Напишете функцията на плътността на нормалното разпределение. Стандартно нормално разпределение

Определение 1.

Случайното количество $ x $ има нормално разпределение (разпределение на Гаус), ако неговата плътност на разпределението се определя по формулата:

[varphi, ляво (x] \u003d frac (1) (sqrt (2 pi) sigma) e ^ (frac (- (xa)) ^ 2) (2 (sigma) ^ 2))

Тук $ aεr $ е математическо очакване и $ sigma\u003e 0 $ е вторично квадратично отклонение.

Плътност на нормалното разпределение.

Ние показваме, че тази функция наистина е гъстота на разпределение. За да направите това, проверете следното условие:

Обмисли включени интегрални $ int лимити ^ (+ infly) _ (- infly) (frac (1) (sqrt (2 pi) sigma) e ^ (frac (- (xa)) ^ 2) ( 2 (Sigma) ^ 2)) DX) $.

Ние ще заменим: $ \\ t (x-a) (sigma) \u003d t, x \u003d sigma t + a, dx \u003d sigma dt $.

Тъй като $ f, ляво (t] \u003d e ^ (frac (-t ^ 2) (2)) $ текуща функция, след това

Извършва се равенство, това означава, че функцията е $ varphi лява (x] \u003d frac (1) (sqrt (2 pi) sigma) e ^ (FRAC (- (xa)) ^ 2) (2 (Sigma) ^ 2)) $ е наистина плътността на разпределението на някаква случайна променлива.

Помислете за някои прости свойства на функцията за вероятност за плътност на нормалното разпределение $ varphi остави (x] $:

Графиката на функцията на вероятностната плътност на нормалното разпределение е симетрична по отношение на Direct $ x \u003d A $.
Функцията $ varphi лява (x] $ достига максимум при $ x \u003d $, и $ varphi остави (дясно) \u003d frac (1) (sqrt (2 pi) sigma \\ t ) E ^ (frac (- ((aa)) ^ 2) (2 (sigma) ^ 2)) \u003d frac (1) (sqrt (2 pi) sigma) $
$ Varphi лява функция (x] $) $ намалява при $ x\u003e a $ и се увеличава при $ x
$ Varphi лява функция (x] $) $ има инфлексия на $ x \u003d a + sigma $ и $ x \u003d a- sigma $.
$ Varphi left function (x] $ е асимптотично подходи към A $ OX $ AXIS с $ x pm infly $.
Схематична графика е както следва (фиг. 1).

Фигура 1. Фиг. 1. График на плътността на нормалното разпределение

Обърнете внимание, че ако $ a \u003d 0 $, тогава функционалната графика е симетрична по отношение на оста от $ oy $. Следователно, функцията е $ varphi, оставена (x] $ е дори.

Функцията на нормалното вероятностно разпространение.

За да намерите функцията за разпространение на вероятностите, с нормално разпределение, ние използваме следната формула:

Следователно,

Определение 2.

Функцията $ f (x) $ се нарича стандартно нормално разпределение, ако $ a \u003d 0, sigma \u003d 1 $, т.е.

Тук $ f, ляво (x] \u003d frac (1) (sqrt (2 pi)) int лимити ^ x_0 (e ^ (frac (-t ^ 2) (2)) dt) $ - функция за лапласи.

Определение 3.

Функция $ f, ляво (x] \u003d frac (1) (sqrt (2 pi)) int граници ^ x_0 (e ^ (frac (-t ^ 2) (2)) dt) $ наречена интегрална вероятност.

Цифрови характеристики на нормалното разпределение.

Математическо очакване: $ m left (x]) \u003d a $.

Дисперсия: $ d остави (x] \u003d (sigma) ^ 2 $.

Средното квадратично разпределение: $ sigma лява (x] \u003d sigma $.

Пример 1.

Пример за решаване на проблема за концепцията за нормално разпределение.

Задача 1.: Дължината на пътя на $ x $ е случайно непрекъснато величина. $ X $ се разпределя съгласно нормалното законодателство за разпределение средната стойност на която е $ 4 $ 2 и средното квадратично отклонение е $ 100 $ метра.

Намерете функцията на плътността на разпределението от $ x $.
Изграждане на график за схематично разпределение.
Намерете функцията на разпределението на случайна променлива от $ x $.
Намерете дисперсия.

Да започнем с, представете си всички стойности в едно измерение: 100m \u003d 0.1km

От дефиницията 1 получаваме:

[varphi лява (x] \u003d frac (1) (0.1 sqrt (2 pi)) e ^ (frac (- ((x-4)) ^ 2) (0.02)) \\ t

(като $ a \u003d 4 km, sigma \u003d 0.1 km) $

Използвайки свойствата на функцията за плътност на разпределението, ние имаме, че графикът на функцията $ varphi остави (x] $) $ е симетрично по отношение на dient $ x \u003d $ 4.

Максималната функция достига в точка $ лява (A, FRAC (1) (SQRT (2 PI) Sigma) вдясно) \u003d (4, frac (1) (0.1 sqrt (2 pi)) ) $.

Схематична графика е:

Фигура 2.

Чрез дефиниране на функцията за разпространение $ f оставена (x did) \u003d frac (1) (sqrt (2 pi) sigma) int граници ^ x _ (- \\ t (- \\ t - ((TA)) ^ 2) (2 (Sigma) ^ 2)) dt) $, ние имаме:

$ D ляво (x дясно) \u003d (sigma) ^ 2 \u003d 0.01 $.

Най-известният и често използван в теорията на правото на вероятност е нормален закон за разпространение или закон за Гауса .

Основна характеристика Нормалният закон за разпределение е, че това е ограничителният закон за други закони за разпространение.

Обърнете внимание, че за нормално разпределение интегралната функция има формата:

Да покажем сега че вероятностното значение на параметрите и следното: но Има математическо очакване - средното квадратично отклонение (т.е.) на нормалното разпределение:

а) да определи математическото очакване на непрекъсната случайна променлива, която имаме

Наистина ли

тъй като интегралния знак е нечетна функция, а границите на интеграция са симетрични по отношение на началото на координатите;

- поасон интеграл .

Така че математическото очакване на нормалното разпределение е равно на параметъра но .

б) да се определи диспергията на непрекъсната случайна променлива и, като се има предвид това, можем да записваме

Интегриране в части, поставяне , Намирам

Следователно .

Така че средното квадратично отклонение на нормалното разпределение е равно на параметъра.

В случай, че нормалното разпределение се нарича нормализирано (или стандартно нормално) разпределение. След това, очевидно, нормализираната плътност (диференциална) и нормалната интегрална функция на разпределението ще бъдат записани съответно във формата:

(Функцията, както знаете, се нарича функция Лаплас (виж лекция5) или вероятност. И двете функции, т.е. Табулите и техните стойности са написани в съответните таблици).

Свойства на нормалното разпределение (свойства на нормална крива):

1. Очевидно функцията по цялата цифрова линия.

2. , т.е. нормалната крива се намира над оста О. .

3. , т.е. оста О. Обслужва хоризонтален асимптотип графики.

4. Нормална крива симетрично относително права x \u003d A. (съответно графиката на функцията е симетрична спрямо ос Ou. ).

Следователно можем да записваме: .

5. .

6. Лесен за показване на това точки и това са инжекционните точки на нормалната крива (доказват самостоятелно).

7. Очевидно е това

но от T. . освен това Затова всички странни моменти са нула.

За същите моменти можем да напишем:

8. .

9. .

10. където.

11. С отрицателни стойности на случайност:, където.

13. вероятността от случайност на обекта, симетрична по отношение на дистрибуторския център, е равна на:

Пример 3.. Показват, че нормално разпределените случайна стойност Х. се отклонява от математическите очаквания М.(Х.) не повече от включване.

Решение. За нормално разпределение: .

С други думи, вероятността абсолютната стойност на отклонението надм Сутрин средно квадратично отклонение, много малко, а именно 0, 0027. Това означава, че могат да се случат само 0,27% от случаите. Такива събития, основани на принципа на невъзможност за малко вероятни събития, могат да се считат за почти невъзможни.

Така че, събитието с вероятност от 0.9973 може да се счита за практически надеждно, т.е. случайна стойност се отклонява от математическото очакване не повече от включване.

Пример 4.. Знаейки характеристиките на нормалното разпределение на случайна променлива Х. - ограничение на стоманената сила: kg / mm 2 и kg / mm 2, намерете вероятността за получаване на стомана със сила на силата 31 kg / mm 2 до 35 kg / mm2.

Решение.

3. Индикативно разпределение (право на разпространение)

Индикативни (експоненциални) се отнасят до разпределението на вероятностите на непрекъсната произволна променлива Х. което е описано от диференциалната функция (гъстота на разпределение)

къде е постоянна положителна стойност.

Определя се индикативното разпределение единпараметър. Тази характеристика на индикативното разпределение показва предимството му, в сравнение с разпределенията в зависимост от | Повече ▼ параметри. Обикновено параметрите са неизвестни и трябва да намерите техните оценки (приблизителни стойности); Разбира се, е по-лесно да се оцени един параметър от два или три и т.н.

Лесно е да се записва интегралната функция на индикативното разпределение:

Дефинирахме демонстративно разпределение, използвайки диференциална функция; Ясно е, че може да се определи с помощта на интегралната функция.

Коментар: Помислете за непрекъсната случайна променлива T. - Продължителност на времето за безпроблемна работа на продукта. Означава от своите ценности t. . Функция за интегрална дистрибуция Определя вероятност за отказ Продукти по време на продължителността t. . Следователно вероятността за безпроблемна работа по време на едно и също време, продължителност t. , т.е. вероятността за обратното събитие е равен

Статията показва подробно какъв е нормалният закон за разпределението на случайното отклонение и как да се използват практически задачи при решаване.

Нормално разпределение в статистиката

Историята на закона има 300 години. Първият отвор стана Авраам де Мовър, който измисли сближаване за още 1733. След много години Карл Фридрих Гаус (1809) и Пиер Саймън Лаплас (1812) донесоха математически функции.

Лаплас също открил прекрасен модел и се формулира централна теорема (TPT.), според който сумата от големи количества малки и независими стойности има нормално разпределение.

Нормалното право не е фиксирано уравнение за зависимостта на една променлива от другата. Записва се само естеството на тази зависимост. Специфичната форма на разпределението се определя със специални параметри. Например, y \u003d ax + b - Това е прякото уравнение. Въпреки това, когато точно преминава и под каква склонност се определя от параметрите но и б.. Също така с нормално разпределение. Ясно е, че това е функция, която описва тенденцията на висока концентрация на стойности в близост до центъра, но точната му форма е зададена със специални параметри.

Кривата на нормалното разпределение на Гасас има следната форма.

Графика на нормалното разпространение прилича на звънец, така че можете да се срещнете с името крива с форма на звънец. Графиката има "гърбица" в средата и остър спад в плътността по ръбовете. Това е същността на нормалното разпределение. Вероятността, че произволната стойност ще бъде близо до центъра, е много по-висока от това, че тя силно ще се отклони от средата.

Фигурата по-горе показва два парцела под гасската крива: синьо и зелено. Бази, т.е. Интервали, в двата обекта са равни. Но забележимо различни височини. Синият парцел се отстранява от центъра и има значително по-ниска височина от зелената, която се намира в самия център на разпространение. Ето защо, има и квадрати, тогава имате предвид вероятностите за въвеждане на определени интервали.

Формулата за нормално разпределение (плътност) е както следва.

Формулата се състои от две математически константи:

π - броя на PI 3,142;

д. - основа на естествения логаритъм 2,718;

два вариабилни параметъра, които определят формата на специфична крива:

м. - математически очаквания (други наименования могат да се използват в различни източници, например, µ или а.);

Σ 2. - дисперсия;

е, променливата х.За които се изчислява плътността на вероятността.

Специфичната форма на нормално разпределение зависи от 2 параметъра: ( м.) и ( Σ 2.). Накратко определено N (m, σ 2) или N (m, σ). Параметър м. (Mathalo) определя дистрибуторския център, който съответства на максималната височина на графиката. Дисперсия Σ 2. Той характеризира варирането на вариация, т.е. "сгъването" на данните.

Параметърът за математическо очакване показва дистрибуторския център надясно или наляво, без да се засяга формата на самата плътност.

Но дисперсията определя полярността на кривата. Когато данните имат малък разпръскващ, тогава цялата им маса е концентрирана в центъра. Ако данните имат голямо разпръскване, те са "намазани" в широк диапазон.

Плътността на разпределението няма пряко практическо приложение. За да изчислите вероятностите, трябва да интегрирате функцията за плътност.

Вероятността дадена случайност ще бъде по-малка от някаква стойност х.- определено функция на нормалното разпределение:

Използвайки математическите свойства на всяко непрекъснато разпределение, е лесно да се изчислят всички други вероятности, тъй като

P (a ≤ x< b) = Ф(b) – Ф(a)

Стандартно нормално разпределение

Нормалното разпределение зависи от параметрите на средната и дисперсията, поради което неговите свойства са слабо видими. Би било хубаво да имаме някакъв стандарт на разпространение, който не зависи от скалата. И то съществува. Наречен стандартно нормално разпределение. Всъщност това е обичайното нормално нормално разпределение, само с параметрите на математическото очакване 0 и дисперсията е 1, N (0, 1) е написана накратко.

Всяко нормално разпределение се превръща лесно в стандарта чрез класиране:

където z. - Вместо това се използва нова променлива х;
м. - очаквана стойност;
σ - стандартно отклонение.

За примерни данни се прави оценка:

Средна аритметика и дисперсия на нова променлива z. Сега е равно на 0 и 1, съответно. Това лесно се осигурява с помощта на елементарни алгебрични трансформации.

Заглавието се намира в литературата z-score.. Това са най-нормализираните данни. Z-оценка може да бъде директно в сравнение с теоретичните вероятности, защото Мащабът му съвпада с бенчмарка.

Да видим сега каква е плътността на стандартното нормално разпределение (за z-оценки). Позволете ми да ви напомня, че функцията Гаус е:

Заместител вместо това (X - m) / σ писмо z.и вместо σ - единица, получавам функция на плътността на стандартното нормално разпределение:

График:

Центърът, както се очаква, се намира в точка 0. В същата точка функцията Гаус достига максимума си, което съответства на приемането на случайна стойност на средната стойност (т.е. x-m \u003d 0). Плътността в този момент е 0.3989, която може да се изчисли дори в ума, защото E 0 \u003d 1 и остава само за изчисляване на съотношението от 1 към корена на 2 pi.

Така, според графика, ясно се вижда, че ценностите, които имат малки отклонения от средното по-често, отколкото други, а тези, които са силно отдалечени от центъра, са много по-рядко срещани. Скалата на ос от абсциса се измерва в стандартни отклонения, което дава възможност да се отнеме от измервателните единици и да се получи универсалната структура на нормалното разпределение. Gauss Curve за нормализирани данни перфектно демонстрира други свойства на нормалното разпределение. Например, че е симетрично по отношение на ординатата. В рамките на ± 1σ от средната аритметика, повечето от всички стойности са концентрирани (ние се преструваме на окото). В рамките на ± 2σ има повечето данни. В рамките на ± 3σ има почти всички данни. Последният имот е широко известен озаглавен правило три сигмаза нормално разпределение.

Стандартната нормална функция за разпространение ви позволява да изчислите вероятността.

Ясно е, че никой не разглежда ръчно. Всичко се изчислява и публикува в специални таблици, които са в края на всеки учебник по статистика.

Таблица на нормалното разпределение

Таблиците на нормалното разпределение са два вида:

- Таблица плътност;

- Таблица функции (неразделна част от плътността).

Таблица плътност Рядко се използва. Нека видим как изглежда. Да предположим, че трябва да получите плътност за z \u003d 1.. Плътността на стойността, която е отделена от сватовката на 1 сигма. По-долу е част от таблицата.

В зависимост от организацията на данните, ние търсим желаната стойност от името на колоната и низ. В нашия пример вземете низ 1,0 и колона 0 като Няма стотни. Желаната стойност е 0.2420 (0 преди 2420, която е пропуснала).

Функцията Гаус е симетрична за ординатата. Следователно φ (z) \u003d φ (-z). Плътност за 1 идентична плътност за -1 Какво е ясно видимо на снимката.

За да не се харчат напразна хартия, таблиците се отпечатват само за положителни стойности.

На практика по-често използвайте стойности функции стандартно нормално разпределение, т.е. вероятности за различни z..

Тези таблици съдържат и само положителни стойности. Така че за разбирането и намирането на . \\ T трябва да бъдат известни вероятности свойства на стандартното нормално разпределение.

Функция F (z) Симетрично по отношение на стойността му от 0.5 (а не ордините като плътност). Следователно равенството е вярно:

Този факт е показан на снимката:

Функционални стойности. F (-z) и F (z) Направете график за 3 части. Освен това горната и долната част са равни (маркирани с кърлежи). За да се допълни вероятността F (z) До 1 е достатъчно да добавите липсващата стойност F (-z). Оказва се, че равенството е показано малко по-горе.

Ако трябва да намерите шанса да се свържете с интервала (0; z), т.е. вероятността от отклонение от нула до положителна страна към определен брой стандартни отклонения, достатъчно от стойността на стандартната нормална разпределителна функция от 0.5:

За яснота можете да погледнете чертежа.

На кривата на Гаус, същата ситуация прилича на района от центъра на правото z..

Доста често анализаторите се интересуват от вероятността от отклонения в двете посоки от нула. И тъй като функцията е симетрична за центъра, предишната формула трябва да се умножи по 2:

Фигура по-долу.

Под кривата Гаус, това е централната част, ограничена от избраната стойност. -Z. Ляво I. z. на дясно.

Тези свойства трябва да бъдат взети под внимание, защото Стойностите на таблицата рядко съответстват на интервала.

За да улесните задачата в учебниците, таблиците обикновено публикуват таблици за вида функция:

Ако се нуждаете от вероятността от отклонения в двете посоки от нула, тогава, както току-що видяхме, табличната стойност за тази функция е просто умножена по 2.

Сега нека разгледаме конкретни примери. Таблицата със стандартно нормална разпределение е показана по-долу. Намерете таблични стойности за трима z.: 1.64, 1.96 и 3.

Как да разберем смисъла на тези цифри? Да започнем от S. z \u003d 1,64.за които е стойността на таблицата 0,4495 . Най-лесният начин да обясните смисъла на снимката.

Това е вероятността стандартизирана нормално разпределена случайна променлива да попадне в интервала от 0 преди 1,64 , равно 0,4495 . При решаването на проблеми обикновено е необходимо да се изчисли вероятността от отклонение в двете посоки, така че умножете стойността 0,4495 2 и получете приблизително 0.9. Окупаната площ под кривата Гаус е показана по-долу.

По този начин 90% от всички нормално разпределени стойности влизат в интервала ± 1.64σ. От средната аритметика. Не избрах случайно стойността z \u003d 1,64.като Ограждащата зона около средната аритметика, която заема 90% от общата площ, понякога се използва и изчислява доверителните интервали. Ако валидната стойност не попада в определената зона, тогава неговото офанзива е малко вероятно (само 10%).

За тестване на хипотезите обаче интервалът обхваща 95% от всички стойности се използват по-често. Половин вероятност от 0,95 - това е 0,4750 (Вижте втората стойност, отпусната в таблицата).

За тази вероятност z \u003d 1.96. Тези. в рамките на почти ± 2σ. От средата има 95% от стойностите. Само 5% падат за тези граници.

Друга интересна и често използвана таблична стойност съответства на z \u003d 3., това е равно на нашата маса 0,4986 . Умножете по 2 и вземете 0,997 . Така ± 3σ. Почти всички стойности са сключени от средната аритметика.

Така изглежда правилото 3 SIGM за нормално разпределение в диаграмата.

С помощта на статистически маси можете да получите някаква вероятност. Този метод обаче е много бавен, неудобно и силно остарял. Днес всичко се прави на компютъра. След това отидете на практиката на изчисленията в Excel.

Нормално разпределение в Excel

Excel има няколко функции за изчисляване на вероятностите или обратни стойности на нормалното разпределение.

Функция norms.s.rasp.

Функция Norm.st.sp. Предназначени за изчисляване на плътността φ (z) или вероятност Φ (z) Според нормализирани данни ( z.).

\u003d Norm.st.sp (z; интеграл)

z. - Стойност Стандартизирана променлива

интеграл - ако 0, тогава се изчислява плътносттаφ (z) Ако 1 е стойността на функцията f (z), т.е. вероятност p (z

Изчислете плътността и стойността на функцията за различни z: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 (Посочваме ги в клетката A2).

За изчисляване на плътността, формулата се изисква \u003d norms.st.sp (A2; 0). Диаграмата по-долу е червена точка.

За изчисляване на стойността на функцията \u003d norms.st.sp (A2; 1). Диаграмата е боядисана площ под нормална крива.

В действителност, по-често трябва да се изчисли вероятността, че произволната стойност няма да бъде пусната за някои граници от средното (в продължаванията на страната, съответстващи на променливата z.), т.е. P (| z | .

Ние определяме какво е равно на вероятността от случайни отклонения към границите ± 1Z, ± 2Z и ± 3Z от нула. Ще се изисква формулата 2F (z) -1, в Excel \u003d 2 * norm.st.sp. (A2; 1) -1.

Диаграмата е напълно видима основните основни свойства на нормалното разпределение, включително правилото на три Sigms. Функция Norm.st.sp. - Това е автоматична таблица на стойностите на нормалната функция за разпространение в Excel.

Може да има обратен проблем: според вероятността P (Z. Намерете стандартизирана стойност z. , т.е. квантирно стандартно нормално разпределение.

Функция norms.sh.ob.

Норма Изчислете стойността на обратната страна на функцията на стандартното нормално разпределение. Синтаксисът се състои от един параметър:

\u003d Norm.shob (вероятност)

вероятност - Това е вероятност.

Тази формула се използва също толкова често, колкото предишната, защото според същите таблици е необходимо да се търси не само вероятност, но и кванти.

Например при изчисляване на доверителните интервали е дадена вероятността за доверие, която трябва да изчислите стойността z..

Като се има предвид факта, че доверителният интервал се състои от горната и долната граница и фактът, че нормалното разпределение е симетрично относително до нула, е достатъчно да се получи горната граница (положително отклонение). Долната граница се взема с отрицателен знак. Означаваме доверителна вероятност като γ (Гама), след това горната граница на доверителния интервал се изчислява по следната формула.

Изчисляване в стойностите на Excel z. (което съответства на отклонение от средата в Sigma) за няколко вероятности, включително тези, които знаят всяка статистика: 90%, 95% и 99%. В клетката B2 ние уточняваме формулата: \u003d норми .tre. Prof ((1 + A2) / 2). Промяна на стойността на променливата (вероятност в клетката A2) Получаваме различни граници на интервалите.

Интервалът на доверие за 95% е 1.96, т.е. почти 2 RMS отклонения. Оттук е лесно да се оцени възможното разпръскване на нормалната случайна променлива. Като цяло вероятностите на доверието от 90%, 95% и 99% съответстват на доверителните интервали от ± 1.64, ± 1.96 и ± 2.58 σ.

Като цяло функциите на нормите .st.SP и нормите. Дес. Да предположим, че произвеждат всякакво изчисление, свързано с нормалното разпределение. Но за да се улесни и намали броя на действията, в Excel има няколко други функции. Например, за изчисляване на доверителните интервали, средната може да се използва доверие. Норма. За да проверите средната аритметика, има z.test формула.

Помислете за няколко полезни формули с примери.

Нормална функция

Функция Norm.rasp. се различава от Norm.st.sp. Само защото се използва за обработка на данни от всякакъв мащаб и не само нормализирани. В синтаксиса са посочени нормални параметри за разпространение.

\u003d Norm.spp (x; средно; стандарт_отер; интеграл)

средно аритметично - Математическо очакване, използвано като първи параметър на модела на нормалното разпределение

standard_Tack. - радното отклонение - вторият параметър на модела

интеграл - ако 0, тогава плътността се изчислява, ако 1 е стойността на функцията, т.е. P (X.

Например, плътност за стойност 15, която се отстранява от нормалната проба с термин 10, стандартно отклонение 3, изчислено както следва:

Ако последният параметър е да се постави 1, тогава ние получаваме вероятността нормалната случайна стойност да бъде по-малка от 15 с определени параметри на разпределение. По този начин вероятностите могат да бъдат изчислени директно върху източници.

Функционални норми

Това е количествено нормално разпределение, т.е. Стойността на обратната връзка. Синтаксисът е следващия.

\u003d Норми. Проф (вероятност; средно; стандарт_oc)

вероятност - вероятност

средно аритметично - Mathabin.

standard_Tack. - Отклонение отклонение

Назначаването е същото като Норма, Само функцията работи с данни от всякакъв мащаб.

Пример за това е показан в ролката в края на статията.

Симулация на нормално разпределение

Някои задачи изискват генерирането на нормални случайни числа. Няма завършена функция за това. Въпреки това, Excel има две функции, които връщат случайни числа: Wechnowledge.и Adrched.Първият дава случайно разпределени цели числа в определените граници. Втората функция генерира равномерно разпределени случайни числа между 0 и 1. Да се \u200b\u200bнаправи изкуствена проба с дадено разпределение, имате нужда от функция Лепило.

Да предположим, че е необходимо да се получи проба от нормално разпределена обща популация със столитизиране 10 и стандартно отклонение 3. За една случайна стойност пишем формулата в Excel.

Норма. Производство (адхезис (); 10; 3)

Застреля се на необходимия брой клетки и нормалната проба е готова.

За симулиране на стандартизирани данни, използвайте нормите.

Процесът на преобразуване на еднакви номера към нормалното може да се покаже на следващата диаграма. От еднакви вероятности, генерирани от с адхезионната формула, се провеждат хоризонтални линии към графиката на нормалната разпределителна функция. След това прогнозите за хоризонталната ос се намаляват от точките на пресичане на вероятностите с графика.

Определение. Нормалнонаречена разпределение на вероятностите на непрекъсната произволна променлива, която е описана от плътността на вероятността

Нарича се и нормален закон за разпределение право Гауса.

Нормалното законодателство за разпространение заема централно място в теорията на вероятността. Това се дължи на факта, че този закон се проявява във всички случаи, когато случайната стойност е резултат от голям брой различни фактори. Всички други закони за разпространение се приближават към нормалния закон.

Може лесно да се покаже, че параметрите и гъстотата на разпределение са съответно математическото очакване и средното квадратично отклонение на произволната променлива X.

Намерете функцията за разпространение F (x).

Нарича се графика на плътността на нормалното разпределение нормална криваили крива Гаса.

Нормалната крива има следните свойства:

1) Функцията се определя на цялата цифрова ос.

2) изобщо х. Функцията за разпространение отнема само положителни стойности.

3) ос o, хоризонталната асимптота на графиката на вероятностната плътност, защото с неограничено увеличение на абсолютната стойност на аргумента х.Стойността на функцията се стреми към нула.

4) Ние намираме екстремалната функция.

Като за y '\u003e 0 за х.< m и y '< 0 за x\u003e М. Тогава в точката x \u003d t. Функцията има максимален равен.

5) функцията е симетрична за директна x \u003d A.като разлика

(x - A.) Включени в функцията за гъстота на разпределение на площада.

6) За да намерите точките на инфлексията на графиката, ние намираме второто производно на функцията за плътност.

За x \u003d M. + S I. x \u003d M. - S Втората дериват е нула и при преминаването през тези точки променя знака, т.е. В тези точки функцията има инфлексия.

В тези точки функционалната стойност е еднаква.

Ние изграждаме графика на функцията за плътност на разпределението.

Графиките са конструирани t. \u003d 0 и три възможни стойности на средното квадратично отклонение s \u003d 1, s \u003d 2 и s \u003d 7. Както може да се види, с увеличаване на стойността на средното квадратично отклонение, графиката става по-нежна и. \\ T Максималната стойност намалява.

Ако но \u003e 0, тогава графикът ще се измести в положителната посока, ако но < 0 – в отрицательном.

За но \u003d 0 и s \u003d 1 извикана крива нормален. Уравнението на нормализираната крива:

За краткост се казва, че сътрудниците на закона n (m, s), т.е. X ~ n (m, s). Параметрите m и s съвпадат с основните характеристики на разпределението: m \u003d m x, s \u003d s x \u003d. Ако sv x ~ n (0, 1), тогава се нарича стандартизирана нормална величина. FR стандартизирана нормална магнитура функция за лапла и посочено като F (x). С него е възможно да се изчислят интервалите за нормалното разпределение n (m, s):

P (x 1 £ x< x 2) = Ф - Ф .

При решаването на задачите към нормалното разпределение често е необходимо да се използват стойностите на таблицата на функцията Лаплас. Тъй като функцията Лаплас е валидна F (s) = 1 - F (x)Тогава е достатъчно да имаш таблични стойности на функцията F (x) Само за положителни стойности на аргумента.

За вероятността за влизане в симетричен по отношение на математическите очаквания, интервалът на формула: p (| x - m x |< e) = 2×F (e / s) - 1.

Централните моменти на нормалното разпределение отговарят на повтарящото съотношение: m n +2 \u003d (n + 1) s 2 m n, n \u003d 1, 2, .... От това следва, че всички централни моменти на нечетния ред са нула (тъй като m 1 \u003d 0).

Намерете вероятността за входяща произволна променлива, разпределена в съответствие с нормален закон в даден интервал.

Обозначаваме

Като Интегралът не се изразява чрез елементарни функции, функцията се взема предвид.

,

което се нарича функция за лаплаили интегрални вероятности.

Стойностите на тази функция при различни стойности х. Разгледани и са дадени в специални таблици.

Графиката на функцията Лаплас е показана по-долу.

Лаплас разполага със следните свойства:

2) F (- х.) \u003d - f ( х.);

Функцията Лаплас също се нарича функция за грешка и обозначи ERF. х..

Все още се използва нормаленфункция Лаплас, която е свързана с функцията Лаплас от съотношението:

Графиката на нормализираната функция на LAPLAS е показана по-долу.

При разглеждане на нормалния закон за разпределение се разпределя важно частно събитие, известно като правило три сигма.

Ние пишем вероятността отклонението на нормално разпределена случайна променлива от математическото очакване да е по-малко от дадена стойност D:

Ако вземете d \u003d 3s, ние получаваме стойностите на функциите на Лаплас с помощта на таблици:

Тези. Вероятността, че произволната стойност ще се отклони от нейното математическо очакване със стойност, по-голяма от стягащото средно квадратично отклонение, е почти равно на нула.

Това правило се нарича правило на три сигма.

Не практикувайте, че се смята, че ако за всяка случайна променлива се извършва правилото от три SIGM, тогава тази случайна стойност има нормално разпределение.

Пример. Влакът се състои от 100 вагона. Маса на всяка кола - произволна променлива, разпределена съгласно нормален закон с математическо очакване но \u003d 65 тона и средно квадратично отклонение S \u003d 0.9 t. Локомотив може да носи маса от не повече от 6600 тона, в противен случай е необходимо да се обучи второто локомотив. Намерете вероятността, че вторият локомотив не се изисква.

Вторият локомотив няма да се изисква, ако отклонението на масата на състава от очакваното (100 × 65 \u003d 6500) не надвишава 6600 - 6500 \u003d 100 тона.

Като Масата на всеки мърша има нормално разпределение, след което масата на целия състав също ще бъде разпределена нормално.

Получаваме:

Пример. Обикновено разпределена случайна вариабилност X се определя от нейните параметри - a \u003d 2 -математическо очакване и S \u003d \u200b\u200b1 - средно квадратично отклонение. Необходимо е да се напише плътност на вероятността и да се изгради своя график, да открие вероятността от интервала (1; 3), да се намери вероятността X да бъде отхвърлен (по модул) от математическото очакване за не Повече от 2.

Плътността на разпределение е:

Изграждане на график:

Намерете вероятността за входящо произволно отклонение към интервала (1; 3).

Ние намираме вероятността за отклонение на случайна променлива от математическото очакване със стойност, не по-голяма от 2.

Същият резултат може да бъде получен, като се използва нормализираната функция на Лаплас.

Лекция 8 Законът на големите числа(Раздел 2)

Планирайте лекции

Централна теорема (обща формулировка и частна формулировка за независими разпределени случайни променливи).

Неравенство на Чебишев.

Законът за големите числа под формата на Чебишев.

Концепцията за честотата на събитията.

Статистическо разбиране на вероятността.

Законът за големите номера под формата на Бернули.

Изследването на статистическите модели позволи да се установи, че при определени условия общото поведение на голям брой случайни променливи почти губи произволен характер и става естествено (с други думи, случайни отклонения от някакво средно поведение са взаимно изплатени). По-специално, ако въздействието върху количеството на индивидуалните условия е равномерно малко, количеството на разпределението на количеството приближава нормалното. Математическата формулировка на това изявление е дадена в група теореми, наречени законът за големите номера.

Законът за големите номера - общия принцип, по силата на който съвместното действие на случайни фактори води до някои много общи условия в резултат на това, което е почти независимо от случая. Първият пример за действието на този принцип е сближаването на появата на произволно събитие с вероятността от увеличаване на броя на тестовете (често се използва на практика, например, когато се използва честотата на настъпване на качеството на всеки респондент пробата като селективна оценка на съответната вероятност).

Същност закон за големите номера Това е, че с голям брой независими експерименти честотата на появата на някакво събитие е близка до вероятността му.

Централната теорема (CPT) (в текста на Ляпунов а.М. за еднакво разпределени SV). Ако двойки независими SV x 1, x 2, ..., xn, ... имат същия закон за разпространение с крайни цифрови характеристики m \u003d m и d \u003d s 2, след това с n ®, законът за разпределение на SV е неограничен приближаващ нормалния закон n (n × m).

Следствие. Ако в състоянието на теоремата , след това при n ® ¥, законът за разпределение на CV Y е неограничен до нормалния закон n (m, s /).

Модерната теорема от Лаплас.Нека SV K са броят на "успеха" в N тестовете според схемата Bernoulli. След това при N ® ¥ и фиксираната стойност на вероятността за "успех" в един тест Р, законът за разпределение на CV K е неограничен до нормалния закон N (n × P,).

Следствие. Ако в състоянието на теоремата, вместо C / N, честотата на "успеха" в N тестовете съгласно схемата Bernoulli, нейният закон за транзакцията с N ® и фиксираната стойност p е неограничен приближаването на нормалния закон n (P,).

Коментар. Нека SV K са броят на "успеха" в N тестовете според схемата Bernoulli. Правото на разпределението на такъв биномен закон. След това, при N ®, биноминът разполага с две гранични разпределения:

n дистрибуция Поясон (за n ® ¥ и l \u003d n × p \u003d const);

n дистрибуция Гауса N (n × p,) (с n ® и p \u003d const).

Пример. Вероятността за "успех" в един тест е само р \u003d 0.8. Колко трябва да тествате тестовете, така че с вероятност най-малко 0,9, можете да очаквате, че наблюдаваната честота на "успех" в тестовете съгласно схемата Bernoulli ще се отклони от вероятността p не повече от e \u003d 0.01?

Решение. За сравнение ще решим проблема по два начина.

Случайно, ако в резултат на опита може да отнеме валидни стойности с определени вероятности. Най-пълната, всеобхватна характеристика на случайна променлива е законът за разпространение. Законът за разпространение е функция (таблица, графика, формула), което позволява да се определи вероятността случайността x да поеме определена xi стойност или да попадне в някакъв интервал. Ако случайна стойност има дадено право на разпространение, се казва, че то се разпространява в този закон или се подчинява на този закон за разпространение.

Всеки закон за дистрибуцията - Това е някаква функция, която напълно описва случайната стойност от вероятностната гледна точка. На практика разпределението на вероятностите на случайна променлива X често се преценява само чрез резултатите от теста.

Нормална дистрибуция

Нормална дистрибуцияНаричана още разпространение на Гаус - разпространение на вероятностите, която играе решаваща роля в много области на знанието, особено във физиката. Физическата стойност подлежи на нормално разпределение, когато е засегната от огромен брой случайни смущения. Ясно е, че такава ситуация е изключително често срещана, затова можем да кажем, че от всички дистрибуции, в природата най-често се открива, че това е нормалното разпределение - от тук и едно от имената му се случи.

Нормалното разпределение зависи от двата параметъра - преместване и мащаб, т.е. от математическа гледна точка, а не едно разпределение, а от цялото им семейство. Стойностите на параметъра съответстват на стойностите на средното (математическо очакване) и разсейването (стандартното отклонение).

Стандартното нормално разпределение е нормално разпределение с математическото очакване 0 и стандартно отклонение 1.

Коефициента на асиметрия

Коефициентът на асиметрия е положителен, ако дясната опашка на разпределението е по-дълга от лявата и отрицателно договорена.

Ако разпределението е симетрично по отношение на математическото очакване, нейният коефициент на асиметрия е нула.

Селективният коефициент на асиметрия се използва за тестване на разпределението към симетрия, както и за груба предварителна проверка за нормално. Тя ви позволява да отхвърлите, но не позволявайте да приемате хипотезата за нормалност.

Коефициентът на излишък

Коефициентът на излишък (е коефициентът на изохнаст) е мярка за пика на разпределението на произволна променлива.

"Минус три" в края на формулата беше въведена така, че излишният коефициент на нормалното разпределение е нула. Това е положително, ако пикът на разпределението в близост до математическото очакване е остър и е отрицателен, ако въртерът е гладък.

Моменти на произволна променлива

Моментът на случайна променлива е цифровата характеристика на разпределението на дадена произволна променлива.