Преди да научим как да намерим дискриминант на квадратно уравнение на Ax2 + BX + C \u003d 0 и как да намерим корените на това уравнение, трябва да припомним определението за квадратно уравнение. Уравнението, което има формата AX 2 + BX + C \u003d 0 (където А, В и С е всякакви номера, също така е необходимо да се помни, че a ≠ 0) е квадрат. Всички квадратни уравнения, които разделяме за три изхвърляния:
- тези, които нямат корени;
- има един корен в уравнението;
- има два корена.
За да се определи броят на корените в уравнението, имаме нужда от дискриминантност.
Как да намерим дискриминантност. Формула
Дава се: AX 2 + BX + C \u003d 0.
Формулата на дискриминатора: D \u003d B 2 - 4AC.
Как да намерим корените на дискриминацията
Броят на корените се определя от дискриминантния знак:
- D \u003d 0, уравнението е един корен;
- D\u003e 0, уравнението има два корена.
Корените на квадратното уравнение следват следната формула:
X1 \u003d -B + √D / 2A; X2 \u003d -b + √D / 2a.
Ако D \u003d 0, тогава можете спокойно да използвате някоя от представените формули. Както и да имате същия отговор. И ако се окаже, че D\u003e 0, тогава не е нужно да броите нищо, тъй като уравнението няма корените.
Трябва да кажа, че намирането на дискриминант не е толкова трудно, ако знаете формулата и внимателно извършвате изчисления. Понякога има грешки при заместването на отрицателни числа във формулата (трябва да запомните, че минус за минус дава плюс). Бъдете внимателни и всичко ще изработи!
Квадратични уравнения. Дискриминанта. Решение, примери.
Внимание!
Тази тема има допълнителни
Материали в специален раздел 555.
За тези, които са силно "не много ..."
И за тези, които са "много ...")
Видове квадратни уравнения
Какво е квадратно уравнение? Как изглежда? В полза на квадратно уравнение Ключова дума е "Квадрат". Това означава, че в уравнението преди Трябва да е на площада на площада. Освен него, в уравнението може да бъде (и може да не е!) Просто x (в първа степен) и само номера (свободен член). И не трябва да има ICS до степен, повече две.
Говорейки по математически език, квадратното уравнение е уравнението на формата:
Тук a, b и с - Някои номера. b и C. - всички, и но- Всеки, освен нула. Например:
Тук но =1; б. = 3; ° С. = -4
Тук но =2; б. = -0,5; ° С. = 2,2
Тук но =-3; б. = 6; ° С. = -18
Е, разбираш ...
В тези квадратни уравнения лявата присъща пълен комплект членове. X квадрат с коефициент но,x в първа степен с коефициента б. и свободен пишка с.
Такива квадратни уравнения се наричат пълен.
Какво ако б. \u003d 0, какво правим? Ние имаме x е първата степен изчезват. От умножение до нула това се случва.) Оказва се, например:
5x 2 -25 \u003d 0,
2x 2 -6x \u003d 0,
- 2 + 4X \u003d 0
И т.н. И ако и двата коефициента, б. и ° С. Равен на нула, все още е по-прост:
2x 2 \u003d 0,
-0.3x 2 \u003d 0
Такива уравнения, когато нещо липсва, се нарича непълни квадратни уравнения. Това, което е доста логично.) Моля да забележите, че X присъства на площада във всички уравнения.
Между другото, защо но Не може да бъде нула? И вместо това замествате но Нолик.) Ще изчезнаме на площада! Уравнението ще стане линейно. И вече е решен доста различно ...
Това са всички основни видове квадратни уравнения. Пълна и непълна.
Разтвор на квадратни уравнения.
Решаване на пълни квадратни уравнения.
Квадратните уравнения са просто решени. Според формулите и ясно простите правила. На първия етап, дадено уравнение трябва да бъде доведено до стандартния формуляр, т.е. На ум:
Ако уравнението ви бъде дадено вече в този формуляр - първият етап не е необходим.) Основното нещо е правилно да се дефинират всички коефициенти, но, б. и ° С..
Формулата за намиране на корените на квадратното уравнение изглежда така:
Изразът под знака на корена се нарича дискриминанта. Но за него - по-долу. Както можете да видите, да намерите ICA, ние използваме само a, b и с. Тези. Коефициентите на квадратното уравнение. Просто подредете стойностите a, b и с В тази формула и ние разглеждаме. Заместител със знаците си! Например в уравнение:
но =1; б. = 3; ° С. \u003d -4. Тук и напишете:
Пример е практически решен:
Това е отговорът.
Всичко е много просто. И какво мислиш, че е невъзможно да се направи грешка? Е, да, как ...
Най-често срещаните грешки - объркване с признаци на ценности a, b и с. По-скоро, а не със своите знаци (къде е объркан?), Но със заместването на отрицателни стойности във формулата за изчисляване на корените. Ето подробно въвеждане на формулата със специфични номера. Ако има проблеми с компютрите, направи го!
Да предположим, че трябва да решите това:
Тук а. = -6; б. = -5; ° С. = -1
Да предположим, че знаете, че рядко имате отговори от първия път.
Е, не бъдете мързеливи. Напишете излишната линия ще отнеме секунди 30. и броя на грешките рязко рязане. Тук пишем подробно, с всички скоби и знаци:
Изглежда невероятно трудно, толкова внимателно боя. Но изглежда само. Опитвам. Е, или изберете. Какво е по-добре, бързо или правилно? Също така ще те рита. След известно време ще изчезне толкова внимателно да рисувате всичко. Самата ще бъде прав. Особено ако прилагате практически техники, които са описани точно по-долу. Този зъл пример с куп минус ще бъде решен лесно и без грешки!
Но често, квадратните уравнения изглеждат малко по-различни. Например, подобно:
Разберете?) Да! то непълни квадратни уравнения.
Решение на непълни квадратни уравнения.
Те могат също да бъдат решени по обща формула. Необходимо е само да си представим правилно какво е равно на a, b и с.
Поправено? В първия пример а \u003d 1; b \u003d 4; но ° С.? Изобщо няма никой! Е, да, надясно. В математиката това означава това c \u003d 0. ! Това е всичко. Вместо това заместваме нулевата формула ° С, И всичко ще се окаже. По същия начин с втория пример. Само нула тук не от, но б. !
Но непълните квадратни уравнения могат да бъдат решени много по-лесни. Без никакви формули. Помислете за първото непълно уравнение. Какво може да се направи там в лявата страна? Можете да направите е за скоби! Да извадим.
И какво от това? И фактът, че работата е нула тогава, и само когато някои от мултипликателите са равни на нула! Не вярвайте? Е, излезте с две ненулеви номера, които ще дадат нула с умножете!
Не работи? Това е нещо ...
Следователно можете уверено да пишете: x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 4.
Всичко. Това ще бъдат корените на нашето уравнение. И двете са подходящи. Когато замествате някоя от тях в първоначалното уравнение, ние получаваме вярна идентичност 0 \u003d 0. Както можете да видите, решението е много по-просто от общата формула. Отбелязвам, че x ще бъде първият и коя секунда е абсолютно безразличен. Удобно за запис в няколко, x 1. - Какво е по-малко и x 2. - Какво повече.
Второто уравнение може също да бъде решено просто. Ние носим 9 от дясната страна. Получаваме:
Остава коренът да се извлече от 9 и това е. Оказва се:
Също два корена . x 1 \u003d -3, x 2 \u003d 3.
Така че всички непълни квадратни уравнения са решени. Или чрез създаване на скоба, или чрез просто прехвърляне на номера вдясно, последван от извличането на корена.
Изключително трудно е да се объркат тези техники. Просто защото в първия случай ще трябва да извлечете корена от XCA, което по някакъв начин не е ясно и във втория случай това не е нищо за скоби ...
Дискриминанта. Дискриминационна формула.
Магическа дума дискриминанта ! Един рядък ученик в гимназията не чува думата! Фразата "решава чрез дискриминацията" ще вдъхне доверието и ще насърчава. Защото не е необходимо да чакате триковете от дискриминацията! Това е прост и безпроблемно в обращение.) Напомням ви за най-общата формула за решаване . \\ T Квадратни уравнения:
Изразът под знака на корена се нарича дискриминантно. Обикновено дискриминацията е посочена от писмото Д.. Дискриминационна формула:
D \u003d B 2 - 4AC
И какво е забележително изразяване? Защо заслужава специално име? В какво значение на дискриминацията? След всичко -b, или 2а. В тази формула те не се обаждат специално ... букви и писма.
Това е какво. Когато решавате квадратно уравнение за тази формула, е възможно общо три случая.
1. Дискриминантно положително. Това означава, че е възможно да се извлече коренът. Добър корен е извлечен или лош - въпросът е различен. Важно е да се извлече по принцип. Тогава вашето квадратно уравнение има два корена. Две различни решения.
2. Дискриминацията е нула. След това получавате едно решение. Тъй като нулевото изваждане в числителя не променя нищо. Строго говорене, това не е един корен, но две идентични. Но в опростената версия е обичайно да се говори за това едно решение.
3. Дискриминацията е отрицателна. От отрицателното число, квадратният корен не се отстранява. Ми добре. Това означава, че няма решения.
За да бъда честен, с просто решение на квадратни уравнения, концепцията за дискриминация не е особено необходима. Заместваме стойностите на коефициентите във формулата, да, вярваме. Всичко това се случва всичко, две корени и едно, а не едно. Въпреки това, когато решават по-сложни задачи, без да знаят значение и формула дискриминация не достатъчно. Особено - в уравнения с параметри. Такива уравнения са най-висшият пилот в GIA и EGE!)
Така, как да решават квадратни уравнения Чрез дискриминацията, която си спомняш. Или научих, че също не е лошо.) Знам как да определя правилно a, b и с. Знание внимателно Заменете ги в кореновата формула и внимателно пребройте резултата. Разбрахте, че ключовата дума е тук - внимателно?
И сега се обърнете внимание на практическите техники, които драстично намаляват броя на грешките. Най-много заради невниманието. ... за което тогава това се случва и боли ...
Рецепция
. Не бъдете мързеливи, преди да разрешите квадратното уравнение, за да го донесете в стандартния формуляр. Какво означава това?
Да предположим, че след всички трансформации сте получили такова уравнение:
Не бързайте да напишете коренната формула! Почти вероятно обърквате коефициентите A, B и S. Изграждане на пример правилно. Първо, X е на площада, а след това без квадрат, след това свободен пишка. Като този:
И не бързайте отново! Минусът пред IX на площада може да е здрав, за да ви разстрои. Забравете лесно ... да се отървете от минус. Как? Да, както се преподава в предишната тема! Необходимо е да се умножи цялото уравнение на -1. Получаваме:
Но сега можете спокойно да записвате формулата за корените, помислете за дискриминацията и примера. Сами. Трябва да имате корени 2 и -1.
На второ място. Проверете корените! На теоремата на Виета. Не плаши, ще обясня всичко! Проверка последно нещо уравнението. Тези. Че записахме корените на корените. Ако (както в този пример) коефициент a \u003d 1., Проверете корените лесно. Достатъчно, за да ги умножа. Трябва да има свободен член, т.е. В нашия случай -2. Забележка, не 2, и -2! Безплатен пик с вашия знак . Ако не работи, това означава някъде, където са натрупали. Потърсете грешка.
Ако се е случило - е необходимо да се сгъват корените. Последна и последна проверка. Трябва да се случи коефициентът б. от . \\ T
знак. В нашия случай -1 + 2 \u003d +1. И коефициент б.което е пред IX, равно на -1. Така че всичко е правилно!
Жалко е, че е толкова просто за примери, където X е чист, с коефициент a \u003d 1. Но поне проверете при такива уравнения! Ще има по-малко грешки.
Трети . Ако има фракционни коефициенти във вашето уравнение, - да се отървете от фракциите! Начертайте уравнение за общ знаменател, както е описано в урока "Как да решават уравнения? Идентични реализации". Когато работите с фракции на грешката, по някаква причина и се изкачете ...
Между другото, обещах зъл пример с куп минус да опростя. Вие сте добре дошъл! Ето го.
За да не се бърка в минусите, уравнението на -1 е доминиращо. Получаваме:
Това е всичко! Решете - едно удоволствие!
Така че, обобщете темата.
Практически съвети:
1. Преди решаване, даваме квадратно уравнение на стандартния формуляр, го изграждаме дясно.
2. Ако отрицателен коефициент е на стойност отрицателен коефициент преди X, премахнете умножението на цялото уравнение на -1.
3. Ако фракционните коефициенти са премахнали фракцията чрез умножаване на цялото уравнение към съответния мултипликатор.
4. Ако x е на квадрата - чист, коефициентът е равен на един, разтворът може лесно да бъде проверен от теоремата на Vieta. Направи го!
Сега е възможно да се изчисли.)
Решават уравнения:
8x 2 - 6x + 1 \u003d 0
x 2 + 3x + 8 \u003d 0
x 2 - 4x + 4 \u003d 0
(x + 1) 2 + x + 1 \u003d (x + 1) (x + 2)
Отговори (в разстройство):
x 1 \u003d 0
x 2 \u003d 5
x 1.2 \u003d2
x 1 \u003d 2
x 2 \u003d -0.5
x - всеки номер
x 1 \u003d -3
x 2 \u003d 3
няма решения
x 1 \u003d 0.25
x 2 \u003d 0.5
Всичко се сближава? Отличен! Квадратните уравнения не са главоболие. Първите три се оказаха, а останалите - не? Тогава проблемът не е в квадратни уравнения. Проблемът е в идентични трансформации на уравнения. Разходете се чрез справка, тя е полезна.
Наистина не получава? Или изобщо не работи? Тогава трябва да помогнете на дял 555. Има всички тези примери разглобяват около костите. Представяне главен Грешки в решаването. Описано е, разбира се, използването на идентични трансформации при решаването на различни уравнения. Помага много!
Ако ви харесва този сайт ...
Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)
Той може да бъде достъпен в решаването на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Научете - с интерес!)
Можете да се запознаете с функции и деривати.
Първо, какво е квадратното уравнение? Квадратното уравнение е уравнението на бравата AX ^ 2 + BX + C \u003d 0, където X е променливата, А, В и С са някои числа, а не равно на нула.
2 Стъпка
За да разрешите квадратното уравнение, трябва да знаем формулата за своите корени, т.е. за началото, формулата на дискриминатора на квадратното уравнение. Изглежда, както следва: D \u003d B ^ 2-4Ac. Можете да го оттеглите сами, но обикновено не се изисква, просто запомнете формулата (!) Ще бъде много необходима в бъдеще. Има и четвърт от дискриминацията, повече за него по-късно.
3 стъпка
Вземете като примерно уравнение 3x ^ 2-24x + 21 \u003d 0. Ще го разреша по два начина.
4 Стъпка
Метод 1. Дискриминационен.
3x ^ 2-24x + 21 \u003d 0
a \u003d 3, b \u003d -24, c \u003d 21
D \u003d b ^ 2-4ac
D \u003d 576-4 * 63 \u003d 576-252 \u003d 324 \u003d 18 ^ 2
D\u003e
X1, 2 \u003d (-b 18) / 6 \u003d 42/6 \u003d 7
x2 \u003d (- (- 24) -18) / 6 \u003d 6/6 \u003d 1
5 стъпка
Време е да помните формулата на една четвърт от дискриминатора, която е в състояние да улесни значително решаването на нашето уравнение \u003d) така, така изглежда: D1 \u003d K ^ 2-AC (K \u003d 1 / 2B)
Метод 2. Четвърт дискриминант.
3x ^ 2-24x + 21 \u003d 0
a \u003d 3, b \u003d -24, c \u003d 21
k \u003d -12.
D1 \u003d K ^ 2 - AC
D1 \u003d 144-63 \u003d 81 \u003d 9 ^ 2
D1\u003e 0, това означава, че уравнението има 2 корени
X1,2 \u003d K + / квадратен корен от D1) / a
x1 \u003d (- (- 12) +9) / 3 \u003d 21/3 \u003d 7
x2 \u003d (- (- 12) -9) / 3 \u003d 3/3 \u003d 1
Оценява колко е решението?)
Благодаря ви за вниманието, желая ви успех в училище \u003d)
- В нашия случай, в уравненията D и D1 са\u003e 0 и имаме 2 корени. Ако имаше d \u003d 0 и d1 \u003d 0, тогава ще получим един корен и ако имаше d<0 и D1<0 соответственно, то у уравнений корней бы не было вовсе.
- Чрез корена на дискриминатора (D1) можете да решите само тези уравнения, в които е член на B дори (!)
