Логаритмични неравенства в изпита
Сечин Михаил Александрович
Малка академия на науките на студентски младежки RK "Търсател"
МБУ "Съветска гимназия №1", степен 11, pgt. Съветски съветски район
Gunko Lyudmila dmitivna, учител МБУ "Съветска училище №1"
Съветски район
Цел на работа: Изследването на механизма за решаване на логаритмични неравенства C3 с помощта на нестандартни методи, идентифициране на интересни факти за логаритъм.
Предмет на изследване:
3) Научете се да решавате специфични логаритмични неравенства C3, като използвате нестандартни методи.
Резултати:
Съдържание
Въведение ................................................. ................................... .4.
Глава 1. История на въпроса ............................................. ............................... ... 5.
Глава 2. Събиране на логаритмични неравенства .............................. 7
2.1. Еквивалентни преходи и общ интервал метод ............... 7
2.2. Методът за рационализиране ................................................. ............ 15
2.3. Нестандартно заместване .............................................. ................ ..... 22.
2.4. Задачи с капани ................................................. ............. 27.
Заключение ................................................... ............................... 30.
Литература ............................................................................... 31.
Въведение
Учайки в 11-ти клас и планирам да се запиша в университета, където темата за профила е математика. И следователно ние работим със задачите на С. в задачата C3, трябва да разрешите неравенство или система за неравенство, като правило, свързано с логаритми. Когато се подготвяме за изпита, срещнах проблема с дефицита на методи и техники за решението на изследването на логаритмичните неравенства, предлагани в C3. Методите, които са проучени в училищната програма по тази тема, не дават базата за решаване на задачи C3. Учителят по математика ме покани да работя със задачите на C3 самостоятелно под неговото ръководство. В допълнение, аз се интересувах от въпроса: и в нашия живот има логаритми?
Като се вземе предвид това, темата беше избрана:
"Логаритмични неравенства в изпита"
Цел на работа: Изследването на механизма за решаване на проблеми С3 с помощта на нестандартни методи, идентифициране на интересни факти за логаритъм.
Предмет на изследване:
1) Намерете необходимата информация за нестандартни методи за решаване на логаритмични неравенства.
2) Намерете допълнителна информация за логаритмите.
3) да се научат да решават специфични задачи C3, използващи нестандартни методи.
Резултати:
Практическото значение е да се разшири апарата за решаване на проблеми C3. Този материал може да се използва върху някои уроци, за чаши, по избор математически класове.
Продуктът на проекта ще бъде събирането "Логаритмични неравенства C3 с решения".
Глава 1. История на класа
През 16-ти век броят на приблизителните изчисления, предимно в астрономията, бързо се увеличава. Подобряване на инструментите, изследванията на планетарните движения и други произведения изискват колосални, понякога многогодишни изчисления. Астрономията застраши реалната опасност да се удави в неизпълнени изчисления. Трудностите възникнали в други области, например в застрахователния бизнес, необходими таблици на сложен интерес за различни процентни стойности. Основната трудност е умножаването, разделянето на многоцелевите числа, особено тригонометричните стойности.
Откриването на логаритми разчиташе на свойствата на напредъка, добре известен до края на 16-ти век. Относно връзката между членовете на геометричната прогресия на Q, Q2, Q3, ... и аритметичният напредък на техните показатели 1, 2, 3, ... говори в "Psist" Архимед. Друга предпоставка е разпространението на степента на степен по отрицателни и частични показатели. Много автори показват, че умножаването, разделянето, изграждането на корена в геометрична прогресия в степен и екстракт от корена в аритметиката - в същия ред - добавяне, изваждане, умножение и разделяне.
Имаше идея за логаритми като индикатор за степен.
В историята на развитието на ученията за логаритмите преминаха няколко етапа.
Етап 1
Логаритмите са измислени не по-късно от 1594 г. независимо от шотландския барон Небера (1550-1617) и десет години от швейцарския механик Бургги (1552-1632). И двете искат да дадат нов удобен инструмент за аритметично изчисление, въпреки че се приближиха до този проблем по различни начини. Никога не кинематично изразени логаритмична функция и по този начин се присъединиха към новата област на теорията на функциите. Бюджетът остава въз основа на разглеждане на дискретни прогресии. Обаче дефиницията на логаритъма от двете не изглежда модерна. Терминът "логаритм" (логаритмус) принадлежи към Непари. Той произхожда от комбинация от гръцки думи: лого - "отношението" и ariqmo - "номер", което означава "броя на връзките". Първоначално бригадирът използва друг термин: numeri изкуствени - "изкуствени числа", за разлика от нулевите находилки - "естествено естествено".
През 1615 г., в разговор с професор по математика, Sinst College в Лондон, Хенри Бригс (1561-1631), предложи за логаритъма и за логаритъм от десет - 100, или, който е намален, просто 1. Това се появиха десетични логаритми и първите логаритмични маси бяха отпечатани. По-късно таблицата на Бригс добави холандски книжар и любител на математиката Андриан Флакк (1600-1667). Никога и брига, въпреки че дойдоха на логаритми преди всички, публикуваха масите по-късно от други - през 1620 година. В регистъра и дневниците бяха въведени през 1624 г. от I. Kepleer. Терминът "естествен логаритъм" е въведен от Mengoli през 1659 г. и след него Н. Меркатор през 1668 г. и публикува масите на естествените логаритми на числа от 1 до 1000, озаглавени "нови логаритми", учител в Лондон Джон Стикиран.
На руски първите логаритмични таблици бяха публикувани през 1703 година. Но във всички логаритмични таблици бяха направени грешки при изчисляване. Първите маси без грешки излязоха през 1857 г. в Берлин при обработката на германската математика К. Бремметър (1804-1877).
2 етап
По-нататъшното развитие на теорията на логаритмите е свързано с по-широко използване на аналитична геометрия и калкула безкрайно малка. По това време създаването на връзката между квадратурата на равностранените хиперболи и естествения логаритъм. Теорията на логаритмите от този период е свързана с имената на редица математици.
Германски математик, астроном и инженер Николаус Меркатор в писмен вид
"Логарита" (1668) дава ред, който дава разширение ln (x + 1)
степени X:
Този израз точно съответства на движението на мисълта му, въпреки че той, разбира се, не се радва на признаци на ... и по-тромав символизъм. С откриването на серията логаритмична среда, техниката на изчисляване на логаритмите се промени: те започнаха да се определят с помощта на безкрайни редове. В своите лекции "елементарна математика от най-високата гледна точка" прочетете през 1907-1908 г., Ф. Клайн предложи да се използва формулата като начална клауза за изграждане на теорията на логаритмите.
3 етапа
Определение на логаритмична функция като обратна функция
индикативен, логаритъм като индикатор за степента на тази база
тя не беше формулирана веднага. Есе на Леонард Сулер (1707-1783)
"Въведение в анализа на безкрайно малък" (1748) служи за допълнително
развитие на теорията на логаритмичната функция. По този начин,
134 преминат, тъй като за първи път бяха въведени логаритми
(броене от 1614 г.) преди математиците да дойдат в дефиницията
концепциите за логаритъм, които сега се основават на училищния курс.
Глава 2. Събиране на логаритмични неравенства
2.1. Еквивалентни преходи и обобщен интервал метод.
Преходи на оборудване
Ако a\u003e 1
Ако 0. <
а <
1
Обобщен интервал метод
Този метод е най-универсален при решаването на неравенствата от почти всеки тип. Схемата за решаване е както следва:
1. Осигурете неравенство към този вид, където функцията е в лявата част 
и дясно 0.
2. Намерете областта за дефиниране на полето .
3. Намерете функции на Zeros това е - да се реши уравнението 
(И уравнението обикновено е по-лесно разрешаване, отколкото за решаване на неравенство).
4. Картина на числово дефиниране на полето и нули.
5. Определете функциите на функцията На получените интервали.
6. Изберете интервали, където функцията предприема необходимите стойности и запишете отговора.
Пример 1.
Решение:
Прилагане на интервалния метод
от
С тези стойности всички изрази под признаците на логаритми са положителни.
Отговор:
Пример 2.
Решение:
1-y. метод . OST се определя от неравенството х. \u003e 3. Логаритминг с такъв х. Въз основа на 10, ние получаваме
Последното неравенство може да бъде решено чрез прилагане на правила за разлагане, т.е. Сравняване на факторите с нула. Въпреки това, в този случай е лесно да се определят интервалите на функцията на символа
следователно можете да приложите метода на интервала.
Функция е.(х.) = 2х.(х.- 3.5) LG | х.- 3 | непрекъснато х. \u003e 3 и се изтеглят на нула в точки х. 1 = 0, х. 2 = 3,5, х. 3 = 2, х. 4 \u003d 4. Така определете диапазоните на функцията на символа е.(х.):
Отговор:
2-ри начин . Прилагайте директно към първоначалното неравенство на идеята за интервален метод.
За да направите това напомнете тези изрази а. b - а. С и ( а. - 1)(б. - 1) Имате един знак. Тогава нашето неравенство х. \u003e 3 е еквивалентно на неравенството
или
Неравенство, неравенството се решава от интервали
Отговор:
Пример 3.
Решение:
Прилагане на интервалния метод
Отговор:
Пример 4.
Решение:
От 2. х. 2 - 3х. + 3\u003e 0 с всички валидни х.T.
За решаване на второто неравенство, ние използваме метода на интервала
В първото неравенство ще заменим
тогава стигаме до неравенството 2Y 2 - y. - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y.които отговарят на неравенството -0.5< y. < 1.
Къде, защото
получаваме неравенство
който се извършва с тези х.за които 2. х. 2 - 3х. - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Сега, предвид решението на второто неравенство на системата, най-накрая получаваме
Отговор:
Пример 5.
Решение:
Неравенството е еквивалентно на съвкупността на системите
или
Прилагат интервалния метод или
Отговор:
Пример 6.
Решение:
Неравенството е еквивалентно на системата
Нека бъде
тогава y. > 0,
и първото неравенство
системите вземат изглед
или, сгъване
квадрат три пъти за множители,
Прилагане на интервалния метод до последното неравенство
виждаме, че нейните решения отговарят на състоянието y. \u003e 0 ще бъде всичко y. > 4.
По този начин първоначалното неравенство е еквивалентно на системата:
Така че решенията на неравенствата са всички
2.2. Метода на рационализиране.
Преди това методът на рационализиране на неравенството не беше решен, те не знаеха. Това е "нов съвременен ефективен метод за решаване на индикативни и логаритмични неравенства" (цитат от Kolsnikovaya c.i.)
И дори ако учителят го познаваше, тя беше крачина - но прави експертният му изпит, и защо не му дават в училище? Имаше ситуации, в които учителят говори на ученика: "Къде взехте? Sit - 2."
Сега методът се движи навсякъде. И за експерти има насоки, свързани с този метод, а в "най-пълните публикации на типични опции ..." в решаването на С3 се използва този метод.
Прекрасен метод!
"Магическа маса"
В други източници
ако a\u003e 1 и b\u003e 1, след това регистрирайте a b\u003e 0 и (A-1) (B-1)\u003e 0;
ако a\u003e 1 и 0 ако 0.<а.<1 и b
>1, след това регистрирайте b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
ако 0.<а.<1 и 00 и (A -1) (B-1)\u003e 0. Извършените аргументи са прости, но забележимо опростяване на решаването на логаритмичните неравенства. Пример 4.
log x (x 2 -3)<0
Решение:
Пример 5.
log 2 x (2x 2 -4x +6) ≤log 2 x (x 2 + x) Решение: Пример 6.
За да разрешите това неравенство, вместо знаменателя, напишете (x - 1-1) (x - 1) (x - 1), и вместо числителя - работата (x - 1) (x-3-9 + x). Пример 7.
Пример 8.
2.3. Нестандартно заместване. Пример 1.
Пример 2.
Пример 3.
Пример 4.
Пример 5.
Пример 6.
Пример 7.
log 4 (3 x -1) log 0,25 Ще заменим Y \u003d 3 x -1; Тогава това неравенство ще бъде изглед Log 4 log 0,25 Като log 0.25. Ние ще заменим t \u003d log 4 y и получаваме неравенството t 2 -2t + ≥0, чиято решения е интервалите - Така, за да намерите ценности, имаме комбинация от две прости неравенства Следователно първоначалното неравенство е еквивалентно на съвкупността от две демонстрационни неравенства, \\ t Чрез решението на първото неравенство на тази съвкупност, разликата 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Пример 8.
Решение:
Неравенството е еквивалентно на системата Чрез решението на второто неравенство, което определя OTZ, ще има много х.,
за което х. > 0.
За да разрешите първото неравенство, ние ще заменим Тогава получаваме неравенство или Много решения на последното неравенство са метод интервали: -1.< t. < 2. Откуда, возвращаясь к переменной х.Получаване или Много технологии х.които отговарят на последното неравенство принадлежи otz ( х. \u003e 0), следователно, е решение на системата, така че първоначалното неравенство. Отговор: 2.4. Задачи с капани. Пример 1.
Решение. OST неравенството е всичко x, удовлетворяващо състояние 0 Пример 2.
log 2 (2 x + 1-x 2)\u003e log 2 (2 x - 1 + 1-x) +1.
Отговор. (0; 0.5) u.
Отговор :
(3;6)
.
\u003d -Log 4. \u003d - (log 4 y -log 4 16) \u003d 2-log 4 y, след това пренапишете последното неравенство под формата на 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
Решението на тази съвкупност е пропуските 0<у≤2 и 8≤у<+.
Това е, агрегат 
. По този начин първоначалното неравенство се извършва за всички стойности X от пропуските 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
. Следователно, всички x от интервала 0
Заключение
Не е лесно да се намерят специални методи за решаване на C3 проблеми от голямо изобилие от различни източници на обучение. В хода на извършената работа успях да изследвам нестандартни методи за решаване на сложни логаритмични неравенства. Това е: еквивалентни преходи и общ интервал метод, метод за рационализиране , нестандартно заместване , задачи с капани на otz. В училищната програма тези методи отсъстват.
Различни методи I решават 27 неравенства, предлагани на изпита в част С, а именно C3. Тези неравенства с решения съгласно методите са в основата на "логаритмични IC3 логаритми с решения", което става проект продукт на моите дейности. Хипотезата, поставена от мен в началото на проекта, беше потвърдена: задачите C3 могат да бъдат ефективно решаване, като знаят тези методи.
Освен това разкрих интересни факти от логаритми. Интересувах се да го направя. Моите дизайнерски продукти ще бъдат полезни както за учениците, така и за учителите.
Заключения:
Така се постига целта на проекта, проблемът е решен. И получих най-пълния и гъвкав опит на дейностите по проекта на всички етапи на работа. В хода на работата по проекта имах основно въздействие върху умствената компетентност, дейности, свързани с операциите по логическо мислене, развитието на творческа компетентност, лична инициатива, отговорност, постоянство, дейност.
Гаранционен успех при създаване на изследователски проект за Станах: значителен училищния опит, способността за извличане на информация от различни източници, проверете точността си, класирайте го по важност.
В допълнение към прякото познаване на математиката, разширяваха практическите си умения в областта на информатиката, получиха нови знания и опит в областта на психологията, създадени контакти с съученици, се научиха да си сътрудничат с възрастни. В хода на проектната дейност, организационните, интелектуалните и комуникативните общи учени и умения.
Литература
1. Крянов А. Г., Прокофиев А. А. Системата на неравенствата с една променлива (типични задачи C3).
2. "Малкова А. Г. Подготовка за изпита по математика.
3. Самарова С. С. Решение на логаритмични неравенства.
4. Математика. Събиране на обучение по редакторите на A.L. Семенова и I.V. Яшченко. - mcnmo, 2009. - 72 S.-
Раздели: Математика
Често, когато решават логаритмични неравенства, има проблеми с променлива база от логаритъм. Така, неравенството на формуляра
това е стандартно неравенство в училище. По правило преминаването към еквивалентен набор от системи се използва за решаване на него:
Недостатъкът на този метод е необходимостта от решаване на седем неравенства, без да се броят две системи и една съвкупност. Вече в тези квадратични функции, решението на комплекта може да изисква много време.
Можете да предложите алтернативен, по-малко трудоемък начин за решаване на това стандартно неравенство. За да направите това, вземете под внимание следната теорема.
Теорема 1. Оставете непрекъснато нарастваща функция на SET X. След това, на този комплект, оценката на функцията ще съвпадне с знака за интерментация на аргумента, т.е. където 
.
ЗАБЕЛЕЖКА: Ако тогава може да се намали непрекъснато намаляване на зададения x.
Нека да се върнем към неравенството. Нека се обърнем към десетичния логаритъм (можете да преминете към никого с постоянна база повече от един).
Сега можете да използвате теоремата, като отбелязвате увеличаването на функциите в числителя 
И в знаменателя. Така, дясно
В резултат на това броят на изчисленията, водещи до отговора, намалява с около два пъти, което спестява не само време, но също така позволява потенциално да се правят по-малко аритметични грешки и грешки "от inattentive."
Пример 1.
Сравняване с (1) 
, 
, .
Обръщаме се към (2) Ние ще имаме:
Пример 2.
Сравнявайки с (1) откриваме ,,
Обръщаме се към (2) Ние ще имаме:
Пример 3.
Тъй като лявата част на неравенството е нарастваща функция с и 
Отговорът ще бъде много.
Разнообразие от примери, в които може да се използва по време на ред 1, може лесно да се разшири, ако смятате, че TEREM 2.
Позволявам Х. Функциите са дефинирани, и на този комплект знаци и съвпадат, т.е. тогава ще бъде справедливо.
Пример 4.
Пример 5.
Със стандартен подход, пример се решава съгласно схемата: продуктът е по-малък от нула, когато факторите на различни признаци. Тези. Разглежда се комбинацията от две системи на неравенство, в която, както е посочено в началото, всяко неравенство се разпада за още седем.
Ако вземем под внимание TEREM 2, след това всеки от факторите, даден (2), може да бъде заменен с друга функция, имаща същия знак за този пример OD.
Методът за замяна на увеличаването на функцията чрез увеличаване на аргумента, като се вземе предвид теорема 2, е много удобен при решаването на типични C3 задачи.
Пример 6.
Пример 7.
. Означавам. Получаване
. Отбележете, че от заместването следва :. \\ T Връщаме се в уравнението, получаваме
.
Пример 8.
В теоремите, които използвахме, няма ограничение на класовете функции. В тази статия например теоремите бяха приложени за решаване на логаритмични неравенства. Следващите примери ще демонстрират обещанието за метода в решаването на други видове неравенства.
Статията е посветена на анализа на задачите 15 от профилния изпит в математиката за 2017 година. В тази задача се предлагат ученици да решават неравенството, най-често логаритмично. Въпреки че може да има индикативен. Тази статия осигурява анализ на примери за логаритмични неравенства, включително съдържащи променлива в основата на логаритъма. Всички примери са взети от отворена банка за задачите на математиката (профила), така че такива неравенства са много склонни да стигнат до изпита като задача 15. Идеален за тези, които за кратко време искат да се научат да решават Задача 15 От втората част на профилния изпит в математиката, за да получите повече точки на изпита.
Анализ на задачите 15 от профила EGE в математиката
| Пример 1. Решаване на неравенство: |
В задачите 15 ЕГЕ по математика (профил) често са логаритмични неравенства. Решението на логаритмичното неравенство започва с определяне на областта на допустимите стойности. В този случай в основата на двата логаритма няма променлива, има само номер 11, който значително опростява задачата. Следователно единственото ограничение, което имаме тук, е, че и двете изрази под логаритъма са положителни:
Заглавие \u003d "(! Lang: Предоставено от QuickTextex.com">!}
Първото неравенство в системата е квадратно неравенство. За да го решите, няма да нараним да разложим лявата страна на множителите. Мисля, че знаете, че всеки квадрат тримесец 
Разкрити върху фактори, както следва:
къде и корените на уравнението. В този случай коефициентът е 1 (това е цифров коефициент). Коефициентът също е равен на 1, а коефициентът е свободен елемент, той е равен на -20. Корените на тройката са най-лесни за определяне на теоремата на Виета. Уравнението тук е дадено, това означава количеството на корените и ще бъде равно на коефициента с противоположния знак, т.е. -1 и продуктът на тези корени ще бъде равен на коефициента, т.е. -20. Лесно е да се отгатне, че корените ще бъдат -5 и 4.
Сега лявата част на неравенството може да бъде разградена върху факторите: заглавие \u003d "(! Lang: Предоставено от QuickTex.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} Х. В точки -5 и 4. Така че желаното решение на неравенството е пропастта. За тези, които не са ясни какво е написано тук, можете да видите подробности във видеоклипа, като започнете от тази точка. Там ще намерите подробно обяснение, тъй като второто неравенство на системата е решено. Той е решен. Освен това отговорът е същият като за първото неравенство на системата. Това означава, че записаният по-горе комплект е областта на допустимите стойности на неравенството.
Така че, като се вземат предвид разлагането на множителите, първоначалното неравенство приема формата:
Използвайки формулата, ние представяме 11 в степента на изразяване под знака на първия логаритъм и страдаме от втория логаритъм в лявата страна на неравенството, като променяме знамената си към обратното:
След рязане получаваме:
Последното неравенство, поради нарастващата функция, еквивалентна на неравенството 
, решението на което е празнината 
. Остава да го прекоси с зоната на допустимите стойности на неравенството и това ще се окаже да отговори на всичко.
Така че желаният отговор на задачата е:
С тази задача, ние разбрахме, сега се обръщаме към следващия пример за задачата на 15 от математиката (профила).
| Пример 2. Решаване на неравенство:
|
Решението започва с определяне на областта на допустимите стойности на това неравенство. Въз основа на всеки логаритъм трябва да бъде положително число, което не е равно на 1. Всички изрази под знака на логаритъма трябва да бъдат положителни. В деномотар фракцията не трябва да бъде нула. Последното условие е еквивалентно на факта, че тъй като само в противен случай и двата логаритми в знаменателя се прилагат към нула. Всички тези условия определят областта на допустимите стойности на това неравенство, определено от следната система на неравенство: \\ t
Заглавие \u003d "(! Lang: Предоставено от QuickTextex.com">!}
В областта на допустимите стойности можем да използваме формули за преобразуване на логаритми, за да опростим лявата част на неравенството. С помощта на формула 
Отърви се от знаменателя:
Сега имаме само логаритми с базата. По-удобно е. След това използваме формулата, също във формулата, за да приведем изражението, което е полезно, на следната форма:
Когато изчисляваме, ние използвахме това в областта на допустимите стойности. Използвайки заместването, стигаме до изразяване:
Използваме друга замяна :. В резултат на това пристигаме на следния резултат:
Така че постепенно се връщате в източниците променливи. Първо до променливата:
