Kvalitativní analýza dynamických systémů. Stavební fáze portréty DS

Přepis.

1 Kvalitativní analýza dynamických systémů Konstrukce fázových portrétů DS

2 Dynamický systém 2 Dynamický systém Matematický objekt, který odpovídá reálné fyzikální, chemické, biologické, atd. Systémy, vývoj v čase, který kdykoliv časový interval je jedinečně určen počátečním stavem. Takový matematický objekt může být systém autonomních diferenčních rovnic. Vývoj dynamického systému lze pozorovat ve vesmírném prostoru. Diferenciální rovnice jsou řešeny analyticky explicitně. Využití počítačů poskytuje přibližné řešení diferenciálních rovnic na segmentu konečného času, který neumožňuje pochopit chování fázových trajektorií jako celku. Metody kvalitativní studie diferenciálních rovnic proto získávají důležitou roli.

3 3 Odpověď na otázku, jejíž způsoby chování mohou být stanoveny v tomto systému, je možné získat od tzv. Fáze portrét systému souboru všech jeho trajektorií znázorněných v prostoru fázových proměnných (fáze) prostor). Mezi těmito trajektoriemi existuje řada základních, což určuje kvalitativní vlastnosti systému. Jedná se především o rovnovážné body, které splňují stacionární systémové režimy a uzavřené trajektorie (omezující cykly), které splňují periodické režimy oscilace. Ať už je režim stabilní nebo ne, může být posuzován podle chování sousedních trajektorií: stabilní rovnováha nebo cyklus přitahuje všechny blízké trajektorie, nestabilní odpuzuje alespoň některé z nich. Tak, "fázová rovina, rozdělená na trajektorii, dává snadno viditelný" portrét "dynamického systému, to umožňuje okamžitě pokrýt celý soubor pohybů, které mohou vzniknout se všemi druhy počátečních podmínek." (A.a. Andronov, A.a. Witt, S.E. Haikin. Teorie oscilací)

4 Část 1 Kvalitativní analýza lineárních dynamických systémů

5 5 Lineární autonomní dynamický systém Zvažte lineární homogenní systém s konstantními koeficienty: (1) DX AX Axe, DT DY CX DY. DT Souřadnická rovina XOY se nazývá jeho fázová rovina. Prostřednictvím libovolného bodu roviny projde jeden a pouze jedna fázová křivka (trajektorie). V systému (1) jsou možné tři typy fázových trajektorií: bod, uzavřená křivka, poškozená křivka. Bod na fázové rovině odpovídá stacionárnímu roztoku (poloze rovnováhy, bodu klidu) systému (1), uzavřené křivky periodického roztoku a odemknuté neperiodické.

6 rovnovážná rovnováha 6 polohy systému rovnováhy (1) Najdeme řešení systému: (2) sekeru o 0, CX DY 0. Systém (1) má jedinou nulovou rovnovážnou polohu, pokud je determinant systémové matrice: det AD CB 0. CD, pokud det A \u003d 0, pak navíc k nulové rovnovážné poloze, existují i \u200b\u200bjiné, protože v tomto případě má systém (2) nekonečná řešení. Kvalitativní chování fázových trajektorií (typ rovnovážné polohy) je stanoveno přirozenými čísly systémové matrice.

7 Klasifikace bodů zbytků 7 EigenValues \u200b\u200bsystémových matric naleznete, řešení rovnice: (3) 2 λ (ad) λ ad bc 0. Všimněte si, že A + D \u003d TR A (Matrix Trail) a Ad BC \u003d det A. Klasifikace restaintů v případě, kdy je det A 0 zobrazena v tabulce: kořeny rovnice (3) 1, 2 - reálný, jednorázový znak (1 2\u003e 0) 1, 2 - reálné, různé znamení (1 2)< 0) 1, 2 - комплексные, Re 1 = Re 2 0 1, 2 - комплексные, Re 1 = Re 2 = 0 Тип точки покоя Узел Седло Фокус Центр

8 Stabilita zbytků 8 EigenValues \u200b\u200bsystémové matrice (1) určují povahu stability rovnovážných poloh: stav pro reálnou část kořenů rovnice (3) 1. Pokud jsou skutečné části Všechny kořeny rovnice (3) jsou negativní, pak systém odpočinku (1) je asymptoticky stabilní. 2. Pokud je skutečná část alespoň jednoho kořene rovnice (3) pozitivní, pak je místo odpočinku (1) nestabilní. Udržitelný uzel typu a stability, stabilní zaostřovací sedlo, nestabilní uzel, nestabilní zaostření 3. Pokud má rovnice (3) čistě imaginární kořeny, pak bod odpočinku (1) je stabilní, ale ne asymptoticky. Centrum

9 fázové portréty 9 stabilní uzel 1 2, 1< 0, 2 < 0 Неустойчивый узел 1 2, 1 > 0, 2 >

10 fázových portrétů 10 stabilní zaměření 1.2 \u003d I,< 0, 0 Неустойчивый фокус 1,2 = i, > 0, 0 Směr na fázové křivce označuje směr pohybu fázového bodu přes křivku při zvýšení T.

11 fázové portréty 11 sedlo 1 2, 1< 0, 2 > 0 CENTER 1,2 \u003d I, 0 Směr na fázové křivce označuje směr pohybu fázového bodu křivkou při zvýšení T.

12 fázových portrétů 12 Dicritic uzel probíhá pro systémy typu: DX AX, DTY DY AY, DT, když a 0. navíc, 1 \u003d 2 \u003d A. Nestabilní dikritický uzel, pokud a< 0, то узел асимптотически устойчив, если a > 0, pak nestabilní. Směr na fázové křivce označuje směr pohybu fázového bodu podél křivky při zvýšení T.

13 fázových portrétů 13 degenerovaný uzel, pokud 1 \u003d 2 0 a v systému (1) B 2 + C 2 0. Pokud 1< 0, то устойчивый Если 1 > 0, pak nestabilní směr na fázové křivce označuje směr pohybu fázového bodu podél křivky při zvýšení T.

14 Infinite Sada bodů zbytků 14 Pokud det A \u003d 0, pak systém (1) má nekonečnou sadu rovnovážných poloh. V tomto případě jsou možné tři případy: kořeny rovnice (3) 1 1 \u003d 0, \u003d 2 \u003d 2 \u003d 0 Definice systému bodů zbytků (2) je ekvivalentní jedné rovnici druhu x + y \u003d 0 systému ( 2) je ekvivalentní numerické rovnosti 0 \u003d 0 (2) je ekvivalentní rovnici X + Y \u003d 0 geometrické umístění bodů zbytků přímo na fázové rovině: x + y \u003d 0 celá fázová rovina je x + y \u003d 0 Ve druhém případě je jakýkoliv klidný bod odolný vůči Lyapunovovi. V prvním případě, pouze pokud 2< 0.

15 fázových portrétů 15 přímé udržitelné pookry 1 \u003d 0, 2< 0 Прямая неустойчивых точек покоя 1 = 0, 2 > 0 Směr na fázové křivce označuje směr pohybu fázového bodu podél křivky při zvýšení T.

16 fázových portrétů 16 přímé nestabilní body zbytků 1 \u003d 2 \u003d 0 fázových přímých čarů budou rovnoběžné s přímým bodem odpočinku (x + y \u003d 0), pokud je první integrál DY CX DY DX AEST podle rovnice má formulář X + Y \u003d C, kde C je libovolná konstanta. Směr na fázové křivce označuje směr pohybu fázového bodu podél křivky při zvýšení T.

17 Pravidla pro stanovení bodu klidového bodu 17 Můžete určit typ klidového bodu a povahu jeho stability, nenajdete vlastní hodnoty systému matrice (1), a vědět pouze jeho stopu tra a determinant det A. determinant det matice< 0 tra 0 det A 2 tra det A 2 tra det A След матрицы tr A < 0 tr A > 0 tr a.< 0 tr A > 0 tr a.< 0 tr A = 0 tr A > 0 Typ odpočinku Sedo Udržitelný uzel (У) Nestabilní uzel (dobře) Dicritic nebo degenerovaný dicritický nebo degenerovaný dobře odolný zaostření (UV) Stabilní zaostření (NF)

18 Centrum bifurkačního grafu 18 det A det tra a 2 2 UV UV UV nF dobře tr a c e d l o

19 19 algoritmus pro konstrukci fázového portrétu LDS (1) 1. Určete rovnovážné polohy, které vyřeší systém rovnic: sekeru o 0, CX Dy, aby hledali vlastní hodnoty systémové matrice, řešení charakteristické rovnice: 2 λ ( AD) λ AD BC Určete typ klidového bodu a dosáhli závěru o stabilitě. 4. Najděte rovnice hlavní isocin horizontální a vertikální a vybudujte je na fázové rovině. 5. Pokud je rovnovážná poloha těsněním nebo uzlem, najdete ty trajektorie fáze, které leží na přímém průchodu původem souřadnic. 6. Draw fázové trajektorie. 7. Určete směr pohybu fázovým trajektorií, což indikuje jeho šipky na fázovém portrétu.

20 Hlavní izoklines 20 Vertikální isocline (V) Sada bodů fázových rovin, ve kterých tečná, prováděná do fázové trajektorie, rovnoběžně s vertikální osou. Vzhledem k tomu, že v těchto bodech fázových trajektorií x (t) \u003d 0, potom pro LDS (1) má E rovnice formu: sekeru + o \u003d 0. Horizontální isocline (GI) Sada bodů fázového rovinného prostředí Fázová cesta je rovnoběžná s vodorovnou osou. Vzhledem k tomu, že v těchto bodech fázových trajektorií Y (t) \u003d 0, potom pro LDS (1), rovnice je: CX + DY \u003d 0. Všimněte si, že bod zbytku na fázové rovině je průsečík hlavního isocinu. Vertikální izoklin na fázové rovině bude označeny svislé tahy a horizontální horizontální.

21 fázové trajektorie 21, pokud je rovnovážná poloha těsnění nebo uzel, pak existují fázové cesty, které leží na přímcích, procházejících původu souřadnic. Rovnice takového přímého lze podepsat jako * y \u003d k x. Substituce Y \u003d kx na rovnici: DY CX DY, DX AX Axe, aby se stanovila K Získáme: (4) C KD () 0. A BK 2 K BK ADKC Dáme popis fázových trajektorií v závislosti na počtu a multiplicitě kořenů rovnice (4). * Rovnice přímého obsahujícího fázové trajektorie mohou být také podepsány jako x \u003d k y. AK B CK D Potom pro nalezení koeficientů by mělo vyřešit rovnici K.

22 fázové trajektorie 22 kořenů rovnice (4) K 1 K 2 bodový typ sedlo sedlo uzlový uzel fázové trajektorie rovné y \u003d k1 x a y \u003d k 2 x se nazývají separatrices. Zbývající fázové trajektorie jsou hyperboly, pro které jsou nalezeny expenty, jsou asymptotes rovné y \u003d k1 x a y \u003d k 2 x. Zbývající fázové trajektorie tvoří paraboly, které se týkají na začátku souřadnic jednoho z nalezených přímých linek. Fázové trajektorie se týkají této rovné, což je směrováno podél vlastního vektoru odpovídající menší v absolutní hodnotě (kořenová rovnice (3))

23 fázové trajektorie 23 kořeny rovnice (4) k 1 k 2! K 1 Typ klidového bodu Degenerovaný uzel sedlový uzel Popis fázových trajektorií Straight Y \u003d K 1 x. Zbývající fázové trajektorie jsou parabolové větve, které se týkají na začátku souřadnic tohoto přímého rovného * y \u003d k1 x a x \u003d 0 je separatrices. Zbývající fázové trajektorie jsou hyperbolas, pro které jsou přímé linie nalezené jsou Asymptotes rovné * Y \u003d K 1 x a X \u003d 0. Zbývající fázová trajektorie tvoří paraboly, které se týkají na začátku souřadnic jednoho z těch, které byly nalezeny přímé. * Pokud jsou rovnice přímo hledány ve formě X \u003d K Y, pak bude rovný X \u003d K 1 Y a Y \u003d 0.

24 fázových trajektorií 24 kořenů rovnice (4) Krm Typ klidového bodu Dikritický uzel Popis fázových trajektorií Všechny fázové trajektorie leží na rovném y \u003d k x, kr. Pokud je rovnovážná poloha středem, fázové trajektorie jsou elipsy. Pokud je rovnovážná poloha zaostření, pak fázové trajektorie jsou spirály. V případě, že LDS má přímé odpočinkové body, můžete najít rovnice všech fázových trajektorií, řešení rovnice: DY CX DY DX AX s prvním integrovaným X + Y \u003d C a určuje fázovou přímou rodinu.

25 Směr pohybu 25 Pokud je rovnovážná poloha uzlu nebo zaostření, směr pohybu ve fázových trajektoriích je určena jedinečnou stabilitu (na začátek souřadnic) nebo nestabilitu (od původu). Pravda, v případě zaměření, je třeba také nastavit směr kroucení (spřádání) spirálů ve směru hodinových ručiček nebo proti směru hodinových ručiček. To lze provést například. Určete znaménko derivátu Y (t) v bodech osy X. Dy, když CX 0, pokud x 0, pak se zvyšuje ordinace pohyblivého bodu přes fázovou dráhu s průsečíkem "pozitivního paprsku osy". Tak, "kroucení (hubice)" trajektorie se vyskytuje proti směru hodinových ručiček. Když dt dy dt y0 y0 cx 0, pokud x 0, pak "twist (spinning)" trajektorie se vyskytují ve směru hodinových ručiček.

26 Směr pohybu 26 Je-li rovnovážná poloha je střed, směr pohybu fázovými trajektoriemi (ve směru hodinových ručlů nebo proti) může být definován stejným způsobem jako směr "Kroucení (spřádání)" trajektorie je instalován v případu zaměření. V případě "sedla" se pohyb na jednom z jeho separatrix vyskytuje ve směru na začátku souřadnic, na druhém od začátku souřadnic. Ve všech ostatních trajektoriích fází se pohyb dochází v souladu s pohybem na separátech. Proto, pokud je poloha rovnovážného sedla, stačí stanovit směr pohybu na nějakou trajektorii. A pak můžete jednoznačně stanovit směr pohybu ve všech ostatních trajektoriích.

27 Směr pohybu (sedlo) 27 Chcete-li nastavit směr pohybu fázovými trajektoriemi v případě sedla, můžete použít v jednom z následujících metod: 1 způsob, jak určit, který z obou separatrix odpovídá negativnímu souboru. Hnutí na něm dochází k místu odpočinku. 2 Metoda určit, jak abscissa pohybujícího bodu se mění na kterékoli změn separatrix. Například pro y \u003d k 1 x máme: dx (abk1) t sekeru bk1x (bk1) x, x (t) x (0) E. DT YK X 1 Pokud x (t) na T +, pak pohyb podél separátického Y \u003d K 1 x dochází k bodu odpočinku. Pokud x (t) s t +, pak pohyb pochází z místa odpočinku.

28 Směr pohybu (sedlo) 28 3 Způsob, pokud je osa X není separátorem, určit, jak se změní objištění pohybujícího bodu podél fázové dráhy, když je osa X zkřížena. Když dy dt y0 cx 0, pokud x 0, pak pořadí bodu se zvyšuje, a to znamená, že pohyb po fázové trajektorie křížového kladné části osy x, se vyskytuje ze dna nahoru. Pokud snižuje ordinate, pohyb se vyskytuje shora dolů. Pokud určíte směr pohybu podél fázové trajektorie křížení osy Y, je lepší lépe analyzovat změnu v abscisy pohyblivého bodu.

29 Směr pohybu 29 4 Metoda * Konstrukce v libovolném bodu (x 0, Y 0) fázové roviny (odlišné od rovnovážné polohy) Rychlost Vektor: DX DY V, (AX0 By0, Cx0 Dy0). DT DT (x, y) 0 0 je zaměřen a označuje směr pohybu podél fázové dráhy procházející bodem (x 0, Y 0): (x 0, y 0) v * Tento způsob lze použít při určování Směr pohybu fázovým trajektorií pro jakýkoliv typ klidového bodu.

30 Směr pohybu 30 5 Způsob * Určete oblasti "vyrovnání" derivátů: DX DTY DY Ax, CX Dy. Hranice DT těchto oblastí budou hlavními izoklines. Derivátová značka uvádí, jak je ordinát a abscisa pohyblivého bodu přes fázové trajektorie změn v různých oblastech. y y x (t)<0, y (t)>0 x (t)<0, y (t)<0 x x x (t)>0, y (t)\u003e 0 x (t)\u003e 0, y (t)<0 * Этот способ может быть использован при определении направления движения по фазовым траекториям для любого типа точки покоя.

31 Příklad DX DT DY DT 2X 2 Y, X 2Y 1. Systém má jednu nulovou rovnovážnou polohu, protože det A \u003d konstrukce odpovídající charakteristické rovnice 2 6 \u003d 0, najdeme jeho kořeny 1.2 6. V důsledku toho pozice rovnováha sedla. 3. Separátnosti sedadla hledáme Y \u003d kx. 4. Vertikální isocline: X + Y \u003d 0. Horizontální isocline: x 2Y \u003d 0. Roots Real a různé znaky. 1 2K 2 6 K K K K K K K K K 2 2K, 2, 1 2, 22, 2 0, 22.

32 Příklad 1 (Sedlo) 32 Nakreslete na fázové rovině Separatrices Y \u003d K 1 x a Y \u003d K 2 x a hlavní izoklines. Y x Zbytek letadla vyplní trajektorie - hyperbolas, pro které separatrices jsou asymptotes.

33 Příklad 1 (Sedlo) 33 Y x Najdeme směr pohybu podél trajektorií. Chcete-li to provést, můžete definovat znaménko derivátu Y (t) v bodech osy X. S Y \u003d 0, máme: DY DT Y0 x 0, pokud x 0. Proto se snižuje ordinace pohyblivého bodu přes fázovou trajektorii s křižovatkou "pozitivního paprsku X X". To znamená, že pohyb podle fázových trajektorií křížového kladné části osy X se vyskytuje shora dolů.

34 Příklad 1 (Sedlo) 34 Nyní je snadné instalovat směr pohybu na jiných trajektoriích. Y X.

35 Příklad DX 4x2 Y, DT DY X3Y DT 1. Systém má jednu nulovou rovnovážnou polohu, protože det A \u003d konstrukce odpovídající charakteristické rovnice \u003d 0, najdeme jeho kořeny 1 \u003d 2, 2 \u003d 5. Proto rovnovážná poloha je nestabilní uzel. 3. Direct: Y \u003d kx. 1 3K 1 K K K K K KS 4 2K, vertikální Isocline: 2x + y \u003d 0. Horizontální izoklový: x + 3Y \u003d 0.

36 Příklad 2 (nestabilní uzel) 36 Yx Od 1 \u003d 2 je menší než absolutní hodnota, pak nalezení vhodného s vlastním vektoru \u003d (A 1, a 2) T: 4 2 A1 A1 2 A1 A2 0, 1 3 AA 2 \u003d (1,1) T, zjistíme, že zbývající trajektorie fáze tvořící paraboly se vztahují na začátku souřadnic přímého čáry Y \u003d x. Nestabilita polohy rovnováhy jednoznačně určuje směr pohybu z klidového bodu.

37 Příklad 2 (nestabilní uzel) 37 Od 1 \u003d 2 je menší v absolutní hodnotě, pak nalezení vhodného vektoru \u003d (A1, a 2) T: 4 2 A1 A1 2 A1 A2 0, 1 3 AA 2 2 \u003d ( 1,1) T, zjistíme, že zbývající fáze trajektorie tvořící paraboly se vztahují na začátku souřadnic přímky y \u003d x. Nestabilita polohy rovnováhy jednoznačně určuje směr pohybu z klidového bodu. Y X.

38 Příklad DX X 4 Y, DT DY 4X2Y DT 1. Systém má jednu nulovou rovnovážnou polohu, protože det A \u003d konstrukce odpovídající charakteristické rovnice \u003d 0, zjistíme, že je diskriminační D. Od D< 0, то корни уравнения комплексные, причем Re 1,2 = 3/2. Следовательно, положение равновесия устойчивый фокус. 3. Вертикальная изоклина: x 4y = 0. Горизонтальная изоклина: 2x y 0. Фазовые траектории являются спиралями, движение по которым происходит к началу координат. Направления «закручивания траекторий» можно определить следующим образом.

39 Příklad 3 (Udržitelné zaostření) 39 Určete znaménko Y (t) do bodů os X. S Y \u003d 0, máme: DY 4X 0, jestliže x 0. DT Y0 Y tedy, svědčící bod pohyblivého bodu přes fázovou trajektorii s křižovatkou "pozitivního paprsku osy" se zvyšuje. Takže "Twist" trajektorií se vyskytuje proti směru hodinových ručiček. X.

40 Příklad DX X4 Y, DTY DY X Y DT 1. Systém má jednu nulovou rovnovážnou polohu, protože det A \u003d konstrukce odpovídající charakteristické rovnice 2 3 \u003d 0, najdeme jeho kořeny 1.2 \u003d I3. V důsledku toho poloha rovnovážného středu. 3. Vertikální isocline: x 4Y \u003d 0. Horizontální isocline: x y 0. Fáze trajektorie systému elipsy. Směr pohybu na nich lze instalovat například tak.

41 Příklad 4 (střed) 41 Určete znaménko derivátu Y (t) v bodech osy X. Na Y \u003d 0, máme: DY DT Y0 x 0, jestliže x 0. 0. tedy, objetí pohybujícího se bodu podél fázové trajektorie s průsečíkem "pozitivního paprsku osy" se zvyšuje. Takže pohyb elipsy dochází proti směru hodinových ručiček. X.

Příklad 5 (degenerovaný uzel) 42 DX XY, DT DY X3Y DT 1. Systém má jednu nulovou rovnovážnou polohu, protože det A \u003d konstrukce odpovídající charakteristické rovnice \u003d 0, najdeme jeho kořeny 1 \u003d 2 \u003d 2. V důsledku toho rovnovážná poloha je stálý degenerovaný uzel. 3. Direct: Y \u003d kx. 13K K 2 K K K1,2 4. Vertikální Isocline: X + Y \u003d 0. Horizontální isocline: x 3Y \u003d 0.

43 Příklad 5 (degenerovaný uzel) 43 Y x Kreslení izoklines na fázové rovině a přímé obsahující trajektorie. Zbytek letadla je naplněn trajektorií, které leží na větvích paraboly vztahující se k rovině y \u003d x.

44 Příklad 5 (Degenerovaná sestava) 44 Odolnost rovnovážné polohy jednoznačně určuje směr pohybu na začátek souřadnic. Y X.

Příklad DX 4x 2 Y, DT DY 2X Y DT Od determinant matrice systému det A \u003d 0, pak systém má nekonečně mnoho rovnovážných poloh. Všichni leží na přímce y 2 x. Stavět odpovídající charakteristickou rovnici 2 5 \u003d 0, najdeme jeho kořeny 1 \u003d 0, 2 \u003d 5. V důsledku toho jsou všechny rovnovážné polohy odolné vůči Lyapunově. Strukturujeme rovnice zbývajících fázových trajektorií: DY 2X Y DY 1, \u003d, Y X C. DX 4X 2Y DX tedy tedy fázové trajektorie leží na přímém Y X C, C CONST. 2.

46 Příklad Směr pohybu je jedinečně určen stabilitou bodů přímých y 2 x. Y X.

Příklad DX 2 x Y, DTY DY 4x2Y DT, protože determinant matice systému det A \u003d 0, pak systém má nekonečně mnoho rovnovážných poloh. Všichni leží na přímce y 2 x. Od stopy matice TR systému, kořeny charakteristické rovnice 1 \u003d 2 \u003d 0. Proto jsou všechny rovnovážné polohy nestabilní. Stavíme rovnice zbývajících fázových trajektorií: DY 4X 2 Y DY, 2, Y 2 X C. DX 2x Y DX tedy tedy fázové trajektorie leží na přímém Y 2 x C, C CONST a rovnoběžně s přímými místy. Nastavili jsme směr pohybu trajektorií následujícím způsobem.

Příklad Určete znaménko derivátu Y (t) v bodech osy X. Když Y \u003d 0, máme: DY 0, jestliže x 0, 4 x dt y0 0, jestliže x 0. Proto je obrysy pohybujícího bodu podél fázové trajektorie s křižovatkou "pozitivního paprsku X", a "negativní" klesá. Proto se pohyb fázových trajektorií vpravo od přímého bodu zbytku bude vzhůru a doleva od shora dolů. Y X.

49 Cvičení 49 Cvičení 1. Pro určené systémy určete typ a povahu stability rovnovážné polohy. Sestavte fázové portréty. 1. DX 3, 3. DX 2 5, 5. DX X Y X Y 2 x Y, DT DT DT DY DY 6X 5 Y; 2x 2 y; 4x 2 y; DT DT DT 2. DX, 4. DX 3, 6. DX X X Y 2x 2 Y, DT DT DT DY DY DY 2 X Y; x y; x y. DT DT DT Cvičení 2. Za jakých hodnot parametrů AR SYSTEM DX DY 2 AX Y, AY 2AX DT DT má rovnovážnou polohu a je to sedadlo? uzel? soustředit se? Co má systém fázový portrét?

50 nehomogenních LDS 50 Zvažte lineární nehomogenní systém (NLLA) s konstantními koeficienty: DX AX AX (5) DT DY CX DY, DT, když 2 2. Řešení systému rovnic: Axe, CX Dy, odpoví na otázku, zda Systém má (5) rovnovážné polohy. Pokud det A 0, pak má systém jedinou polohu rovnováhy P (x 0, Y 0). Pokud det A 0, pak systém, nebo má nekonečně mnoho rovnovážných poloh bodu přímého směru, určené sekerou + by + \u003d 0 rovnicí (nebo CX + DY + \u003d 0), nebo neexistuje rovnovážná poloha.

51 Konverze NLLLS 51 Pokud má systém (5) rovnovážnou polohu, nahrazením proměnných: XX0, Y Y Y0, kde v případě, kdy systém (5) má nekonečně mnoho rovnovážných poloh, x 0, Y 0 souřadnic jakéhokoliv bodu patřícího do přímých bodů odpočinku, získáme homogenní systém: DAB, (6) DT DC D. DT Zadání fázové fáze X0Y s novým souřadnicovým systémem s centrem v klidovém bodě P, budeme budovat fázový portrét systému v něm (6). Výsledkem je, že na rovině X0Y získáme fázový portrét systému (5).

52 Příklad DX 2x 2Y12, DT DY X 2Y 3 DT Od 2x 2Y 12 0, X3, X 2Y 3 0 Y3, pak DS má jednu rovnovážnou polohu p (3; 3). Nahrazením proměnných X \u003d + 3, Y \u003d + 3, získáme systém: D 2 2, DT 2, z nichž je nulová poloha DT nestabilní a je sedlo (viz příklad 1).

Příklad konstrukce fázového portrétu na rovině P, kompatibilním s rovinou fáze X0Y, protože věděl, které souřadnice má bod P. Y p x

54 fázové portréty NLLLS 54 Při portrétech fáze stavby v případě, že systém (5) nemá rovnovážné polohy, můžete použít následující doporučení: 1. Najděte první integrál DX DY Rovnice, sekeru CX Dy a tak Určete rodinu všech fázových trajektorií. 2. Najděte hlavní isoblin: sekeru o 0 (w), CX Dy 0 (GI). 3. Najděte rovné čáry obsahující fázové trajektorie ve formě Y \u003d KX +. Zároveň najít koeficienty K a, vzhledem k tomu, že C: A D: B, stavět rovnici: Dy (AX by) k. DX Y KX AX (a kb) x b y kx

55 fázových portrétů nlds \u200b\u200b55 Vzhledem k tomu, že exprese (A kB) x b nezávisí na X, pokud A + KB \u003d 0, pak získáme následující podmínky pro nalezení K a: A KB 0, K. b Rovnice lze prohledávat a ve formě X \u003d KY +. Podmínky pro určování K a jsou postaveny podobně. Pokud existuje pouze jedna přímka, je Asymptota pro ostatní trajektorie. 2. Pro stanovení směru pohybu fázovým trajektorií určete oblasti "vyrovnání" správných částí systému (5). 3. Pro určení povahy fázových trajektorů konvexity (convavity) konstruovat derivát y (x) a vytvořit oblasti jeho "zarovnání". Na příklady se budou dívat různé techniky pro konstrukci fázových portrétů.

56 PŘÍKLAD DX DC DY DT 0, 1. Y Po vyřešení rovnice: DX Dy 0 0, 1 Získáme, že všechny fázové trajektorie leží na přímém XC, C R. od Y (t) \u003d 1\u003e 0, pak ordinate pohybujícího se bodu v jakékoli fázové trajektorii se zvyšuje. V důsledku toho se pohyb podle fázových trajektorií vyskytuje zdola nahoru. X.

57 Příklad DX DT DY DT 2, 2. Y Rozhodující rovnice: DY DX 2 1, 2 Získáme, že všechny fázové trajektorie leží na přímém Y X + C, C R. Od Y (t)< 0, то ордината движущейся точки по любой фазовой траектории убывает. Следовательно, движение по фазовым траекториям происходит сверху вниз. x

58 Příklad DX 1, DTY DY X 1. DT Řešení rovnice: Dy X 1, DX 2 (x 1) YC, CR, 2 Získáme, že fázové cesty systému jsou paraboly: osy, jejichž leží na horizontální isoblin x 1 0 a větve se zaměřují nahoru. Od X (t) 1\u003e 0 se zvyšuje abscisa pohyblivého bodu v jakékoliv fázové trajektorii. V důsledku toho se pohyb podél levé větve paraboly vyskytuje shora dolů k průsečíku s přímým horizontálním isoclinem a pak pod ním.

59 Příklad Y Určuje směr pohybu ve fázových trajektoriích, bylo by možné stanovit oblast "vyrovnání" správných částí systému. Y 1 x x "(t)\u003e 0, y" (t)< 0 x"(t) > 0, y "(t)\u003e 0 x 1

60 Příklad DX Y, DTY DY Y 1. DT Vertikální Isocline Y \u003d 0; Horizontální Isocline Y 1 \u003d 0. Zjistíme, zda jsou přímé, které obsahují fázové trajektorie. Budou takové přímé rovnice ve formě Y \u003d kx + b. Od K DY Y, DX YY KX B YKXB YKXB YKXB, pak poslední výraz nezávisí na X, pokud K \u003d 0. Potom pro nalezení B, dostaneme B 1. B tedy na rovné y \u003d 1, fázové trajektorie jsou na lince. Tato příprava je Asymptota na fázové rovině.

61 Příklad bude instrukce, jaký charakter konvexity (konvalifity) má fázové trajektorie vzhledem k ose X. K tomu najdeme derivát Y (X): Y (x)\u003e 0 Y 1 1 "() 1 1, DX DX Y DX yyyy 2 Dydydyxy a definujeme oblasti" alpopulace "výsledného výrazu. V těch oblastech, kde Y (x)\u003e< 0, выпуклость «вверх». y (x) < 0 y (x) > 0 x.

62 Příklad zjištění směru pohybu fázovými trajektoriemi, stanovením oblastí "střídavého" pravých částí DX Y, DTY DY Y 1. DT, hranice těchto oblastí budou vertikální a horizontální isoblin. Přijaté informace jsou dostačující na vybudování fázového portrétu. Y X (t)\u003e 0, y (t)\u003e 0 y (x)\u003e 0 x (t)\u003e 0, y (t)< 0, y (x) < 0 x (t) > 0, y (t)< 0 y (x) > 0 x.

63 Příklad x (t)\u003e 0, y (t)\u003e 0 y (x)\u003e 0 y y x (t)\u003e 0, y (t)< 0, y (x) < 0 x x x (t) > 0, y (t)< 0 y (x) > 0

64 Příklad DX 2, DT DY 2 X Y. DT Horizontální Isocline: 2x y \u003d 0. Zjistíme, zda existují přímé, které obsahují fázové trajektorie. Budou takové přímé rovnice ve formě Y \u003d kx + b. Vzhledem k tomu, DY 2 XY (2 K) XBK, 2 2 DX Y KX podle KX B, pak poslední výraz nezávisí na X, pokud K \u003d 2. Potom pro nalezení B, dostaneme B 2 B 4. 2, dále Rovný y \u003d 2x 4 jsou fázové trajektorie. Tato příprava je Asymptota na fázové rovině.

65 Příklad zjistí, jaký charakter konvexity (konvalifity) má fázové trajektorie vzhledem k ose X. K tomu najdeme derivát Y (X): 2 DYDXYYXXYYYX DX "() DX Definujeme oblasti" alternatosti "výsledného výrazu. V těch oblastech, kde Y (x)\u003e 0, fázové trajektorie mají konvexnost "Dolů" a kde y (x)< 0, выпуклость «вверх». y (x) > 0 y x y (x)< 0

66 Příklad zjištění směru pohybu fázovým trajektorií, identifikující oblasti "střídání" správných částí systému: DX 2, DT DY 2 x Y. DT hranice těchto oblastí bude horizontální isocline. X (t)\u003e 0, y (t)<0 y x (t)>0, Y (t)\u003e 0 x Přijaté informace stačí vybudovat fázový portrét.

67 Příklad Y (x)\u003e 0 y x y y (x)< 0 x x (t)>0, y (t)<0 y x x (t)>0, y (t)\u003e 0

68 Příklad DX X Y, DT DY2 (X Y) 2. DT Vertikální Isocline: X Y \u003d 0; Horizontální isocline: X Y + 1 \u003d 0. Zjistíme, zda jsou přímé, které obsahují fázové trajektorie. Budou takové přímé rovnice ve formě Y \u003d kx + b. Od DY 2 (XY) K 2 2, DX XYXY (1 k) XB YKXB YKXB YKXB, pak poslední výraz nezávisí na X, pokud k \u003d 1. Potom pro nalezení b Dostaneme B 2. B y \u003d x +2 trajektorie fáze lež. Tato příprava je Asymptota na fázové rovině.

69 Příklad Určete, jak abscissa a ordinate pohybujícího bodu přes fázovou trajektorii. K tomu budujeme oblast "zarovnání" správných částí systému. Y x (t)<0, y (t)<0 x (t)<0, y (t)>0 x x (t)\u003e 0, y (t)\u003e 0 Tyto informace budou vyžadovány pro určení směru pohybu podél trajektorií.

70 Příklad prokazující, který charakter boule (konkvanity) má fázové cesty vzhledem k ose X. Chcete-li to provést, najděte derivát Y (X): 2 (XY) () 2 2 ("(" ("(" ("(" ("(" ("(" ("(" ("("), kde Y (x)\u003e 0, fázové trajektorie mají "dolů" konvexnost a kde y (x)< 0, выпуклость «вверх». y (x)> 0 y y (x)< 0 x Полученной информации достаточно для построения фазового портрета. y (x)> 0

71 Příklad 14 (FP) 71 Y Y X Y X X

72 cvičení 72 Stavební fázové portréty pro následující systémy: DX 3x 3, DTY DY 2X Y1; DT DX X, DT DY 2X 4; DT DX X Y 2, DTY DY 2X 2Y1; DT DX 1, DT DY 2 X Y; DT DX DT DY DT DX DT DY DT 2, 4; Y 2, 2.

73 literatura 73 Pontryagin L.S. Obyčejné diferenciální rovnice. M., Filippov A.f. Sběr úkolů podle diferenciálních rovnic. M., Panteleev A.v., Yakimová A.S., Bosov A.v. Obyčejné diferenciální rovnice v příkladech a úkolech. M.: Vyšší. Shk., 2001.

03.03.07 Třídy 4. Existence a udržitelnost rovnovážných poloh lineárních dynamických (Pls) systémů v rovině. Vybudovat parametrický portrét a odpovídající fázové portréty LDS (X, YR, AR):

Seminář 4 Systém dvou obyčejných diferenciálních rovnic (ODU). Fázové roviny. Fázový portrét. Kinetické křivky. Zvláštní body. Stabilita stacionárního stavu. Linearizace systému B.

Matematické metody v ekologii: sbírka úkolů a cvičení / Sost. JEJÍ. SEMENOVA, E.V. Kudryavtseva. Petrozavodsk: Vydavatelství House Petrgu, 005..04.09 Lekce 7 Model "DREDATOR-SAVITICE" TRAYS Volterra 86 (budova

Ruská technologie University of Mirea Dodatečné hlavy vyšší matematiky Kapitola 5. Obaly z odpočinku je věnována modelování dynamických systémů pomocí prvků vyšší matematiky

Systém lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty. Koltsov S.N. www.linis.ru Metoda variace libovolných konstant. Zvažte lineární nehomogenní diferenciální rovnici:

P. Přednáška 3 Stabilita řešení systémů DB Pokud je nějaký jev popsán systémem DX DX DT I \u003d F (T, X, X ... X), I \u003d .. NC počáteční v podmínkách XI (t 0) \u003d x I0, i \u003d .. n, které jsou obvykle

4.04.7 Lekce 7. Stabilita rovnovážných poloh autonomních systémů (metoda lyapunovové linerizace, lyapunovova věta) x "(f (x, y), f, gc (). Y" (g (x, y) vyhledávání Pro rovnovážné polohy p (x *,: f

Semináře 5 a 6 Systém dvou autonomních běžných lineárních diferenciálních rovnic. Fázové roviny. Isoklin. Stavební fáze portréty. Kinetické křivky. Seznámení s programem TRAX. Fáze

Přednáška 6. Klasifikace bodů odpočinku lineárního systému dvou rovnic s trvalými cennými koeficienty. Zvažte systém dvou lineárních diferenciálních rovnic s neustálým platným

Seminář 4 Systém dvou autonomních běžných lineárních diferenciálních rovnic (ODU). Řešení systému dvou lineárních autonomních ODUS. Typy singulárních bodů. Řešení systému lineárních diferenciálních rovnic

Ministerstvo školství a vědy Ruské federace Federální státní vzdělávací instituce vysokoškolského vzdělávání "UFA State Rope Technická univerzita"

Přednáška 1 Prvky vysoce kvalitní analýzy dynamických systémů s nepřetržitým časem na přímém čase zváží autonomní diferenciální rovnici du \u003d f (U), (1) DT, kterou lze použít

Seminář 7 Vyšetřování stability stabilních stavů nelineárních systémů druhé objednávky. Klasický systém V. Volterra. Analytická studie (definice stacionárních států a jejich udržitelnost)

Zvláštní body ve druhém a třetího řádu. Kritéria Stabilita stacionárních stavů lineárních a nelineárních systémů. Plán reakce Definice speciálního středového typu bodu. Určení zvláštního bodu

Praktické třídy na diferenciálních rovnicích Metodický vývojový kompilátor: Prom Salamatian Na základě: AF Philippov Sbírka úkolů podle diferenciálních rovnic Moskev-Izhevsk Nic "

1 Přednáška 2 Systémy nelineárních diferenciálních rovnic. Stavový prostor nebo fázový prostor. Zvláštní body a jejich klasifikace. Podmínky udržitelnosti. Uzel, zaostřování, sedlo, střed, limitní cyklus.

7 pozice rovnováhy lineárních autonomních systémů druhého řádu autonomním systémem pro funkce (t) (t) se nazývá systém diferenciálních rovnic D D () q () (7) DT DT, kde se správné části nezávisí

Ministerstvo školství a vědy Ruské federace Yaroslavl State University. P. G. Demidov Ministerstvo algebry a matematické logiky S. I. Yablokova křivky druhé objednávky části workshopu

Kapitola IV. První integrály systémů ODU 1. První integrály autonomních systémů běžných diferenciálních rovnic v tomto odstavci budou zvážit autonomní systémy formy F X \u003d F 1 x, F N X C 1

Přednáška 9 Linearizace difementálních rovnic Lineární diferenciální rovnice vyšších objednávek Homogenní rovnice vlastností jejich řešení Vlastnost řešení nehomogenních rovnic Definice 9 lineární

Konstrukce integrovaných křivek a fázových portrétů autonomní rovnice s grafem hladké funkce f (U), je možné schematicky konstruovat integrální křivky rovnice du dt \u003d f (U). (1) Budova je založena na

7.0.07 Lekce. Dynamické systémy s nepřetržitým časem rovně. Úloha 4. Sestavte diagram bifurkace a typické fázové portréty pro dynamický systém: D DT Roztok rovnice F (, 5 5,

Teorie stability Lyapunov. V mnoha úkolech, mechanice a technologii je důležité znát konkrétní hodnoty řešení s určitou hodnotou argumentu, ale povahou rozhodnutí řešení při výměně

P. 1 z 17 10.26.2012 11:39 Testování certifikace v oblasti speciality odborného vzdělávání: 010300.62 Matematika. Computer Sciences Discipline: Diferenciální rovnice

Seminář 5 modelů popsaných systémy dvou autonomních diferenciálních rovnic. Studium nelineárních systémů druhé objednávky. Modelu zásobníků. Volterra Model. Ve všeobecné formě modelu popsaného systémem

Seminární diferenciální rovnice prvního řádu. Fázový prostor. Fázové proměnné. Stacionární stav. Stabilita stacionárního stavu Lyapunov. Linearizace systému v okolí

Matematická analýza Sekce: Diferenciální rovnice Předmět: Koncepce stability rozhodnutí DU a řešení systému LEK LEK PAKHOMOVA E.G. 5. Koncepce udržitelnosti řešení 1. Předběžné připomínky

Úkoly s parametrem (grafický recepční řešení) Úvod Použití grafů ve studiu úkolů s parametry je neobvykle efektivní. V závislosti na způsobu jejich použití se rozlišují dva hlavní přístupy.

Ruská technologická univerzita MIREA Další hlavy vyšší matematiky Kapitola 3. Systémy diferenciálních rovnic Práce je věnována modelování dynamických systémů pomocí prvků

Čtvercové rovnice Obsah čtvercových rovnic ... 4. a studium čtvercových rovnic ... 4 .. čtvercová rovnice s numerickými koeficienty ... 4 .. Řešení a zkoumání čtvercových rovnic relativní

7..5, .. 5 lekce ,. Diskrétní dynamické systémy na přímém úkolu studovat dynamiku hustoty obyvatelstva (t) popsaných podle rovnice: T t, CONST. T existují, zda mezi řešení rovnice

Funkce výzkumu a vybudování jeho grafu. Výzkumné položky: 1) oblast odhodlání, kontinuity, parity / oddělení, četnost funkce. 2) Asymptotes grafu funkce. 3) Zeros funkcí, intervaly

Přednáška 16 Úkolem stability rovnovážné polohy v konzervativním systému 1. Lagrange Teorem na stabilitě rovnovážné polohy konzervativního systému může být N o stupních volnosti. Q 1, Q 2,

Křivky druhého řádu kruhu elipsy paraboly hyperbole nechají rovinu nastavit obdélníkový cartianový souřadný systém. Křivka druhé objednávky se nazývá různé body, jejichž souřadnice splňují

Přednáška 1 Diferenciální rovnice prvního řádu 1 Koncepce diferenciální rovnice a jeho řešení k obyčejné diferenciální rovnici 1-tého pořadí se nazývá vyjádření formy F (X, Y, Y) 0, kde

Téma 41 "Úkoly s parametrem" Hlavní formulace úkolů s parametrem: 1) Najít všechny hodnoty parametrů, z nichž každá jsme spokojeni s určitým stavem.) Řešit rovnici nebo nerovnost

Přednáška 3. Fázové nitě v rovině 1. Stacionární body, linearizace a stabilita. 2. Mezní cykly. 3. Bifurace fázových toků v rovině. 1. Stacionární body, linearizace a stabilita.

Přednáška 3 Udržitelnost rovnováhy a pohybu systému při zvažování stálých pohybů rozhořčeného rovnice rozhořčeného pohybu ve formě D DT A Y, kde vektorový sloupec je čtvercová matrice konstantních koeficientů

5. Udržitelnost atraktorů 1 5. Stabilita atraktoru v minulosti sekce jsme se naučili najít pevné body dynamických systémů. Také jsme zjistili, že existuje několik různých typů pevných

4. února, 9 g Praktická okupace Nejjednodušší úkoly kontroly dynamiky populací problému nechte volný vývoj obyvatelstva popsaných v modelu Malthusu n n kde n je počet nebo objem obyvatele biomasy

1) Zajistěte druhou řádovou rovnici křivky druhého řádu x 4x y 0 k kanonické formě a najděte průsečíkové body s rovným x y 0. Proveďte grafické znázornění získaného roztoku. x 4x y 0 x x 1 y 0 x 1 y 4

Kapitola 4 Systémy běžných diferenčních rovnic Obecné koncepty a definice Základní definice Pro popis některých procesů a jevů, několik funkcí je často nutné k nalezení těchto funkcí.

Seminář 9 Lineární analýza stability homogenního stacionárního stavu systému dvou rovnic Reakce difúzi Sestababilita tupačního aktivátoru a inhibitoru Podmínky pro výskyt rozptylových konstrukcí

Přednáška 17 Kritéria Raus Gurwitz. Malé oscilace 1. Stabilita lineárního systému zvažuje systém dvou rovnic. Rovnice rozhořčeného pohybu jsou: DX 1 DT \u003d X + AX \u200b\u200b3 1, DX DT \u003d X 1 + AX \u200b\u200b3,

Ministerstvo školství a vědy Ruské federace Novosibirsk State University Fakulta ústavu vyšší matematiky fyzických fakultních metod pro řešení běžných diferenciálních rovnic.

1. Co je obyčejné diferenciální rovnice a systémy. Koncepce řešení. Autonomní a nealonomické rovnice. Rovnice a systémy objednávky nad prvním a jejich snížením na prvotřídní systémy.

Přednáška 1 Studium pohybu v konzervativním systému s jedním stupněm svobody 1. Základní pojmy. Konzervativní systém s jedním stupněm svobody zavoláme systém popsaný v diferenciálu

KAPITOLA. Stabilita lineárních systémů 8 stupňů s označením + z výsledného následovně, že () π se zvyšuje od na π. Takže termíny φ i () a k () +, tj. Vector (i) φ monotonicky φ se zvyšuje

Fázová rovina pro nelineární autonomní rovnice .. Nastavení problému. Zvažte autonomní rovnici formuláře \u003d f. () Jak víte, tato rovnice odpovídá dalšímu normálnímu systému.

Diferenciální rovnice 1. Základní pojmy Diferenciální rovnice vzhledem k určité funkci se nazývá rovnice, která tuto funkci váže svým nezávislým lakem a jeho deriváty.

Matematické metody v ekologii: sbírka úkolů a cvičení / Sost. JEJÍ. SEMENOVA, E.V. Kudryavtseva. Petrozavodsk: Vydavatelství Petrva, 2005. 2 semestrální lekce. Model "dravce-oběti" zásobníky motoru Volterra Téma 5.2.

Geometrický význam derivátu, tečná 1. Obrázek ukazuje graf funkce Y \u003d f (x) a tečna k němu v bodě s abscisy x 0. Najděte hodnotu funkce derivace f (x) v bodě x 0. Hodnota

Přednáška 23 Konvexnost a údajnost grafu funkce inflexního bodu Graf funkce Y \u003d F (X) se nazývá konvexní v intervalu (a; b), pokud je umístěn pod některým z jeho tangenciálního harmonogramu v tomto intervalu

Kapitola 6 Základy teorie udržitelnosti Přednáška Nastavení problému Základní pojmy byly dříve ukázány, že řešení Cauchyho problému pro normální systém ODU \u003d F, () kontinuálně závisí na počátečních podmínkách, kdy

11/19/15 Lekce 16. Základní model "Brusselter" před počátkem 70. let. Většina chemistů věřila, že chemické reakce nemohly jít do oscilace režimu. Experimentální studie sovětských vědců

Kapitola 8 Funkce a grafické proměnné a vztahy mezi nimi. Dvě hodnoty a jsou volány přímo úměrné, pokud je jejich poměr neustále, tj. Pokud \u003d, kde je konstantní číslo, které se nemění se změnou

Systém školení studentů pro zkoušku v matematice úrovně profilu. (Úkoly s parametrem) Teoretická definice materiálu. Parametr se nazývá nezávislá proměnná, jejíž hodnota je v úvahu

Funkce pro výzkum přednášky a budování její grafiky Abstrakt: Funkce je zkoumána na monotónnost, extremum, konvexnostní convexity, existence asymptotů je uvedena příklad funkce funkcí, postavené

29. Asymptotická stabilita řešení systémů běžných diferenciálních rovnic, oblasti přitažlivosti a metod jejich hodnocení. Teorém v.i. Zubov o hranici oblasti přitažlivosti. V.d.nogin 1 o. Definice

Přednáška 13 Téma: Křivky druhého řádu druhého řádu křivek v letadle: elipsa, hyperbole, parabola. Výstup rovnic druhu křivek na základě jejich geometrických vlastností. Studium formy elipsy,

Schválený viceprektor pro akademické záležitosti a Dovuzovskaya školení A. A. Voronov 9. ledna 2018 Program na disciplíně: Dynamické systémy ve směru přípravy: 03.03.01 "Aplikovaná matematika

Automatizace a telemechanika, L- 1, 2007

Ras b 02.70.-C, 47.ll.-j

© 2007 YU.S. POPKOV, DR. TEHN. Sciences (Institut systémové analýzy Ruské akademie věd, Moskva)

Kvalitativní analýza dynamických systémů s operátorem VD-entropy

Způsob studia existence, jedinečnosti a lokalizace jednotlivých bodů třídy DSECO v úvahu je navržena. Dostal podmínky stability "v malých" a "ve velkém". Příklady použití získaných podmínek jsou uvedeny.

1. Úvod

Mnohé problémy matematického modelování dynamických procesů lze vyřešit na základě konceptu dynamických systémů s operátorem entropie (DSEC). DSEO je dynamický systém, ve kterém není nelinearita popsána parametrickým úkolem maximalizace entropie. Fairo-moiologicky DSECO je model makra systému s "pomalou" self-reprodukcí a "rychlé" alokace zdrojů. Některé vlastnosti DSEO byly zkoumány v. Tato práce pokračuje v cyklu výzkumu kvalitativních vlastností DSECO.

Je zvažován dynamický systém s provozovatelem VD entropie:

^ \u003d £ (x, y (x)), x e

y (x) \u003d a ^ shah (hb (y) | tu \u003d c (x), u e ^)\u003e 0.

V těchto výrazech:

C (x, y), c (x) - nepřetržitě diferencovatelné vektorové funkce;

Entropie

(1.2) Hb (Y) \u003d UZ 1P AZ\u003e 0, S \u003d t ~ t;

T - (G X SH) -matza s prvky ^ 0 má plnou hodnost rovnou R;

Předpokládá se, že vektoru C (x) je nepřetržitě diferencovatelná, sada ^ ^ ^ ^ Tanaches c je kladný paralelebip

(1.3) Q \u003d (C: 0<оТ ^ ц ^ а+} С Е+,

kde A- a A + jsou vektory E +, otázka A- vektor s malými komponenty.

Využití dobře známé reprezentace operátora entropie prostřednictvím Lagrange Multiplikátoři. Systém (1.1) transformujeme na následující formulář:

- \u003d £ (x, y (d)), x e kp, y (g) e na?, G e Eger +

UZ (d) \u003d az ^, 3 \u003d 1,

O (x, d) \u003d tu (g) \u200b\u200b\u003d d (x),

kde gk \u003d exp (-ak)\u003e 0 je exponenciální faktor lagrange.

Spolu s DSEO obecného pohledu (1.1) zvážíme po klasifikaci uvedené v.

DSEO s oddělitelným tokem:

(1-5) ^ \u003d i (x) + w (g),

kde v (p x t) -matze;

DSEO s multiplikativní proudem:

(1.6) ^ \u003d x ® (a - x ® shu (d)), oh

kde w je (p x t) -matze s negativními prvky a vektor s pozitivními komponenty, ® - znamení násobení souřadnic.

Úkolem této práce je studium existence, jedinečnosti a lokalizace singulárních bodů DSEC a jejich stabilitu.

2. Singulární body

2.1. Existence

Zvažte systém (1.4). Skulární body tohoto dynamického systému jsou určeny následujícími rovnicemi:

(2.1) c ^ (x, y (d)) \u003d 0, r \u003d tp;

(2.2) UZ (d) \u003d a ^ g ^, 3 \u003d t ^:

(2.3) vk (d) \u003d ^ az g ^ \u003d dc (x), k \u003d 1, g.

Zvažte při prvním pomocném systému rovnic:

(2,4) c (d, d) \u003d g, d e i

kde mnozí jsem definoval rovnost (1.3) a C (D, D) - vektorová funkce s komponenty

(2.5) SK (D, D) \u003d - OK (D), A-< дк < а+, к =1,г.

Rovnice (2.4) má jedno řešení G * s každým pevným vektorem D, který vyplývá z vlastností operátora VD entropie (viz).

Z definice složky vektoru funkce C (D, D) existuje zjevné hodnocení:

(2.6) C (A +, D)< С(д, г) < С(а-,г), г в Е+. Рассмотрим два уравнения:

Označte řešení první rovnice přes G + a druhý - přes G-. Určit

(2,7) C (A +, Z) \u003d Z, C (A

(2.8) ZMAX \u003d MAX Z +, ZMIN \u003d mm Zk

a dimenzionální vektory

(2.9) Z (Zmax, Zmax), Z (Zmin, Zmin).

Lemma 2.1. Pro všechny Q G Q (1. 3) patří řešení Z * (q) rovnic (2.4), vektoru 1 Summ

zmin.< z*(q) < zmax,

kde Zmin a Zmax vektory určují výrazy (2.7) - (2.9).

Důkaznost věty je uveden v aplikaci. QQ.

qk (x) (1.3) pro x g rn, pak probíhá

Důsledek 2.1. Podmínky LEMMA 2.1 a funkce QK (X) splňují podmínky (1.3) pro letadlo Ex X g RN. Potom v Sech G RM patří Z * rovnice (2.3) do vektoru řez

zmin.< z* < zmax

Vraťme se nyní na rovnice (2.2). které určují komponenty vektorové funkce Y (Z). Prvky jejího Jacobian mají pohled

(2.10) JB AJ ZK JJ &\u003e 0

pro všechny z g r +, s výjimkou 0 a w. V důsledku toho je vektorová funkce Y (Z) striktně monotónní rostoucí. Podle Lemma 2.1 je omezena na níže a shora, tj. Pro všechny z g rr (v důsledku toho pro všechny x g rn) patří jeho hodnoty do sady

(2.11) y \u003d (y:< y < y+},

kde jsou součástí vektorů YK, Y + určeny výrazy:

(2.12) YK \u003d AJ Y + \u003d AJ ZNLAX, J \u003d H ™.

(2.13) bj \u003d y, tsj, 3 \u003d 1,

Zvažte první rovnici v (2.1) a přepište ji ve formě:

(2.14) L (x, y) \u003d 0 pro všechny y e y s e ^.

Tato rovnice určuje závislost proměnné X z proměnné Y, patří

my (1.4) snižuje existenci implicitní funkce x (Y) určená rovnicí (2.14).

Lemma 2.2. Následují následující podmínky:

a) Vektorová funkce L (X, Y) je spojitá sadou proměnných;

b) lim l (x, y) \u003d ±<ж для любого фиксированного у е Y;

c) det j (x, y) \u003d 0 pro slunce ex x e pro všechny upevňovače ann y y y.

Pak existuje jediná implicitní funkce x * (y), definovaná na Y. v tomto lemmě J (X, Y) - Jacobian s prvky

(2.15) Ji, I (x, y) \u003d --i, i, l \u003d l, n.

Důkaz je uveden v příloze. Z výše uvedených lemmatů by měly

Věta 2.1. Předpokládejme, že Lemmas 2.1 a 2.2 jsou splněny. Pak existuje jediný singulární bod DSEC (1.4), a proto (1.1).

2.2. Lokalizace

Pod studií lokalizace singulárního bodu znamená možnost stanovení intervalu, ve kterém se nachází. Tento úkol není příliš jednoduchý, ale pro některé třídy DSECO lze nainstalovat takový interval.

Otočíme se na první skupinu rovnic v (2.1) a představujeme je jako

(2.16) L (x, y) \u003d 0, y y y y +,

kde jsou u- a y + určeny rovností (2.12), (2.13).

Věta 2.2. Nechte vektoru funkci L (X, Y) nepřetržitě diferencovatelná a monotónně se zvyšuje podle obou proměnných, tj.

-\u003e 0, -\u003e 0; i, l \u003d 1, n; J \u003d 1, m. DXI DYJ.

Pak roztok systému (2.16) v proměnné X patří do intervalu (2.17) XMIN X Xmax,

a) Vektory Xmin, Xmax jsou zobrazeny

Min \u003d i x 1 xmax \u003d r x t;

Xmin :. .., xminlxmax ,. . ., Xmax):

xmin - ^ qin ^ ■, xmax - ^ qax ^;

6) X- a X + - komponenty řeší následující rovnice

(2.19) L (x, y -) \u003d 0, l (x, y +) \u003d 0

s oo m je každý.

Důkaznost věty je uveden v aplikaci.

3. Udržitelnost DSEA "U Malom"

3.1. DSEO s oddělitelným proudem se obracíme na DSEO rovnice se oddělitelným tokem, který je prezentuje jako:

- \u003d / (x) + bu (r (x)), x e kp

Y- (g (x)) \u003d azp (x) y33, 3 \u003d 1, "~ 8 \u003d 1

0 (x, g (x)) \u003d tu (r (x)) \u003d d (x), g e ng ,.

Zde hodnotí hodnoty součástí vektorové funkce D (X) patří do sady Q (1.3), (p x w) - sathrition b má plnou hodnost rovnou p (n< ш). Вектор-функция / (х) непрерывно дифференцируемая.

Nechte systém uvažovat o singulární bod w. Studovat stabilitu tohoto singulárního bodu! "Ve mal" budeme budovat linearizovaný systém

kde A - (p x n) -matze, jejichž prvky jsou vypočteny v bodě g a vektoru £ \u003d x - w. Podle první rovnice (3.1) má matrice linearizovaného systému

A \u003d 7 (x) + bug (g) jejich (x), x \u003d g (x),

| 3 \u003d 1, SH, K \u003d 1,

I k \u003d 1, g, i \u003d 1, n

Od (3.1) jsou určeny prvky matice UG: du.

"Lkz p" 8 \u003d 1

3, G8 x8, 5 1, g.

Pro stanovení prvků matrice ZX se obrátíme na poslední skupinu rovnic v (3.1). Ukázalo se, že tyto rovnice určují implicitní vektorovou funkci R (X), která je nepřetržitě diferencovatelná, pokud je vektorová funkce D (X) je nepřetržitě diferencovatelná. Funkce Jacobian ZX Vector R (X) je určena rovnicí

<Эг (z)Zx(Х) = Qx(Х),

vg (x) \u003d t ug (x),

dDK, -T-, - "- k \u003d 1, g, i \u003d 1, n dh \\ t

Z této rovnice máme (3,9) zx (x) \u003d b - 1 (z) qx (x).

Nahrazení tohoto výsledku v rovnosti (3.3). Dostaneme:

A \u003d 1 (x) + p (x), p (x) \u003d vug (g) [tug (g)] - 1 qx (x).

Rovnice linearizovaného systému tak získává zobrazení

(Z.I) | \u003d (j + p) e

Zde se prvky matic J, P počítají v singulárním bodě. Dostatečné podmínky pro stabilitu "v malém" DSEC (3.1) určuje následující

Věta 3.1. DSEO (3.1) má stabilní "malý" singulární bod x, pokud jsou provedeny následující podmínky:

a) Matrix J, P (3.10) lineárního systému (3.11) mají skutečné a různé vlastní hodnoty a matrice j má maximální správné číslo

Ptah \u003d max pg\u003e 0,

Wmax \u003d max ui< 0;

Umax + Ptah.<

Z této věty a rovnosti (3.10) vyplývá, že pro singulární body, pro které QX (X) \u003d 0 a (nebo) pro X, \u003d 0 a (nebo (nebo (nebo (nebo) pro x, \u003d 0, dostatečné podmínky věty nejsou prováděné.

3.2. DSREO s multiplikativní proudem zvážit extrakci (1.6). Představující je ve formě:

X ® (A - X ® WY (Z (X))), X E RN;

yJ (Z (x)) \u003d AJ PZS (X)] ISI "J \u003d 1, M;

(ZL2) YJ (Z (X)) \u003d A ^<~"ts

Q (x, z (x)) \u003d ty (z (x)) \u003d q (x), z e r ++.

systémy. Budu mít:

(3.13) A \u003d ^ [cm] - 2xxH (g ^ x (x).

V tomto výrazu Diag C] je diagonální matrice s pozitivními prvky A1, ..., AU, UG, ZX - matrice, definované rovností (3.4) - (3.7).

Představte si matice A ve formuláři

(3.14) a \u003d diag + p (x),

(3,15) p (x) \u003d -2xwYZ (z) ZX (x).

Označte: MAXI AI \u003d NMAX a WMAX - laskavá vlastní matrice P (x) (3.15). Věta 3.1 je také platná pro DSEC (1.6). (3.12).

4. Udržitelnost DSEO "ve velkém"

Obraťme se k Deso Equations (1.4), ve kterých hodnotu složky vektoru funkce Q (X) patří do sady Q (1.3). V posouzení systému existuje singulární bod Z, což odpovídá vektorům z (x) \u003d z ^ z-\u003e 0 a

y (x) \u003d y (z) \u003d y\u003e y-\u003e 0.

Zavedeme odchylkové vektory £, C, N od singulárního bodu: (4.1) £ \u003d x - X, (\u003d y - y, n \u003d z - z.

A. Pokrovsky A.v. - 2009.

1

Účelem studie je vytvořit logickou metodu superpočítače superpočítače (metoda booleovské omezení) a servisně orientovanou technologii pro vytváření a používání počítačového systému pro kvalitativní studii dynamiky chování autonomních binárních dynamických systémů na finále časový interval. Význam tématu je potvrzen průběžně zvyšujícím se spektrem aplikací binárních modelů ve vědeckých a aplikovaných studiích, stejně jako potřeba kvalitativní analýzy těchto modelů s velkým rozměrem stavového vektoru. Matematický model autonomního binárního systému je zobrazen v posledním časovém intervalu a rovnici rovnocennému tomuto systému. Specifikace dynamické nemovitosti se navrhuje nahrávat predikát logiku v jazyce pomocí omezených kvantifikátorů existence a univerzálnosti. Získá se Booleanovy rovnice pro vyhledávání rovnovážných stavů a \u200b\u200bcyklů binárního systému a jejich podmínky izolace. Hlavní vlastnosti typu dosažitelnosti (dosažitelnost, bezpečnost, současná dosažitelnost, dosažitelnost s fázovými omezeními, přitažlivostí, konektivitou, totální dosažitelností). Pro každý nemovitost je jeho model postaven jako booleovské omezení (Booleanova rovnice nebo kvantifikovaná mléko vzorec), který splňuje logickou specifikaci majetku a rovnic dynamiky systému. Tak, kontrola proveditelnosti různých vlastností chování cest Cesty autonomních binárních dynamických systémů na konečném časovém intervalu se snižuje na úkol hnojiva booleovských omezení pomocí moderních SAT a TQBF. Demonstrace příkladu použití této technologie je uveden pro ověření proveditelnosti některých dříve zobrazených vlastností. Závěr uvádí hlavní výhody metody Booleovské omezení, vlastnosti implementace softwaru v rámci služby orientovaného na servis a označuje směry dalšího vývoje metody pro jiné třídy binárních dynamických systémů.

binární dynamický systém

dynamická vlastnost

kvalitativní analýza

booleovské omezení

Úkol býka proveditelnosti

1. BIEERE A., Ganesh V., Grohe M., Nordstrom J., Williams R. Teorie a praxe SAT Řešení. Dagstuhlové zprávy. 2015. sv. 5. Ne. 4. R. 98-122.

2. Marin P., Pulina L., Giunchiglia E., Narizzano M., Tacchella A. Dvanáct let hodnocení QBF: Qsat je PSPACE-HARD a to ukazuje. Fundam. Informovat. 2016. sv. 149. R. 133-58.

3. Bochman D., Poshof H. Binární dynamické systémy. M.: Energoatomizdat, 1986. 400 p.

4. Maslov S.yu. Teorie deduktivních systémů a její aplikace. M.: Rádio a komunikace, 1986. 133 p.

5. JHALA R., Majumdar R. Kontrola softwaru. ACM computing průzkumy. 2009. sv. 41. Ne. 4. R. 21: 1-21: 54.

6. Vasilyev S.N. Snížení metody a kvalitativní analýza dynamických systémů. I-II // Zprávy o Ruské akademii věd. Systémy teorie a kontroly. 2006. Ne. 1. P. 21-29. Ne. 2. P. 5-17.

7. Formát DIMACS [Elektronický zdroj]. Režim přístupu: http://www.cs.utexas.edu/users/moor/acl2/manuals/current/manual/index-seo.php/satlink__dimacs (datum manipulace: 07/24/2018).

8. Standard QDimacs [Elektronický zdroj]. Režim přístupu: http://qbflib.org/qdimacs.html (datum manipulace: 07/24/2018).

9. Delgado-Eckert E., Reger J., Schmidt K. Diskrétní časové systémy s dynamikou založenou na událostech: nedávný vývoj metod analýzy a syntézy. Mario Alberto Jordánsko (ed.). Diskrétní časové systémy. INTECH. 2011. R. 447-476.

10. Vasilyev S.N. Dosivatelnost a připojení v automatické síti s obecným pravidlem státního přepínání // Diferenciální rovnice. 2002. T. 38. Č. 11. P. 1533-1539.

11. Bychkov I.v., Oparin G.A., Bogdanova v.G., Gorsky S.A., Pashinin A.a. Multiagenetická technologie pro automatizaci paralelních řešení Booleanových rovnic v distribuovaném výpočtovém prostředí // výpočetní techniky. 2016. T. 21. Č. 3. P. 5-17.

12. LONSING F., BIEEE A. DEPQBF. Řešitel QBF závislostí. Časopis o splnění. Booleovské modelování a výpočet. 2010. VOL. 9. R. 71-76.

13. OPARIN G.A., BOGDANOVA V.G., PASHININ A.A., GORSKY S.A. Distribuovaná řešitelé aplikovaných problémů založených na mikroservicích a agentských sítích. Proc. 41. stáže. Úmluva o informačních a komunikačních technologiích, elektronice a mikroelektronice (MIPRO-2018). R. 1643-1648.

14. Bogdanova v.g., Gorsky S.A. Škálovatelné paralelní řešitele problémů s podmínkami spokojenosti. Proc. 41. stáže. Úmluva o informačních a komunikačních technologiích. Elektronika a mikroelektronika (MIPRO-2018). R. 244-249.

15. Bychkov I.v., Oparin G.A., Bogdanova v.G., Pashinin A.a. Aplikované problémy Řešení technologií na základě modelu distribuovaného výpočtového předmětu Doména Model: Decentralizovaný přístup // Paralelní výpočetní techniky XII Mezinárodní konference, Pavt'2018, Rostov-on-Don, duben 2-6, 2018 krátké články a popisy plakátů. Chelyabinsk: Vydavatelství, Suursu, 2018. C. 34-48.

Spektrum binárních dynamických modelů je extrémně široký a každý rok počet objektů a úkolů, kde je požadováno jejich použití, pouze se zvyšuje. Klasickým příkladem je binární synchronní stroj, který je modelem mnoha diskrétních zařízení v řídicích systémech, výpočetní techniky, telemechanice. Moderní aplikace binárních dynamických modelů zahrnují objekty bioinformatiky, ekonomie, sociologie a řady druhých, zdálo by se vzdálené od použití dvoumístných proměnných, oblastí. V tomto ohledu podstatným rozsahem zvyšuje význam rozvoje nových a zlepšuje stávající metody kvalitativní analýzy chování trajektorií binárních dynamických systémů (DDS).

Jak víte, cílem vysoce kvalitní analýzy dynamického systému (nejen binární) je získat pozitivní nebo negativní odpověď na otázku: Má být požadovaná dynamická vlastnost prováděna v daném systému? Parafrázují tuto otázku následujícím způsobem: dělá chování trajektorií dynamického systému určité sady omezení charakterizující nemovitost? Dále použijeme tento konkrétní interpretaci cíle kvalitativní analýzy dynamických vlastností systému.

Pro DDS, jehož fungování je považováno za konečný časový interval, tato omezení jsou boolean a jsou zaznamenány v jazyce booleanových rovnic nebo boolean vzorců s kvantifikátory. První typ omezení vede k potřebě vyřešit Úkol SAT (úkol proveditelnosti tyran); Druhý typ omezení je spojen s řešením problému TQBF (ověření pravdy kvantifikovaných booleanových vzorců). Prvním úkolem je typický zástupce třídy Složitosti NP a druhým úkolem je třída složitosti PSPACE. Jak víte, PSPace-plnost diskrétního problému poskytuje silnější důkaz o jeho vzestupnosti než úplnost NP. Z tohoto důvodu je výhodnější snížení úkolu kvalitativní analýzy DDS do problému SAT, je výhodnější než snížit úkol TQBF. Obecně lze studium ne každý majetek DDS podat v jazyce Booleanových rovnic.

Teoretická možnost využití booleovských omezení (konkrétně Booleovské rovnice) ve vysoce kvalitní analýze DDS byla poprvé prokázána v práci. Je však třeba poznamenat, že je třeba poznamenat, že použití tohoto přístupu v praxi, zatímco nepřítomnost účinných algoritmů a programů pro řešení Booleanových rovnic (zejména s velkým počtem neznámých proměnných), které umožňují výrazně snížit hledat místo. V posledním desetiletí, v důsledku intenzivních studií, dostatečné množství různých účinných sborů booleanových rovnic (sat-solvers) s použitím moderních úspěchů (nová heuristika, rychlé datové struktury, paralelní výpočty atd.) Při řešení proveditelnosti tyran Problém se objevil. Podobné procesy (ale s některými zpožděním) jsou také pozorovány v oblasti vytváření efektivnějších algoritmů a programů pro řešení problému TQBF. V současné době existují veškeré nezbytné předpoklady pro systematický vývoj metody Booleovské omezení ve vysoce kvalitní analýze DDS, jeho implementace programu a aplikace při řešení vědeckých a aplikovaných úkolů.

Kromě metody Booleovských omezení se vztahují i \u200b\u200bjiné metody vysoce kvalitní analýzy také na DDS, která zahrnuje deduktivní analýzu, metodu kontroly modelu a redukce. Každá z těchto metod (včetně způsobu booleovské omezení) má svá omezení, výhody a nevýhody. Obecným znevýhodněním je, že všechny metody jsou rozbité a problém řezání je zásadní pro tyto metody.

Význam deduktivní analýzy znamená použití axiomů a závěrských pravidel pro prokázání správnosti fungování systému, je uznávána jako široká škála specialistů, ale to je pracné, a proto zřídka aplikovaná metoda. V metodě Kontrola modelu, specifikace specifikace jazyka používá jazyk časové logiky, která je nesprávná pro automatické dynamiky specialisty. Metoda redukce je spojena se stavbou zjednodušeného (v určitém smyslu) modelu zdrojového systému, studiu jeho vlastností a podmínkám pro přenositelnost těchto vlastností do původního komplexního systému. Podmínky tolerance vlastností jsou pouze dostatečný charakter. Jednoduchost myšlenky způsobu snížení vysoce kvalitní analýzy DDS čelí problému výběru zjednodušeného systému, který splňuje všechny podmínky metody.

Praktické využití metody Booleovské omezení zahrnuje algoritmizaci a automatizaci následujících procesů:

1) rozvoj specializovaného systému orientovaného na logické jazykové systémy specifikace dynamických vlastností;

2) výstavba modelu dynamického vlastnictví ve formě booleanového omezení typu jednoho typu, který splňuje logickou specifikaci majetku a rovnic dynamiky binárního systému;

3) představující získaný model v mezinárodních formátu DIMACS nebo QDIMACS;

4) výběr (vývoje) účinného paralelního (distribuovaného) řešitelního úkolu pro proveditelnost booleovských omezení (SAT nebo TQBF řešitel);

5) Vývoj instrumentálních prostředků vytváření softwarových služeb;

6) Vývoj služeb pro vysoce kvalitní výzkum různé dynamické vlastnosti DDS.

Účel Tato studie je řešení pouze prvních dvou úkolů ve vztahu k algoritmizaci vysoce kvalitních studií autonomních (bez kontrolních vstupů) synchronních DDS. Takové systémy v anglickém jazyce publikace se nazývají synchronní sypké sítě (Booleovská síť). Další aspekty aplikace metody Booleovské omezení (včetně DDS s kontrolními vstupy) jsou předmětem následujících publikací.

Matematický model autonomních DDS

Nechť x \u003d bn (b \u003d (0, 1) je množstvím binárních vektorů dimenze n (prostor stavů dd). Via t∈t \u003d (1, ..., k) označujeme diskrétní čas ( Číslo hodin).

Pro každý stav x0∈x, nazvaný počáteční stav, definujeme trajektorii x (t, x0) jako poslední sled stavů x0, x1, ..., xk ze sady x. Dále zvažujeme dds, ve které Každý pár sousedních stavů XT, X (T - 1) (T∈t) trajektorie spojené s postojem

xt \u003d f (xt - 1). (jeden)

Zde F: X\u003e X - Vektorová funkce logické algebry, nazvanou funkci přechodu. Pro všechny X0∈X, systém booleanových rovnic (1) představuje model dynamiky chování trajektorií DDS ve stavovém prostoru v konečném časovém intervalu T \u003d (1, 2, ..., K ). HODNOTA K V DEFINICE SETT T se předpokládá, že je definovaná konstanta. Toto omezení je poměrně přirozené. Faktem je, že s kvalitativní analýzou chování trajektorií DDS, praktický zájem je otázkou toho, co lze říci o proveditelnosti všech dynamických vlastností na pevném, ne příliš velkém k. Volba K v každém případě se provádí na základě priori informací o délce procesů v simulovaném diskrétním systému.

Je známo, že systém booleanových rovnic (1) s počátečním stavem x0∈x pro t \u003d (1, 2, ..., k) je ekvivalentní jedné boolské rovnici typu

Při k \u003d 1 (považuje se pouze jednostupňové přechody) Rovnice (2) získává zobrazení

(3)

Řešení této rovnice určují směrový graf sestávající z 2N vrcholů označených jedním z 2n stavů SET X. Vertices X0 a X1 grafu jsou připojeny obloukem směřujícím ze stavu X0 do stavu X1. Takový graf v teorii binárních automatů se nazývá přechodový diagram. Zastoupení chování DDS ve formě přechodového grafu je velmi jasně jak v konstrukci trajektorií a studium jejich vlastností, ale je prakticky realizováno pouze pro malé rozměry n vektoru stavu X∈x.

Jazykové nástroje Specifikace dynamických vlastností

Je vhodné nastavit specifikaci dynamického vlastnictví v jazyce formální logiky. Po práci označujeme X0∈X, X1∈x, X * ∈x - sadami počátečních, přípustných a cílových stavů.

Hlavní syntaktické prvky logického vzorce dynamické vlastnosti jsou: 1) Proměnné předmětu (komponenty vektorů X0, X1, ..., XK, čas t); 2) Omezené kvantifikátory existence a univerzálnosti; 3) Logické svazky V, &; Konečné vzorce. Závěrečný vzorec představuje souhlas příslušnosti některých stavů sady trajektorií X (T, X0) (X0∈x0) odhadovanými množinami X * a X1.

Je třeba poznamenat, že použití omezených kvantifikátorů existence a univerzálnosti poskytuje typ dynamických vlastností pro specialistu pro specialistu. V procesu budování booleovského modelu pro systém (1) jsou omezené kvantifikátory nahrazeny obvyklými podle následujících definic:

kde a (y) je predikát, který omezuje hodnotu proměnné y.

Na základě končetin změny změny proměnné T, omezené kvantifikátory existence a univerzálnosti na této proměnné se nahrazují ekvivalentním vzorcem, které neobsahují kvantifikátory

V budoucnu předpokládáme, že prvky sad X0, X1, X * jsou určeny nulami z následujících booleanových rovnic

nebo charakteristické funkce těchto sad.

S ohledem na omezení počátečních stavů G0 (x) \u003d 0, spolu s rovnicemi (2, 3), použijeme následující Booleanovy rovnice ke snížení vstupu:

(4)

Předběžná analýza kvality autonomních DDS

Na fázi před analýzou lze nalézt rozvětvení státu (mnoho z jeho bezprostředních předchůdců) (v případě potřeby), přítomnost rovnovážných stavů a \u200b\u200buzavřených trajektorií (cyklů).

Stav X1 IN (3) se nazývá Státní následovník X0 a X0 je předchůdcem stavu X1. V autonomních DDS má každý stát pouze jeden následovník a počet prekurzorů tohoto stavu se může lišit od nuly na 2n - 1. Všechny přímé prekurzory X0 States S∈X jsou nuly booleanových rovnic

Pokud nemá rovnice (6) žádná řešení, pak noví předchůdci chybí.

Rovnovážné státy (pokud existují) jsou rozhodnutí Booleanových rovnic

Trajektorie X0, X1, ..., XK se nazývá délkový cyklus, pokud stavy X0, X1, ..., XK-1 jsou ve dvojicích se liší od sebe a xk \u003d x0. Cyklická sekvence délky K (pokud existuje) je řešením Booleovské rovnice

kde \u003d 0 ( ) - Podmínky dvojnásobného rozdílu v sadách stavů C cyklu smyčka. Pokud nemá žádný stav cyklu předchůdci, které nepatří do sady C, pak se takový cyklus nazývá izolovaný. Nechte prvky S nastavit C jsou určeny roztokem Boolean z GC rovnice (S) \u003d 0. Potom se snadno ukazuje, že stav izolace cyklu je ekvivalentní absenci nul v příštím bulev rovnici:

Řešení rovnice (7) (pokud existují) určují stavy cyklu, které mají předchůdci, které nepatří do souboru C.

Vzhledem k tomu, že rovnovážný stav je cyklus délky k \u003d 1, stav jeho izolace je podobný izolačnímu stavu s K ≥ 2, rozdíl je, že GC (S) má formu kompletního disjunkce, která určuje tento rovnovážný stav .

Neinsulované rovnovážné podmínky a cykly budou i nadále volat atraktory.

Specifikace dynamických vlastností, jako je dosažitelnost

Hlavní vlastnost DDS, potřeba kontroly, která je nejčastěji vznikající v praxi, je tradičně studována v teorii grafů (v našem případě, takový graf je přechodovým schématem) majetku dosažitelnosti a jejích různých variant. Dospokojivě je definována jako klasický úkol analyzovat chování trajektorií DDS.

Definice této vlastnosti je spojena s definicí souborů sad X0, X *, X1 (odpovídající těmto sadám Booleanových rovnic). Předpokládá se, že pro nastavení X0, X *, X1 Limit

Na základě limitu souboru t, majetek dosažitelnosti a jeho variace dále bude chápána jako majetek praktické dosažitelnosti (dosažitelnost pro konečný počet hodin). Jsou považovány za následující vlastnosti typu dosažitelnosti:

1. Hlavní vlastnost dosažitelnosti množiny X * ze sady X0 je formulována následovně: Jakákoliv trajektorie vydaná z množství počátečních stavů X0 dosáhne cílové sady X *. Použití omezených kvantifikátorů existence a univerzálnosti má vzorec této vlastnosti formulář:

2. Vlastnost zabezpečení zajišťuje jakoukoli trajektorii uvolněnou z X0, nepozorovanou sadu X *:

3. Vlastnost simultánní dosažitelnosti. V některých případech může být nastaven více "tvrdého požadavku", což je, že každá trajektorie dosáhne cílové sady přesně na K (K∈t):

4. Majetek dosažitelnosti s fázovými omezeními:

Tato vlastnost zajišťuje, že všechny trajektorie vyrobené ze sady X0, až do bodu v cílové sadě X * jsou v sadě X1.

5. Přitažlivost nemovitostí. Nechť x * být atraktor. Pak se logický vzorec majetku přitažlivosti shoduje se vzorcem hlavního majetku dosažitelnosti:

ty. Pro každou trajektorii uvolněnou ze sady X0, je čas na čas t∈t, od kterého trajektorie nechodí za soubor x *. Sada X0 v tomto případě patří do části přitažlivosti plochy sady X * (X0∈XA, kde XA je celá oblast atrakce (bazén) atraktoru).

Všimněte si, že všechny proměnné ve výše uvedených vlastnostech jsou ve skutečnosti připojeny, protože trajektorie X0, X1, ..., XK je plně určen počátečním stavem. Vzhledem k tomu, že kvantifikátory v proměnné t jsou nahrazeny provozem víceúčelových disjunkcí nebo spojení odpovídajících predikcí, každá ze vzorců zůstává jediným omezeným kvantifikátorem univerzálnosti (), který vám umožní zapsat podmínky pro proveditelnost těchto Vlastnosti v jazyce Booleanových rovnic (jako úloha SAT).

Dejte nám dvě vlastnosti, jejichž kontrola vede k potřebě vyřešit problém TQBF.

6. Vlastnost cílové sady:

ty. Existuje počáteční stav X0∈X0 tak, že každý cílový stav x * ⊆x * v určitém bodu t∈t je dosažitelný, což znamená existenci odpovídajícího stavu trajektorie, takže všechny cílové stavy x * ∈x * patří k této trajektorii.

7. Vlastnost celkové dosažitelnosti sady X * od X0:

ty. Každý cílový stav je dosažitelný od X0.

Zkontrolujte dynamické vlastnosti

Pro vlastnosti (1-5) je ověřování jejich proveditelnosti sníženo na hledání nulů Booleanových rovnic, jehož tvorba technologie je standardizována a je podrobněji považována pouze za hlavní majetek dosažitelnosti. Vlastnosti (6, 7) vedou k úkolu ověřit pravdu kvantifikovaného booleovského vzorce.

1. Hlavní vlastnost dosažitelnosti. Jeho logický vzorec má formulář

S přihlédnutím k (4) píšeme vzorec (8) jako

kde je charakteristická funkce souboru stavů trajektorie uvolněna z počátečního stavu X0∈x0. Zbavte se kvantitora existence v (9). Pak budeme mít

kde - charakteristická funkce sady x *. Vyměňte omezené kvantifikátory univerzálnosti běžným kvantifikátorem. V důsledku toho se dostaneme

Formula (10) je tedy pravdivý a pouze tehdy, pokud je to identicky skutečná exprese subversion, tj.

Identifikační pravda o důsledku znamená, že Booleovská funkce je logickým důsledkem funkce, tj. Jakákoliv trajektorie s počátečním stavem x0∈x0 dosáhne cílové sady x *.

Proveditelnost totožnosti (11) je ekvivalentní absenci nul na bulevských rovnicích

Po obdržení (12) jsme se zbavili implikace a nahrazeny φ * (x0, x1, ..., xk) . Pokud má rovnice (12) alespoň jedno řešení, pak nemovitost dosažení nemá místo. Takové řešení představuje (v určitém smyslu) protiexample pro testovací vlastnost a může pomoci výzkumníkovi identifikovat příčinu chyby.

Dále pro prezentaci prezentace pro každý majetek (2-4) bude zapisovat pouze rovnice typu (12), která nabízí čtenáře, aby nezávisle reprodukovaly nezbytné odůvodnění v blízkosti těch, které byly stanoveny pro hlavní majetek dosažitelnosti.

2. Bezpečnostní vlastnost

3. Vlastnost simultánní dosažitelnosti

4. Majetek dosažitelnosti s fázovými omezeními

5. Přitažlivost nemovitostí. Rozhodnost této vlastnosti je kontrolována ve dvou fázích. V první fázi se ukázalo, zda je sada atraktorů X *. Pokud je odpověď pozitivní, pak je zaškrtnuto hlavní vlastnost dosažitelnosti. Pokud X * je dosažitelný od X0, pak jsou provedeny všechny podmínky vlastnosti přitažlivosti.

6. Přípojka propojení

7. Celková vlastnost dosažitelnosti "

Pro vlastnosti (6, 7), skalární forma rovnosti dvou booleanových vektorů XT \u003d X * má vzhled

Dokážeme výše uvedenou technologii vysoce kvalitních autonomních DDS analýzy pomocí metody booleovských omezení při kontrole proveditelnosti některých výše uvedených vlastností pro model 3.2 z práce:

Označte x0∈x \u003d b3, počáteční stav modelu (13). Nechť t \u003d (1, 2). Odpuzujeme vlastnosti potřebné pro specifikaci funkce jednorázového a dvoustupňového přechodu modelu (13):

(14)

kde je znamení ". Je indikována operace spojení.

Chcete-li zkontrolovat provedení každé vlastnosti, počáteční (X0) a cílových (X *), definovaných nulami rovnic G0 (x) \u003d 0, G * (x) \u003d 0 nebo charakteristické funkce těchto sad (viz odstavec 2). Jako SAT je řešitel používán jako instrumentální komplex (IR) rebus a řešitel tqbf je depqbf. Kódování proměnných v booleanových modelech uvažovaných pod vlastnostmi pro tato řešadla je uvedena v tabulce. 1, Booleovské modely těchto vlastností v formátech DIMACS a QDIMACS jsou umístěny v tabulce. 2.

stůl 1

Kódující proměnné

Variabilní číslo v Booleovském modelu

Nemovitost 1.

Majetek 2.

Majetek 3.

Majetek 4.

Nemovitost 5.

Tabulka 2.

Booleovské vlastnosti Model

Nemovitost 1.	Majetek 2.	Majetek 3.	Vlastnost 4 (a)	Majetek 4 (b)	Nemovitost 5.
					e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 4 -5 -6 7 -8 -9 -10 11 12 0 4 5 6 -7 8 9 10 -11 -12 0

1. Základní vlastnost dosažitelnosti (k \u003d 2). Nechť x0 \u003d (x∈x: x1 \u003d 0), x * \u003d (x∈x: x1 \u003d 1). Počáteční a cílová sada jsou určena rovnicemi G0 (x) \u003d x1 \u003d 0 a. Booleo rovnice (12) v tomto případě získává

kde je funkce φ (x0, x1, x2) definována v (14). Rusher IR Rebus dává odpověď "unsat" (rovnice nemá nuly), takže dosažitelnost x * od x0 se provádí, což je jasně vidět z následujícího přechodového grafu zobrazeného na obrázku.

2. Cykly délky k \u003d 2. cyklický posloupnost délky 2 (pokud existuje) je roztokem booleovské rovnice

Funkce má zobrazení

Exprese R (X0, X1), když cyklus nebyl zařazen do rovnice, protože cykly délky K \u003d 1 (rovnovážné stavy) v modelu (13) chybí. S pomocí IR Russel, byly získány dvě odpovědi (v DIMACS výstupní formát): 1 2 3 4 5 -6 0 a 1 2 -34 5 6 0, což odpovídá cyklickým sekvencím (obrázek): ((1 1 1 1) ), (1 1 0)) a ((1 1 0), (1 1 1)). Sady států obou cyklů se shodují, což znamená přítomnost v modelu (13) jednoho cyklu délky k \u003d 2.

Schéma přechodu systému (13) \\ t

3. Vlastnost izolace cyklu. Pokud jsou prvky S sady stavů C cyklu délky k \u003d 2 určeny roztokem Booleovské rovnice GC (S) \u003d 0, stav izolace cyklu je ekvivalentní absenci nulů v dalším BULEV rovnice:

Protože c \u003d ((1 1 1) (1 1 0)) máme

Pro tuto rovnici se rozpouštědlo IR rebus zjistí dvě roztoky: -1 2 3 4 5 -6 0 a -1 2 -3 4 5 -6 0 (v binárních reprezentaci podle kódování proměnných v tabulce. 1 Jsou páry států (0 1 1), (1 1 0) a (0 1 0), (1 1 0)). Stav cyklu (1 1 0) má tedy dva předchůdce, (0 1 1) a (0 1 0), který není vlastněn souborem cyklu států. To znamená, že vlastnosti izolace cyklu nejsou prováděny, tj. Tento cyklus je atraktor.

4. Přitažlivost nemovitostí. Nechť x * \u003d c je atraktor. Logický vzorec vlastnosti přitažlivosti se shodují se vzorcem hlavního vlastnictví dosažitelnosti

a odpovídající booleovské rovnice pro náš případ má formulář

Odpuzujeme funkce G0 (X0), φ (X0, X1, X2) a. Funkce φ (x0, x1, x2) je uvedena v (14). Pro x * \u003d c je výraz rovný. Zvažte dva varianty nastavení souboru počátečních stavů X0, pro případy provedení (A) a nedodržení (b) vlastnosti přitažlivosti pro K \u003d 2 hodiny.

A. Nechat. Pak

V tomto případě je odpověď "unsat" vydána pro Booleovskou rovnici (15). Vlastnost přitažlivosti pro danou sadu X0 se provádí.

B. Nechte. Pak

V tomto případě, IR Rebus pro rovnici (15) najde roztok: 1 -234 -5 -6 -7 8 9 0, což odpovídá trajektorii ((1 0 1), (1 0 0), (0) 1 1). Tato trajektorie s počátečním stavem x0 \u003d (1 0 1) pro dva hodiny nedosahuje sady X * \u003d C, což znamená neprovádění vlastností atrakce pro zadané X0.

5. Vlastnost připojení. Vlastnosti logického vzorce konektivity má vzhled následujícího příkazu:

Pro k \u003d 2 φ * (x0, x1, x2) \u003d g0 (x0) ∨φ (x0, x1, x2), kde je funkce φ (x0, x1, x2) uvedena v (14). Jako počáteční zvolte stav (1 0 1). Pak. Nechte cíl nastavit x * \u003d ((0 1 1), (1 0 0)). V tomto případě má funkce g * (x *) vzhled

Píšeme g * (x *) ve formátu CNF:

Pomocí zákona de Morgana najdeme odmítnutí funkce φ * (x0, x1, x2). Nahrazení v (16) Všechny získané funkce a s přihlédnutím k kódování booleanových proměnných (tabulka 1) získáme booleovský model ve formátu QDimacs (tabulka 2). Depqbf řešitel vydává odpověď "SAT", což znamená pravdu prohlášení (16). Vlastnost konektivity pro zadané X0, X *, T \u003d (1, 2) se provádí.

Závěr

Hlavní výhody způsobu booleovské omezení v kvalitativní studii DDS zahrnují:

1. Logický jazyk specifikace dynamického vlastnictví pro specialistu v automatické dynamice je způsoben použitím omezených kvantifikátorů existence a univerzálnosti.

2. Podle vzorce vlastnictví a dynamiky rovnice se automaticky provádí odpovídající booleovská rovnice nebo kvantifikovaný booleovský vzorec.

3. Stačí jednoduše automatizuje proces konverze výsledných booleanových výrazů do konjunktivní normální formy s dalším generováním souboru v formátech DIMAX a QDIMAX, které jsou vstupy pro SAT řešitele a QBF řešitelů.

4. Problém snížení břidlicové poprsí je řešeno vývojáři těchto řešitelů a stíněný od specialistů specialistů na kvalitě DDS.

5. Je možné vyřešit problém kvalitativní analýzy DDS pro velké rozměry státního vektoru N při dostatečně dlouhém časovém období T. Podle počtu stavů je metoda booleovských omezení kvantitativně odpovídající modelu Kontrola metody. Vzhledem k tomu, že v posledních letech došlo k významnému zvýšení výkonu specializovaných algoritmů specializovaných SAT řešení a TQBF úkolů, celkový počet proměnných v mléčném modelu nemovitosti pro moderní řešitelé mohou být měřeny tisíci.

Software procesu kvalitativní analýzy DDS na základě metody Booleovské omezení je implementován v rámci servisního přístupu s využitím specializovaných rozpouštědel booleanových rovnic. Příspěvek prezentuje příklad implementace metody Booleovských omezení na základě přístupu orientovaného na servis hledat cykly a rovnovážné stavy v genových regulačních sítích.

Je třeba poznamenat, že způsob booleovské omezení je dostatečně běžný způsob vysoce kvalitního analýzy DDS v konečném časovém intervalu. Je použitelné nejen pro autonomní systémy, ale také systémy s kontrolními vstupy, systémům s hloubkou paměti, více jednotek, k DDS společné formy, když funkce přechodů je nerozpustná vůči stavu XT a má Formulář F (XT, XT-1) \u003d 0. Pro DDS s vchody, vlastnost ovladatelnosti a její různé variace mají zvláštní význam. Kromě úkolů DDS analýzy, metoda Booleovské omezení platí pro úkoly syntézy zpětné vazby (statické nebo dynamické, jako stav nebo ve vstupu), což zajišťuje v syntetizovaném systému pro provádění požadovaných dynamických vlastností.

Studie byla podpořena RFBR, projekt č. 18-07-00596 / 18.

Bibliografický odkaz

OPARIN G.A., BOGDANOVA V.G., PASHININ A.A. Metoda booleovské omezení v kvalitativní analýze binárních dynamických systémů // Mezinárodní časopis aplikovaného a základního výzkumu. - 2018. - № 9. - P. 19-29;
URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id\u003d12381 (datum manipulace: 03/18/2020). Přinášíme vaši pozornost časopisy publikování v nakladatelství "Akademie přírodních věd"

Úvod 4.

Priori analýza dynamických systémů 5

Průchod náhodného signálu přes lineární systém 5

Evolution fázového vektorového systému 7

Evoluce kovariance matice systému fázového vektoru 8

Statistická linearizace 8.

První metoda 9.

Druhá metoda 10.

Výpočet linearizačních koeficientů 10

Nejednoznačnost v nelineárních jednotkách 14

Nelineární odkaz, na které se vztahuje zpětná vazba 15

Modelování náhodných procesů 16

Tvořící filtr 16.

Modelování bílého šumu 17

Vyhodnocení statistických charakteristik dynamických systémů MONTE CARLO 18

Přesnost hodnocení 18.

Nonstationary Dynamic Systems 20

Stacionární dynamické systémy 21

Zadní analýza dynamických systémů 22

Filtr Calman 22.

Modelový pohyb 22.

Měřicí model 23.

Korekce 23.

Předpověď 23.

Hodnocení 23.

Použití filtrování Kalman v nelineárních úkolech 25

Metoda nejmenších čtverců 27

Budova hodnocení 27.

Prognóza 29.

Použití metody nejmenších čtverců v nelineárních úkolech 29

Budova Cauchyho matice 30

Modelování měření 30.

Numerické metody 31.

Speciální funkce 31.

Modelování náhodných proměnných 31

Jednotně distribuované náhodné proměnné 31

Gaussian náhodné proměnné 32

Náhodné vektory 33.

Pravděpodobnosti integrované 34.

Chebyshev Polynomials 36.

Integrace běžných diferenciálních rovnic 36

Runge-kutta 36

Přesnost výsledků numerické integrace 37

Investovaná metoda Dorman-Prince 5 (4) Asi 37

Multisposy metody 39.

Metody Adams 39.

Integrace rovnic s argumentem zpoždění 40

Porovnání výpočtových vlastností metod 40

Úkolem Standar 40.

Eliptické funkce Jacobi 41

Úkol dva tel 41

Van der pole rovnice 42

"Brusseltor" 42

Lagrange rovnice pro závěsné řetězce 42

Pleiads 42.

Vysvětlující poznámka 43

Titul Page 43.

Sekce "Úvod" 44

Sekce "Teorie" 44

Sekce "algoritmus" 44

Sekce "Program" 45

Sekce "Výsledky" 45

Sekce "Závěry" 45

Sekce "Seznam použitých zdrojů" 45

Přílohy 45.

Literatura 47.

Úvod

Tato učebnice obsahuje pokyny pro plnění úkolů projektů kurzu a provádět praktické třídy ve výši "Základy statistické dynamiky".

Účelem návrhu a praktického výcviku je zvládnut studenti a priori a posteriori analýzou nelineárních dynamických systémů pod vlivem náhodných poruch.

Priori analýza dynamických systémů

Statistická linearizace

Statistická linearizace umožňuje převést původní nelineární dynamický systém t.o. Takže pro jeho analýzu bylo možné použít metody, algoritmy, vztahy, platné pro lineární systémy.

Tato sekce je věnována prezentaci metody statistické linearizace, založená na nejjednodušším přibližném přístupu navrženém prof. TJ. Cossack, která však umožní stavět odhady přesnosti systému obsahujícího i významnou nelinearitu s diskontinuálními charakteristikami.

Statistická linearizace spočívá v nahrazení původního nelineárního vztahu mezi vstupními a výstupními procesy takové přibližné závislosti, lineární vzhledem ke středním vstupu náhodného procesu, který je ekvivalentní ve statistickém smyslu s ohledem na počáteční:

Spojení s takovou přibližnou závislostí mezi vstupními a výstupními signály se nazývá ekvivalentní nelineární odkaz.

Hodnota je vybrána na základě stavu rovnosti matematických očekávání nelineárních a linearizovaných signálů a nazývá se statistická průměrná ekvivalentní charakteristika:

,

kde - hustota distribuce vstupního signálu.

Pro nelineární vazby s lichými vlastnostmi, tj. pro , Statistická charakteristika je vhodná pro odesílání formuláře:

- matematické očekávání vstupního signálu;
- Statistický koeficient amplifikace ekvivalentního spojení ve střední složce.

Tak Ekvivalentní závislost v tomto případě získává formulář:

Charakteristika se nazývá statistický koeficient amplifikace ekvivalentního spojení náhodnou složkou (fluktuací) a jsou určeny dvěma metodami.

První metoda

V souladu s prvním způsobem statistické linearizace je koeficient vybrána na základě stavu rovnosti disperzí počátečního a ekvivalentního signálu. Tak Pro výpočet získáme následující poměr:

,

kde - disperze vstupního náhodného dopadu.

Znamení výrazu je určeno charakterem závislosti v okolí hodnoty argumentu. Pokud se zvyšuje, pak a pokud se snižuje.

Druhou cestu

Hodnota podle druhé metody je vybrána z podmínek pro minimalizaci průměrné kvadratické chyby linearizace:

Konečný poměr pro výpočet koeficientu podle druhé metody je:

.

Na závěr jsme si všimli, že žádný z jejich dvou, nepovažuje za výše, metody linearizace neposkytují rovnost korelačních funkcí výstupních signálů nelineárních a ekvivalentních jednotek. Výpočty ukazují, že pro korelační funkci nelineárního signálu, první způsob výběru dává odhad shora, a druhá metoda je odhad zespodu, tj. Chyby při určování korelační funkce nelineárního výstupního signálu mají různé znaky. Prof. TJ. Kozačky, autor, uvedený zde, doporučuje volbou polovinu koeficientů získaných prvním a druhým způsobem jako výsledný linearizační koeficient.

Filtr tvořícího

Parametry jsou zpravidla určeny tím, že rovnává koeficienty polynomů číslovače a jmenovatele v rovnici

se stejnými stupni.

Po určení funkce přenosu tvarovacího filtru vypadá výsledný diagram modelování náhodného procesu, který je uveden na obrázku.

Například spektrální hustota procesu, který má být modelování, má formulář:

,

matematické očekávání a pro modelování se používá bílý hluk s intenzitou, tedy mít jednu spektrální hustotu.

Je zřejmé, že numerátor a jmenovatel požadovaného převodového poměru musí mít asi 1 a 2 (ve skutečnosti postavit na čtverci v modulu, funkce přenosu tvoří soukromé polynomy 2. a 4. stupni)

Tak Funkce přenosu filtru tváření ve většině obecné formy je následující:

,

a čtverec svého modulu:

Srovnáváme získané vztahy:

Předkládám pro držák a v pravé části rovnosti, čímž se snižuje koeficienty na nulové stupně:

,

kde se zřejmě teče následující rovnost:

; ; ; .

Tak Strukturální schéma pro tvorbu náhodného procesu s danými statistickými charakteristikami bílého šumu s jedinou spektrální hustotou vypadá, jak je znázorněno na obrázku, s přihlédnutím k vypočteným hodnotám parametrů tváření filtru.

Modelování bílého šumu

Chcete-li simulovat náhodný proces se specifikovanými statistickými charakteristikami, bílý šum se používá jako vstupní náhodný proces do formovacího filtru. Přesné modelování bílého šumu je však nerealizováno v důsledku nekonečné disperze tohoto náhodného procesu.

Z tohoto důvodu jako náhrada bílého šumu ovlivňující dynamický systém se používá náhodný proces krok. Interval, na kterém realizace náhodného procesu si zachovává svou hodnotu beze změny (šířka kroku, korelační interval) je trvalou hodnotou. Hodnoty realizace realizace (výška kroků) jsou náhodné proměnné distribuované podle normálního práva s nulovým matematickým očekáváním a omezenou disperzí. Hodnoty procesních parametrů - korelační interval a disperze - jsou určeny charakteristikami dynamického systému, který je ovlivněn bílým šumem.

Myšlenka metody je založena na omezené šířce pásma jakéhokoliv skutečného dynamického systému. Ty. Zisk skutečného dynamického systému se snižuje jako frekvence vstupního signálu se zvyšuje, a v důsledku toho je taková frekvence (méně nekonečná), pro kterou je zisk systému tak malý, že je možné jej nulovat. A to znamená, že vstupní signál s konstantou, ale ohraničený touto frekvencí, spektrální hustotou, pro takový systém bude ekvivalentnímu hluku bílé (s konstantní a nekonečnou spektrální hustotou).

Parametry ekvivalentního náhodného procesu - korelační interval a disperze jsou vypočteny následovně:

kde je empiricky definovaná hranice šířky pásma dynamického systému.

Přesnost hodnocení

Odhady matematického očekávání

a disperze

náhodné rozptyl postavený na základě zpracování omezeného odběru vzorků svých implementací, oni sami jsou náhodné.

Je zřejmé, že čím větší je velikost vzorku implementací, tím přesněji je nespálený posouzení, tím blíže je to skutečné hodnoty odhadovaného parametru. Níže jsou uvedeny přibližné vzorce založené na předpokladu jejich normální distribuce. Symetrický relativně důvěryhodný interval pro posouzení odpovídající pravděpodobnost spolehlivosti je určen hodnotou, pro kterou je poměr pravdivý:

,

kde
- skutečný význam matematického očekávání náhodné proměnné,
- odchylka soupeřová rozmanitost náhodné proměnné,
- Integrální pravděpodobnosti.

Na základě výše uvedeného poměru lze hodnotu určit takto:

,

kde - funkce naproti pravděpodobnosti integrálu.

Vzhledem k tomu, že hodnotící charakteristika hodnocení není nám známa, využijeme jeho přibližnou hodnotu vypočítanou pomocí hodnocení:

Tak Konečný vztah, který váže přesnost posouzení matematického očekávání a velikosti vzorku, která se odhaduje, je následující: \\ t

.

To znamená, že velikost intervalu spolehlivosti (s neustálou hodnotou pravděpodobnosti spolehlivosti), umístěné symetricky relativně vyjádřené v akcií odhadu standardní odchylky, je nepřímo úměrný druhu odmocniny ze velikosti vzorku.

Interval spolehlivosti pro vyhodnocení disperze je určen stejným způsobem:

s přesností hodnoty, která v nepřítomnosti přesnějších informací může být přibližně stanovena ze vztahu:

Tak Velikost intervalu spolehlivosti (s neustálou hodnotou pravděpodobnosti spolehlivosti), umístěná symetricky relativně, vyjádřená ve svých akciích, je nepřímo úměrná na druhou odmocninu z hodnoty, kde - velikost vzorku.

Přesnější vzorce pro konstrukci intervalů důvěrných hodnocení lze získat pomocí přesných informací o právu distribuce náhodné proměnné.

Například pro Gaussovský distribuční právo, náhodná hodnota

představte zákon distribuce linky s mírou svobody a náhodnou hodnotou

distribuován zákonem i svobodou.

Filtr Kalman.

Pohybový model

Jak je známo, filtr Kalman je navržen tak, aby odhadoval stavový vektor lineárního dynamického systému, model vývoje může být zaznamenán ve formě:

kde
- Cauchy Matrix, určující změnu v systému stavového stavu v vlastním pohybu (bez ovládání a hlukových vlivů) od doby do té doby;
- Vektorové neomezené náhodné účinky na systém (například kontrolní vlivy) v době času;
- matrice vlivu dopadů efektů v době času na stavovém stavu v čase;
- Vektor náhodných nezávislých soustředěných vlivů na systém v době času;
- Matrix vlivu náhodných vlivů v době času na stavovém stavu vektoru v čase.

Měřicí model

Vyhodnocení je založeno na statistickém zpracování výsledků měření, lineárně připojené k stavovému vektoru a zkreslené aditivní nestabilní chybou:

kde - matrice spojující stavy a měřicí vektory ve stejnou dobu.

Oprava

Základem filtru Kalman je poměr korekce, což je výsledek minimalizace stopy kovariance matrice reciprociální hustoty lineární distribuce (přes měřicí vektor) systému System Stav Vector Estimate:

Předpověď

Frekvenční korekční poměr predikčních poměrů založených na lineárních vlastnostech systému Evolution systému:

kde je kovariance matice vektoru, získáme vzorec recidivujícího bayesovského algoritmu pro odhad stavového stavu systému a jeho kovariance matice na základě statistického zpracování výsledků měření.

Hodnocení

Je zřejmé, že implementovat snížené poměry, je nutné budovat matrice, od modelu evoluce, matrice z modelu měření, stejně jako kovariance matic a pro každou dobu.

Kromě toho, aby inicializoval proces výpočetní techniky, je nutné nějak určit posteriori nebo priori, odhady stavového vektoru a její matrice kovariance. Termín "a priori" nebo "posteriori" v tomto případě znamená pouze kvalitu, ve které bude stavový vektor a jeho kovariance matrice používána v výpočtu algoritmu, a neříká nic o tom, jak byly získány.

Volba vztahu, ze kterého by měly být vypočteny, je tedy stanoveno, kterým jsou počáteční podmínky filtrace přisuzovány čase a prvního nezpracovaného měření vektoru. Pokud se momenty času shodují, první by měl být aplikován korekční poměry, které umožňují objasnit počáteční podmínky, pokud ne, musíte nejprve předpovědět počáteční podmínky pro čas vazby prvního nezpracovaného měření vektoru.

Vysvětlíme algoritmus filtru Kalman pomocí obrázku.

Na obrázku v souřadnicových osách (v provozním kanálu) zobrazuje několik možných fázových vektorových trajektorií:

- Pravá trajektorie evoluce fázového vektoru;
- vývoj fázového vektoru předpovězeného na základě použití modelu pohybu a priori odhad fázového vektoru, který je uveden v čase;
- vývoj fázového vektoru předpovězeného na základě použití modelu pohybu a posteriori (přesnější) odhad fázového vektoru, přičemž přisuzovanou časem

V souřadnicových osách (v měřicím kanálu) v době času a zobrazování výsledků měření a:

,

kde
- skutečný význam měřicího vektoru v době času;
- Vektorové chyby měření, které realizovány v čase.

Chcete-li vybudovat korekci na vektoru vektoru priori fáze, rozdíl mezi výsledkem měření a významem, který byl měřen podle modelu měření úkolu, pokud fáze vektoru ve skutečnosti převzal hodnotu. V důsledku použití na priori odhady korekčních poměrů bude rating fázového vektorového systému poněkud specifikovat a vzít hodnotu, která bude přesnější (alespoň v sousedství času) předvídat chování fáze Vektor studovaného dynamického systému pomocí problému problému problému.

V době, kdy je výsledek prognózy používán jako předchozí hodnocení. Na trajektorii procházející fázovým vektorem je rozdíl rozdíl opět postaven, kterými se vypočítá posteriori, ještě přesnější hodnotu atd. Dokud existují měřicí vektory pro zpracování nebo je třeba předpovědět chování fázového vektoru.

Nejméně čtvercová metoda

Tato sekce představuje metodu nejmenších čtverců přizpůsobenou pro posternou analýzu dynamických systémů.

Budovy odhady

Pro případ lineárního modelu stejných měření:

máme následující algoritmus odhadu fáze:

.

Pro případ nerovných měření se matrice obsahující hmotnostní koeficienty na úhlopříčce hmotnostních koeficientů zavede do vyšetření. Vzhledem k koeficientům hmotnosti bude předchozí poměr mít formu:

.

Používáme-li matrici, abychom použili matici pro matrici pro měření měření, pak s přihlédnutím k okolnostem, které dostaneme:

.

Z výše uvedených vztahů je základem metody, je matrice, která váže odhadované fázové vektor, který se odkazuje na určitý bod v čase a měřicí vektor. Vektor je zpravidla bloková struktura, ve které je každá z bloků připsána určitému okamžiku, který neodpovídá v obecném případě.

Obrázek ukazuje některé možné vzájemné uspořádání časové doby, do které měření a okamžik času, ke kterým je vektoru odhadovaných parametrů přičítán.

Pro každý vektor platí následující poměr:

, když

Tak, ve výsledném poměru metody menších čtverců má vektoru a matrice následující strukturu:

; .

kde
- Určuje žádný náhodný generující účinek na systém;
- Určuje náhodný dopad na systém.

poměr prognózy, ke kterému došlo výše, může být použit při popisu algoritmu filtračního filtrace Kalman:

kde je kovariance matice vektoru.

Výstavba Cauchyho matice.

V úkolech odhadů budov se často vyskytují způsoby výstavby Cauchyho matice ve způsobech konstruktování měření. Tato matice váže fázové vektory systému, přisuzované různým časovým časům, ve svém vlastním pohybu.

Jsme omezeni na tuto sekci o zvážení otázek týkajících se výstavby Cauchyho matice pro model evolučního modelu zaznamenaného jako systém běžných diferenciálních rovnic (lineární nebo nelineární).

tam, kde se používají následující označení pro proporcionality matric postavených v okolí trajektorie podpory:

; .

Modelování měření

Problém se vyskytuje v případě, kdy například vyhodnocování potenciálně dosažitelné přesnosti metody nějakým úkolem nemáte žádné výsledky měření. V tomto případě jsou vyžadovány výsledky měření pro simulaci. Funkce výsledků měření modelování je, že modely pohybu a měření používaných pro tento účel se nemusí shodovat s těmito modely, které budete používat během konstrukce odhadů pomocí určité metody filtrace.

Jako počáteční podmínky pro modelování evoluce fázového vektoru dynamického systému by měly být použity skutečné hodnoty souřadnic tohoto vektoru. Kromě tohoto místa by skutečné hodnoty souřadnic fázového vektorového systému neměly být použity kdekoli.

Numerické metody

Speciální funkce

Náhodné vektory

Problém, který je popsán v tomto pododstavci, je modelovat vektor korelovaný mezi gaussovými náhodnými proměnnými.

Nechte náhodný vektor být modelování, je vytvořen na základě konverze standardních nekoroznených náhodných proměnných odpovídající dimenze následujícím způsobem: S přesností 4 znaků je založena na rozkladu do řad ve stupních Argument pro tři intervaly.

V součtu asymptotické řady se stává téměř 1.