динамичен имот

качествен анализ

булеви ограничения

задачата на бик осъществимостта

1. Biere A., Ganesh V., Grohe M., Nordstrom J., Williams R. Теория и практика на SAT решаване. Dagstuhl докладва. 2015. Vol. 5. Не. 4. R. 98-122.

2. Marin P., Pulina L., Giunchiglia E., Narizzano M., Tacchella A. Дванадесет години QBF оценки: QSAT е PSpace-Hard и показва. Фундамен. Информирам. 2016. Vol. 149. R. 133-58.

3. Bochman D., Poffof H. Binary Dynamic Systems. М.: Energoatomizdat, 1986. 400 p.

4. Маслов с.ю. Теорията на дедуктивните системи и нейното приложение. М.: Радио и комуникация, 1986. 133 p.

5. Jhala R., Majumdar R. Проверката на софтуера. Проучвания за изчисляване на ACM. 2009. Vol. 41. Не. 4. R. 21: 1-21: 54.

6. Василеев с.н. Намаляване на метода и качествения анализ на динамичните системи. I-II // Новини за Руската академия на науките. Теория и системи за управление. 2006. No. 1. стр. 21-29. 2. стр. 5-17.

7. Димак формат [електронен ресурс]. Режим за достъп: http://www.cs.utexas.edu/users/moore/acl2/manuals/current/manual/index-seo.php/satlink__dimacs (дата на обработка: 07/24/2018).

8. Стандарт QDIMACS [електронен ресурс]. Режим за достъп: http://qbflib.org/qdimacs.html (дата на обработка: 07/24/2018).

9. Delgado-Eckert E., Reger J., Schmidt K. Дискретни времеви системи с динамика на базата на събития: последните разработки в методите за анализ и синтез. Марио Алберто Йордан (Ед.). Дискретни времеви системи. Intech. 2011. R. 447-476.

10. Василеев с.н. Доставаемост и свързаност в автоматичната мрежа с общо правило за превключване на състоянието // Диференциални уравнения. 2002. Т. 38. № 11. стр. 1533-1539.

11. Bychkov i.v., Oparin G.A., Богданова, гр. Горски с.А., Пашинин А.А. Многоагенична технология за автоматизиране на паралелни решения на булеви уравнения в разпределена изчислителна среда // изчислителни технологии. 2016 г. Т. 21. № 3. стр. 5-17.

12. Lonsing F., Biere A. DeskBF. Зависимост от QBF решаване на QBF. Дневник за удовлетвореност. Булево моделиране и изчисление. 2010. Vol. 9. R. 71-76.

13. Oparin G.A., Bogdanova vand., Pashinin A.A., Gorsky S.A. Разпределени решатели на приложни проблеми въз основа на микросервизи и агентски мрежи. Proc. От 41-ти стажант. Конвенция за информационни и комуникационни технологии, електроника и микроелектроника (MIPRO-2018). R. 1643-1648.

14. Bogdanova v.g., Горски с.А. Мащабируем паралелен разтвор на булеви задействащи проблеми. Proc. От 41-ти стажант. Конвенция за информационни и комуникационни технологии. Електроника и микроелектроника (MIPRO-2018). R. 244-249.

15. Bychkov i.v., Oparin G.A., Богданова, Пашинин А.А. Приложените проблеми решаване на технологии, базирани на разпределен изчислителен темен домейн модел: децентрализиран подход // Паралелни изчислителни технологии XII Международна конференция, Pavt'2018, Ростов-он-Дон, 2-6 април, 2018 Кратки статии и описания на плакати. Челябинск: издателски център, Сурсу, 2018. C. 34-48.

Спектърът на двоичните динамични модели е изключително широк и всяка година броят на обектите и задачите, при които използването им е необходимо, се увеличава само. Класически пример е двоична синхронна машина, която е модел на много дискретни устройства в системите за управление, компютърни технологии, телемеханика. Модерните приложения на двоични динамични модели включват обекти на биоинформатика, икономика, социология и редица други, изглеждат далечни от използването на двуцифрени променливи, зони. В това отношение значителна степен увеличава значението на развитието на нови и подобряване на съществуващите методи за качествен анализ на поведението на траекторите на двоичните динамични системи (DDS).

Както знаете, целта на висококачествения анализ на динамичната система (не само бинарна) е да се получи положителен или отрицателен отговор на въпроса: Необходимо ли е необходимата динамична собственост в дадена система? Ние перифразираме този въпрос, както следва: поведението на траекторите на динамичната система на определен набор от ограничения, характеризиращ имота? След това ще използваме това конкретно тълкуване на целта на качествения анализ на динамичните свойства на системата.

За DDS функционирането на което се разглежда в последния интервал от време, такива ограничения са булеви и се записват на езика на булевите уравнения или булеви формули с квантори. Първият вид ограничения води до необходимостта от решаване на задачата на SAT (задача на приятна осъществимост); Вторият тип ограничения се свързва с решаването на проблема с TQBF (проверка на истината за количествените булеви формули). Първата задача е типичен представител на класа на сложност на NP, а втората задача е класът на сложност PSpace. Както знаете, PSpace-пълнотата на дискретния проблем дава по-силно доказателство за нарастващата му от NP пълнотата. Поради това намаляването на задачата на качествения анализ на DDS към SAT проблем е по-предпочитано, отколкото да се намали задачата TQBF. Като цяло, проучването на не всяко DDS собственост може да бъде подадено на езика на булевите уравнения.

Теоретичната възможност за използване на булеви ограничения (а именно, булеви уравнения) при висококачествен анализ на DDS за първи път се демонстрира в работата. Трябва да се отбележи обаче, че трябва да се отбележи, че използването на този подход на практика, докато липсата на ефективни алгоритми и програми за решаване на булеви уравнения (особено с голям брой неизвестни променливи), които позволяват значително да се намали значително място за търсене. През последното десетилетие, в резултат на интензивни проучвания, достатъчно различни ефективни решатели от булеви уравнения (наситен разтворители), използване на съвременни постижения (нови евристика, бързи структури за данни, паралелни изчисления и др.) При решаването на възможността за насилие Появи се проблем. Подобни процеси (но с известно забавяне) се наблюдават и в областта на създаването на по-ефективни алгоритми и програми за решаване на проблема с TQBF. По този начин понастоящем има всички необходими предпоставки за систематично развитие на метода на булеви ограничения в висококачествен анализ на DDS, нейното изпълнение и прилагане на програмата в решаването на научни и приложни задачи.

В допълнение към метода на булеви ограничения, други методи за анализ на високо качество са приложими и за DDS, което включва дедуктивен анализ, метод за проверка на модела и намаляване на модела. Всеки от тези методи (включително метода на булеви ограничения) има своите ограничения, предимства и недостатъци. Общият недостатък е, че всички методи са нарушени и проблемът за рязане е фундаментален за тези методи.

Значението на дедуктивния анализ предполага използването на аксиоми и заключителни правила за доказване на коректността на функционирането на системата, се признава като широка гама от специалисти, но това е трудоемко и следователно рядко прилаган метод. В метода за проверка на модела, спецификацията на спецификацията използва езика на времевата логика, която е оран за автоматични динамични специалисти. Методът за намаляване е свързан с изграждането на опростен (в определен смисъл) модел на изходната система, изследването на неговите свойства и условията за преносимост на тези свойства в оригиналната сложна система. Условията за толерантност на свойствата са само достатъчен характер. Простотата на идеята за метода за намаляване на висококачествения анализ на DDS е изправен пред проблема с избора на опростена система, която отговаря на всички условия на метода.

Практическото използване на метода на булевите ограничения включва алгоритмизация и автоматизация на следните процеси:

1) разработване на специализирана система за логически езикови системи, спецификация на динамичните свойства;

2) изграждане на модел на динамично имущество под формата на булево ограничение на един вид един тип, който отговаря на логическата спецификация на имота и уравненията на динамиката на двоичната система;

3) представлява получения модел в международните динами или Qdimacs формат;

4) подбор (разработване) на ефективна паралелна (разпределена) задача за решаване на приложимост на булевите ограничения (SAT или TQBF решаване);

5) разработване на инструментални средства за създаване на софтуерни услуги;

6) Разработване на услуги за висококачествени изследвания разнообразие от динамични свойства на DDS.

Предназначение Това проучване е решението само на първите две задачи по отношение на алгоритмизацията на висококачествени проучвания на автономни (без контрол на входа) на синхронни DDS. Такива системи в публикациите на английски език се наричат \u200b\u200bсинхронни насипни мрежи (булева мрежа). Други аспекти на прилагането на метода на булевите ограничения (включително за DDS с контролни входове) са предмет на следните публикации.

Математически модел на автономни DDS

Нека X \u003d BN (B \u003d (0, 1) е множество двоични вектори на размерите N (пространството на състоянията на DDS). Via t∈t \u003d (1, k) ние обозначаваме дискретно време ( номера на часовника).

За всяка държава x0∈x, наречена първоначално състояние, ние определяме траекторията x (t, x0) като крайна последователност от състояния x0, x1, ..., xk от комплекта X. next, ние ще разгледаме DDSS, в който Всяка двойка съседни държави XT, X (t - 1) (t∈t) траектории, свързани с отношението

xT \u003d F (XT - 1). (един)

Тук f: x\u003e x - векторната функция на логическата алгебра, наречена преходна функция. По този начин, за всеки x0∈x, системата на булеви уравнения (1) представлява модел на динамиката на поведението на траекторите на DDS в държавното пространство в последния интервал на време t \u003d (1, 2, k, k ). По-нататък, стойността на K в дефиницията на зададената t е определена постоянна. Това ограничение е съвсем естествено. Факт е, че с качествен анализ на поведението на траекторите на DDS, практическият интерес е въпросът какво може да се каже за осъществимостта на всякакви динамични свойства на фиксирана, а не твърде голяма к. Изборът на K във всеки случай се извършва въз основа на априори информация за продължителността на процесите в симулирана дискретна система.

Известно е, че системата на булеви уравнения (1) с първоначалното състояние на X0∈X за t \u003d (1, 2, k) е еквивалентно на едно булева уравнение на типа

При k \u003d 1 (се разглеждат само едноетапни преходи) уравнение (2) придобива гледката

(3)

Разтворите на това уравнение определят насочната графика, състояща се от 2N върхове, маркирани с едно от 2N състояния на комплект X. Версиците X0 и X1 от графиката са свързани чрез дъга, насочена от държавата X0 към държавата X1. Такава графика в теорията на двоичните автомобила се нарича диаграма на прехода. Представителството на поведението на DDS под формата на преходна диаграма е много ясно както при изграждането на траекторите, така и в изследването на техните свойства, но практически се реализира само за малки размери на N-вектор на състоянието X∈X.

Езикови инструменти Спецификация на динамичните свойства

Удобно е да се определи спецификацията на динамичното свойство на езика на формалната логика. След работата, обозначаваме с x0∈x, x1∈x, x * ∈x - наборът от първоначални, допустими и целеви държави.

Основните синтактични елементи на логическата формула на динамичното свойство са: 1) променливи (компоненти на векторите X0, X1, ..., XK, Time T); 2) ограничени количества от съществуване и универсалност; 3) логически пакети V, &; Крайни формули. Крайната формула представя одобрението на принадлежността на някои състояния на набора от траектории X (T, X0) (x0∈x0) чрез оценени комплекти X * и X1.

Трябва да се отбележи, че използването на ограничени количества от съществуване и универсалност предоставя вид динамични свойства за специалист за специалист. В процеса на изграждане на булев модел за система (1), ограничените количества се заменят с обикновено според следните определения:

където a (y) е предикат, който ограничава стойността на променливата y.

Благодарение на крайниците на промяната на променливата Т, ограничените количества от съществуване и универсалност по тази променлива се заменят с еквивалентни формули, които не съдържат количествено третиране

В бъдеще приемаме, че елементите на комплекти X0, X1, X * се определят от съответно нули на следните булеви уравнения

или характерни функции на тези комплекти ,. \\ t

Като се вземат предвид ограниченията върху първоначалните държави G0 (x) \u003d 0, заедно с уравнения (2, 3), ще използваме следните булеви уравнения за намаляване на вписването:

(4)

Предварителен анализ на качеството на автономните DDS

В етапа на предварителната анализ, разклонението на държавата (много от неговите непосредствени предшественици) може да бъде намерено (ако е необходимо), наличието на равновесни състояния и затворени траектории (цикли).

Държавата X1 в (3) ще бъде наречена държавен последовател X0 и X0 е предшественик на държавата X1. В автономните DDS всяка държава има само един последовател, а броят на прекурсорите на това състояние може да варира от нула до 2N - 1. Всички директни прекурсори X0 държави S∈X са нули на булеви уравнения

Ако уравнението (6) няма решения, тогава държавните предшественици липсват.

Равновесни състояния (ако съществуват) са решения на булеви уравнения

Траекторията X0, X1, ..., XK се нарича цикъл на дължината, ако състоянията X0, X1, ..., XK-1 са в двойки, са различни един от друг и xk \u003d x0. Цикличната последователност на дължината k (ако съществува) е решението на булевото уравнение

където \u003d 0 ( ) - условията на двойката разлика в набори от цикъла на цикъла C. Ако никой от статута на цикъла не е предшествал предшественици, които не принадлежат към зададената С, тогава такъв цикъл се нарича изолиран. Нека елементите S, определени от разтвора на булевото на GC уравнение (и) \u003d 0. След това е лесно да се покаже, че състоянието на изолацията на цикъла е еквивалентно на отсъствието на нули в следващото уравнение на Булев:

Решения на уравнение (7) (ако съществуват) определят състоянията на цикъла, имат предшественици, които не принадлежат към определения C.

Тъй като равновесното състояние е цикъл от дължина k \u003d 1, състоянието на неговата изолация е подобно на изолационното състояние с k ≥ 2, разликата е, че GC (ите) има форма на пълна дизюнкция, която определя това равновесно състояние .

Неизолираните равновесни условия и цикли ще продължат да наричат \u200b\u200bатрактори.

Спецификация на динамични свойства като постижимост

Основното свойство на DDS, необходимостта от проверка, която най-често възниква на практика, традиционно се изследва в теорията на графиките (в нашия случай, такава графика е диаграмата на прехода) имуществото за постигане и различните му вариации. Постигуването се определя като класическа задача за анализиране на поведението на траекторите на DDS.

Дефиницията на този имот е свързана с дефиницията на множествата от комплектите X0, X *, X1 (съответстващи на тези комплекти булеви уравнения). Предполага се, че за комплекти X0, x *, x1 лимит

Благодарение на лимита на определения Т, имуществото на постижимостта и нейните вариации следва да се разбира като собственост на практическата постижимост (постижимост за крайния брой часовници). Разглеждат се следните свойства на вида на постижимостта:

1. Основното свойство на постигането на зададения X * от комплекта X0 е формулирано, както следва: Всяка траектория, освободена от множество първоначални държави x0 достига целевия комплект X *. Използвайки ограничени количества от съществуване и универсалност, формулата на този имот има формата:

2. Защитата на сигурността осигурява всяка траектория, освободена от x0, невнимание на зададения x *:

3. Собственост на едновременна постижимост. В някои случаи може да се настрои по-тежко изискване ", което е, че всяка траектория достига целевия набор от точно на K (K∈T):

4. Собственост на постижимостта с фазови ограничения:

Този имот гарантира, че всички траектории, произведени от комплекта x0, докато точката в целевия набор от X * са в комплекта X1.

5. Имейл атракция. Нека X * е атрактор. След това логическата формула на атракционния имот съвпада с формулата на основното свойство на постигане:

тези. За всяка траектория, пусната от комплект X0, има време от време, започвайки от която траекторията не надхвърля набора от x *. Комплектът X0 в този случай принадлежи към частта от атракционната зона на комплекта X * (X0∈XA, където XA е пълната зона на атракция (басейн) на атрактора).

Обърнете внимание, че всички променливи в горните свойства са действително свързани, тъй като траекторията X0, X1, ..., XK е напълно определена от първоначалното състояние. Тъй като квантовете в променливи t се заменят с функционирането на многофункционална разлика или връзка на съответните предикати, всяка от формулите остава единствената ограничена количествена оператори на универсалност (), която ви позволява да запишете условията за осъществимостта на тях Имоти на езика на булевите уравнения (като работна ръка).

Нека дадем две свойства, чийто чек води до необходимостта от решаване на проблема с TQBF.

6. Собственост на целевия комплект:

тези. Налице е първоначално състояние x0∈x0 така, че всяко целево състояние x *x * в някаква точка t∈t е постижимо, което означава наличието на съответно състояние на траекторията, така че всички целеви държави x * ∈x * принадлежат към тази траектория.

7. Имотът на общата постижимост на комплекта X * от x0:

тези. Всяко целево състояние е постижимо от x0.

Проверете за динамични свойства

За имоти (1-5) проверката на тяхната осъществимост се свежда до търсенето на нули на булевите уравнения, чиято технология за формиране е стандартизирана и се разглежда подробно само за основното свойство на постижимостта. Имоти (6, 7) водят до задачата да проверяват истината за количествената булева формула.

1. Основното свойство на постижимостта. Неговата логическа формула има формата

Като се вземат предвид (4) Ние пишем формула (8) като

къде е характерната функция на набор от състояния на траекторията, освободен от първоначалното състояние x0∈x0. Отървете се от количествения състав на съществуването в (9). Тогава ще имаме

къде - характеристичната функция на зададения х *. Замени ограничени количества от универсалност към обикновени количества. В резултат на това получаваме

Формула (10) е вярна тогава и само ако е идентично истинска експресия на подпромишленост, т.е.

Истината за идентичност на импликацията означава, че булевата функция е логична последица от функцията, т.е. Всяка траектория с първоначалното състояние x0∈x0 достига до зададения за целта x *.

Възможността за идентичност (11) е еквивалентна на липсата на нули при уравнения на Булев

При получаване (12) се отървахме от връзката и сменяме φ (x0, x1, ..., xk) . Ако уравнението (12) има поне едно решение, тогава собствеността на постижимостта няма място. Такова решение представлява (в определен смисъл) брояч за тестовия имот и може да помогне на изследователя да идентифицира причината за грешката.

След това, за представяне на представянето за всеки имот (2-4), само уравнението на типа (12) ще отбележи, предлагайки на читателя самостоятелно възпроизвеждане на необходимите обосновки близо до тези, дадени за основното свойство на постижимостта.

2. Имоти за безопасност

3. Собственост на едновременна постижимост

4. Собственост на постижимостта с фазови ограничения

5. Имейл атракция. Възможността на този имот се проверява на два етапа. На първия етап се оказва дали е набор от X * Attroper. Ако отговорът е положителен, след това на втория етап се проверява основното свойство на постижимостта. Ако x * е постижимо от x0, тогава са направени всички условия на атракционна собственост.

6. СВОБОДНОСТ. \\ T

7. Общо свойство на постигане

За имоти (6, 7), скаларната форма на равенство на двата булеви вектора xt \u003d x * има външния вид

Ще демонстрираме горната технология на висококачествения автономен анализ на DDS, използвайки метода на булеви ограничения при проверка на осъществимостта на някои от посочените по-горе свойства за модел 3.2 от работата:

Обозначава с x0∈x \u003d B3, първоначалното състояние на модела (13). Нека t \u003d (1, 2). Отблъскваме свойствата, необходими за спецификацията на характеристиката на едноетапните и двустепенни моделни преходи (13):

(14)

къде е знакът "." Показва се работата на връзката.

За да проверите изпълнението на всеки имот, първоначалните (x0) и целеви (x *) набори, определени от нули на уравнения g0 (x) \u003d 0, g * (x) \u003d 0 или характеристичните функции на тези комплекти (виж параграф) \\ t 2). Като SAT, регрейдът се използва като инструментален комплекс (IR) Rebus, а решателят TQBF е DEPQBF. Кодирането на променливите в булеви модели, които се разглеждат под свойствата на тези решатели, се показва в таблица. 1, булеви модели на тези свойства в димак и Qdimacs формати са разположени в таблица. 2.

маса 1

Кодиране на променливи

Номер на променлива в булевия модел

Имот 1.

Имот 2.

Имот 3.

Имот 4.

Имот 5.

Таблица 2.

Модел на булеви имоти

Имот 1.	Имот 2.	Имот 3.	Имот 4 (а)	Имот 4 (б)	Имот 5.
					e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 4 -5 -6 7 -8 -9 -10 11 12 0 4 5 6 -7 8 9 10 -11 -12 0

1. Основно свойство на постижимостта (k \u003d 2). Нека x0 \u003d (x∈x: x1 \u003d 0), x * \u003d (x∈x: x1 \u003d 1). Първоначалният и целевият комплект се определят от уравненията G0 (x) \u003d x1 \u003d 0 и. Уравнение на Booleo (12) В този случай придобива

където функцията φ (x0, x1, x2) е дефинирана в (14). Rusher IR Rebus дава отговор "ненатоварване" (уравнението няма нули), така че се извършва постигането на x * от x0, което ясно се вижда от следната диаграма на прехода, показана на фигурата.

2. цикли на дължина k \u003d 2. цикличната последователност на дължина 2 (ако съществува) е решението на булевото уравнение

Функцията има изглед

Изразът R (X0, X1), когато цикълът не е включен в уравнението, тъй като циклите на дължината k \u003d 1 (равновесни състояния) в модела (13) липсват. С помощта на IR Russel бяха получени два отговора (в DIMACS изходен формат): 1 2 3 4 5 -6 0 и 1 2 -3 4 5 6 0, съответстващи на циклични последователности (фигура): ((1 1 1) \\ t ), (1 1 0)) и ((1 1 0), (1 1 1)). Комплектите от двете цикли съвпадат, което означава присъствието в модела (13) от един цикъл на дължината k \u003d 2.

Диаграма на преход на системата (13)

3. Имота за изолация. Ако комплектите на елементите C от цикъла на дължината k \u003d 2 се определят чрез разтвора на булевото уравнение GC (S) \u003d 0, състоянието на изолацията на цикъла е еквивалентно на отсъствието на нули в следващия булев на уравнението:

От c \u003d (((1 1 1), (1 1 0), имаме

За това уравнение, разтворителят на IR Rebus намира два разтвора: -1 2 3 4 5 -6 0 и -1 2-3 4 5 -6 0 (в двоично представяне според кодирането на променливи в таблица. 1 Това са двойки от държавите (0 1 1), (1 1 0) и ((0 1 0), (1 1 0)). Така състоянието на цикъла (1 1 0) има два предшественици, (0 1 1) и. \\ t (0 1 0), не е собственост на набор от състояния цикъл. Това означава, че свойствата на изолацията на цикъла не се извършват, т.е. този цикъл е атрактор.

4. Имот. Нека X * \u003d C е атрактор. Логическите свойства на атракцията съвпада с формулата на основното свойство на постижимостта

и съответното булева уравнение за нашия случай има формата

Отблъскваме функциите G0 (x0), φ (x0, x1, x2) и. Функцията φ (x0, x1, x2) е дадена в (14). За x * \u003d c, изразът е равен. Помислете за два варианта за определяне на набор от първоначални държави X0, за случаи на изпълнение (а) и несъответствия (б) свойства на привличането за K \u003d 2 часовници.

А. Да. Тогава

В този случай отговорът "Unsat" се издава за булева уравнение (15). Извършва се имот за атракция за даден комплект X0.

Б. Нека. Тогава

В този случай IR Rebus за уравнение (15) намира разтвор: 1 -2 3 4 -5 -6 -7 8 9 0, който съответства на траекторията ((1 0 1), (1 0 0), (0 0) (0) 1 1). Тази траектория с първоначалното състояние x0 \u003d (1 0 1) за два часа не достига на зададения х * \u003d С, което означава непразактива на свойствата на привличането за посочения X0.

5. Свързваща собственост. Логическата формула свойствата на свързаността има външен вид на следното изявление:

За k \u003d 2 φ * (x0, x1, x2) \u003d g0 (x0) ∨∨ (x0, x1, x2), където функцията φ (x0, x1, x2) е дадена в (14). Като начален, изберете условието (1 0 1). Тогава. Оставете целевия набор x * \u003d (((0 1 1), (1 0 0)). В този случай функцията g * (x *) има външния вид

Пишем g * (x *) в CNF формат:

Използвайки закона de morgana, ние ще намерим отричането на функцията φ (x0, x1, x2). Заместване на (16) Всички функции, получени и отчитане на кодирането на булеви променливи (Таблица 1), получаваме булев модел в Qdimacs формат (Таблица 2). Решарът на DEPKBF издава отговора "SAT", което означава истината на изявлението (16). Направен е собственост на свързаност за посочения x0, x *, t \u003d (1, 2).

Заключение

Основните предимства на метода на булеви ограничения в качествено проучване на DDS включват:

1. Логическият език на спецификацията на динамичния имот за специалист в автоматичната динамика се дължи на използването на ограничени количества от съществуване и универсалност.

2. Съгласно формулата за собственост и уравненията на динамиката, съответното булева уравнение или количествена булева формула се изпълняват автоматично.

3. Достатъчно е просто да се автоматизира процеса на превръщане на получените булеви изражения в конюнктивна нормална форма с по-нататъшно генериране на файлове в димакс и qdimax формати, които са вход за наситен разтворители и QBF разтворители.

4. Проблемът за намаляване на бюста по един или друг начин се решава от разработчиците на тези решения и екранирани от специалисти по анализ на DDS анализ.

5. Възможно е да се реши проблемът с качествения анализ на DDS за големите размери на държавния вектор n с достатъчно дълъг период от време t. Според броя на държавите методът на булевите ограничения е количествено съизмерим с модела Проверка на метода. Поради факта, че през последните години се наблюдава значително увеличаване на работата на специализираните алгоритми за SAT и TQBF задачи, общият брой на променливите в млечния модел на имота за съвременни решатели могат да бъдат измерени чрез хиляди.

Софтуерът на качествения анализ на DDS въз основа на метода на булевите ограничения се осъществява в рамките на ориентиран към услугите подход, използващ специализирани разтворители на булеви уравнения. Документът представлява пример за прилагане на метода на булеви ограничения въз основа на ориентиран към сервизния подход за търсене на цикли и равновесни състояния в генни регулаторни мрежи.

Трябва да се отбележи, че методът на булевите ограничения е достатъчно общ метод за висококачествен анализ на DDS в последния интервал от време. Той е приложим не само за автономни системи, но и за системи с контролни входове, към системи с дълбочина на паметта, повече единици, до DDS от обща форма, когато функцията на преходите е неразтворима спрямо държавата XT и има Форма F (XT, XT-1) \u003d 0. За DDS с входовете имуществото на контрола и различните изменения са от особено значение. В допълнение към задачите за анализ на DDS, методът на булевите ограничения се прилага за задачите на синтеза на обратната връзка (статични или динамични, от държавата или на входа), осигурявайки в синтезираната система за извършване на необходимите динамични свойства.

Проучването е подкрепено от RFBR, проект № 18-07-00596 / 18.

Библиографска справка

Oparin G.A., Bogdanova v.g., Pashinin A.A. Методът на булеви ограничения в качествен анализ на двоични динамични системи // Международен вестник на приложни и фундаментални изследвания. - 2018 г. - № 9. - стр. 19-29;
URL адрес: https://applied-research.ru/ru/article/view?id\u003d12381 (дата на обработка: 03/18/2020). Предлагаме на Вашето внимание списанията да публикуват в издателството "Академия за естествена наука"

Въведение 4.

Априори анализ на динамичните системи 5

Преминаване на случаен сигнал през линейна система 5

Еволюция на фазовата векторна система 7

Еволюция на матрицата Covariance на фазовата векторна система 8

Статистическа линеаризация 8.

Първи метод 9.

Вторият метод 10.

Изчисляване на коефициентите на линеаризация 10

Двусмислие в нелинейни единици 14

Нелинейна връзка, обхваната от обратна връзка 15

Моделиране на случайни процеси 16

Формиране на филтър 16.

Моделиране на бял шум 17

Оценка на статистическите характеристики на динамичните системи от Монте Карло 18

Точност на рейтингите 18.

Нестандартни динамични системи 20

Стационарни динамични системи 21

Задния анализ на динамичните системи 22

Филтър Калман 22.

Моделно движение 22.

Модел на измерване 23.

Корекция 23.

Прогноза 23.

Оценка 23.

Използване на филтриране на Kalman в нелинейни задачи 25

Метод на най-малките квадрати 27

Оценки на сградата 27.

Прогноза 29.

Използване на метода на най-малките квадрати в нелинейни задачи 29

Сграда Cauchy Matrix 30

Моделиране на измерването 30.

Числени методи 31.

Специални функции 31.

Моделиране на случайни променливи 31

Равномерно разпределени случайни променливи 31

Gaussian Случайни променливи 32

Случайни вектори 33.

Вероятности интеграл 34.

Чебишев полиноми 36.

Интегриране на обикновени диференциални уравнения 36

Runge-Kutta 36

Точност на резултатите от цифровата интеграция 37

Инвестиран метод Дорман-принц 5 (4) около 37

Мултискри методи 39.

Методи на Adams 39.

Интегриране на уравнения със закъснение 40

Сравнение на изчислителните качества на методите 40

Задача на Standar 40.

Елиптични функции на Jacobi 41

Задача два тел 41

Уравнение 42

"Бруслър" 42

Лагранж уравнение за висящи струни 42

PLEIADS 42.

Осъществяване на обяснителна бележка 43

Заглавие Page 43.

Раздел "Въведение" 44

Раздел "Теория" 44

Раздел "Алгоритъм" 44

Раздел "Програма" 45

Раздел "Резултати" 45

Раздел "Заключения" 45

Раздел "Списък на използваните източници" 45

Приложения 45.

Литература 47.

Въведение

Този учебник съдържа насоки за изпълнение на задачите на курсовите проекти и извършването на практически занятия в размер на "основите на статистическата динамика".

Целта на дизайна и практическото обучение се овладява от студенти от априори и последния анализ на нелинейни динамични системи под влиянието на случайни смущения.

Априори анализ на динамичните системи

Статистическа линеаризация

Статистическата линеаризация ви позволява да конвертирате оригиналната нелинейна динамична система до T.O. така че за неговия анализ е възможно да се използват методи, алгоритми, взаимоотношения, валидни за линейни системи.

Този раздел е посветен на представянето на метода на статистическа линеаризация, въз основа на най-простия приблизителен подход, предложен от проф. I.e. Cossack, което позволява обаче да се изграждат оценки на точността на системата, съдържаща дори значителна нелинейност с прекъснати характеристики.

Статистическата линеаризация се състои в заместване на първоначалната нелинейна връзка между входящите и изходните процеси на такава приблизителна зависимост, линейно по отношение на центрирания вход произволен процес, който е еквивалентен в статистическия смисъл по отношение на първоначалното:

Връзката с такава приблизителна зависимост между входните и изходните сигнала се нарича еквивалентно нелинейна връзка.

Стойността се избира въз основа на състоянието на равенството на математическите очаквания на нелинейни и линеаризирани сигнали и се нарича статистическа средна еквивалентна характеристика:

,

където - плътността на разпределението на входния сигнал.

За нелинейни връзки с странни характеристики, т.е. за , Статистическата характеристика е удобно да се подаде във формата:

- математическо очакване на входния сигнал;
- Статистически коефициент на усилване на еквивалентната връзка в средния компонент.

Така Еквивалентната зависимост в този случай придобива формата:

Характеристиката се нарича статистически коефициент на усилване на еквивалентната връзка чрез произволен компонент (колебания) и се определя по два метода.

Първи метод

В съответствие с първия метод на статистическа линеаризация, коефициентът се избира въз основа на състоянието на равенството на дисперсиите на първоначалните и еквивалентни сигнали. Така За изчисление получаваме следното съотношение:

,

където - дисперсията на входното случайно въздействие.

Знакът в израза се определя от характера на зависимостта в околностите на стойността на аргумента. Ако се увеличи, тогава и ако намалее, тогава.

Втори път

Стойността съгласно втория метод е избрана от условията за минимизиране на средната квадратична линеаризационна грешка:

Крайното съотношение за изчисляване на коефициента съгласно втория метод е:

.

В заключение, ние отбелязваме, че нито една от тях не се счита за по-горе, методите на линеаризация не осигуряват равенство на корелационните функции на изходните сигнали на нелинейни и еквивалентни единици. Изчисленията показват, че за корелационната функция на нелинейния сигнал, първият метод на избор дава оценка отгоре, а вторият метод е приблизителна оценка отдолу, т.е. Грешки при определянето на корелационната функция на нелинейния изходен сигнал имат различни знаци. Проф. I.e. Cossacks, автор, изложен тук, препоръчва да се изберат половината от коефициентите, получени от първия и втория метод като получения коефициент на линеаризация.

Формиране на филтъра

Като правило параметрите се определят чрез приравняване на коефициентите на полиномите на числителя и знаменателя в уравнението

със същите степени.

След определяне на трансферната функция на формиращия филтър, получената диаграма на моделиране на случаен процес изглежда като показана на фигурата.

Например, спектралната плътност на процеса на моделиране има формата:

,

математическите очаквания и за моделиране се използва бял шум с интензивност, следователно, имаща единична спектрална плътност.

Очевидно числата и знаменателят на желаното предавателно съотношение трябва да има около 1 и 2 (в действителност, да бъдат издигнати на квадрата в модула, трансферната функция образува лични полиноми на 2-ри и 4 градуса)

Така Функцията за прехвърляне на формиращия филтър в най-общата форма е както следва:

,

и площад на модула му:

Приравняваме получените отношения:

Представям за скобата и в дясната част на равенството, като по този начин приравнявам коефициентите на нулева степен:

,

когато следното равенство произтича от очевидно:

; ; ; .

Така Структурната схема за образуване на случаен процес с дадени статистически характеристики на бял шум с външен спектрален плътност, както е показано на фигурата, като се вземат предвид изчислените стойности на образуващите параметри на филтъра.

Моделиране на бялото шум

За да симулира случаен процес с определени статистически характеристики, белият шум се използва като входния случай на обработване в формиращия филтър. Въпреки това, прецизно моделиране на бял шум е нереализиран поради безкрайната дисперсия на този произволен процес.

Поради тази причина, като заместител на бял шум, засягаща динамичната система, се използва случайна стъпка. Интервалът, на който реализацията на случайния процес запазва стойността си непроменена (ширината на стъпката, интервалът на корелация) е постоянната стойност. Стойностите на реализацията на изпълнението (височина на стъпките) са случайни променливи, разпределени в съответствие с нормален закон с нулево математическо очакване и ограничена дисперсия. Стойностите на параметрите на процеса - съотношението интервал и дисперсия - се определят от характеристиките на динамичната система, която е засегната от бял шум.

Идеята на метода се основава на ограничена честотна лента на всяка истинска динамична система. Тези. Печалбата на реалната динамична система намалява, тъй като честотата на входния сигнал се увеличава и следователно има такава честота (по-малко безкрайна), за която печалбата на системата е толкова малка, че е възможно да се постави нула. И това от своя страна означава, че входният сигнал с постоянна, но ограничена от тази честота, спектрална плътност, за такава система ще бъде еквивалентна на бял шум (с постоянна и безкрайна спектрална плътност).

Параметрите на еквивалентния случайни процес - интервалът на корелация и дисперсията се изчисляват, както следва: \\ t

къде е емпирично дефинираната граница на честотната лента на динамичната система.

Точност на рейтингите

Оценки на математическите очаквания

и дисперсия

случайна разлика, изградена на базата на обработка на ограничено вземане на проби от нейните изпълнения, те сами са случайни.

Очевидно е, че колкото по-голям е размерът на извадката на изпълнението, толкова по-точно е неизбежна оценка, толкова по-близо е до истинската стойност на очаквания параметър. По-долу са дадени приблизителни формули въз основа на предположението за тяхното нормално разпределение. Симетричният относително доверителен интервал за оценка, съответстващ на вероятността за доверие, се определя от стойността, за която е вярно съотношението:

,

където
- истинското значение на математическото очакване на случайна променлива, \\ t
- отклонение на съперничещите разнообразие на случайната променлива,
- интегрални вероятности.

Въз основа на горното съотношение стойността може да бъде определена, както следва:

,

където - функцията, противоположна на вероятността интеграл.

Тъй като характеристиката на оценката на оценката ни не е известна, ние ще се възползваме от приблизителната си стойност, изчислена по оценката:

Така Окончателното взаимоотношение, което свързва точността на оценката на математическото очакване и размера на извадката, което се оценява, е както следва:

.

Това означава, че величината на доверителния интервал (с постоянната стойност на вероятността за доверие), разположена симетрично сравнително изразена в акциите на оценката на стандартното отклонение, е обратно пропорционална на квадратен корен от размера на извадката.

Доверителният интервал за оценка на дисперсията се определя по същия начин:

с точност на стойността, която при липса на по-точна информация може да бъде приблизително определена от връзката: \\ t

Така Размерът на доверителния интервал (с постоянната стойност на вероятността за доверие), разположена симетрично сравнително, изразена в нейните акции, е обратно пропорционална на квадратен корен от стойността, където - размерът на извадката.

По-точни формули за конструиране на поверителни интервали могат да бъдат получени, като се използва точна информация за закона за разпределението на случайната променлива.

Например за Гаусов закон за дистрибуцията, случайна стойност

овийте закона за разпределението на линията със степента на свобода и случайна стойност

разпределени по закон, както и със свобода.

Филтър Калман

Модел на движение

Както е известно, филтърът на Kalman е предназначен да оцени вектора на състоянието на линейна динамична система, моделът на развитието на който може да бъде записан във формата:

където
- матрицата Cauchy, определяща промяната в системния статус вектор в собственото си движение (без контрол и шумови влияния) от времето на времето до момента;
- векторни предходни ефекти върху системата (например контролни влияния) по време на време;
- матрицата на влиянието на принуждаването на ефектите към времето на вектора на състоянието на системата по време на времето;
- вектор на случайни независими центрове върху системата по време на време;
- матрица на влиянието на случайни влияния по време на времето на вектора на състоянието на системата във времето.

Модел на измерване

Оценката се основава на статистическата обработка на резултатите от измерването, линейно свързана с вектора на състоянието и се изкривява от нестабилна грешка:

къде - матрицата, свързваща векторите за състоянието и измерването в същото време.

Корекция

Основата на филтъра на Kalman е съотношението на корекцията, което е резултат от свеждане до минимум на следата от матрицата на ковариацията на реципрочната плътност на линейното разпределение (чрез измервателния вектор) на векторната оценка на състоянието на системата:

Прогноза

Съотношение на корекцията на честотата на съотношенията на прогнозите въз основа на линейните свойства на еволюцията на системата на системата:

къде е ковариацията матрица на вектора, получаваме формулата на рецидивиращия алгоритъм Bayesovsky за оценка на вектора на състоянието на системата и неговата ковариационна матрица въз основа на статистическа обработка на резултатите от измерването.

Оценка

Очевидно е да се приложат намалените съотношения, е необходимо да се изграждат матрици, от модела на еволюцията, матрицата от модела на измерване, както и за матриците на ковариацията и за всяка точка от времето.

В допълнение, за инициализиране на изчислителния процес, е необходимо по някакъв начин да определите posteriori или априори, оценки на вектора на състоянието и неговата ковариационна матрица. Терминът "априори" или "posteriori" в този случай означава само качеството, в което векторът на състоянието и нейната ковариационна матрица ще бъдат използвани в изчислителния алгоритъм и не казва нищо за това как са получени.

По този начин, изборът на връзката, от който трябва да се започне изчисленията, се определя, чрез което първоначалните условия за филтриране се приписват на времето и първия непреработен вектор за измерване. Ако моментите на времето съвпадат, първо трябва да се прилагат коефициенти на корекция, които ви позволяват да изясните първоначалните условия, ако не, първо трябва да предскажете първоначалните условия за времето на свързване на първия непреработен измервателен вектор.

Нека обясним алгоритъма на Kalman, използвайки снимка.

На фигурата в координатните оси (в канала за движение) изобразява няколко възможни векторни траектории:

- истинска траектория на еволюцията на фазовия вектор;
- развитието на фазовия вектор, предсказано въз основа на използването на модела на движение и априори за оценка на фазовия вектор, се позовава на времето;
- развитието на фазовия вектор, прогнозирано въз основа на използването на модел на движение и последваща (по-точна) оценка на фазовия вектор, приписван на времето на времето

В координатните оси (в канала за измерване) по време на времето и изобразяване на резултатите от измерванията и: \\ t

,

където
- истинското значение на измервателния вектор по време на времето;
- Векторни грешки при измерване, които се реализират по време на времето.

За изграждане на корекция на векторна система за фаза на априори, разликата между резултата от измерването и значението, което се измерва в зависимост от модела на измерване на задачата, ако фазовият вектор, всъщност взе стойността. В резултат на прилагането на оценките на коригиране на корекцията, рейтингът на фазовата векторна система ще определи и да приеме стойност, която ще направи по-точна (поне в съседство на времето), за да предскаже поведението на фазата вектор на изследваната динамична система, използвайки проблема с проблема.

По време на време резултатът от прогнозата се използва като предварителна оценка. На траекторията преминава през фазовия вектор, разликата разлика отново се изгражда, с която се изчислява, още по-точна стойност и др. Докато има измервателни вектори за обработка или е необходимо да се предскаже поведението на фазовия вектор.

Метод най-малък квадрат

Този раздел представя метода на най-малките квадрати, адаптиран за Posteriori анализ на динамичните системи.

Оценки на сградата

За случай на линеен модел на равни измервания:

имаме следния алгоритъм за оценка на векторната оценка:

.

За случая на неравномерни измервания матрицата, съдържаща теглото на коефициентите върху диагонала на коефициентите на теглото, се въвежда в изследването. Като се имат предвид коефициентите на теглото, предишното съотношение ще бъде под формата:

.

Ако използваме матрицата, за да използваме матрицата към матрицата на ковариацията на грешките при измерването, след това като се вземат предвид обстоятелствата, които получаваме:

.

Както следва от горните отношения, основата на метода е матрица, която свързва прогнозния фазов вектор, посочен в определен момент във времето и вектора за измерване. Векторът е като правило, блокова структура, в която всеки от блоковете се приписва до определен момент, който не съответства в общия случай.

Фигурата показва някаква възможна взаимна подредба на времето на времето, на което се приписват измервания и момента на времето, към които се приписват векторът на прогнозните параметри.

За всеки вектор следното съотношение е вярно:

, кога

По този начин, в полученото съотношение на по-малкия метод на квадратите, векторът и матрицата имат следната структура:

; .

където
- определя нереалният генериращ ефект върху системата;
- определя случайното въздействие върху системата.

съотношението на прогнозата, което е настъпило по-горе, може да се използва при описването на алгоритъма на филтрирането на Kalman:

къде е ковариацията матрица на вектора.

Изграждане на матрицата Cauchy.

В задачите на оценките на сградата, методите за изграждане на матрицата Cauchy често се появяват в методите за изграждане на измерване. Тази матрица свързва фазовите вектори на системата, приписана на различни точки на времето, в собственото им движение.

Ние сме ограничени до настоящия раздел за разглеждане на въпроси, свързани с изграждането на матрицата Cauchy за еволюционния модел, записан като система от обикновени диференциални уравнения (линейни или нелинейни).

когато се използват следните наименования за матриците за пропорционалност, построени в околностите на опорната траектория:

; .

Моделиране на измерването

Проблемът се случва в случая, когато например оценява потенциално постижимата точност на метода в някаква задача, нямате никакви резултати от измерването. В този случай се изискват резултатите от измерването за симулиране. Функцията за измерване на измерването е, че моделите на движение и измерване, използвани за тази цел, може да не съвпадат с тези модели, които ще използвате по време на изграждането на оценки, използвайки конкретен метод за филтриране.

Като начални условия за моделиране на еволюцията на фазовия вектор на динамичната система трябва да се използват истинските стойности на координатите на този вектор. В допълнение към това място, истинските стойности на координатите на векторната система на фаза не трябва да се използват повече навсякъде.

Числени методи

Специални функции

Случайни вектори

Проблемът, който е описан в този подраздел, е да моделира вектора корелиран между гаусовите случайни променливи.

Нека произволният вектор да бъде оформен на базата на превръщането на стандартните неазионни случайни променливи на съответното измерение, както следва: с точност на 4 знака, тя се основава на разлагане в редиците в степените на. аргумент за три интервали.

На сумата на асимптотичния ред става почти равен на 1.