Dinaminių sistemų kokybinė analizė. DS pastato fazių portretai

Transkriptas.

1 "DS" dinaminių sistemų kokybinė analizė DS fazių portretų statyba

2 Dinaminė sistema 2 Dinaminis sistemos matematinis objektas, atitinkantis tikrą fizinę, cheminę, biologinę ir pan. Toks matematinis objektas gali būti autonominių diferencialinių lygčių sistema. Dinaminės sistemos evoliucija gali būti stebima kosmoso valstybinėje erdvėje. Diferencialinės lygtys yra aiškiai apibrėžtos. Kompiuterių naudojimas suteikia apytikslę diferencialinių lygčių sprendimą baigtiniame laiko segmente, kuris neleidžia suprasti visos fazės trajektorijų elgesio. Todėl kokybinio diferencialinių lygčių tyrimo metodai įgyja svarbų vaidmenį.

3 3 Atsakymas į klausimą, kokie elgesio būdai gali būti nustatyta šioje sistemoje, galima gauti iš vadinamųjų etapo portreto iš visų jos trajektorijų rinkinio, vaizduojamų fazių kintamųjų erdvėje (fazė) erdvė). Tarp šių trajektorijų yra daug pagrindinių, kuris lemia kokybinių savybių sistemos. Tai visų pirma yra pusiausvyros taškai, atitinkantys stacionarius sistemos režimus ir uždaras trajektorijas (ribojančius ciklus), kurie atitinka periodinius virpesių režimus. Nesvarbu, ar režimas yra stabilus, ar ne, jis gali būti vertinamas pagal gretimų trajektorijų elgesį: pastovus pusiausvyros ar ciklas pritraukia visas glaudžius trajektorijas, nestabilus atpalaiduoja bent kai kuriuos iš jų. Taigi "fazės plokštuma, suskirstyta ant trajektorijos, suteikia lengvai matomą" portretą "dinaminės sistemos, tai leidžia nedelsiant padengti visą judesių rinkinį, kuris gali kilti su visų rūšių pradinių sąlygų." (A.A. Andronovas, A.A. Witt, S.E. Haikin. Viršijaujančių virpesių teorija)

4 1 dalis Linijinių dinaminių sistemų kokybinė analizė

5 5 Linijinė autonominė dinaminė sistema Apsvarstykite linijinę homogeninę sistemą su pastoviais koeficientais: (1) DX Ax, DT DT CX DY. DT XOY koordinačių plokštuma vadinama jo fazės plokštuma. Bet kokiu plokštumos tašku, viena ir vienintelė fazės kreivė (trajektorija). Sistemoje (1) Galima trijų tipų fazių trajektorių: taškas, uždara kreivė, sutrikusi kreivė. Fazės plokštumos taškas atitinka stacionarią tirpalą (pusiausvyros, poilsio taškas) (1), uždara periodinio tirpalo kreivę, ir atrakintos ne periodinės.

6 Equilibrium pusiausvyra 6 Sistemos pusiausvyros pozicijos (1) Mes surasime sistemą: (2) AX 0, CX DY 0. Sistema (1) turi vieną nulinės pusiausvyros padėtį, jei sistemos matricos veiksnys: Det Skelbimas CB 0. CD Jei Det a \u003d 0, tada, be nulinės pusiausvyros pozicijos, yra ir kitų, nes šiuo atveju sistema (2) turi begalinių rinkinių sprendimus. Kokybinis etapo trajektorių kokybinis elgesys (pusiausvyros tipo padėtį) nustato natūralūs sistemos matricos numeriai.

7 poilsio taškų klasifikacija 7 EigenValues \u200b\u200bsistemos matricos Mes rasime, sprendžiant lygtį: (3) 2 λ (AD) λ ad bc 0. Atkreipkite dėmesį, kad a + d \u003d tr a (matricos takas) ir ad bc \u003d det A. Pataisymo taškų klasifikavimas tuo atveju, kai Det A 0 yra parodyta lentelėje: 3 lygties šaknys (3) 1, 2 - tikras, vienas ženklas (1 2\u003e 0) 1, 2 - tikras, Skirtingas ženklas (1 2< 0) 1, 2 - комплексные, Re 1 = Re 2 0 1, 2 - комплексные, Re 1 = Re 2 = 0 Тип точки покоя Узел Седло Фокус Центр

8 Poilsio taškų stabilumas 8 sistemos matricos (1) nustatyti pusiausvyros pozicijų stabilumo pobūdį: tikrosios lygties šaknų dalis (3) 1. Jei tikrosios dalys Visos lygties šaknys (3) yra neigiami, tada poilsio sistemos sistema (1) yra asimptotiškai stabili. 2. Jei realioje bent vienos (3) šaknų dalis yra teigiama, tada poilsio sistemos taškas (1) yra nestabilus. Taško tipas ir stabilumo simbolių tvarus mazgas, pastovus fokusavimo balnelis, nestabilus mazgas, nestabilus fokusavimas 3. Jei lygtis (3) turi grynai įsivaizduojamą šaknis, tada poilsio sistemos taškas (1) yra stabilus, bet ne asimptotiškai. Centras

9 fazės portretai 9 stabilus mazgas 1 2, 1< 0, 2 < 0 Неустойчивый узел 1 2, 1 > 0, 2 >

10 fazių portretai 10 stabilus fokusavimas 1.2 \u003d I,< 0, 0 Неустойчивый фокус 1,2 = i, > 0, 0 fazės kreivės kryptis rodo fazės taško judėjimo kryptį per kreivę, padidinant T.

11 fazių portretai 11 balnelis 1 2, 1< 0, 2 > 0 centras 1,2 \u003d I, 0 Kryptis ant fazės kreivės rodo fazės taško judėjimo kreivė kryptimi į T. padidėjimas.

12 fazių portretai 12 dikritinis mazgas vyksta sistemoms: DX AX, DT DT AY, DT, kai 1 \u003d 2 \u003d a. Nestabili dikritinis mazgas, jei a< 0, то узел асимптотически устойчив, если a > 0, tada nestabilus. Fazės kreivės kryptis rodo fazės taško judėjimo kreivė palei kreivę, kai padidėja T.

13 fazių portretai 13 Degenerate mazgas, jei 1 \u003d 2 0 ir sistemoje (1) B 2 + C2 0. Jei 1< 0, то устойчивый Если 1 > 0, tada nestabili kryptis ant fazės kreivės rodo fazės taško judėjimo kreivė palei kreivę, kai padidėja T.

14 begalinis poilsio taškų 14 Jei DET A \u003d 0, tada sistema (1) turi begalinį pusiausvyros pozicijas. Šiuo atveju yra įmanoma trys atvejai: lygties (3) 1 1 \u003d 0, \u003d 2 \u003d 2 \u003d 0 poilsio taškų sistemos (2) apibrėžimas yra lygiavertis vienai X + Y \u003d 0 rūšies lygtimi. 2) yra lygiavertė skaitmeninei lygybei 0 \u003d 0 Sistema (2) Tai lygiavertė X + Y \u003d 0 geometrinės poilsio taškų vietos tiesiai ant fazės plokštumos: X + Y \u003d 0 Visa fazės plokštuma yra X + Y \u003d 0 Antruoju atveju bet po poilsio taškas yra atsparus Lyapunovui. Pirmuoju atveju tik tada, jei 2< 0.

15 fazių portretai 15 Tiesioginiai tvarūs bukai 1 \u003d 0, 2< 0 Прямая неустойчивых точек покоя 1 = 0, 2 > 0 Kryptis ant fazės kreivės rodo fazės taško judėjimo kryptimi palei kreivę, kai padidėja T.

16 fazių portretai 16 Tiesioginiai nestabilūs poilsio taškai 1 \u003d 2 \u003d 0 fazių tiesios linijos bus lygiagrečios tiesioms poilsio taškams (x + y \u003d 0) Jei pirmasis DY CX dy DX kirvis pagal lygtį yra X + Y forma \u003d C, kur C yra savavališkas pastovus. Fazės kreivės kryptis rodo fazės taško judėjimo kreivė palei kreivę, kai padidėja T.

17 taisyklių, kaip nustatyti poilsio taško 17 tašką, galite nustatyti poilsio taško tipą ir stabilumo pobūdį, o ne rasti sistemos matricos (1), ir žinant tik savo pėdsaką tr A ir lemiamo detertiniam A. Det matricos veiksnys< 0 tra 0 det A 2 tra det A 2 tra det A След матрицы tr A < 0 tr A > 0 tr A< 0 tr A > 0 tr A< 0 tr A = 0 tr A > 0 Poilsio taško "Sedo" tvarinis mazgas (У) nestabilus mazgas (gerai) dikritinis arba degeneruotas dikritinis arba degenatas Gerai atsparias dėmesys (UV) centrui nestabilus fokusavimas (NF)

18 Centrinis bifurkacijos diagrama 18 Det tra 2 2 UV UV NF Na TR a c d l

19 19 Algoritmas fazės portretas LDS (1) 1. Nustatykite pusiausvyros pozicijas, išspręskite lygčių sistemą: AX iki 0, CX DY, kad surastų sistemos matricos EigenVALUES, SUSIJUSI SU JUDŽIA: 2 λ ( Skelbimas) λ AD BC nustato poilsio taško tipą ir padaryti išvadą apie stabilumą. 4. Raskite pagrindinio ISOCLIN horizontalaus ir vertikalaus lygčių ir statyti juos fazės plokštumoje. 5. Jei pusiausvyros padėtis yra antspaudas arba mazgas, suraskite tuos fazių trajektorijas, kurios yra tiesioginės einančios per koordinatės kilmę. 6. Nubraižykite fazių trajektorijas. 7. Nustatykite judėjimo kryptį fazės trajektorijomis, nurodydami jo rodykles fazės portrete.

20 Pagrindiniai ISOCLINes 20 vertikali ISOCLINE (v) fazių plokščių taškų rinkinys, kuriame liestinė, atliekama į fazės trajektoriją, lygiagrečiai vertikaliai ašiai. Kadangi šiose fazių trajektorių taškuose x (t) \u003d 0, tada LDS (1), E lygtis turi formą: AX + iki \u003d 0. horizontalus ISOCLINE (GI) fazių plokščių taškų rinkinys, kuriame yra liestinė Fazės kelias yra lygiagrečios horizontalios ašies. Kadangi šiuose fazių trajektorių taškuose y (t) \u003d 0, tada LDS (1) lygtis yra: CX + DY \u003d 0. Atkreipkite dėmesį, kad poilsio taškas fazės plokštumoje yra pagrindinio ISOCLIN sankirta. Vertikalus ISOCLIN fazės plokštumoje bus paženklintas vertikaliais smūgiais ir horizontaliomis horizontaliomis.

21 Fazės trajektorijos 21 Jei pusiausvyros padėtis yra antspaudas ar mazgas, tada yra fazių takai, kurie yra ant tiesių linijų, einančių per koordinates kilmę. Tokio tiesioginio lygtys gali būti pasirašytos kaip * y \u003d k x. Pakeitus y \u003d kx į lygtį: dy CX dy, dx kirvis, siekiant nustatyti k mes gauname: (4) C kd () 0. BK 2 k bk adkc mes pateiksime fazių trajektorių aprašymą, priklausomai nuo skaičiaus ir įvairovės (4) lygties šaknų. * Tiesioginių su fazių trajektorijų lygtys taip pat gali būti pasirašytos kaip x \u003d k y. AK B CK D tada ieškant koeficientų turėtų išspręsti lygtį k.

22 fazės trajektorijos 22 lygties šaknys (4) k 1 k 2 taškų tipas balnelis balnelio mazgo aprašymas fazių trajektorijų tiesiai y \u003d k 1 x ir y \u003d k 2 x yra vadinami atskirai. Likusios fazės trajektorijos yra hiperboliai, kurioms rasti sąsajos yra asimptotes tiesiai y \u003d k 1 x ir y \u003d k 2 x. Likusios fazės trajektorijos sudaro parabolio, kurie yra susiję su vieno iš rastų tiesių linijų koordinatės pradžioje. Fazės trajektorijos yra susijusios su tiesiu, kuris yra nukreiptas kartu su savo vektoriumi, atitinkančiu mažesnę absoliučią vertę (lygties šaknis (3))

23 fazės trajektorijos 23 šaknų lygtis (4) k 1 k 2! K 1 Poilsio taško tipas Degenerate mazgo balnelis mazgo aprašymas fazių trajektorių tiesiai y \u003d k 1 x. Likusios fazės trajektorijos yra parabolio filialai, susiję su šio tiesios tiesios tiesios formos koordinatės pradžioje * Y \u003d k 1 x ir x \u003d 0 yra septinimai. Likusios fazės trajektorijos yra hiperbolos, kurioms rasti tiesios linijos yra asimptotes tiesiai * y \u003d k 1 x ir x \u003d 0. Likusios fazės trajektorijos sudaro parabolio, kurie yra susiję su vieno iš tiesioginių tiesioginių koordinatų pradžioje. * Jei lygtys yra tiesiogiai ieškomos x \u003d k y, tada jis bus tiesiai x \u003d k 1 y ir y \u003d 0.

24 fazės trajektorijos 24 lygties šaknys (4) Kr tipo poilsio taškas Diciritinis mazgas Aprašymas fazių trajektorijų Visos fazės trajektorijos yra tiesiai y \u003d k x, kr. Jei pusiausvyros padėtis yra centras, fazės trajektorijos yra elipsės. Jei pusiausvyros padėtis yra dėmesys, fazės trajektorijos yra spiralės. Jei LDS yra tiesioginiai poilsio taškai, galite rasti visų fazių trajektorijų lygtis, išspręsti lygtį: "DY CX DY DX AX AX AXX" savo pirmąjį integruotą X + Y \u003d C ir nustato fazės tiesioginę šeimą.

25 judesio kryptis 25 Jei pusiausvyros padėtis yra mazgas ar dėmesys, judėjimo kryptimi fazės trajektorijose nustatoma unikaliai jo stabilumas (iki koordinatės pradžios) arba nestabilumas (nuo kilmės). Tiesa, sutelkiant dėmesį, jūs taip pat reikia nustatyti sukimo kryptį (verpimo) spirales pagal laikrodžio rodyklę arba prieš laikrodžio rodyklę. Tai gali būti padaryta, pavyzdžiui. Nustatykite darinio y (t) ženklą x ašies taškuose. DY, kai CX 0, jei x 0, tada judančio taško ordinatas per fazės kelią su "teigiamo spindulio x ašies" sankirtos. Taigi, "sukimasis (snapelis)" trajektorijos atsiranda prieš laikrodžio rodyklę. Kai dt dt dt y0 y0 cx 0, jei x 0, tada "pasukti (verpimo)" trajektorijos atsiranda pagal laikrodžio rodyklę.

26 judesio kryptis 26 Jei pusiausvyros padėtis yra centras, judėjimo kryptis fazės trajektorijomis (pagal laikrodžio rodyklę arba prieš) gali būti apibrėžta taip pat, kaip trajektorijos "sukimo (verpimo)" kryptis yra įdiegta fokusavimo atvejis. "Balnos" atveju judėjimas viename iš savo "Salatrix" atsiranda koordinatės pradžios kryptimi, kita - nuo koordinatės pradžios. Visose kitose fazės trajektorijose judėjimas įvyksta pagal atskyrimo judėjimą. Todėl, jei pusiausvyros balnelio padėtis, pakanka nustatyti judėjimo kryptį kai kuriose trajektorijoje. Ir tada galite nedviprasmiškai nustatyti judėjimo kryptį visose kitose trajektorijose.

27 judesio kryptis (balnelis) 27 Norėdami nustatyti judėjimo kryptį fazės trajektorijos, kai balnelio atveju galite naudoti vienu iš šių būdų: 1 metodas, siekiant nustatyti, kuris iš dviejų "Salatrix" atitinka neigiamą eigenvalue. Judėjimas vyksta poilsio tašku. 2 metodas, kuriuo galima nustatyti, kaip judančio taško abscisa skiriasi nuo bet kurio "Salatrix" pakeitimų. Pavyzdžiui, y \u003d k 1 x mes turime: DX (ABK1) T AX BK1X (A BK1) X, X (T) X (0) E. Dt yk x 1 Jei x (t) esant t +, tada judėjimas palei separtice y \u003d k 1 x atsiranda poilsio taško. Jei x (t) su t +, tada judėjimas ateina iš poilsio taško.

28 Pasiūlymo kryptis (balnelis) 28 3 Metodas Jei X ašis nėra separatorius, kad būtų galima nustatyti, kaip judančio taško kryptis palei fazės kelio pokyčius, kai yra peržengta x ašis. Kai DY DT Y0 CX 0, jei x 0, tada taško padidėjimas ir, tai reiškia, kad judėjimas fazių trajektorių, kertančių teigiamą X ašies dalį, atsiranda nuo apačios į viršų. Jei ordinatas sumažėja, judėjimas įvyks iš viršaus į apačią. Jei nustatote judėjimo kryptį palei fazės trajektoriją, kertančią Y ašį, geriau ištirti judančio taško abscisės pokyčius.

29 Monijono kryptis 29 4 Metodas * Statyba savavališkai (x 0, Y 0) fazės plokštuma (skiriasi nuo pusiausvyros padėties) Greičio vektorius: DX DY V, (AX0 BY0, CX0 DY0). DT DT (X, Y) 0 0 Jis nukreipiamas ir nurodo judėjimo kryptį palei fazės kelią, einantį per tašką (x 0, Y 0): (x 0, y 0) V * Šis metodas gali būti naudojamas nustatant judėjimo kryptis fazės trajektorijos bet kokio tipo poilsio taško.

30 Judėjimo kryptis 30 5 Metodas * Nustatykite išvestinių finansinių priemonių derinimo sritis: DX DT DY AX, CX DY. DT ribos šių sričių bus pagrindiniai ISOCLINes. Išvestinių finansinių priemonių ženklas parodys, kaip judančio taško ordinatas ir abscisa per fazių trajektorijos pokyčius įvairiose srityse. y x (t)<0, y (t)>0 x (t)<0, y (t)<0 x x x (t)>0, Y (t)\u003e 0 x (t)\u003e 0, y (t)<0 * Этот способ может быть использован при определении направления движения по фазовым траекториям для любого типа точки покоя.

31 Pavyzdys DX DT DT DT 2x 2 Y, X 2Y 1. Sistema turi vieną nulinės pusiausvyros padėtį, nes DET A \u003d konstrukcija atitinkamos charakteristikos 2 lygtys 6 \u003d 0, mes rasime savo šaknis 1.2 6. Todėl, balno pusiausvyra. 3. Sėdynės separatais mes ieškome y \u003d kx. 4. Vertikalus ISOCLINE: X + Y \u003d 0. Horizontalus ISOCLINE: X 2Y \u003d 0. Šaknys Tikri ir skirtingi ženklai. 1 2k 2 6 k k k k k 2 2k, 2, 1 2, 22, 2 0, 22.

32 1 pavyzdys (balnelis) 32 Pažymėkite fazių plokštumos atskyrimą Y \u003d K1 x ir Y \u003d K2 x ir pagrindinius ISOCLINes. Y x Likusis lėktuvas užpildo trajektorijas - hiperbolai, už kuriuos atskyrimai yra asimpotai.

33 1 pavyzdys (balnas) 33 y x Mes surasime judėjimo kryptį palei trajektorijas. Norėdami tai padaryti, galite nustatyti išvestinių medžiagų ženklą y (t) X ašies taškuose. Su Y \u003d 0, mes turime: DY DT Y0 X 0, jei x 0. Taigi, judančio taško ordinatas per fazės trajektoriją su "teigiamo X X X" sankirtos sumažėja. Tai reiškia, kad judėjimas fazės trajektorių, kertančių teigiamą X ašies dalį, atsiranda iš viršaus į apačią.

34 1 pavyzdys (balnelis) 34 Dabar lengva įdiegti judėjimo kryptį ant kitų trajektorijų. Y X.

35 Pavyzdys DX 4x2 Y, Dt DY X3Y DT 1. Sistema turi vieną nulinę pusiausvyros padėtį, nes DET A \u003d konstrukcija atitinkamą charakteristikos lygtį \u003d 0, mes randame savo šaknis 1 \u003d 2, 2 \u003d 5. Todėl pusiausvyros padėtis yra nestabilus mazgas. 3. Tiesioginė: y \u003d kx. 1 3K 1 k k k k 4 2K, vertikalus ISOCLINE: 2x + y \u003d 0. horizontalus ISOCLINE: x + 3Y \u003d 0.

36 pavyzdys (nestabilus mazgas) 36 yx nuo 1 \u003d 2 yra mažesnis už absoliuti vertę, tada surasti tinkamą su savo vektoriumi \u003d (A 1, A 2) t: 4 2 A1 A1 2 A1 A2 0, 1 3 AA 2 2 \u003d (1,1) T, mes nustatome, kad likusios fazės trajektorijos, sudarančios parabolonus, yra susijęs su tiesios linijos koordinatės pradžioje y \u003d x. Iš pusiausvyros padėties nestabilumas unikaliai nustato judėjimo kryptį nuo poilsio taško.

3 37 pavyzdys (nestabilus mazgas) 37 Nuo 1 \u003d 2 yra mažesnis absoliučioje verte, tada rasti atitinkamą vektorius \u003d (A 1, A 2) t: 4 2 A1 A1 2 A1 A2 0, 1 3 AA 2 2 \u003d ( 1,1) T, mes nustatome, kad likusios fazės trajektorijos formuojasi parabolio yra susiję su tiesios linijos koordinatės pradžioje y \u003d x. Iš pusiausvyros padėties nestabilumas unikaliai nustato judėjimo kryptį nuo poilsio taško. Y X.

38 Pavyzdys DX X 4 Y, DT DET 4X2Y DT 1. Sistema turi vieną nulinės pusiausvyros padėtį, nes DET A \u003d konstrukcinę būdingą lygtį \u003d 0, mes randame diskriminant D. Nuo D< 0, то корни уравнения комплексные, причем Re 1,2 = 3/2. Следовательно, положение равновесия устойчивый фокус. 3. Вертикальная изоклина: x 4y = 0. Горизонтальная изоклина: 2x y 0. Фазовые траектории являются спиралями, движение по которым происходит к началу координат. Направления «закручивания траекторий» можно определить следующим образом.

39 pavyzdys (tvarus fokusavimas) 39 Nustatykite Y (t) ženklą į X ašies taškus. Su Y \u003d 0, mes turime: DY 4x 0, jei x 0. DT Y0 Y taip, judančio taško ordinatas per fazės trajektoriją su "teigiamos šviesos x ašies" sankirta padidėja. Taigi, trajektorijų "pasukimas" atsiranda prieš laikrodžio rodyklę. X.

40 Pavyzdys DX X4 Y, DT DY X Y DT 1. Sistema turi vieną nulinės pusiausvyros padėtį, nes DET A \u003d konstrukcija atitinkamos charakteristikos 2 lygtis 3 \u003d 0, mes rasime savo šaknis 1.2 \u003d i3. Todėl pusiausvyros centro padėtis. 3. Vertikalus ISOCLINE: X 4Y \u003d 0. Horizontalus ISOCLINE: X Y 0. elipsės sistemos fazės trajektorijos. Jų judėjimo kryptis gali būti įdiegta, pavyzdžiui.

41 8 pavyzdys (centras) 41 Nustatykite darinio y (t) ženklą X ašies taškuose. "Y \u003d 0", mes turime: DY DT Y0 X 0, jei x 0. Y tokiu būdu yra judančio taško ordinatas palei fazės trajektoriją su "teigiamos šviesos x ašies" sankirtos. Taigi, elipsės judėjimas atsiranda prieš laikrodžio rodyklę. X.

42 pavyzdys (degenerate mazgas) 42 DX XY, DT DY X3Y DT 1. Sistema turi vieną nulinės pusiausvyros padėtį, nes DET A \u003d konstrukcija atitinkamą charakteristikos lygtį \u003d 0, mes rasime savo šaknis 1 \u003d 2 \u003d 2. Todėl , pusiausvyros padėtis yra pastovus degeneratas. 3. Tiesioginė: y \u003d kx. 13K K 2 K K1,2 4. Vertikalus ISOCLINE: X + Y \u003d 0. Horizontalus ISOCLINE: X 3Y \u003d 0.

43 5 pavyzdys (degenerate mazgas) 43 Y x piešimo ISOclines fazės plokštumoje ir tiesioginiuose fazės trajektorijose. Likusi lėktuvo dalis yra užpildyta trajektorijomis, kurios yra ant parabolos šakų, susijusių su tiesiu y \u003d x.

44 5 pavyzdys (degeneruoti surinkimas) 44 pusiausvyros pozicijos pasipriešinimas vienareikšmiškai lemia judėjimo kryptį iki koordinatės pradžios. Y X.

45 Pavyzdys DX 4x 2 Y, Dt DY 2x Y DT Kadangi sistemos Det A \u003d 0 matricos lemiamas, tada sistema turi be galo daug pusiausvyros pozicijų. Visi jie guli ant tiesios linijos y 2 x. Statydindami atitinkamą charakteristiką 2 5 lygtis \u003d 0, mes randame savo šaknis 1 \u003d 0, 2 \u003d 5. Todėl visos pusiausvyros pozicijos yra atsparūs Lyapunovui. Mes statome likusių fazių trajektorijų lygtis: dy 2x y dy 1 1, \u003d, y x C. DX 4x 2Y DX, taip, fazės trajektorijos yra ant tiesioginio y x c, c const. 2.

46 Pavyzdžiui, judėjimo kryptis yra unikaliai nustatoma pagal taškų STRAIGHT Y2 X stabilumą. Y X.

47 Pavyzdys DX 2 X Y, Dt DET 4x2y DT Kadangi sistemos Det A \u003d 0 matricos lemiamas, tada sistema turi be galo daug pusiausvyros pozicijų. Visi jie guli ant tiesios linijos y 2 x. Nuo TR sistemos matricos pėdsakų, charakteristikos 1 lygties šaknys \u003d 2 \u003d 0. Todėl visos pusiausvyros pozicijos yra nestabilios. Mes statome likusių fazių trajektorių lygtis: DY 4x 2 Y DY, 2, Y 2 x C. DX 2x Y DX Taigi fazės trajektorijos yra nukreiptos į tiesioginius Y 2 x C, C Const ir lygiagretus tiesiais poilsio taškais. Mes nustatėme judėjimo kryptį trajektorijomis taip.

48 Pavyzdys Nustatykite darinio y (t) ženklą x ašies taškuose. Kai Y \u003d 0, mes turime: DY 0, jei x 0, 4 x DT Y0 0, jei X 0. Taigi, judančio taško ordinatas palei fazės trajektoriją su "teigiamų spindulių x" didėjančia sankirta, ir sumažėja "neigiamas". Todėl fazių trajektorių judėjimas į dešinę nuo tiesaus poilsio vietos bus į viršų, ir į kairę nuo viršaus į apačią. Y X.

49 Pratimai 49 Pratimai 1. Nurodytoms sistemoms nustatyti pusiausvyros padėties stabilumo tipą ir pobūdį. Sukurti fazių portretus. 1. DX 3, 3. DX 2 5, 5. DX X Y x Y 2 x Y, DT DT DT DY DY 6x 5 Y; 2x 2 y; 4x 2 y; DT DT DT 2. DX, 4. DX 3, 6. DX X X Y 2X 2 Y, DT DT DT DY DY DY 2 x Y; x y; x y. DT DT DT pratimas 2. Pagal kokias reikšmes parametras A R sistema DX DY 2 AX Y, AY 2AX DT DT turi pusiausvyros padėtį ir yra sėdynė? mazgas? Focus? Ką sistemoje yra fazės portretas?

50 inhomogeninių LDS 50 Apsvarstykite linijinę inhomogeninę sistemą (Nlla) su pastoviais koeficientais: DX AX, (5) DT DT CX DY, DT, kai 2 2. Išspręskite lygčių sistemą: AX, CX DY, atsakys į klausimą, ar Sistema turi (5) pusiausvyros pozicijas. Jei det a 0, tada sistema turi vienintelę pusiausvyros P (x 0, Y 0) poziciją. Jei det a 0, tada sistema arba turi be galo daug pusiausvyros pozicijų taškas tiesiogiai, nustatomas pagal AX + + \u003d 0 lygtį (arba CX + DY + \u003d 0), arba nėra pusiausvyros padėties.

51 NLLS konversija 51 Jei sistema (5) turi pusiausvyros padėtį, pakeičiant kintamuosius: xx0, y y0, kur, kai sistema (5) turi be galo daug pusiausvyros pozicijų, x 0, Y 0 koordinates bet kokio taško, priklausančio tiesiniams poilsiui, gauname homogeninę sistemą: DAB, (6) DT DC D. DT Įveskite X0Y fazės plokštumą su nauja koordinačių sistema su centru poilsio taško P, mes sukursime fazės portretą sistemos (6). Kaip rezultatas, X0Y plokštumoje, mes gauname fazės portretą sistemos (5).

52 Pavyzdys DX 2x 2Y12, dt dy x 2y 3 dt nuo 2x 2y 12 0, x 3, x 2y 3 0 Y 3, tada DS turi vieną pusiausvyros padėtį P (3; 3). Pakeitus kintamuosius x \u003d + 3, y \u003d + 3, mes gauname sistemą: D 2 2, DT D 2, DT Zero padėtis yra nestabili ir yra balnelis (žr. 1 pavyzdį).

53 Pavyzdys statant fazės portretą P plokštumoje, suderinama su savo x0y fazės plokštuma, žinant, kurios koordinatės turi tašką p. y p x

54 fazių portretai NLLS 54 Kai pastato fazės portretai atveju, kai sistema (5) neturi pusiausvyros pozicijų, galite naudoti šias rekomendacijas: 1. Raskite pirmąjį DX dy lygties, kirvį CX dy ir taip Nustatykite visų fazių trajektorijų šeimą. 2. Raskite pagrindinį Izobliną: AX 0 (W), CX DY 0 (GI). 3. Raskite tiesias linijas, kuriose yra fazių trajektorių y \u003d kx + forma. Tuo pačiu metu, norint rasti koeficientus k ir, atsižvelgiant į tai, kad C: A D: B, sukurti lygtį: DY (AX a) k. Dx y kx kirvis (a kb) x b y kx

55 fazių portretai NLD 55 Kadangi išraiška (A KB) x B nepriklauso nuo X, jei A + KB \u003d 0, tada mes gauname šias sąlygas ieškant K ir: KB 0, k. b Galima ieškoti lygtį ir X \u003d KY + forma. K ir pastatymo sąlygos. Jei yra tik viena tiesia linija, tai yra kitoms trajektorijoms asimptota. 2. Norint nustatyti judėjimo kryptį fazės trajektorijomis, nustatyti tinkamų sistemos dalių "derinimo" sritis (5). 3. Nustatyti išgaubtumo (susigrąžinimo) fazių trajektorių pobūdį, statyti darinį y (x) ir nustatyti savo "derinimo" sritis. Įvairūs metodai fazių portretų statybai apžvelgs pavyzdžių.

56 Pavyzdys DX Dt DT DT 0, 1. Y išskaidant lygtį: DX DY 0 0, 1 mes gauname, kad visi fazės trajektorijos yra ant tiesioginio XC, C R. nuo y (t) \u003d 1\u003e 0, tada ordinato didėja judančio taško per fazės trajektorijos. Todėl judėjimas fazių trajektorijomis atsiranda iš apačios į viršų. X.

57 Pavyzdys DX Dt DT DT 2, 2. Y Sprendimas lygtis: DY DX 2 1, 2 mes gauname, kad visi fazės trajektorijos yra tiesiai Y x + C, C R. Nuo Y (T)< 0, то ордината движущейся точки по любой фазовой траектории убывает. Следовательно, движение по фазовым траекториям происходит сверху вниз. x

58 Pavyzdys DX 1, DT DT X 1. DT išsprendžiant lygtį: DY x 1, DX 2 (x 1) YC, CR, 2 mes gauname, kad sistemos etapai yra parabolai: kurių ašys yra ant horizontalių Izobllin x 1 0, o filialai yra nukreipti. Nuo X (t) 1\u003e 0, judančio taško abscisa bet kokiu fazės trajektorijos padidėja. Todėl judėjimas palei kairę parabolos atsiranda iš viršaus į apačią iki sankirtos su tiesia horizontalios ISOCLIN, o tada toliau.

59 pavyzdys Y Nustatykite judėjimo kryptimi fazės trajektorijose, tai būtų įmanoma nustatyti "derinimo" tinkamų sistemos dalių sritį. Y 1 x x "(t)\u003e 0, y" (t)< 0 x"(t) > 0, y "(t)\u003e 0 x 1

60 Pavyzdžiui, DX Y, DT DY Y 1. DT vertikalus ISOCLINE Y \u003d 0; Horizontalus ISOCLINE Y 1 \u003d 0. Mes sužinosime, ar yra tiesioginių, kuriame yra fazių trajektorijų. Bus tokios tiesioginės lygtys y \u003d kx + b. Nuo to k dy y, dx yy kx b ykxb yckxb ykxb, tada paskutinė išraiška nepriklauso nuo x, jei k \u003d 0. tada ieškant B, mes gauname B 1. B tokiu būdu, tiesiai y \u003d 1, fazių trajektorijų yra linijoje. Šis tiesioginis yra asimptota fazės plokštumoje.

61 pavyzdys bus mokymas, koks išgaubtumo (susigrąžinimo) simbolis turi fazių trajektorijas, palyginti su x ašimi. Norėdami tai padaryti, mes randame darinį y (x): y (x)\u003e 0 Y 1 1 "() 1 1, DX DX Y DX YYYY 2 DYDYDYXY ir mes apibrėžti" alpopuliacijos "iš gautos išraiškos sritys. Tose vietose, kur y (x)\u003e< 0, выпуклость «вверх». y (x) < 0 y (x) > 0 X.

62 Pavyzdys išsiaiškinant judėjimo kryptį fazės trajektorijomis, nustatant "pakaitomis" DX Y, DT DT Y 1. DT, šių sričių ribos bus vertikalios ir horizontalios ISOBLIN. Gauta informacija yra pakankama statyti fazės portretą. Y x (t)\u003e 0, y (t)\u003e 0 y (x)\u003e 0 x (t)\u003e 0, y (t)< 0, y (x) < 0 x (t) > 0, y (t)< 0 y (x) > 0 X.

63 pavyzdys x (t)\u003e 0, y (t)\u003e 0 y (x)\u003e 0 y y x (t)\u003e 0, y (t)< 0, y (x) < 0 x x x (t) > 0, y (t)< 0 y (x) > 0

64 pavyzdys DX 2, DT DY 2 X Y. DT horizontalus ISOCLINE: 2x y \u003d 0. Mes sužinosime, ar yra tiesioginių, kuriame yra fazių trajektorijų. Bus tokios tiesioginės lygtys y \u003d kx + b. Kadangi dy 2 xy (2 k) xbk, 2 2 dx y kx iki kx b, tada paskutinė išraiška nepriklauso nuo x, jei k \u003d 2. tada ieškant B, mes gauname B 2 B 4. taip, tiesiai y \u003d 2x 4 yra fazės trajektorijos. Šis tiesioginis yra asimptota fazės plokštumoje.

65 Pavyzdys nustato, koks išgaubtumo (susigrąžinimo) charakteris turi fazių trajektorijas, palyginti su x ašimi. Norėdami tai padaryti, mes rasime darinį y (x): 2 dydxyyxxyyyx dx "() DX mes apibrėžiame" alternatyvumo "iš gautos išraiškos srityse. Tose srityse, kur y (x)\u003e 0, fazės trajektorijos turi išgaubti "žemyn" ir kur y (x)< 0, выпуклость «вверх». y (x) > 0 Y x y (x)< 0

66 Pavyzdys išsiaiškinant judėjimo kryptį fazės trajektorijomis, nustatant tinkamų sistemos dešiniųjų dalių "pakaitines" sritis: DX 2, DT DY 2 X Y. DT šių sričių ribas bus horizontalus ISOCLINE. x (t)\u003e 0, y (t)<0 y x (t)>0, Y (t)\u003e 0 x gauta informacija yra pakankama, kad būtų sukurtas fazės portretas.

67 pavyzdys y (x)\u003e 0 y x y y (x)< 0 x x (t)>0, y (t)<0 y x x (t)>0, Y (t)\u003e 0

68 pavyzdys dx x y, dt dy 2 (x y) 2. DT vertikalus ISOCLINE: x y \u003d 0; Horizontalus ISOCLINE: X Y + 1 \u003d 0. Mes sužinosime, ar yra tiesioginių, kuriame yra fazių trajektorijų. Bus tokios tiesioginės lygtys y \u003d kx + b. Nuo dy 2 (xy) k 2 2, dx xyxy (1 k) xbxb yckxb ykxb, tada paskutinė išraiška nepriklauso nuo x, jei k \u003d 1. tada ieškant B mes gauname b 2. b tonų tiesiai Y \u003d X +2 Lie fazės trajektorijos. Šis tiesioginis yra asimptota fazės plokštumoje.

69 Pavyzdys Nustatykite, kaip abscisa ir judančio taško ordinatas per fazės trajektorijos pokyčius. Norėdami tai padaryti, mes sukonstruojame "suderinimo" sritį iš tinkamų sistemos dalių. y x (t)<0, y (t)<0 x (t)<0, y (t)>0 x x (t)\u003e 0, y (t)\u003e 0 Ši informacija bus reikalinga norint nustatyti judėjimo kryptį palei trajektorijas.

70 Pavyzdys nustato, kuris pumpurui (susigrąžinimas) turi fazių takus, palyginti su x ašimi. Norėdami tai padaryti, suraskite darinį y (x): 2 (xy) () 2 2 ("(" ("(" ("(" ("(" ("(" (xy) (xy) (xy) 2 dydxyyxxy mes apibrėžiame išraiškos "pakaitinio" sritis. Tose srityse, kur y (x)\u003e 0, fazės trajektorijos turi "žemyn" išgaubti, ir kur y (x)< 0, выпуклость «вверх». y (x)> 0 y y (x)< 0 x Полученной информации достаточно для построения фазового портрета. y (x)> 0

71 14 pavyzdys (FP) 71 y y x y x x

72 pratimai 72 Sukurkite fazių portretus šioms sistemoms: DX 3x 3, DT DY 2x Y1; DT DX X, DT DY 2x 4; DT DX x Y 2, DT DY 2x 2Y1; DT DX 1, DT DY 2 x Y; DT DX DT DT DT DX DT DT 2, 4; Y 2, 2.

73 Literatūra 73 Pontryagin L.s. Įprastos diferencialinės lygtys. M., Filippov A.F. Užduočių rinkimas pagal diferencialines lygtis. M., Pantelev A.V., Yakimova A.S., Bosovas A.V. Įprastos diferencialinės lygtys pavyzdžių ir užduočių. M.: Didesnis. Shk., 2001 m.

03.03.07 Klasės 4. Linijinių dinaminių (pls) sistemų pusiausvyros sistemos egzistavimas ir tvarumas. Sukurkite parametrinį portretą ir atitinkamus LDS (X, YR, AR) fazių portretus:

Seminaras 4 Sistema dviejų įprastinių diferencialinių lygčių (ODU). Fazės plokštuma. Fazės portretas. Kinetinės kreivės. Specialūs taškai. Stacionarios būsenos stabilumas. Sistemos lineyzation B.

Matematiniai metodai ekologijoje: užduočių ir pratybų rinkimas / sostas. Jos. Semenova, E.V. Kudryavtsva. Petrozavodsk: leidykla Petrgu, 005..04.09 pamoka 7 Modelis "Predator-aukos" padėklai Volterra 86 (pastatas

Rusijos technologijos University Mirea papildomų vadovų aukštojo matematikos 5 skyriuje. Poilsio darbo vieta yra skirta dinaminių sistemų modeliavimui naudojant aukštesnės matematikos elementus

Linijinių diferencialinių lygčių sistema su nuolatiniais koeficientais. Koltsov S.N. www.linis.ru savavališkų konstantų keitimo metodas. Apsvarstykite linijinę nehomogeninę diferencialinę lygtį:

P. Paskaita 3 Sistemų Sprendimo stabilumas DB Jei kai kurie reiškinį aprašo System DX DX DT I \u003d F (t, x, x ... x), i \u003d .. NC Pradinė sąlygomis Xi (t 0) \u003d x i0, i \u003d .. n, kurios paprastai yra

4.04.7 Pamoka 7. Autonominių sistemų pusiausvyros pozicijų stabilumas (Lyapunovo linijinės linijos metodas, Lyapunovo teorema) X "(F (x, y), f, gc () y" (g (x, y), D paieška pusiausvyros pozicijoms p (x *,: f

5 ir 6 seminarai dviejų autonominių paprastų linijinių skirtingų lygčių. Fazės plokštuma. Isoklin. Pastato fazės portretai. Kinetinės kreivės. Pažintis su Trax programa. Fazė. \\ T

Paskaita 6. Linijinės sistemos poilsio taškų klasifikavimas dviejų lygčių su nuolatiniais vertingais koeficientais. Apsvarstykite dviejų linijinių diferencialinių lygčių sistemą su nuolatine galiojančia

Seminaras 4 Sistema dviejų autonominių paprastų linijinių diferencialinių lygčių (ODU). Dviejų linijinių autonominių ODV sistemos sprendimas. Skirtingų taškų tipai. Sprendžiant linijinių diferencialinių lygčių sistemą

Rusijos Federacijos Švietimo ir mokslo ministerija Federalinė valstybinė biudžeto švietimo įstaiga Aukštojo mokslo "UFA valstybinis naftos technikos universitetas" departamentas

Paskaita 1 aukštos kokybės dinaminių sistemų analizės elementai su nuolatiniu laiku tiesioginiu būdu apsvarstys autonominę diferencinę lygtį DU \u003d F (U), (1) DT, kuris gali būti naudojamas

Seminaras 7 Neminijinių sekcijų sistemų stacionariųjų valstybių stabilumo tyrimas. Klasikinė sistema V. Volterra. Analitinis tyrimas (stacionarių valstybių apibrėžimas ir jų tvarumas)

Specialūs taškai antroje ir trečiosios eilės sistemose. Stacionarių linijinių ir netiesinių sistemų stacionarių valstybių stabilumo kriterijai. Atsakymo plano apibrėžimas specialaus taško tipo centro. Nustatant specialų tašką

Praktinės klasės diferencialinės lygtys Metodinė plėtros kompiliatorius: PROM SALAMATIAN Remiantis: AF Philippov Upder Collection "Pagal diferencialines lygtis Maskva-Izhevsk Nic" Reguliarus

1 Paskaita 2 sistemos netiesinių diferencialinių lygčių. Statuso erdvė arba fazės erdvė. Specialūs klausimai ir jų klasifikavimas. Tvarumo sąlygos. Mazgas, fokusavimas, balnas, centras, ribinis ciklas.

7 Linijinių autonominių sistemų pusiausvyros antrosios eilės autonominė funkcijų sistema (t) (t) yra vadinama diferencialinių lygčių D D () Q () (7) DT DT, kai tinkamos dalys nepriklauso

Rusijos Federacijos Švietimo ir mokslo ministerija Jaroslavlio valstybinis universitetas. P. G. Demidovo Algebros katedra ir matematinė logika S. I. Yablokova antrosios eilės seminaro dalis

IV skyrius. Pirmieji Integralai ODU sistemų 1. Pirmieji autonominių sistemų autonominių sistemų paprastųjų diferencialinių lygčių šioje dalyje bus laikoma autonominėmis sistemomis f x \u003d f1 x, f n x c 1

Paskaita 9 Linijinis lygtis linijinės diferencialinės lygtys aukštesnių užsakymų vienarūšės lygtys jų sprendimų savybių savybių inhomogeninės lygčių sprendimų apibrėžimas 9 linijinis

Statybos integruotų kreivių ir fazių portretų autonominės lygties, turinčios sklandžios funkcijos grafiką f (u), yra įmanoma schematiškai statyti vientises kreives lygtį du dt \u003d f (u). (1) Pastatas yra pagrįstas

7.0.07 Pamoka. Dinaminės sistemos su nuolatiniu laiku tiesiai. Užduotis 4. Sukurkite bifurkacijos diagramą ir tipiškus fazinius portratelius dinamiška sistema: D DT lygties sprendimas f (, 5 5,

Lyapunov stabilumo teorija. Daugelyje užduočių, mechanikos ir technologijų svarbu žinoti ne konkrečias sprendimo vertes, turinčią ypatingą argumento vertę, tačiau sprendimo sprendimo pobūdis keičiasi

P. 1 17 10.26.2012 11:39 Sertifikavimo testavimas profesinio švietimo specialybės srityje: 010300.62 Matematika. Kompiuterių mokslų disciplina: diferencialinės lygtys Laikas

Seminaro 5 modeliai, aprašyti dviejų autonominių diferencialinių lygčių sistemose. Netiesinių antrosios eilės sistemų tyrimas. Padėklų modelis. Volterra modelis. Bendrojoje sistemų aprašyto modelio formoje

Seminaro diferencialo lygtis pirmosios eilės. Fazės erdvė. Fazių kintamieji. Stacionari būsena. Stacionarios Lyapunovo stabilumas. Sistemos linearizacija aplinkoje

Matematinė analizė Skyrius: Diferencialinės lygtys Tema: Sprendimo DU ir Lek Lek Pakhomovos sistemos sprendimo stabilumo sąvoka. 2012 5. Sprendimo tvarumo koncepcija 1. Preliminarūs komentarai

Užduotys su parametru (grafinis priėmimo sprendimas) Įvadas Grafikų naudojimas užduočių tyrime su parametrais yra neįprastai efektyvus. Priklausomai nuo jų naudojimo metodo, išskiriami du pagrindiniai metodai.

Rusijos technologijos universitetas Mirea papildomų aukštų matematikos vadovai 3. Sistemos diferencialinių lygčių darbai skirta modeliuoti dinaminių sistemų naudojant elementus

Kvadratinės lygtys Turinys Kvadratinės lygtys ... 4. ir kvadratinių lygčių tyrimas ... 4 .. kvadratinių lygtis su skaitmeniniais koeficientais ... 4 .. Išspręskite ir ištirkite kvadratinių lygčių santykį

7..5, .. 5 pamoka. Atskiri dinaminės sistemos tiesioginės užduoties studijuoti gyventojų tankio dinamiką (t) aprašyta lygtį: t t, const. Egzistuoja, ar tarp lygties sprendimų

Mokslinių tyrimų funkcija ir jo grafiko kūrimas. Mokslinių tyrimų elementai: 1) nustatymo, tęstinumo, pariteto / keistumo regionas, funkcijos dažnumas. 2) funkcijos grafiko asimpotai. 3) CEROS funkcijų, intervalų

16 Paskaita 16 Eklibrium pozicijos stabilumo užduotis konservatyvioje sistemoje 1. Lagrange teorema dėl konservatyvios sistemos pusiausvyros padėties stabilumo gali būti Laisvės laipsniai. Q 1, Q 2,

"Parabola Hyperbole" antrosios eilės rato kreivės leidžia plokštumoje nustatyti stačiakampio Cartijos koordinačių sistemą. Antroji užsakymo kreivė vadinama įvairiais taškais, kurių koordinatės atitinka

Paskaita 1 Diferencialinės lygtys pirmosios eilės 1 diferencialinės lygties sąvoka ir jos sprendimai į įprastą diferencialinės lygties 1-ąją pavedimą vadinamas formos f (x, y, y) 0, kur

41 tema "Užduotys su parametru" Pagrindinės užduočių formuluotės su parametru: 1) Rasti visas parametrų reikšmes, kiekvienas esame patenkinti tam tikra sąlyga.) Išspręskite lygtį ar nelygybę

Paskaita 3. Fazės siūlai plokštumoje 1. Stacionarūs taškai, linearizacija ir stabilumas. 2. Ribiniai ciklai. 3. Fazės srautų bifurkacijos plokštumoje. 1. Stacionarūs taškai, linearizacija ir stabilumas.

Paskaita 3 pusiausvyros tvarumas ir sistemos judėjimas, atsižvelgiant į pastovų pasipiktinančią pasipiktinančią pasipiktinančio judėjimo lygtį D d dt a y, kur vektorinis stulpelis yra pastovių koeficientų kvadratinis matrica

5. Priekabų tvarumas 1 5. Praeities skyriuje pritraukimo stabilumas išmoko rasti fiksuotus dinaminių sistemų taškus. Taip pat sužinojome, kad yra keletas skirtingų fiksuotų tipų

Vasario 4 d. 9 g Praktinė profesija Paprasčiausios populiacijos problemos dinamikos kontrolės uždaviniai leidžia laisvai plėtoti gyventojų apibūdintą "N N" modelį, kuriame N yra biomasės gyventojų skaičius arba apimtis

1) Pateikite antrąją antrosios eilės kreivės lygtį x 4x y 0 į kanoninę formą ir suraskite jo sankirtos taškus tiesiai x y 0. Atlikite gauto tirpalo grafinį iliustraciją. x 4x y 0 x x 1 y 0 x 1 y 4

4 SKYRIUS Paprastų diferencialinių lygčių sistemos Bendrosios sąvokos ir apibrėžimai Pagrindiniai apibrėžimai, kaip apibūdinti kai kuriuos procesus ir reiškinius, dažnai reikalingos šios funkcijos.

Seminaras 9 Linijinė vienodos stacionarios būklės stabilumo dviejų lygčių reakcijos difuzijos slopinimo įjungimo įjungiklio ir inhibitoriaus nestabilumo sąlygos išsklaidytų struktūrų atsiradimo sąlygos

Paskaita 17 Kriterijai Raus Gurwitz. Mažos virpesių 1. Linijinės sistemos stabilumas Apsvarstykite dviejų lygčių sistemą. Pasipiktinančios judėjimo lygtys yra: dx 1 dt \u003d x + ax 3 1, dx dt \u003d x 1 + kirvis 3,

Rusijos Federacijos Švietimo ir mokslo ministerija Novosibirsko valstybinis universiteto fakulteto aukštojo matematikos fakulteto fizinių fakulteto metodų sprendžiant įprastas diferencialines lygtis.

1. Kas yra įprastos diferencialinės lygtys ir sistemos. Sprendimo sąvoka. Savarankiškos ir ne autonominės lygtys. Aukščiau pateiktos eilės ir sistemos pirmoji ir jų sumažinimas iki pirmosios eilės sistemų.

Paskaita 1 Studijų judėjimo konservatyvioje sistemoje su vienu laisvės laipsniu 1. Pagrindinės sąvokos. Konservatyvi sistema su vienu laisvės laipsniu mes vadinsime skirtumą aprašytą sistemą

Skyrius. Linijinių sistemų stabilumas 8 laipsnių su + ženklu, nuo to išplaukia, kad () π padidėja nuo iki π. Taigi, terminai φ i () ir k () +, t.e., vektorius (I) φ Monotoniškai φ didėja

Fazės plokštuma netiesinei autonominei lygties tvarka .. Problemų nustatymas. Apsvarstykite autonominę formos lygtį \u003d f. () Kaip žinote, ši lygtis yra lygi kitai įprastai sistemai.

Diferencialinės lygtys 1. Pagrindinės sąvokos Diferencinė lygtis, palyginti su kai kuriomis funkcijomis, vadinama lygtimi, kuri privalo šią funkciją su savo nepriklausomu laku ir jo dariniais.

Matematiniai metodai ekologijoje: užduočių ir pratybų rinkimas / sostas. Ji. Semenova, E.V. Kudryavtsva. Petrozavodsk: leidykla Petvara, 2005 2 semestro pamoka. Modelis "Predator-auka" padėklai Volterra tema 5.2.

Geometrinė reikšmė išvestinė, liestinė 1. Paveikslas rodo funkcijos Y \u003d F (x) ir liestinė į jį taške su Abscissa x 0. Raskite išvestinės funkcijos f (x) tašką x 0. Vertė

Paskaita 23 suvynioto taško konvektyviumas ir susiliestumas nuo funkcijos Y \u003d F (x) grafikas yra vadinamas išgaubtu ant intervalo (a; b) jei jis yra žemiau bet kurio šio intervalo

6 skyrius Tvarumo teorijos paskaitos pagrindai Problemos nustatymas Pagrindinės sąvokos anksčiau buvo įrodyta, kad Cauchy problemos sprendimas įprastai sistemai ODU \u003d F, () nuolat priklauso nuo pradinių sąlygų

11/19/15 Pamoka 16. Pagrindinis modelis "Bruseltor" iki 70-ųjų pradžios. Dauguma chemikų manė, kad cheminės reakcijos negalėjo eiti į virpesių režimą. Sovietų mokslininkų eksperimentiniai tyrimai

8 skyrius funkcijos ir grafikos kintamieji ir santykiai tarp jų. Dvi vertybes ir yra vadinamos tiesiogiai proporcingomis, jei jų santykis yra nuolat, t.y. Jei \u003d, kur pastovus skaičius, kuris nesikeičia su pokyčiais

Studentų mokymo sistemos mokymosi matematika profilio lygiu. (Užduotys su parametru) teorinės medžiagos apibrėžimas. Parametras vadinamas nepriklausomu kintamąjį, kurio vertė yra laikoma užduotyje

Paskaitos mokslinių tyrimų funkcija ir jos grafinės santraukos kūrimas: funkcija tiriama ant monotonijos, ekstremens, išgaubtumo konkurumo, asimptotų egzistavimą yra pateikiamas funkcijų funkcijos pavyzdys, pastatytas

29. Asimptotinis paprastų diferencialinių lygčių sistemų sprendimų stabilumas, jo vertinimo pritraukimo ir metodų sritis. Teorema V.I. Zubovas apie traukos srities ribą. V.D.Nogin 1 o. Apibrėžimas

Paskaita 13 tema: antrosios eilės kreivės antrosios eilės kreivės ant lėktuvo: elipsė, hiperbolė, parabola. Antrosios eilės kreivių lygčių produkcija, pagrįsta jų geometrinėmis savybėmis. Elipsės formos tyrimas, \\ t

Patvirtintas akademinių reikalų ir Dovuzovskaya mokymo prorektorius A. A. Voronovas 2018 m. Sausio 9 d. Disciplinos programa: dinaminės sistemos paruošimo kryptimi: 03.03.01 "Taikoma matematika

Automatika ir telemechanika, L- 1, 2007

RAS B 02.0.-C, 47.LL.-J

© 2007 YU.S. Popkov, dr. Tehn. Sciences (Rusijos mokslų akademijos sistemos analizės institutas, Maskva)

Kokybinė dinaminių sistemų su VD-entropijos operatoriumi analizė

Siūloma nagrinėjamos DSECO klasės klasių klasių egzistavimo, unikalumo ir lokalizavimo metodas. Gavo stabilumo sąlygas "mažuose" ir "dideliuose". Pateikiamos gautų sąlygų taikymo pavyzdžiai.

1. Įvadas

Daugelis dinaminių procesų matematinio modeliavimo problemų gali būti išspręstos remiantis dinamiškų sistemų koncepcija su entropijos operatoriumi (DSEC). DSEO yra dinaminė sistema, kurioje nelinijiškumas yra aprašytas pagal parametrinę užduotį maksimaliai entropijos. "Fairo-Moiologicals DSeco" yra makro sistemos modelis su "lėtai" savikontrolės ir "greito" išteklių paskirstymo modelis. Kai kurios DSEO savybės buvo išnagrinėtos. Šis darbas tęsia DSECO kokybinių savybių mokslinių tyrimų ciklą.

Manoma, kad dinaminė sistema su VD entropijos operatoriumi:

^ \u003d £ (x, y (x)), x e

y (x) \u003d a ^ shah (hb (y) | tu \u003d c (x), u e ^)\u003e 0.

Šiose išraiškose:

C (x, y), c (x) - nuolat diferencinės vektorinės funkcijos;

Entropija

(1.2) hb (y) \u003d uz 1p az\u003e 0, s \u003d t ~ t;

T - (g x sh) -matza su elementais ^ 0 turi visą rangą lygi r;

Manoma, kad vektorinė funkcija C (x) yra nuolat diferencijuojama, rinkinys ^ ^^ ^ Tanaches C yra teigiamas lygiagrečiai

(1.3) Q \u003d (C: 0<оТ ^ ц ^ а+} С Е+,

kur A- ir + yra E + vektoriai, a-vektoriaus su mažais komponentais klausimas.

Pasinaudojant gerai žinomu entropijos operatoriaus atstovavimu per "Lagrange" daugiklius. Sistemą transformuojame (1.1) į šią formą:

- \u003d £ (x, y (d)), x e kp, y (g) e į?, G e eger +

Uz (d) \u003d az bs, 3 \u003d 1,

O (x, d) \u003d tu (g) \u200b\u200b\u003d d (x),

kur GK \u003d exp (-ak)\u003e 0 yra eksponentinis veiksnys.

Kartu su Bendro požiūrio DSEO (1.1) Apsvarstysime po pateikto klasifikavimo.

DSEO su atskiedimu:

(1-5) ^ \u003d i (x) + w (g),

kur (p x t) -matza;

DSEO su dauginamuoju srautu:

(1.6) ^ \u003d x ® (a - x ® shu (d)), oh

kur w yra (p x t) -matza su ne neigiamais elementais, o vektorius su teigiamais komponentais, ® - koordinačių daugybos ženklas.

Šio darbo užduotis - ištirti vieningųjų DSEC taškų egzistavimą, unikalumą ir lokalizavimą bei jų stabilumą.

2. Vieningos nuostatos

2.1. Egzistavimas

Apsvarstykite sistemą (1.4). Šio dinamiškos sistemos atskaitymo taškų lemia šios lygtys:

(2.1) c ^ (x, y (d)) \u003d 0, r \u003d tp;

(2.2) UZ (d) \u003d a ^ g ^, 3 \u003d t ^:

(2.3) VK (d) \u003d ^ az g ^ \u003d dc (x), k \u003d 1, g.

Apsvarstykite pirmojoje pagalbinei lygčių sistemai:

(2.4) c (d, d) \u003d g, d e i

kur daugelis aš nustatau lygybę (1,3) ir c (d, d) - vektoriaus funkcija su komponentais

(2,5) SK (D, D) \u003d - Gerai (d), a-< дк < а+, к =1,г.

(2.4) lygtis turi vieną sprendimą G * su kiekvienu fiksuotu vektoriumi D, kuris išplaukia iš VD-entropijos operatoriaus savybių (žr.).

Nuo vektoriaus funkcijos C komponento C (D, d) apibrėžimo yra akivaizdus įvertinimas:

(2.6) c (a +, d)< С(д, г) < С(а-,г), г в Е+. Рассмотрим два уравнения:

Žymi pirmosios lygties sprendimą per G + ir antrą - per g-. Nustatyti

(2,7) C (A +, Z) \u003d Z, C (a

(2.8) Zmax \u003d Max Z +, Zmin \u003d mm Zk

ir r-dimensijų vektoriai

(2.9) Z (Zmax, Zmax), Z (Zmin, Zmin).

Lemma 2.1. Visiems Q G Q (1. 3) Sprendimai Z * (q) lygčių (2.4) priklauso vektoriui 1 Apsaugoti skyrių

zmin.< z*(q) < zmax,

kur zmin ir zmax vektoriai nustatomi išraiškomis (2.7) - (2.9).

Teoremo įrodymas pateikiamas paraiškoje. QQ.

qk (x) (1.3) x g rn, tada vyksta

Corollary 2.1. Leiskite 2,1 LEMMA sąlygoms ir QK (X) funkcija atitinka orlaivio ex x g rn sąlygas (1.3). Tada už SECH G RM, Z * lygtys (2.3) priklauso vektoriui

zmin.< z* < zmax

Leiskite mums grįžti į lygtis (2.2). kuri nustato vektoriaus funkcijos komponentus y (z). Jos Jacobian elementai turi vaizdą

(2.10) JB AJ ZK JJ &\u003e 0

visiems z g r +, išskyrus 0 ir W. Todėl vektoriaus funkcija y (z) yra griežtai monotoniškas didėja. Pagal "Lemma 2.1" tai yra tik žemiau ir iš viršaus, t.y. Visiems Z G RR (taigi, visiems x G RN), jos vertės priklauso rinkiniui

(2.11) y \u003d (y:< y < y+},

jei vektorių yk komponentai, Y + yra nustatyti išraiškomis:

(2.12) yk \u003d aj y + \u003d aj znlax, j \u003d h ™.

(2.13) bj \u003d y, tsj, 3 \u003d 1,

Apsvarstykite pirmąją (2.1) lygtį ir perrašykite jį į formą:

(2.14) l (x, y) \u003d 0 visiems y e y s e ^.

Ši lygtis lemia kintamo x priklausomybę nuo kintamojo y, priklauso-y

mes (1.4) mažina netiesioginės funkcijos X (Y), nustatytą pagal lygtį (2.14).

Lemma 2.2. Laikykitės šių sąlygų:

a) vektoriaus funkcija L (x, y) yra nuolatinė kintamųjų rinkiniu;

b) Lim L (x, y) \u003d ±<ж для любого фиксированного у е Y;

c) Det J (x, y) \u003d 0 saulei ex x e už bet kokius ann y y y y y.

Tada yra vienintelė netiesioginė funkcija X * (Y), apibrėžta Y. šioje LEMMA J (X, Y) - Jacobian su elementais

(2.15) Ji, i (x, y) \u003d --gi, aš, l \u003d l, n.

Įrodymas pateiktas priede. Nuo pirmiau minėtų lemmų

2.1 teorema. Tarkime, kad lemmas 2.1 ir 2.2 yra įvykdyti. Tada yra vienas vienaskaitos taškas DSEC (1.4) ir, atitinkamai (1.1).

2.2. Lokalizacija

Pagal vienintelės taško lokalizavimo tyrimą reiškia galimybę nustatyti intervalą, kuriame jis yra. Ši užduotis nėra labai paprasta, tačiau kai kurioms klasės DSECO tokiam intervalui galima įdiegti.

Mes kreipiamės į pirmąją lygčių grupę (2.1) ir pristatyti juos kaip

(2.16) l (x, y) \u003d 0, y y y +,

kur u- ir y + lemia lygybė (2.12), (2.13).

2.2 teorema. Leiskite vektoriaus funkcijai l (x, y) nuolat diferencijuoti ir monotoniškai didinant pagal abiem kintamuosius, t.y.

-\u003e 0, -\u003e 0; I, L \u003d 1, N; J \u003d 1, m. Dxi dinj.

Tada sistemos (2.16) tirpalas kintamame x priklauso XMIN X XMAX intervalui (2.17), \\ t

a) XMIN vektoriai, rodomi xmax

Min \u003d i x 1 xmax \u003d r x t;

Xmin :. .., xminlxmax ,. . ., Xmax):

xmin - ^ Qin ^ ■, xmax - ^ qax ^;

6) x- ir x + - komponentai, sprendžiantys šias lygtis

(2.19) l (x, y -) \u003d 0, l (x, y +) \u003d 0

su oo m yra kiekvienas.

Teoremo įrodymas pateikiamas paraiškoje.

3. DSEA tvarumas "Malom"

3.1. DSEO su atskyrimu srautu mes kreipiamės į DSE lygtis su atskyrimo srautu, pateikdami juos kaip:

- \u003d / (x) + bu (r (x)), x e kp

Y- (g (x)) \u003d AZP (x) Y33, 3 \u003d 1, "~ 8 \u003d 1

0 (x, g (x)) \u003d tu (r (x)) \u003d d (x), g e ng.

Čia vektoriaus funkcijos D (X) komponentų vertės priklauso rinkiniui q (1.3), (P x W) - Sathrition B turi visą rangą, lygią P (N< ш). Вектор-функция / (х) непрерывно дифференцируемая.

Leiskite sistemai, kuriai laikoma vienintelė vieta. Siekiant studijuoti šio vienaskaitos taško stabilumą! "Mal" mes sukursime linijinę sistemą

kur - (P x n) -matza, kurių elementai yra apskaičiuojami G taške, o vektorius £ \u003d x - w. Pagal pirmąją lygtį (3.1), linijinės sistemos matrica turi

A \u003d 7 (x) + jų (g) jų (x), x \u003d g (x),

|. 3 \u003d 1, sh, k \u003d 1,

I k \u003d 1, g, i \u003d 1, n

Nuo (3.1) nustatyta UG matricos elementai: du.

"LKZ P" 8 \u003d 1

3, G8 X8, 5 1, g.

Norėdami nustatyti matricos ZX elementus, mes kreipiamės į paskutinę lygčių grupę (3.1). Rodoma, kad šios lygtys lemia netiesioginio vektorinio funkciją R (X), kuri nuolat diferencijuojama, jei vektoriaus funkcija D (X) yra nuolat diferencijuojama. Jacobian ZX vektoriniai funkcijos R (x) nustatoma pagal lygtį

<Эг (z)Zx(Х) = Qx(Х),

vg (x) \u003d t UG (x),

ddk, -t-, - "- k \u003d 1, g, i \u003d 1, n dh \\ t

Iš šios lygties mes turime (3,9) ZX (x) \u003d B - 1 (Z) QX (x).

Šio rezultato pakeičiant lygybę (3.3). Mes gauname:

A \u003d 1 (x) + p (x), p (x) \u003d Vilg (G) [vilkikas (g)] - 1 QX (x).

Taigi linijinės sistemos lygtis įgyja vaizdą

(Z.I) | \u003d (j + p) e

Čia matricų elementai J, P apskaičiuojami vieninteliu tašku. Pakankamos sąlygos stabilumui "mažame" DSEC (3.1) nustato šiuos veiksmus

Teorema 3.1. DSEO (3.1) turi stabilų "mažą" vienaskaitinį tašką X, jei atliekamos šios sąlygos:

a) linijinės sistemos (3.11) matrica j, p (3.10) turi realių ir įvairių eigenvalues, o matrica j turi maksimalų tinkamą skaičių

Ptah \u003d max pg\u003e 0,

Wmax \u003d max ui< 0;

Umax + Ptah.<

Iš šios teoremo ir lygybės (3.10) Iš to išplaukia, kad vienaskaitos taškai, kuriems QX (x) \u003d 0 ir (arba) X, \u003d 0 ir (arba (arba (arba (arba (arba (arba (arba (arba (arba (arba (arba (arba (arba (arba (arba (arba (arba (arba (arba (arba (arba (arba (arba (arba (arba (arba (arba (arba (arba (arba (arba), nėra pakankamai sąlygų teorijos nėra atliekamas.

3.2. DSREO su dauginamąjį srautą apsvarstyti gavybą (1.6). Atstovaujant joms formoje:

X ® (a - x ® WY (z (x))), x e rn;

yJ (z (x)) \u003d AJ PZ (x)] ISI "j \u003d 1, m;

(Zl2) yj (z (x)) \u003d a ^<~"ts

Q (x, z (x)) \u003d ty (z (x)) \u003d q (x), z e r ++.

sistemos. Turėsiu:

(3.13) A \u003d ^ [cm] - 2xxh (G ^ x (x).

Šioje išraiškoje diag C] yra įstrižainės matrica su teigiamais elementais A1, ..., AU, UG, ZX - matricos, apibrėžtos lygybės (3.4) - (3.7).

Įsivaizduokite matricą a forma

(3.14) a \u003d diag + p (x),

(3.15) p (x) \u003d -2xwyz (z) ZX (x).

Nurodykite: Maxi Ai \u003d Nmax ir Wmax - Mained savo matrica P (x) (3.15). Tada Theorem 3.1 taip pat galioja DSEC (1.6). (3.12).

4. DSEO tvarumas "Big"

Pasukkime į deso lygtis (1.4), kurioje vektoriaus funkcijos q (x) vertės priklauso rinkiniui q (1.3). Atsižvelgiant į nagrinėjamą sistemą, yra vienaskaitos taškas Z, kuris atitinka vektorių Z (x) \u003d z ^ z-\u003e 0 ir

y (x) \u003d y (z) \u003d y\u003e y-\u003e 0.

Pristatome nuokrypio vektorių £ C, N iš vienaskaitos taško: (4.1) £ \u003d x - x, (\u003d y - y, n \u003d z - z.

A. Pokrovsky A.V. - 2009.

1

Tyrimo tikslas - sukurti loginį superkompiuterio metodą (Būlio apribojimų metodą) ir paslaugų orientuotą technologiją, skirtą kurti ir naudoti kompiuterinę sistemą, skirtą savarankiškų dinaminių dinaminių sistemų elgesio dinamikos dinamikos tyrime laiko intervalas. Temos aktualumą patvirtina nuolat didėjantis dvejetainių modelių taikymo spektras mokslo ir taikomųjų tyrimų metu, taip pat būtinybę atlikti tokių modelių kokybinę analizę su dideliu statuso vektoriaus aspektu. Autonominės dvejetainės sistemos matematinis modelis rodomas paskutiniame laiko intervale ir lygtis, lygiavertė šiai sistemai. Dinaminės nuosavybės specifikacija siūloma įrašyti predikatą logiką kalba, naudojant ribotą kiekį egzistavimo ir universalumo. Būlios lygtys ieškant pusiausvyros valstybių ir dvejetainės sistemos ciklų bei jų izoliacijos sąlygų. Pagrindinės pasiekiamumo rūšies savybės (pasiekiamumas, saugumas, tuo pačiu metu pasiekiamumas, pasiekimas su fazių suvaržymais, patrauklumu, ryšiu, visišku pasiekiamumu). Kiekvienam turtui jo modelis yra pastatytas kaip Būlio apribojimas (Būlio lygtis arba kiekybinė pieno formulė), atitinkanti logišką turtą ir sistemos dinamikos lygtis. Taigi, tikrinant įvairių savarankiškų savarankiškų dinaminių dinaminių sistemų elgesio savybių įgyvendinamumą galutinio laiko intervale, būtų sumažintas iki trąšų užduoties Būlio apribojimų naudojant šiuolaikinius SAT ir TQBF tirpiklius. Demonstracinis pavyzdys naudojant šią technologiją, siekiant patikrinti kai kurių anksčiau parodytų savybių įgyvendinamumą. Išvada išvardija pagrindinius privalumus Būlio apribojimų metodas, jos programinės įrangos įgyvendinimo funkcijų į paslaugas orientuotą požiūrį ir žymi tolesnio vystymosi kitų klasių binarinių dinaminių sistemų metodą.

dinaminės sistemos. \\ T

dinaminis turtas

kokybinė analizė

būlio apribojimai

bull įgyvendinamumo užduotis

1. Bioere A., Ganesh V., Grohe M., Nordstrom J., Williams R. SAT sprendimo teorija ir praktika. Dagstuhl ataskaitos. 2015 m. Vol. 5. Ne. 4. R. 98-122.

2. Marin P., Pulia L., Giuchiglia E., Narzzzano M., Tacchella A. Dvylika metų QBF vertinimų: QSat yra Psaplace-Sunku ir tai rodo. Fundamam. Informuoti. 2016 m. Vol. 149. R. 133-58.

3. Bochman D., Poshof H. dinaminės dinaminės sistemos. M.: Energoatomizdat, 1986. 400 p.

4. Maslov S.YU. Dedukcinių sistemų teorija ir jos taikymas. M.: Radijas ir ryšiai, 1986 133 p.

5. Jhala R., Majumdar R. programinės įrangos modelio tikrinimas. ACM skaičiavimo tyrimai. 2009 m. Vol. 41. Ne. 4. R. 21: 1-21: 54.

6. Vasilyev S.N. Dinaminių sistemų metodas ir kokybinė analizė. I-II // Rusijos mokslų akademijos naujienos. Teorijos ir kontrolės sistemos. 2006. Nr. 1. P. 21-29. Nr. 2. P. 5-17.

7. DIMACS formatu [elektroniniai ištekliai]. Prieigos režimas: http://www.cs.utexas.edu/users/moore/acl2/manuals/current/manual/index-seo.php/satlink__dimacs (Darbo data: 07/24/2018).

8. Qdimacs Standard [Elektroninis išteklius]. Prieigos režimas: http://qbflib.org/qdimacs.html (Data Naudojimo data: 07/24/2018).

9. Delgado-Eckert E., Reger J., Schmidt K. diskretiški laiko sistemos su įvykių dinamika: naujausi pokyčiai analizės ir sintezės metoduose. Mario Alberto Jordanija (Ed.). Diskretiški laiko sistemos. Intech. 2011. R. 447-476.

10. Vasilyev S.N. Siekiamas ir ryšys automatiniame tinkle su bendra valstybės perjungimo taisyklė // diferencialinės lygtys. 2002. T. 38. Nr. 11. P. 1533-1539.

11. BYCHKOV I.V., Opaarin G.A., Bogdanova V.G., Gorsky S.A., Pashinin A.A. MultiiaGenetinė technologija automatizuoti lygiagretus sprendimus Būlio lygčių paskirstytos skaičiavimo aplinkoje // skaičiavimo technologijos. 2016. 21. Nr. 3. P. 5-17.

12. Lonsing F., Bioere A. DepQBF. Priklausomybė suvokia QBF sprendimą. "Journal" pasitenkinimas. Būlio modeliavimas ir skaičiavimas. 2010 m. Vol. 9. R. 71-76.

13. Oparin G.A., Bogdanova V.G., Pashinin A.A., Gorsky S.A. Paskirstytos taikomųjų problemų tirpikliai, pagrįsti mikroservices ir agentų tinklais. Proc. 41-asis intern. Konvencija dėl informacijos ir ryšių technologijų, elektronikos ir mikroelektronikos (Mipro-2018). R. 1643-1648.

14. Bogdanova V.G., Gorsky S.A. Scalable lygiagrečiai Būlio sprendimas atitinka problemas. Proc. 41-asis intern. Konvencija dėl informacijos ir ryšių technologijų. Elektronika ir mikroelektronika (Mipro-2018). R. 244-249.

15. BYCHKOV I.V., Oparin G.A., Bogdanova V.G., Pashinin A.A. Taikomosios problemos sprendžiant technologiją, pagrįstą paskirstytu skaičiavimo dalyko domeno modeliu: decentralizuotas požiūris // lygiagrečios skaičiavimo technologijos XII tarptautinė konferencija, PAVT'2018, ROSTOV-ON-DON, balandžio 2-6, 2018 Trumpi straipsniai ir aprašymai plakatų. Čeliabinskas: leidybos centras, Sursu, 2018. C. 34-48.

Dvejetainių dinaminių modelių spektras yra labai plati ir kasmet objektų ir užduočių, kuriose jų naudojimas reikalingas, skaičius, tik padidėja. Klasikinis pavyzdys yra dvejetainis sinchroninis mašina, kuri yra daugelio diskrečiųjų įrenginių modelis, kompiuterinės technologijos, telemechanikos modelis. Šiuolaikinės dvejetainių dinaminių modelių taikymas apima bioinformatikos, ekonomikos, sociologijos ir kitų asmenų objektus, tai atrodytų toli nuo dvigubų kintamųjų, sričių naudojimo. Šiuo atžvilgiu gerokai padidina naujų ir pagerintų dvejetainių dinaminių sistemų trajektorijų trajektorijų (DDS) kokybinės analizės metodus.

Kaip žinote, aukštos kokybės analizės dinamiškos sistemos (ne tik dvejetainis) tikslas yra gauti teigiamą ar neigiamą atsakymą į klausimą: ar reikalingas dinamiškas turtas turi būti atliekamas tam tikroje sistemoje? Mes parafrazuoti šį klausimą taip: Ar dinamiškos sistemos, apibūdinančios turtą, dinaminės sistemos trajektorių elgesį? Be to, mes naudosime šį ypatingą aiškinimą kokybinės analizės sistemos dinamiškos sistemos tikslą.

DDS, kurio veikimas yra laikomas galutiniu laikotarpiu, tokie apribojimai yra Būlio ir yra registruojami į boolean lygčių ar loginių formulių su kiekybiniais formulėmis kalba. Pirmasis apribojimų tipas lemia poreikį išspręsti SAT užduotį (patyčių galimybių uždavinys); Antrasis apribojimų tipas yra susijęs su TQBF problemos sprendimu (kiekybinių Būlio formulių tiesos tikrinimas). Pirmoji užduotis yra tipiškas NP sudėtingumo klasės atstovas, o antroji užduotis yra PSPace sudėtingumo klasė. Kaip žinote, "Psepace" diskrečių problemos pilnumas suteikia didesnį įrodymą apie jo didėjimą nei NP išsamumą. Dėl šios priežasties, kokybinės analizės DDS uždavinys į SAT problemą yra labiau pageidautina nei sumažinti TQBF užduotį. Apskritai, ne kiekvieno DDS turto tyrimas gali būti pateiktas Būlio lygčių kalba.

Pirmiausia buvo parodyta teorinė naudotis Būlio apribojimais (būtent Būlio lygtimi) aukštos kokybės DDS analize. Tačiau reikėtų pažymėti, kad reikia pažymėti, kad šio požiūrio naudojimas praktiškai naudojant veiksmingų algoritmų ir programų sprendžiant Būlio lygtis (ypač su daugeliu nežinomų kintamųjų), kurie leidžia žymiai sumažinti paieškos erdvė. Per pastarąjį dešimtmetį dėl intensyvių tyrimų, pakankamas įvairių efektyvių Būlio lygčių tirpiklių (SAT-SOLVERS), naudojant šiuolaikinius pasiekimus (naujos heuristikos, greito duomenų struktūros, lygiagrečiai skaičiavimai ir kt.) Sprendžiant patyčias įgyvendinamumą pasirodė problema. Panašūs procesai (bet su kai kuriais vėlavimu) taip pat pastebimi efektyvesnių algoritmų ir programų, skirtų spręsti TQBF problemą. Taigi šiuo metu yra visos būtinos sąlygos sistemingai plėtoti Būlio apribojimų metodą aukštos kokybės analizės DDS, jos programos įgyvendinimas ir taikymas sprendžiant mokslines ir taikomuosius uždavinius.

Be Būlio apribojimų metodo, kiti metodai aukštos kokybės analizės taip pat taikomos DDS, kuris apima dedukcinę analizę, modelio tikrinimo ir mažinimo metodą. Kiekvienas iš šių metodų (įskaitant Būlio apribojimų metodą) turi savo apribojimus, privalumus ir trūkumus. Bendras trūkumas yra tas, kad visi metodai yra pažeisti ir šie metodai yra labai svarbūs.

Dedukcinės analizės svarba reiškia aksiomų naudojimą ir išvados taisykles, įrodančias sistemos veikimo teisingumą, yra pripažinta įvairiais specialistais, tačiau tai yra sunkus ir todėl retai taikomas metodas. Modelio tikrinimo metodu specifikacijos kalbos specifikacija naudoja laiko logikos kalbą, kuri yra neatskiriama automatiniams dinamikos specialistams. Sumažinimo metodas yra susijęs su supaprastintos (tam tikros prasmės) kūrimo modelio kūrimas, jo savybių tyrimas ir šių savybių perkėlimo sąlygos į pradinę sudėtingą sistemą. Savybės tolerancijos sąlygos yra tik pakankamas simbolis. Paprastumas apie aukštos kokybės DDS analizės mažinimo metodo supratimą susiduria su supaprastintos sistemos pasirinkimo problemą, atitinkančią visas metodo sąlygas.

Praktinis naudojimas Būlio apribojimų metodas apima algoritmizaciją ir automatizavimą šių procesų:

1) specialistų sistemos, skirtos dinamiškų savybių loginių kalbų sistemų specifikacijai;

2) dinaminio turto modelio statant Būlio apribojimą vienos rūšies tipas, kuris atitinka logišką turtą ir dvejetainio sistemos dinamikos lygtis forma;

3) atstovaujant gautam modeliui tarptautiniuose DIMACS arba QDIMACS formatu;

4) veiksmingos lygiagrečios (paskirstytos) sprendimo užduoties pasirinkimas (kūrimas), kad būtų galima įgyvendinti Būlio apribojimų (SAT arba TQBF sprendėjas);

5) programinės įrangos kūrimo priemonių kūrimas;

6) Aukštos kokybės mokslinių tyrimų paslaugų plėtra įvairios DDS dinaminės savybės.

Tikslas. \\ T Šis tyrimas yra tik pirmųjų dviejų užduočių, susijusių su aukštos kokybės savarankiškų (be kontrolės sąnaudų) sinchroninių DDS algoritmizavimu. Tokios sistemos anglų kalba leidiniuose vadinami sinchroniniais birių tinklais (Boolean Network). Kiti Būlio apribojimų taikymo aspektai (įskaitant DDS su valdymo įėjimais) yra šie leidiniai.

Matematinis autonominių DDS modelis

Leiskite x \u003d bn (b \u003d (0, 1) būti daugybe deminio dimensijos vektorių N (DDS erdvės erdvė). Via t∈t \u003d (1, ..., k) Mes žymi diskretišką laiką ( laikrodžio numeris).

Kiekvienai valstybei x0∈X, vadinama pradine būsena, mes apibrėžiame trajektoriją x (t, x0) kaip galutinę valstybių X0, x1, ..., XK seką nuo rinkinio x. Be to, mes apsvarstysime DDS Kiekviena gretimų būsenų pora XT, X (T - 1) (t∈t) trajektorių, susijusių su požiūriu

xt \u003d f (xt - 1). (vienas)

Čia f: x\u003e x - logikos algebros vektorinė funkcija, vadinama pereinamojo laikotarpio funkcija. Taigi, bet kokiam x0∈X, Būlio lygčių sistema (1) yra DDS trajektorijų elgesio dinamikos modelis valstybinėje erdvėje paskutinio laiko intervalu T \u003d (1, 2, ..., k ). Toliau prielaida, kad k apibrėžimui t vertė yra nustatyta konstanta. Šis apribojimas yra gana natūralus. Faktas yra tai, kad su kokybine analizė elgesio DDS trajektorijų, praktinis susidomėjimas yra apie tai, ką galima pasakyti apie bet dinamiškų savybių įgyvendinamumą fiksuoto, ne per didelis k. K kiekvieno atvejo pasirinkimas atliekamas remiantis priori informacija apie procesų trukmę imituojant atskirą atskirą sistemą.

Yra žinoma, kad Būlio lygčių sistema (1) su pradine X0∈X būsenoje t \u003d (1, 2, ..., k) yra lygiavertis vienai tvarko lygėjimui

Ne k \u003d 1 (laikoma tik vienos pakopos perėjimai) lygtis (2) įgyja vaizdą

(3)

Šios lygties sprendimai nustato krypties grafiką, kurį sudaro 2n viršūnės, pažymėtos viena iš 2 nustatytų konstrukcijų. Grafiko viršūnės X0 ir X1 yra sujungtos lanku, nukreiptu nuo valstybės X0 į būseną X1. Toks grafikas dvejetainių automatų teorijoje vadinama perėjimo schema. DDS elgesio atstovavimas pereinamojo laikotarpio diagramos pavidalu yra labai aiškiai ir statant trajektorijas, tiek jų savybių tyrimą, tačiau praktiškai suprantama tik mažoms N vektoriaus matmenims x∈x.

Kalba įrankiai Specifikacija dinaminių savybių

Patogu nustatyti dinaminio turto specifikaciją formalios logikos kalba. Po darbo, mes žymi x0∈X, x1∈X, x * ∈X - pradinių, leistinų ir tikslinių narių rinkinius.

Pagrindiniai sintaktiniai elementai loginės formulės dinaminės nuosavybės yra: 1) dalyko kintamieji (komponentai vektorių x0, x1, ..., XK, laiko t); 2) riboti buvimo ir universalumo kiekybiniai; 3) Loginiai Bundles V ir ir; Galutinės formulės. Galutinė formulė pristato kai kurių trajektorijų rinkinio X (T, x0) (x0 x) (x0 x) (x0∈x0) rinkinio pritarimą pagal įvertintus rinkinius x * ir x1.

Pažymėtina, kad riboto buvimo ir universalumo kiekybinių naudojimas suteikia specialisto specialisto specialisto specialisto ypatybių tipą. Statant Būlio modelio sistemą (1), riboti kiekybiniai kiekybiniai duomenys pakeičiami įprastais pagal šiuos apibrėžimus:

kur (y) yra predikatas, kuris riboja kintamojo vertę.

Pagal kintamojo T keitimo zonos galūnes, riboti buvimo ir universalumo kiekybiniai šiam kintamąjį galūnes pakeičiamas lygiavertės formulėmis, kuriose nėra kiekybinių

Ateityje mes manome, kad X0, x1, x * rinkinių elementai nustatomi atitinkamai šiomis Būlio lygtims nuliais.

arba būdingų šių rinkinių funkcijos ,. \\ t

Atsižvelgiant į pradinių narių apribojimus G0 (x) \u003d 0, kartu su lygtimis (2, 3), mes naudosime šias logines lygtis, kad sumažintume įrašą:

(4)

Preliminarus autonominių DDS kokybės analizė

Išankstinio analizės etape galima rasti valstybės šaką (daugeliui jo artimiausių pirmtakų) (jei reikia), pusiausvyros ir uždarų trajektorijų (ciklų) buvimas.

Valstybė x1 (3) bus vadinama valstybiniu pastoviu X0, o X0 yra valstybės X1 pirmtakas. Autonominiuose DDS, kiekviena valstybė turi tik vieną pasekėją, o šios valstybės pirmtakų skaičius gali skirtis nuo nulio iki 2N - 1. Visi tiesioginiai pirmtakai x0 valstybės S∈X yra Būlio lygčių nuliai

Jei (6) lygtis neturi jokių sprendimų, tada trūksta valstybės pirmtakų.

Pusiausvyros valstybės (jei jie egzistuoja) yra Būlio lygčių sprendimai

Trajektorija x0, x1, ..., XK vadinama ilgio ciklu, jei būsenos x0, x1, ... XK-1 yra poromis skiriasi nuo vienas kito ir xk \u003d x0. Ciklinė seka ilgio k (jei jis yra) yra Būlio lygties sprendimas

kur \u003d 0 ( ) - VALSTYBIŲ C LOOP ciklo rinkinių skirtumų sąlygos. Jei nė vienas iš ciklo statuso neturi pirmtakų, kurie nepriklauso rinkiniui C, tada toks ciklas vadinamas izoliuotu. Leiskite elementams nustatyti C yra lemia GC lygties (-ų) lūlio tirpalas \u003d 0. Tada lengva įrodyti, kad ciklo izoliacijos būklė yra lygiavertė nulio nebuvimui kitoje Bulovo lygtyje:

(7) lygties sprendimai (jei jie egzistuoja) nustato ciklo valstybes, turintys pirmtakus, kurie nepriklauso rinkiniui C.

Kadangi pusiausvyros būsena yra ilgio k \u003d 1 ciklas, jo izoliacijos būklė yra panaši į izoliacijos būklę su k ≥ 2, skirtumas yra tas, kad gc (-ai) yra visiškai disjunkcinis, kuris nustato šią pusiausvyros būklę .

Unseliuojamos pusiausvyros sąlygos ir ciklai bus toliau vadinami atrankos.

Dinaminių savybių specifikacija kaip pasiekimas

Pagrindinė DDS nuosavybė, tikrinimo poreikis, kuris dažniausiai atsiranda praktikoje, tradiciškai tiriamas grafikų teorijoje (mūsų atveju tokia grafikas yra pereinamojo schemos) pasiekiamumo ir įvairių variantų turtas. Pasiekimas yra apibrėžiamas kaip klasikinis uždavinys analizuojant DDS trajektorijų elgesį.

Šio turto apibrėžimas yra susijęs su rinkinių X0, X *, X1 rinkinių apibrėžimu (atitinkantis šių Būlio lygčių rinkinių). Daroma prielaida, kad rinkiniai x0, x *, x1 riba

Pagal rinkinio t ribą, pasiekiamumo turtą ir jos variantai bus suprantami kaip praktinio pasiekiamumo turtas (pasiekiamas galutinio laikrodžių skaičius). Aptariamos šios pasiekiamumo tipo savybės:

1. Pagrindinė komplekto X * pasiekiamumo turtas iš rinkinio X0 yra suformuluotas taip: bet kokia trajektorija, išleista iš pirminės būsenos x0 trajektorija pasiekia tikslinį rinkinį x *. Naudojant ribotus buvimo ir universalumo kiekybinius, šio viešbučio formulė turi formą:

2. Saugumo turtas numato bet kokią trajektoriją, išleistą nuo x0, komplekto neviršio x *:

3. Sinchroninio pasiekiamumo turtas. Kai kuriais atvejais gali būti nustatytas "sunkus reikalavimas", o tai yra ta, kad kiekviena trajektorija pasiekia tiksliai vienam K (K∈T) tikslui:

4. Pasiekimo turtas su fazių apribojimais:

Šis turtas užtikrina, kad visos trajektorijos, pagamintos iš rinkinio x0, kol taškas yra X * yra nustatytas x1.

5. Nuosavybės pritraukimas. Leiskite x * būti patraukliam. Tada loginė pritraukimo turto formulė sutampa su pagrindinės savybės pasiekiamumu:

tie. Kiekvienam trajektorijai, išleistam iš rinkinio x0, yra laiko t∈t, pradedant nuo trajektorijos, neviršijant x *. Šiuo atveju rinkinys priklauso X * (X0∈XA, kur Xa yra pilnas atrakciono plotas (baseinas) dalis.

Atkreipkite dėmesį, kad visos pirmiau minėtos savybės kintamieji yra iš tikrųjų prijungti, nes trajektorija x0, x1, ..., XK yra visiškai nustatyta pagal pradinę būseną. Kadangi kiekybininkai kintama T yra pakeičiami daugiafunkciniu išsiskyrimu arba atitinkamų predikatų jungikliais, kiekvienas iš formulių išlieka vienintelis ribotas universalumo (), kuris leidžia jums užrašyti šių galimybių sąlygas Būlio lygčių kalba (kaip SAT užduotis).

Pateikkime dvi savybes, kurių čekis lemia poreikį išspręsti TQBF problemą.

6. Tikslinės rinkinio nuosavybė:

tie. Yra pradinė būsena x0∈x0, kad kiekviena tikslinė būsena X * ⊆X * tam tikru tašku yra pasiekiamas, o tai reiškia atitinkamos trajektorijos būseną, tokią, kad visos tikslinės būsenos x * ∈x * priklauso į šią trajektoriją.

7. Iš viso rinkinio pasiekimo turtas x * nuo x0:

tie. Kiekviena tikslinė būsena pasiekiama nuo x0.

Patikrinkite dinamines savybes

Dėl savybių (1-5), jų įgyvendinamumo tikrinimas yra sumažintas iki zeros iš Biloan lygčių, kurių formavimo technologija yra standartizuota ir yra išsamiai svarstoma tik pagrindinei pasiekiamumo turtui. Savybės (6, 7) paskatino patikrinti kiekybinės Būlio formulės tiesą.

1. Pagrindinė pasiekimo turtas. Jo loginė formulė turi formą

Atsižvelgiant į (4) mes rašome formulę (8) kaip

kur yra būdinga funkcija iš valstybių, išleistos iš pradinės būsenos x0∈x0 trajektorijos, rinkinio funkcija. Atsikratykite nuo buvimo kiekio (9). Tada turėsime

kur - charakteristika set x *. Pakeiskite ribotas universalumo kiekybinius į įprastinius kiekius. Kaip rezultatas, mes gauname

Formulė (10) yra tiesa ir tik tada, jei ji yra vienodai tikra subversion išraiška, t.y.

Identifikacijos tiesa reiškia, kad Būlio funkcija yra logiška funkcijos pasekmė, t.y. Bet kokia trajektorija su pradine būsena x0∈x0 pasiekia tikslinį rinkinį x *.

Tapatybės įgyvendinamumas (11) yra lygiavertis už Bulev lygčių nulio nebuvimo

Gavęs (12) mes atsikratytume poveikio ir pakeista φ * (x0, x1, ..., xk) . Jei (12) lygtis turi bent vieną sprendimą, tada pasiekiamumo turtas neturi vietos. Toks sprendimas yra (tam tikra prasme) bandymo turtui skaičiuokis ir gali padėti tyrėjui nustatyti klaidos priežastį.

Be to, už kiekvieno turto pristatymą (2-4) pristatymą, tik tipo (12) lygtis bus parašyta, siūlydama skaitytojui savarankiškai atkurti būtinus argumentus artima pagrindinei pasiekiamumo turtui.

2. Saugos turtas

3. Sinchroninio pasiekiamumo turtas

4. Pasiekimo turtas su fazių apribojimais

5. Nuosavybės pritraukimas. Šio turto įgyvendinamumas tikrinamas dviem etapais. Pirmajame etape paaiškėja, ar X * atraktoriaus rinkinys yra. Jei atsakymas yra teigiamas, tada antrajame etape tikrinama pagrindinė pasiekiamumo turtas. Jei X * yra pasiekiamas nuo x0, pateikiamos visos traukos turto sąlygos.

6. Ryšio turtas

7. Iš viso pasiekiamumo turtas "

Dėl savybių (6, 7), skalės formos lygybės dviejų logiklių xt \u003d x * turi išvaizdą

Mes parodysime pirmiau pateiktą aukštos kokybės autonominio DDS analizės technologiją, naudojant Būlio apribojimų metodą tikrinant kai kurių pirmiau išvardytų savybių įgyvendinamumą 3.2 modeliui nuo darbo:

Žymi x0∈x \u003d B3, pradinę modelio būklę (13). Leiskite t \u003d (1, 2). Mes atstumome savybes, reikalingas vienos pakopos ir dviejų pakopų modelio perėjimų (13) specifikacijai:

(14)

kur yra ženklas "." Nurodoma jungties veikimas.

Norėdami patikrinti kiekvieno turto vykdymą, pradinį (x0) ir tikslą (X *) rinkinius, apibrėžtus nulio lygčių G0 (x) \u003d 0, g * (x) \u003d 0 arba šių rinkinių būdingos funkcijos (žr. Pastraipą 2). Kaip SAT, SOLVER naudojamas kaip instrumentinis kompleksas (IR) rebusas, o TQBF Solver yra DepQBF. Keičiant kintamuosius į holean modelių nagrinėjami žemiau savybių šių tirpiklių yra parodyta lentelėje. 1, Būlio modeliai šių savybių Dimacs ir Qdimac formatais yra stalo. 2.

1 lentelė

Kodavimo kintamieji

Kintamasis skaičius į loso modelį

Nuosavybė 1.

Nuosavybė 2.

Nuosavybė 3.

Nuosavybė 4.

Nuosavybė 5.

2 lentelė

Būlio savybės modelis

Nuosavybė 1.	Nuosavybė 2.	Nuosavybė 3.	Nuosavybė 4 (a)	Nuosavybė 4 (b)	Nuosavybė 5.
					e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 4 -5 -6 7 -8 -9 -10 11 12 0 4 5 6 -7 8 9 10 -11 -12 0

1. Pagrindinis pasiekimo turtas (k \u003d 2). Leiskite x0 \u003d (x∈x: x1 \u003d 0), x * \u003d (x∈x: x1 \u003d 1). Pradinį ir tikslinį rinkinį nustato lygtys G0 (x) \u003d x1 \u003d 0 ir. Booleo lygtis (12) Šiuo atveju įsigyja

jei funkcija φ (x0, x1, x2) yra apibrėžta (14). "Rusher ir Rebus" pateikia atsakymą "nepatogus" (lygtis neturi nulio), todėl pasiekiamas X * nuo x0 pasiekiamumas, kuris aiškiai matomas iš šio pereinamojo laikotarpio diagramos.

2. ilgio ciklai k \u003d 2. 2 ilgio ciklinės sekos (jei jis yra) yra Būlio lygties sprendimas

Funkcija turi vaizdą

Išraiška R (x0, x1) Kai ciklas nebuvo įtrauktas į lygtį, nes ilgio k \u003d 1 (pusiausvyros būsenos) ciklai modelyje (13) nėra. Su IR Russel pagalba buvo gauti du atsakymai (Dimacs išvesties formatu): 1 2 3 4 5 -6 0 ir 1 2 -3 4 5 6 0, atitinkantys ciklines sekas (figūra): ((1 1 1) ), (1 1 0)) ir ((1 1 0), (1 1 1)). Abiejų ciklų narių rinkiniai sutampa, o tai reiškia, kad vienos raidės k \u003d 2 ciklo modelis (13).

Sistemos perėjimo schema (13)

3. Ciklo izoliavimo turtas. Jei elementai s eilutes C rinkiniai k \u003d 2 ciklo C \u003d 2 yra nustatomas pagal Būlio lygtį GC (S) \u003d 0, ciklo izoliacijos būklė yra lygi nulio nebuvimas kitame Bulovui nebuvimas lygtis:

Nuo C \u003d ((1 1 1), (1 1 0)), mes turime

Šiai lygimui ir "Recus" tirpiklis suranda du sprendimus: -1 2 3 4 5 -6 0 ir -12 -3 4 5 -6 0 (dvejetainiu atstovybėje pagal kintamųjų kodavimą lentelėje. 1 Tai yra poros valstybių (0 1 1) (1 1 0) ir ((1 1 0)). Taigi ciklo būklė (1 1 0) turi du pirmtakus (0 1 1) ir (0 1 0), nepriklauso valstybės ciklo rinkinyje. Tai reiškia, kad ciklo išskyrimo savybės nėra atliekamos, t. Y. Šis ciklas yra patrauklus.

4. Nuosavybės pritraukimas. Leiskite x * \u003d c būti patraukliam. Loginės formulės pritraukimo savybės sutampa su pagrindinės pasiekiamumo turto formule

ir atitinkama Būlio lygtis yra mūsų bylos

Atšaukiame funkcijas G0 (x0), φ (x0, x1, x2) ir. Funkcija φ (x0, x1, x2) pateikiama (14). X * \u003d c, išraiška yra lygi. Apsvarstykite du variantus nustatant pradinių narių rinkinį x0, vykdymo atvejais (a) ir nesilaikymo (b) savybių traukos k \u003d 2 laikrodžiai.

A. Leiskite. Tada

Tokiu atveju atsakymas "Nepriklausomas" išduodamas Būlio lygtimyje (15). Atliekamas tam tikros rinkinio X0 pritraukimo turtas.

B. Leiskite. Tada

Šiuo atveju, IR REBUS lygties (15) suranda sprendimą: 1 -2 3 4 -5 -6 -7 8 9 0, kuris atitinka trajektoriją ((1 0 1), (1 0 0), (0 \\ t 1 1). Ši trajektorija su pradine būsena x0 \u003d (1 0 1) dviem laikrodžiui nepasiekia rinkinio x * \u003d c, o tai reiškia, kad tam tikros x0 patrauklumo savybių nepavyksta.

5. Ryšio turtas. Ryšio loginės formulės savybės turi tokio pareiškimo išvaizdą:

K \u003d 2 φ * (x0, x1, x2) \u003d G0 (x0) ∨∨ (x0, x1, x2), kur funkcija φ (x0, x1, x2) pateikiama (14). Kaip pradinė, pasirinkite sąlygą (1 0 1). Tada. Leiskite tikslui nustatyti x * \u003d ((0 1 1) (1 0 0)). Šiuo atveju funkcija g * (x *) turi išvaizdą

Rašome G * (x *) CNF formatu:

Naudojant DE Morgana įstatymą, rasite funkcijos neigimą φ * (x0, x1, x2). Pakeičiant (16) visos gautos funkcijos ir atsižvelgiant į boolean kintamųjų kodavimą (1 lentelė), mes gauname Būlio modelį QDimac formatu (2 lentelė). DEPQBF SOLVER išduoda atsakymą "SAT", o tai reiškia pareiškimo tiesą (16). Atliekamas ryšio su nurodytu x0, x *, t \u003d (1, 2) nuosavybė.

Išvada

Pagrindiniai Būlio apribojimų taikymo privalumai kokybiniame DDS tyrime yra:

1. Loginė kalba apie dinaminio turto specifikacijos specialistas automatinėje dinamikoje yra dėl riboto buvimo ir universalumo kiekybinių kiekių naudojimo.

2. Pagal turto formulę ir dinamikos lygtis, atitinkama Būlio lygtis arba kiekybinė Būlio formulė automatiškai atliekama.

3. Paprasčiau paprasčiausiai automatizuoja susidariusių lūlių išraiškų konversijos procesą į konjunktyvią įprastinę formą su tolesne dydmax ir QDimax formatu, kurie yra įvesti į SAT tirpiklius ir QBF tirpiklius.

4. Sumažinti biustas vienaip ar kitaip problema išspręsta šių tirpiklių kūrėjai ir ekranuoti nuo specialios kokybės DDS analizės specialistų.

5. Galima išspręsti DDS kokybinės analizės problemą už didelius valstybės vektoriaus N matmenis pakankamai ilgą laikotarpį T. pagal valstybių skaičių, Būlio suvaržymų metodas yra kiekybiškai proporcingas modeliui Tikrinimo metodas. Atsižvelgiant į tai, kad pastaraisiais metais buvo padidėjęs specializuotų SAT sprendimų algoritmų ir TQBF užduočių atlikimas, bendras modernių tirpiklių turto pieno modelio kintamųjų skaičius gali būti matuojamas tūkstančiais.

"DDS" kokybinės analizės proceso programinė įranga, pagrįsta Būlio apribojimų metodu, įgyvendinama pagal paslaugą orientuotą požiūrį, naudojant specializuotus Būlio lygčių tirpiklius. Straipsnyje pateikiamas Būlio apribojimų metodo įgyvendinimo pavyzdys, remiantis paslaugomis orientuotas požiūris į ciklų ir pusiausvyros būsenų paiešką genų reguliavimo tinkluose.

Pažymėtina, kad Būlio apribojimų metodas yra pakankamai bendro aukštos kokybės DDS analizės metodas paskutiniu laikotarpiu. Jis taikomas ne tik autonominėms sistemoms, bet ir sistemoms su kontrolės įėjimais, sistemoms, turinčioms atminties, daugiau vienetų gylį į bendros formos DDS, kai perėjimų funkcija yra netirpi, palyginti su valstybine XT ir turi F forma (xt, xt-1) \u003d 0. DDS su įėjimais, kontrolieriumo turtas ir įvairūs variantai yra ypač svarbūs. Be DDS analizės užduočių, Būlio apribojimai metodas taikomas grįžtamojo ryšio sintezės (statinio ar dinamiškos, kaip valstybės ar įvesties) užduotims, suteikiant sintezuotą sistemą, kad būtų galima atlikti reikalingas dinamines savybes.

Tyrimą parėmė RFBR projektas Nr. 18-07-00596 / 18.

Bibliografinė nuoroda

Oparin G.A., Bogdanova V.G., Pashinin A.A. Būlio apribojimų metodas kokybinei dinaminių dinaminių sistemų kokybinei analizei // tarptautiniam taikomųjų ir fundamlinių tyrimų žurnale. - 2018. - № 9. - P. 19-29;
URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id\u003d12381 (Darbo data: 03/18/2020). Mes atkreipiame jūsų dėmesį į žurnalų leidybą leidykloje "Natural Science akademija"

Įvadas 4.

Dinaminių sistemų analizė 5

Atsitiktinis signalas per linijinę sistemą 5

Phazės vektoriaus sistemos evoliucija 7

Phazės vektoriaus sistemos kritimo matricos evoliucija 8

Statistinis linijinis 8.

Pirmasis metodas 9.

Antrasis metodas 10.

Linijinio koeficientų skaičiavimas 10

Netiesiniai vienetai 14

Netiesinė nuoroda, kuriai taikoma atsiliepimai 15

Atsitiktinių procesų modeliavimas 16

Filtro formavimo filtras 16.

Baltas triukšmo modeliavimas 17

Monte Carlo dinaminių sistemų statistinių charakteristikų vertinimas 18

Reitingų tikslumas 18.

NonStationary dinaminės sistemos 20

Stacionarios dinaminės sistemos 21

Dinaminių sistemų užpakalinė analizė 22

Filtruoti Kalman 22.

Modelio judėjimas 22.

Matavimo modelis 23.

Korekcija 23.

Prognozė 23.

Vertinimas 23.

Kalman filtravimo naudojimas netiesinėms užduotims 25

Mažiausias kvadratų metodas 27

Statybos reitingai 27.

29 prognozė.

Naudojant mažiausio kvadratų metodą netiesinėms užduotims 29

Cauchy matricos statyba 30

Matavimo modeliavimas 30.

Skaitiniai metodai 31.

Specialios funkcijos 31.

Atsitiktinių kintamųjų modeliavimas 31

Vienodai paskirstytos atsitiktiniai kintamieji 31

Gausso atsitiktiniai kintamieji 32

Atsitiktiniai vektoriai 33.

Tikimybės neatskiriama 34.

Chebyshev polinomials 36.

Įprastų diferencialinių lygčių integravimas 36

Runge-Kutta 36

Skaitmeninės integracijos rezultatų tikslumas 37

Investuotas metodas Dorman-Prince 5 (4) Apie 37

Daugialypis metodai 39.

Adams metodai 39.

Integruoti lygtis su vėlavimo argumentu 40

Metodų skaičiavimo savybių palyginimas 40

Užduotis standar 40.

Jacobi 41 elipsės funkcijos

Užduotis du tel 41

VAN DER lauko lygtis 42

"Brusseltor" 42

Lagrange lygtis, skirta pakabinti stygas 42

PLEIAD 42.

Padaryti aiškinamąją pastabą 43

Pavadinimo lapas 43.

Skyrius "Įvadas" 44

Skyrius "teorija" 44

Skyrius "Algoritmas" 44

Skirsnis "Programa" 45

Skyrius "Rezultatai" 45

SKIRSNIS "Išvados" 45

Skyrius "Naudoti šaltiniai" 45 sąrašas

45 priedėliai.

Literatūra 47.

ĮVADAS. \\ T

Šiame vadovėlyje pateikiamos gairės dėl kursų projektų užduočių vykdymo ir praktines klases į "statistinės dinamikos pagrindus".

Kursų dizaino ir praktinio mokymo tikslas yra įsisavinti a priori ir a postorijos analizė netiesinių dinaminių sistemų pagal atsitiktinių sutrikimų įtaką.

Dinaminių sistemų priori analizė

Statistinis linijinis. \\ T

Statistinis linearizacija leidžia konvertuoti originalią netiesinę dinaminę sistemą į T.O. Taigi, kad jos analizei būtų galima naudoti metodus, algoritmus, santykius, galiojančius linijinėms sistemoms.

Šis skyrius skirtas statistinio linijinio metodo pristatymui, atsižvelgiant į paprasčiausią apytikslį metodą, kurį siūlo prof. T.Y. Kelionė, tačiau, tačiau, siekiant sukurti sąmatą sistemos tikslumo, kuriame yra net reikšmingas netiesiškumas su nenutrūkstamos charakteristikų tikslumo.

Statistinis linearizacija susideda iš keičiant originalius spinduliuotės netiesinį ryšį tarp įvesties ir išvesties procesų tokios apytiksliai priklausomybės, linijinis palyginti su centruotu įvesties atsitiktiniu procesu, kuris yra lygiavertis statistiniu požiūriu atsižvelgiant į pradinį:

Nuoroda su tokia apytiksliu priklausomybe tarp įvesties ir išvesties signalų vadinamas lygiaverčiu netiesiniu ryšiu.

Vertė yra parinkta remiantis lygybės matematinių lūkesčių netiesinių ir linearizuotų signalų būklę ir vadinama statistiniu vidurkiu lygiaverčiu charakteristika:

,

kur - į įvesties signalo paskirstymo tankis.

Dėl netiesinių ryšių su nelyginėmis savybėmis, t. Y. dėl , Statistinė charakteristika yra patogi pateikti forma:

- įvesties signalo matematinis lūkesčius;
- lygiavertės sąsajos lygiavertės sąsajos stiprinimo koeficientas.

SO Lygiavertė priklausomybė šiuo atveju įgyja formą:

Charakteristika vadinama lygiavertės ryšio lygiavertės sąsajos stiprinimo koeficientu ir atsitiktinių komponentų (svyravimų) ir yra nustatomi pagal du metodus.

Pirmasis metodas

Pagal pirmąjį statistinio linearizacijos metodą, koeficientas yra pasirinktas remiantis lygybės išsiskyrimo pradinių ir lygiaverčių signalų būklę. SO Apskaičiuojant, mes gauname šį santykį:

,

kur - atsitiktinio poveikio dispersija.

Ženklą išraiškoje lemia argumento vertės priklausomybės pobūdis. Jei didėja, tada, jei mažėja, tada.

Antrasis kelias

Vertė pagal antrąjį metodą yra parinktas iš vidutinio kvadratinio linearizacijos klaidos sumažinimo sąlygų:

Galutinis koeficiento apskaičiavimo santykis pagal antrąjį metodą yra:

.

Apibendrinant, mes atkreipiame dėmesį, kad nė vienas iš jų dviejų, laikomų pirmiau, linearizacijos metodai nesuteikia lygybės koreliacijos funkcijų išėjimo signalų netiesinių ir lygiaverčių vienetų. Skaičiavimai rodo, kad už netiesinio signalo koreliacijos funkciją, pirmasis pasirinkimo metodas suteikia įvertinimą iš viršaus, o antrasis metodas yra įvertis iš toliau, t. Y.. Klaidos nustatant netiesinio išėjimo signalo koreliacijos funkciją turi skirtingus ženklus. Prof. T.Y. Cossacks, autorius, išdėstytas čia, rekomenduoja pasirinkti pusę koeficientų, gautų pirmaisiais ir antraisiais metodais, kaip gautą linearizacijos koeficientą.

Formavimo filtras

Paprastai parametrai nustatomi lyginant skaitiklio ir vardiklio polinomanų koeficientus lygtyje

su tais pačiais laipsniais.

Nustatę formavimo filtro perkėlimo funkciją, atrodo, kad atsitiktinio proceso modeliavimas atrodo rodomas paveiksle.

Pavyzdžiui, modeliavimo proceso spektrinis tankis turi formą:

,

matematiniai lūkesčiai ir modeliavimas yra naudojamas baltas triukšmas su intensyvumu, todėl turintys vieną spektrinį tankį.

Akivaizdu, kad pageidaujamo pavaros santykio skaitiklis ir vardiklis turi būti apie 1 ir 2 (iš tiesų, yra pastatytas modulio aikštėje, perdavimo funkcija formuoja 2 ir 4 laipsnių privatiems polinOMIALS)

SO Bendros formos formavimo filtro perkėlimo funkcija yra tokia:

,

ir jo modulio kvadratas:

Mes prilyginame gautus santykius:

Aš pateikiu už laikiklį ir tinkamą lygybės dalį, taip prilyginu nulinio laipsnio koeficientus:

,

kai šie lygybė teka iš akivaizdžiai:

; ; ; .

SO Struktūrinė schema atsitiktinio proceso su tam tikrais statistiniais balto triukšmo charakteristikų su vienu spektrinio tankio atrodo, kaip parodyta paveiksle, atsižvelgiant į apskaičiuotas vertes formavimo filtro parametrų.

Baltas triukšmo modeliavimas

Imituoti atsitiktinį procesą su nustatytomis statistinėmis charakteristikomis, baltas triukšmas naudojamas kaip įvesties atsitiktinis procesas į formavimo filtrą. Tačiau tiksli balto triukšmo modeliavimas yra nerealizuotas dėl begalinio šio atsitiktinio proceso dispersijos.

Dėl šios priežasties, kaip baltojo triukšmo pakaitalas, turintis įtakos dinamiška sistema, naudojamas atsitiktinis žingsnis procesas. Intervalas, kuriuo remiantis atsitiktinio proceso realizavimas išlaiko savo vertę nepakitęs (žingsnio plotis, koreliacijos intervalas) yra nuolatinė vertė. Įgyvendinimo įgyvendinimo vertės (žingsnių aukštis) yra atsitiktiniai kintamieji, paskirstyti pagal įprastą teisę su nuliniu matematiniu lūkesčiais ir ribota dispersija. Proceso parametrų vertės - koreliacijos intervalas ir dispersija - nustatomi dinaminio sistemos charakteristikos, kurias veikia baltas triukšmas.

Metodo idėja yra pagrįsta ribota bet kurios tikrosios dinamiškos sistemos pralaidumu. Tie. Nekilnojamojo dinaminio sistemos pelnas mažėja, kai įvesties signalo dažnis didėja, ir todėl yra toks dažnis (mažiau begalinis), už kurį sistemos pelnas yra toks mažas, kad jį galima nulį. Ir tai, savo ruožtu, reiškia, kad įvesties signalas su pastoviu, bet apribojo šiuo dažniu, spektriniu tankiu, nes tokia sistema bus lygi balta triukšmo (su pastoviu ir begaliniu spektriniu tankiu).

Lygiaverčio atsitiktinio proceso parametrai - koreliacijos intervalas ir dispersija apskaičiuojami taip: \\ t

kur yra empiriškai apibrėžta dinaminio sistemos ribinė riba.

Reitingų tikslumas

Matematinių lūkesčių įvertinimai

ir dispersija

atsitiktinis dispersija, pastatyta remiantis riboto jo įgyvendinimo mėginių ėmimu, jie patys yra atsitiktiniai.

Akivaizdu, kad kuo didesnis diegimų pavyzdžio dydis, tuo tikslesnis nesudegusiu vertinimu, tuo artimesnis yra tikroji apskaičiuoto parametro vertė. Žemiau yra apytiksliai formulės, pagrįstos jų įprastu platinimu prielaida. Simmetric santykinai pasitikėjimo intervalas, atitinkantis pasitikėjimo tikimybę, nustatoma pagal vertę, kuriai santykis yra teisingas:

,

kur
- tikroji atsitiktinio kintamojo matematinio lūkesčio reikšmė, \\ t
- Atsitiktinės įvairovės nuokrypis, \\ t
- neatskiriama tikimybė.

Remiantis pirmiau nurodytu santykiu, vertė gali būti nustatoma taip:

,

kur - priešinga funkcija tikimybei integruotai.

Kadangi vertinimo charakteristika nėra žinoma mums, mes pasinaudoti savo apytikslė vertė apskaičiuota naudojant vertinimą:

SO Galutiniai santykiai, jungiantys matematinių lūkesčių ir imties dydžio vertinimo tikslumą, kuris yra įvertintas, yra toks:

.

Tai reiškia, kad pasitikėjimo intervalo dydis (su nuolatine pasitikėjimo tikimybės verte), esanti simetriškai palyginti išreikšta standartinio nuokrypio įvertinimo akcijomis, yra atvirkščiai proporcinga kvadratinei šakniui nuo mėginio dydžio.

Dispersijos vertinimo patikimumo intervalas nustatomas taip pat:

su vertės tikslumu, kuris, nesant tikslesnės informacijos, gali būti maždaug nuo ryšio:

SO Pasitikėjimo intervalo dydis (su nuolatine pasitikėjimo tikimybės verte), esanti simetriškai palyginti palyginti, išreikšta savo akcijomis, yra atvirkščiai proporcinga kvadratinei šakniui nuo vertės, kur - mėginio dydis.

Tiksliau formules konfidencialių vertinimo intervalams formules galima gauti naudojant tikslią informaciją apie atsitiktinio kintamojo paskirstymo įstatymą.

Pavyzdžiui, dėl Gauso platinimo įstatymo, atsitiktinės vertės

paklausti linijos pasiskirstymo įstatymu su laisvės laipsniu ir atsitiktine verte

platinamas įstatymas, taip pat su laisve.

Filtruoti Kalmaną

Judėjimo modelis

Kaip žinoma, "Kalman" filtras yra skirtas įvertinti linijinės dinaminės sistemos būsenos vektorius, kurio evoliucijos modelis gali būti įrašytas į formą:

kur
- Cauchy matrica, nustatant sistemos statuso vektoriaus pakeitimą savo judėjime (be kontrolės ir triukšmo įtakos) nuo laiko iki laiko;
- vektorius, kuris yra ne atsitiktinis poveikis sistemai (pvz., kontrolės įtaka) tuo metu;
- priverstinio poveikio įtakos matrica tuo metu sistemos būsenos vektoriaus metu;
- atsitiktinių nepriklausomų orientuotų įtakos sistemai vektorius tuo metu;
- matrica atsitiktinio poveikio įtakos tuo metu sistemos būsenos vektoriaus metu.

Matavimo modelis

Vertinimas grindžiamas matavimo rezultatų statistiniu apdorojimu, tiesiškai prijungtu prie statuso vektoriaus ir iškraipytų priedo nestabili klaida:

kur - tuo pačiu metu matrica sujungia statusą ir matavimo vektorius.

Pataisa. \\ T

Kalmano filtro pagrindas yra korekcijos santykis, kuris yra sumažinus slopinimo matricos linijinio paskirstymo koncentracijos matricos pėdsaką (per matavimo vektorius) sistemos būsenos vektorinio įvertinimo:

Prognozė

Prognozavimo rodiklių dažnio korekcijos santykis, pagrįstas sistemos sistemos linijinėmis savybėmis:

kur yra vektoriaus kovariacijos matrica, mes gauname pasikartojančio Bajesovskio algoritmo formulę, skirtą apskaičiuoti sistemos būsenos vektorių ir jos kovariacijos matricą, remiantis statistiniu matavimo rezultatų apdorojimu.

Vertinimas. \\ T

Akivaizdu, kad įgyvendinti sumažintus santykius, būtina statyti matricus, nuo evoliucijos modelio, matricos iš matavimo modelio, taip pat kovariacijos matricų ir kiekvieno laiko.

Be to, norėdami inicijuoti skaičiavimo procesą, būtina kažkaip nustatyti a posteriori, arba a priori, įvertinimus statuso vektoriaus ir jos kovariacijos matrica. Terminas "a priori" arba "posteriori" šiuo atveju reiškia tik kokybę, kurioje statuso vektorius ir jo kovariacijos matrica bus naudojamas skaičiavimo algoritme, ir nesako nieko apie tai, kaip jie buvo gauti.

Taigi nustatomas skaičiavimus, iš kurių turi būti pradėtas skaičiavimai, pasirinkimas, kuriuo pradinės filtravimo sąlygos priskiriamos laiko ir pirmojo neperdirbto matavimo vektoriui. Jei laiko akimirkos sutampa, pirmasis turėtų būti taikomas korekcijos rodiklių, kurie leidžia jums paaiškinti pradines sąlygas, jei ne, pirmiausia turite numatyti pradines sąlygas, kad būtų laikomasi pirmojo neperdirbto matavimo vektoriaus privalomo sąlygų.

Paaiškėkime Kalman filtravimo algoritmą naudojant nuotrauką.

Koordinatės ašių skaičiumi (eismo kanale) pavaizduoja keletą galimų fazių vektoriaus trajektorių:

- tikroji fazės vektoriaus raidos trajektorija;
- fazės vektoriaus raida, prognozuojama naudojant judėjimo modelį ir fazės vektoriaus priori vertinimą, nurodyti laiką;
- fazės vektoriaus raida prognozuojama remiantis judesio modelio naudojimu ir a posteriori (tiksli) fazės vektoriaus įvertinimu, priskirta laiko laikui

Koordinatės ašyse (matavimo kanale) tuo metu ir vaizduoja matavimų rezultatus ir:

,

kur
- tikroji matavimo vektoriaus reikšmė tuo metu;
- vektoriniai matavimo klaidos, kurios realizuojamos tuo metu.

Norėdami sukurti korekciją į priori fazės vektoriaus sistemos vektorių, skirtumas tarp matavimo rezultato ir prasmės, kuris buvo matuojamas pagal matavimo modelį užduoties, jei fazės vektorius, iš tiesų, užėmė vertę. Kaip taikant a priori korekcijos rodiklių skaičiavimus, fazės vektoriaus sistemos reitingas šiek tiek nurodys ir vertė bus tiksliau (bent jau laiko kaimynystėje) prognozuoti etapo elgesį Ištyrinėjo dinaminės sistemos vektorius naudojant problemos problemos problemą.

Pasibaigus prognozes rezultatas naudojamas kaip išankstinis vertinimas. Ant trajektorijos, einančio per fazės vektorių, skirtumas skirtumas vėl pastatytas, kai apskaičiuojama a posteriori, net tikslesnė vertė ir kt. Tol, kol yra matavimo vektoriai perdirbimui arba yra poreikis prognozuoti fazės vektoriaus elgesį.

Mažiausiai kvadratinio metodo

Šiame skyriuje pateikiami mažiausiai kvadratų metodas, pritaikytas dinaminių sistemų a posteriori analizei.

Statybos įvertinimai

Linijinio lygių matavimų modelio atveju:

mes turime tokią fazės vektoriaus įvertinimo algoritmą:

.

Dėl nevienodų matavimų atveju matrica, kurioje yra svorio koeficientai dėl svorio koeficientų įstrižai į egzaminą. Atsižvelgiant į svorio koeficientus, ankstesnis santykis bus:

.

Jei naudojame matricą, kad galėtumėte naudoti matricos matavimo matavimo klaidų, tada atsižvelgdami į aplinkybes, kurias gauname:

.

Kaip matyti iš pirmiau minėtų santykių, metodo pagrindas yra matrica, kuri jungia numatomą fazės vektorių, nurodytą tam tikrą laiką, ir matavimo vektorius. Vektorius yra kaip taisyklė, blokų struktūra, kurioje kiekvienas iš blokų yra priskirtas tam tikrą laiką, kuris neatitinka bendrosios bylos.

Šis skaičius rodo tam tikrą tarpusavio laiko tarpusavio tvarką, kuriam matavimai ir laiko momentas, kuriam priskiriamas apskaičiuotų parametrų vektorius.

Kiekvienam vektoriui šis santykis yra teisingas:

, kada

Taigi, gaunant mažesnių kvadratų metodą, vektoriaus ir matricos santykį turi tokią struktūrą:

; .

kur
- nustato ne atsitiktinį generavimo poveikį sistemai;
- nustato atsitiktinį poveikį sistemai.

pirmiau esančios prognozės santykis gali būti naudojamas apibūdinant KALMAN filtravimo algoritmą:

kur yra vektoriaus Covariance matrica.

Cauchy matricos statyba.

Statybos įvertinimų užduotyse Cauchy matricos kūrimo metodai dažnai atsiranda matavimo kūrimo metoduose. Ši matrica jungia sistemos etapo vektorių, priskirtų skirtingiems laiko vietoms, savo iniciatyva.

Mes apsiribojame dabartiniu skirsniu dėl klausimų, susijusių su Cauchy matricos statybos dėl evoliucijos modelio, užregistruoto kaip įprastinių diferencialinių lygčių sistema (linijinė arba netiesinė).

jei naudojami paramos trajektorijos aplinkoje pastatytų proporcingumo matricų pavadinimai:

; .

Matavimo modeliavimas

Problema įvyksta tuo atveju, kai, pavyzdžiui, vertinant potencialiai pasiekiamu tikslumą metodo tam tikra užduotį, jūs neturite jokių matavimo rezultatų. Šiuo atveju matavimo rezultatai reikalingi imituoti. Matavimo matavimo rezultatų modeliavimo funkcija yra ta, kad judesio ir matavimo modeliai, naudojami šiam tikslui, negali sutapti su šiais modeliais, kuriuos naudosite statybos metu naudojant konkretų filtravimo metodą.

Kaip pradinės sąlygos modeliuoti fazės vektoriaus dinaminės sistemos raidą, turėtų būti naudojamos tikros šio vektoriaus koordinatės vertės. Be šios vietos tikros fazės vektoriaus sistemos koordinatės vertės neturėtų būti naudojamos bet kur.

Skaitiniai metodai

Specialios funkcijos

Atsitiktiniai vektoriai

Problema, aprašyta šiame poskirsnyje, yra modeliuoti vektorių koreliuoja tarp Gauso atsitiktinių kintamųjų.

Leiskite, kad atsitiktinis vektorius turi būti modeliavimas, yra suformuoti remiantis standartinių neatitinkančių atsitiktinių raidžių kintamųjų konvertavimo pagrindu: su 4 simbolių tikslumu, jis grindžiamas skilimu į eilės laipsnius argumentas trijuose intervaluose.

Esant asimptotinei eilutei, jis tampa beveik lygus 1.