Страница 6 от 8
Глава пета.
ИЗЧЕЗВАНЕ НА ФИГУРИ. РАЗДЕЛ I
В тази и следващата глава ще проследим развитието на много забележителни геометрични парадокси. Всички те започват с нарязване на фигура на парчета и завършват със съставяне на нова фигура от тези части. В този случай изглежда, че част от оригиналната фигура (това може да е част от областта на фигурата или една от няколко рисунки, изобразени върху нея) е изчезнала без следа. Когато парчетата се върнат на първоначалните си места, изчезналата част от областта или дизайна мистериозно се появява отново.
Геометричният характер на тези любопитни изчезвания и повторни появявания оправдава класифицирането на тези парадокси като математически пъзели.
Парадокс с линии
Всички многобройни парадокси, които ще разгледаме тук, се основават на един и същ принцип, който ще наречем „принцип на скритото преразпределение“. Ето един много стар и много елементарен парадокс, който веднага обяснява същността на този принцип.
Нека начертаем десет вертикални линии с еднаква дължина върху правоъгълен лист хартия и да начертаем диагонал с пунктирана линия, както е показано на фиг. 50.
Нека разгледаме сегментите на тези линии над и под диагонала; лесно се забелязва, че дължината на първия намалява, а на втория съответно се увеличава.
Изрежете правоъгълника по пунктираната линия и преместете долната част надолу наляво, както е показано на фиг. 51.
След като преброите броя на вертикалните линии, ще откриете, че сега има девет от тях. Коя линия изчезна и къде? Преместете лявата част обратно в първоначалната й позиция и изчезналата линия ще се появи отново.
Но коя линия си дойде на мястото и откъде дойде?
Отначало тези въпроси изглеждат мистериозни, но след кратък размисъл става ясно, че нито една отделна линия не изчезва или се появява. Това, което се случва е, че тези осем увеличения са точно равни на дължината на всяка от оригиналните линии.
Може би същността на парадокса ще стане още по-ясно, ако се илюстрира с камъчета.
Нека вземем пет купчини камъчета, четири камъчета на купчина. Нека преместим едно камъче от втората купчина в първата, две камъчета от третата във втората, три от четвъртата в третата и накрая всичките четири камъчета от петата в четвъртата. Ориз. 52 обяснява нашите действия.
След такава смяна се оказва, че купчините са само четири. Невъзможно е да се отговори на въпроса коя купчина е изчезнала, тъй като камъчетата са преразпределени така, че към всяка от четирите купчини е добавено камъче. Абсолютно същото нещо се случва в редовия парадокс. Когато части от листа се изместват диагонално, сегментите на линиите на изрязване се преразпределят и всяка получена линия става малко по-дълга от оригиналната.
Изчезване на лице
Нека да продължим да описваме начините, по които парадоксът на линията може да бъде направен по-интересен и забавен. Това може например да се постигне чрез замяна на изчезването и появата на линии със същото изчезване и поява на плоски фигури. Особено подходящи тук са изображения на моливи, цигари, тухли, шапки с висока корона, чаши с вода и други вертикално разширени предмети, характерът на изображението на които остава същият преди и след смяната. С известна артистична изобретателност можете да се заемете с по-сложни обекти. Погледнете например изчезващото лице на фиг. 53.
Чрез преместване на долната ивица в горната част на дизайна наляво, всички шапки остават незасегнати, но едно лице изчезва напълно! (виж долната част на снимката). Няма смисъл да питаме кое лице, тъй като смяната разделя четирите лица на две. След това тези части се преразпределят, като всяко лице получава няколко допълнителни характеристики: едно, например, по-дълъг нос, друго - по-удължена брадичка и т.н. Тези малки преразпределения обаче са гениално скрити и изчезването на цялото лице е разбира се, много по-впечатляващо от изчезването на част от линията.
"Изчезващ войн"
В този пъзел на парадокса на линията е дадена кръгла форма и правите сегменти са заменени от фигурите на 13 воини (фиг. 54).
Голямата стрелка сочи на североизток N.E. Ако рисунката се изреже по протежение на кръг и след това вътрешната част започне да се върти обратно на часовниковата стрелка, тогава фигурите първо ще бъдат разделени на части, след това ще бъдат свързани отново, но по различен начин, и когато голямата стрелка стрелката ще сочи на северозапад СЗ, на снимката ще има 12 воини (фиг. 55).
Когато кръгът се завърти в обратна посока, докато голямата стрелка застане отново в СИ, изчезналият воин ще се появи отново.
Ако фиг. 54 Ако погледнете по-внимателно, ще забележите, че двамата воини в долната лява част на картината са разположени по специален начин: те са един срещу друг, докато всички останали са разположени във верига. Тези две фигури съответстват на крайните линии в парадокса на сегмента. Въз основа на изискванията на чертежа на всяка от тези фигури трябва да липсва част от крака и така че при завъртане на колелото този дефект да бъде по-малко забележим, би било по-добре да ги изобразите една до друга.
Нека също да отбележим, че воините са изобразени на картината с много по-голяма изобретателност, отколкото може да изглежда на пръв поглед. Така например, за да останат фигурите във вертикално положение на всички места по земното кълбо, е необходимо в един случай да има десен крак вместо ляв, а в друг, напротив, вместо десен кракналяво.
Изчезналият заек
Парадоксът на вертикалните линии може, очевидно, да бъде показан на по-сложни обекти, например човешки лица, фигури на животни и т.н. На фиг. Фигура 56 показва една опция.
Когато след разрязване по дебела линия правоъгълниците A и B се разменят, единият заек изчезва, оставяйки на мястото си Великденско яйце. Ако вместо да се разместят правоъгълници A и B, дясната половина на картината се изреже по пунктираната линия и десните части се разменят, броят на зайците се увеличава до 12, но единият заек губи ушите си и се появяват други забавни детайли.
Глава шеста.
ИЗЧЕЗВАНЕ НА ФИГУРИ. РАЗДЕЛ Iаз
Парадоксът на шахматната дъска
Тясно свързан с парадоксите, обсъдени в предишната глава, е друг клас парадокси, в които „принципът на скритото преразпределение“ обяснява мистериозното изчезване или появяване на области. Един от най-старите и най прости примериПарадокси от този вид са показани на фиг. 57.
Шахматната дъска се изрязва диагонално, както е показано в лявата половина на картината, а след това част B се премества надолу вляво, както е показано в дясната половина на картината. Ако стърчащият в горния десен ъгъл триъгълник се отреже с ножица и се постави върху свободното пространство във формата на триъгълник в долния ляв ъгъл на картината, ще се получи правоъгълник от 7х9 квадратни единици.
Първоначалната площ беше 64 квадратни единици, но сега е 63. Къде отиде едната липсваща квадратна единица?
Отговорът е, че нашата диагонална линия минава малко под долния ляв ъгъл на квадрата, разположен в горния десен ъгъл на дъската.
Благодарение на това изрязаният триъгълник има височина, равна не на 1, а на 1 1/7. И по този начин височината не е 9, а 9 1/7 единици. Увеличаването на височината с 1/7 единица е почти незабележимо, но като се вземе предвид, това води до необходимата правоъгълна площ от 64 квадратни единици.
Парадоксът става още по-поразителен, ако вместо шахматна дъска вземем само квадратен лист хартия без клетки, тъй като в нашия случай при внимателно изследване се разкрива небрежно затваряне на клетките по линията на рязане.
Връзката между нашия парадокс и парадокса на вертикалните линии, обсъден в предишната глава, става ясна, ако проследим клетките близо до линията на срязване. При движение нагоре по линията на изрязване се открива, че над линията части от изрязаните клетки (те са затъмнени на фигурата) постепенно намаляват, а под линията постепенно се увеличават. На шахматната дъска имаше петнадесет затъмнени квадрата, но на правоъгълника, получен след пренареждане на фигурите, имаше само четиринадесет от тях. Очевидното изчезване на една потъмняла клетка е просто друга форма на парадокса, обсъден по-горе. Когато изрязваме и след това разбъркваме малкия триъгълник, ние всъщност разрязваме част А от шахматната дъска на две части, които след това се разменят по диагонала.
За пъзела са важни само клетките, съседни на линията на рязане, останалите нямат значение, играят ролята на дизайн. Тяхното присъствие обаче променя природата на парадокса. Вместо една от няколко малки клетки да изчезне (или малко по-сложна фигура, да речем, карта за игра, човешко лице и т.н., които могат да бъдат начертани във всяка клетка) тук сме изправени пред промяна в площта на голяма геометрична фигура.
Парадоксът с площта
Ето още един парадокс с площта. Чрез промяна на позицията на части A и C, както е показано на фиг. 58, човек може да превърне правоъгълник от 30 квадратни единици в два по-малки правоъгълника с обща площ от 32 квадратни единици, като по този начин получи „печалба“ от две квадратни единици. Както в предишния парадокс, тук играят роля само клетките, съседни на линията на срязване. Останалите са необходими само като декорация.
В този парадокс има две съществени различни начининарязване на фигура на парчета.
Можете да започнете с голям правоъгълник с размери 3x10 единици (горната част на Фиг. 58), като внимателно начертаете диагонал в него, след което двата по-малки правоъгълника (долната част на Фиг. 58) ще бъдат с 1/5 единица по-къси от привидните си размери.
Но можете също да започнете с фигура, съставена от два спретнато начертани по-малки правоъгълника с размери 2x6 и 4x5; тогава отсечките, свързващи точка X с точка Y и точка Y с точка Z, няма да образуват права линия. И само защото тъпият ъгъл, който образуват с върха в точка Y, е много близо до разгънатия, начупената XYZ изглежда права линия. Следователно фигура, съставена от части от малки правоъгълници, всъщност няма да бъде правоъгълник, тъй като тези части ще се припокриват леко по диагонала. Парадоксът на шахматната дъска, както и повечето други парадокси, които ще разгледаме в тази глава, също могат да бъдат представени в две версии. При едната парадоксът се получава поради леко намаляване или увеличаване на височината (или ширината) на фигурите, при другата - поради увеличаване или загуба на площ по диагонала, причинена или от припокриването на фигури, както в току-що разгледания случай, или чрез появата на празни пространства, с които ще се срещнем скоро.
Чрез промяна на размера на фигурите и наклона на диагонала, този парадокс може да получи различни дизайни. Можете да постигнете загуба или печалба на площ от 1 квадратна единица или 2, 3, 4, 5 единици и т.н.
Вариант с каре
В една чиста вариация, оригиналните правоъгълници 3x8 и 5x8, когато се поставят един до друг, образуват правилна шахматна дъска 8x8. Тези правоъгълници се нарязват на парчета, които след преразпределение образуват нов голям правоъгълник с видимо увеличение на площта с една квадратна единица (фиг. 59).
Същността на парадокса е следната. Когато внимателно конструирате чертеж на квадрат, строг диагонал на голям правоъгълник не се получава. Вместо това се появява фигура с форма на диамант, толкова издължена, че страните й изглеждат почти слети. От друга страна, ако внимателно начертаете диагонала на голям правоъгълник; височината на горната част на двата правоъгълника, които образуват квадрата, ще бъде малко по-голяма, отколкото трябва да бъде, а долният правоъгълник ще бъде малко по-широк. Имайте предвид, че неточното затваряне на части от фигурата при втория метод на рязане е по-фрапантно от неточностите по диагонала при първия; следователно първият метод е за предпочитане. Както в предишните примери, вътре в клетките, изрязани по диагонал, можете да нарисувате кръгове, лица или някакви фигури; когато пренаредите съставните части на правоъгълниците, тези фигури ще станат с една по-големи или по-малки.
Числата на Фибоначи
Оказва се, че дължините на страните на четирите части, съставляващи фигурите (фиг. 59 и 60), са членове на редицата на Фибоначи, тоест поредица от числа, започваща с две единици: 1, 1, всяка от която, започвайки от третата, е сбор от две предходни. Нашата поредица изглежда като 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...
Подреждането на частите, които са били нарязани в квадрат под формата на правоъгълник, илюстрира едно от свойствата на редицата на Фибоначи, а именно следното: при повдигане на квадрат на всеки член от тази редица, произведението на два съседни члена на редицата плюс или получава се минус едно. В нашия пример страната на квадрата е 8, а площта е 64. Осмицата в редицата на Фибоначи се намира между 5 и 13. Тъй като числата 5 и 13 стават дължините на страните на правоъгълника, неговата площ трябва да бъде 65, което дава увеличение на площта с една единица.
Благодарение на това свойство на редица е възможно да се построи квадрат, чиято страна е всяко число на Фибоначи, по-голямо от едно, и след това да се изреже според двете предходни числа от тази серия.
Ако, например, вземете квадрат от 13x13 единици, тогава трите му страни трябва да бъдат разделени на сегменти с дължина 5 и 8 единици и след това да се изрежат, както е показано на фиг. 60. Площта на този квадрат е 169 квадратни единици. Страните на правоъгълника, образуван от частите на квадратите, ще бъдат 21 и 8, давайки площ от 168 квадратни единици. Тук, поради припокриването на части по диагонала, една квадратна единица не се добавя, а се губи.
Ако вземете квадрат със страна 5, вие също ще загубите една квадратна единица. Може да се формулира и общо правило: като вземем за страна на квадрат всяко число от „първата“ подпоследователност от алтернативни числа на Фибоначи (3, 8...) и направим правоъгълник от частите на този квадрат, ще получим празнина по неговия диагонал и в резултат на това видимо увеличение на площта за една единица. Вземайки за страна на квадрата някакво число от „втората” подпоследователност (2, 5, 13...), получаваме припокриващи се области по диагонала на правоъгълника и загуба на една квадратна единица площ.
Можете да построите парадокс дори върху квадрат със страна две единици. Но тогава има толкова очевидно припокриване в правоъгълника 3x1, че ефектът от парадокса се губи напълно.
Използвайки други серии на Фибоначи за парадокса, можете да получите безброй опции. Така например квадратите, базирани на сериите 2, 4, 6, 10, 16, 26 и т.н., водят до загуба или печалба от 4 квадратни единици. Големината на тези загуби или печалби може да се установи чрез изчисляване за дадена серия на разликата между квадрата на всеки от нейните членове и произведението на двата съседни члена отляво и отдясно. Редове 3, 4, 7, 11, 18, 29 и т.н. дават печалба или загуба от пет квадратни единици. T. de Mulidar даде чертеж на квадрат, базиран на сериите 1, 4, 5, 9, 14 и т.н. Страната на този квадрат се приема за 9 и след превръщането му в правоъгълник се губят 11 квадратни единици . Ред 2, 5, 7, 12, 19... също дава загуба или печалба от 11 квадратни единици. И в двата случая припокриванията (или празнините) по диагонала са толкова големи, че могат да бъдат забелязани веднага.
Означавайки произволни три последователни числа на Фибоначи с A, B и C и с X загубата или печалбата на площ, получаваме следните две формули:
A + B = C
B 2 = AC ± X
Ако замените желаната печалба или загуба вместо X и вместо B числото, което се приема като дължина на страната на квадрата, можете да конструирате квадратно уравнение, от които има две други числа на Фибоначи, въпреки че те, разбира се, няма да бъдат непременно рационални числа. Оказва се например, че чрез разделяне на квадрат на фигури с рационални дължини на страните е невъзможно да се получи печалба или загуба от две или три квадратни единици. Това, разбира се, може да се постигне с помощта на ирационални числа. По този начин редицата на Фибоначи 2 1/2, 2 2 1/2, 3 2 1/2, 5 2 1/2 дава печалба или загуба от две квадратни единици, а серията 3 1/2, 2 3 1/2 , 3 3 1/2, 5 3 1/2 води до печалба или загуба от три квадратни единици.
Опция правоъгълник
Има много начини, по които един правоъгълник може да бъде нарязан на малък брой парчета и след това сгънат в друг правоъгълник с по-голяма или по-малка площ. На фиг. 61 изобразява парадокс, също базиран на редицата на Фибоначи.
Подобно на току-що обсъдения случай с квадрат, избирането на някакво число на Фибоначи от „втората“ подпоследователност като ширина на първия правоъгълник (13 в този случай) води до увеличаване на площта на втория правоъгълник с една квадратна единица.
Ако вземем произволно число на Фибоначи от „допълнителната“ подпоследователност като ширина на първия правоъгълник, тогава площта във втория правоъгълник ще намалее с една единица. Загубите и печалбите на площ се обясняват с малки припокривания или пропуски по диагоналната секция на втория правоъгълник. Друг вариант на такъв правоъгълник, показан на фиг. 62, когато се конструира втори правоъгълник, води до увеличаване на площта с две квадратни единици.
Ако защрихованата част от областта на втория правоъгълник се постави над незащрихованата част, двата диагонални разреза ще се слеят в един по-голям диагонал. Сега пренареждайки части A и B (както на фиг. 61), получаваме втори правоъгълник с по-голяма площ.
Още една версия на парадокса
При сумиране на площите на частите пренареждането на триъгълници B и C в горната част на фиг. 63 води до видима загуба на една квадратна единица.
Както читателят ще забележи, това се дължи на зоните на защрихованите части: в горната част на картината има 15 защриховани квадрата, отдолу - 16. Заменяйки защрихованите части с две фигури от специален тип, които ги покриват, ние достигат до нова, поразителна форма на парадокс. Сега имаме правоъгълник пред нас, който може да бъде разрязан на 5 части и след това, променяйки местата им, да създадем нов правоъгълник и въпреки факта, че линейните му размери остават същите, дупка с площ вътре се появява една квадратна единица (фиг. 64).
Възможността за трансформиране на една фигура в друга, със същите външни размери, но с дупка в периметъра, се основава на следното. Ако вземете точка X точно на три единици от основата и пет единици от страната на правоъгълника, тогава диагоналът няма да минава през нея. Въпреки това полилинията, свързваща точка X с противоположните върхове на правоъгълника, ще се отклонява толкова малко от диагонала, че ще бъде почти незабележимо.
След пренареждане на триъгълници B и C в долната половина на чертежа, части от фигурата леко ще се припокриват по диагонала.
От друга страна, ако в горната част на фигурата разгледаме линията, свързваща срещуположните върхове на правоъгълника, като точно начертан диагонал, тогава линията XW ще бъде малко по-дълга от три единици. И като следствие от това, вторият правоъгълник ще бъде малко по-висок, отколкото изглежда. В първия случай липсващата единица площ може да се счита за разпределена от ъгъл до ъгъл и образуваща припокриване по диагоналите. Във втория случай липсващият квадрат се разпределя по ширината на правоъгълника. Както вече знаем от предишния, всички парадокси от този вид могат да бъдат приписани на един от тези два варианта на строителство. И в двата случая неточностите на цифрите са толкова незначителни, че са напълно незабележими.
Най-елегантната форма на този парадокс са квадратите, които след преразпределяне на частите и създаване на дупка остават квадрати.
Такива квадрати са известни в безброй вариации и с дупки от произволен брой квадратни единици. Някои от най-интересните от тях са показани на фиг. 65 и 66.
Можете да посочите проста формула, свързвайки размера на отвора с пропорциите на големия триъгълник. Ще обозначим трите размера, които ще бъдат обсъдени с A, B до C (фиг. 67).
Площта на отвора в квадратни единици е равна на разликата между произведението на A и C и най-близкото кратно на размер B. Така че в последния пример произведението на A и C е 25. Най-близкото кратно на размер B до 25 е 24, така че дупката е една квадратна единица. Това правило важи независимо дали е начертан реален диагонал или точка X на фиг. 67 е поставен спретнато в пресечната точка на квадратните линии на мрежата.
Ако диагоналът, както трябва да бъде, е начертан като строго права линия или ако точката X се вземе точно в един от върховете на квадратната мрежа, тогава не възниква парадокс. В тези случаи формулата дава дупка с размер нула квадратни единици, което разбира се означава, че изобщо няма дупка.
Вариант с триъгълник
Нека се върнем към първия пример на парадокса (виж фиг. 64). Обърнете внимание, че големият триъгълник A не променя позицията си, докато останалите части се движат. Тъй като този триъгълник не играе съществена роля в парадокса, той може да бъде изхвърлен напълно, оставяйки само правоъгълния триъгълник, разделен на четири части. След това тези части могат да бъдат преразпределени, което води до правоъгълен триъгълник с отвор (фиг. 68), сякаш равен на оригиналния.
Като съставите два такива правоъгълни триъгълника с крака, можете да конструирате много варианти на равнобедрени триъгълници, подобни на показания на фиг. 69.
Както в предишните обсъдени парадокси, тези триъгълници могат да бъдат конструирани по два начина: или да начертаете страните им строго праволинейно, тогава точката X няма да попадне в пресечната точка на линиите на квадратната мрежа, или да поставите точка X точно в пресечната точка, тогава страните ще бъдат леко изпъкнали или вдлъбнати. Последният метод изглежда по-добре маскира неточностите на чертежа. Парадоксът ще изглежда още по-изненадващ, ако върху частите, съставляващи триъгълника, се приложат квадратни решетки, като по този начин се подчертава, че частите са направени с необходимото внимание.
Като даваме различни размери на нашите равнобедрени триъгълници, можем да спечелим или загубим всеки четен брой квадратни единици.
някои типични примеридадено на фиг. 70, 71 и 72.
Като направите два равнобедрени триъгълника от който и да е от тези видове с техните основи, можете да конструирате най-много различни опцииромбичен тип; те обаче не добавят нищо съществено ново към нашия парадокс.
Квадрати от четири части
Всички видове парадокси с промени в площта, които разгледахме дотук, са тясно свързани помежду си по метода си на изграждане. Има обаче парадокси, получени с помощта на напълно различни методи. Можете например да разрежете квадрат на четири части същата формаи размер (фиг. 73), а след това ги композирайте по нов начин, както е показано на фиг. 74. Така се получава квадрат, чиито размери изглеждат непроменени и в същото време с дупка в средата.
По подобен начин можете да изрежете правоъгълник с произволно съотношение. Любопитно е, че точка А, където двете се пресичат, изглежда непроменена и в същото време има дупка в средата.
По подобен начин можете да изрежете правоъгълник с произволно съотношение. Любопитно е, че точка А, в която се пресичат две взаимно перпендикулярни линии на срязване, може да се намира навсякъде вътре в правоъгълника. Във всеки случай, когато частите се преразпределят, се появява дупка, чийто размер зависи от размера на ъгъла, образуван от линиите на рязане със страните на правоъгълника.
Този парадокс е сравнително прост, но губи много поради факта, че дори при повърхностно изследване е ясно, че страните на втория правоъгълник трябва да са малко по-големи от страните на първия.
По-сложен метод за рязане на квадрат на четири части, който произвежда вътрешен отвор, е показан на фиг. 75.
Основава се на парадокса на шахматната дъска, който отваря тази глава. Имайте предвид, че когато преразпределяте части, две от тях трябва да бъдат обърнати обратна странанагоре. Забележете също, че когато изхвърлим част А, получаваме правоъгълен триъгълник, съставен от три части, вътре в които може да се образува дупка.
Квадратчета от три части
Има ли начин да разрежете квадрат на три части, които могат да бъдат пренаредени, за да се създаде квадрат с дупка вътре? Отговорът ще бъде да. Едно елегантно решение се основава на парадокса, обсъден в предишната глава.
Вместо специално подреждане на картините в первази и разрязване в права линия (хоризонтално), картините се поставят на една права линия и разрезът се прави в первази. Резултатът е удивителен: не само че картината изчезва, но на мястото, където е изчезнала, се появява дупка.
Квадратчета от две части
Възможно ли е да се направи същото с две части?
Не мисля, че в този случай е възможно по някакъв начин да се получи вътрешен отвор в квадрат, като незабележимо се увеличи неговата височина или ширина. Доказано е обаче, че парадоксът с дупка в квадрат, разрязан на две части, може да бъде изграден на принципа, който е приложен в парадокса на изчезващия воин. В този случай, вместо да поставяте фигурите в спирала или в стъпка, те се поставят строго в кръг, докато разрезът се прави в спирала или стъпка; в последния случай има вид на зъбно колело със зъби с различни размери. Когато това колело се върти, една фигура изчезва и на нейно място се появява дупка.
Фиксираните и въртящите се части са добре напаснати една към друга само в позиция, където се появява дупка. В първоначалното положение се виждат малки празнини на всеки зъб, ако срезът е бил стъпаловиден, или една непрекъсната кръгла празнина, ако срезът е бил в спирала.
Ако оригиналният правоъгълник не е квадрат, той може да бъде разрязан на две части и след това да се получи дупка вътре с много малка забележима промяна във външните му размери. На фиг. 76 показва една опция.
И двете части са еднакви по форма и размер. Най-лесният начин да демонстрирате този парадокс е следният: изрежете парчета от картон, сгънете ги в правоъгълник без дупка, поставете ги върху лист хартия и ги очертайте по периметъра с молив. Сега, като сгънете частите по различен начин, можете да видите, че те все още не излизат извън начертаната линия, въпреки че в средата на правоъгълника се е образувала дупка.
Към нашите две части можем, разбира се, да добавим трета, направена под формата на лента, която, когато се приложи към една от страните на правоъгълника, го превръща в квадрат; по този начин имаме друг начин да разрежем квадрата на три части, давайки вътрешен отвор.
Криволинейни и триизмерни опции
Примерите, които дадохме, ясно показват, че областта на парадоксите с промени в площта едва сега започва да се развива. Има ли извити форми, като кръгове или елипси, които могат да бъдат нарязани на парчета и след това пренаредени, така че да се създадат вътрешни дупки без забележимо изкривяване на формата?
Има ли триизмерни фигури, които са специфични за трите измерения, тоест, които не са тривиално следствие от двуизмерните фигури? В крайна сметка е ясно, че към всяка плоска фигура, която срещнахме в тази глава, можете да „добавите измерение“, като просто я изрежете от доста дебел картон, чиято височина е равна на „дължината на третото измерение“ ).
Възможно ли е да нарежете куб или, да речем, пирамида на парчета по не много сложен начин, така че, композирайки ги по нов начин, да получите забележими празнини вътре?
Отговорът ще бъде следният: ако не ограничите броя на частите, тогава такива пространствени фигури изобщо не са трудни за посочване. Това е съвсем ясно в случая с куб.
Тук може да се постигне вътрешна празнота, но по-труден е въпросът с най-малкия брой части, с които това да се постигне. Със сигурност може да се направи от шест части; възможно е това да се постигне с по-малък брой.
Такъв куб може да бъде ефективно демонстриран по следния начин: извадете го от кутия, направена точно като куб, разглобете го на части, разкривайки топка вътре, поставете частите обратно в плътен куб и покажете, че той (без топката ) все още плътно запълва кутията. Ще предположим, че трябва да има много такива фигури, както плоски, така и пространствени, а също и да се отличават с простота и изящество на формата. Бъдещите изследователи на тази интригуваща област ще имат удоволствието да ги открият.
Раздели: Математика
Целта на урока:
- Обобщаване и систематизиране на придобитите знания.
- Разширяване на разбирането на учениците за решаване на проблеми, включващи намиране на най-големите и най-малките стойности.
По време на часовете
Урок 1 етап
Въведение на учителя:всеки човек от време на време се оказва в ситуация, в която трябва да намери най-добрия начинрешаване на всеки проблем.
Например: инженерите-технологи се опитват да организират производството по такъв начин, че да получат възможно най-много продукти, дизайнерите искат да планират устройствата по такъв начин космически корабтака че масата на устройството да е минимална и т.н.
Можем да кажем, че има проблеми с намирането на най-големите и най-малките стойности практическа употреба.
За да докажа думите си, искам да цитирам от историята на L.N. Толстой „Колко земя се нуждае от човек“ за селянина Пахом, който купи земя от башкирите.
- Каква ще е цената? - казва Пахом.
- Имаме една цена: 1000 рубли. на ден.
Пахом не разбра.
- Каква мярка е денят? Колко десятъка ще има?
„Не знаем как да броим това“, казва той. И ние продаваме за един ден; Колко струвате на ден е ваше, а цената е 1000 рубли.
Пахом беше изненадан.
„Но това“, казва той, „ще покрие много земя за един ден.“
Бригадирът се засмя.
„Всичко твое“, казва той. - Само едно споразумение: ако не се върнете в същия ден на мястото, откъдето сте започнали, парите ви са изчезнали.
"Но как - казва Пахом - мога да отбележа къде ще мина?"
- И ние ще застанем на мястото, където изберете; Ние ще стоим, а вие отидете, направете кръг и вземете със себе си стъргалка и, където е необходимо, забележете, в ъглите на дупката поставете рояк трева; После ще ходим от дупка в дупка с ралото. Вземете какъвто кръг искате, просто се върнете на мястото, от което сте тръгнали преди залез слънце. Каквото и да обиколиш, всичко е твое.
Фигурата, която Pakhom измисли, е показана на фигурата. Що за фигура е това? (Правоъгълен трапец)
Въпрос:Мислите ли, че Pakhom получи най-голямата площ? (като се има предвид, че парцелите обикновено са с правоъгълна форма)? Днес в клас ще разберем.
За да разрешим този проблем, трябва да си спомним какви етапи са включени в решаването на екстремни проблеми?
- Задачата се превежда на функционален език.
- Инструментите за анализ търсят най-голямата или най-малката стойност.
- Разберете какво практическо значение има полученият резултат.
Задача No1 (Нека решим като клас)
Периметърът на правоъгълника е 120 см. Колко трябва да са дълги страните на правоъгълника, за да е най-голяма площта.
Да се върнем към задачата, с която започнахме урока. Pakhom получи ли най-голямата площ (като се има предвид, че парцелите обикновено са с правоъгълна форма)? Обсъждаме с учениците каква най-голяма площ може да бъде получена от Pakhom.
Урок 2 етап
Задачите, написани предварително на дъската, са с обяснение (те са две).
Задача No1
Намерете при какви условия потреблението на калай за производството на цилиндрични кутии с даден капацитет ще бъде най-малко.
Бих искал да насоча вниманието на момчетата към факта, че в нашата страна се произвеждат стотици милиони кутии, а спестеното потребление на калай с поне 1% ще ни позволи да произвеждаме допълнително милиони кутии.
Задача No2
Лодките се намират на 3 км от най-близката точка А на брега. Пожар има в точка Б, намираща се на 5 км от А. Лодкарят иска да се притече на помощ, така че трябва да стигне до там възможно най-кратко време. Лодката се движи със скорост 4 km/h, а пътникът се движи със скорост 5 km/h. В коя точка на брега трябва да акостира лодкарят?
Урок 3 етап
Работа в групи с последваща защита на задачите.
Задача No1
Едно от лицата на правоъгълен паралелепипед е квадрат. Сборът от дължините на ръбовете, излизащи от един връх на паралелепипеда, е 12. Намерете неговия най-голям възможен обем.
Задача No2
За инсталиране на оборудването е необходима стойка с обем 240 dm 3 във формата на правоъгълен паралелепипед. Основата на стойката, която ще се монтира в пода е правоъгълник. Дължината на правоъгълника е три пъти по-голяма от ширината. Задната по-дълга стена на стойката ще бъде вградена в стената на работилницата. При монтиране на стойката стените й, които не са монтирани в пода или стената, се свързват една с друга чрез заваряване. Определете размерите на стойката, при които общата дължина на заваръчния шев ще бъде най-къса.
Задача No3
От кръгъл труп се изрязва лъч с правоъгълно напречно сечение с най-голяма площ. Намерете размерите на напречното сечение на гредата, ако радиусът на напречното сечение на трупа е 30 cm.
Задача No4
От правоъгълен лист картон със страни 80 см и 50 см трябва да направите правоъгълна кутия, като изрежете квадратчета по ръбовете и прегънете получените ръбове. Колко висока трябва да е кутията, за да има най-голям обем? Намерете този том.
Етап на урока 4
Решаване на задачи за избираема оценка.
Задача No1
От тел с дължина 80 см трябва да направите правоъгълник с най-голяма площ. Намерете неговите размери.
Задача No2
Сборът от дължините на ръбовете на правилна триъгълна призма е 18√3. Намерете възможно най-големия обем на такава призма.
Задача No3
Диагоналът на правоъгълен паралелепипед, чиято една от страните е квадрат, е равен на 2√3. Намерете възможно най-големия обем на такъв паралелепипед.
Етап на урока 5
Хрестина Надежда Михайловна, учител по развиваща работа с деца, Неправителствена образователна институция „Детски център „Страната на чудесата“, Рязан [имейл защитен]
Приложение на елементите на ТРИЗ в часовете по математика
Анотация. Статията разглежда използването в уроците по математика на елементи от структурата на творчески урок в иновативни педагогическа система NFTMTRIZ. Авторът предлага методическа разработкаурок по математика в 5. клас, който демонстрира как да развиваме творческите способности на учениците в рамките на училищна програма. Ключови думи: универсални учебни дейности, творческо мислене, системно-деятелен подход, творчески урок, рефлексия.
Математиката е наука, която е жизненоважна за всеки. От най-ранна възраст детето е заобиколено от свят на числа, форми и т.н. И в същото време този свят е много сложен и многостранен. Много деца, изправени пред трудности в усвояването на материала, губят интерес към предмета и „незнанието” се натрупва като снежна топка. Следователно учителят е изправен пред проблем: не само да преподава, но и да внуши интерес и следователно да даде на детето инструменти за самостоятелно овладяване на нови знания (универсални учебни дейности).Задачата на учителя е да направи урока интересен, вълнуващ, използвайки разнообразни методи на обучение, систематично да развива креативното мислене на детето, способността да работи с проблем и да го решава, да прави изводи, да търси нови оригинални подходи, да вижда красотата на резултатите Посланието към това е Федералната държава Образователен стандарт (FSES) за основно общо образование от 17 декември 2010 г. Той се основава на подход на системна дейност, с ценност на свободната и отговорна личност на ученика. Стандартът диктува да се отдалечим от класната система на Джон Амос Коменски, в която учителят е „разказвач“, а учениците са „преразказвачи“. Нови видове уроци, като: „мозъчна атака“, дебат, дейности по проекта, ще помогне на детето в един непрекъснато променящ се свят. Какви резултати трябва да получи учителят в резултат на работата си? Учителят трябва да възпитава у учениците патриотизъм, любов към родината, историята, езика и културата на своя народ; формират отговорно отношение към ученето, способност за саморазвитие и самообразование въз основа на мотивация за учене и знания, съзнателен избор на професия; развиват комуникативна компетентност; способност за поставяне на цели, търсене на начини за постигането им, овладяване на основите на самоконтрола и т.н. Също така ученикът трябва да има достатъчно знания и компетенции, да може да носи отговорност за своите действия и техните последици, да уважава закона, бъде свободен и отговорен, толерантен гражданин.Движението напред на науката и технологиите води до увеличаване на броя на изобретенията и новите професии, ученикът трябва да бъде подготвен за постоянно променящите се изисквания на пазара на труда.Горното ни позволява да заключим, че за да постигне всички тези резултати, учителят не трябва просто да предава знания, той трябва да „учи как да учи.” Учителят, отивайки на урок, трябва да разбере, че резултатите от предмета вече не са единствените основни; той също трябва да формират лични и метапредметни резултати. Самата формулировка на резултатите се промени, тъй като детето вече трябва да овладее методите на действие, т.е. универсални учебни дейности, които са метапредметни резултати. Само набор от универсални действия ще позволи на ученика да развие способността за учене като система.Един от помощниците на учителя при планирането на урок по Федералния държавен образователен стандарт е технологичната карта на урока. Позволява ясно да се проследи как и на какъв етап се формират определени универсални образователни действия. За постигане на целите учителят може да бъде подпомогнат чрез използване на елементи от творческа педагогическа система за непрекъснато формиране на творческо мислене (CFTM), която съдържа инструменти от теорията за решаване на изобретателни проблеми (TRIZ).Това позволява на учениците да се развиват творческо въображениеи въображение, систематично и диалектическо мислене.Използването на структурата на творчески урок в училище ви позволява да направите урока по-ярък, по-малко стресиращ за детето, да държите детето фокусирано през целия урок и най-важното, да не му предоставяте готови знания, но му дайте възможност сам да ги получи.Също важен въпрос е частичен преходот проблеми от затворен тип до задачи от отворен тип.Задачите от отворен тип, които засягат ежедневния опит на учениците, принуждават учениците да мислят дори когато четат условието, тъй като то е недостатъчно, „размазано“ и може да съдържа излишна информация. Разнообразието от методи за решение води до унищожаване на психологическата инерция - навика за стандартни действия в позната ситуация или желанието да се мисли и действа в съответствие с натрупания опит.Набор от възможни отговори помага да се научи детето на рефлексия и самочувствие. Не можем да говорим за пълен отказ от затворени задачи. Те са добри в малки количества, когато просто трябва да се сдобиете с конкретна формула или свойство. Но обяснението на нов материал не може да бъде без проблем. В края на краищата, първият въпрос в умовете на децата след прочитане на тема в клас е: „Защо ми трябва това?“ или „Къде това ще ми бъде полезно?“ Всичко по-горе ни се дава от системата NFTM - непрекъснатото формиране на творческо мислене и развитие креативностдеца. Представям урок по математика за 5 клас с елементи от структурата на творчески урок в иновативната педагогическа система NFTMTRIZ Технологична карта на урок по математика за 5 клас на тема „Площ на правоъгълник. Единици за площ" Тип урок: Урок за изучаване на нов материал. Цели на урока: 1. Предмет: да се формира представа на учениците за площта на фигура, да се установят връзки между единиците за измерване на площта, да се запознаят учениците с формулите за площта на правоъгълник и квадрат. 2. Лични: развийте способността да определяте методи на действие в рамките на предложените условия и изисквания, коригирайте действията си в съответствие с променящата се ситуация.3. Мета-предмет: да се развие способността да се види математически проблем в контекста на проблемна ситуация, в заобикалящия живот.Планирани резултати:
учениците ще придобият разбиране за площта на фигурите и нейните свойства, ще се научат да установяват връзки между единиците за измерване на площта, да прилагат формули за площта на правоъгълник и квадрат; придобиват способността да анализират, сравняват, обобщават, и правят изводи; учениците ще развият познавателен интерес чрез игрови моменти на „малко чудо“; ще придобият комуникативни умения за работа в групи и по двойки. Учебник: A.G. Мерзляк, В.Б. Полонски, М.С. Якир. Математика 5 клас. Учебник за ученици от общообразователни институции. 2014 г.
Етапи на урока Задачи на етапа Дейности на учителя Дейности на учениците UUD1. Мотивация Създайте благоприятен психологическа нагласаза работа, мотивиране на учениците за урока Поздрав, проверка на готовността за учебния час, организиране на вниманието на децата Трик с игра на зарове: първо има 1 голям зар в прозрачна кутия, след удар в капака на кутията, 8 малки в него се появяват такива.– Как стана това?Какво правихме в миналия урок?– Днес ще продължим да работим с правоъгълници.Влезте в деловия ритъм на урока.
Момчетата се опитват да разгадаят номера, активират знанията си от предишния урок.
Личностни: самоопределение Регулаторни: самоорганизация Комуникативни: планиране на образователно сътрудничество с учителя и връстниците Когнитивни: изследователски умения 2. Съдържание Осигуряване на възприемане, разбиране и първично запаметяване от децата на изучаваната тема: областта на правоъгълник Картините се показват на мултимедиен проектор Проблем Съседите са в конфликт. За да стигне до градината си, собственикът на синия парцел трябва да премине през червения парцел на съседа си. Какво да правя? Вход в сайтовете
Фиг.1 От опит знаем, че равните парцели имат равни площи – Какъв извод можем да направим? Проблем: Мъж реши да боядиса пода в дачата си. Но полът има необичайна форма. Но той не знае колко боя е необходима; на кутията с боя пише 100 g на 1 m2. Площта на по-малката фигура е 12m2, площта на по-голямата е 20m2 Какво да правя?
Те изложиха версии за разрешаване на спора. Заедно с учителя те избират правилния: синият трябва да вземе парче от земята на червения и в замяна да му даде равен.
Те заключават: равни фигури имат равни площи. Момчетата предлагат версии, заедно избираме правилната: трябва да съберем площите на две фигури и да намерим консумацията на боя. Учениците сами извеждат второто свойство: Площта на фигура е равна на сумата от площите на фигурите, от които се състои Лични: самоопределение Регулаторни: развитие на регулиране на образователните дейности Комуникация: способност за работа в екип, чуване и зачитане на мнението на другите , способност за защита на позицията Когнитивни: изследователски умения Развитие на творческото мислене.
Фиг. 2 Евристичен разговор с елементи на метода проба-грешка. На бюрото на учителя има линийка, пергел и транспортир. Говорихме за площ, но как да я измерим? Нека измерим площта на нашата дъска. – Какво имаме за измерване на сегменти? – Какво имаме за измерване на ъгли? Заключаваме: за единица за измерване на площ избираме квадрат, чиято страна е равна на a единичен сегмент. Как наричаме такъв квадрат? За да измерите площ, трябва да преброите колко единични квадрата се побират в нея?
Момчетата преминават през всички възможни инструменти и стигат до извода, че не са достатъчни.
– Линийка, единична отсечка – Транспортир, единичен ъгъл – Единичен Един от учениците отива до дъската, пресмята, използвайки предварително подготвен единичен квадрат със страна 1 м, площта на дъската. единичен квадрат се вписва в двара, което означава, че площта на дъската е 2 m 2. Записваме в тетрадка темата на урока: „Площ на правоъгълник.“ 3. Психологическо облекчение. Дайте на учениците възможност да променят вида дейност. Задачи за развитие на творческите способности Ориентация в пространството 1. Двойка коне пробягаха 20 км. Колко километра е пробягал всеки кон? (20 км) 2. В клетката имаше 4 заека. Четирима момчета купиха един от тези зайци и един заек остана в клетката. Как може да стане това? (Един заек е купен заедно с клетка) 3. В два портфейла има две монети, като в единия има два пъти повече монети, отколкото в другия. Как е възможно това? (Един портфейл лежи в друг) Класът е разделен на групи от по 6 души, в групите учителят избира капитан, който след обсъждане на проблема избира верния отговор. За обсъждане се дава 1 минута.
Лични: самоопределение Регулаторни: развитие на регулирането на образователните дейности Комуникативни: взаимодействие с партньори в съвместни дейности Когнитивни: изследователски умения Развитие на творческото мислене.
4. Двама сина и двама бащи изядоха 3 яйца. Колко яйца е изял всеки човек? (По едно яйце). Игра: „Докосни дясното ухо на съседа отляво с лакътя на лявата си ръка.“ 4. Пъзел.
Представете си система от все по-сложни пъзели, въплътени в реални обекти. Самостоятелно решение на задачи. 1. Колко сантиметра в: 1 dm, 5 m 3 dm, 12 dm 5 cm; 2. Колко метра в: 1 km, 4 km 16 м, 800 см. 3. Лодката е изминала за 5 часа 40 км. За колко часа ще измине 24 км със същата скорост?4.Кое число трябва да поставите на мястото на звездичките 1*+3*+5*=111, за да се получи правилното равенство?5.Попълнете магическия квадрат10
Правилни отговори.
Фиг. 3 В тетрадката се записват само отговорите, след което си разменят тетрадките със съучениците си и се проверяват помежду си. В края на екрана се появяват верните отговори Личностни: формиране на смисъл Регулаторни: саморегулация на емоционалните и функционални състояния, самоорганизация Комуникативни: умение за работа по двойки Когнитивни: умения за намиране на решения на проблеми. Развитие на творческото мислене.
5. Интелектуална загрявка Развийте логическото мислене и творческите способности 1. Страната на правоъгълен лист хартия има цяла дължина (в сантиметри), а площта на листа е 12 cm2. Колко квадрата с площ 4 cm2 могат да се изрежат от този правоъгълник 2. Следният чертеж се показва на дъската през проектора Фиг.4 Вътре в правоъгълника ABCD е изрязан правоъгълен отвор. Как да разделим получената фигура на две фигури с равни площи с един прав разрез. Един ученик е на дъската, останалите работят от местата си. Личностни: формиране на смисъл, способност за завършване на работата. Регулативни: самоорганизация. Комуникативни: умения за сътрудничество с учителя и връстниците Когнитивни: умения изследователски дейности 6. Съдържание.
Съдържа програмен материал курс на обучениеи осигурява образуването системно мисленеи развитието на творческите способности. Беше ли ни трудно да изчислим площта с помощта на квадрат? Ако трябва да изчислим площта на стадиона, нека да опитаме? Тогава нека се върнем към проблема с дъската. Ако едната страна на дъската е 2 m, а другата страна е 1 m, дъската е с правоъгълна форма, тогава тя може да бъде разделена на 2 × 1 единични квадрата. Следователно, каква е площта на дъската? Ако a и b са съседни страни на правоъгълника, изразени в едни и същи единици. Как да намерите площта на такъв правоъгълник?
Задача: Как да се намери лицето на правилен четириъгълник, в който всички страни и ъгли са равни?
Въвеждат се нови единици за измерване на площ: are (площ), хектар.1 a = 10 m * 10 m = 100 m2
1 ха = 100 м* 100 м = 10000 м2
Какви измервания изискват толкова големи единици площ?
S= a bНапишете формулата в тетрадката си. Учениците обсъждат проблема в групи, предварително сформирани в психологическа загрявка, само една група стават експерти (след като изслушат предложените версии, те ги обработват и предлагат една, която според тях е правилна). Следва обсъждане на решението на проблема.След това в тетрадките записваме получената формула за площта на квадрата S = a 2
– За измерване на площта на парцели, села, стадиони и др.Лични: самоопределение Регулаторни: разработване на регламент на образователните дейности Комуникативни: способност за работа в екип, чуване и зачитане на мнението на другите, способността да защитава своята позиция Когнитивни: изследователски умения .Развитие на творческото мислене.
7. Компютърна интелектуална загрявка Осигурете мотивация и развитие на мисленето Установете правилността и осъзнатостта на изучаването на темата.
Тест на компютър. Учителят контролира броя на грешките. Фиг. 5 (картинката се намира под таблицата)
Учениците работят на компютър по двойки, полагат тест Лични: самоопределение Регулаторни: разработване на регламент на образователните дейности Комуникативни: способността да работят по двойки, да чуват и зачитат мнението на другите, способността да защитават своята позиция Когнитивна: намиране на решение на проблем. 8. Обобщение.Домашна работа.Обобщаване на урока.Предоставете обратна връзкав урока Учителят предлага да пляскат тези, които са харесали урока и да тропат, ако смятат, че този урок е скучен - Какво ново научихте в урока?
Домашна работа: Даден е квадрат със страна 8 см. Намерете лицето му. Използвайки разноцветни фигури, обяснете и след това опровергайте моята хипотеза: 8 * 8 = 65 Фиг. 6 Учениците оценяват урока, своите действия в урока и действията на своите връстници.
–Формула за повърхнина на правоъгълник, квадрат, мерна единица за площ У дома учениците провеждат опит с части от квадрат Решение на теста Sq = 8 * 8 = 64 cm2 Нека направим правоъгълник от парчетата. Фиг. 7 Sp = (8+5) * 5 = 65 cm2
Такива изчисления се получават, защото между частите се образува празнина при сглобяването на правоъгълник Лични: саморазвитие на моралното съзнание и ориентация на учениците в областта на моралните и етичните отношения Регулаторни: развитие на регулирането на образователните дейности Комуникативни: способност за изразяване на мислите си с достатъчна пълнота и точност Когнитивни: рефлексия.
Връзки към източници 1. Федерален държавен образователен стандарт за основно общо образование. Федерален закон на Руската федерация от 17 декември 2010 г No 1897ФЗ.2.М.М.Зиновкина. NFTMTRIZ: творческо образование на XXI век. Москва, 2007 г. –313s.
Пример 1 . От тел с дължина 20 см трябва да направите правоъгълник с най-голяма площ. Намерете неговите размери.
Решение:Нека означим едната страна на правоъгълника с x cm, тогава втората ще бъде (10-x) cm, площ S(x)=(10-x)*x=10x-x 2 ;
S/(x)=10-2x; S/(x)=0; х=5;
Според условията на задачата x (0;10)
Нека намерим знака на производната на интервала (0;5) и на интервала (5;10). Производната променя знака от “+” на “-”. Следователно: x=5 е максималната точка, S(5)=25cm 2 е най-голямата стойност. Следователно едната страна на правоъгълника е 5 cm, другата е 10x=10-5=5 cm;
Пример 2. Парцел с площ от 2400 м2 трябва да бъде разделен на две правоъгълни секции, така че дължината на оградата да е минимална. Намерете размерите на парцелите.
Решение:Нека означим едната страна на парцела с x m, тогава втората ще бъде m, дължината на оградата е P(x) = 3x+;
P/(x) = 3-; P / (x) = 0; 3x 2 = 4800; x 2 = 1600; х=40. Приемаме само положителна стойност според условията на проблема.
Според условията на задачата x (0; )
Нека намерим знака на производната на интервала (0;40) и на интервала (40; ?). Производната променя знака от “-” на “+”. Следователно x=40 е минималната точка, следователно P(40)=240m е най-малката стойност, което означава, че едната страна е 40m, другата =60m.
Пример 3. Правоъгълният парцел е прилежащ към сградата от една страна. При дадени размерипериметър от 1 м, е необходимо да се огради зоната, така че площта да е възможно най-голяма.
Решение:
Нека означим едната страна на правоъгълната област с x m, тогава втората ще бъде (-2x)m, площ S(x)= (-2x)x = x -2x 2;
S/(x)= -4x; S/(x)=0; -4x; x = ;
Според условията на задачата x (0; )
Нека намерим знака на производната на интервала (0; ) и на интервала ( ; ). Производната променя знака от “+” на “-”. Следователно x = максимална точка. Следователно, едната страна на парцела = m, втората -2x = m;
Пример 4. От правоъгълен лист картон със страни 80 см и 50 см трябва да направите правоъгълна кутия, като изрежете квадратчета по ръбовете и прегънете получените ръбове. Колко висока трябва да е кутията, за да има най-голям обем?
Решение:Нека обозначим височината на кутията (това е страната на изрязания квадрат) с x m, тогава едната страна на основата ще бъде (80-2x) cm, втората (50-2x) cm, обем V(x) = x(80-2x)(50-2x) =4x 3 -260x 2 +4000x;
V / (x)=12x 2 -520x+4000; V/(x)=0; 12x 2 -520x+4000=0; х 1 =10; x 2 =
Според условията на задачата x (0; 25); x 1 (0; 25), x 2 (0; 25)
Нека намерим знака на производната на интервала (0; 10) и на интервала (10; 25). Производната променя знака от “+” на “-”. Следователно x = 10 е максималната точка. Следователно височината на кутията = 10 см.
Пример 5. Правоъгълният парцел е прилежащ към сградата от една страна. При зададен размер на периметъра от 20 m е необходимо да се огради зоната, така че площта да е възможно най-голяма.
Решение:
Нека означим едната страна на правоъгълника с x m, тогава втората ще бъде (20 -2x) m, площ S(x)= (20-2x)x=20x -2x 2;
S / (x) = 20 -4x; S/(x)=0; 20 -4x =0; х = =5;
Според условията на задачата x (0; 10)
Нека намерим знака на производната на интервала (0; 5) и на интервала (5; 10). Производната променя знака от “+” на “-”. Следователно x = 5 е максималната точка. Следователно едната страна на парцела = 5 m, втората 20 -2x = 10 m;
Пример 6 . За да се намали триенето на течността по стените и дъното на канала, е необходимо да се направи възможно най-малка зоната, намокрена от нея. Необходимо е да се намерят размерите на отворен правоъгълен канал с площ на напречното сечение 4,5 m 2, при който мократа площ ще бъде най-малката.
Решение:
Нека означим дълбочината на канавката с x m, тогава ширината ще бъде m, P(x)=2x+;
P/(x) = 2-; P / (x) = 0; 2x 2 = 4,5; х=1,5. Приемаме само положителна стойност според условията на проблема.
Според условията на задачата x (0; )
Нека намерим знака на производната на интервала (0;1,5) и на интервала (1,5;?). Производната променя знака от “-” на “+”. Следователно x=1,5 е минималната точка, следователно P(1,5)=6m е най-малката стойност, което означава, че едната страна на канавката е 1,5m, другата =3m.
Пример 7. Правоъгълният парцел е прилежащ към сградата от една страна. При зададен размер на периметъра от 200 m е необходимо да се огради зоната, така че площта да е възможно най-голяма.
„Приложение на производна за решаване на проблеми“
(10 клас)
Методическата система на дейностите на учителя в този урок предполага формирането на способността на учениците самостоятелно да планират и изпълняват стъпка по стъпка изследователска работа. Ученикът има право да се консултира с учителя, да обсъжда, да получава съвети или съвети от учителя, за да помогне на детето да разбере разнообразието от решения и да определи правилното.
По време на урока се провежда обсъждане на теоретичен материал, класът се разделя на групи, за да се гарантира разнообразието на предлаганите от тях методи на разсъждение, последвано от избор на най-приемливите от тях.
Наред със самостоятелната дейност е препоръчително да се използват диференцирани задачи от различни нива в урока и да се оценяват съответно.
Анализът на резултатите от изпълнението на тези задачи от учениците, в допълнение към информацията за тяхното майсторство, дава на учителя картина на основните трудности на учениците, основните им пропуски, което помага да се очертаят основните начини за решаване на проблемите.
Целта на урока:овладяване на умения за самостоятелно прилагане на знания, умения и способности по комплексен начин и прехвърлянето им в нови условия с помощта на изследователския метод.
Задачи:
Образователни и познавателни:затвърдяване, систематизиране и обобщаване на знания и умения, свързани с овладяване на понятието „най-голяма и най-малка стойност на функция”; практическо приложение на развиваните умения и способности.
Развитие:развитие на умения за самостоятелна работа, ясно изразяване на идеи и провеждане на самооценка на учебните дейности в класната стая.
Комуникация: способност за участие в дискусия, слушане и чуване.
По време на часовете
Организиране на времето
1. Всеки човек от време на време се оказва в ситуация, в която трябва да намери най-добрия начин за решаване на проблем, а математиката се превръща в средство за решаване на проблемите на организацията на производството и търсенето на оптимални решения. Важно условиеповишаването на ефективността на производството и подобряването на качеството на продукта е широкото въвеждане на математически методи в технологията.
Повторение
Сред проблемите на математиката важна роля се отрежда на задачите за екстремуми, т.е. задачи за намиране на най-голямата и най-малката стойност, най-добрата, най-изгодната, най-икономичната. Представителите на различни специалности трябва да се справят с такива проблеми: инженерите-технологи се опитват да организират производството така, че да се произвеждат възможно най-много продукти, дизайнерите искат да планират устройство на космически кораб, така че масата на устройството да е минимална, икономистите се опитват да планират свързването на фабриките с източници на суровини, така че транспортните разходи да бъдат сведени до минимум. Можем да кажем, че задачите за намиране на най-малките и най-големите стойности имат голямо практическо приложение. Днес в клас ще се занимаваме с такива задачи.
Затвърдяване на научения материал
2. Двама „силни“ ученика се извикват на дъската за решаване на задачи (10 мин.).
1-ви ученик:Даден е резервоар без капак под формата на правоъгълен паралелепипед, чиято основа е квадрат и чийто обем е 108 cm 3 . При какъв размер на резервоара ще бъде възможно да се произвежда? най-малко количествоматериал?
Решение:Нека означим страната на основата с x cm и изразим височината на паралелепипеда. Нека намерим знака на производната върху интервали. Производната променя знака от „–” на „+”. Следователно x=6 е минималната точка, следователно S(6)=108 cm 2 е най-малката стойност. Това означава, че страната на основата е 6 см, височината е 12 см.
2-ри ученик:В окръжност с радиус 30 cm е вписан правоъгълник с най-голяма площ. Намерете неговите размери.
Решение:Нека обозначим едната страна на правоъгълника с x cm, след което изразете площта на правоъгълника. Нека намерим знака на производната на интервала (0;30) и на интервала (30;60). Производната променя знака от “+” на “–”. Следователно x=30 е максималната точка. Следователно едната страна на правоъгълника е 30, другата е 30.
3.По това време виеПровежда се взаимна проверка по темата „Приложение на производните” (за всеки верен отговор се присъжда по 1 точка). Всеки ученик отговаря и предава отговора си на съседа по бюро за проверка.
Въпросите са написани на преносима дъска, като се дава само отговорът:
Казва се, че функция нараства на даден интервал, ако...
За дадена функция се казва, че намалява на даден интервал, ако...
Точка x 0 се нарича минимална точка, ако...
Точка x 0 се нарича максимална точка, ако...
Стационарните точки на функция се наричат точки...
Пишете обща формадопирателни уравнения
Физическо значение на производната
Правене на изводи
4. Класът е разделен на групи. Групите изпълняват задачи за намиране на минимума и максимума на функция.
5. Думата се дава на „силните“ ученици. Учениците в класа проверяват своите решения (10 мин.).
6. За всяка група се дават задачи по избор (10 мин.).
1 група.
За отбелязване на "3"
За функцията f(x)=x 2 *(6-x) намерете най-малката стойност на сегмента.
Решение: f(x)=x 2 *(6-x)=6x 2 +x 3; f / (x) = 12x-3x 2; f/(x)=0; 12x-3x 2 =0; х 1 =0; х 2 =4;
f(0)=0; f(6)=0; f(4)=32-макс.
До знака "4".
От тел с дължина 20 см трябва да направите правоъгълник с най-голяма площ. Намерете неговите размери.
Решение: Нека означим едната страна на правоъгълника с x cm, тогава втората ще бъде (10-x) cm, площ S(x)=(10-x)*x=10x-x 2 ; S/(x)=10-2x; S/(x)=0; х=5. Според условията на задачата x (0;10). Нека намерим знака на производната на интервала (0;5) и на интервала (5;10). Производната променя знака от “+” на “–”. Следователно: x=5 е максималната точка, S(5)=25 cm 2 е най-голямата стойност. Следователно едната страна на правоъгълника е 5 cm, втората е 10x=10-5=5 cm.
На знака "5".
Парцел от 2400 m2 трябва да бъде разделен на две правоъгълни секции, така че дължината на оградата да е най-къса. Намерете размерите на парцелите.
Решение: Нека означим едната страна на парцела с x m, запишем дължината на оградата и намерим производната P / (x) = 0; 3x 2 =4800; х 2 =1600; х=40. Приемаме само положителна стойност според условията на проблема.
Нека намерим знака на производната на интервала (0;40) и на интервала (40;?). Производната променя знака от „–” на „+”. Следователно x=40 е минималната точка, следователно P(40)=240 е най-малката стойност, което означава, че едната страна е 40 m, другата е 60 m.
2-ра група.
За отбелязване на "3"
За функцията f(x)=x 2 +(16-x) 2 намерете най-малката стойност на сегмента.
Решение: f / (x)=2x-2(16-x)x=4x-32; f/(x)=0; 4x-32=0; х=8; f(0)=256; f(16)=256; f(8)=128-мин.
До знака "4".
Правоъгълният парцел е прилежащ към сградата от една страна. Като се имат предвид размерите на периметъра в m, е необходимо площта да бъде оградена така, че площта да е най-голяма.
На знака "5".
От правоъгълен лист картон със страни 80 см и 50 см трябва да направите правоъгълна кутия, като изрежете квадратчета по ръбовете и прегънете получените ръбове. Колко висока трябва да е кутията, за да има най-голям обем?
Нека обозначим височината на кутията (това е страната на изрязания квадрат) с x m, тогава едната страна на основата ще бъде (80-2x) cm, втората - (50-2x) cm, обем V(x )=x(80-2x)(50-2x) )=4x 3, 260x 2 +4000x; V / (x)=12x 2 -520x+4000; V/(x)=0; 12x 2 -520x+4000=0.
Според условията на задачата x (0;25); x 1 (0;25), x 2 (0;25).
Нека намерим знака на производната на интервала (0;10) и на интервала (10;25). Производната променя знака от “+” на “–”. Следователно x=10 е максималната точка. Следователно височината на кутията = 10 см.
3-та група.
За отбелязване на "3"
За функцията f(x)=x*(60's) намерете най-голямата стойност на сегмента.
Решение: f(x)=x*(60-x)=60x-x 2; f / (x)=60-2x; f/(x)=0; 60-2x=0; х=30; f(0)=0; f(60)=0; f(30)=900-макс.
До знака "4".
Правоъгълният парцел е прилежащ към сградата от една страна. При зададен размер на периметъра от 20 m е необходимо да се огради зоната, така че площта да е възможно най-голяма.
Нека означим едната страна на правоъгълника с x m, тогава втората ще бъде (20-2x) m, площ S(x)=(20-2x)x=20x-2x 2; S/(x)=20-4x; S/(x)=0; 20-4x=0; х=5. Според условията на задачата x € (0;10). Нека намерим знака на производната на интервала (0;5) и на интервала (5;10). Производната променя знака от “+” на “–”. Следователно x=5 е максималната точка. Следователно едната страна на парцела = 5 m, втората - 20-2*5 = 10 m.
На знака "5".
За да се намали триенето на течността по стените и дъното на канала, е необходимо да се направи възможно най-малка зоната, намокрена от нея. Необходимо е да се намерят размерите на отворен правоъгълен канал с площ на напречното сечение 4,5 m 2, при който мократа площ ще бъде най-малката.
Нека обозначим дълбочината на канавката с x m, P / (x) = 0; 2x 2 =4,5; х=1,5. Приемаме само положителна стойност според условията на проблема. Нека намерим знака на производната на интервала (0;1,5) и на интервала (1,5;?). Производната променя знака от “–” на “+”. Следователно x=1,5 е минималната точка, следователно P(1,5)=6 m е най-малката стойност, което означава, че едната страна на канавката е 1,5 m, другата е 3 m.
4-та група.
За отбелязване на "3"
За функцията f(x)=x 2 (18-x) намерете най-голямата стойност на сегмента.
f(x)=x 2 (18-x)=18x 2 -x 3; f / (x) = (18x 2 - x 3) / ; f/(x)=0; 36x-3x 2 =0; х 1 =0; x 2 =12 f(0)=0; f(18)=0; f(12)=864-макс.
На знака "4".
Правоъгълният парцел е прилежащ към сградата от една страна. При зададен размер на периметъра от 200 m е необходимо да се огради зоната, така че площта да е възможно най-голяма.
Нека означим едната страна на правоъгълната област с x m, тогава втората ще бъде (200-2x) m, площ S(x)=(200-2x)x=200x-2x 2; S/(x)=200-4x; S/(x)=0; 200-4x=0; х=200/4=50. Според условията на задачата x (0;100). Нека намерим знака на производната на интервала (0;50) и на интервала (50;100). Производната променя знака от “+” на “–”. Следователно x=50 е максималната точка. Следователно, едната страна на парцела = 50 m, втората - 200-2x = 100 m.
На знака "5".
Необходимо е да се направи отворена кутия във формата на правоъгълен паралелепипед с квадратна основа с най-малък обем, ако 300 cm 2 могат да бъдат изразходвани за нейното производство.
Нека означим едната страна на основата с x cm и изразим обема, тогава V / (x) = 0 300-3x 2 = 0; х 2 =100; х=10. Приемаме само положителна стойност според условията на проблема.
Нека намерим знака на производната на интервала (0;10) и на интервала (10;0). Производната променя знака от „–” на „+”. Следователно x=10 е минималната точка, следователно V(10)=500cm 3 е най-малката стойност, което означава, че страната на основата е 10 cm, височината е 50 cm.
Въпроси към класа
7. Делегатите от групите обясняват решението на избраните задачи (10 мин.).
8. Като се вземат предвид точките в загрявката и груповата работа, се поставят оценки за урока.
Обобщаване на урока
Домашна работа
Решаване на задачата с една точка по-високо; Учениците, изпълнили задачата с „5“, се освобождават от домашни.
Анализът на резултатите от изпълнението на тези задачи от учениците, в допълнение към информацията за тяхното майсторство, дава на учителя картина на основните трудности на учениците, основните им пропуски, което помага да се очертаят основните начини за отстраняването им.
| ФОМКИНА ТАТЯНА ФЕДОРОВНА |
ВИЗИТКА |
|
Длъжност | Учител по руски език и литература |
Месторабота | Общинско учебно заведение „Средно общообразователно училище№ 9" на град Оренбург |
Работен опит в позицията | |
Резултат от състезанието | |
Тема на преподавателския опит | Формиране на езикова компетентност на учениците въз основа на системно-дейностен подход към преподаването на руски език според учебните материали на S.I. Лвовой |
Същност методическа системаучител, отразяващ водещите идеи на опита | Същността на методическата система на учителя е в организацията на учебната дейност като движение от въпрос от езиково естество (позволяващ на учениците да насочат вниманието на учениците към смисловата езикова същност на конкретен правопис) към метод на действие (основан на на правило, достъп до речник) и след това до резултат (свободно опериране с правила по време на писане или използване на правописен речник). |
Работете за разпространение на собствен опит, представяне на методическата система на различни нива (форми, интелектуални продукти) | Трудов опит на Фомкина Т.Ф. обобщени през 2009 г. на ниво общинско учебно заведение "Средно училище No 9" и одобрени от методически съвет. През 2009 и 2010г представени сред учителите в град Оренбург на общинско ниво. Татяна Федоровна се представи в окръг методически обединенияпо проблемите: „Използването на ИКТ в уроците по руски език и литература като средство за развитие на езикова компетентност“, „Подход, базиран на дейността при изграждането на образователни стандарти“. |
Ефективността на прилагането на методическата система | Формиране на устойчива положителна мотивация и повишаване на интереса на учениците към предмета; Положителна динамика в отношението на учениците към учителя, уроците по руски език и литература, развитие на способността на учениците да извършват прогнозни дейности и активиране на когнитивните процеси; Значително повишаване на качеството на творческите работи и есетата, което се потвърждава от резултатите от финалните изпити: през 2007 г., според резултатите от GIA, академичното представяне е 100%, броят на тези, които са изпълнили задачи с „4“ и „ 5” е 87%; през 2008г Резултати от единния държавен изпитуспеваемост – 100%, брой на изпълнилите задачи с „4“ и „5“ – 92%, най-висок резултат – 87; през 2009 г., според резултатите от Единния държавен изпит, академичното представяне е 100%, броят на изпълнилите задачи с „4“ и „5“ е 58%, най-високият резултат е 96; Увеличаване броя на студентите, участващи в научни и практически конференции, състезания и олимпиади: X регионална научно-практическа конференция на учениците „Ти си Оренбургец“ (III място), XV градска конференция на студентите „Интелектуалците на 21 век” (диплом за „Различни семейни изследвания”), Всеруски кореспондентски конкурс „Познание и творчество“, 2010 г. (III място, лауреат), областно вътрешно и задочно състезание „Отечество”, 2009 г. (III място), VI Международна олимпиада по фундаментални науки, 2010 г. (дипломи от I и II степен), Международна игра-конкурс „Руска мечка“, 2010 г. (15-то място в региона). Мониторинг образователни дейностипоказва високо нивонивото на обучение на учениците на Татяна Федоровна Фомкина: руски език - 69% (2009 г.), литература - 77% (2009 г.). |
МАТЕРИАЛИ ОТ ТРУДОВ ОПИТ
Урок за усвояване на нови знания
с многостепенна диференциация на обучението
"НЕ със съществителни"
(5 клас)
Представените бележки за уроци са съставени в съответствие с „Програмата по руски език за 5-6 клас“ от S.I. Лвовой (М.; “Мнемозина”, 2008). Урокът е насочен към развитие на езиковата, езиковата и речевата компетентност на учениците. Материалът, включен в урока, има образователен, развиващ и образователен характер.
Цели на урока:
1) развийте комуникационни умения: формулирайте въпрос и дайте отговор на граматична тема; осъществяват речево взаимодействие в мобилна група; създавате собствени текстове по зададена тема;
2) за формиране на езикова и езикова компетентност: познавайте правилата за правопис НЕ със съществително ;да може да прилага това правило на практика с помощта на алгоритъм; повторете правописа « НЕ с глагол" , съществително правило;
3) култивирайте грижовно отношение към словото като духовна ценност на хората.
Оборудване:мултимедийна техника, видео презентация, справочни карти, тест, файлове с изследователски задачи.
По време на часовете
Организиране на времето
Скъпи колеги! Да, да, точно колеги. Не случайно ви нарекох така момчета. Днес ще изпълним обща задача: ще решим лингвистични задачи, ще открием тайните на правописа на думите. В крайна сметка, според Лев Николаевич Толстой, „Словото е велико нещо... С едно слово можеш да служиш на любовта, но с едно слово можеш да служиш на враждата и омразата“ (епиграф към урока).
Езиково загряване „Да - не“
Това е умението за овладяване на думите, което ще ви помогне да се справите с езиковото загряване, което се нарича „Да - Не“. Правилата на тази загрявка са следните: аз ще позная правилото, а вие ще се опитате да го познаете, като задавате насочващи въпроси, които трябва да бъдат формулирани така, че аз да мога да отговоря с „да“ или „не“. Днес ще оценя вашите отговори с помощта на токени. Задавайте ми въпроси.
Учениците задават въпроси на учителя. Например:
1. Учихме това правило в 5 клас? (да)
2. Това правило ли е за правописа на думите? (Не)
3. Това правило за частите на речта ли е? (да)
4. Това правило ли е за съществителните? (да)
- Много добре! Отгатна!
Актуализиране на знанията
Сега нека си припомним какво е съществително. Но нека поговорим за това един по един, предавайки щафетата един на друг, като спортисти на състезание. Който иска може да го използва при отговор помощни карти. Ще оценя вашите отговори с жетони ( отговори на ученици).
Свърши страхотна работа! Ние се нуждаем от познаване на правилата за съществителните, за да можем да различаваме съществителните от другите части на речта.
Ще тестваме това умение чрез правене устна разпределителна диктовка.
Прочетете внимателно думите (щракването на мишката върху екрана на проектора избледнява изображението).
Но какво е това? Какво стана с изображението? Момчета, има грешка!
Хвани я! (Техника за улавяне на грешка)
„Възмущение“ трябва да се пише заедно.Защо?
Това е глагол, който не се използва без НЕ.
(Щракване с мишката)
Упражнение:разделят думите на две групи според части на речта. (Учениците изпълняват задачата)
1. Какви части на речта срещнахте? (Съществителни и глаголи)
2. Назовете съществителните.
3. Назовете глаголите.
4. Как се пише НЕ с глагол?
Поставяне на цели
Така че познаването на правилата за съществителните имена и правописа НЕ с глаголи ще ни помогне да се справим с нова тема, което звучи така: "НЕ със съществителни".Запишете го в тетрадката си.
Записах нашия ход на мисли „Мисленелист", който се състои от три колони: „Знам“, „Искам да знам“, „Разбрах“.
В колоната "Знам" дадено е правило, на което ще разчитаме днес. Това е правило за писане НЕ с глагол .
В колоната "Искам да знам" Въпросът на деня беше формулиран: „Разберете кога НЕ се пише заедно със съществително име, а кога – отделно.“
В колоната "Аз разбрах" ще запишем отговора на този въпрос.
Но първо нека го направим речникова работа.
Момчета, кои са те? невежаИ невежа?Какви хора наричаме това? (Отговорите на учениците)
Запишете тези думи и техните лексикални значения в тетрадката си. Сега съставете фрази или изречения с тях (по избор).
Учене на нов материал
Какво мислите, момчета, защо думите "невежа" и "невежа" се пишат заедно? (Защото не се използват без НЕ)Докладвай
Победители приоритетнационаленпроект « образование". Опитът, натрупан в самоанализа и сравнение на собствените постижения с постиженията на колегите, донесе новпедагогически ...
Опит в създаването на интернет ресурси от учители от Оренбургска област
Автореферат на дисертациятасистеми образование V образователна институция; идентифициране на района на разпространение напредналпедагогическиопит... общо образование училище"стана победител в състезателния подбор в рамките Приоритетнационаленпроект « образование". В...
