Kvalitativna analiza dinamičkih sistema. Fazni fazni portreti DS-a

Transkript.

1 Kvalitativna analiza dinamičkih sistema Izgradnja faznih portreta DS-a

2 Dinamički sistem 2 Dinamički sistem matematički objekt, koji odgovara stvarnom fizičkom, hemijskom, biološkom itd. Sistemi, evolucija na vrijeme, koji u bilo kojem vremenskom intervalu jedinstveno određuje početno stanje. Takav matematički objekt može biti sustav autonomnih diferencijalnih jednadžbi. Evolucija dinamičkog sistema može se pridržavati u prostoru svemirskog stanja. Diferencijalne jednadžbe rješavaju se analitički izričito. Upotreba računara daje približno rješenje diferencijalnih jednadžbi u konačnom roku, što ne dopušta razumijevanje ponašanja faznih puštanja u cjelini. Stoga su metode kvalitativnog proučavanja diferencijalnih jednakih jednadžbi stječu važnu ulogu.

3 3 Odgovor na pitanje na koje se modusi ponašanja mogu uspostaviti u ovom sustavu, moguće je dobiti iz takozvanog faza portreta sistema skupa svih njegovih putanja prikazanih u prostoru faznih varijabli (faza svemir). Među tim putanjem postoji niz osnovnih, koji određuju kvalitativna svojstva sistema. To su prije svega ravnotežne tačke koje ispunjavaju stacionarni režimi sustava i zatvorene putanje (ograničavajuće cikluse) koji ispunjavaju periodične režime oscilacije. Da li je režim stabilan ili ne, može se suditi po ponašanju susjednih putanja: stalna ravnoteža ili ciklus privlači sve bliske putanje, nestabilne odbijaju barem neke od njih. Dakle, "fazni avion, razgrađen na putanju, daje lako vidljiv" portret "dinamičkog sistema, to omogućava odmah prekrivanje cjelokupnog skupa pokreta koji mogu nastati svim vrstama početnih uvjeta." (A.A. Andronov, A.a. Witt, S.E. Haikin. Teorija oscilacija)

4 Deo 1 Kvalitativna analiza linearnih dinamičkih sistema

5 5 Linearni autonomni dinamički sustav smatra li linearni homogeni sustav sa konstantnim koeficijentima: (1) DX sjekira By, DT DY CX DY. DT Xoy koordinatni avion naziva se njenom faznoj ravnini. Kroz bilo koju točku aviona, jedna i jedina jedna fazna krivulja (putanju) prolazi. U sustavu (1) moguća su tri vrste faznih puštanja: tačka, zatvorena krivulja, oštećena krivulja. Točka na faznoj ravnini odgovara stacionarnom rješenju (položaj ravnoteže, stanovišta) sustava (1), zatvorene krivulje periodičnog rješenja i otključanog ne-periodičnog.

6 ravnoteže ravnoteže 6 položaja sustava ravnoteže (1) Pronaći ćemo rješavanje sistema: (2) sjekira za 0, CX DY 0. Sistem (1) ima jedinstvenu nultu ravnotežinu ako je odrednica matrice sustava: Det AD CB 0. CD ako je det a \u003d 0, pored položaja nulte ravnoteže, postoje i drugi, jer u ovom slučaju sustav (2) ima beskonačna postavljena rješenja. Kvalitativno ponašanje faznih putanja (vrsta ravnotežnog položaja) određena je prirodnim brojevima matrice sustava.

7 Klasifikacija ostataka 7 EigenValues \u200b\u200biz matrica sustava Pronaći ćemo, rešavanje jednadžbe: (3) 2 λ (ad) λ ad bc 0. Imajte na umu da + d \u003d tr a (matrični staza) i ad bc \u003d det A. Klasifikacija odmora u slučaju kada je Det A 0 prikazana u tablici: korijeni jednadžbi (3) 1, 2 - Real, Jedan znak (1 2\u003e 0) 1, 2 - Realni, drugi znak (1 2< 0) 1, 2 - комплексные, Re 1 = Re 2 0 1, 2 - комплексные, Re 1 = Re 2 = 0 Тип точки покоя Узел Седло Фокус Центр

8 Stabilnost ostataka 8 Eigenvalues \u200b\u200biz matrice sustava (1) Odredite prirodu stabilnosti ravnotežnih položaja: uvjet za stvarni dio korijena jednadžbi (3) 1. Ako su pravi dijelovi Svi korijeni jednadžbe (3) su negativni, tada je sistem za odmor (1) asimptotski stabilan. 2. Ako je stvarni dio barem jednog korijena jednadžbe (3) pozitivan, tada je točka sustava za odmor (1) nestabilna. Vrsta i stabilnost karakter održivi čvor, sedlo od stalnog fokusa, nestabilan čvor, nestabilan fokus 3. Ako jednadžba (3) ima čisto imaginarne korijene, a zatim je stabilna, ali ne asimptotski. Centar

9 fazni portreti 9 Stabilni čvor 1 2, 1< 0, 2 < 0 Неустойчивый узел 1 2, 1 > 0, 2 >

10 fazni portreti 10 stabilan fokus 1.2 \u003d i,< 0, 0 Неустойчивый фокус 1,2 = i, > 0, 0 Smjer na faznoj kriljini ukazuje na smjer kretanja fazne točke putem krivulje na povećanju T.

11 faza portreti 11 sedla 1 2, 1< 0, 2 > 0 Centar 1,2 \u003d I, 0 Pravac na faznoj kriljini ukazuje na smjer kretanja faznog točke krivulje po povećanju T.

12 fazni portreti 12 dikratski čvor odvija se za sisteme tipa: DX AX, DT DY AY, DT kada je 0. Štaviše, 1 \u003d 2 \u003d a. Nestabilni dikratski čvor ako a< 0, то узел асимптотически устойчив, если a > 0, zatim nestabilno. Smjer na faznoj kriljini ukazuje na smjer kretanja fazne točke duž krivulje po povećanju T.

13 fazni portreti 13 Degenerirani čvor, ako je 1 \u003d 2 0 i u sustavu (1) b 2 + c 2 0. Ako 1< 0, то устойчивый Если 1 > 0, tada nestabilan smjer na faznoj kriljini ukazuje na smjer kretanja fazne točke duž krivulje po povećanju T.

14 INFINITE set odmora 14 Ako je Det A \u003d 0, tada sustav (1) ima beskonačni skup ravnotežnih položaja. U ovom su slučaju moguća tri slučaja: korijenje jednadžbe (3) 1 1 \u003d 0, \u003d 2 \u003d 2 \u003d 0 Definicija sustava odmora (2) ekvivalent je jednoj jednačini vrste X + Y \u003d 0 sustava ( 2) je ekvivalentno numeričkoj ravnopravnosti 0 \u003d 0 sustava (2) ekvivalentno je jednadžbi X + Y \u003d 0 geometrijskoj lokaciji odmora ravno na faznoj ravnini: x + y \u003d 0 Cijela fazna ravnina je x + y \u003d 0 U drugom slučaju bilo koja milost je otporna na Ljapunov. U prvom slučaju, samo ako 2< 0.

15 fazni portreti 15 neposredni održivi Pocks 1 \u003d 0, 2< 0 Прямая неустойчивых точек покоя 1 = 0, 2 > 0 Pravac na faznoj kriljini ukazuje na smjer kretanja fazne točke duž krivulje po povećanju T.

16 fazni portreti 16 Direktno nestabilne točke odmora 1 \u003d 2 \u003d 0 faza ravne linije bit će paralelno s ravnim zapisima odmora (x + y \u003d 0) ako prvi integral DY CX DY DY DY eX jednadžba ima oblik x + y \u003d C, gdje je c proizvoljna konstanta. Smjer na faznoj kriljini ukazuje na smjer kretanja fazne točke duž krivulje po povećanju T.

17 Pravila za određivanje stanovišta točke 17 Možete odrediti vrstu mirovanja i prirodu njegove stabilnosti, a ne pronalazeći eigenvalue iz matrice sustava (1) i znajući samo njegov trag tr a i determinanta det SVEDOK ŠEŠELJ - ODGOVOR: Odrednica Det Matrica< 0 tra 0 det A 2 tra det A 2 tra det A След матрицы tr A < 0 tr A > 0 TR A.< 0 tr A > 0 TR A.< 0 tr A = 0 tr A > 0 Vrsta mirovanja Point Sedo održivi čvor (u) Nestabilan čvor (dobro) Dikratni ili degenerirani dikratski ili degenerirani dobro otporni fokusirani fokus (UV) nestabilni fokus (NF)

18 Centra Bifurkacija Chart 18 Det A Det Tra A 2 2 UV UV NF Well Tr A C E D L O

19 19 Algoritam za izgradnju faznog portreta LDS (1) 1. Odredite ravnotežne položaje, rešavanje sistema jednadžbi: Sjekira za 0, CX DY za pronalaženje EigenValue iz matrice sustava, rešavanje karakteristične jednadžbe: 2 λ ( AD) λ ad bc određuje vrstu mirovanja i zaključivanje o stabilnosti. 4. Pronađite jednadžbe glavnog izoklinskog horizontalnog i vertikalnog i izgradite ih na fazni avion. 5. Ako je ravnotežna pozicija brtva ili čvor, pronađite te fazne putanje koje leže na izravnom prolasku kroz porijeklo koordinata. 6. Nacrtajte fazne puštanja. 7. Odredite smjer kretanja po faznim putanjem, što ukazuje na njegove strelice na fazni portret.

20 glavnih izoklina 20 vertikalnih izoklom (V) set faznih ravničkih bodova, u kojima je tangenta, provedena do fazne putanje, paralelno s vertikalnom osi. Otkad je na tim tačkama faznih putanja X (t) \u003d 0, zatim za LDS (1), E e jednadžba ima obrazac: AX + BY \u003d 0. Horizontalni izokli (GI) set faznih ravničkih točaka u kojima tangenta Faza staza je paralelna s vodoravnom os. Otkad je na ovim tačkama faznih putanja y (t) \u003d 0, zatim za LDS (1), jednadžba je: CX + DY \u003d 0. Imajte na umu da je mjesto odmora na faznoj ravnini raskrižje glavnog Isoclin-a. Vertikalni Isoclin na faznoj ravnini bit će označeni vertikalnim potezima i vodoravni horizontalni.

21 fazna putanja 21 Ako je ravnotežna pozicija brtva ili čvor, a zatim postoje fazne staze koje leže na ravnim linijama koje prolaze kroz porijeklo koordinata. Jednadžbe takvog direktnog mogu se potpisati kao * y \u003d k x. Zamjena y \u003d KX na jednadžbu: DY CX DY, DX sjekira za određivanje k koji dobijamo: (4) C KD () 0. A BK 2 K BK ADKC Dat ćemo opis faznih puštanja, ovisno o broju i mnoštvu korijena jednadžbe (4). * Jednadžbe izravne fazne puštanja mogu se potpisati i kao x \u003d k y. AK B CK D tada za pronalaženje koeficijenata treba riješiti jednadžbu k.

22 Phaze putanje 22 korijena jednadžbe (4) K 1 k 2 točka Tip sedlo sedlo čvor Opis fazne putanje ravna y \u003d k 1 x i y \u003d k 2 x nazivaju se separaci. Preostale fazne putanje su hiperbole za koje su pronađeni troškovi asimptoti ravno y \u003d k 1 x i y \u003d k 2 x. Preostale fazne putanje obrađuju parabolu koji se tiču \u200b\u200bna početku koordinata jednog od pronađenih ravnih linija. Fazne putanje odnose se na to ravno, što je usmjereno duž vlastitog vektora koji odgovara manjim u apsolutnoj vrijednosti (korijen jednadžbe (3))

23 fazne putanje 23 korijena jednadžba (4) K 1 K 2! K 1 Vrsta mirovanja Point DegeneReR ntODDe čvor opis fazne puštanja Ravna y \u003d k 1 x. Preostale fazne putanje su parabole podružnice koje se tiču \u200b\u200bna početku koordinata ovog ravnog ravno * y \u003d k 1 x i x \u003d 0 su separaci. Preostale fazne putanje su hiperbolaci za koje su pronađene ravne linije asimptote ravne * y \u003d k 1 x i x \u003d 0. Preostale fazne putanje obrađuju parabolu koji se tiču \u200b\u200bna početku koordinata jednog od onih koje su jedno od onih koji su pronađeni direktno. * Ako se jednadžbe direktno pretražuju u obliku x \u003d k y, tada će biti ravna x \u003d k 1 y i y \u003d 0.

24 fazne putanje 24 korijena jednadžbe (4) KR Vrsta odmora Point Dikratni čvor Opis fazne puštanja Sve fazne putanje leže na ravnoj y \u003d k x, kr. Ako je ravnotežna pozicija Center, fazne puštanja su elipse. Ako je ravnotežna pozicija fokus, tada su fazne puštanja spirale. U slučaju kada LDS ima direktne mirovanje, možete pronaći jednadžbe svih faznih puštanja, rješavanje jednadžbe: DY CX DY DX sjekira po svom prvom integralnom x + y \u003d c i određuje izravnu fazu.

25 Smjer kretanja 25 Ako je ravnotežnija pozicija čvor ili fokus, smjer kretanja u fazni putanje određuje jedinstveno svoju stabilnost (na početak koordinata) ili nestabilnosti (iz porijekla). Istina, u slučaju fokusa, također morate postaviti smjer uvijanja (predenje) spirala u smjeru kazaljke na satu ili u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. To se može učiniti, na primjer, tako. Odredite znak derivat Y (t) na tačkima X osi. DY CHS CX 0, ako je X 0, tada se povećava kretanja točke kroz fazni put s raskrižjom "pozitivne šipke X osi". Dakle, "uvijanje (izljev)" putanje događaju se u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Kad DT DY DT Y0 Y0 CX 0, ako je x 0, tada se "Twist (predenje)" puštaju u smjeru kazaljke na satu.

26 Smjer kretanja 26 Ako je ravnotežna pozicija centar, smjer kretanja po faznim putanjem (u smjeru kazaljke na satu ili protiv) može se definirati na isti način kao smjer "uvijanja (predenje)" putanje u ugrađenom u Slučaj fokusa. U slučaju "sedla", pokret na jednom od njegovih separatrija javlja se u smjeru početka koordinata, na drugom od početka koordinata. U svim ostalim faznim putanjem, kretanje se javlja u skladu s kretanjem na separatima. Stoga, ako je položaj ravnotežnog sedla, dovoljno za uspostavljanje smjera kretanja na nekoj putanju. A onda nedvosmisleno možete uspostaviti smjer kretanja u svim ostalim putanjem.

27 Smjer pokreta (sedlo) 27 Da biste postavili smjer kretanja po faznim putanjem u slučaju sedla, možete koristiti u jednoj od sljedećih metoda: 1 metoda za određivanje koje od dvije separatre odgovara negativnoj eigenValue. Pokret na njemu javlja se do mjesta odmora. 2 Metoda za određivanje načina na koji apscisa pokretne tačke varira na bilo kojem od promjena separatrije. Na primjer, za y \u003d k 1 x imamo: DX (ABK1) t AX BK1X (A BK1) X, X (T) x (0) E. DT YK X 1 IF X (t) na T +, tada se kretanje duž separatrice y \u003d k 1 x događa se do mjesta odmora. Ako je x (t) sa t +, tada pokret dolazi od mjesta odmora.

28 Smjer pokreta (sedlo) 28 3 metoda Ako x osovina nije separator, kako bi se utvrdilo kako se prolazi redoslijed pokretne točke duž fazne staze kada se pređe x osovina. Kad DY DT Y0 CX 0, ako je X 0, tada se redoslijed točke povećava i znači da kretanje po faznim puštanjem prelaska pozitivnog dijela X osi, javlja se odozdo prema gore. Ako se ordinat opada, pokret će se pojaviti od vrha do dna. Ako odredite smjer kretanja duž fazne putanjem prelaska Y osi, bolje je bolje analizirati promjenu u apscisu u pokretnoj točki.

29 PORTROKOVI 29 4 METODA * Izgradnja u proizvoljnoj tački (x 0, y 0) fazni ravnina (različita od ravnotežnog položaja) Vektor brzine: DX DY V, (AX0 BY0, CX0 DY0). DT DT (X, Y) 0 0 Režira se i ukazuje na smjer kretanja duž fazne staze koja prolazi kroz tačku (x 0, y 0): (x 0, y 0) v * Ova metoda se može koristiti u određivanju Smjer kretanja po faznim putanjem za bilo koju vrstu mirovanja.

30 Smjer pokreta 30 5 Metoda * Odredite područja "poravnanja" derivata: DX DT DY AXY By, CX DY. DT granice ovih područja bit će glavni otoci. Derivativni znak ukazuje na način na koji ordinat i apscisa pokretne točke kroz fazne putanje promjena u različitim poljima. y y x (t)<0, y (t)>0 x (t)<0, y (t)<0 x x x (t)>0, y (t)\u003e 0 x (t)\u003e 0, y (t)<0 * Этот способ может быть использован при определении направления движения по фазовым траекториям для любого типа точки покоя.

31 Primjer DX DT DY DT 2x 2 Y, x 2Y 1. Sustav ima jedinstvenu nultu ravnotežnu poziciju, jer je Det A \u003d izgradnja odgovarajuće karakteristične jednadžbe 2 6 \u003d 0, mi ćemo pronaći svoje korijene 1.2 6. Shodno tome, položaj ravnoteža sedla. 3. Sepatrice sjedala tražimo y \u003d kx. 4. Vertikalna izoCLINA: X + Y \u003d 0. Horizontalna izoCLINA: x 2Y \u003d 0. Korijeni stvarni i različiti znakovi. 1 2K 2 6 K K K K K K 2 2K, 2, 1 2, 22, 2 0, 22.

32 Primjer 1 (sedlo) 32 Izvlačenje na faznoj ravnini separaci y \u003d k 1 x i y \u003d k 2 x i glavne izokline. Y x Ostatak aviona ispunjava putanje - hiperbole za koje su separaci asimptoti.

33 Primjer 1 (sedlo) 33 Y x Pronaći ćemo smjer kretanja uz putanje. Da biste to učinili, možete definirati znak derivat y (t) na točkama X osi. Sa y \u003d 0, imamo: DY DT Y0 X 0, ako je X 0. Dakle, redoslijed pokretne točke kroz fazu putanju s raskrižjom "pozitivnog snopa X X" opada. To znači da pokret po faznim putanjem prelazom pozitivnog dijela X osi događa se od vrha do dna.

34 Primjer 1 (sedlo) 34 Sada je lako ugraditi smjer kretanja na ostale putanje. Y X.

35 Primjer DX 4x2 Y, DT DY X3Y DT 1. Jednostavno ima jednolibrijsku poziciju, od Det A \u003d Izgradnja odgovarajuće karakteristične jednadžbe \u003d 0, nalazimo njegove korijene 1 \u003d 2, 2 \u003d 5. Stoga je ravnoteža je nestabilan čvor. 3. Direktno: y \u003d kx. 1 3K 1 K K K K K 4 2K, vertikalna izoCLINA: 2x + y \u003d 0. Horizontalni izocline: x + 3y \u003d 0.

36 Primjer 2 (nestabilan čvor) 36 yx jer je 1 \u003d 2 manja od apsolutne vrijednosti, a zatim pronalaženje odgovarajućeg sa vlastitim vektorom \u003d (A 1, A 2) T: 4 2 A1 A1 2 A1 A2 0, 1 3 AA 2 2 \u003d (1,1) T, Utvrđujemo da se preostale fazne putanje koje formiraju parabola odnose na početak koordinata ravne linije y \u003d x. Nestabilnost položaja ravnoteže jedinstveno određuje smjer kretanja iz mjesta odmora.

37 Primjer 2 (nestabilan čvor) 37 Od 1 \u003d 2 je manji u apsolutnoj vrijednosti, a zatim pronalaženje odgovarajućeg vektora \u003d (A 1, A 2) T: 4 2 A1 A1 2 A1 A2 0, 1 3 AA 2 2 \u003d ( 1,1) T, utvrđujemo da se preostale fazne putanje koje formiraju parabola odnose na početku koordinata ravne linije y \u003d x. Nestabilnost položaja ravnoteže jedinstveno određuje smjer kretanja iz mjesta odmora. Y X.

38 Primjer DX x 4 Y DT DY 4x2Y DT 1. Sistem ima jedinstvenu nultu ravnotežnu poziciju, od Det A \u003d Izgradnja odgovarajuće karakteristične jednadžbe \u003d 0, smatramo da je diskriminiralo D.< 0, то корни уравнения комплексные, причем Re 1,2 = 3/2. Следовательно, положение равновесия устойчивый фокус. 3. Вертикальная изоклина: x 4y = 0. Горизонтальная изоклина: 2x y 0. Фазовые траектории являются спиралями, движение по которым происходит к началу координат. Направления «закручивания траекторий» можно определить следующим образом.

39 Primjer 3 (održivi fokus) 39 Odredite znak Y (t) na X osi X. Sa y \u003d 0, imamo: DY 4x 0, ako je X 0. DT Y0 Y, na taj način se povećava pokretna točka kroz fazu putanju sa raskrižjom "pozitivne osi X osi". Dakle, "Twist" putanje događa se u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. X.

40 Primjer DX X4 Y DT 1. Sistem ima jedinstvenu nultu ravnotežu, jer je Det A \u003d izgradnja odgovarajuće karakteristične jednadžbe 2 3 \u003d 0, pronaći ćemo njegove korijene 1,2 \u003d I3. Shodno tome, položaj ravnoteže centra. 3. Vertikalna izoCLINA: x 4Y \u003d 0. Horizontalni izocilizacija: x y 0. Fazne putanje sistema elipse. Na primjer, smjer kretanja na njima može se instalirati, na primjer, tako.

41 Primjer 4 (Centar) 41 Odredite znak derivatnog Y (t) na tačkima X osi. Na y \u003d 0, imamo: DY DT Y0 X 0, ako je X 0. Dakle, povećava se redoslijed pokretne točke duž fazne putanje s raskrižjom "pozitivne osi X osi X". Dakle, kretanje elipse događa se u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. X.

42 Primjer 5 (DegeneReR čvor) 42 DX XY DT 1. Sistem ima jedinstvenu nultu ravnotežu, jer je Det A \u003d izgradnja odgovarajuće karakteristične jednadžbe \u003d 0, pronaći ćemo njegove korijene 1 \u003d 2 \u003d 2 , Ravnotežni položaj je stalan degenerirani čvor. 3. Direktno: y \u003d kx. 13K K 2 K K K1,2 4. Vertikalna izoCLINA: X + Y \u003d 0. Vodoravna izoCLINA: x 3Y \u003d 0.

43 Primjer 5 (degenerirani čvor) 43 y x crtanje izoklina na faznoj ravnini i direktnim trajanjima faznog puta. Ostatak aviona ispunjen je putanjem, koje leže na granama parabole koja se odnose na ravno y \u003d x.

44 Primjer 5 (Degenerirana skupština) 44 Otpornost na ravnotežni položaj nedvosmisleno određuje smjer kretanja na početak koordinata. Y X.

45 Primjer DX 4x 2 Y, DT DY 2X Y DT Od odrednica matrice sistema Det A \u003d 0, tada sustav ima beskonačno mnogo ravnotežnih položaja. Svi oni leže na ravnoj liniji y 2 x. Izgradnja odgovarajuće karakteristične jednadžbe 2 5 \u003d 0, nalazimo njegove korijene 1 \u003d 0, 2 \u003d 5. Slijedom toga, sve ravnotežne položaje su otporne na Ljapunov. Izgrađujemo jednadžbe preostalih faza puta: DY 2x y DY 1 1, \u003d, y x C. DX 4x 2Y DX, tako, fazne putanje leže na direktnom Y X C, C Const. 2.

46 Primjer Umjera kretanja jedinstveno se određuje stabilnošću tačaka ravnih y 2 x. Y X.

47 Primjer DX 2 X Y, DT DY 4x2Y DT Od odrednica matrice sustava Det A \u003d 0, tada sustav ima beskonačno mnogo ravnotežnih položaja. Svi oni leže na ravnoj liniji y 2 x. Od traga matrice TR sistema, korijene karakteristične jednadžbe 1 \u003d 2 \u003d 0. Stoga su sve ravnotežne položaje nestabilne. Izgrađujemo jednadžbe preostalih faza puta: DY 4x 2 y DY, 2, y 2 x C. DX 2x y DX, tako, fazne putanje leže na direktnom Y 2 x C, C Const i paralelno sa ravnim bodova. Smjer kretanja postavljamo putanje na sljedeći način.

48 Primjer Odredite znak izvedenog Y (t) na točkama X osi. Kad je y \u003d 0, imamo: DY 0, ako je x 0, 4 x dt y0 0, ako je X 0. Na taj način povećava se pomična točka duž fazne putanje s raskrižjom "pozitivnog snopa X", i "negativan" opada. Stoga će kretanje faznih putanja s desne strane ravne točke ostatka biti prema gore, a lijevo od vrha do dna. Y X.

49 Vježbe 49 Vježba 1. Za određene sustave odredite vrstu i prirodu stabilnosti ravnotežnog položaja. Izgradite fazne portrete. 1. DX 3, 3. DX 2 5, 5. DX X Y X Y 2 X Y, DT DT DT DY DY 6X 5 Y; 2x 2 y; 4x 2 y; DT DT DT 2. DX, 4. DX 3, 6. DX X X Y 2X 2 Y, DT DT DT DY DY DY 2 x Y; x y; X y. DT DT DT Vježba 2. Pod kojim vrijednostima parametra A R sistem DX DY 2 AX Y, AY 2AX DT DT ima ravnotežni položaj i je li sjedište? čvor? fokus? Šta sistem ima fazni portret?

50 Nehomogeni LDS 50 Razmotrite linearni nehomogeni sistem (NLLA) sa konstantnim koeficijentima: DX sjekira: (5) DT DY CX DY, DT kada 2 2. Rješavanje sustava jednadžbi: sjekira By, CX DY, odgovorit će na pitanje Sistem ima (5) ravnotežne položaje. Ako je DET A 0, tada sustav ima jedini položaj ravnoteže P (x 0, y 0). Ako je DET a 0, tada sustav ili ima beskonačno mnogo ravnotežnih položaja tačke, određene s AX +-by + \u003d 0 jednadžbom (ili CX + DY + \u003d 0) ili nema ravnoteže.

51 Pretvaranje NLL-ova 51 Ako sustav (5) ima ravnotežni položaj, zamjenom varijabli: XX0, Y Y0, gdje, u slučaju kada sustav (5) ima beskonačno mnogo ravnotežnih položaja, x 0, y 0 koordinata bilo koje točke koje pripadaju pravim linijama odmora, dobivamo homogen sustav: DAB, (6) DT DC D. DT Unos X0Y faza ravnine s novim koordinatnim sistemom sa centrom na mirovanju P, u njemu ćemo izgraditi fazni portret sistema u njemu (6). Kao rezultat, na X0Y ravnini dobijamo fazni portret sistema (5).

52 Primjer DX 2x 2Y12, DT DY x 2Y 3 DT od 2x 2Y 12 0, x 3, x 2y 3 0 y 3, zatim DS ima jedno ravnotežni položaj P (3; 3). Zamjenom varijabli X \u003d + 3, y \u003d + 3 dobivamo sustav: D 2 2, DT D 2, čiji je položaj DT nula nestabilan i je sedlo (vidi primjer 1).

53 Primjer izgradnje faznog portreta na P ravnini, kompatibilan je sa svojom X0Y fazom ravninom, znajući koje koordinate imaju tačku P. Y P X

54 fazni portreti NLLS 54 Kada izgradnja faza portreta u slučaju kada sistem (5) nema ravnotežne položaje, možete koristiti sljedeće preporuke: 1. Pronađite prvi integral DX DY jednadžbe, sjekire CX DY i tako Odredite porodicu svih faznih putanja. 2. Pronađite glavni ISOblin: sjekira za 0 (W), CX DY 0 (GI). 3. Pronađite ravne linije koje sadrže fazne puštanja u obliku y \u003d kx +. Istovremeno, pronaći koeficijente K i, s obzirom na to da je C: A D: B, za izgradnju jednadžbu: DY (sjekira) k. DX Y KX sjekira (a KB) x B y KX

55 fazni portreti NLDS 55 Od izraza (A KB) x B ne ovisi o X, ako A + KB \u003d 0, tada dobijamo sljedeće uvjete za pronalazak K i: KB 0, k. b Jednadžba se može pretraživati \u200b\u200bi u obliku x \u003d ky +. Uvjeti za određivanje K i izgrađeni su slično. Ako postoji samo jedna ravna linija, asimptota je za ostale putanje. 2. Da bi se odredio smjer kretanja po faznim putanjem, odrediti područja "poravnanja" desnih dijelova sustava (5). 3. Da bi se utvrdila priroda konveksnosti (konkavnosti) faznih putanja, izgraditi derivativnost Y (x) i uspostaviti područja njenog "usklađivanja". Razne tehnike izgradnje faznih portreta pogledat će primjere.

56 Primjer DX DT DY 0, 1. Y Rešavanje Jednadžbe: DX DY 0 0, 1 Dobijamo da sve fazne putanje leže na direktnom XC, C R. od Y (t) \u003d 1\u003e 0, zatim ordinate kreation točke u bilo kojoj fazi putanja povećana. Shodno tome, pokret po faznim puštanjem događa se od dna do vrha. X.

57 Primjer DX DT DY 2, 2. y Odlučivanje jednadžbe: DY DX 2 1, 2 Dobijamo da sve fazne putanje leže na direktnom Y X + C, C R. od y (t)< 0, то ордината движущейся точки по любой фазовой траектории убывает. Следовательно, движение по фазовым траекториям происходит сверху вниз. x

58 Primjer DX 1, DT DY X 1. DT Rješavanje jednadžbe: DY X 1, DX 2 (x 1) YC, CR, 2 Dobijamo da su fazne staze sustava parabola: koje su u horizontalnoj Isoblin X 1 0, a grane su usmjerene prema gore. Od x (t) 1\u003e 0, apscisa pokretne točke u bilo kojoj faznoj putanju povećava se. Slijedom toga, kretanje uz lijevu granu parabole javlja se od vrha do dna do raskrižja s ravnim horizontalnim izoklinom, a zatim ispod gore.

59 Primjer y Odredite smjer kretanja u faznim putanjem, bilo bi moguće uspostaviti područje "poravnanja" desnih dijelova sustava. Y 1 x x "(t)\u003e 0, y" (t)< 0 x"(t) > 0, y "(t)\u003e 0 x 1

60 Primjer DX Y, DT DY Y 1. DT vertikalni izocline y \u003d 0; Horizontalni izocline y 1 \u003d 0. Otkrićemo da li postoji direktna, koja sadrži fazne puštanja. Bit će takve izravne jednadžbe u obliku y \u003d KX + b. Od k dx yy kx b ykxb ykxb ykxb, zatim zadnji izraz ne ovisi o X, ako je k \u003d 0. Zatim za pronalazak b, dobivamo b 1. b 1. b 1. B. su na liniji. Ovo direktno je asimptota na faznoj ravnini.

61 Primjer će uputiti, kakav karakter konveksnosti (konkavnost) ima fazne putanje u odnosu na X osi X. Da bismo to učinili, nalazimo derivat Y (x): y (x)\u003e 0 y 1 1 "() 1 1, DX DX Y DX G YYYY 2 DYDYDYXY i definiramo područja" alpopulacije "rezultirajućeg izražavanja. U onim područjima gdje y (x)\u003e< 0, выпуклость «вверх». y (x) < 0 y (x) > 0 X.

62 Primjer saznanju smjera kretanja po faznim putanjem, određivanjem područja "naizmjeničnih" desnih dijelova DX Y, DT DY Y 1. DT, granice ovih područja bit će vertikalni i horizontalni ISOBlin. Primljene informacije su dovoljno za izgradnju fazne portreta. y x (t)\u003e 0, y (t)\u003e 0 y (x)\u003e 0 x (t)\u003e 0, y (t)< 0, y (x) < 0 x (t) > 0, y (t)< 0 y (x) > 0 X.

63 Primjer x (t)\u003e 0, y (t)\u003e 0 y (x)\u003e 0 y y x (t)\u003e 0, y (t)< 0, y (x) < 0 x x x (t) > 0, y (t)< 0 y (x) > 0

64 Primjer DX 2, DT DY 2 X Y. DT horizontalni izocili: 2x y \u003d 0. Otkrićemo da li postoji direktna, koja sadrži fazne puštanja. Bit će takve izravne jednadžbe u obliku y \u003d KX + b. Od DY 2 XY (2 k) XBK, 2 2 DX Y KX by KX B, zatim zadnjeg izražavanja ne ovisi o X, ako je k \u003d 2. Zatim za pronalazak B, na taj način dobivamo 2 b 4. 2 Ravni y \u003d 2x 4 su fazne puštanja. Ovo direktno je asimptota na faznoj ravnini.

65 Primjer Uspostavite koji karakter konveksiranja (konkavnost) ima fazne putanje u odnosu na osi X. Da bismo to učinili, pronaći ćemo derivativnost Y (x): 2 dx "() DX" () DX definiramo područja "alternessnosti" rezultirajućeg izražavanja. U onim područjima gdje y (x)\u003e 0, fazne putanje imaju konveksnost "Dolje", a gdje y (x)< 0, выпуклость «вверх». y (x) > 0 y x y (x)< 0

66 Primjer saznanju smjera kretanja po faznim putanjem, identificiranje područja "izmjene" desnih dijelova sustava: DX 2, DT DY 2 X Y. DT Granica ovih područja bit će horizontalna izocila. x (t)\u003e 0, y (t)<0 y x (t)>0, y (t)\u003e 0 x Primljene informacije su dovoljno za izgradnju fazne portreta.

67 Primjer y (x)\u003e 0 y x y y (x)< 0 x x (t)>0, y (t)<0 y x x (t)>0, y (t)\u003e 0

68 Primjer DX X Y, DT DY 2 (x y) 2. DT vertikalni izocline: x y \u003d 0; Horizontalna izoCLINA: X Y + 1 \u003d 0. Otkrićemo da li postoji direktna, koja sadrži fazne puštanja. Bit će takve izravne jednadžbe u obliku y \u003d KX + b. Od DY 2 (XY) K 2 2, DX XYXY (1 k) XB YKXB YKXB YKXB, a zatim posljednji izraz ne ovisi o X, ako je k \u003d 1. Zatim za pronalazak B dobivamo B 2. B tako na ravno Y \u003d x +2 fazne puštanja laži. Ovo direktno je asimptota na faznoj ravnini.

69 Primjer Odredite kako apscisa i redoslijed pokretne točke kroz promjenu fazne putanja. Da biste to učinili, izgrađujemo područje "poravnanja" desnih dijelova sustava. y x (t)<0, y (t)<0 x (t)<0, y (t)>0 x x (t)\u003e 0, y (t)\u003e 0 ove informacije bit će potrebne za određivanje smjera kretanja uz putanje.

70 Primjer Uspostavite koji lik ispupčenja (konkavnost) ima fazne staze u odnosu na osi X. Da biste to učinili, pronađite derivat y (x): 2 (xy) () 2 2 ("(" (") xy 2 (2) dx dx xy (xy) (xy) (xy) (xy) (xy) 2 dydxyyxxy područje "alternacije" rezultirajućeg izraza. U onim područjima gdje y (x)\u003e 0, fazne putanje imaju konveksičnost "dolje" i gdje y (x)< 0, выпуклость «вверх». y (x)> 0 y y (x)< 0 x Полученной информации достаточно для построения фазового портрета. y (x)> 0

71 Primjer 14 (FP) 71 Y Y X Y X X

72 Vježbe 72 Gradni fazni portreti za sljedeće sustave: DX 3x 3, DT DY 2x Y1; DT DX X, DT DY 2x 4; DT DX X Y 2, DT DY 2x 2Y1; DT DX 1, DT DY 2 X Y; DT DX DT DY DT DX DT DY DT 2, 4; Y 2, 2.

73 Literatura 73 Pontryagin L.S. Obične diferencijalne jednadžbe. M., Filippov A.f. Prikupljanje zadataka prema diferencijalnim jednadžbama. M., Panteleev A.V., Yakimova A.S., Bosov A.V. Obične diferencijalne jednadžbe u primjerima i zadacima. M.: Viši. Shk., 2001.

03.03.07 Klase 4. Postojanje i održivost ravnotežnih položaja linearnih dinamičkih (PLS) sistema u ravnini. Izgradite parametrični portret i odgovarajuće fazne portrete LDS-a (X, YR, AR):

Seminar 4 sustav dvije obične diferencijalne jednadžbe (ODU). Fazni avion. Fazni portret. Kinetičke krivulje. Posebne bodove. Stabilnost stacionarnog stanja. Linearizacija sistema B.

Matematičke metode u ekologiji: prikupljanje zadataka i vježbi / SOST. ONA. Semenova, E.V. Kudryavtseva. Petrozavodsk: Izdavačka kuća Petrgu, 005..04.09 Lekcija 7 Model "Predator-žrtvovanje" Tradi Volterra 86 (zgrada

Ruski tehnološki univerzitet u Mireji Dodatni šefovi više matematike Poglavlje 5. Pointi za odmor posvećeni su modeliranju dinamičkih sistema koristeći elemente veće matematike

Sistem linearnih diferencijalnih jednadžbi sa stalnim koeficijentima. Koltsov S.N. www.linis.ru Način varijacije proizvoljnih konstanti. Razmislite o linearnoj nehomogenoj diferencijalnoj jednadžbi:

P. Predavanje 3 Stabilnost rješavanja sistema DB ako je neki fenomen opisan sistem DX DX DT I \u003d f (t, x, x ... x), i \u003d .. NC početni u uvjetima XI (t 0) \u003d x I0, i .. n, koji su obično

4.04.7 Lekcija 7. Stabilnost ravnotežnih položaja autonomnih sistema (Lyapunov Linerizacija metoda, Lyapunov Theorem) X "(F (x, y), f, gc (). Y" (g (x, y), d pretraživanje Za ravnotežne položaje P (x * ,: F

Seminari 5 i 6 sustava dvije autonomne obične linearne diferencijalne jednadžbe. Fazni avion. Isoklin. Portreti izgradnje faza. Kinetičke krivulje. Poznanstvo sa trax programom. Faza

Predavanje 6. Klasifikacija mirovanja linearnog sistema dviju jednadžbi sa trajnim vrijednim koeficijentima. Razmotrite sistem dvije linearne diferencijalne jednadžbe sa stalnom važećem

Seminar 4 sustav dvije autonomne obične linearne diferencijalne jednadžbe (ODU). Rješenje sistema dva linearnog autonomnog ODUS-a. Vrste jedinstvenih bodova. Rješavanje sistema linearnih diferencijalnih jednadžbi

Ministarstvo prosvjete i nauke o saveznoj državnoj budžetskoj industriji visokog obrazovanja "Ufa Državno naftno univerzitet" Ufa Državnog nafte "

Predavanje 1 Elementi visokokvalitetne analize dinamičkih sistema sa neprekidnim vremenom na direktnom razmatrat će autonomnu diferencijalnu jednadžbu du \u003d f (u), (1) DT koji se može koristiti

Seminar 7 Istraživanje stabilnosti stacionarnih država nelinearnih sistema drugog reda. Klasični sistem V. Volterra. Analitička studija (definicija stacionarnih država i njihova održivost)

Posebne točke u sistemima drugog i trećeg reda. Kriteriji stabilnost stacionarnih stanja linearnih i nelinearnih sistema. Definicija plana odgovora Centra za posebne tačke. Određivanje posebne tačke

Praktične vežbe na diferencijalnim jednadžbama Metodički razvojni prevodilac: Prom salamat na osnovu: AF Philippov kolekcija zadataka prema diferencijalnim jednadžbama Moskva-Izhevsk Nic "Regular

1 predavanje 2 sustave nelinearnih diferencijalnih jednadžbi. Statusni prostor ili fazni prostor. Posebne tačke i njihova klasifikacija. Uslovi održivosti. Čvor, fokus, sedlo, centar, granični ciklus.

7 položaja ravnoteže linearnih autonomnih sistema drugog reda autonomnog sistema za funkcije (t) (t) naziva se sistem diferencijalnih jednadžbi D D () Q (7) DT DT gdje desni dijelovi ne ovise

Ministarstvo obrazovanja i nauke Državnog univerziteta Ruske Federacije Yaroslavl. P. G. Demidov Odjel za algebru i matematičku logiku S. I. Yablokova krivine drugog reda dijela radionice

Poglavlje IV. Prvi integrali Odu sistema 1. Prvi integrali autonomnih sistema običnih diferencijalnih jednadžbi u ovom stavku razmotrit će autonomne sisteme obrasca F X \u003d F 1 X, F N X C 1

Predavanje 9 Linearizacija difuznih jednadžbi Linearne diferencijalne jednadžbe viših naloga homogene jednadžbe svojstava svojih rješenja Nemovi rješenja nehomogenih jednadžbi Definicija 9 linearna

Izgradnja integriranih krivulja i faznih portreta autonomne jednadžbe koji ima grafikon glatke funkcije f (u), moguće je shemički izgraditi integralne krivulje jednadžbe du dt \u003d f (u). (1) Zgrada se temelji na

7.0.07 Lekcija. Dinamički sistemi sa neprekidnim vremenom na ravno. Zadatak 4. Izgradite dijagram bifurkacije i tipične fazne portrete za dinamički sistem: D DT Rješenje jednadžbe F (,, 5 5,

Teorija stabilnosti Lyapunov. U mnogim zadacima, mehaničarima i tehnologiji važno je znati nije određene vrijednosti rješenja određenom vrijednošću argumenta, već prirodi odluke rješenja prilikom promjene

P. 1 od 17 10.26.2012 11:39 Testiranje certifikata u oblasti specijalnog obrazovanja specijalitet: 010300.62 Matematika. Disciplina računalnih nauka: Vrijeme diferencijalnih jednačina

Seminar 5 modela koji su opisani sistemima dvije autonomne diferencijalne jednadžbe. Studija nelinearnih sistema drugog reda. Model ladiva. Volterra model. U općem obliku modela koji su opisali sistemi

Diferencijalna jednadžba seminara prvog reda. Fazni prostor. Fazne varijable. Stacionarno stanje. Stabilnost stacionarnog stanja Lyapunov. Linearizacija sistema u okolini

Izdvajanje matematičke analize: Predmetni diferencijalne jednadžbe: Koncept stabilnosti odluke DU-a i rješenja sistema Lek Lek Pakhomova e.g. 2012 5. Koncept održivosti rješenja 1. Preliminarni komentari

Zadaci s parametrom (grafičko rješenje za prijem) Uvod Upotreba grafikona u proučavanju zadataka sa parametrima neobično je efikasna. Ovisno o načinu njihove uporabe razlikuju se dva glavna pristupa.

Ruski tehnološki univerzitet u Mireji Dodatni šefovi viših matematičkih poglavlja 3. Sistemi diferencijalnih jednadžbi Rad je posvećen modeliranju dinamičkih sustava pomoću elemenata

Kvadratne jednadžbe Sadržaj Square Jednadžbe ... 4. I studija kvadratnih jednadžbi ... 4 .. Kvadratna jednadžba sa numeričkim koeficijentima ... 4 .. Riješite i istražite kvadratne jednake relativne

7..5, .. 5 lekcija ,. Diskretni dinamički sustavi na direktnom zadatku za proučavanje dinamike gustoće stanovništva (T) opisano jednadžbom: T t, Const. Postoje da li među rješenjima jednadžbe

Funkcija istraživanja i izgradnju grafikona. Istraživački predmeti: 1) Regija odlučnosti, kontinuiteta, paritet / čudnost, učestalost funkcije. 2) asimptoti grafikona funkcije. 3) nula funkcija, intervala

Predavanje 16 Zadatak stabilnosti ravnotežnog položaja u konzervativnom sistemu 1. Lagrange Theorem o stabilnosti ravnotežnog položaja konzervativnog sistema može biti ni stupnjeva slobode. P 1, 2. kolo kval.

Krivulje drugog reda kruga elipse hiperbole Parabole puštaju avion postavi pravokutni karticalni koordinatni sustav. Krivulja drugog reda naziva se raznim bodovima čije koordinate zadovoljavaju

Predavanje 1 Diferencijalne jednadžbe prvog reda 1 Koncept diferencijalne jednadžbe i njena rješenja za redovnu diferencijalnu jednadžbu od 1. naloga naziva se izraz obrasca F (x, y, y) 0, gdje

Tema 41 "Zadaci s parametrom" Glavne formulacije zadataka sa parametrom: 1) Pronađite sve vrijednosti parametara, svako što smo zadovoljni određenim stanjem.) Riješite jednadžbu ili nejednakost

Predavanje 3. Fazne niti u avionu 1. Stacionarne točke, linearizacija i stabilnost. 2. Ograničite cikluse. 3. Bifurkacije faze protoka u avionu. 1. Stacionarne tačke, linearizacija i stabilnost.

Predavanje 3 Održivost ravnoteže i kretanja sustava Prilikom stalnog pokreta ogorčene jednadžbe ogorčenog pokreta u obliku D DT a y gdje je vektorska kolona kvadratna matrica konstantnih koeficijenata

5. Održivost atrakcija 1 5. Stabilnost atraktora u prošlom dijelu naučili smo pronaći fiksne točke dinamičkih sistema. Takođe smo saznali da postoji nekoliko različitih vrsta fiksnih

Veljače od 4. februara, Najjednostavniji zadaci kontrole problema sa dinamikom populacije omogućuju besplatan razvoj stanovništva koji je opisao Malthus Model N N gdje je broj broj biomase ili količina stanovništva biomase

1) Omogućite jednadžbu u drugom reduku krivulje drugog reda x 4x y 0 u kanonski oblik i pronađite točke raskrižja s ravnim x y 0. Izvršite grafičku ilustraciju dobivenog rješenja. x 4x y 0 x x 1 y 0 x 1 y 4

Poglavlje 4 Sistemi običnih diferencijalnih jednačina Opći pojmovi i definicije Osnovne definicije za opisivanje nekih procesa i pojava, često je potrebno za pronalaženje ovih funkcija.

Seminar 9 linearna analiza stabilnosti homogenog stacionarnog stanja sustava dviju jednadžbi reakcijsku reakciju difuzijom nestabilnosti turinga aktivatora i inhibitora uvjetima za pojavu disipativnih struktura

Predavanje 17 Kriteriji Raus Gurwitz. Male oscilacije 1. Stabilnost linearnog sustava smatra sistem dvije jednadžbe. Jednadžbe ogorčene pokretne su: DX 1 DT \u003d x + AX \u200b\u200b3 1, DX DT \u003d x 1 + AX \u200b\u200b3,

Ministarstvo obrazovanja i nauke Ruske Federacije Novosibirsk Državno sveučilište Fakultet za veću matematiku fizičkih fakulteta za rješavanje običnih diferencijalnih jednadžbi.

1. Šta su obične diferencijalne jednadžbe i sustavi. Koncept rešenja. Autonomne i ne-autonomne jednadžbe. Jednadžbe i sustavi narudžbe iznad prvog i njihovog smanjenja u sisteme prvog reda.

Predavanje 1 Studija kretanja u konzervativnom sistemu sa jednim stepenom slobode 1. Osnovni pojmovi. Konzervativni sistem sa jednim stepenom slobode nazvat ćemo sistem opisano u diferencijalnoj

Poglavlje. Stabilnost linearnih sistema 8 stepeni sa znakom +, od rezultiranja slijedi koji () π se povećava od do π. Dakle, uvjeti φ i () i k () +, i.e., vektor (i) φ monotonično φ raste

Fazni avion za nelinearnu autonomnu jednadžbu - naređenje problema. Razmislite o autonomnoj jednadžbi obrasca \u003d f. () Kao što znate, ova jednadžba je ekvivalentno sljedećem normalnom sistemu.

Diferencijalne jednadžbe 1. Osnovni pojmovi Diferencijalna jednadžba u odnosu na neku funkciju naziva se jednadžbom koja veže ovu funkciju svojim neovisnim lakom i sa svojim derivatima.

Matematičke metode u ekologiji: prikupljanje zadataka i vježbi / SOST. ONA. Semenova, E.V. Kudryavtseva. Petrozavodsk: Izdavačka kuća Petra, 2005. 2 lekcija semestra. Model "Predator-žrtva" Tradi Volterra Tema 5.2.

Geometrijsko značenje izvedenog, tangenta 1. Na slici prikazuje grafikon funkcije y \u003d f (x) i tangent na njemu na tačku s AbsCissa X 0. Pronađi vrijednost derivatne funkcije f (x) u točki X 0 Vrijednost

Predavanje 23 Konveksnost i konvencija grafikona funkcije točke oflekcije Grafikon funkcije Y \u003d F (x) naziva se konveksnim u intervalu (A; b) ako se nalazi ispod bilo kojeg od svog tangencijalnog rasporeda u ovom intervalu

Poglavlje 6 Osnove teorije održivosti Problem Osnovni pojmovi prethodno su pokazali da je rešenje Cauchy problema za normalan sistem Odu \u003d F, () kontinuirano ovisi o početnim uvjetima kada

11/19/15 Lekcija 16. Osnovni model "Brusseltor" prije ranih 70-ih. Većina hemičara vjerovala je da kemijske reakcije ne mogu ići u oscilatorni režim. Eksperimentalne studije sovjetskih naučnika

Poglavlje 8 Funkcije i grafičke varijable i odnose između njih. Dvije vrijednosti i nazivaju se direktno proporcionalno ako je njihov omjer stalno, i.e. ako \u003d, gdje je stalan broj koji se ne mijenja promjenom

Sistem studenata za ispit iz matematike nivoa profila. (Zadaci s parametrom) Teorijska definicija materijala. Parametar se naziva neovisna varijabla, čija se vrijednost smatra u zadatku

Research Researcture i izgradnja njenog grafičkog sažetka: Funkcija se istražuje na monotoniju, ekstremitetu, konveksetu, egzistenciju asimptota daje se primjer funkcije funkcija, izgrađenih

29. Asimptotska stabilnost rješenja sistema običnih diferencijalnih jednadžbi, područje privlačnosti i metoda njene procjene. Theorem v.i. Zubov o granici područja atrakcije. V.d.nogin 1 o. Definicija

Predavanje 13 Tema: krivulje drugog reda drugog reda u ravnini: Elipsa, hiperbola, parabola. Izlaz jednadžbi krivulje drugog reda zasnovane na njihovim geometrijskim svojstvima. Proučavanje oblika elipse,

Odobreni prorektor za akademske poslove i obuku Dovuzovskaya A. A. Voronov 9. januara 2018. godine na disciplini: Dinamički sistemi u pravcu pripreme: 03.03.01 "Primijenjena matematika

Automatizacija i telemehanika, L-1, 2007

Ras B 02.70.-C, 47.LL.-J

© 2007 Yu.S. Popkov, dr. Tehn. Nauke (Institut za analizu sistema Ruske akademije nauka, Moskva)

Kvalitativna analiza dinamičkih sistema sa operatorom VD-entropije

Predložena je metoda proučavanja postojanja, jedinstvenosti i lokalizacije jedinstvenih tačaka klase klase DSECO-a u razmatranju. Primio uslove stabilnosti "u malom" i "u velikom". Primjeri primjene dobivenih uvjeta su dati.

1. Uvod

Mnogi problemi matematičkog modeliranja dinamičkih procesa mogu se riješiti na temelju koncepta dinamičkih sistema s operatorom entropije (Dsec). DSEO je dinamičan sistem u kojem je nelinearnost opisana parametrijskim zadatkom maksimiziranja entropije. Fairo-Moolološki Dseco model je makro sistema sa "spornim" samoprodukcijom i "brzom" raspodjelom resursa. Ispitana su neka svojstva DSEO-a. Ovaj rad nastavlja ciklus istraživanja kvalitativnih svojstava Dseco-a.

Razmatra se dinamički sistem s operatorom VD-Entropije:

^ \u003d £ (x, y (x)), x e

y (x) \u003d a ^ shah (hb (y) | tu \u003d c (x), u e ^)\u003e 0.

U tim izrazima:

C (x, y), c (x) - kontinuirano različite vektorske funkcije;

Entropija

(1.2) HB (Y) \u003d UZ 1P AZ\u003e 0, S \u003d T ~ T;

T - (G x SH) -Matza sa elementima ^ 0 ima potpuno rang jednak r;

Pretpostavlja se da je vektorska funkcija C (x) kontinuirano različita, postavljene ^ ^^ ^ tanac c pozitivno je paralelepiped

(1.3) Q \u003d (C: 0<оТ ^ ц ^ а+} С Е+,

tamo gdje su A- i A + vektori E +, postavljaju se pitanje sa malim komponentama.

Iskoristite dobro poznate zastupljenost operatora entropije putem Lagrange Multiplikatora. Sistem (1.1) transformiramo na sljedeći obrazac:

- \u003d £ (x, y (d)), x e kp, y (g) e?, G e eger +

Uz (d) \u003d az \\\\ ^, 3 \u003d 1,

O (x, d) \u003d tu (g) \u200b\u200b\u003d d (x),

gdje je gk \u003d exp (-ak)\u003e 0 je eksponencijalni faktor Lagrangea.

Uz DSEO o općeg pregleda (1.1) razmotrit ćemo se nakon davanja klasifikacije.

DSEO sa odvojivim protokom:

(1-5) ^ \u003d i (x) + w (g),

gde u (P x T) -Matza;

DSEO sa multiplikativnim streamom:

(1.6) ^ \u003d x ® (A - X ® Shu (D)), oh

gdje je W (P x T) -Matza s negativnim elementima i vektoru sa pozitivnim komponentama, ® - znak umnožavanja koordinata.

Zadatak ovog rada je proučavanje postojanja, jedinstvenosti i lokalizacije jedinstvenih Dsec bodova i njihovu stabilnost.

2. Jednina bodova

2.1. Postojanje

Razmotrite sistem (1.4). Sinječne tačke ovog dinamičkog sistema određuju se sljedećim jednadžbama:

(2.1) C ^ (x, y (d)) \u003d 0, r \u003d tp;

(2.2) uz (d) \u003d a ^ g ^, 3 \u003d t ^:

(2.3) VK (d) \u003d ^ az g ^ \u003d DC (x), k \u003d 1, g.

Razmislite o prvom pomoćnom sistemu jednadžbi:

(2.4) C (D, D) \u003d G, D E I

gdje su mnogi definirali ravnopravnosti (1.3) i C (D, D) - vektorskim funkcijama sa komponentama

(2.5) SK (D, D) \u003d - OK (D), A-< дк < а+, к =1,г.

Jednadžba (2.4) ima jedinstveno rješenje g * sa svakim fiksnim vektorima D, koji slijedi iz svojstava operatera VD-Entropy (vidi).

Iz definicije komponente vektorske funkcije C (D, D) postoji očigledna procjena:

(2.6) C (A +, D)< С(д, г) < С(а-,г), г в Е+. Рассмотрим два уравнения:

Označite rješenje prve jednadžbe putem G + i drugog - putem G-. Odrediti

(2.7) C (A +, Z) \u003d Z, C (a

(2.8) Zmax \u003d max z +, zmin \u003d mm zk

i dimenzionalni vektori

(2.9) Z (Zmax, Zmax), Z (Zmin, Zmin).

Lemma 2.1. Za sve Q G q (1. 3) rješenja z * (q) jednadžbi (2.4) pripadaju, vektor 1 suma

zmin.< z*(q) < zmax,

tamo gdje se vektori zmin i Zmax određuju izrazima (2,7) - (2,9).

Dokaz teoreme dat je u aplikaciji. QQ.

qK (x) (1.3) za X G RN, zatim se odvija

COORLIRY 2.1. Obavijestite da se funkcije Lemme 2.1 i QK (X) zadovoljavaju uvjete (1.3) za avion Ex x g rn. Zatim za sec g rm, z * jednadžbe (2.3) pripadaju vektorskom rezu

zmin.< z* < zmax

Vratimo se sada na jednadžbe (2.2). koji određuju komponente vektorske funkcije y (z). Elementi njenog jakobica imaju pogled

(2.10) JB AJ ZK JJ &\u003e 0

za sve z g r +, osim 0 i w. Shodno tome, vektorska funkcija y (z) strogo je monotono-povećava. Prema Lemmi 2.1, ograničeno je na ispod i odozgo, I.E. Za sve z g RR (samim tim, za sve X G RN), njegove vrijednosti pripadaju setu

(2.11) y \u003d (y:< y < y+},

ako su komponente vektora YK, y + određene izrazima:

(2.12) YK \u003d AJ Y + \u003d AJ ZNLAX, J \u003d H ™.

(2.13) BJ \u003d Y, TSJ, 3 \u003d 1,

Razmislite o prvoj jednadžbi u (2.1) i prepisujte ga u obliku:

(2.14) l (x, y) \u003d 0 za sve y e s e ^.

Ova jednadžba određuje ovisnost varijable x iz varijable y, pripada-y

mi (1.4) smanjuje postojanje implicitne funkcije x (y) određeno jednadžbom (2.14).

Lemma 2.2. Neka slijede sledeće uslove:

a) vektorska funkcija L (x, y) kontinuirana je po nizu varijabli;

b) lim l (x, y) \u003d ±<ж для любого фиксированного у е Y;

c) Det j (x, y) \u003d 0 za sunce ex x e za sve popravke ann y y y.

Zatim postoji jedna implicitna funkcija x * (y), definirana na Y. U ovoj lemi j (x, y) - Jacobian sa elementima

(2.15) Ji, i (x, y) \u003d --i, ja, l \u003d l, n.

Dokaz je dat u Prilogu. Iz gore navedenih lema bi trebalo

Theorem 2.1. Pretpostavimo da su Lemme 2.1 i 2.2 ispunjene. Zatim se nalazi jedno jednička tačka Dsec (1.4) i u skladu s tim, (1.1).

2.2. Lokalizacija

Prema proučavanju lokalizacije jedinstvene tačke znači mogućnost uspostavljanja intervala u kojem se nalazi. Ovaj zadatak nije baš jednostavan, ali za neke klase Dseco, takav interval se može instalirati.

Okrećemo se prvoj grupi jednadžbi u (2.1) i predstaviti ih kao

(2.16) l (x, y) \u003d 0, y y y y +,

gdje se u- i y + određuju jednakost (2.12), (2.13).

Theorem 2.2. Neka vektorska funkcija l (x, y) bude kontinuirano različita i monotono raste po obje varijable, I.E.

-\u003e 0, -\u003e 0; Ja, L \u003d 1, n; J \u003d 1, m. DXI Dyj.

Zatim rješenje sistema (2.16) u varijabli X pripada intervalu (2.17) Xmin X XMAX-a,

a) Xmin vektori, XMAX se pregledavaju

Min \u003d i x 1 xmax \u003d r x t;

\\ Xmin :. .., xminlxmax ,. . ., XMAX):

xmin - ^ QIN ^ ■, XMAX - ^ qax ^;

6) X- i X + - komponente rješavaju sljedeće jednadžbe

(2.19) l (x, y -) \u003d 0, l (x, y +) \u003d 0

sa oo m je svaki.

Dokaz teoreme dat je u aplikaciji.

3. Održivost DSEA "u Malom"

3.1. DSEO sa odvadljivim tokom okrećemo se na dzeo jednadžbe s odvadljivim protokom, predstavljajući ih kao:

- \u003d / (x) + bu (R (x)), x e kp

Y- (g (x)) \u003d AZP (x) Y33, 3 \u003d 1, "~ 8 \u003d 1

0 (x, g (x)) \u003d tu (r (x)) \u003d D (x), g e ng ,.

Ovde su vrijednosti komponenti vektorske funkcije D (x) pripadaju setu Q (1.3), (P x W) - Sathrition B ima potpuno rang jednak p (n< ш). Вектор-функция / (х) непрерывно дифференцируемая.

Neka sistem bude u razmatranju jedinstvenog točka w. Proučiti stabilnost ove jedinstvene tačke! "U mal" ćemo izgraditi linearirani sistem

gdje A - (P x N) -Matza, od kojih se elementi izračunavaju na mjestu G, a vektor £ \u003d x - w. Prema prvoj jednadžbi u (3.1), matrica lineariziranog sistema ima

A \u003d 7 (x) + buba (g) njihove (x), x \u003d g (x),

| 3 \u003d 1, sh, k \u003d 1,

I k \u003d 1, g, i \u003d 1, n

Od (3.1), određeni su elementi MATRIX UG: DU.

"LKZ P" 8 \u003d 1

3, G8 X8, 5 1, g.

Da biste odredili elemente matrice ZX, okrećemo se posljednjoj grupi jednadžbi u (3.1). Pokazano je da ove jednadžbe određuju implicitnu vektorsku funkciju R (x), koja je kontinuirano različita ako se vektorska funkcija D (x) kontinuirano može precizirati. Jacobian ZX vektorske funkcije R (x) određuje jednadžbu

<Эг (z)Zx(Х) = Qx(Х),

vG (x) \u003d T UG (x),

dDK, -t-, - "- K \u003d 1, g, i \u003d 1, n dh \\

Iz ove jednadžbe imamo (3,9) ZX (x) \u003d B - 1 (Z) qx (x).

Zamjena ovog rezultata u jednakosti (3.3). Dobijamo:

A \u003d 1 (x) + p (x), p (x) \u003d vug (g) [tegljač (g)] - 1 qx (x).

Dakle, jednadžba lineariziranog sustava stječe prikaz

(Z.i) | \u003d (j + p) e

Ovdje se elementi matrica J, P izračunavaju u jedinstvenoj točki. Dovoljni uslovi za stabilnost "u malom" Dsec (3.1) određuje sljedeće

Teorem 3.1. DSEO (3.1) ima stabilnu "malu" jedninu tačku x ako se izvode sljedeći uvjeti:

a) Matrica J, P (3.10) linearnog sistema (3.11) ima stvarne i razne eigenvelale, a matrica J ima maksimalni pravilan broj

Ptah \u003d max pg\u003e 0,

Wmax \u003d max ui< 0;

Umax + ptah<

Iz ove teoreme i jednakosti (3.10) slijedi to za pojedinačne tačke za koje QX (x) \u003d 0 i (ili) za x, \u003d 0 i (ili (ili) za x, \u003d 0, dovoljni uvjeti teoreme nisu izveden.

3.2. Dsreo s multiplikativnim tokom razmotrite vađenje (1.6). Predstavljajući ih u obliku:

X ® (A - X ® WY (Z (x))), X E RN;

yJ (Z (x)) \u003d AJ PZS (X)] ISI "J \u003d 1, m;

(ZL2) YJ (Z (x)) \u003d a ^<~"ts

Q (x, z (x)) \u003d ty (z (x)) \u003d q (x), z e r ++.

sistemi. Imaće:

(3.13) A \u003d ^ [cm] - 2xxh (g ^ x (x).

U ovom izrazu, dijagonalna matrica je dijagonalna matrica sa pozitivnim elementima A1, ..., au, ug, zx - matrice, definirani jednakošću (3.4) - (3.7).

Zamislite matricu A u obliku

(3.14) A \u003d Diag + P (x),

(3,15) P (x) \u003d -2xwyz (z) zx (x).

Označava: Maxi AI \u003d Nmax i WMAX - Sadržajni vlastiti matrica P (x) (3.15). Tada Theorem 3.1 također vrijedi za Dsec (1.6). (3.12).

4. Održivost DSEO "u velikom"

Okrećimo se na DeSo jednadžbe (1.4) u kojima vrijednosti komponente vektorske funkcije Q (x) pripadaju setu Q (1.3). U sistemu koji se razmatra, postoji jedinstvena tačka z, koja odgovara vektorima Z (x) \u003d z ^ z-\u003e 0 i

y (x) \u003d y (z) \u003d y\u003e y-\u003e 0.

Predstavljamo vektore odstupanja £, c, n od jedinstvene tačke: (4.1) £ \u003d x - x, (\u003d y - y, n \u003d z - z.

A. Pokrovsky A.V. - 2009

1

Svrha studije je razviti logično orijentiranu superkompjutersku metodu (metoda boolskih ograničenja) i uslužno orijentirane tehnologije za kreiranje i korištenje računarskog sustava za kvalitativno istraživanje dinamike ponašanja autonomnih binarnih dinamičkih sistema na finalu vremenski interval. Relevantnost teme potvrđuje se kontinuirano povećavajući spektar primjene binarnih modela u naučnim i primijenjenim studijama, kao i potrebu za kvalitativnom analizom takvih modela s velikom dimenzijom vektora statusa. Matematički model autonomnog binarnog sustava prikazan je u konačnom vremenskom intervalu i jednadžbi ekvivalentnom ovom sistemu. Specifikacija dinamičke imovine predlaže se da evidentira logiku predikata na jeziku koristeći ograničene kvantifikatore postojanja i univerzalnosti. Bolejske jednadžbe za traženje ravnotežnih država i ciklusa binarnog sistema i njihovi uvjeti izolacije. Glavna svojstva vrste ostvarivosti (ostvarivost, sigurnost, istovremena postižnost, ostvarivost sa ograničenjima faze, atrakcija, povezivanje, ukupna dostižnost). Za svaku imovinu njegov je model izgrađen kao boolov restrikciju (boolejska jednadžba ili kvantificirana mliječna formula), zadovoljavajući logičke specifikacije imovine i jednadžbe dinamike sustava. Dakle, provjera izvodljivosti različitih svojstava ponašanja staza autonomnih binarnih dinamičkih sustava u konačnom vremenskom intervalu smanjuju se na zadatak gnojiva boolskih ograničenja pomoću modernih SAT i TQBF rješenja. Primjer demonstracije korištenja ove tehnologije daje se za provjeru izvodljivosti nekih prethodno prikazanih svojstava. Zaključak navodi glavne prednosti metode boolejskih ograničenja, karakteristike njegove provedbe softvera u okviru uslužnog pristupa i označavaju upute daljnjeg razvoja metode za druge klase binarnih dinamičkih sistema.

binarni dinamički sistem

dinamična nekretnina

kvalitativna analiza

boolove ograničenja

zadatak izvodljivosti bika

1. Biere A., Ganesh V., Grohe M., Nordstrom J., Williams R. Teorija i praksa SAT rješavanja. Dagstuhl izvještava. 2015. god. 5. Ne. 4. R. 98-122.

2. Marin P., Pulina L., Giunchiglia E., Narizzano M., Tacchella A. Dvanaest godina QBF evaluacije: QSAT je pspace-hard i to pokazuje. Fundam. Informirati. 2016. god. 149. R. 133-58.

3. Bochman D., Poshof H. Binami dinamički sustavi. M.: Energoatomizdat, 1986. 400 str.

4. Maslov S.YU. Teorija deduktivnih sistema i njegova primjena. M.: Radio i komunikacija, 1986. 133 str.

5. Jhala R., Majumdar R. Provjera softvera. ACM računarske ankete. 2009. Vol. 41. Ne. 4. R. 21: 1-21: 54.

6. Vasilyev S.N. Smanjivanje metode i kvalitativna analiza dinamičkih sistema. I-II // Vesti o Ruskoj akademiji nauka. Teorijski i upravljački sistemi. 2006. br. 1. str. 21-29. Br. 2. str. 5-17.

7. Dimacs format [elektronički resurs]. Način pristupa: http://www.cs.utexas.edu/users/moore/acl2/muneals/current/manual/index-seo.php/satlink__Dimacs (Datum rukovanja: 24.07.2018.).

8. Qdimacs standardni [elektronički resurs]. Način pristupa: http://qbflib.org/qdimacs.html (datum rukovanja: 24.07.2018).

9. Delgado-Eckert E., Reger J., Schmidt K. Diskretne vremenske sisteme sa dinamikom na bazi događaja: Nedavna dešavanja u analizi i metodama sinteze. Mario Alberto Jordan (ur.). Diskretne vremenske sisteme. Intech. 2011. R. 447-476.

10. Vasilyev S.N. Dostupnost i povezanost u automatskoj mreži s općim pravilom državnog prebacivanja // diferencijalne jednadžbe. 2002. T. 38. Br. 11. str. 1533-1539.

11. Bychkov I.V., Oparin G.A., Bogdanova V.G., Gorsky S.A., Pashinin A.A. Multiagenetska tehnologija za automatizaciju paralelnih rješenja boolejskih jednadžbi u distribuiranom računarskom okruženju // Računarske tehnologije. 2016. T. 21. br. 3. str. 5-17.

12. Lonzing F., Biere A. DEPQBF. Označite QBF Solver. Časopis o zadovoljavanju. Boolean modeliranje i računanje. 2010. god. 9. R. 71-76.

13. Oparin G.A., Bogdanova V.G., Pashinin A.A., Gorsky S.A. Distribuirani soliji primijenjenih problema na osnovu mikroservisira i agentnih mreža. Proc. Od 41. stažista. Konvencija o informacionim i komunikacijskim tehnologijama, elektronikom i mikroelektronikom (MIPRO-2018). R. 1643-1648.

14. Bogdanova v.g., Gorsky S.A. Skalabilan paralelni rječnik problema s boolejskim zadovoljstvom. Proc. Od 41. stažista. Konvencija o informaciono-komunikacijskoj tehnologiji. Elektronika i mikroelektronika (MIPRO-2018). R. 244-249.

15. Bychkov I.V., Oparin G.A., Bogdanova V.G., Pashinin A.A. Naneseni problemi rješavaju tehnologiju na temelju distribuiranog računalnog predmeta domene: decentralizirani pristup // paralelne računarske tehnologije XII međunarodna konferencija, PAVT'2018, Rostov-on-Don, april 2-6, 2018 kratki članci i opisi plakata. Čeljabinsk: Izdavački centar, Suursu, 2018. C. 34-48.

Spektar binarnih dinamičkih modela izuzetno je širok i svake godine broj objekata i zadataka u kojima je potrebna njihova upotreba, samo se povećava. Klasičan primjer je binarna sinkrona mašina koja je model mnogih diskretnih uređaja u upravljačkim sistemima, računarskom tehnologijom, telemehaniku. Moderne primjene binarnih dinamičkih modela uključuju objekte bioinformatike, ekonomije, sociologije i brojnih drugih, čini se da je udaljen od korištenja dvocifrenih varijabli, površina. S tim u vezi, značajna opsega povećava relevantnost razvoja novih i poboljšavajući postojeće metode kvalitativne analize ponašanja pustinja binarnih dinamičkih sistema (DDS).

Kao što znate, cilj visokokvalitetne analize dinamičkog sustava (ne samo binarnog) je da se postigne pozitivan ili negativan odgovor na pitanje: Da li se potrebna dinamična imovina obavlja u određenom sistemu? Parafraziramo ovo pitanje kako slijedi: čini li se ponašanje putanja dinamičkog sistema određenog skupa ograničenja karakterizacije imovine? Zatim ćemo koristiti ovu posebnu interpretaciju cilja kvalitativne analize dinamičkih svojstava sistema.

Za DDS, čiji je funkcioniranje u vezi s konačnim vremenskim intervalom, takve su ograničenja boolean i evidentiraju se na jeziku boolejskih jednadžbi ili boolejskih formula s kvantifikacijama. Prva vrsta ograničenja dovodi do potrebe za rješavanjem SAT zadatka (zadatak izvodljivosti maltretiranja); Druga vrsta ograničenja povezana je s otopinom problema TQBF (provjera istine kvantificiranih boolejskih formula). Prvi zadatak je tipičan predstavnik klase složenosti NP, a drugi zadatak je klasa složenosti PSPACE-a. Kao što znate, PSPACE-Fumanss of Diskretan problem daje jače dokaze o njegovom povezivanju od kompletnosti NP-a. Zbog toga je smanjenje zadatka kvalitativne analize DD-a na SAT problemu poželjnije nego smanjiti zadatak TQBF. Općenito, studija ne svaka DDS imovina može se dostaviti na jeziku boolejskih jednadžbi.

Teorijska mogućnost korištenja boolskih ograničenja (naime, boolejske jednadžbe) u visokokvalitetnoj analizi DDS-a prvo su pokazali u radu. Treba napomenuti, međutim, treba napomenuti da upotreba ovog pristupa u praksi, dok odsustvo učinkovitih algoritama i programa za rješavanje boolejskih jednadžbi (posebno s velikim brojem nepoznatih varijabli), što omogućava značajno smanjenje pretraživač za pretraživanje. U posljednjem desetljeću, kao rezultat intenzivnih studija, dovoljna količina različitih učinkovitih rješavanja boolskih jednadžbi (SAT-Solvers), koristeći moderna dostignuća (nova heuristika, brze strukture podataka, paralelni izračuni itd.) U rješavanju izvodljivosti nasilnika pojavio se problem. Slični procesi (ali s određenim kašnjenjem) također se primjećuju u području stvaranja efikasnijih algoritama i programa za rješavanje problema TQBF. Dakle, trenutno postoje svi potrebni preduvjeti za sistematski razvoj metode boolskih ograničenja u visokokvalitetnom analizi DDS-a, njegove provedbe programa i primjenu u rješavanju naučnih i primijenjenih zadataka.

Pored metode boolskih ograničenja, na DDS-u su također primjenjive i druge metode visokokvalitetne analize, koje uključuje deduktivnu analizu, metodu provjere i smanjenje modela. Svaka od ovih metoda (uključujući metodu boolskih ograničenja) ima svoja ograničenja, prednosti i nedostatke. Opći nedostatak je da su sve metode pokiše i problem rezanja je temeljni za ove metode.

Važnost deduktivne analize podrazumijeva upotrebu pravila aksioma i zaključka za dokazivanje ispravnosti funkcioniranja sustava, priznato je kao širok spektar stručnjaka, ali to je naporno i zato rijetko primijenjeno metodom. U metodi provjere modela, specifikacija jezika specifikacije koristi jezik temporalne logike koja je preuseljena za stručnjake za automatske dinamike. Metoda smanjenja povezana je sa izgradnjom pojednostavljenog (u određenom smislu) modelu izvornog sistema, studija njenih svojstava i uvjetima za prenosivost ovih svojstava u izvorni složeni sustav. Uvjeti tolerancije nekretnina samo su dovoljan karakter. Jednostavnost ideje o metodi smanjenja visokokvalitetne analize DDS-a suočava se s problemom odabira pojednostavljenog sustava koji zadovoljava sve uvjete metode.

Praktična upotreba metode boolejskog ograničenja uključuje algoritaciju i automatizaciju sljedećih procesa:

1) razvoj specijalističkog orijentisanog sistema za specifikacije dinamičkih svojstava logičkog jezika;

2) izgradnja modela dinamične nekretnine u obliku booleranskog ograničenja vrste jedne vrste koja zadovoljava logičku specifikaciju imovine i jednadžbe dinamike binarnog sistema;

3) koji predstavlja dobijeni model u međunarodnim dimacima ili Qdimacsovim formatom;

4) odabir (razvoj) efikasnog paralelnog (distribuiranog) rješenja za izvodljivost boolskih ograničenja (SAT ili TQBF Solver);

5) razvoj instrumentalnih sredstava za stvaranje softverskih usluga;

6) Razvoj usluga za visokokvalitetne istraživanje Različita dinamička svojstva DDS-a.

Svrha Ova studija je rješenje samo prva dva zadatka u odnosu na algoritamizaciju visokokvalitetnih studija autonomnog (bez kontrolnih ulaza) sinhronih DD-ova. Takvi sustavi u publikacijama na engleskom jeziku nazivaju se sinhroni rasuti mreže (boolejska mreža). Ostali aspekti primjene metode boolejskih ograničenja (uključujući za DDS sa kontrolnim ulazima) su predmet sljedećih publikacija.

Matematički model autonomnog DDS-a

Neka je x \u003d bn (b \u003d (0, 1) plouralnost binarnih vektora dimenzije n (prostor DDS-a). Via t∈t \u003d (1, ..., k) označavamo diskretno vrijeme ( broj sata).

Za svaku državu X0∈x, nazvana početno stanje, definiramo putanju x (T, X0) kao konačni niz država X0, X1, ..., XK iz set X. Sljedeći, razmotrit ćemo DDS u koji Svaki par susjednih stanja XT, X (T - 1) (t∈t) puštanja povezanih sa stavom

xT \u003d F (XT - 1). (jedan)

Ovdje f: X\u003e X - vektorska funkcija logičke algebre, koja se naziva tranzicijskom funkcijom. Dakle, za bilo koji X0∈x, sustav boolejskih jednadžbi (1) predstavlja model dinamike ponašanja DDS pustinja u državnom prostoru u konačnom vremenskom intervalu t \u003d (1, 2, ..., k ). U nastavku se pretpostavlja vrijednost k u definiciji postavljenog T a definirani konstantni. Ovo ograničenje je prilično prirodno. Činjenica je da sa kvalitativnom analizom ponašanja DDS putanje, praktični interes je pitanje onoga što se može reći o izvodljivosti bilo kakvih dinamičkih svojstava u fiksnoj, ne prevelici K. Izbor K u svakom slučaju provodi se na osnovu priori informacija o trajanju procesa u simuliranom diskretnom sustavu.

Poznato je da sustav boolejskih jednadžbi (1) s početnim stanjem x0∈x za t \u003d (1, 2, ..., k) ekvivalentan je jednoj boolejskoj jednadžbi tipa

Na K \u003d 1 (samo se razmatraju samo jedan korak) jednadžba (2) stječe prikaz

(3)

Rješenja ove jednadžbe određuju smjerni grafikon koji se sastoji od 2n vrhova označenih s jednom od 2N stanja postavljenih X. Vrtici X0 i X1 grafikona povezani su lukom usmjerenim iz države X0 u državu X0. Takav grafikon u teoriji binarnih automata naziva se tranzicijski dijagram. Zastupljenost ponašanja DDS-a u obliku tranzicijske karte vrlo je jasno u izgradnji putanja i proučavanja njihovih svojstava, ali se praktično realizuje samo za male dimenzije N vektor države X∈x.

Jezički alati Specifikacija dinamičkih svojstava

Prikladno je postaviti specifikaciju dinamičke nekretnine na jeziku formalne logike. Nakon posla označavamo x0∈x, x1∈x, x * ∈x - setovima početnih, dozvoljenih i ciljnih stanja.

Glavni sintaktički elementi logičke formule dinamičke nekretnine su: 1) subjektivne varijable (komponente vektora x0, x1, ..., xk, vrijeme t); 2) ograničeni kvantifikatori postojanja i univerzalnosti; 3) logički snopovi v i; Konačne formule. Konačna formula predstavlja odobrenje pripadnosti nekih stanja niza putanje X (T, X0) (X0∈x0) procijenjenim setovima X * i X1.

Treba napomenuti da upotreba ograničenih kvantifikatora postojanja i univerzalnosti pruža vrstu dinamičke nekretnine za stručnjaka za specijalista. U procesu izgradnje booleskog modela za sustav (1), ograničeni kvantifikatori zamjenjuju se u skladu s sljedećim definicijama:

gdje je (y) predikat koji ograničava vrijednost varijable y.

Na osnovu udova promjene područja varijabli T, ograničeni kvantifikatori postojanja i univerzalnosti na ovoj varijabli zamjenjuju se ekvivalentnim formulama koje ne sadrže kvantifikacije

U budućnosti pretpostavljamo da su elementi setova x0, x1, x * određuju respektivnim nulama sljedećih boolejskih jednadžbi

ili karakteristične funkcije ovih skupova,.

Uzimajući u obzir ograničenja početnih država G0 (x) \u003d 0, zajedno s jednadžbama (2, 3), koristit ćemo sljedeće boolejske jednadžbe za smanjenje unosa:

(4)

Preliminarna analiza kvaliteta autonomnih DDS-a

U fazi prije analize mogu se naći grana države (mnogi njegovi neposredni prethodnici) (ako je potrebno), prisustvo ravnotežnih država i zatvorenih putanja (ciklusa).

Država X1 u (3) bit će naziva državnog sljedbenika X0, a X0 je prethodnik države X1. U autonomnim DDS-om svaka država ima samo jedan sljedbenik, a broj prekursora ove države može se razlikovati od nule do 2n - 1. Svi direktni prekursori X0 States S∈x su nule boole jednadžbe

Ako jednadžba (6) nema rješenja, tada nedostaju državni prethodnici.

Ravnotežne države (ako postoje) su odluke boolejskih jednadžbi

Putanje X0, X1, ..., XK naziva se ciklusom dužine, ako su države x0, x1, ..., XK-1 u parovima različite jedni od drugih i xk \u003d x0. Ciklički niz dužine K (ako postoji) je rješenje boolejske jednadžbe

gdje \u003d 0 ( ) - Uvjeti razlike u paru u setovima ciklusa stanja C LOOP-a. Ako nijedan status ciklusa nema prethodnike koji ne pripadaju setu C, takav se ciklus naziva izoliran. Neka se Elementi set C određuju rješenjem logine GC jednadžbe (i) \u003d 0. Potom je lako pokazati da je stanje ciklusa izolacije ekvivalentno odsustvu nuleva u sljedećoj Bulevevu jednadžbi:

Rješenja jednadžbe (7) (ako postoje) određuju stanja ciklusa, imaju prethodnike koji ne pripadaju setu C.

Budući da je ravnotežna država ciklus dužine k \u003d 1, stanje njegove izolacije slična je izolacijskom stanju s k ≥ 2, razlika je da GC (s) ima oblik potpune disjunkcije, koji određuje ovu ravno ravnotežnu državu .

Neizolirani ravnotežni uvjeti i ciklusi nastavit će pozivati \u200b\u200bprivlačnike.

Specifikacija dinamičkih svojstava poput ostvarivosti

Glavna imovina DD-a, potreba za provjerom koja se najčešće nastaje u praksi, tradicionalno se proučava u teoriji grafikona (u našem slučaju takav je grafikon tranzicijski dijagram) vlasništvo dostićivanja i njegovih različitih varijacija i njegovih različitih varijacija i njegovih različitih varijacija. Dostižnost se definira kao klasičan zadatak analize ponašanja DDS puštanja.

Definicija ove nekretnine povezana je s definicijom skupova skupa X0, X *, x1 (što odgovara ovim skupovima boolejskih jednadžbi). Pretpostavlja se da se za postavlja X0, X *, X1 limit

Na osnovu granice set t, imovina ostvarivosti i njegove varijacije Slijedeće bit će shvaćene kao svojstvo praktične postiznosti (ostvarivost konačnog broja satova). Smatra se sljedeća svojstva vrste postizljivosti:

1. Glavna imovina dostići postavljenog X * iz seta X0 formulira se na sljedeći način: Svaka putanja koja se oslobađa iz pluralnosti inicijalnih stanja X0 dostiže ciljni set x *. Koristeći ograničene kvantifikatore postojanja i univerzalnosti, formula ovog objekta ima obrazac:

2. Sigurnosna imovina osigurava bilo koju putanju objavljenu iz X0, nehotice seta X *:

3. Imovina istodobne postinjenosti. U nekim se slučajevima može postaviti više "teški zahtjev", što svaka putanja doseže ciljni skup tačno po k (k∈t):

4. Imovina postinjevosti sa fazom ograničenja:

Ova nekretnina osigurava da su sve putanje proizvedene iz skupa x0, sve do točke u ciljnom skupu x * u setu X1.

5. Atrakcija nekretnine. Neka x * bude privlačnjak. Tada se logička formula nekretnine privlačnosti podudara s formulom glavnog vlasništva dostićivanja:

oni. Za svaku putanju objavljena iz set x0, postoji vreme vremena koje počinje od koje putanje ne prelazi set x *. Set X0 u ovom slučaju pripada dijelu područja atrakcije Set X * (X0∈xA, gdje je xa puna površina atrakcije (bazena) atraktara).

Imajte na umu da su sve varijable u gornjim svojstvima zapravo povezane, jer putanje X0, X1, ..., XK u potpunosti određuje početno stanje. Budući da se kvantifikatori u varijabilnom odnosu zamijenjeni radom višenamjenske disjunkcije ili povezanosti odgovarajućih predikata, svaka od formula ostaje jedini ograničeni kvantifikator univerzalnosti (), što vam omogućava da zapišete uvjete za izvodljivost ovih Nekretnine na jeziku boolejskih jednadžbi (kao SAT zadatak).

Navedite nam dva svojstva čija provjera vodi potrebu za rješavanjem problema TQBF.

6. Nekretnina ciljanog skupa:

oni. Postoji početna država X0∈x0 takva da je svaka ciljna država x * ⊆x * u nekom trenutku postignuća, što znači postojanje odgovarajućeg stanja putanje, tako da sve ciljne države X * ∈x * pripadaju na ovu putanju.

7. Nekretnina ukupne postinjenosti seta X * iz X0:

oni. Svako ciljno stanje je ostvarivo od X0.

Provjerite za dinamička svojstva

Za svojstva (1-5), provjera njihove izvodljivosti svodi se na potragu za nulama boolejskih jednadžbi čija je tehnologija formiranja standardizirana i detaljno se razmatra samo za glavnu imovinu dostićivosti. Nekretnine (6, 7) dovode do zadatka provjere istine kvantificirane boolejske formule.

1. Glavna imovina ostvarivosti. Njegova logična formula ima oblik

Uzimajući u obzir (4) mi pišemo formulu (8) kao

gdje je karakteristična funkcija skupa stanja putanje iz početnog stanja x0∈x0. Riješite se kvantitora postojanja u (9). Tada ćemo imati

gde - karakteristična funkcija seta X *. Zamijenite ograničene kvantifikatore univerzalnosti običnim kvantifikacijama. Kao rezultat toga, dobivamo

Formula (10) je tačna tada i samo ako je identično istinski eksverzijski izraz, I.E.

Identitet istina implikacije znači da je boolejska funkcija logična posljedica funkcije, I.E. Svaka putanja s početnim stanjem x0∈x0 dostiže ciljni set x *.

Izvodljivost identiteta (11) ekvivalentna je odsustvu nula u Buleveu jednadžbama

Nakon primitka (12) riješili smo se implikacije i zamijenili φ * (x0, x1, ..., xk) na . Ako jednadžba (12) ima barem jedno rješenje, a nemocija dostižljivosti nema mjesta. Takvo rješenje predstavlja (u određenom smislu) kontraexample za ispitivanje imovine i može pomoći istraživaču da identificira uzrok pogreške.

Zatim, za prezentaciju prezentacije za svako svojstvo (2-4), samo će jednadžba tipa (12) napisati, nudeći čitatelju da samostalno reproducira neophodno obrazloženje bliskih onima koji su date za glavnu imovinu ostvarivosti.

2. Sigurnosna imovina

3. Nekretnina istodobne postinjenosti

4. Imovina postinjevosti sa fazna ograničenja

5. Atrakcija nekretnine. Izvodljivost ove nekretnine provjerava se u dvije faze. U prvoj fazi se ispostavilo da li je skup X * privlačnika. Ako je odgovor pozitivan, tada se provjerava glavna imovina postinjevosti. Ako je X * ostvariv od X0, tada se naprave svi uvjeti nekretnine za privlačenje atrakcije.

6. Spajanje nekretnine

7. Ukupna imovina dostižljivosti`

Za nekretnine (6, 7), skalarni oblik jednakosti dva boolejski vektori XT \u003d x * ima izgled

Pokazat ćemo gornju tehnologiju visokokvalitetne autonomne analize DDS-a pomoću metode booloških ograničenja prilikom provjere izvodljivosti nekih od gore navedenih svojstava za model 3.2 iz posla:

Označavaju X0∈x \u003d B3, početno stanje modela (13). Neka je t \u003d (1, 2). Odbijamo svojstva potrebna za specifikaciju značajke tranzicija u jednom koraku i dva koraka (13):

(14)

gdje je znak ". Navedena je operacija veze.

Da biste provjerili izvršenje svakog objekta, početni (X0) i ciljani (X *) setovi, definirani nulama jednadžbi G0 (x) \u003d 0, g * (x) \u003d 0 ili karakteristične funkcije ovih skupova (vidi odlomak 2). Kao SAT, Solver se koristi kao instrumentalni kompleks (IR) Rebus, a TQBF Solver je Depqbf. Kodiranje varijabli u boolejskim modelima koji se razmatraju u nastavku Svojstva za ove rješenja prikazana je u tabeli. 1, Boole Modeli ovih svojstava u Dimacs i Qdimacs formati nalaze se u tablici. 2.

Tabela 1

Varijable kodiranja

Promjenjivi broj u boolejskom modelu

Nekretnina 1.

Nekretnina 2.

Nekretnina 3.

Nekretnina 4.

Nekretnina 5.

Tabela 2

Model Boolean Properties

Nekretnina 1.	Nekretnina 2.	Nekretnina 3.	Nekretnina 4 (a)	Objekt 4 (b)	Nekretnina 5.
					e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 4 -5 -6 7 -8 -9 -10 11 12 0 4 5 6 -7 8 9 10 -11 -12 0

1. Osnovna imovina ostvarivosti (k \u003d 2). Let X0 \u003d (x∈x: x1 \u003d 0), x * \u003d (x∈x: x1 \u003d 1). Početni i ciljni set određuju se jednadžbama G0 (x) \u003d x1 \u003d 0 i. Booleo jednadžba (12) u ovom slučaju stječe

ako je funkcija φ (x0, x1, x2) definirana u (14). RUSHHER IR Rebus daje odgovor "UNSAT" (jednadžba nema nule), tako da se izvrši pristižnost X * iz X0, što se jasno vidi iz sljedećeg prelaznog tabela prikazanog na slici.

2. Ciklusi dužine K \u003d 2. Ciklički niz dužine 2 (ako postoji) je rješenje boolejske jednadžbe

Funkcija ima pogled

Izraz R (X0, X1) kada ciklus nije bio uključen u jednadžbu, jer su ciklusi dužine k \u003d 1 (ravnotežni državi) u modelu (13) odsutni. Uz pomoć IR Russela dobivena su dva odgovora (u dimacsovom izlaznom formatu): 1 2 3 4 5 -6 0 i 1 2 -3 4 5 6 0, što odgovara cikličkim nizovima (slika): ((1 1 1 ), (1 1 0)) i (1 1 0), (1 1 1)). Setovi država oba ciklusa podudaraju se, što znači prisustvo u modelu (13) jednog ciklusa dužine k \u003d 2.

Dijagram tranzicije sistema (13)

3. Izolacija ciklusa. Ako su elementi i setovi stanja C ciklusa dužine k \u003d 2 određuju rješenje boolejskih jednadžbi GC (S) \u003d 0, stanje ciklusa izolacije ekvivalentno je odsustvu nula u sljedećem Bulevu jednadžbe:

Budući da je c \u003d ((1 1 1), (1 1 0)), imamo

Za ovu jednadžbu, otapalo IR Rebus pronalazi dva rješenja: -1 2 3 4 5 -6 0 i -1 2 -3 4 5 -6 0 (u binarnom predstavljanju prema kodiranju varijabli u tablici. 1 Ovo su parovi država (0 1 1), (1 1 0) i ((0 1 0), (1 1 0), (1 1 0)). Dakle, stanje ciklusa (1 1 0) ima dva prethodnika, (0 1 1) i (0 1 0), nije u vlasništvu ciklusa država. To znači da se svojstva izolacije ciklusa ne vrši, tj. Ovaj ciklus je atraktor.

4. Atrakcija nekretnine. Neka je x * \u003d c atraktor. Logična svojstva atrakcije podudaraju se s formulom glavnog vlasništva dostićivanja

a odgovarajuća boolejska jednadžba za naš slučaj ima obrazac

Popravljamo funkcije G0 (x0), φ (x0, x1, x2) i. Funkcija φ (x0, x1, x2) daje se u (14). Za x * \u003d c, izraz je jednak. Razmotrite dvije varijante postavljanja skupa početnih država X0, za slučajeve izvršenja (a) i nepoštovanja (b) svojstava atrakcije za K \u003d 2 sata.

SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: Pusti. Onda

U ovom slučaju, odgovor "UNSAT" izdaje se za boolean jednadžbe (15). Nekretnina privlačnosti za određeni set X0 vrši se.

B. Neka Onda

U ovom slučaju, IR Rebus za jednadžbu (15) pronalazi rješenje: 1 -2 3 4 -5 -6 -7 8 9 0, što odgovara putanju ((1 0 1), (0 0), (0), (0) 1 1)). Ova putanja s početnim stanjem X0 \u003d (1 0 1) za dva sata ne dosegne set x * \u003d C, što znači nepraktičnost svojstava atrakcije za navedenu X0.

5. Svojstvo povezivanja. Svojstva logičke formule povezivanja ima izgled sljedeće izjave:

Za k \u003d 2 φ * (x0, x1, x2) \u003d G0 (x0) ∨φ (x0, x1, x2), gdje je funkcija φ (x0, x1, x2) dat u (14). Kao početni, odaberite stanje (1 0 1). Onda. Neka ciljni set x * \u003d ((0 1 1), (1 0 0)). U ovom slučaju funkcija G * (x *) ima izgled

Pišemo g * (x *) u CNF formatu:

Koristeći zakon de Morgana, pronaći ćemo poricanje funkcije φ * (x0, x1, x2). Zamjena u (16) Sve funkcije dobivene i uzimajući u obzir kodiranje boolejskih varijabli (Tabela 1), dobivamo boolejski model u Format Qdimacs (Tabela 2). Solver Depqbf izdaje odgovor "SAT", što znači istinitost izjave (16). Napravljeno je imovinu povezanosti za navedeno x0, x *, t \u003d (1, 2).

Zaključak

Glavne prednosti metode booloških ograničenja u kvalitativnom istraživanju DDS-a uključuju:

1. Logički jezik specifikacije dinamičke imovine za specijalista u automatskoj dinamici nastaje zbog korištenja ograničenih kvantifikatora postojanja i univerzalnosti.

2. Prema formuli imovine i jednadžbama dinamike, automatski se vrši odgovarajuća boolejska jednadžba ili kvantificirana boolejska formula.

3. Dovoljno je jednostavno automatizirati proces pretvaranja rezultata boolejskih izraza u konjuktivni normalan oblik s daljnjom generacijom datoteke u Dimax i Qdimax formati, koji su ulazi za SAT Solvers i QBF rješenja.

4. Problem smanjenja poprsje na ovaj ili onaj način rješava programeri ovih soliranja i zaštićeni od posebnih kvalitetnih stručnjaka za analizu DDS-a.

5. Moguće je riješiti kvalitativnu analizu DDS-a za velike dimenzije državnog vektora n u dovoljno dugog vremena T. Prema broju država, metoda boolejskih ograničenja kvantitativno je proporcionalna modelom Metoda provjere. Zbog činjenice da je posljednjih godina došlo do značajnog povećanja performansi specijaliziranih algoritmi i zadataka TQBF-a, ukupni broj varijabli u modelu mlijeka za moderne rješenja može se mjeriti hiljadama.

Softver procesa kvalitativnog analize DDS-a zasnovan na metodi boolejskog ograničenja provodi se unutar uslužnog orijentiranog pristupa korištenjem specijaliziranih otapala boolejskih jednadžbi. U radu je prikazan primjer provedbe metode boolskih ograničenja na temelju usluge orijentiranog na usluge pretraživanja ciklusa i ravnoteže na državama u regulatornim mrežama gena.

Treba napomenuti da je metoda boolskih ograničenja dovoljno uobičajena metoda visokokvalitetne DDS analize u krajnjem vremenskom intervalu. To je primjenjivo samo na autonomnim sistemima, već i sistemima sa kontrolnim ulazima, u sustave sa dubinom memorije, više jedinica, na DDS zajedničkog oblika, kada je funkcija prijelaza nerastvorljiva u odnosu na državu XT i ima Obrazac F (XT, XT-1) \u003d 0. Za DDS sa ulazima, imovina kontrolize i njegove različite varijacije su od posebnog značaja. Pored zadataka za analizu DDS, metoda boola ograničenja primjenjuju se na zadatke sinteze povratnih informacija (statički ili dinamički, od države ili u unosu), koji pružaju u sintetiziranom sistemu za obavljanje potrebnih dinamičkih svojstava.

Studija je podržala RFBR, projekt br. 18-07-00596 / 18.

Bibliografska referenca

Oparin G.a., Bogdanova V.G., Pashinin A.A. Metoda boolskih ograničenja u kvalitativnoj analizi binarnih dinamičkih sistema // Međunarodni časopis za primijenjenu i temeljnu istraživanje. - 2018. - № 9. - P. 19-29;
URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id\u003d12381 (Datum rukovanja: 18.03.2017). VAŠE VAŠU PAŽNJU SVOJU OBJAVLJIVANJE MAGAZINIKA U IZDAVANJU KUĆU "Akademija prirodnih znanosti"

Uvod 4.

Priori analiza dinamičkih sistema 5

Prolazak slučajnog signala kroz linearni sistem 5

Evolucija vektorskog sistema faza 7

Evolucija kovarijantne matrice faznog vektorskog sistema 8

Statistička linearizacija 8.

Prva metoda 9.

Druga metoda 10.

Izračun koeficijenata linearizacije 10

Nejasnoća u nelinearnim jedinicama 14

Nelinearna veza pokrivena povratnim informacijama 15

Modeliranje slučajnih procesa 16

Forming filter 16.

Bijela modeliranje buke 17

Evaluacija statističkih karakteristika dinamičkih sistema Monte Carlo 18

Točnost ocjena 18.

Ponacionarni dinamički sistemi 20

Stacionarni dinamički sistemi 21

Zadnja analiza dinamičkih sistema 22

Filter Calman 22.

Model pokreta 22.

Mjernički model 23.

Korekcija 23.

Prognoza 23.

Evaluacija 23.

Upotreba Kalmana filtriranja u nelinearnim zadacima 25

Metoda najmanje kvadrata 27

Ocjene zgrade 27.

Prognoza 29.

Koristeći metodu najmanje kvadrata u nelinearnim zadacima 29

Građevina Cauchy Matrix 30

Modeliranje mjerenja 30.

Numeričke metode 31.

Posebne funkcije 31.

Modeliranje slučajnih varijabli 31

Jednolično raspoređene slučajne varijable 31

Gaussove slučajne varijable 32

Slučajni vektori 33.

Vjerojatnosti Integral 34.

Chebyshev polinomi 36.

Integracija običnih diferencijalnih jednadžbi 36

Runge-Kutta 36

Točnost rezultata numeričke integracije 37

Uložena metoda Dorman-Prince 5 (4) oko 37

MULTISTENSKE METODE 39.

ADAMS metode 39.

Integriranje jednadžbi sa argumentom kašnjenja 40

Poređenje računalnih kvaliteta metoda 40

Zadatak stada 40.

Eliptične funkcije Jacobi 41

Zadatak dva tel 41

Van der Field jednadžba 42

"Brusseltor" 42

Lagrange jednadžba za viseće žice 42

Pleiads 42

Postavljanje objašnjenja 43

Naziv stranica 43.

Odjeljak "Uvod" 44

Odjeljak "Teorija" 44

Odjeljak "Algoritam" 44

Odjeljak "Program" 45

Odjeljak "Rezultati" 45

Odjeljak "Zaključci" 45

Odjeljak "Lista polovnih izvora" 45

Dodaci 45.

Literatura 47.

Uvođenje

Ovaj udžbenik sadrži smjernice za ispunjavanje zadataka projekata tečaja i provođenje praktičnih nastava po stopi "osnova statističke dinamike".

Svrha dizajna tečaja i praktične obuke savladaju studenti priori i posteriorki analiza nelinearnih dinamičkih sistema pod utjecajem slučajnih poremećaja.

Priori analiza dinamičkih sistema

Statistička linearizacija

Statistička linearizacija omogućava vam pretvorbu originalnog nelinearnog dinamičkog sistema u T.o. Dakle, za njegovu analizu bilo je moguće koristiti metode, algoritme, odnose, važi za linearne sisteme.

Ovaj je odjeljak posvećen prezentaciji metode statističke linearizacije, na osnovu najjednostavnijeg približenog pristupa koji je predložio prof. I.E. Cossack, ali dopušta, međutim, za izgradnju procjena tačnosti sustava koji sadrže čak i značajnu nelinearnost s diskontinuiranim karakteristikama.

Statistička linearnaizacija sastoji se od zamena originalnog nelinearnog odnosa od zraka između ulaznih i izlaznih procesa takve približne ovisnosti, linearni u odnosu na središnje ulazno slučajni proces, koji je ekvivalentan u statističkom smislu u odnosu na početnu statistiku:

Veza s takvom približnom ovisnošću između ulaznih i izlaznih signala naziva se ekvivalentna nelinearna veza.

Vrijednost je odabrana na osnovu stanja jednakosti matematičkih očekivanja nelinearnih i lineariziranih signala i naziva se statistički prosječni ekvivalentni karakteristika:

,

gde - gustoća raspodjele ulaznog signala.

Za nelinearne veze sa neparnim karakteristikama, I.E. za , Statistička karakteristika je prikladna za slanje u obliku:

- matematičko očekivanje ulaznog signala;
- Statistički koeficijent pojačanja ekvivalentne veze u srednjoj komponenti.

Tako Ekvivalentna ovisnost u ovom slučaju stječe obrazac:

Karakteristično se naziva statistički koeficijent pojačanja ekvivalentne veze slučajnim komponentama (fluktuacijama) i određene su dvije metode.

Prva metoda

U skladu s prvom metodom statističke linearizacije, koeficijent je odabran na osnovu stanja jednakosti disperzije početnih i ekvivalentnih signala. Tako Za izračun, dobivamo sljedeći omjer:

,

gde - disperzija ulaznog slučajno uticaja.

Prijava u izražavanju određuje se karakterom ovisnosti u okolini vrijednosti argumentacije. Ako se onda poveća, a ako se onda opada.

Drugi način

Vrijednost prema drugoj metodi odabrana je iz uvjeta za minimiziranje prosječne kvadratne pogreške linearnosti:

Konačni omjer za izračunavanje koeficijenta prema drugoj metodi je:

.

Zaključno, napominjemo da nijedna njihova dva, ne razmatra se gore, metode linearizacije ne pružaju jednakost korelacijskih funkcija izlaznih signala nelinearnih i ekvivalentnih jedinica. Proračuni pokazuju da je za korelacijsku funkciju nelinearnog signala, prva metoda izbora daje procjenu odozgo, a druga metoda je procjena odozdo, I.E. Pogreške u određivanju korelacijske funkcije nelinealnog izlaznog signala imaju različite znakove. Prof. I.E. Cossacks, autor, ovdje postavljen, preporučuje odabir polovine koeficijenata dobivenih prvim i drugim metodama kao što rezultirajući koeficijent linearizacije.

Forming filter

U pravilu se parametri određuju izjednačavanjem koeficijenata polinoma brojača i nazivnika u jednadžbi

sa istim stepenom.

Nakon određivanja funkcije prijenosa filtra za oblikovanje, rezultirajući dijagram modeliranja slučajnog postupka izgleda prikazan na slici.

Na primjer, spektralna gustina procesa koji treba modelirati ima obrazac:

,

matematičko očekivanje, a za modeliranje se koristi bijeli šum s intenzitetom, stoga, ima jednu spektralnu gustoću.

Očito, brojčanik i nazivnik željenog prijenosa moraju imati oko 1 i 2 (u stvari, podignuti na kvadratu u modulu, funkcija prijenosa formira privatne polinomama drugog i četvrtog stupnjeva)

Tako Funkcija prijenosa filtera za formiranje u najopćenitiju obrascu je sljedeća:

,

i kvadrat svog modula:

Izjednačavamo dobijene odnose:

Predajem za nosač i u pravom dijelu ravnopravnosti, čime se izjednačava koeficijentima na nulti stupnjeva:

,

tamo gdje se od očito teče jednakost:

; ; ; .

Tako Strukturna shema za formiranje slučajnog procesa s obzirom na zadane statističke karakteristike bijelog buke s jednim spektralnim gustoćom izgleda, kao što je prikazano na slici, uzimajući u obzir izračunate vrijednosti parametara filtera za formiranje filtera.

Modeliranje bijelog buke

Da biste simulirali slučajni proces sa navedenim statističkim karakteristikama, bijeli šum se koristi kao ulazni slučajni proces u filter oblikovanja. Međutim, precizno modeliranje bijele buke je nerealizirano zbog beskonačne disperzije ovog slučajnog postupka.

Iz tog razloga, kao zamjena za bijelu buku, koji utječe na dinamički sistem, koristi se postupak slučajnog koraka. Interval na kojem realizacija slučajnog procesa zadržava svoju vrijednost nepromijenjena (širina koraka, interval korelacije) je trajna vrijednost. Vrijednosti realizacije implementacije (visina koraka) su nasumične varijable distribuirane prema normalnom zakonu s nultom matematičkom očekivanom i ograničenom disperziju. Vrijednosti procesa parametara - korelacijski interval i disperziju - određene su karakteristikama dinamičkog sustava koji utječu bijeli buka.

Ideja metode temelji se na ograničenoj propusnosti bilo kojeg stvarnog dinamičkog sistema. Oni. Dobitak stvarnog dinamičkog sustava opada se jer se povećava frekvencija ulaznog signala, a, prema tome, postoji takva frekvencija (manje beskonačna) za koju je dobitak sustava tako mali da je moguće staviti nulu. I to, zauzvrat znači da ulazni signal sa konstantama, ali ograničen ovom frekvencijom, spektralnom gustoćom, za takav sustav bit će ekvivalent bijelom buku (sa konstantnom i beskonačnom spektralnom gustoćom).

Parametri ekvivalentnog slučajnog postupka - interval korelacije i disperzija izračunavaju se na sljedeći način:

gdje je empirijski definirana granica dinamičkog sistema propusnosti.

Točnost ocjena

Procjene matematičkog očekivanja

i disperzija

slučajna varijanca izgrađena na osnovu obrade ograničenog uzorkovanja svojih implementacija, sami su slučajni.

Očito je da je veća veličina uzorka implementacija, tačnije neobjavljenu procjenu, bliže je istinitoj vrijednosti procijenjenog parametra. Ispod su približne formule zasnovane na pretpostavci njihove normalne distribucije. Simetrični relativno povjerenje intervala za procjenu koji odgovara vjerojatnosti povjerenja određuje se vrijednosti za koju je omjer istinit:

,

gde
- pravo značenje matematičkog očekivanja slučajnog varijable,
- suparničko raznolikost odstupanje slučajnih varijabla,
- Integralne verovatnoće.

Na osnovu gornjeg omjera, vrijednost se može odrediti na sljedeći način:

,

gdje - funkcija suprotna profesionalnoj integralu.

Budući da nam evaluacija karakteristika evaluacije nije poznata, iskoristit ćemo njegovu približnu vrijednost izračunatu korištenju procjene:

Tako Završni odnos koji veže tačnost procjene matematičkog očekivanja i veličine uzorka, koji se procjenjuje, je sljedeći:

.

To znači da se veličina intervala pouzdanosti (sa stalnom vrijednošću vjerojatnosti povjerenja), smještena simetrično relativno izražena u akcijama procjene standardnog odstupanja, obrnuto je proporcionalno kvadratnom korijenu iz veličine uzorka.

Interval povjerenja za evaluaciju disperzije određuje se na isti način:

uz točnost vrijednosti, koja u nedostatku prečnitih informacija može biti približno utvrđena od odnosa:

Tako Veličina intervala pouzdanosti (sa stalnom vrijednošću vjerojatnosti povjerenja), smještena simetrično relativno, izražena u svojim dionicama obrnuto je proporcionalna kvadratnom korijenu iz vrijednosti, gdje - veličine uzorka.

Preciznije formule za izgradnju intervala povjerljivih procjene mogu se dobiti pomoću tačnih informacija o zakonu distribucije slučajnih varijable.

Na primjer, za Gaussove zakon o distribuciji, slučajna vrijednost

pokorava zakon distribucije linije sa stupnjem slobode i slučajnu vrijednost

distribuiran zakonom i sa slobodom.

Filter Kalman

Model pokreta

Kao što je poznato, Kalman Filter dizajniran je za procjenu vektora statusa linearnog dinamičkog sustava, koji se model evolucije može zabilježiti u obrascu:

gde
- Cauchy matrix, određivanje promjene vektora statusa sistema u vlastitom pokretu (bez utjecaja na kontrolu i buku) od trenutka vremena do vremena;
- vektor koji se ne nasumične efekte na sustav (na primjer, kontroliraju utjecaj) u trenutku vremena;
- matrica utjecaja prisilnih efekata u trenutku vremena na vektoru statusa sistema u trenutku vremena;
- vektor slučajnih nezavisnih usredsređenih uticaja na sistem u trenutku vremena;
- Matrica utjecaja slučajnih utjecaja u trenutku vektora statusa sustava na vrijeme.

Model mjerenja

Evaluacija se zasniva na statističkoj obradi rezultata mjerenja, linearno povezanih sa vektorom statusa i iskrivljen dodatkom nestabilna greška:

gdje - matrica koji povezuje status i mjerenje vektora u isto vrijeme.

Korekcija

Osnova Kalmana filtra je omjer korekcije, koji su rezultat minimiziranja traga kovarijantne matrice sa nesigurnom gustoćom linearne distribucije (putem mjernog vektora) vektorske procjene statusa sustava:

Prognoza

Omjer korekcije frekvencije omjera predviđanja na osnovu linearnih svojstava sistema evolucije sistema:

gdje je kovarijantna matrica vektora, dobivamo formulu rekurentnog Bayesovskog algoritma za procjenu vektora statusa sistema i njegovu kovarijantnu matricu na temelju statističke obrade rezultata mjerenja.

Evaluacija

Očito, za provođenje smanjenih omjera potrebno je izgraditi matrice, iz modela evolucije, matricu iz modela mjerenja, kao i kovarijantnih matrica i za svaku vremenu.

Pored toga, za inicijalizaciju računarskog procesa potrebno je nekako odrediti posteriori ili priori, procjene statusne vektora i njegove kovarijalne matrice. Izraz "a priori" ili "posteriori" u ovom slučaju znači samo kvalitet u kojem će se status vektor i njena matrica kovarijana koristiti u računom algoritmu i ne kaže ništa o tome kako su ih pribavljeni.

Dakle, izbor odnosa iz kojeg se treba započeti izračuni koji se određuju na početni uvjeti filtriranja u vrijeme i prvi neobrađeni mjerni vektor. Ako se trenuci vremena podudaraju, prvo treba primijeniti omjere korekcije koji vam omogućuju pojašnjenje početnih uvjeta, ako ne, prvo morate predvidjeti početne uvjete za vrijeme obvezanja prvog neobrađenog mjernog vektora.

Objasnimo da algoritam za filtriranje Kalmana koristeći sliku.

Na slici u koordinatnim osovinama (na prometnom kanalu) prikazuje nekoliko mogućih faza vektorskih putanja:

- istinska putanje evolucije faza vektora;
- evolucija vektora faze predviđena je na osnovu korištenja modela kretanja i priori procjene faza vektora, koja se odnosi na vrijeme;
- Evolucija vektora faze predviđena je na osnovu upotrebe modela pokreta i posteriorijskoj (tačnijoj) procjeni vektora faze, pripisane u vrijeme vremena

U koordinatnim osi (na mjernom kanalu) u trenutku vremena i prikazuju rezultate mjerenja i:

,

gde
- Pravo značenje mjernog vektora u trenutku vremena;
- Vektorske greške mjerenja koje su realizirale u trenutku vremena.

Za izgradnju korekcije vektoru priori vektora vektora, razlika između rezultata mjerenja i značenja koja se mjeri prema mjernom modelu zadatka, ako je fazni vektor, u stvari uzeo vrijednost. Kao rezultat primjene na priori procjene omjera korekcije, ocjena faznog vektorskog sustava će donekle odrediti i uzeti vrijednost, što će učiniti preciznije (barem u susjedstvu vremena) kako bi se predviđalo ponašanje faze Vektor proučarenog dinamičkog sistema koristeći problem problema problema.

U trenutku vremena, rezultat prognoze koristi se kao prethodna procjena. Na putanju koja prolazi kroz fazni vektor, razlika razlika se ponovo izgrađuje pomoću koje se izračunava posteriori, još preciznija vrijednost itd. Sve dok postoje mjerni vektori za obradu ili postoji potreba za predviđanjem ponašanja vektora faze.

Najmanje kvadratna metoda

Ovaj dio predstavlja metodu najmanje kvadrata prilagođene za posteriorni analizu dinamičkih sistema.

Građevinske procjene

Za slučaj linearnog modela jednakih mjerenja:

imamo sljedeću fazni algoritam procjene vektora:

.

Za slučaj nejednake mjerenja, u ispitivanje uvodi matricu koji sadrži koeficijente težine na dijagonalu koeficijenata težine. S obzirom na koeficijente težine, prethodni omjer će uzeti obrazac:

.

Ako koristimo matricu za korištenje matrice do matrice kovarijane grešaka mjerenja, a zatim uzimajući u obzir okolnosti koje dobijemo:

.

Kako slijedi iz gore navedenih odnosa, osnova metode je matrica koja veže procijenjeni vektor faze, koji se odnosi na određeno vrijeme i mjerni vektor. Vektor je u pravilu, blok struktura u kojoj se svaki od blokova pripisuje određeno vrijeme, što se ne podudara u općem slučaju.

Na slici je prikazan neki mogući međusobni raspored vremena do kojeg se pripisuje mjerenja i trenutak vremena na koji se vektor procijenjenih parametara pripisuju.

Za svaki vektor, slijedeći omjer je istinit:

, kada

Dakle, u rezultirajućim omjerom manjih kvadratnih metoda, vektor i matrica imaju sljedeću strukturu:

; .

gde
- određuje nesumični generiranje učinka na sistem;
- određuje slučajni uticaj na sistem.

omjer prognoze, koji se pojavio gore, može se koristiti kada opisuje algoritam filtriranja Kalmana:

gdje je kovarijantna matrica vektora.

Izgradnja Cauchy matrice.

U zadacima izgradnje procjena, metode izgradnje Cauchy Matrixa često se javljaju u metodama izgradnje mjerenja. Ova matrica veže fazne vektore sistema, koji se pripisuju različitim vremenskim vremenima, u svom prijedlogu.

Ograničeni smo na sadašnji odjeljak o razmatranju pitanja koja se odnose na izgradnju Cauchy matrice za evolucijski model zabilježen kao sustav običnih diferencijalnih jednadžbi (linearnih ili nelinearnih).

ako se koriste sljedeće oznake za matrice proporcionalnosti u okolini putanje za podršku, koriste se:

; .

Modeliranje mjerenja

Problem se javlja u slučaju kada, na primjer, procjenjuje potencijalno ostvarivu tačnost metode u određenom zadatku, nemate nikakve rezultate mjerenja. U ovom slučaju, rezultati mjerenja potrebni su za simuliranje. Značajka rezultata mjerenja modeliranja je da se modeli kretanja i mjerenja koji se koriste u tu svrhu ne smiju podudarati s tim modelima koji ćete koristiti tijekom izgradnje procjena korištenjem određenog filtriranja.

Kao početni uvjeti za modeliranje evolucije faza vektora dinamičkog sustava, treba koristiti prave vrijednosti koordinata ovog vektora. Pored ovog mjesta, prave vrijednosti koordinata sistema vektora faza ne bi se trebali više koristiti nigdje.

Numeričke metode

Posebne funkcije

Slučajni vektori

Problem, koji je opisan u ovom pododjeljku, modelira se vektora korelacije između Gaussovih slučajnih varijabli.

Neka se slučajni vektor modelira na temelju konverzije standardnih nekorozijskih nasumičnih varijabli odgovarajuće dimenzije na sljedeći način: s tačnošću od 4 znaka, temelji se na raspadanju u rangu u stupnjevima argument za tri intervala.

Na zbroju asimptotskog reda postaje gotovo jednak 1.