Neke rasprave me zabavljaju neizmjerno ...
Zdravo, šta radiš?
Da, zadaci se odlučuju iz magazina.
-Doko! Nije očekivao od tebe.
-Šta nije očekivao?
- Šta si na zadacima. Čini se pametnim, ali vjerujete u sve vrste gluposti.
-Sorry ne razumijem. Kako zovete gluposti?
Da, sva ta matematika. Uostalom, očito je da je smeće završeno.
-Kako to možete reći? Matematika - Kraljica nauka ...
-Pada se samo bez ovog patosa, zar ne? Matematika nije na svim naukama, već jedno solidno putovanje glupih zakona i pravila.
-Šta?!
- Pa, nemojte raditi tako velike oči, sami znate da sam u pravu. Ne, ne raspravljam se, tablica množenja je sjajna stvar, igrala je znatnu ulogu u formiranju kulture i istorije čovječanstva. Ali sada je sve nebitno! A onda, zašto je sve bilo komplikovano? U prirodi nema integrala ili logaritama, to su sve fikcija matematičara.
-Sačekaj minutu. Matematika nije izmislila ništa, otkrili su nove zakone interakcije između brojeva, koristeći dokazane alate ...
-Da naravno! I da li verujete? Šta ne vidite, koje gluposti stalno nose? Jeste li dali primjer?
Da, budite ljubazni.
-Da molim! Pitagorejska teorema.
-Pa, šta nije u redu s tim?
Da, sve nije u redu! "Pitagoras hlače na svim smjerovima su jednaki", vidite. A znate da Grci nisu nosili pantalone tokom Pitagore? Kako se Pitagora mogu općenito svađati o tome šta nema pojma?
-Sačekaj minutu. Koje su gaće ovde?
-Pa, izgleda da su pitagora? Ili ne? Prepoznajete li da Pythagora nije imala pantalone?
-Pa, u stvari, naravno, nije bilo ...
-Aga, to znači, već u naslovu teoreme, eksplicitna nedosljednost! Kako se onda možemo odnositi ozbiljno na ono što se kaže tamo?
- minut. Pythagoras nije razgovarao o svojim hlačama ...
- Prepoznajete li je, da?
Da ... Pa, mogu li nastaviti? Pitagoras nije razgovarao o pantalonama, a ne treba mu priložiti drugu gluposti ...
-AGA, sami se slažete da je sve glupost!
Da, nisam to rekao!
"Šta sam rekao." Suprotno se sama.
-Dakle. Stani. Šta se kaže u teoremu Pitagore?
-Šta su sve pantalone jednake.
-Blin, jesi li uopće čitao ovu teoremu?!
-Znam.
-Gde?
-Ja čitam.
-Šta ste čitali?!
-Lobachevsky.
* Pauziranje *
- Sajt, ali šta Lobachevsky mora pitagora?
-Pa, Lobačevsky je takođe matematičar, a čini se da je još uvijek najslađa ovlaštenja od Pitagore, reci ne?
* uzdah *
-Pa, šta je Lobachevsky rekao o teoremu Pitagore?
-Šta su gaće jednake. Ali ovo je glupost! Kako se takve pantalone mogu uopšte nositi? I osim toga, Pitagoras uopšte nisu nosili hlače!
-Lobachevsky je to rekao?!
* Druga pauza, sa samopouzdanjem *
-Da!
-Heli me tamo gdje je napisano.
-Ne, pa, tamo nije napisano tako ravno ...
-Koje ime ima ovu knjigu?
Da, ovo nije knjiga, to je članak u novinama. O činjenici da je Lobachevsky zapravo bio agent njemačke inteligencije ... Pa, to se ne odnosi na slučaj. Svejedno, verovatno je tako rekao. On je i matematičar, onda su istovremeno sa Pitagorom.
-Piforgorgore nije rekao ništa o pantalonama.
-Pa da! O i govoru. Fino je sve.
- Pogledajte redoslijed. Kako lično znate šta se kaže u teoremu Pitagore?
-Pa, idemo! Ovo je sve znanje. Svako pitanje, odmah ćete odgovoriti.
-Pifagora Hlače nisu pantalone ...
-I naravno! Ovo je alegorija! Znate li koliko sam puta čuo?
-Svažna Pitagora kaže da je zbroj kvadrata kaketa jednaka kvadratu hipotenuze. I to je sve!
-Šta su pantalone?
Da, nije bilo Pythagora bez pantalona !!!
-Da li vidite, pričam i ja. Smeće cijelu matematiku.
-I i ne smeće! Pogledajte sami. Evo trokuta. Evo hipotenuze. Evo karteta ...
Zašto, zašto svi ako su to katenetti, i to je hipotenuse? Možda suprotno?
-Ne. CATERES se nazivaju dvije strane koje čine pravi ugao.
- Pa, evo još jednog direktnog ugla.
- Nije direktno.
-I šta je on, krivulja?
- Ne, on je oštar.
- Dakle, ovo je takođe oštro.
- Nije oštar, on je ravno.
"Znate, ne zavaravam glavu!" Samo nazivate stvarima kao što je zgodno za vas, samo da odgovaram rezultatu po želji.
- Kratke strane pravokutnog trougla su katenetti. Duga strana - hipotenuzi.
-I ko je kraći - taj katanac? I hipotenuse, to znači više više kotrljati? Slušate sebe sa strane, koje ste gluposti. Na dvorištu 21. veka, procvat demokratije, a vi imate nekakvu srednjovjekovnu. Stranice Njega vide da li neravnopravno ...
-Rarološki trokut sa jednakim strankama ne postoji ...
-Jesi li siguran? Dopustite da vas crtam. Pogledajte. Pravougaoni? Pravougaoni. A sve strane su jednake!
-To je crtao kvadrat.
-Pa šta?
-Beadrat nije trokut.
-I naravno! Čim nam ne odgovara, odmah "ne trokut"! Ne zavaravajte me. Smatrajte sebe: jedan ugao, dva ugla, tri ugla.
-Ur.
-Pa šta?
- Ovo je kvadrat.
-I kvadrat koji, ne trokut? Još je gore, da? Samo zato što sam ga slikao? Postoje tri ugla? Ima, pa čak i ovdje je jedan rezervni. Pa, nefig ovdje, znaš ...
- Ostavićemo ovu temu.
-Aga, već se predaje? Nepotrebno je da se raspravljam? Prepoznajete li to matematiku - smeće?
- Ne, ne prepoznajem.
-Pa, opet, opet, odlično! Upravo sam sve dokazao detaljno! Ako se cijela geometrija zasniva na učenjima Pythagore, a izvinjavam se, punom gluposti ... šta se može dalje obrazložiti?
- Pitagorejski - ne gluposti ...
- Pa, kako! A onda nisam čuo za školu pitagora! Oni, ako želite znati, prepušteni orgijama!
- Vidim ovde ...
- Pitagora u generalu bio je peder! Sam je rekao da je Platov njegov prijatelj.
-Petagoras?!
-Neš nisi znao? Da, uglavnom su bili svi pederi. I na glavnoj ronchy. Jedan u bačvi spavao je još jedan goli u gradu ...
- Diogen spava cijev, ali bio je filozof, a ne matematičar ...
-I naravno! Ako se neko u bačvi popeo, onda ne matematičar! Zašto nam treba dodatna sramota? Znamo, znamo, prošli. Ali mi objasnite zašto su sve vrste pedera koji su živjeli prije tri hiljade godina i trčali bez hlača, trebali bi biti autoritet za mene? Zašto moram zauzeti njihovo gledište?
- Nisko, odlazi ...
Da, ne, slušaš! Ja, na kraju sam slušao i. Evo ovih proračuna, proračuni ... možete sve učiniti! I pitajte vas nešto u suštini, odmah odmah: "Ovo je privatno, ovo je varijabla, a ovo su dvije nepoznanice." A ti si u oh-oh-ohi-general reci mi, bez posebno ... I bez nepoznatog, nepoznatog, egzistencijalnog ... Osjećam se mučno od ovoga, razumijete?
-Ursterstand.
-Pa, objasnim mi zašto su dva dva uvek četiri? Ko je pomislio? I zašto sam dužan da to odnesem kao dat i nemam pravo sumnje?
-Da sumnjam koliko želite ...
-Ne, ti mi objašnjavaš! Samo bez ovih stvari, ali normalno je ljudski razumjeti.
- Dva dana su jednaka četiri, jer dva dva puta postoje četiri.
- Maslo ulje. Šta si mi rekao?
- Dva dana - ovo su dva, pomnožena sa dva. Uzmi dva i dva i baci ih ...
- Dakle, preklopite ili pomnožite?
-Ovo je isto ...
-Pojaš! Ispada da li ću razrešiti i umnožiti sedam i osam, dobit će i isto?
-Ne.
-I zašto?
-Pako sedam plus osam nije jednak ...
-Šta ako imam devet dva puta, hoćeš li dobiti četiri?
-Ne.
-I zašto? Dva pomnožena - ispostavilo se, a s devet iznenada Bummer?
-Da. Dva puta devet - osamnaest godina.
-Ve dva puta sedam?
-Fourteen.
-Ve dva puta pet?
-Deset.
- Jeste, četvorica se dobiva samo u jednom konkretnom slučaju?
-Upravo.
- i sada mislite na sebe. Kažete da postoje neki teški zakoni i pravila množenja. Koji zakoni možemo razgovarati o tome uopšte ako se u svakom slučaju dobije drugi rezultat?!
- Nije baš tako. Ponekad se rezultat može podudarati. Na primjer, dva puta šest jednaka je dvanaest. I četiri puta tri - previše ...
-Još gore! Dva, šest, tri četiri - ništa zajedničko! Vi vidite da rezultat ne ovisi o izvornim podacima. Isto rješenje prihvaćeno je u dvije drastično različite situacije! I to je uprkos činjenici da isto dva puta trajemo stalno i ne mijenjamo ništa, a svi brojevi uvijek daju drugačiji odgovor. Gde se pita logika?
- Ali isto, osim toga, logično!
- Možda možeš - možda. Vi, matematika, uvek verujete u sve vrste taloženog sranja. A ti su vaši proračuni ne uvjeravaju me. A znate zašto?
-Zašto?
-Palo sam da sam ja. znatiZašto vam stvarno treba vaša matematika. Da li sve se spušta? "Imate jednu jabuku u mom džepu, a Misha ima pet. Koliko jabuka treba dati Mishi Kate, tako da su jabuke postale jednake?" I znate šta ću vam reći? Misha niko ne bi trebao Dati! Katya ima jednu jabuku - i dovoljno. Malo joj? Neka se povuče, a iskreno će iskreno zaraditi barem na jabuke, iako na kruške, čak i na ananasu u šampanjcu. A ako netko želi da ne radi, već samo zadaci da odluče - pusti ga da sjedne sa svojom jabukom i ne pomakne se!
Potencijal za kreativnost obično se pripisuje humanitarnim disciplinama, prirodno naučno napuštajući analizu, praktični pristup i suhi jezik formula i brojeva. Matematika humanitarnim subjektima neće pripisati. Ali bez kreativnosti u "Kraljici svih nauka", neće ići daleko - o ovom narodu su već dugo poznate. Budući da je Pitagora, na primjer.
Školski udžbenici, nažalost, obično ne objašnjavaju da je u matematici važno ne samo izoštriti teoreme, aksiom i formule. Važno je razumjeti i osjetiti njegove temeljne principe. I istovremeno pokušajte osloboditi svoj um od markica i uvredljivih istina - u takvim su uvjetima rođene samo velika otkrića.
Ovo otkriće može se pripisati oba dana danas znamo kao teorema Pythagore. S njom ćemo pokušati pokazati da matematika ne samo da može, već treba biti fascinantna. I da je ova avantura pogodna ne samo botaničarima u gustam naočalama, već za sve koji su jaki i jaki u duhu.
Iz istorije pitanja
Strogo govoreći, iako se teorema naziva "Teorem" Pitagore ", sam pitagor nije otvorio. Pravokutni trokut i njegova posebna svojstva proučavani su odavno prije toga. Postoje dvije polarne točke gledišta na ovom pitanju. Prema jednoj verziji, Pytagoras je bio prvi koji je pronašao punu zaštitu teoreme. Za drugi dokaz ne pripadaju autorstvu Pythagore.
Danas ne možete provjeriti ko je u pravu, a ko greši. Poznato je samo da dokazi o Pitagori, ako ikada postojali, nije sačuvan. Međutim, sugerira se da poznati dokaz iz "prednosti" Euclida može pripadati Pitagori, a Euklid je samo zabilježio.
Takođe je poznato da se zadaci o pravokutnog trougla nalaze u egipatskim izvorima faraona Agettera I, na babilonskim glinenim znacima vladavine cara Hammurapi, u drevnom indijskom trajmu "Sulva Sutru" i drevnom Esej "Zhou-Bi Suan Jin".
Kao što vidite, teorem Pitagore okupirala je um matematičara iz davnih vremena. Potvrda takođe služi oko 367 različitih dokaza koji danas postoje. Ne postoji druga teorema u tome s tim. Među čuvenim dokazima Autori se mogu pamtiti Leonardo da Vinci i dvadeseti predsjednik Sjedinjenih Država James Garfield. Sve to ukazuje na ekstremnu važnost ove teoreme za matematiku: iz njega je izveden ili na ovaj ili onaj način, većina teoremi geometrije povezana je s njom.
Dokaz za teoremu Pitagore
U školskim udžbenicima uglavnom vode algebarske dokaze. Ali suština teoreme u geometriji, pa razmotrimo prvo od svih tih dokaza poznate teoreme koja se oslanja na ovu nauku.
Dokaz 1.
Za najjednostavniji dokaz Theorem Pitagore za pravokutni trokut, morate postaviti idealne uvjete: neka trokut bude ne samo pravougaonim, već je i naknada. Postoji razlog za vjerovanje da je ovaj određeni trokut prvotno smatrao matematikom antike.
Izjava "Kvadrat, izgrađen na hipotennom pravokutnog trougla, jednak je zbroju kvadrata izgrađenih na njegovim kategorijama" Možete ilustrirati sljedeći crtež:
Pogledajte ravnotežni pravokutni trokut ABC: Na hipotenuzi AU-u možete izgraditi kvadrat koji se sastoji od četiri trougla jednaka originalnom ABC-u. A na obalama AV i sunce su izgrađene na trgu, od kojih svaki sadrži dva slična trougla.
Usput, ovaj crtež je ležao na osnovu brojnih viceva i karikatura posvećenih Theorem Pitagoreovoj boji. Možda najpoznatije, možda, to "Pitagoras hlače u svim smjerovima su jednake:
Dokaz 2.
Ova metoda kombinira algebru i geometriju i može se smatrati opcijom drevne indijskog dokaznog matematike Bhaskari.
Sa stranama napravite pravokutni trokut a, B i C (Sl.1). Zatim izgradite dva kvadrata sa stranama jednakim zbroj dužine dvije kaljete, - (A + B). U svakom od kvadrata pokrenite izgradnju, kao u slikama 2 i 3.
U prvom trgu izgrađene su četiri iste trouglove, kao na slici 1. Kao rezultat, dobiveni su dva kvadrata: jedna sa bočnom a, drugom sa strane b..
Na drugom trgu četiri su izgrađene slične trouglove formiraju kvadrat sa strankom jednakom hipotenom. c..
Zbroj područja izgrađenih kvadrata na slici 2 jednak je kvadratu kvadrata koji smo izgradili sa strane sa strane slike 3. Lako je provjeriti, izračunavanje kvadratnih kvadrata na slici. 2 po formuli. I područje upisanog kvadrata na slici 3. oduzimanjem kvadrata četiri jednak dio uključen u kvadrat pravokutnog trouglova sa velikog kvadrata bočne strane (A + B).
Nakon pisanja svega, imamo: a 2 + B 2 \u003d (A + B) 2 - 2AB. Proširite zagrade, potrošite sve potrebne algebarske izračune i shvatite to a 2 + B 2 \u003d A 2 + B 2. U ovom slučaju, područje upisano na slici3. Trg se može izračunati i prema tradicionalnoj formuli S \u003d c 2. Oni. a 2 + B 2 \u003d C 2 - Dokazali ste teoremu Pitagore.
Dokaz 3.
Isti stari indijski dokaz opisan je u XII vijeku u traktatu "Krunu znanja" (Siddhanta Shromani) i kao glavni argument, autor koristi poziv na privlačenje matematičkim talentima i promatranjem učenika i sljedbenika: "Gledajte! ".
Ali mi ćemo analizirati ovaj dokaz detaljnije:
Unutar kvadrata izgradite četiri pravokutna trouglana kao što je označena na crtežu. Strana velikog trga, to je hipotenuse, označavamo od. Trokut CATTS se zovu ali i b.. U skladu sa crtežom, strana unutarnjeg trga je (A-B).
Koristite kvadratnu kvadratnu formulu S \u003d c 2Za izračunavanje područja vanjskog trga. I istovremeno izračunavaju istu vrijednost preklopivanjem površine unutarnjeg trga i površine svih četiri pravokutne trouglove: (A-B) 2 2 + 4 * 1 \\ 2 * A * B.
Možete koristiti obje mogućnosti za izračunavanje kvadratnog kvadrata kako biste osigurali: oni će dati isti rezultat. I daje vam pravo da to zapišete c 2 \u003d (A-B) 2 + 4 * 1 \\ 2 * A * B. Kao rezultat rješenja dobit ćete formulu teoreme Pythagora c 2 \u003d A 2 + B 2. Teorem se dokazuje.
Dokaz 4.
Ovaj znatiželjni drevni kineski dokaz dobio je ime "Nevjesta predsjedavajući" - zbog oblika cifre, koja se dobiva kao rezultat svih zgrada:
Koristi crtež koji smo već vidjeli na slici 3 u drugom dokazu. A unutarnji trg sa strane C izgrađen je na isti način kao i u drevnom indijskom dokazu iznad.
Ako ste mentalno odsekli crtež na slici. 1. dva zelena pravokutna trougla, prenesite ih na suprotne strane kvadrata sa stranom i hipotekusima da se prijave na hipotenuse lilarskih trouglova, lik nazvan "stolica" (neverovatna stolica "( Sl.2). Za jasnoću možete učiniti isto s papirnim kvadratima i trouglovima. Pobrinut ćete se da "mladenska stolica" oblikuju dva kvadrata: male sa strane b. i veliki sa strane sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR:.
Te su građevine omogućile drevnim kineskim matematičarima i da oni dođu do zaključka da c 2 \u003d A 2 + B 2.
Dokaz 5.
Ovo je još jedan način pronalaženja rješenja za teoremu Pitagore na osnovu geometrije. Zovu se "Garfield metoda".
Izgraditi pravokutni trokut ABC. To moramo dokazati Sun 2 \u003d AC 2 + AB 2.
Da biste to učinili, nastavite katanu Ac I izgraditi rez CDšto je jednako katetu Au. Niže okomito Oglas odjeljak Ed. Segmenti Ed i Ac jednak. Bodovi E. i U, kao i E. i Od I nabavite crtež kao na slici ispod:
Da biste dokazali Terem, ponovo pribjegavamo već testiranoj metodi: nalazimo područje rezultirajuće liste na dva načina i izjednačavamo međusobno izraze.
Pronađite područje poligona Krevet. Možete preklopiti područje tri trougla, koji ga formiraju. I jedan od njih, ESR, To nije samo pravokutna, već je i izazovan. Ne zaboravite i to AB \u003d CD., AC \u003d ED. i Sun \u003d CE - Ovo će nam omogućiti da pojednostavimo snimanje i ne preopterećujemo ga. Dakle, S abed \u003d 2 * 1/2 (ab * ac) + 1 / 2vs 2.
Očigledno je da Krevet. - Ovo je trapez. Stoga izračunavamo njeno područje prema formuli: S abed \u003d (DE + AB) * 1 / 2AD. Za naše proračune prikladnije je za predstavljanje segmenta Oglas Kao zbroj segmenata Ac i CD.
Napišemo oba načina za izračunavanje cifre slike, stavljajući znak za jednakost između njih: AB * AC + 1 / 2BC 2 \u003d (DE + AB) * 1/2 (AC + CD). Koristimo jednakost segmenata koji su nam već poznati i opisani gore kako bismo pojednostavili desnu stranu zapisa: AB * AC + 1 / 2BC 2 \u003d 1/2 (AV + AC) 2. A sada ćemo otkriti zagrade i transformirati jednakost: AB * AC + 1 / 2BC 2 \u003d 1/2 (2as 2 + 2 * 1/2 (AV * AS) + 1 / 2AV 2. Završivši sve transformacije, dobivamo upravo ono što nam treba: Sun 2 \u003d AC 2 + AB 2. Dokazali smo se teoremu.
Naravno, ovaj popis dokaza je daleko od potpunog. Pythagora Teorem također se može dokazati pomoću vektora, složenih brojeva, diferencijalnih jednadžbi, stereometrije itd. Pa čak i fizičari: Ako, na primjer, u kvadratnom i trokutastom svesku predstavljene u crtežima i trokutastim količinama tekućine za gorivo. Prepuna tekućina, možete dokazati jednakost trga i istog teoreme.
Nekoliko riječi o pitagori trojki
Ovo pitanje nije mnogo ili nije u školskom programu uopće ne proučava. U međuvremenu, vrlo je zanimljivo i od velikog je značaja u geometriji. Pythagoras Troika koriste se za rješavanje mnogih matematičkih zadataka. Ideja o njima može vam biti korisna u daljnjem obrazovanju.
Pa šta je Pythagora Trojka? Takozvani prirodni brojevi sakupljeni za tri, zbroj kvadrata od kojih dva jednaka je trećem broju na trgu.
Pythagora Trojka može biti:
- primitiv (sva tri broja - obostrano jednostavno);
- nije primitivni (ako svaki broj od tri pomnoži isti broj na isti broj, ispada da je novi tripler koji nije primitivan).
Čak i prije naše ere drevnih Egipćana fascinirala je manija brojeva Pitagore Troka: u zadacima su smatrali pravokutni trokut sa stranama 3,4 i 5 jedinica. Usput, bilo koji trougao, od kojih su stranke jednake brojevima iz pitagoronskih tri, pravokutnog je zadano.
Primjeri Pythagora Troks: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) , (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), ( 14, 48, 50), (30, 40, 50), itd.
Praktična primjena teoreme
Pythagoreoo Theorem nalazi se upotreba ne samo u matematiku, već i u arhitekturi i izgradnji, astronomiji, pa čak i književnosti.
Prvo o izgradnji: Theorem Pitagora pronalazi široku upotrebu u zadacima različitih nivoa složenosti. Na primjer, pogledajte Romansku prozor:
Označavaju širinu prozora kao b., tada se radijus velike polu-spipide može odrediti kao R. i izraziti b: R \u003d b / 2. Polumjer manjih poluproizvoda također će se izraziti b: R \u003d b / 4. U ovom zadatku nas zanimaju radijus unutrašnjeg kruga prozora (nazovimo ga p.).
Pitagova teorema je samo korisna za izračunavanje r. Da biste to učinili, koristite pravokutni trokut koji na slici označava isprekidanu liniju. Trokut hipotenuse sastoji se od dva radijusa: b / 4 + P. Jedna katata je polumjer b / 4., Ostalo b / 2-p. Korištenje teoreme za Pythagore, napišite: (b / 4 + p) 2 \u003d (b / 4) 2 + (b / 2-p) 2. Dalje ćemo otkriti zagrade i dobiti b 2/16 + BP / 2 + P 2 \u003d B 2/16 + B 2/4-BP + P 2. Transformiramo ovaj izraz u bP / 2 \u003d B 2/4-BP. A zatim podijelite sve članove b., Dajmo isto da dobijemo 3/2 * p \u003d b / 4. I na kraju ćemo to pronaći p \u003d b / 6 - Šta nam je trebalo.
Pomoću teoreme možete izračunati dužinu rafted za krov koštane kostiju. Da bi se utvrdilo koja je visina mobilnog tornja potrebna da signal dosegne određeno naselje. Pa čak i neprestano instalirajte novogodišnje stablo na gradskom trgu. Kao što vidite, ova teorema živi ne samo na stranicama udžbenika, već je često koristan u stvarnom životu.
Što se tiče literature, teoremi Pitagore nadahnula piscima iz vremena antike i nastavlja da to čine u naše vrijeme. Na primjer, njemački pisac devetnaestog stoljeća Adelbert von Shamisso, nadahnula je da napiše sonet:
Svetlost istine uskoro će se razbiti,
Ali, potonuće, nestalo
I, kao milenijum nazad,
Neće uzrokovati sumnje i spor.
Najpametniji kada dodirne pogled
Svjetlost istine, bogovi zahvaljuju;
I sto bikova, vrenja, laže -
Odgovor Dar Lucky Pitagorean.
Od tada bi bikovi očajnički urli:
Zauvek je bljesnuo bullish pleme
Događaj označen ovdje.
Čini im se: ovo je - doći će vrijeme.
I Syznov će biti žrtvovan da žrtvuje žrtvu
Neku sjajnu teoremu.
(Prevod Victora Toporova)
I u dvadesetom stoljeću sovjetski pisac Evgeny Valtists u knjizi "Adventure Electronics" Dokazi o teoreme Pitagore uzeli su cijelo poglavlje. I još jedna napola zavarena priča o dvodimenzionalnom svijetu, koja bi mogla postojati ako je teorema Pythagora postala temeljna prava, pa čak i religija za zasebnim svijetom. Bilo bi mnogo lakše živjeti u njemu, ali i mnogo dosadni: Na primjer, niko ne razumije značenje riječi "okruglo" i "lepršavo".
A u knjizi "Adventure Electronics" sa ušću učitelja matematičke taretare kaže: "Glavna stvar iz matematike je kretanje misli, novih ideja." To je taj kreativni let misli koji rađa teorema Pitagore - nije za ništa što nema toliko različitih dokaza. Ona pomaže da pređem granice uobičajenih i poznatih stvari koje treba pogledati na novi način.
Zaključak
Ovaj je članak kreiran tako da možete pogledati izvan školskog programa u matematici i naučiti ne samo dokaze teorema Pitagore, koji se daju u udžbenicima "Geometrija 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. rudenko) i "Geometrija 7 - 11 "(Av Pogorelov), ali i drugi znatiželjni načini da dokažemo čuvenu teoremu. A također vidi primjere kao što se teorema Pitagore može primijeniti u običnom životu.
Prvo, ove će informacije omogućiti da se kvalificirate za veće rezultate u matematičkim časovima - informacije o temi dodatnih izvora uvijek su visoko cijenjeni.
Drugo, željeli smo vam pomoći da osjetite kako zanimljiva naučna matematika. Osigurajte posebne primjere koji u njemu uvijek postoji mjesto. Nadamo se da će vas Pitagova teorema i ovaj članak nadahnuti na samozapremljenjem i uzbudljivim otkrićima iz matematike i drugih nauka.
Recite nam u komentarima da li ste se u članku činili zanimljivim kao zanimljivim. Da li ste koristili ove informacije u školama. Pišite nam što mislite o teoriji Pythagore i ovog članka - biće nam zadovoljstvo da razgovaramo o svemu tome sa vama.
potrebno je web mjesto, sa punim ili djelomičnim kopiranjem materijalne reference na izvorni izvor.
Hlače - Nabavite akademsku glumu promotivne ruševine ili profitabilne hlače za kupovinu na popustu na prodaju u Ridastep
Jarg. Shk. Jelly Theorem Pythagoreo, koja uspostavlja omjer između kvadrata izgrađenih na hipotenu i katu pravokutnog trougla. BTS, 835 ... Veliki rječnik ruskih izreka
Pythagora Hlače - Komično ime teoreme Pytagore, koje je nastalo zbog činjenice da su trgovi izgrađeni na bočnim stranama pravokutnika i kvadrata koji su se razišli u različite smjerove nalik na hlače. Voljela sam geometriju ... i primio sam na prijemnom ispitu na univerzitetu ... ... ... Fraseološki rječnik ruskog književnog jezika
pythagora Hlače - Šaling naziv teoreme za Phagoree koji uspostavlja odnos između kvadrata izgrađenih na hipotenusima i katu pravougaonog trougla, koji izleti u crtežima izgleda poput roda ... Rječnik mnogih izraza
Innoid: O čovjeku Darovite Wed. Ovo je bijeda. U davnim vremenima, verovatno bi izmislio Pythagorov hlače ... Saltykov. Pisma sa pestu. Pythagoras pantalone (Geom.): U pravokutniku je kvadrat hipotenuze jednak kvadratima kaketa (nastava ... ... Mikhelsonov veliki debelo-frazološki rječnik
Pythagora Hlače za sve strane su jednake - Poznat je broj gumba. Zašto bih trebao usko? (Grubo) o hlačama i muškim seksualnim organima. Pythagora Hlače za sve strane su jednake. Da biste to dokazali, morate ukloniti i prikazati 1) o teoremu Pythagore; 2) O širokim hlačama ... Živi govor. Rječnik izgovorenih izraza
Piñagorovy pantalone (izumiva) nepušače. O ljudskom čoveku. CF. Ovo je nesumnjivo kadulja. U davninama bi izmislio piñagorov hlače ... Saltykov. Pješačka pisma. Piñagorovy pantalone (Geom.): U pravokutniku, Trg hipotenuse ... ... Veliki inteligentni-frazeološki rječnik Michelson (originalni pravopis)
Pythagoras pantalone u svim smjerovima jednake su - šala dokaz za teoremu Pitagore; Također u šali o vrećama sa gaćama prijatelja ... Rječnik narodne frazeologije
Sjeo dolje, nepristojno ...
Pythagoras pantalone na svim smjerovima jednaki su (broj tipki je poznat. Zašto je usko? / Da biste ga dokazali, morate ukloniti i pokazati) - Zadovoljan, nepristojan ... Objašnjeni rječnik modernih razgovora i napretka
Suma., Mn., Usetr. u poređenju. Često morfologija: MN. šta? Hlače, (ne) Šta? Hlače, šta? Hlače, (vidi) Šta? Pantalone nego? Hlače, šta? O gaćama 1. Hlače Ovo je komad odjeće koji ima dvije kratke ili duge hlače i zatvara dno ... ... Objašnjeni rječnik dmitrieva
Knjige
- Pythagora pantalone ,. U ovoj će knjizi naći fikciju i avanturu, čuda i fikciju. Smiješno i tužno, obično i tajanstveno ... i šta je još potrebno za zabavu za čitanje? Glavna stvar je biti ...
- Čuda na točkovima, Markush Anatoly. Milioni točkova se vrti u cijelom zemljištu - Roll automobili, izmjerite vrijeme u satu, dodirnute u vozovima, izvedite bezbroj radova u mašinama i raznim mehanizmima. Oni su…
»Poštovani profesor matematike Univerziteta Warika, poznato populatore nauke Ian Stewart, posvećenog ulozi brojeva u istoriji čovjeka i relevantnosti njihove studije u naše vrijeme.
Pytagorova hipotenuza
Trouglovi Pitagore imaju direktan ugao i cijele strane. Najjednostavniji od njih, najduža strana ima dužinu od 5, preostalo - 3 i 4. Postoji samo 5 ispravnih polihedra. Jednadžba pete diplome nemoguće je riješiti uz pomoć korijena petog stepena - ili bilo kojeg drugog korijena. LATTICE U avionu i u trodimenzionalnom prostoru nemaju simetriju rotacije pet tačaka, stoga takve simetrije nisu odsutne u kristalima. Međutim, mogu biti u reševima u četverodimenzionalnom prostoru i u naprednim konstrukcijama poznatim kao kvasististali.
Hipotenuze najmanjih pitagorora tri
Teorem Pitagoreovodi da je najduža strana pravokutnog trougla (zloglasna hipotenuza) korelira s dvije druge strane ovog trougla vrlo jednostavne i lijepe: kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata dvije druge strane.
Tradicionalno nazivamo ovu teoremu Pitagore, ali u stvari je priča o njoj prilično magla. Glinene ploče sugeriraju da su drevni Babilonci znali teoremu Pitagore odavno prije samog Pitagore; Slava otkrića dovela mu je matematički kult pihagora, čiji su pristalice vjerovali da se svemir temelji na numeričkim zakonima. Drevni autori pripisuju se pitagorejskim osobama - i stoga, a Pitagora je razna matematičke teoreme, ali u stvari nemamo pojma o tome što je matematički pitagores bio angažiran. Ne znamo ni da li su gagagori mogli dokazati teoremu Pitagora ili je samo vjerovala da je istina. Ili su najvjerovatnije imali uvjerljive podatke o svojoj istini, što ipak ne bi imali dovoljno za ono što danas smatramo dokazima.
Dokaz o Pythagori
Prvi provizični dokaz Theorema Pitagore nalazimo u "početku" Euclidea. Ovo je prilično složen dokaz korištenjem crteža, u kojem bi viktorijanski školarci odmah prepoznao "phathagora hlače"; Crtež i istina podsjećaju se sušenjem povjerevača na konopcu. Doslovno su znane stotine drugih dokaza, većina čine dokazano odobrenje očiglednijim.
// Sl. 33. Pythagora pantalone
Jedan od najjednostavnijih dokaza je vrsta matematičke slagalice. Uzmite bilo koji pravokutni trokut, napravite četiri kopije i sakupite ih unutar trga. Na jednom polaganju vidimo trg na hipotenuzi; S drugim, kvadratima na drugim dvije strane trougla. Jasno je da je Trg jednak u istom slučaju.
// Sl. 34. Levo: kvadrat na hipotenuzu (plus četiri trougla). Desno: zbroj kvadrata na drugim dvije strane (plus ista četiri trougla). I sada isključite trouglove
Pravljenje perigala - još jedna dokaz-puzzle.
// Sl. 35. disekcija perigal
Postoji i dokaz teoreme koristeći kvadratni polaganje u avionu. Možda su to otvarali pitagori ili njihovi nepoznati prethodnici ove teoreme. Ako pogledate kako kosi kvadrat preklapaju dva druga kvadrata, možete vidjeti kako odsjeći veliki kvadrat na komade, a zatim ih preklopite dva manja kvadrata. Možete vidjeti i pravokutne trouglove, čija su strane daju veličinu tri kvadrata.
// Sl. 36. Dokaz o asfaltiranju
Postoje zanimljivi dokazi koristeći slične trouglove u trigonometriji. Poznata je najmanje pedeset različitih dokaza.
Pythagora Trojka
U teoriji brojeva, teorem Pitagorea postao je izvor plodonosnih ideja: pronaći cijela rješenja za algebrejske jednadžbe. Pytagorova trojka je skup cijelih brojeva A, B i C, takav
Geometrijski, takav tripler definira pravokutni trokut sa cijelim stranama.
Najmanji hipotekus pitagore trojke je 5.
Druge dvije strane ovog trougla jednake su 3 i 4. Ovdje
32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.
Sljedeća je najveća hipotenuza jednaka 10, jer
62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.
Međutim, to je u osnovi isti trokut sa udvostručenim zabavama. Sljedeće najveće i zaista druga hipotenuza je 13, za nju
52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.
Euklidski je znao da postoji beskonačan broj različitih varijanti Pitagore Troka i dao ono što se može nazvati formulom za sve. Kasnije je Diofant Alexandrian ponudio jednostavan recept, uglavnom koji se podudaraju sa euklidskom.
Uzmite bilo koji dva prirodna broja i izračunajte:
njihov dvostruki rad;
razlika između njihovih kvadrata;
zbroj njihovih kvadrata.
Tri primljena broja bit će strane Trougle Pythazhov.
Uzmi, na primjer, brojevi 2 i 1. izračunavaju:
dvokrilni rad: 2 × 2 × 1 \u003d 4;
kvadratne razlike: 22 - 12 \u003d 3;
sažetak kvadrata: 22 + 12 \u003d 5,
i dobili smo čuveni trokut 3-4-5. Ako umjesto toga uzmete broj 3 i 2, dobivamo:
dvoful Rad: 2 × 3 × 2 \u003d 12;
kvadratne razlike: 32 - 22 \u003d 5;
krajnji sažetak: 32 + 22 \u003d 13,
i dobićemo sljedeći trokut 5 - 12 - 13, pokušajte uzeti brojeve 42 i 23 i dobiti:
udfieldy: 2 × 42 × 23 \u003d 1932;
kvadratne razlike: 422 - 232 \u003d 1235;
trgovi suma: 422 + 232 \u003d 2293,
nitko nije čuo za trokut 1235-1932-2293.
Ali ovi brojevi rade i:
12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.
U pravilu o diofanty postoji još jedna značajka koja je već nagovijestila: primio tri broja, možemo uzeti još jedan proizvoljni broj i pomnožiti ih na njemu. Dakle, trokut 3-4-5 može se pretvoriti u trokut 6-8-10, množeći sve strane za 2 ili u trokutu 15-20-25, umnožavajući sve na 5.
Ako idete na jezik algebre, pravilo postaje sljedeći obrazac: Neka u, V i K budu prirodni brojevi. Tada pravougaoni trokut sa strankama
2Kuv i K (U2 - V2) ima hipotenuzu
Postoje i drugi načini predstavljanja glavne ideje, ali svi oni smanjuju gore opisane. Ova metoda vam omogućava da dobijete sve Troika pitagore.
Desna polihedra
Postoji gladak račun pet ispravna poliedra. Ispravan poliedron (ili polihedron) je volumetrijska figura sa konačnim brojem ravnih lica. Ivice se međusobno konvergiraju na linijama koje se nazivaju rebra; Rebra se nalaze na bodovima nazvanim vrhovima.
Vrhunac euklida "započela je dokaz da može biti samo pet pravilnih polihedra, odnosno policedra, u kojoj je svaki faset desni poligon (jednaka strana, jednaki uglovi), svi su lica identični i svi su vrhovi okruženi jednakim brojem istih lica. Evo pet desnog poliedra:
tetraedron sa četiri trokutaste ivice, četiri vrhova i šest rebara;
kocka ili heksahedr, sa 6 kvadratnih lica, 8 vrhova i 12 rebra;
octaedron sa 8 trokutastih lica, 6 vrhova i 12 rebra;
dodekahedron sa 12 piranioralnih žlijezda, 20 vrhova i 30 rebra;
ikosahedron sa 20 trokutastih lica, 12 vrhova i 30 rebra.
// Sl. 37. Pet desne polihedra
Desna poliedra može se naći u prirodi. 1904. Ernst Geckel objavio je crteže sitnih organizma poznatih kao Radolaria; Mnogi od njih nalikuju vrlo pet desnih polihedra. Možda je istina, ispravio je malu prirodu, a crteži ne odražavaju u potpunosti oblik specifičnih živih bića. Prve tri strukture također se primjećuju u kristalima. Dodecahedron i Ikosahedra u kristalima nećete pronaći, iako pogrešna Dodecahedra i Ikosahedra ponekad naiđu na tamo. Real Dodecahedra može se pojaviti u obliku kvazikrikata koji su slični kristalima u svemu, osim što njihovi atomi ne čine periodičnu rešetku.
// Sl. 38. Slike Geckela: Radilarije u obliku desne polihedra
// Sl. 39. Skeneri ispravne polihedra
Zanimljivo je napraviti modele ispravne poliedra iz papira, rezanje unaprijed postavljenog međusobno povezanih lica - to se naziva polhedron skeniranjem; Skeniranje je presavijeno duž rebara i zalijepi odgovarajuća rebra među sobom. Korisno je dodati dodatni naboj za ljepilo na jedan od ivica svakog takvog para, kao što je prikazano na Sl. 39. Ako nema takve platforme, možete koristiti ljepljivu vrpcu.
Jednadžba petog stepena
Ne postoji algebarska formula za rješavanje jednadžbi petog stepena.
Općenito, jednadžba petog stepena izgleda ovako:
aX5 + BX4 + CX3 + DX2 + EX + F \u003d 0.
Problem je pronaći formulu za rješenja takve jednadžbe (može imati do pet rješenja). Iskustvo cirkulacije kvadratnih i kubnih jednadžbi, kao i sa četvrtim jednadžbima, sugerira da takva formula mora postojati za jednadžbe petog stepena, a u njemu bi se u teoriji trebalo pojaviti korijeni pete, treće i Drugi stepen. Opet, može se odvaditi da pretpostavimo da će takva formula, ako postoji, biće vrlo i vrlo teška.
Ova pretpostavka se na kraju pokazala da je pogrešna. U stvari, ne postoji takva formula; Barem ne postoji formula koja se sastoji od koeficijenata A, B, C, D, E i F, sačinjeni korištenjem dodavanja, oduzimanja, umnožavanja i podjela, kao i ekstrakcije korijena. Dakle, među 5 5 postoji nešto potpuno posebno. Razlozi takvog neobičnog ponašanja pet su vrlo duboki i trebalo je puno vremena za rješavanje njih.
Prvi znak problema bio je činjenica da je, kao da, matematika, pokušao pronaći takvu formulu, bez obzira koliko pametni bili, oni su uvijek propali. Neko vrijeme svi su vjerovali da će razlozi ležati u nevjerovatnoj složenosti formule. Vjerovalo se da niko jednostavno ne bi mogao shvatiti ovu algebru. Međutim, s vremenom su neka matematika počela sumnjati da takva formula uopće postoji, a 1823. Niels Hendrik Abel uspio je dokazati suprotno. Ova formula ne postoji. Ubrzo nakon toga, Galua je evaristriran našao način da se utvrdi da li jednadžba na ovaj ili onaj način - 5., 6., 7., uopšte - koristeći ovu vrstu formule.
Zaključak iz svega ovo je jednostavno: broj 5 je poseban. Možete riješiti algebrejske jednadžbe (koristeći korijene N-T. stepena za različite vrijednosti n) za stupnjeve 1, 2, 3 i 4, ali ne za 5. stepenu. Ovdje se završava očigledan uzorak.
Nitko ne iznenađuje da su građevinske jednadžbe više od 5 ponašaju se još gore; Konkretno, iste su poteškoće povezane s njima: ne postoje opće formule za njihovo rješavanje. To ne znači da jednadžbe nemaju rješenja; To ne znači da je nemoguće pronaći vrlo precizne numeričke vrijednosti ovih rješenja. Čitava stvar je ograničena na tradicionalne algebre. Podsjeća na nemogućnost trisekcije ugla uz pomoć vladara i cirkulacije. Odgovor postoji, ali navedene metode su nedovoljne i ne dozvoljavaju vam da odredite šta je to.
Kristalografska granica
Kristali u dvije i tri dimenzije nemaju simetriju rotacije od 5 snopa.
Atomi u kristalu oblikuju rešetku, odnosno struktura koja se periodično ponavlja u nekoliko neovisnih smjerova. Na primjer, crtež na pozadinu ponavlja se duž dužine kotrljanja; Pored toga, obično se ponavlja u vodoravnom smjeru, ponekad s poletom iz jednog komada pozadine na drugu. U osnovi su pozadine dvodimenzionalni kristal.
U ravnini su 17 sorti crteža pozadina (vidi poglavlje 17). Oni se razlikuju u vrsti simetrije, odnosno prema metodama, pomicanje teškog crteža na takav način da će se definitivno ostaviti u izvornom položaju. Vrste simetrije uključuju, posebno različite varijante simetrije rotacije, gdje crtež treba rotirati na određeni kut oko određene tačke - središte simetrije.
Redoslijed simetrije rotacije je koliko puta možete okrenuti tijelu u potpuni krug tako da svi detalji crteža vratili na početne položaje. Na primjer, rotacija od 90 ° je simetrija rotacije četvrtog reda *. Popis mogućih vrsta simetrije rotacije u kristalnoj rešetki ponovo ukazuje na neobično broj 5: nije tamo. Postoje varijante sa simetrijom rotacije 2, 3, 4 i 6. naloga, ali bez crteža za tapete nema simetriju rotacije 5. reda. Simetrija rotacije narudžbe Više od 6 kristala takođe nema slučaja, ali prvo kršenje niza je ipak, među brojem 5.
Isto se događa sa kristalografskim sistemima u trodimenzionalnom prostoru. Ovdje se rešetka ponavlja u tri neovisna područja. Postoji 219 različitih vrsta simetrije, ili 230, ako razmotrite ogledalo odraz obrasca zasebnom opcijom, uprkos tome, da u ovom slučaju ne postoji simetrija zrcala. Opet se opaža simetrija rotacije narudžbi 2, 3, 4 i 6, ali ne 5. Ta se činjenica naziva nazivom kristalografske granice.
U četverodimenzionalnom rešetku sa 5. simetrijom na 5. redoslijedu; Općenito, za rešetke dovoljno visoke dimenzije, moguć je svaki napredni redoslijed simetrije rotacije.
// Sl. 40. Kristalna rešetka stolne soli. Tamne kuglice prikazuju natrijum atome, svjetlost - atomi hlora
Kvazikristi
Iako je simetrija rotacije 5. reda u dvodimenzionalnim i trodimenzionalnim rešetkama nemoguća, može postojati u malo manje redovitim strukturama poznatim kao kvasistalcima. Iskoristite prednosti Keplera, Roger Penrose otvorio je ravne sisteme sa češćim vrstama s pet-vremenske simetrije. Dobili su ime kvazikristala.
Quasikristali postoje u prirodi. Daniel Shechtman je 1984. godine otkrio da aluminij i mangan mogu formirati kvasistale; U početku su kristallografi susreli njegovu poruku s nekim skepticizmom, ali kasnije je potvrđeno otkriće, a u 2011. godini Shechtman je nagrađen Nobelovom nagradom u hemiji. U 2009. godini tim naučnika pod vođstvom Luke Bindi otkrio je kvazikristale u mineralu iz ruskog korke visokog područja - kombinacija aluminija, bakra i gvožđa. Danas se ovaj mineral naziva Ikosadritis. Mjerenje uz pomoć masenog spektrometra, sadržaj u mineralu različitih izotopa kisika, naučnici su pokazali da je ovaj mineral nastao na zemlji. Formirao je oko 4,5 milijarde godina, dok je solarni sistem bio rođen samo i proveo većinu vremena u pojasu asteroida, okrećući se suncem dok neko ogorčeva ne promijenilo orbitu i nisu ga doveli na kraju na Zemlji.
// Sl. 41. Lijevo: Jedna od dvije kvazikristalne rešetke s tačnom sa pet vremenskom simetrijom. Desno: Atomski model ikosahedralnog aluminijskog-paladij-mangana quasicrystal
Rimski arhitekt Vitruvis pomislio je teoremu Pyphagore "iz brojnih otkrića koja su imala usluge razvoju ljudskog života", a pozvala da se prema njoj liječe s najvećom poštovanjem. Još je bilo u prvom vijeku do n. e. Na prijelazu XVI-XVII vijeka, čuveni njemački astronom Johann Kepler nazvao ga je jednom od blago geometrije, uporediv sa mjerom zlata. Malo je vjerovatno da će u cijeloj matematici biti značajnije i značajnije odobrenje, jer po broju naučnih i praktičnih primjena, teorem Pitagore nema jednaku.
Pythagora teorema za slučaj izjednačanog pravokutnog trougla.
Nauka i život // ilustracija
Ilustracija za teoremu Pitagore iz "tretmana mjerenja šest" (Kina, III Century BC) i dokaz rekonstruisani na njenoj osnovi.
Nauka i život // ilustracija
S. Perkins. Pitagoras.
Crtanje na mogući dokaz Pythagore.
Pythagore mozaik i cijepanje državljana tri kvadrata u dokazu teoreme Pythagore.
P. de heh. Ljubavnica i sobarica u dvorištu. Oko 1660. godine.
I. Oxtervelt. Lutali muzičari u vratima bogate kuće. 1665 godina.
Pythagora Hlače
Theorem Pitagore gotovo je najprepoznatljivija i nesumnjivo, najpoznatija u istoriji matematike. U geometriji se primjenjuje doslovno na svakom koraku. Unatoč jednostavnosti formulacije, ova teorema nije očigledna: gledajući pravokutni trokut sa strankama a< b < c, усмотреть соотношение a 2 + b 2 = c 2 невозможно. Однажды известный американский логик и популяризатор науки Рэймонд Смаллиан, желая подвести учеников к открытию теоремы Пифагора, начертил на доске прямоугольный треугольник и по квадрату на каждой его стороне и сказал: «Представьте, что эти квадраты сделаны из кованого золота и вам предлагают взять себе либо один большой квадрат, либо два маленьких. Что вы выберете?» Мнения разделились пополам, возникла оживлённая дискуссия. Каково же было удивление учеников, когда учитель объяснил им, что никакой разницы нет! Но стоит только потребовать, чтобы катеты были равны, - и утверждение теоремы станет явным (рис. 1). И кто после этого усомнится, что «пифагоровы штаны» во все стороны равны? А вот те же самые «штаны», только в «сложенном» виде (рис. 2). Такой чертёж использовал герой одного из диалогов Платона под названием «Менон», знаменитый философ Сократ, разбирая с мальчиком-рабом задачу на построение квадрата, площадь которого в два раза больше площади данного квадрата. Его рассуждения, по сути, сводились к доказательству теоремы Пифагора, пусть и для конкретного треугольника.
Brojke prikazane na slici. 1 i 2, podseća na najjednostavniji ukras iz kvadrata i njihovih jednakih dijelova - geometrijski uzorak, poznat iz vremenskog druženja. Mogu biti potpuno prekriveni avionom. Matematika bi pozvala takav avion premaz poligonima parketom ili miješanju. Šta je pitagor? Ispada da je prvo odlučio zadatak pravih parketa, s kojom je započela studija inspekcija različitih površina. Dakle, Pitagora su pokazali da se avion oko točke može prekriti bez prostora jednakih redovnih poligona od samo tri vrste: šest trouglova, četiri kvadrata i tri heksagona.
4000 godina kasnije
Istorija teoreme za Pitagore ulazi u duboku antiku. Spominjanje je i dalje sadržano u babilonskim kliničkim tekstovima Tsar Hammurapi (XVIII vekovnik prije nove ere), odnosno 1200 godina prije rođenja Pitagore. Teorem je korišten kao gotova pravilo u mnogim zadacima, čiji je najjednostavniji da pronađu dijagonalu kvadrata na njegovoj strani. Moguće je da je omjer a 2 + b 2 \u003d C 2 za proizvoljni pravokutni trokut Babiloni dobili, jednostavno "sažeti" jednakost A 2 + A 2 \u003d C 2. Ali imaju sreću - za praktičnu geometriju drevnog, što se smanjuje na mjerenja i izračuna, nisu potrebne stroge opravdanja.
Sada, gotovo 4.000 godina kasnije, bavimo se vlasnikom rekorda u broju svih vrsta dokaza. Uzgred, njihovo sakupljanje je duga tradicija. Vrhunac interesa za teorem Pitagore došao je u drugoj polovini XIX-a - početak XX vijeka. A ako prve zbirke ne sadrže više od dva desetaka dokaza, na kraju XIX vijeka njihov se broj pristupio 100, a nakon pola stoljeća premašio je 360, a samo su oni koji su uspjeli sakupljati različite izvore. Ko jednostavno nije uzeo za rješenje ovog nestabilnog zadatka - od poznatih naučnika i populaštva nauke do kongresmena i školarca. A ono što je zapaženo, u originalnosti i jednostavnosti rješavanja drugih ljubitelja nisu bili inferiorni profesionalci!
Najstariji od dokaza teoreme za Pitagore od oko 2300 godina dostigli su nas. Jedan od njih je strogi aksiomatični - pripada drevnoj grčkoj matematici euklid, koji je živio u IV-III vekovima prije nove ere. e. U I, knjigu "Prednosti" Theorem Pitagore je kao "ponuda 47". Najnovije i prelijepim dokazima izgrađene su na slikarstvu pitagorejskih hlača. Izgledaju poput lukave puzzle za rezanje kvadrata. Ali natjerajte se da se oblici kreću pravilno - i otvorit će vas tajnom poznate teoreme.
To je ono što se elegantan dokaz dobiva na osnovu crteža od jednog drevnog kineskog traktata (Sl. 3), a odmah pojašnjava svoju vezu sa zadatkom da udvostruče kvadrat kvadrata.
Bio je to takav dokaz koji je pokušavao objasniti svom mlađem prijatelju sedmogodišnjak GUIDO, a ne do godina, inteligentnog junaka romana engleskog pisca Oldhosa Huxleyja "Little Archimedes". Zanimljivo je da pripovjedač koji je primijetio ovu sliku, primijetio jednostavnost i uvjerljivost dokaza, pa je to pripisao ... sam ... Pitagora. Ali protagonist fantastične priče iz Evgenia Wellistova "Elektronika - dječak iz kofera" znao je 25 dokaza o teoremima pitagora, uključujući i dat euklidom; TRUE, pogrešno ga je nazvao najjednostavnijim, mada u modernom izdanju "počelo" zauzima jednu i pol stranice!
Prvi matematičar
Pythagora Samossky (570-495 bc), čije je ime dugo bilo i neraskidivo povezano sa divnim teoremom, u određenom smislu može se nazvati prvim matematičarskim. Od njega je iz njega da matematika počinje kao tačna nauka, gdje su svaka nova znanja rezultat ne vizualnih ideja i pravila izdatih iz iskustva, već rezultat logičkog rezoniranja i zaključaka. Samo tako da zauvijek možete uspostaviti istinitost bilo kojeg matematičkog prijedloga. Prije Pitagore, deduktivna metoda koristila je samo drevni grčki filozof i naučnik Falez Milecsky, koji su živjeli na prijelazu vii-vi veka na N. e. Predložio je ideju o dokazima, ali to nije primijenio sistematski, selektivno, u pravilu, očigledne geometrijske izjave poput "promjera dijeli krug na pola". Pythagoras je napredovao mnogo dalje. Vjeruje se da je predstavio prve definicije, aksiome i metode dokaza, a također su stvorili prvi tok geometrije, koji su poznati drevnim Grcima zvao "tradiciju Pitagore". Takođe je stajao po porijeklu teorije brojeva i stereometrije.
Druga važna zasluga Pitagore je temelj slavne škole matematičara, što je više od jednog stoljeća utvrdilo razvoj ove nauke u drevnoj Grčkoj. Izraz "matematika" povezan je sa svojim imenom (iz grčke riječi μαθημa - nastava, nauka) koja su ujedinjena četiri relativne discipline stvorene od strane Pitagora i njegovih pridržavanja - sustavi znanja: geometrija, aritmetika, astronomija i harmonična.
Nemoguće je odvojiti dostignuća pitagora sa dostignuća: nakon običaja, oni su pripisuju vlastitim idejama i otvaranju svog učitelja. Nisu preostali eseji rani pitagori napustili sve informacije koje su se međusobno prenijeli. Dakle, 2500 godina kasnije, istoričari nemaju ništa drugo, osim rekonstrukcije izgubljenog znanja o transferima drugih, kasnijih autora. Dajemo počast Grcima: oni su okružili ime Pitagore mnogih legendi, ali nisu pripisuju ništa takvo da se ne može otvoriti ili razvijati u teoriju. I nosi svoje ime Theorem nije izuzetak.
Tako jednostavan dokaz
Nije poznato, sam Pitagoras otkrio omjer između duljine strana u pravokutnog trougla ili posudio ovo znanje. Antikni autori tvrdili su da sam i on, i volio da preuzme legendu o tome kako je Pythagoras doveo da žrtvuju bika u čast svog otvaranja. Moderni istoričari imaju tendenciju da veruju da je saznao za teoremu, upoznavajući se sa matematikom Babilonian. Takođe ne znamo o kakvoj se pitagorama formulira teorema: aritmetika, kao što je to danas prihvaćeno, - Trg hipotenusa jednak je zbroju kvadrata kašaša, ili geometrijski, u duhu drevnih, četvrt ugrađen Hipotennje pravokutnog trougla jednaka je zbroju kvadrata izgrađenih na njegovim običajima.
Vjeruje se da je to Pitagora koji su dali prvi dokaz teoreme koji nosi njegovo ime. To sigurno ne sačuvano. Prema jednoj od verzija, Pitagora bi mogla iskoristiti proporcije razvijene u njegovu školu. Zasnovan je na tome, posebno teorija sličnosti na kojem se zasniva obrazloženje. Izvlačimo u pravokutnog trougla sa matetikom A i B Visina Hypotenuze C. Dobijamo tri slična trougla, uključujući original. Njihove odgovarajuće stranke su proporcionalne, a: c \u003d m: a i b: c \u003d n: b, odakle 2 \u003d c · m i b 2 \u003d c · n. Zatim je 2 + b 2 \u003d c · (m + n) \u003d c 2 (Sl. 4).
Ovo je samo rekonstrukcija koju je predložio jedan od istoričara nauke, ali do dokazivanja, slažete se, vrlo jednostavno: Potrebno je samo nekoliko redaka, nije potrebno povući ništa, prevući, izračunati ... ne čudi se da ima ponovo se oporavio više puta. Na primjer, sadržan je u "geometrijskoj praksi" Leonardo Pisansky (1220), a još uvijek vodi u udžbenicima.
Takvi dokazi nisu u suprotnosti s stavovima Pitagorea na sažetku: u početku su vjerovali da se omjer duljine bilo kojeg dva segmenta, te, stoga područja pravolinskih podataka mogu izraziti prirodnim brojevima. Nisu razmatrali nijedan drugi broj, nisu ni omogućili frakcije, zamijenići njihove odnose 1: 2, 2: 3 itd. Međutim, ironija sudbine, to je bila teorema Pitagora koja je dovela do otvaranja incitovanosti u otvaranju nesporedivosti dijagonala trga i njegov dio. Svi pokušaji da numerički predstavljaju dužinu ove dijagonale - na jednom kvadratu jednak je √2 - nisu doveli do bilo čega. Bilo je lakše dokazati da je zadatak neriješen. U takvom slučaju matematičari imaju dokazanu metodu - dokaz iz gadnog. Uzgred, a on se pripisuje Pitagori.
Postojanje odnosa, koje nije izraženo prirodnim brojevima, zaustavi se mnogim pitagorejskim idejama. Postalo je jasno da im brojevi poznati nisu dovoljni da riješe čak i jednostavne zadatke, šta reći o svim geometrijama! Ovo otkriće postalo je prekretnica u razvoju grčke matematike, njenog centralnog problema. U početku je dovelo do razvoja učenja o neupitnim vrijednostima - neracionalnosti, a potom na širenje koncepta broja. Drugim riječima, započela je stoljetna povijest studije mnogih važećih brojeva.
Mosaic Pythagora
Ako prekrivate avion s kvadratima dvije različite veličine, okružujući svaki mali kvadrat do četiri velike, ispada da se ispada pitagorski mozaički parket. Takav je crtež odavno ukrašen kamenim podovima, podsjećajući na drevne dokaze o Theorem Pitagore (otuda njegovo ime). Drugačije preklapajući se s četvrtamnom rešetkom na parketu, možete dobiti cijepanje kvadrata izgrađenih na stranama pravokutnog trougla, koji su ponuđeni različitim matematičarima. Na primjer, ako dogovorite rešetku, tako da se svi njegovi čvorovi podudaraju s desnim gornjim vrhovima malih kvadrata, fragmenti crteža bit će prikazani dokazu srednjovjekovne perzijske matematike An-Nairzia koji je on smjestio u komentare na "Početak" Euclidea. Lako je vidjeti da su zbroj površina velikih i malih kvadrata, početni elementi parketa, jednakim području jedne kvadratne mreže. A to znači da je navedena particija zaista pogodna za postavljanje parketa: Spajanje rezultata poligona u kvadrate, kao što je prikazano na slici, možete ih ispuniti bez razmaka i prekrivanje cijelog aviona.
