راه های مختلف شواهد از قضیه فیثاغورس: نمونه ها، توضیحات و بررسی ها. قضیه فیثاگورا: تاریخچه سوال، شواهد، نمونه هایی از کاربرد عملی شلوار فیثاگورا در تمام جهات برابر با قضیه است

برخی از بحث ها سرگرم کننده هستند ...

سلام، چه میکنی؟
بله، وظایف از مجله تصمیم می گیرند.
-وای! از شما انتظار نداشت
چه انتظار نداشت؟
- به وظایف چه خبر؟ به نظر می رسد هوشمند است، اما شما به همه نوع بی معنی اعتقاد دارید.
- من نمی فهمم چه چیزی را بی معنی می کنید؟
بله، تمام این ریاضیات. پس از همه، واضح است که زباله کامل است.
-چطور می توانی چنین چیزی بگویی؟ ریاضیات - علم ملکه ...
- فقط بدون این پاتو، درست است؟ ریاضیات در تمام علم نیست، بلکه یک سفر جامع از قوانین و قوانین احمقانه است.
-چی؟!
- خوب، چنین چشمان بزرگ را انجام ندهید، خودتان می دانید که من درست است. نه، من استدلال نمی کنم، جدول ضرب یک چیز عالی است، او نقش مهمی در شکل گیری فرهنگ و تاریخ بشر ایفا کرد. اما اکنون همه چیز بی اهمیت است! و پس چرا همه چیز پیچیده بود؟ هیچ انتگرال یا لگاریتم در طبیعت وجود ندارد، این همه داستان های ریاضیدانان است.
-یک دقیقه صبر کن. ریاضیات چیزی را اختراع نکردند، قوانین جدیدی از تعامل بین اعداد را کشف کردند، با استفاده از ابزارهای اثبات شده ...
-بله حتما! و آیا شما آن را باور دارید؟ چه چیزی را نمی بینید، چه مزخرفانی آنها دائما حمل می کنند؟ آیا یک نمونه را دادید؟
بله، مهربان باشید
-بله لطفا! قضیه فیثاغورس.
- چه چیزی با آن اشتباه است؟
بله، همه چیز اشتباه است! "Pythagoras شلوار در تمام جهات برابر است،" شما می بینید. و شما می دانید که یونانی ها در طول فیثاغرا شلوار را نمی پوشند؟ چگونه می توان فیثاگورا به طور کلی در مورد آنچه که هیچ نظری نداشت، استدلال می کند؟
-یک دقیقه صبر کن. شلوار اینجا چیست؟
- به نظر می رسد فیثاغورس است؟ یا نه؟ آیا شما متوجه می شوید که فیثاگورا یک شلواره نداشت؟
در واقع، البته، البته، هیچ ...
-Aga، به این معنی است که قبلا در عنوان قضیه، یک ناسازگاری صریح! پس چگونه می توانیم به طور جدی به آنچه که در آن گفته شود ارتباط برقرار کنیم؟
- دقیقه فیثاغورس چیزی درباره شلوار خود صحبت نکرد ...
- آیا شما آن را تشخیص دهید، بله؟
بله ... بنابراین، می توانم ادامه دهم؟ Pythagoras هیچ چیز در مورد شلوار صحبت نمی کند، و او نیازی به ضمیمه حماقت دیگری برای او ...
-Aga، شما خودتان موافق هستید که این همه بی معنی است!
بله، من این را نگفتم!
"آنچه که من گفت." شما با خودتان مخالف هستید
-بنابراین. متوقف کردن. آنچه در قضیه فیثاغرا گفته شده است چیست؟
- چه شلوار برابر است.
-Blin، آیا شما حتی این قضیه را بخوانید؟!
-میدانم.
-جایی که؟
-i خواندن
-چه چیزی خواندی؟!
-Lobachevsky.
* مکث *
- سایت، اما Lobachevsky به Pythagora چیست؟
-Well، Lobachevsky نیز یک ریاضیدان است، و به نظر می رسد حتی جالب ترین اقتدار از Pythagore، می گویند نه؟
* آه *
-Well، Lobachevsky در مورد قضیه Pythagora چه گفت؟
چه شلوار برابر است. اما این مزخرف است! چطور می توان چنین شلوار را می توان در همه جا پوش کرد؟ و علاوه بر این، Pythagoras شلوار را پوشانده بود!
-Lobachevsky گفت: خیلی؟!
* مکث دوم، با اعتماد به نفس *
-آره!
من را جایی که نوشته شده است
-no، خوب، آنجا نوشته نشده است به طوری مستقل ...
نام این کتاب چیست؟
بله، این یک کتاب نیست، این مقاله در روزنامه است. درباره این واقعیت که Lobachevsky در واقع یک عامل از اطلاعات آلمان بود ... خوب، این به مورد مورد اعمال نمی شود. همه چیز همان، او احتمالا گفت. او همچنین یک ریاضیدان است، پس آنها در همان زمان با فیثاغورس هستند.
-Pifordore چیزی درباره شلوار نگفت.
-خب بله! در مورد و گفتار خوب همه است
- به نظم نگاه کن چگونه شما شخصا می دانید که در قضیه فیثاگورا گفته شده است؟
- بیایید ترک کنیم این همه دانستن است. هر گونه سوال، شما بلافاصله پاسخ خواهید داد.
شلوار پراکنده شلوار نیست ...
-و البته! این یک تمثیل است! آیا می دانید چند بار این را شنیدم؟
فیثاگورا مطلوب می گوید که مجموع مربعات چارچوب برابر با مربع هیپوتنوز است. و این همه!
چه شلوار است؟
بله، هیچ پیتگورا هیچ شلوار نداشت !!!
- شما می بینید، من هم صحبت می کنم. زباله تمام ریاضیات شما.
و نه زباله! نگاهی به خودتان نگاه کن در اینجا یک مثلث است. در اینجا hypotenuse است. در اینجا kartets ...
چرا، چرا همه شما اگر این Katenets هستند، و آیا آن را hypotenuse؟ شاید مخالف باشد؟
نه. گیج ها به نام دو طرف هستند که یک زاویه مستقیم تشکیل می دهند.
- خب، اینجا یک گوشه مستقیم دیگر است.
- این مستقیم نیست
و او، منحنی چیست؟
- نه، او تیز است
- پس این نیز تیز است.
- این تیز نیست، او مستقیم است.
"شما می دانید، من سر من را احمق نیستم!" شما فقط چیزهایی را صدا می زنید، زیرا برای شما مناسب است، فقط به نتیجه نتیجه به عنوان مورد نظر.
- دو طرف کوتاه از مثلث مستطیلی، Katenets هستند. سمت طولانی - هیپوتنوس.
و چه کسی کوتاهتر است - این catat؟ و hypotenuse، به این معنی دیگر رول نیست؟ شما از طرف شما گوش می دهید، چه مزخرفیهایی دارید. در حیاط قرن 21، شکوفایی دموکراسی، و شما نوعی قرون وسطی دارید. دو طرف او را ببینید که آیا نابرابری ...
مثلث -Rarological با احزاب برابر وجود ندارد ...
-مطمئنی؟ اجازه بدهید من را قرعه کشی کنم نگاه کن مستطیل شکل؟ مستطیل شکل. و همه احزاب برابر هستند!
این یک مربع را گرفت.
چه چیزی؟
-Beadrat مثلث نیست
-و البته! به محض اینکه او به ما مناسب نیست، بلافاصله "نه یک مثلث"! من را گم نکن خود را در نظر بگیرید: یک زاویه، دو زاویه، سه گوشه.
-فروش
چه چیزی؟
- این یک مربع است
و یک مربع که نه یک مثلث نیست؟ بدتر از آن است، بله؟ فقط به خاطر اینکه من او را نقاشی کردم؟ سه زاویه وجود دارد؟ وجود دارد، و حتی در اینجا یک یدکی است. خوب، نفیگ اینجا، شما می دانید ...
- ما این موضوع را ترک خواهیم کرد.
-Aga، در حال حاضر تسلیم؟ نیازی به بحث نیست؟ آیا شما می دانید که ریاضیات - زباله؟
- نه، من متوجه نمی شوم
- دوباره، دوباره، عالی! من فقط همه چیز را به طور دقیق ثابت کرده ام! اگر کل هندسه بر اساس آموزه های فیثاگورا است، و من عذرخواهی می کنم، پر از مزخرف ... چه چیزی می تواند بیشتر منطقی باشد؟
- Pythagorean - نه مزخرف ...
- خوب، چطور! و سپس من در مورد مدرسه Pythagoreans نمی شنوم! آنها، اگر شما می خواهید بدانید، در orgies فریب خورده است!
- من اینجا را می بینم ...
ما Pythagoras به طور کلی Fagot بود! او خودش گفت که افلاطون دوستش.
-Pythagoras؟!
شما نمی دانید؟ بله، آنها به طور کلی همه ی fagots بودند. و بر روی سر ترنچینی. یکی در یک بشکه خواب، یکی دیگر برهنه در شهر ...
- دیژن بشکه را می بیند، اما او فیلسوف بود، نه یک ریاضیدان ...
-و البته! اگر کسی در بشکه صعود کرد، نه ریاضیدانان! چرا ما نیاز به شرم اضافی داریم؟ ما می دانیم، ما می دانیم، گذشت اما شما به من توضیح میدهید چرا همه انواع قارچ هایی که سه هزار سال پیش زندگی می کردند و بدون شلوار فرار کردند، باید برای من قدرت باشند؟ چرا باید دیدگاه خود را بگیرم؟
- کم، ترک ...
بله، نه، شما گوش می دهید! من، در نهایت، من نیز گوش دادم. در اینجا این محاسبات، محاسبات ... شما می توانید همه چیز را انجام دهید! و بلافاصله بلافاصله از شما بپرسید: "این یک خصوصی است، این یک متغیر است، و این دو ناشناخته است." و شما در اوه اوه اوه به من بگویید، بدون خاص ... و بدون هیچ ناشناخته، ناشناخته، موجودیت ... من احساس می کنم بیمار از این، شما درک می کنید؟
-فهمیدن.
-Well، من به من توضیح می دهم که چرا دو نفر همیشه چهار نفر هستند؟ چه کسی آن را فکر کرد؟ و چرا من موظف به آن هستم که آن را به عنوان یک داده شده و حق ندارم شک داشته باشم؟
چگونه شک دارید که چقدر می خواهید ...
نه، به من توضیح میدهی فقط بدون این چیزها، اما به طور معمول، آن را به طور انسانی درک می کند.
- دو روز برابر با چهار است، زیرا دو بار دو بار چهار بار وجود دارد.
- روغن ماسلو. به من چه گفتی؟
- دو روز - اینها دو هستند، دو برابر می شوند. دو و دو را بکشید و آنها را پرتاب کنید ...
- به طوری برابر یا چند برابر؟
این یکسان است ...
-بوت بر روی! معلوم می شود اگر من درجه و ضرب هفت و هشت، نیز همان چیزی را دریافت خواهید کرد؟
نه.
-و چرا؟
- هفت به علاوه هشت برابر نیست ...
اگر نه من نه دو بار دو بار، آیا شما چهار را دریافت خواهید کرد؟
نه.
-و چرا؟ دو ضرب - معلوم شد، و با نه به طور ناگهانی یک بومر؟
-آره. دو بار نه - هجده ساله.
ما دو بار هفتم؟
-چهارده.
ما دو بار پنج؟
-ن
- این است، چهار تنها در یک مورد خاص به دست می آید؟
-دقیقا.
و حالا خودم فکر کن شما می گویید که قوانین سخت و قوانین ضرب وجود دارد. چه قوانینی می توانیم در مورد این به طور کلی صحبت کنیم اگر نتیجه دیگری در هر مورد به دست آید؟!
- این کاملا نیست. گاهی اوقات نتیجه ممکن است همزمان باشد. به عنوان مثال، دو بار شش برابر دوازده است. و چهار بار سه - بیش از حد ...
-حتی بدتر! دو، شش، سه چهارم - هیچ چیز مشترک نیست! شما خودتان خواهید دید که نتیجه به داده های منبع بستگی ندارد. همان راه حل در دو موقعیت بسیار متفاوتی پذیرفته شده است! و این به رغم این واقعیت است که همان دو بار ما را به طور مداوم انجام می دهیم و هیچ چیز را تغییر نمی دهیم، با تمام اعداد همیشه پاسخ های متفاوت را ارائه می دهند. کجا، منطق خواسته می شود؟
- اما همان، علاوه بر این، منطقی!
- شما می توانید - شاید. شما، ریاضیات، همیشه به تمام انواع Crap رسوب اعتقاد دارید. و این محاسبات شما من را متقاعد نمی کند. و شما می دانید چرا؟
-چرا؟
- که I. دانستنچرا واقعا به ریاضیات خود نیاز دارید؟ آیا همه چیز به پایین می آید؟ "شما یک سیب در جیب من دارید، و میشا پنج است. چند سیب باید میشا کیت را بدهد، به طوری که سیب ها برابر شده اند؟" و شما می دانید که من به شما خواهم گفت؟ میشی هیچ کس نباید دادن Katya دارای یک سیب - و به اندازه کافی. کمی به او؟ اجازه دهید آن را به اجرا اجرا، و صادقانه صادقانه به حداقل بر روی سیب، حتی اگر در گلابی، حتی در آناناس در شامپاین، درآمد کسب کنید. و اگر کسی بخواهد کار نکند، اما تنها وظایف تصمیم می گیرد - اجازه دهید او را با یک سیب خود بنشینید و تغییر نکند!

پتانسیل خلاقیت معمولا به رشته های بشردوستانه نسبت داده می شود، به طور طبیعی علمی تجزیه و تحلیل، یک رویکرد عملی و زبان خشک فرمول ها و اعداد است. ریاضیات به موضوعات بشردوستانه مشخص نخواهد شد. اما بدون خلاقیت در "ملکه تمام علوم"، آنها به دور نخواهند بود - در مورد این افراد به مدت طولانی شناخته شده اند. از آنجا که فیثاگورا، به عنوان مثال.

دانشکده های درسی، متأسفانه، معمولا توضیح نمیدهند که در ریاضیات مهم نیست که نه تنها به تیز کردن قضیه ها، اصول و فرمول ها تیز شود. مهم است که اصول اساسی آن را درک کنیم و احساس کنیم. و در عین حال، سعی کنید ذهن خود را از تمبرها و حقایق مضر آزاد کنید - فقط اکتشافات بزرگ در چنین شرایطی متولد می شوند.

این کشف را می توان به هر دو امروز به عنوان قضیه فیثاگورا می دانیم. با آن، ما سعی خواهیم کرد نشان دهیم که ریاضیات نه تنها می توانند، بلکه باید جذاب باشند. و این ماجراجویی نه تنها به گیاه شناسان در عینک های ضخیم مناسب است، بلکه برای همه کسانی که قوی و قوی در روح هستند.

از تاریخچه سوال

به شدت صحبت می کنند، حتی اگر قضیه به نام "قضیه Pythagore" نامیده می شود، خود Pythagore آن را باز نکرد. مثلث مستطیلی و خواص ویژه آن به مدت طولانی قبل از آن مورد مطالعه قرار گرفته است. دو دیدگاه قطبی در این مورد وجود دارد. بر اساس یک نسخه، Pythagoras اولین کسی بود که اثبات کامل قضیه را پیدا کرد. برای دیگر اثبات متعلق به نویسنده Pythagora نیست.

امروز نمی توانید بررسی کنید که چه کسی درست است و چه کسی اشتباه است. تنها شناخته شده است که شواهدی از فیثاگورا، اگر تا به حال وجود داشته باشد، حفظ نشد. با این حال، پیشنهاد شده است که اثبات معروف از "مزایای" اقلیدا می تواند متعلق به فیثاگورا باشد، و اقلیدس تنها آن را ثبت کرد.

همچنین، همچنین شناخته شده است که وظایف در مورد مثلث مستطیلی در منابع مصر فرعون Amenhetter I، در نشانه های رسوبی بابلی از سلطنت تزار هاموراپی، در رساله های باستانی هند "سولوا سوترا" و باستان، یافت می شود مقاله "ژو-بی سو جین".

همانطور که می بینید، قضیه Pythagore ذهن ریاضیدانان را از دوران باستان اشغال کرد. تایید همچنین حدود 367 شواهد متنوع را که امروز وجود دارد، خدمت می کند. هیچ قضیه دیگری در این با آن وجود ندارد. در میان نویسندگان مشهور شواهد می تواند توسط لئوناردو داوینچی و رئیس جمهور بیستم جیمز گارفیلد ایالات متحده به یاد بیاوند. همه اینها نشان دهنده اهمیت شدید این قضیه برای ریاضیات است: از آن مشتق شده یا یکی از راه های دیگر، اکثر قضیه هندسی با آن ارتباط دارد.

اثبات قضیه فیثاگورا

در کتاب های درسی مدرسه به طور عمده شواهد جبری را هدایت می کند. اما ماهیت قضیه در هندسه، بنابراین ابتدا از همه کسانی که قضیه معروف که بر این علم تکیه می کنند، در نظر بگیریم.

اثبات 1

برای ساده ترین اثبات قضیه فیثاگورا برای یک مثلث مستطیلی، شما باید از شرایط ایده آل بپرسید: اجازه دهید مثلث نه تنها مستطیل شکل باشد، بلکه هزینه ای نیز دارد. دلیلی وجود دارد که باور کنیم که این مثلث خاص در ابتدا ریاضیات از دوران قدیم در نظر گرفته شده است.

بیانیه "مربع، ساخته شده بر روی هیپوتنئوس یک مثلث مستطیلی، برابر با مجموع مربعات ساخته شده بر روی دسته های آن است" شما می توانید نقاشی زیر را نشان دهید:

نگاهی به یک مثلث مستطیلی متعادل کننده ABC: در هیپوتنوز AU، شما می توانید یک مربع متشکل از چهار مثلث با ABC اصلی ایجاد کنید. و در بانک های AV و خورشید بر روی مربع ساخته شده اند، که هر کدام شامل دو مثلث مشابه هستند.

به هر حال، این نقاشی بر اساس جوک های متعدد و کاریکاتورها اختصاص داده شده به قضیه Pythagouo است. معروف ترین، شاید، آن "شلوار Pythagoras در تمام جهات برابر است:

اثبات 2

این روش ترکیبی از جبر و هندسه است و می تواند به عنوان یک گزینه از ریاضیات اثبات شده باستانی هند در نظر گرفته شود.

یک مثلث مستطیلی را با دو طرف بسازید a، b و c (عکس. 1). سپس دو مربع را با دو طرف برابر با مجموع طول دو کت، ساخت (a + b). در هر یک از مربع ها، ساخت و ساز را به عنوان در شکل 2 و 3 اجرا کنید.

در اولین مربع چهار مثلث مشابه ساخته شده است، همانطور که در شکل 1، به عنوان یک نتیجه، دو مربع به دست می آیند: یکی با یک طرف یک، دوم با یک طرف ب.

در میدان دوم، چهار مثلث مشابه ساخته شده یک مربع را با یک حزب برابر با هیپوتنوز تشکیل می دهند. c..

مجموع زمینه های مربع های ساخته شده در شکل 2 برابر با مربع مربع است که ما با کنار شکل 3 ساخته شده است. چک کردن آسان، محاسبه مربع مربع در شکل. 2 فرمول و منطقه مربع ثبت شده در شکل 3 با کم کردن مربع از چهار بخش مساوی شامل مربع از مثلث مستطیل شکل از مربع بزرگ از طرف (a + b).

پس از نوشتن این همه، ما داریم: 2 + B 2 \u003d (A + B) 2 - 2AB. گسترش براکت ها، تمام محاسبات جبری لازم را صرف کنید و آن را دریافت کنید 2 + B 2 \u003d A 2 + B 2. در این مورد، منطقه ای که در شکل 3 نوشته شده است. مربع همچنین می تواند با توجه به فرمول سنتی محاسبه شود s \u003d c 2. کسانی که. 2 + B 2 \u003d C 2 - شما قضیه فیثاگورا را اثبات کردید.

اثبات 3

همان مدرن قدیمی هندی در قرن XII در رساله "تاج دانش" (Sidhanta Shranmani) و به عنوان استدلال اصلی، نویسنده از تماس درخواست تجدید نظر به استعدادهای ریاضی و مشاهده دانش آموزان و پیروان را شرح می دهد: "نگاه کنید! ".

اما ما این اثبات را بیشتر توضیح خواهیم داد:

در داخل مربع چهار مثلث مستطیلی را تشکیل می دهند، همانطور که در نقاشی تعیین شده است. طرف مربع بزرگ، این هیپوتنوز است، ما نشان دادیم از جانب. گربه های مثلث نامیده می شوند ولی و ب. مطابق با نقاشی، طرف مربع داخلی است (A-B).

از فرمول مربع مربع استفاده کنید s \u003d c 2برای محاسبه مساحت مربع بیرونی. و در عین حال، همان مقدار را با کشیدن مساحت مربع داخلی و مساحت چهار مثلث مستطیلی محاسبه کنید: (A-B) 2 2 + 4 * 1 \\ 2 * a * b.

شما می توانید از هر دو گزینه برای محاسبه مربع مربع استفاده کنید تا اطمینان حاصل شود: آنها نتیجه مشابهی را ارائه می دهند. و این به شما حق می دهد که آن را بنویسید c 2 \u003d (A-B) 2 + 4 * 1 \\ 2 * a * b. به عنوان یک نتیجه از راه حل، شما فرمول تئوری Pythagora را دریافت خواهید کرد c 2 \u003d a 2 + b 2. قضیه ثابت شده است.

اثبات 4

این کنجکاو چینی مدرن چینی نام "صندلی عروس" را به دست آورد - به دلیل شکل شکل، که به عنوان یک نتیجه از تمام ساختمان ها به دست آمده است:

از نقاشی استفاده می کند که ما قبلا در اثبات دوم دیده ایم. و مربع داخلی با یک طرف از C به همان شیوه ای که در اثبات باستانی هند بود، ساخته شد.

اگر شما ذهنی نقاشی را در شکل 1 قطع کنید. دو مثلث مستطیلی سبز، آنها را به طرف مقابل مربع با یک طرف و هیپوتنوس انتقال دهید تا به هیپوتنوس های مثلث لایک اعمال شود، این رقم به نام "صندلی عروس" ( شکل 2). برای وضوح، شما می توانید همان را با مربع کاغذ و مثلث انجام دهید. شما اطمینان حاصل خواهید کرد که صندلی عروس دو مربع را تشکیل می دهد: کوچک با طرف ب و بزرگ با طرف آ..

این سازه ها به ریاضیدانان باستان چینی اجازه داده اند و برای آنها به نتیجه رسیدند c 2 \u003d a 2 + b 2.

اثبات 5

این راه دیگری برای پیدا کردن یک راه حل برای قضیه Pythagore، بر اساس هندسه است. این "روش گارفیلد" نامیده می شود.

یک مثلث مستطیلی را بسازید ابک. ما باید ثابت کنیم که SUN 2 \u003d AC 2 + AB 2.

برای انجام این کار، ادامه catat قسم و ساخت برش سی دیکه برابر با کاتتو است au. پایین تر آگهی بخش ادا. بخش ها ادا و قسم برابر. نکته ها E. و که در، همچنین E. و از جانب و رسم نقاشی، همانطور که در شکل زیر:

برای اثبات Terem، ما دوباره به روش آزمایش شده مورد آزمایش قرار می گیریم: ما منطقه ای از شکل نتیجه را به دو روش پیدا می کنیم و عبارات را به یکدیگر مقایسه می کنیم.

یک منطقه چند ضلعی پیدا کنید تختخواب. شما می توانید، تاشو مساحت سه مثلث، که آن را تشکیل می دهند. و یکی از آنها، esr، این نه تنها مستطیل شکل است، بلکه به چالش کشیده می شود. فراموش نکنید ab \u003d cd, ac \u003d ed و خورشید \u003d CE - این به ما اجازه می دهد که ضبط را ساده کنیم و آن را بیش از حد بارگیری کنیم. بنابراین، S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2VS 2.

بدیهی است که تختخواب. - این یک تراپزی است. بنابراین، ما منطقه خود را با توجه به فرمول محاسبه می کنیم: s abed \u003d (de + ab) * 1 / 2AD. برای محاسبات ما، مناسب تر برای ارائه یک بخش است آگهی به عنوان مجموع بخش ها قسم و سی دی.

ما هر دو راه را برای محاسبه شکل شکل، قرار دادن نشانه برابری بین آنها بنویسیم: AB * AC + 1 / 2BC 2 \u003d (DE + AB) * 1/2 (AC + CD). ما از برابری بخش هایی که قبلا شناخته شده اند استفاده می کنیم و در بالا توضیح دادیم تا بتوانیم سمت راست رکورد را ساده کنیم: AB * AC + 1 / 2BC 2 \u003d 1/2 (AV + AC) 2. و اکنون ما براکت ها را نشان خواهیم داد و برابری را تغییر خواهیم داد: AB * AC + 1 / 2BC 2 \u003d 1/2 (2AS 2 + 2 * 1/2 (AV * AS) + 1 / 2AV 2. پس از تمام تحولات، ما دقیقا همان چیزی را که ما نیاز داریم را دریافت می کنیم: SUN 2 \u003d AC 2 + AB 2. ما به قضیه اثبات شده ایم.

البته، این فهرست شواهد به مراتب کامل است. قضیه Pythagora همچنین می تواند با استفاده از بردارها، تعداد پیچیده، معادلات دیفرانسیل، استمتری، و غیره اثبات شود. و حتی فیزیکدانان: اگر، به عنوان مثال، در یک میدان مربع و سه گوشه ارائه شده در نقاشی ها و حجم مثلثی مایع سوخت. مایع بیش از حد، شما می توانید برابری مربع و همان قضیه خود را ثابت کنید.

چند کلمه در مورد Pythagora Troika

این سوال خیلی زیاد نیست یا در برنامه مدرسه مورد مطالعه قرار نمی گیرد. در همین حال، بسیار جالب است و در هندسه اهمیت زیادی دارد. Pythagoras Troika برای حل بسیاری از وظایف ریاضی استفاده می شود. ایده آنها می تواند در آموزش بیشتر مفید باشد.

پس Pythagora Troika چیست؟ به اصطلاح اعداد طبیعی جمع آوری شده توسط سه، مجموع مربع از دو آن برابر با تعداد سوم در مربع است.

Pythagora Troika می تواند:

• ابتدایی (همه سه عدد - دو طرفه ساده)؛
• نه ابتدایی (اگر هر تعداد از سه عدد همان تعداد را به همان تعداد افزایش می دهد، یک tripler جدید را تبدیل می کند، که ابتدایی نیست).

حتی قبل از عصر ما از مصریان باستان، توسط شیدایی تعداد فیثاگورا TROK شگفت زده شد: در وظایف، آنها یک مثلث مستطیلی را با دو طرف از 3.4 و 5 واحد در نظر گرفتند. به هر حال، هر مثلث، احزاب که برابر با اعداد از سه فیثاغوونیک برابر هستند، به طور پیش فرض مستطیلی است.

نمونه هایی از Pythagora Troks: (3، 4، 5)، (6، 8، 10)، (5، 12، 13)، (9، 12، 15)، (8، 15، 17)، (8، 15، 17)، (12، 16، 20)، (15، 20، 25)، (7، 24، 25)، (10، 24، 26)، (20، 21، 29)، (18، 24، 30)، (10، 24، 30)، (10، 30، 34) (21، 28، 35)، (12، 35، 37)، (15، 36، 39)، (24، 32، 40)، (9، 40، 41)، (27، 36، 45)، (27، 36، 45)، ( 14، 48، 50)، (30، 40، 50)، و غیره

کاربرد عملی قضیه

قضیه Pythagoreo، نه تنها در ریاضیات، بلکه در معماری و ساخت و ساز، نجوم و حتی ادبیات استفاده می کند.

ابتدا در مورد ساخت و ساز: قضیه فیثاگورا در وظایف سطوح مختلف پیچیدگی استفاده می شود. به عنوان مثال، به پنجره Romanesque نگاه کنید:

عرض پنجره را نشان دهید ب، سپس شعاع نیمه رسانای بزرگ را می توان به عنوان تعیین کرد R. و بیان از طریق b: r \u003d b / 2. شعاع نیمه روزهای کوچکتر نیز از طریق آن بیان می شود ب: r \u003d b / 4. در این کار، ما به شعاع دایره درونی پنجره علاقه مند هستیم (بیایید آن را بفرستیم پ.).

قضیه Pythagore فقط برای محاسبه مفید است r. برای انجام این کار، از یک مثلث مستطیلی استفاده کنید که در شکل یک خط نقطه نقطه ای نشان داده شده است. هیپوتنوز مثلث شامل دو شعاع است: b / 4 + p. یک کاتات یک شعاع است b / 4.، دیگر b / 2-P. با استفاده از قضیه Pythagore، نوشتن: (B / 4 + P) 2 \u003d (B / 4) 2 + (B / 2-P) 2. بعد، ما براکت ها را نشان خواهیم داد و دریافت خواهیم کرد b 2/16 + BP / 2 + P 2 \u003d B 2/16 + B 2/4-BP + P 2. ما این عبارت را تغییر می دهیم bP / 2 \u003d B 2/4-BP. و سپس تمام اعضای را تقسیم کنید ب، بیایید همین را به دست بیاوریم 3/2 * P \u003d B / 4. و در نهایت ما آن را پیدا خواهیم کرد p \u003d b / 6 - آنچه ما نیاز داشتیم

با استفاده از قضیه، می توانید طول آن را برای سقف استخوان محاسبه کنید. برای تعیین اینکه کدام ارتفاع برج موبایل مورد نیاز است، سیگنال به یک حل معینی می رسد. و حتی به طور پیوسته درخت سال نو را در میدان شهر نصب کنید. همانطور که می بینید، این قضیه نه تنها در صفحات کتاب های درسی زندگی می کند، بلکه اغلب در زندگی واقعی نیز مفید است.

همانطور که برای ادبیات، قضیه Pythagore از نویسندگان الهام گرفته از زمان دوران قدیم و ادامه آن را در زمان ما ادامه می دهد. به عنوان مثال، نویسنده آلمانی قرن نوزدهم Adelbert Von Shamisso، او الهام بخش برای نوشتن Sonnet:

نور حقیقت به زودی از بین خواهد رفت
اما، خراب شدن، ناپدید شد
و، مانند هزاره برگشت،
این باعث شک و تردید نخواهد شد.

عاقلانه ترین زمانی که لمس نگاه کرد
نور حقیقت، خدایان تشکر می کنند؛
و صد گاو، جوش، دروغ -
پاسخ DAR از Pythagorean خوش شانس.

از آن زمان، گاوها به شدت سر و صدا هستند:
برای همیشه یک قبیله صعودی را فریاد زد
رویداد مشخص شده در اینجا

به نظر می رسد آنها: این است - زمان خواهد آمد.
و Syznov قربانی قربانی می شود
برخی از قضیه بزرگ

(ترجمه ویکتور Toporova)

و در قرن بیستم، نویسنده شوروی Evgeny Valtists در کتاب "ماجراجویی الکترونیک الکترونیک" شواهد از قضیه فیثاگورا کل فصل را گرفت. و یکی دیگر از داستان های نیمه جوش شده در مورد دنیای دو بعدی که می تواند وجود داشته باشد، اگر قضیه فیثاگورا به یک قانون اساسی و حتی دین برای یک دنیای جداگانه تبدیل شود. در آن زندگی بسیار ساده تر خواهد بود، بلکه خیلی خسته کننده تر است: به عنوان مثال، هیچ کس معنای کلمات "دور" و "کرکی" را درک نمی کند.

و در کتاب "الکترونیک ماجراجویی" توسط دهان معلم ریاضیات Tarattara می گوید: "چیز اصلی در ریاضیات جنبش اندیشه، ایده های جدید است." این پرواز خلاق افکار است که به قضیه فیثاغورا منجر می شود - این چیزی نیست که شواهد متنوعی داشته باشد. او کمک می کند تا فراتر از مرزهای چیزهای معمول و آشنا به راه جدیدی نگاه کند.

نتیجه

این مقاله ایجاد شده است به طوری که شما می توانید خارج از برنامه درسی مدرسه در ریاضیات نگاه کنید و نه تنها شواهدی از قضیه Pythagora، که در کتاب های درسی "هندسه 7-9" (L.S. Atanasyan، V.N. Rudenko) و "هندسه 7 - 11 "(AV Pogorelov)، بلکه دیگر روش های کنجکاو برای اثبات قضیه معروف است. و همچنین نمونه هایی را به عنوان قضیه Pythagore می توان در زندگی عادی اعمال کرد.

اولا، این اطلاعات به شما این امکان را می دهد که بتوانید امتیازات بالاتری را در درس های ریاضی واجد شرایط کنید - اطلاعات مربوط به موضوع منابع اضافی همیشه بسیار ارزشمند است.

ثانیا، ما می خواستیم به شما کمک کنیم که چگونه ریاضیات علمی جالب را احساس کنید. اطمینان از نمونه های خاصی که همیشه در آن وجود دارد. ما امیدواریم که قضیه Pythagore و این مقاله به شما در جستجوی خود و اکتشافات هیجان انگیز در ریاضیات و علوم دیگر الهام بخش است.

در نظرات به ما بگویید که آیا شما در مقاله جالب به نظر می رسید جالب بود. آیا از این اطلاعات در مدارس استفاده کردید؟ به ما بگویید که چه چیزی در مورد قضیه فیثاگورا و این مقاله فکر می کنید - ما خوشحال خواهیم شد که همه اینها را با شما بحث کنیم.

سایت، با کپی کامل یا جزئی مرجع مادی به منبع اصلی مورد نیاز است.

شلوار - دریافت آکادمیک فعالیت های تبلیغاتی تبلیغاتی یا شلوار سودآور برای خرید با تخفیف در فروش در Ridestep

جرگه shk ژله تئوری Pythagoreo، که نسبت بین مربع مربعی ساخته شده بر روی هیپوتنوز و کیت مثلث مستطیلی را ایجاد می کند. BTS، 835 ... دیکشنری بزرگ سخنان روسی

شلوار پارتاگورا - نام کمیک قضیه Pytagora، که به علت این واقعیت است که مربعات ساخته شده در دو طرف مستطیل و مربع ها در جهات مختلف متفاوت شبیه شلوار بود. من هندسه را دوست داشتم ... و من در امتحان ورود به دانشگاه دریافت کردم ... ... ... ... فرهنگ لغت Frassological از زبان ادبی روسیه

شلوار پارتاگورا - نام شوخی قضیه فیثاغوره ایجاد رابطه بین مربع های ساخته شده بر روی هیپوتنوس ها و کیت از مثلث مستطیلی، که به نظر می رسد به نظر می رسد در نقاشی به نظر می رسد مانند storks ... دیکشنری بسیاری از عبارات

Inloid: درباره مرد Darovite Wed. این بدبختی است. در دوران باستان، او احتمالا شلوار Pythagorov را اختراع کرده است ... Saltykov. نامه های Pestus Pythagoras شلوار (GEOM.): در مستطیل، مربع هیپوتنوز برابر با مربع های ماست (آموزش ... ... دیکشنری بزرگ ضخیم-فریزر Mikhelson

شلوار Pythagora برای همه طرف ها برابر هستند - تعداد دکمه ها شناخته شده است. چرا باید از نزدیک باشم؟ (خشن) در مورد شلوار و ارگان های جنسی مردان. شلوار Pythagora برای همه طرف ها برابر هستند. برای اثبات آن، شما باید حذف و نشان دادن 1) در مورد قضیه فیثاگورا؛ 2) درباره شلوار گسترده ... سخنرانی زندگی دیکشنری بیان های گفتاری

شلوار piñagorovy (اختراع) inustice. درباره Mancock انسانی. cf. این بدون شک یک سیج است. در دوران باستان، او شلوار Piñagorov را اختراع کرد ... Saltykov. نامه های پیاده روی شلوار piñagorovy (Geom.): در مستطیل، مربع هیپوتنوس ... ... دیکشنری هوشمندانه فکری از میشلسون (املا اصلی)

شلوار Pythagoras در تمام جهات برابر است - شوخی شوخی از قضیه Pythagore؛ همچنین در شوخی در مورد شلوار baggy از یک دوست ... فرهنگ لغت عبارات عامیانه

نشستن، بی ادب ...

Pythagoras شلوار در تمام جهات برابر است (تعداد دکمه ها شناخته شده است. چرا نزدیک است؟ / برای اثبات آن، شما نیاز به حذف و نشان دادن) - راضی، بی رحم ... فرهنگ لغت توضیح عبارات مکالمه مدرن و پیشرفت

مجموع، MN، UPOTR. مقایسه شده. اغلب مورفولوژی: Mn. چی؟ شلوار، (نه) چه؟ شلوار، چی؟ شلوار، (نگاه کنید به) چه؟ شلوار از؟ شلوار، چی؟ درباره شلوار 1. شلوار این یک تکه لباس است که دارای دو شلوار کوتاه یا بلند است و پایین ... دیکشنری توضیح Dmitrieva

کتاب

• شلوار فیثاغور ،. در این کتاب شما داستان و ماجراجویی، عجایب و داستان را پیدا خواهید کرد. خنده دار و غم انگیز، عادی و مرموز ... و چه چیز دیگری برای خواندن سرگرم کننده مورد نیاز است؟ نکته اصلی این است که ...
• عجایب بر روی چرخ ها، Markush Anatoly. میلیون ها چرخ در سراسر ماشین های رول زمین چرخاندن، اندازه گیری زمان در ساعت، بهره برداری در زیر قطارها، انجام کار بی شماری در ماشین آلات و مکانیزم های مختلف. آن ها هستند…

»پروفسور افتخار ریاضیات دانشگاه وارکا، محبوب تر از علم یان استوارت، اختصاص داده شده به نقش اعداد در تاریخ بشر و ارتباط مطالعه خود در زمان ما.

Pytagorova hypotenuse

مثلث فیثاگورا دارای یک زاویه مستقیم و طرف مقابل است. در ساده ترین آنها، طولانی ترین سمت دارای طول 5، باقی مانده - 3 و 4. تنها 5 polyhedra درست وجود دارد. معادله درجه پنجم غیرممکن است که با کمک ریشه های درجه پنجم یا هر ریشه دیگر حل شود. Lattices در هواپیما و در فضای سه بعدی، تقارن پنج نقطه ای از چرخش ندارند، بنابراین چنین تقارنی در بلورها وجود ندارد. با این حال، آنها می توانند در شبکه های چهار بعدی و در ساختارهای پیشرفته شناخته شده به عنوان quasicrystals باشند.

هیپوتنوز از کوچکترین فیثاغورو سه

قضیه Pythagoreo می گوید که طولانی ترین سمت مثلث مستطیلی (هیپوتنوس مشکوک) با دو طرف دیگر این مثلث بسیار ساده و زیبا است: مربع هیپوتنوز برابر با مجموع مربعات دو طرف دیگر است.

به طور سنتی، ما این قضیه فیثاگورا را می نامیم، اما در واقع داستان او کاملا مهربان است. صفحات خاک رس نشان می دهد که بابلیان باستان قضیه فیثاگورا را قبل از خود فیثاگورا می دانستند؛ شهرت کشف او یک فرقه ریاضی فیثاغورث را به ارمغان آورد، که هواداران آنها معتقد بودند که جهان بر اساس قوانین عددی است. نویسندگان باستانی به فیثاغورث اختصاص داده شدند - و بنابراین، و فیثاگورا انواع قضیه های ریاضی است، اما در حقیقت ما هیچ نظری درباره ریاضیات Pythagores خود نداشتیم. ما حتی نمی دانیم که آیا فیثاغور ها می توانند قضیه پیث داشته باشند یا فقط اعتقاد بر این باشند که درست است. یا، به احتمال زیاد، آنها اطلاعاتی را در مورد حقیقت خود متقاعد کرده بودند که با این وجود به اندازه کافی برای آنچه که ما امروز شواهد را در نظر می گیریم، کافی نبود.

اثبات Pythagora

اولین اثبات اثبات شده از قضیه Pythagore ما در "آغاز" Euclidea پیدا می کنیم. این روش کاملا پیچیده با استفاده از نقاشی است، که در آن دانش آموزان ویکتوریا بلافاصله "شلوار فیثاگورا" را تشخیص می دهند؛ نقاشی و حقیقت با خشک کردن خشخاش خشک کردن بر روی طناب یادآوری می شود. به معنای واقعی کلمه صدها شواهد دیگر شناخته شده است، اکثر آنها تایید اثبات شده را بیشتر واضح تر می کنند.

// شکل. 33. شلوار فیثاگورا

یکی از ساده ترین شواهد نوعی پازل ریاضی است. هر مثلث مستطیلی را بیابید، چهار نسخه از آن را جمع آوری کنید و آنها را داخل مربع جمع آوری کنید. در یک تخمگذار، میدان را در هیپوتنوز میدانیم؛ با دیگر، مربع ها در دو طرف دیگر مثلث. واضح است که مربع در همان مورد برابر است.

// شکل. 34. چپ: مربع بر روی هیپوتنوس (به علاوه چهار مثلث). راست: مجموع مربعات در دو طرف دیگر (به علاوه همان چهار مثلث). و حالا مثلث را حذف می کند

ساخت پرگال - یکی دیگر از پازل پازل.

// شکل. 35. تشخیص پرگال

همچنین اثبات قضیه با استفاده از مربع مربع در هواپیما وجود دارد. شاید این، این است که چگونه فیثاغورس یا پیشینیان ناشناخته آنها این قضیه را باز کردند. اگر شما نگاه کنید به چگونگی برخورد با مربع مورب دو مربع دیگر، می توانید ببینید که چگونه یک مربع بزرگ را به قطعات تقسیم کنید و سپس دو مربع کوچکتر از آنها را بشویید. شما همچنین می توانید مثلث مستطیلی را ببینید، طرف هایی که به اندازه سه مربع درگیر می شوند.

// شکل. 36. اثبات سنگ فرش

شواهد جالبی با استفاده از مثلث مشابه در مثلثات وجود دارد. این حداقل پنجاه شواهد مختلف شناخته شده است.

Pythagora Troika

در تئوری اعداد، قضیه Pythagorea به یک منبع ایده پربار تبدیل شده است: برای پیدا کردن راه حل های صحیح برای معادلات جبری. Pytagorova Troika مجموعه ای از اعداد صحیح A، B و C است، به طوری که

به طور هندسی، چنین سه گانه یک مثلث مستطیلی را با طرف های عدد صحیح تعریف می کند.

کوچکترین فرضیه Pythagoras Troika 5 است.

دو طرف دیگر این مثلث برابر با 3 و 4. در اینجا هستند

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

بزرگترین هیپوتنوز بعدی برابر با 10 است، زیرا

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.

با این حال، این اساسا یک مثلث مشابه با احزاب دو برابر شده است. بزرگترین و واقعا دیگر hypotenuse 13، برای او است

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.

اقلیدسی می دانست که تعداد بی حد و حصر از انواع مختلفی از فیثاگورا TROK وجود دارد و به آنچه می توان فرمول را برای پیدا کردن همه آنها نامگذاری کرد، به دست آورد. بعدها، Diofant Alexandrian یک دستور ساده ارائه داد، عمدتا همزمان با اقلیدسی.

هر دو عدد طبیعی را بگیرید و محاسبه کنید:

کار دوگانه آنها؛

تفاوت بین مربعات آنها؛

مجموع مربعات آنها.

سه عدد دریافت شده، دو طرف مثلث پایتاشوف خواهند بود.

برای مثال، اعداد 2 و 1. محاسبه کنید:

کار دو طرفه: 2 × 2 × 1 \u003d 4؛

تفاوت های مربعی: 22 - 12 \u003d 3؛

خلاصه ای از مربع ها: 22 + 12 \u003d 5،

و ما مثلث معروف 3-4-5 را گرفتیم. اگر شما شماره 3 و 2 را در نظر بگیرید، ما دریافت می کنیم:

twoful Work: 2 × 3 × 2 \u003d 12؛

تفاوت های مربع: 32 - 22 \u003d 5؛

خلاصه مربع: 32 + 22 \u003d 13،

و ما مثلث زیر را دریافت می کنیم 5 - 12 - 13، سعی کنید اعداد 42 و 23 را دریافت کنید و دریافت کنید:

udfieldy: 2 × 42 × 23 \u003d 1932؛

تفاوت های مربعی: 422 - 232 \u003d 1235؛

مجموع مربعات: 422 + 232 \u003d 2293،

هیچ کس تا به حال از مثلث 1235-1932-2293 شنیده نشده است.

اما این اعداد نیز کار می کنند:

12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.

در قانون دیوفانت، یکی دیگر از ویژگی های دیگری وجود دارد که قبلا اشاره کرده است: پس از دریافت سه عدد، ما می توانیم یک عدد دلخواه دیگر را دریافت کنیم و آنها را بر روی آن ضرب کنیم. بنابراین، مثلث 3-4-5 را می توان به یک مثلث 6-8-10 تبدیل کرد، هر دو طرف را به 2، یا در یک مثلث 15-20-25 ضرب کنید، همه چیز را در 5 افزایش دهید.

اگر به زبان جبر بروید، قانون به شکل زیر تبدیل می شود: اجازه دهید U، V و K اعداد طبیعی باشد. سپس مثلث مستطیل شکل با احزاب

2KUV و K (U2 - V2) دارای hypotenuse است

راه های دیگری برای ارائه ایده اصلی وجود دارد، اما همه آنها توضیح داده شده در بالا را کاهش می دهند. این روش به شما اجازه می دهد تمام Troika Pythagoras را دریافت کنید.

polyhedra راست

یک حساب صحیح پنج Polyhedra درست وجود دارد. polyhedron درست (یا polyhedron) یک شکل حجمی با تعداد محدودی از چهره های مسطح است. لبه ها با یکدیگر در خطوط به نام دنده ها همگام می شوند؛ Ribs در نقاط به نام رأس یافت می شود.

اولویت اقلیدس "آغاز شد" اثبات این است که تنها پنج polyhedra درست وجود دارد، یعنی پلی هدر، که در آن هر جنبه چند ضلعی راست (طرف مقابل، زوایای برابر) است، همه چهره ها یکسان هستند و تمام رأس ها احاطه شده اند با تعداد مساوی از همان چهره. در اینجا پنج polyhedra راست وجود دارد:

tetrahedron با چهار لبه مثلثی، چهار رأس و شش دنده؛

مکعب، یا hexahedr، با 6 چهره مربع، 8 رأس و 12 دنده؛

اکتاهان با 8 چهره مثلثی، 6 رأس و 12 دنده؛

dodecahedron با 12 غده Pyranioral، 20 رأس و 30 دنده؛

ikosahedron با 20 چهره مثلثی، 12 رأس و 30 دنده.

// شکل. 37. پنج polyhedra راست

Polyhedra راست را می توان در طبیعت یافت. در سال 1904، ارنست گوکل نقشه های موجودات کوچک شناخته شده را به نام radolaria منتشر کرد؛ بسیاری از آنها شباهت پنجگانه پنجگانه دارند. ممکن است درست باشد، او یک ماهیت کمی را اصلاح کرد، و نقاشی ها به طور کامل منعکس کننده شکل موجودات خاص زندگی نیستند. سه ساختار اول نیز در کریستال مشاهده می شود. Dodecahedron و Ikosahedra در کریستال شما پیدا نخواهید کرد، اگر چه Dodecahedra اشتباه و Ikosahedra گاهی اوقات در آنجا وجود دارد. Dodecahedra واقعی می تواند به شکل کوتیکریستال ها رخ دهد، که شبیه کریستال ها در همه چیز است، به جز اینکه اتم های آنها یک شبکه دوره ای را تشکیل نمی دهند.

// شکل. 38. تصاویر Geckel: رادیولار در قالب polyhedra راست

// شکل. 39. اسکنرهای Polyhedra درست

جالب است که مدل های polyhedra درست از کاغذ را بسازیم، از پیش تعیین شده از چهره های متصل شده جلوگیری کنیم - این یک اسکن چندگانه نامیده می شود؛ اسکن در امتداد دنده ها قرار دارد و دنده های مربوطه را در میان خود چسباند. مفید است برای اضافه کردن هزینه اضافی برای چسب به یکی از لبه های هر جفت چنین، همانطور که در شکل نشان داده شده است. 39. اگر چنین پلتفرم وجود نداشته باشد، می توانید از نوار چسبنده استفاده کنید.

معادله درجه پنجم

هیچ فرمول جبری برای حل معادلات درجه پنجم وجود ندارد.

به طور کلی، معادله درجه پنجم به نظر می رسد این است:

aX5 + BX4 + CX3 + DX2 + EX + F \u003d 0.

مشکل این است که یک فرمول برای راه حل های چنین معادله پیدا کنید (می تواند تا پنج راه حل داشته باشد). تجربه گردش معادلات مربع و مکعب، و همچنین معادلات درجه چهارم نشان می دهد که چنین فرمول باید برای معادلات درجه پنجم وجود داشته باشد، و در تئوری، باید ریشه های پنجم، سوم و درجه دوم باز هم، می توان آن را بولدن کرد تا فرض شود که چنین فرمول، اگر وجود داشته باشد، بسیار و بسیار دشوار خواهد بود.

این فرض در نهایت تبدیل به اشتباه شد. در واقع، چنین فرمول وجود ندارد؛ حداقل هیچ فرمول ای وجود ندارد که شامل ضرایب A، B، C، D، E و F باشد، با استفاده از افزودن، تفریق، ضرب و تقسیم، و همچنین استخراج ریشه تشکیل شده است. بنابراین، در میان 5 5 چیزی کاملا خاص وجود دارد. دلایل چنین رفتار غیر معمول از پنج نفر بسیار عمیق هستند و زمان زیادی برای مقابله با آنها گذشت.

اولین نشانه مشکل این بود که، به عنوان اگر ریاضی، او سعی کرد چنین فرمول را پیدا کند، مهم نیست که چقدر هوشمندانه آنها بود، آنها به طور مداوم شکست خوردند. برای برخی از زمان هر کس معتقد بود که دلایل در پیچیدگی باور نکردنی فرمول دروغ می گویند. اعتقاد بر این بود که هیچ کس به سادگی قادر به کشف این جبر نیست. با این حال، در طول زمان، برخی از ریاضیات شروع به شک و تردید کردند که چنین فرمول وجود دارد، و در سال 1823 نیلز هاندریک آبل موفق به اثبات مخالفت شد. این فرمول وجود ندارد مدت کوتاهی پس از آن، Evarister Galua راهی برای تعیین اینکه آیا معادله یک راه دیگر - 5، 6، 7، به طور کلی، به طور کلی - با استفاده از این نوع فرمول، پیدا کرد.

نتیجه گیری از این همه ساده است: شماره 5 خاص است. شما می توانید معادلات جبری را حل کنید (با استفاده از ریشه های درجه N-th برای مقادیر مختلف N) برای درجه 1، 2، 3 و 4، اما نه برای درجه پنجم. در اینجا، الگوی آشکار به پایان می رسد.

هیچ کس شگفتی نمی کند که معادلات درجه بیش از 5 رفتار حتی بدتر شوند؛ به طور خاص، همان مشکل با آنها ارتباط دارد: هیچ فرمول عمومی برای حل آنها وجود ندارد. این بدان معنا نیست که معادلات راه حل ندارند؛ این بدان معنا نیست که مقادیر عددی دقیق این راه حل ها غیرممکن است. همه چیز محدود به ابزار جبر سنتی است. این به معنای عدم امکان برداشت زاویه با کمک یک حاکم و گردش خون است. پاسخ وجود دارد، اما روش های ذکر شده کافی نیست و به شما اجازه نمی دهد که آن را تعیین کنید.

محدودیت کریستالوگرافی

کریستال ها در دو و سه بعد، تقارن 5 پرتو چرخش ندارند.

اتم ها در کریستال یک شبکه تشکیل می دهند، یعنی یک ساختار است که به صورت دوره ای در چند جهت مستقل تکرار می شود. به عنوان مثال، نقاشی بر روی تصویر زمینه در طول طول رول تکرار می شود؛ علاوه بر این، معمولا در جهت افقی تکرار می شود، گاهی اوقات با تغییر از یک قطعه تصویر زمینه به بعد. اساسا، تصاویر پس زمینه یک کریستال دو بعدی هستند.

17 گونه از نقشه های کاغذ دیواری در هواپیما وجود دارد (نگاه کنید به فصل 17). آنها در نوع تقارن متفاوتند، یعنی با توجه به روش ها، به طوری که به سختی طراحی می شود، به گونه ای حرکت می کند که قطعا خود را در موقعیت اصلی خود قرار می دهد. انواع تقارن شامل انواع مختلفی از تقارن چرخش، جایی که نقاشی باید به یک زاویه خاص در اطراف یک نقطه خاص تبدیل شود - مرکز تقارن.

منظور از تقارن چرخش چند بار شما می توانید بدن را به دایره کامل تبدیل کنید تا تمام جزئیات نقاشی به موقعیت های اولیه بازگردانده شود. به عنوان مثال، چرخش 90 درجه تقارن چرخش درجه 4 است *. لیستی از انواع احتمالی تقارن چرخش در شبکه کریستال دوباره نشان دهنده غیر معمول از شماره 5 است: این وجود ندارد. انواع با تقارن چرخش های چرخش 2، 3، 4 و 6 مرتبه وجود دارد، اما هیچ نقاشی تصویر زمینه تقارن چرخش از دستور پنجم وجود ندارد. تقارن چرخش نظم بیش از 6 در کریستال نیز هیچ موردی نیست، اما اولین نقض دنباله با این حال، در میان شماره 5 است.

همین اتفاق می افتد با سیستم های کریستالوگرافی در فضای سه بعدی. در اینجا مشبک خود را در سه منطقه مستقل تکرار می کند. 219 نوع تقارن، یا 230 نوع مختلف وجود دارد، اگر شما یک بازتاب آینه از الگوی را با یک گزینه جداگانه در نظر بگیرید، به رغم آن، در این مورد، تقارن آینه ای وجود ندارد. باز هم، تقارن چرخش سفارشات 2، 3، 4 و 6 مشاهده می شود، اما نه 5. این واقعیت به نام نامی از حد کریستالوگرافی نامیده می شود.

در فضای شبکه چهار بعدی با تقارن 5 مرتبه وجود دارد؛ به طور کلی، برای شبکه های به اندازه کافی بالا ممکن است، هر گونه نظم پیشرفته تقارن چرخش امکان پذیر است.

// شکل. 40. شبکه کریستال نمک جدول. توپ های تاریک نشان دهنده اتم های سدیم، اتم های نور - کلر است

quasicrystals

اگر چه تقارن چرخش مرتبه پنجم در شبکه های دو بعدی و سه بعدی غیرممکن است، اما ممکن است در ساختارهای کمی به طور منظم به نام quasicrystals وجود داشته باشد. با استفاده از طرح های کپلر، راجر Penrose سیستم های مسطح را با یک نوع شایع تر از تقارن پنج بار باز کرد. آنها نامی از quasicrystals را دریافت کردند.

quasicrystals در طبیعت وجود دارد. در سال 1984، دانیل شچتمن کشف کرد که آلیاژ آلومینیوم و منگنز می تواند کوتیکریستال ها را تشکیل دهد؛ در ابتدا، کریستالوگرافی پیام خود را با برخی از شک و تردید ملاقات کرد، اما بعدا کشف تایید شد، و در سال 2011، شچتمن جایزه نوبل شیمی را به دست آورد. در سال 2009، یک تیم از دانشمندان تحت رهبری لوک بندی کشف کوتیکریستال ها را در یک معدن از Highlands روسیه Koryak - ترکیبی از آلومینیوم، مس و آهن کشف کرد. امروزه این ماده معدنی Ikosadritis نامیده می شود. اندازه گیری با کمک یک طیف سنج جرمی، محتوای مواد معدنی ایزوتوپ های مختلف اکسیژن، دانشمندان نشان داده اند که این ماده معدنی بر روی زمین آغاز شده است. این حدود 4.5 میلیارد سال پیش شکل گرفت، در حالی که منظومه شمسی تنها متولد شد و بیشترین زمان را در کمربند سیارک ها صرف کرد، در اطراف خورشید، تا زمانی که برخی از خشم ها مدار خود را تغییر دادند و آن را در انتهای زمین تغییر نداد.

// شکل. 41. سمت چپ: یکی از دو قطعه تقسیم شده با تقارن دقیق پنج بار. راست: مدل اتمی Icosahedral آلومینیوم و پالادیوم منگنز

معمار رومی Vitruvius قضیه Pyphagora را از اکتشافات متعددی که خدمات را به توسعه زندگی انسانی ارائه می داد، پر کرد و خواستار رفتار او با بزرگترین احترام بود. این هنوز در قرن اول به n بود. e به نوبه خود از قرن های XVI-XVII، یوهان کپلر معروف آلمانی، آن را یکی از گنجینه های هندسه، قابل مقایسه با اندازه طلا بود. بعید است که در کل ریاضیات، تایید قابل توجهی و قابل توجهی خواهد بود، زیرا تعداد برنامه های علمی و عملی، قضیه Pythagore برابر نیست.

قضیه Pythagora برای مورد یک مثلث مستطیلی معقول.

علم و زندگی // تصویر

تصویر برای تئوری Pythagore از "درمان اندازه گیری شش" (چین، III قرن BC) و اثبات بازسازی شده بر اساس آن.

علم و زندگی // تصویر

S. Perkins. فیثاغورس

رسم به اثبات احتمالی فیثاگورا.

Pythagore Mosaic و تقسیم یک شهروند ملی از سه مربع در اثبات قضیه فیثاغرا.

P. de heh. معشوقه و خدمتکار در حیاط. حدود 1660

I. Oxtervelt. نوازندگان ولگرد در درهای یک خانه غنی. 1665 سال.

شلوار پارتاگورا

قضیه Pythagore تقریبا قابل تشخیص ترین و بدون شک است که معروف ترین در تاریخ ریاضیات است. در هندسه، به معنای واقعی کلمه در هر مرحله اعمال می شود. با وجود سادگی این اصطلاح، این قضیه به هیچ وجه واضح نیست: نگاهی به مثلث مستطیلی با احزاب a< b < c, усмотреть соотношение a 2 + b 2 = c 2 невозможно. Однажды известный американский логик и популяризатор науки Рэймонд Смаллиан, желая подвести учеников к открытию теоремы Пифагора, начертил на доске прямоугольный треугольник и по квадрату на каждой его стороне и сказал: «Представьте, что эти квадраты сделаны из кованого золота и вам предлагают взять себе либо один большой квадрат, либо два маленьких. Что вы выберете?» Мнения разделились пополам, возникла оживлённая дискуссия. Каково же было удивление учеников, когда учитель объяснил им, что никакой разницы нет! Но стоит только потребовать, чтобы катеты были равны, - и утверждение теоремы станет явным (рис. 1). И кто после этого усомнится, что «пифагоровы штаны» во все стороны равны? А вот те же самые «штаны», только в «сложенном» виде (рис. 2). Такой чертёж использовал герой одного из диалогов Платона под названием «Менон», знаменитый философ Сократ, разбирая с мальчиком-рабом задачу на построение квадрата, площадь которого в два раза больше площади данного квадрата. Его рассуждения, по сути, сводились к доказательству теоремы Пифагора, пусть и для конкретного треугольника.

ارقام نشان داده شده در شکل. 1 و 2، شبیه به ساده ترین تزئینات از مربع ها و قطعات مساوی آنها - الگوی هندسی، که از زمان بسیار قدیم شناخته شده است. آنها می توانند به طور کامل با یک هواپیما پوشیده شوند. ریاضیات چنین پوشش هواپیما را با پارکت چند ضلعی یا مخلوط کردن می نامند. Pythagore چیست؟ به نظر می رسد که او ابتدا وظیفه پارکت های مناسب را تصویب کرد، که در آن مطالعه بازرسی سطوح مختلف آغاز شد. بنابراین، Pythagoras نشان داد که هواپیما در اطراف نقطه می تواند بدون فضاهای برابر چند ضلعی به طور منظم از سه گونه: شش مثلث، چهار مربع و سه شش ضلعی.

4000 سال بعد

تاریخ قضیه فیثاگورا به دوران قدیم می رود. ذکر آن هنوز در متون بالینی بابلی از تزار هاموراپی (XVIII قرن BC) وجود دارد، یعنی 1200 سال قبل از تولد فیثاگورا. قضیه به عنوان یک قاعده آماده در بسیاری از وظایف مورد استفاده قرار گرفت، ساده ترین آن این است که قطر مربع را در کنار آن پیدا کنید. این امکان وجود دارد که نسبت 2 + B 2 \u003d C 2 برای یک مثلث مستطیلی دلخواه بابلیانی که دریافت کرده اند، به سادگی "خلاصه" برابری 2 + A 2 \u003d C 2 را "خلاصه". اما آنها خوش شانس هستند - برای هندسه عملی باستان، که به اندازه گیری ها و محاسبات کاهش یافته است، توجیه دقیق مورد نیاز نیست.

در حال حاضر، تقریبا 4000 سال بعد، ما با دارنده رکورد در تعداد انواع شواهد برخورد می کنیم. به هر حال، جمع آوری آنها یک سنت طولانی است. اوج علاقه به قضیه فیثاگورا در نیمه دوم XIX قرار گرفت - آغاز قرن XX. و اگر اولین مجموعه شامل بیش از دو ده شواهد، در پایان قرن نوزدهم، تعداد آنها به 100 رسید، و پس از نیم قرن بیش از 360، و تنها کسانی هستند که موفق به جمع آوری منابع مختلف شدند. چه کسی فقط برای راه حل این وظیفه غیرمستقیم - از دانشمندان معروف و اسمو های علوم انسانی به کنگره ها و دانش آموزان نبود. و آنچه قابل توجه است، در اصالت و سادگی حل دوستداران دیگر حرفه ای پایین تر نیست!

باستانی ترین اثبات قضیه فیثاگورا حدود 2300 سال به ما رسیده است. یکی از آنها سختگیرانه است - متعلق به Euclide Mathematics یونان باستان است که در قرن های IV-III BC زندگی می کردند. e در I، کتاب "مزایا" قضیه Pythagore به عنوان "پیشنهاد 47" است. بیشترین اثبات بصری و زیبا در نقاشی شلوار Pythagorean ساخته شده است. آنها مانند پازل حیله گری برای برش مربع ها نگاه می کنند. اما شکل ها را به درستی حرکت می کنند - و آنها راز قضیه معروف را باز می کنند.

این چیزی است که اثبات ظریف بر اساس نقاشی از یک رساله چینی باستانی به دست می آید (شکل 3)، و بلافاصله ارتباط آن را با وظیفه دو برابر شدن مربع مربع روشن می کند.

این چنین اثبات بود که سعی داشت به دوست جوانتر هفت ساله خود، نه سالها، یک قهرمان هوشمند از رمان نویسنده انگلیسی Oldhos Huxley "Archimedes کوچک" را توضیح دهد. این کنجکاو است که راوی که این تصویر را مشاهده کرد، سادگی و متقاعد کردن شواهد را ذکر کرد، بنابراین او آن را به خود اختصاص داد. اما شخصیت اصلی داستان فوق العاده Evgenia Wellistov "الکترونیک - یک پسر از چمدان" 25 شواهد از قضیه Pythagores، از جمله داده شده توسط Euclide را می داند؛ درست است، به اشتباه او را ساده ترین، اگر چه در واقع در نسخه مدرن "شروع شد" آن را یک و نیم صفحه طول می کشد!

ریاضیدان اول

Pythagora Samossky (570-495 پیش از میلاد)، نامش که مدتها به مدت طولانی و غیرقابل انکار با یک قضیه شگفت انگیز مرتبط است، به معنای خاصی می تواند اولین ریاضیدان نامیده شود. از او این است که ریاضیات به عنوان یک علم دقیق آغاز می شود، جایی که هر دانش جدید نتیجه ایده های بصری و قوانین صادر شده از تجربه است، اما نتیجه استدلال منطقی و نتیجه گیری. فقط به طوری که شما همیشه می توانید حقیقت هر پیشنهاد ریاضی را ایجاد کنید. قبل از Pythagora، روش قیاسی فقط یک فیلسوف باستان یونان و دانشمند Falez Miletsky، که در اوایل قرن VII-VI به N. زندگی می کرد، استفاده شد. e او ایده شواهد را پیشنهاد کرد، اما به طور سیستماتیک، به طور انتخابی، به عنوان یک قاعده، به طور انتخابی، به صورت انتخابی، به اظهارات آشکار هندسی مانند "قطر تقسیم دایره را به نصف" تقسیم کرد. Pythagoras بسیار پیشرفته تر است. اعتقاد بر این است که او اولین تعاریف، اصول و روش های شواهد را معرفی کرد و همچنین اولین دوره هندسه را ایجاد کرد، که به یونانیان باستان به نام "سنت فیثاگورا" شناخته می شود. او همچنین در ریشه های تئوری اعداد و کلیتری بود.

یکی دیگر از مهمترین شایستگی فیثاگورا، پایه و اساس دانشکده پرستار ریاضیدانان است که بیش از یک قرن توسعه این علم را در یونان باستان تعیین کرد. اصطلاح "ریاضیات" با نام او (از کلمه یونانی μαθημA - تدریس، علم) همراه است، که چهار رشته نسبی را که توسط فیثاغورس و طرفدارانش ایجاد شده است - فیثاغورث - سیستم های دانش: هندسه، ریاضی، نجوم و هارمونیک.

غیر ممکن است که دستاوردهای Pythagore را از دستاوردهای جداگانه جدا کنید: پس از سفارشی، آنها ایده های خود را نسبت دادند و معلم خود را باز کردند. هیچ مقالاتی که به زودی فیثاغورث را ترک نکرد، تمام اطلاعاتی را که آنها به صورت خوراکی به یکدیگر منتقل کردند، ترک کردند. بنابراین 2500 سال بعد، مورخان هیچ چیز دیگری ندارند، به جز بازسازی دانش گمشده در مورد انتقال از سایر نویسندگان، بعدا نویسندگان. ما به یونانیان احترام می گذاریم: هرچند که آنها نام فیثاگورا بسیاری از افسانه ها را احاطه کرده اند، اما هیچ چیز خاصی را به وجود نمی آورند، به طوری که او نمی تواند باز شود و یا به تئوری تبدیل شود. و تئوری نام او هیچ استثنا نیست.

چنین اثبات ساده

شناخته شده نیست، Pythagoras خود را نسبت بین طول دو طرف در یک مثلث مستطیلی کشف کرد یا این دانش را قرض گرفت. نویسندگان عتیقه ادعا کردند که او خودش، و دوست داشتنی افسانه ای راجع به چگونگی پياگروها به افتخار افتخار خود را به دست آورد. مورخان مدرن معتقدند که او در مورد قضیه آموخته است، که با ریاضیات بابل آشنا است. ما همچنین نمی دانیم که چه نوع قضیه فرموله شده Pythagoras: ریاضی، همانطور که امروز پذیرفته شده است، - مربع هیپوتنوس برابر با مجموع مربعات گچ ها یا هندسی، در روحیه های قدیم، مربع ساخته شده است هیپوتنئید مثلث مستطیلی برابر با مجموع مربعات ساخته شده بر روی آداب و رسوم او است.

اعتقاد بر این است که این فیثاغورس بود که اولین مدرک قضیه را که نام او را به عهده داشت، داد. مطمئنا حفظ نشده است. با توجه به یکی از نسخه ها، فیثاغورس می تواند از مزایای توسعه یافته در مدرسه خود استفاده کند. این بر اساس، به ویژه، تئوری شباهت بر اساس آن استدلال است. ما در یک مثلث مستطیلی با گربه های A و B ارتفاع به هیپوتنوز C قدردانی می کنیم. ما سه مثلث مشابه را از جمله اصلی دریافت می کنیم. احزاب مناسب آنها متناسب با، a: c \u003d m: a و b: c \u003d n: b، از جایی که 2 \u003d c · m و b 2 \u003d c · n. سپس 2 + b 2 \u003d c · (m + n) \u003d C 2 (شکل 4).

این فقط یک بازسازی است که توسط یکی از مورخان علوم پیشنهاد شده است، اما اثبات، موافق، بسیار ساده است: تنها چند خط طول می کشد، لازم نیست هر چیزی را بکشید، بازپرداخت، محاسبه ... تعجب آور نیست که آن را ندارد بیش از یک بار افزایش یافته است. به عنوان مثال، در "Geometry Practice" Leonardo Pisansky (1220) موجود است، و هنوز در کتاب های درسی وجود دارد.

چنین شواهدی با دیدگاه های فیثاغورس ها در خلاصه تناقض نبودند: در ابتدا، آنها معتقد بودند که نسبت طول هر دو بخش، و در نتیجه مناطق ارقام خطی را می توان با استفاده از اعداد طبیعی بیان کرد. آنها هیچ اعداد دیگر را در نظر نگیرید، حتی اجازه ندهید که کسرها جایگزین روابط خود را 1: 2، 2: 3 و غیره داشته باشند. با این حال، عجیب و غریب سرنوشت، این قضیه فیثاغورا بود که فیثاغورث را به باز شدن ناسازگاری منجر شد قطر مربع و بخش آن. تمام تلاش ها به صورت عددی طول این قطر را در یک مربع واحد ارائه می دهد، برابر با √2 است - آنها به هیچ چیز منجر نمی شوند. ثابت شد که اثبات این کار حل نشده است. در چنین مواردی، ریاضیدانان یک روش اثبات شده دارند - اثبات از تند و زننده. به هر حال، او به Pythagora اختصاص دارد.

وجود یک رابطه، که توسط اعداد طبیعی بیان نشده است، پایان دادن به بسیاری از ایده های فیثاغورث را پایان دهید. روشن شد که اعداد شناخته شده به آنها به اندازه کافی برای حل وظایف ساده نیست، چه چیزی در مورد همه هندسه می گویند! این کشف تبدیل به یک نقطه عطفی در توسعه ریاضیات یونانی، مشکل اصلی آن شده است. در ابتدا، آن را به توسعه تعالیم در ارزش های نامناسب - غیر منطقی، و سپس به گسترش مفهوم تعداد. به عبارت دیگر، تاریخچه قرن ها مطالعه بسیاری از اعداد معتبر آغاز شد.

موزاییک فیثاگورا

اگر هواپیما را با مربع های دو اندازه مختلف، اطراف هر مربع کوچک به چهار بزرگ را پوشش دهید، یک پاکت موزاییک Pythagore را به نمایش می گذارد. چنین نقاشی به مدت طولانی با طبقه های سنگی تزئین شده است، یادآور شواهد باستانی قضیه پیچاگور (از این رو نام آن). به طور متفاوتی همپوشانی یک شبکه مربع بر روی پارکت، شما می توانید تقسیم مربعات ساخته شده در دو طرف مثلث مستطیلی، که به ریاضیدانان مختلف ارائه شده است. به عنوان مثال، اگر شبکه را ترتیب دهید به طوری که تمام گره های آن با رأس های بالا سمت راست مربع های کوچک هماهنگ شوند، قطعات نقاشی به اثبات ریاضیات قرون وسطایی ایرانی از An-Nairzi نشان داده می شود که او در نظرات قرار می گیرد "آغاز" Euclidea. آسان است که ببینید که مجموع حوزه های مربع های بزرگ و کوچک، عناصر اولیه پارکت، برابر با مساحت یک مربع مش است. و این بدان معنی است که پارتیشن مشخص شده واقعا مناسب برای قرار دادن پارکت است: اتصال چند ضلعی های حاصل به مربع، همانطور که در شکل نشان داده شده است، شما می توانید آنها را بدون فضاهای پر کنید و تمام هواپیما را همپوشانی کنید.