Министерство на образованието и науката на Руската федерация Национален изследователски университет "МИФИ" Т. И. Бухарова, V. L. Kamynin, A. B. Kostin, D. S. Tkachenko Лекции за обикновени диференциални уравнения, препоръчани от UMO ядрената физика и технологии Качество на учебника за ученици от висши учебни заведения Москва 2011 UDC 517.9 BBK 22.161.6 B94 Bukharova Ti, Kamynin Vl, Kostin AB, Tkachenko DS Курс на лекции по обикновени диференциални уравнения: урок. - M.: Niau Mafi, 2011. - 228 p. Ръководството за обучение е създадено въз основа на лекции, прочетени от авторите в Москва Инженеринг и физически институт през годините. Тя е предназначена за студенти от Ния мити на всички факултети, както и за студенти от университети с повишена математическа подготовка. Ръководството е изготвено в рамките на програмата за създаване и развитие на NIYA MAFI. Рецензент: д-р FIZ. Науки N.A. Кудрашашов. ISBN 978-5-7262-1400-9 © Национален изследователски ядрен университет "MIII", 2011 Съдържание Предговор. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 I. Въведение в теорията на обикновените диференциални уравнения основни понятия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6 11 II. Съществуването и уникалността на решаването на проблема на Cauchy за уравнението на първия ред е теорема на уникалността за първата поръчка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Решаване на решаването на проблема с коша за първия ред. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Продължете решението за първия ред. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III. Задачата на Cauchy за нормални основни концепции на системата за поръчки и някои спомагателни свойства на векторната функция. . . . Идентичност на решаването на проблема на Cauchy за нормална система. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Шпакловка . Концепцията за метрично пространство. PriNipe на изстискването. . . . . . Теорос на проблема и уникалността на решаването на проблема с нормалните системи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 14 23 34 38 34 43 44 48 IV. Някои класове обикновени диференциални уравнения, решени в квадратури уравнение с разделителни променливи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Линейна първа поръчка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Равномерни уравнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Уравнение Áernlli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Уравнение в пълноценни дилъри. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 55 58 63 64 65 V. 67 Уравненията от първи ред, които не са разрешени по отношение на производителя на проблема и уникалността на решението на Oäu, не са разрешени по отношение на деривата. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Специално решение. ÄCHRIMNANT крива. Обвивка. . . . . . . . . . . . . . . . Параметърът за администриране на параметрите. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Уравнение на Lagrana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Уравнение на Clairo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI. Линейни системи за одем основни концепции. Теорема на проблема и уникалността на решаването на проблема хомогенните системи на линейната OÄU. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Детерминатът е alnoy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Сложни решения за хомогенна система. Преход към основен CCR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Системните системи на линейната OÄU. Tode variaii постоянен. . . . . Единни системи на линейно Oäu с постоянен кофингер. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Индикативна функция от матриана. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 67 70 77 79 81 85 Cauchy 85. . . 87. . . 91. . . . . . 96 97. . . 100. . . 111 Системните системи на линейната Oäu с постоянен cobfinger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 VII. Линеен ADU за висока поръчка се намалява до системата Linear Oäu. Теорема на проблема и уникалността на решаването на проблема с Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Равномерен линеен висок ред. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Свойства на сложни решения на хомогенен линеен висок ред. Преход от сложния CPC към същественото. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Фондация Линейни линии с висока поръчка. Tode variaii постоянен. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Единни линейни решения с висок ред с постоянен cobfinger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Това е линейна линейна с висока поръчка с постоянен съразпарен ефект. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 VIII. Теория на стабилността Основните понятия и определения, свързани с устойчивостта. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Стабилност на решенията на линейната система. . . . . . Оряден Ляпунов за стабилност. . . . . . . . . . Стабилност според първото приближение. . . . . . . Поведението на фазовите траектории в близост до точката на почивка 162. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 128 136 139 142 150 162 168 172 182 187 IX. Първите интеграли на ODU 198 Systems 198 Първите интеграли на автономни системи на обикновени различни деликатни уравнения198 Автономните системи на Oäu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 Симетрични записни системи Oäu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 X. Уравнения в частни деривати на първите поръчки с еднакви линейни уравнения в частните деривати на първия ред на Cauchy ç за линейно уравнение в частните деривати на първата поръчка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Квазилинейни уравнения в частни деривати от първо място. . . . Cauchy има квазилинейно уравнение в частните деривати на първата поръчка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Библиография. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -4-210. . . . . 210. . . . . 212. . . . . 216. . . . . 223. . . . . 227 Предговор При подготовката на книгата авторите бяха насочени към оценка на едно място и държавна информация по повечето въпроси, свързани с теорията на обикновените диференциални уравнения в достъпна форма. Следователно, в допълнение към материала, включен в задължителната програма на хода на обикновените диференциални уравнения четенето в NIII (и в други университети), надбавката включва допълнителни въпроси, за които, като правило, няма достатъчно време на лекции, но което ще бъде полезно за по-добро разбиране. Теми и ще измислят настоящи ученици в по-нататъшните си професионални дейности. Всички изявления на предложените обезщетения са математически строги доказателства. Тези доказателства обикновено не са оригинални, но всички са преработени в съответствие със стила на представяне на математически курсове в Меф. Според широко разпространение сред учители и учени математическите дисциплини трябва да бъдат проучени с пълни и подробни доказателства, като се движат постепенно от лесен за сложен. Авторите на това ръководство се придържат към същото мнение. Теоретичната информация, цитирана в книгата, се подкрепя от анализа на достатъчен брой примери, които, както се надяваме, опростява читателя да изучава материала. Наръчникът е адресиран до студенти от университети с повишена математическа подготовка, на първо място, студенти от NIYA MEPI. В същото време ще бъде полезно и за всеки, който се интересува от теорията на диференциалните уравнения и използва този раздел на математиката в работата си. -5 - Глава I. Въведение в теорията на обикновените диференциални уравнения 1. 1. Основни понятия навсякъде в ръководството чрез ха, BI ще бъде обозначено с някой от комплектите (A, B) ,, (A, B], ние Получаване на x0 2 zx ln 4c + 3 u (t) v (t) dt5 zx v (t) dt. ln c6 x0 x0 след усилване на последното неравенство и използване (2.3), имаме 2 x 3 zx zu ( x) 6 C + U (t) v (t) DT6C exp 4 v (t) DT5 x0 x0 при всички x 2 [1, 1]. Ние оценяваме разликата JF (x, y2) f (x, y1 ) j \u003d sin x y1 y2 6 изобщо (x, y) 2 g. по този начин, f удовлетворяват lipschitz условието с l \u003d 1 в действителност, дори и с l \u003d sin 1 по y. Въпреки това, производителят на FY0 в точките ( x, 0) 6 \u003d (0, 0) дори не съществува. Следната теорема, интересна само по себе си, ще позволи да се докаже уникалността на проблема с Cauchy. Теорема 2. 1 (относно оценката на разликата между две решения). оставете g областта 2 в R, и f (x, y) 2 cg и удовлетворяват състоянието на g lipschitz y с постоянен L. ако Y1, Y2 два разтвора на уравнението y 0 \u003d f (x, y 0 \u003d f (x, y ) На сегмента, тогава е справедливо до неравенство (оценка): JY2 (x) Y1 (x) J 6 JY2 (x0) Y1 (x0) J EXP L (x x0) 6 Y1 при всички х 2. -19- y2 доказателство. По дефиниция 2. 2 решения на уравнение (2.1) Получаваме, че 8 x 2 точки x, y1 (x) и x, y2 (x) 2 g. За всички t 2, ние имаме верни равенства Y10 (t) \u003d ft, Y1 (t) и Y20 (t) \u003d ft, y2 (t), който се интегрира от t на сегмента, където х 2. Интеграцията е законна, тъй като дясната и лявата част са непрекъснати функции. Получаваме системата на равенства ZX Y1 (x) Y1 (x) Y1 (x0) \u003d x0 zx y2 (x) y2 (x0) \u003d f t, y1 (t) dt, f t, y2 (t) dt. X0, изваждащ един от другия, имаме jy1 (x) y2 (x) j \u003d y1 (x0) y2 (x0) + zx hft, y1 (t) IFT, y2 (t) dt6 x0 zx 6 y1 (x0) Y2 (x0) + ft, y1 (t) ft, y2 (t) dt6 x0 zx 6 y1 (x0) Y2 (x0) + l y1 (t) y2 (t) dt. X0 означавам чрез C \u003d Y1 (x0) Y2 (x0)\u003e 0, v (t) \u003d l\u003e 0, u (t) \u003d y1 (t) Тогава, в неравенството на Hronolla-Áellman, ние получаваме оценка: JY2 (X) Y1 (x) J6 jy2 (x0) Y1 (x0) j exp l (x x0) Y2 (t)\u003e 0. За всички х 2. Теорема се доказва. Като следствие от доказана теорема, ние получаваме теорема на уникалността на решението на проблема с Cauchy (2. 1), (2.2). Алтернативен 1. Оставете функцията f (x, y) 2 cg и удовлетворяват lipschitz условието в y, и функциите на Y1 (x) и y2 (x), двете разтвори на уравнение (2.1) на същия сегмент и. \\ T X0 2. Ако Y1 (x0) \u003d Y2 (x0), след това Y1 (x) Y2 (x) върху. Доказателства. Разгледайте два случая. -20- 1. Нека x\u003e x0, след това, от теорема 2. 1 следва, че h и т.е. Y1 (x) Y1 (x) Y2 (x) 6 0 exp l (x x0), y2 (x) при x\u003e x0. 2. Нека х 6 x0 да остави заместването t \u003d x, след това yi (x) \u003d yi (t) y ~ i (t) при I \u003d 1, 2. Тъй като х 2, t2 [x0, x1] и изпълнява равенство y ~ 1 (x0) \u003d y ~ 2 (x0). Разбираме какво уравнение е удовлетворяващо y ~ i (t). Следващата верига от равенства е вярна: d y ~ i (t) \u003d dt d ~ yi (x) \u003d dx f x, yi (x) \u003d f (t, y ~ i (t)). Тук се възползвахме от диференциацията на сложната функция и факта, че yi (x) е решения на уравнение (2.1). Тъй като функцията f ~ (t, y) f (t, y) е непрекъснато и удовлетворява lipschitz условието за y, след това от теорема 2. 1 имаме това y ~ 1 (t) y ~ 2 (t) на [x0 , x1], т.е. Y1 (x) Y2 (x) ON. Комбинираме и двата случая, получаваме одобрението на разследването. Алтернативно 2. (при непрекъсната зависимост от първоначалните данни) Нека функцията f (x, y) 2 cg и удовлетворяването на lipschitz състоянието по y с константа L, и функциите y1 (x) и y2 (x) са разтвори на Уравнение (2.1) дефинирано. Ние отговаряме на l \u003d x1 x0 и δ \u003d y1 (x0) y2 (x0). Ако при 8 х 2, неравенството Y1 (x) Y2 (x) 6 Δ el l е вярно. Доказателството следва да бъде незабавно от теорема 2. 1. Неравенството от следствие 2 се нарича оценка на устойчивостта на решението за първоначалните данни. Неговото значение е, че ако при x \u003d x0 решенията са "близки", след това на крайния сегмент те също са близки. Theorem 2. 1 дава важна оценка на разликата модула на две решения за приложения и следствие от 1 е уникалността на решаването на проблема с Cauchy (2.1), (2.2). Има и други достатъчно условия за уникалност, една от които сега даваме. Както е отбелязано по-горе, геометрично уникалността на решението на проблема на Cauchy означава, че чрез точка (x0, Y0) регион G може да премине не повече от една интегрална крива на уравнение (2.1). Theorem 2. 2 (Osguda за уникалност). Да предположим, че функцията f (x, y) 2 cg и за 8 (x, y1), (x, y2) 2 g е извършено неравенство f (x, y1) f (x, y2) 6 6 φ jy1 y2 j, където φ (u)\u003e 0 при u 2 (0, β], φ (u) е непрекъснато и zp du! +1, когато ε! 0+. Ако точката (x0, y0), регионът φ (u ) ε g не е по-една интегрална крива (2.1). -21-доказателство. Да предположим, че има два разтвора Y1 (x) и Y2 (x) на уравнение (2.1), така че Y1 (x0) \u003d Y2 (x0) \u003d y2 (x0) \u003d Y0, обозначава z (x) \u003d y2 (x) y1 (x). DYI Тъй като \u003d F (x, yi), при i \u003d 1, 2, след това за z (x), равенството dx dz \u003d f (x, y2) f (x, y2) f (x, y2) е валидно. dx dz \u003d f (x, y2) f (x, y1) jzj 6 φ jzj jzj, т.е. Сравнително след това Z DX 1 D неравенството jzj2 6 φ jzj jzj, от който, когато jzj 6 \u003d 0 следва 2 dx двойно неравенство: zjz2 J zx2 dx 6 x1 2 d jzj 6 2 jzjφ jzj zx2 dx, (2.5) x1 jz1 j, където Интеграцията се извършва съгласно всеки сегмент, на който z (x)\u003e 0 и zi \u003d z (xi), i \u003d 1, 2. чрез предположение, z (x) 6 0 и освен това, непрекъснато, така че такъв сегмент е намерено, изберете го и го поправете. Помислете за комплектите n o x1 \u003d x x< x1 и z(x) = 0 , n o X2 = x x > x2 и z (x) \u003d 0. Ако някой от тези комплекти не е празен, тъй като z (x0) \u003d 0 и x0 62. Нека, например, x1 6 \u003d ∅, той е ограничен от по-горе, следователно 9 α \u003d SUP X1. Обърнете внимание, че z (α) \u003d 0, т.е. α 2 x1, тъй като се приема, че z (α)\u003e 0, по силата на непрекъснатост, ние ще имаме z (x)\u003e 0 на някакъв интервал α δ1, α + Δ1 и това противоречи на дефиницията α \u003d sup X1. От състоянието z (α) \u003d 0 следва, че α< x1 . По построению z(x) > 0 за всички x 2 (α, x2] и по силата на непрекъснатостта z (x)! 0+ при x! Α + 0. Повторете аргументите в PIN (2.5), интегриране на сегмента [α + Δ, x2 ], където x2 е избрано над и фиксиран, и δ 2 (0, x2 α) - произволно, получаваме неравенството: zjz2 j zx2 dx 6 α + δ d jzj2 6 2 jzjφ jzj jz (α + Δ) j zx2 dx. α + Δ в този двоен ще дефинирам δ! 0+, след това z (α + Δ)! z (α) \u003d 0, от zjz2 jd jzj2! +1, според непрекъснатостта на z (x) и. \\ t Тогава интегралът 2 jzjφ jzj теорема. JZ (α + Δ) J -22 десницата на неравенството RX2 dx \u003d x2 α 5 x2 α е ограничено α + Δ от крайната стойност, която е едновременно невъзможно. Полученото Противорението доказва теорема. 2. 2. Съществено решаването на проблема с коша за първата поръчка каква е задачата на Cauchy (2.1), (2.2), която се разбира като следната задача за намиране на функцията Y (x): 0 y \u003d F (x, y), (x, y) 2 g, y (x0) \u003d Y0, (x0, y0) 2 g, където f (x, y) 2 cg и (x0, y0) 2 g; g е регион в R2. Lemma 2. 2. Нека f (x, y) 2 cg. Ако се извършват следните твърдения: 1) всичко φ (x) уравнение (2.1) в обхвата на HA, BI, удовлетворяване (2.2) x0 2 ha, bi, е разтвор на ha, bi интегрално уравнение zx y (x) \u003d y0 + f τ, y (τ) dτ; (2.6) x0 2) ако φ (x) 2 c ha, bi разтвор на интегралното уравнение (2.6) на ха, bi, 1 където x0 2 ha, bi, тогава φ (x) 2 c ha, bi и е a Решение (2.1), (2.2). Доказателства. 1. Нека φ (x), решението (2.1), (2.2) на ха, BI. След това, според забележката 2.2 φ (x) 2 c ха, bi и 8 τ 2 ha, bi, имаме равенство φ 0 (τ) \u003d f τ, φ (τ), интегриране на което от x0 до x, ние Вземете (при всяко x 2 ha, bi) rx φ (x) φ (x0) \u003d f τ, φ (τ) dτ, с φ (x0) \u003d y0, т.е. φ (x) - решение (2.6). X0 2. Нека y \u003d φ (x) 2 ca, bi - разтвор (2.6). Тъй като fx, φ (x) е непрекъснато на ха, bi чрез състояние, след това zx φ (x) y0 + f τ, φ (τ) dτ 2 c 1 ha, bi x0 като неразделна част с променлива горна граница от непрекъснатото функция. Разграничаване на последното равенство на X, получаваме φ 0 (x) \u003d F X, φ (x) 8 x 2 ha, bi и, очевидно, φ (x0) \u003d y0, т.е. φ (x) е решението на проблема с Cauchy (2.1), (2.2). (Както обикновено, под деривата в края на сегмента се разбира, че съответното едностранно дериватив.) -23 "преглед 2. 6. Лема 2. 2 се нарича лема за проблема с Cauchy (2.1), ( 2.2) от интегралното уравнение (2.6). Ако докажем, че съществува решаване на уравнение (2.6), ние получаваме разрешеност и цели на Cauchy (2.1), (2.2). Този план се осъществява в следната теорема. Теорема 2. 3 (теорема за местно съществуване). Оставете правоъгълника p \u003d (x, y) 2R2: JX x0 J6 α, jy y0 j6 β е изцяло в g от функцията за определяне на функцията f (x, y). F (x, y) 2 c g и удовлетворяват lipschitz условието за n y ov g с постоянен L. съответното β m \u003d максимално f (x, y), h \u003d min α, m. Ако има решение на задачата на êshoshi (2.1), (2.2). Доказателства. На рязане установяваме съществуването на решение на интегралното уравнение (2.6). За да направите това, помислете следната последователност от функции: zx y0 (x) \u003d y0, y1 (x) \u003d y0 + f τ, y0 (τ) dτ, ... x0 zx yn (x) \u003d y0 + f τ, \\ t YN 1 (τ) dτ и т.н. и т.н. X0 1. Ние показваме, че 8 N 2 N функции yn (последователни приближения) са дефинирани, т.е. Ние показваме, че при 8 х 2 неравенството yn (x) Y0 6 β се извършва за всички n \u003d 1, 2 ,. . . Ние използваме метода на математическа индукция (MMI): а) индукционната база: n \u003d 1. zx y1 (x) y0 \u003d f τ, y0 (τ) dτ 6 m0 x0 6 mH66, x0, където m0 \u003d максимум f (x, y0) при JX x 0 J6 α, m0 6 m; б) етап на допускане и индукция. Нека неравенството е вярно за YN 1 (x), ние го доказвам за yn (x): zx yn (x) y0 \u003d f τ, yn 1 (τ) dτ 6 mx x0 така, ако jx x0 J 6 h, тогава YN (x) Y0 6 р 8 N2N. -224 - X0 6 mH6 β. Нашата цел ще бъде доказателство за конвергенция последовател на най-близкия 1 yk (x) k \u003d 0, за това е удобно да го представлява във формата: yn \u003d y0 + nx yk 1 (x) \u003d y0 + y1 yk (x y0 + y2 y1 +. . . + YN YN 1, k \u003d 1 i.e. Последователности на частични суми на функционалната серия. 2. Ние оценяваме членовете на тази серия, като доказваме следните неравенства 8 N 2 N и 8 x 2: x0 jn yn (x) yn 1 6 m0 l 6 m0 ln n! Прилагане на метода на математическата индукция: JX N 1 1 hn. Н! (2.7) а) индукционна база: n \u003d 1. y1 (x) х и 06 m0 x06 m0 h, доказани по-горе; б) етап на допускане и индукция. Нека неравенството е вярно за n всеки за n: zx yn (x) yn 1 f τ, yn 1 (τ) \u003d f τ, yn 2 (τ) 1, dτ 6 x0 zx i yn 6 за lipshitz 6 l h'nn 1 2 Dτ 6 x0 h ZX I 6 чрез предположение за индукция 6 l N 2 m0 l Jτ x0 jn 1 dτ \u003d (n 1)! x0 m0 ln 1 \u003d (n 1)! ZX Jτ N 1 X0 J M0 LN 1 JX X0 JN M0 L N 6 Dτ \u003d (N 1)! N n! 1 x0 RX Тук използвахме факта, че интегралът i \u003d Jτ x0 при x\u003e x0 с x< x0 Rx I = (τ x0 Rx I = (x0 n 1 x0) τ)n 1 dτ = dτ = x0 (x (x0 x)n n Таким образом, неравенства (2.7) доказаны. -25- x0)n и n = jx x0 jn . n x0 jn 1 dτ : hn . 3. Рассмотрим тождество yn = y0 + ним функциональный ряд: y0 + 1 P n P yk (x) yk 1 (x) и связанный с k=1 yk 1 (x) . Частичные суммы это- yk (x) k=1 го ряда равны yn (x), поэтому, доказав его сходимость, получим сходимость 1 последовательности yk (x) k=0 . В силу неравенств (2.7) функциональный ряд мажорируется на отрезке k 1 P k 1 h числовым рядом M0 L . Этот числовой ряд сходится k! k=1 по признаку Даламбера, так как M0 Lk hk+1 k! ak+1 = ak (k + 1)! M0 L k 1 hk = h L ! 0, k+1 k ! 1. Тогда по признаку Вейерштрасса о равномерной сходимости функциональный 1 P ряд y0 + yk (x) yk 1 (x) сходится абсолютно и равномерно на отрезk=1 ке , следовательно и функциональная последовательность 1 yk (x) k=0 сходится равномерно на отрезке к некоторой функ- ции ϕ(x), а так как yn (x) 2 C , то и ϕ(x) 2 C как предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций. 4. Рассмотрим определение yn (x): Zx yn (x) = y0 + f τ, yn 1 (τ) dτ (2.8) x0 – это верное равенство при всех n 2 N и x 2 . У левой части равенства (2.8) существует предел при n ! 1, так как yn (x) ⇒ ϕ(x) на , поэтому и у правой части (2.8) тоже существует Rx предел (тот же самый). Покажем, что он равен функции y0 + f τ, ϕ(τ) dτ , x0 используя для этого следующий критерий равномерной сходимости функциональной последовательности: X yn (x) ⇒ ϕ(x) при n ! 1 () sup yn (x) y(x) ! 0 при n ! 1 . x2X X Напомним, что обозначение yn (x) ⇒ ϕ(x) при n ! 1 принято использовать для равномерной на множестве X сходимости функциональной последователь 1 ности yk (x) k=0 к функции ϕ(x). -26- Покажем, что y0 + Rx X f τ, yn 1 (τ) dτ ⇒ y0 + x0 здесь X = . Для этого рассмотрим f τ, yn 1 (τ) f τ, ϕ(τ) dτ 6 x2X x0 Zx h i yn 1 (τ) 6 по условию Липшица 6 sup L ϕ(τ) dτ 6 x2X x0 6 L h sup yn 1 (τ) ϕ(τ) ! 0 при n ! 1 τ 2X X в силу равномерной при n ! 1 сходимости yn (x) ⇒ ϕ(x). Таким образом, переходя к пределу в (2.8), получим при всех x 2 верное равенство Zx ϕ(x) = y0 + f τ, ϕ(τ) dτ, x0 в котором ϕ(x) 2 C . По доказанной выше лемме 2. 2 ϕ(x) – решение задачи Коши (2.1), (2.2). Теорема доказана. Замечание 2. 7. В теореме 2. 3 установлено существование решения на отрезке . По следствию 1 из теоремы 2. 1 это решение единственно в том смысле, что любое другое решение задачи Коши (2.1), (2.2), определенное на совпадает с ним на этом отрезке. Замечание 2. 8. Представим прямоугольник P в виде объединения двух (пересекающихся) прямоугольников P = P [ P + , (рис. 2. 3) где n P = (x, y) n P = (x, y) + x 2 ; x 2 ; -27- jy jy o y0 j 6 β , o y0 j 6 β . Рис. 2. 3. Объединение прямоугольников Обозначим f (x, y . M − = max − f (x, y , M + = max + P P Повторяя,с очевидными изменениями, доказательство теоремы 2. 3 отдель но для P + или P − , получим существование (и единственность) решения на отрезке n o β + + , где h = min α, M + или, соответственно, на , n o β − . Отметим, что при этом, вообще говоря, h+ 6= h− , а h h = min α, M − из теоремы 2. 3 есть минимум из h+ и h− . Замечание 2. 9. Существование решения задачи (2.1), (2.2) теоремой 2. 3 гарантируется лишь на некотором отрезке . В таком случае говорят, что теорема является локальной. Возникает вопрос: не является ли локальный характер теоремы 2. 3 следствием примененного метода ее доказательства? Может быть, используя другой метод доказательства, можно установить существование решения на всем отрезке , т.е. глобально, как это было со свойством единственности решения задачи Коши (2.1), (2.2)? Следующий пример показывает, что локальный характер теоремы 2. 3 связан с «существом» задачи, а не с методом ее доказательства. Пример 2. 1. Рассмотрим задачу Коши 0 y = −y 2 , (2.9) y(0) = 1 n o в прямоугольнике P = (x, y) jxj 6 2, jy − 1j 6 1 . Функция f (x, y) = −y 2 непрерывна в P и fy0 = −2y 2 C P , поэтому все условия тео1 β , α = и ремы 2. 3 выполнены, а M = max f (x, y) = 4. Тогда h = min P P M 4 -28- теорема 2. 3 гарантирует существование решения на отрезке 1 1 . Решим − , 4 4 эту задачу Коши, используя «разделение переменных»: − dy = dx y2 () y(x) = 1 . x+C 1 – решение задачи Коши (2.9). x+1 График решения представлен на рис. (2.4), из которого видно, что решение 1 при x < x = − покидает прямоугольник P , а при x 6 −1 даже не 2 существует. Подставляя x = 0, найдем C = 1 и y(x) = Рис. 2. 4. Локальный характер разрешимости задачи Коши В связи с этим возникает вопрос об условиях, обеспечивающих существование решения на всем отрезке . На приведенном примере мы видим, что решение покидает прямоугольник P , пересекая его «верхнее» основание, поэтому можно попробовать вместо прямоугольника P в теореме 2. 3 взять полосу: o n 2 A 6 x 6 B − 1 < y < +1 , A, B 2 R. Q = (x, y) 2 R Оказывается, что при этом решение существует на всем отрезке A, B , если f (x, y) удовлетворяет условию Липшица по переменной y в Q. А именно, имеет место следующая важная для приложений теорема. Теорема 2. 4. Пусть функция f (x, y) определена, непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по y с константой L в полосе Q = (x, y) 2 R2: A 6 x 6 B, y 2 R , -29- где A, B 2 R. Òогда при любых начальных данных x0 2 , y0 2 R т.е. (x0 y0) 2 Q существует и притом единственное решение задачи Êоши (2.1), (2.2), определенное на всем . Доказательство. Áудем считать, что x0 2 (A, B). Проведем рассуждения по схеме теоремы 2. 3 отдельно для полосы o n + 2 x 2 y 2 R и Q = (x, y) 2 R n Q = (x, y) 2 R2 o x 2 y 2 R . + Если x0 = A или x0 = B, то один из этапов рассуждений (для Q или, соответственно, для Q) отсутствует. + Возьмем полосу Q и построим последовательные приближения yn+ (x), + как в теореме 2. 3. Поскольку Q не содержит ограничений на размер по y, то пункт 1) доказательства теоремы 2. 3 не проверяем. Далее, как в предыдущей теореме, от последовательности переходим к ряду с частичными суммами yn+ (x) = y0 + n X yk+ (x) yk+ 1 (x) , где x 2 . k=1 Повторяя рассуждения, доказываем оценку вида (2.7) x0 jn x0)n n 1 (B 6 M0 L 6 M0 L (2.10) n! n! при всех x 2 ; здесь M0 = max f (x, y0) при x 2 , откуда yn+ (x) yn+ 1 n 1 jx yn+ (x) как и выше в теореме 2. 3 получим, что ⇒ ϕ+ (x), n ! 1, причем ϕ+ (x) 2 C , ϕ+ (x) – решение интегрального уравнения (2.6) на . Возьмем полосу Q и построим последовательность yn (x). Действуя ана логично, получим, что 9 ϕ (x) 2 C , ϕ (x) – решение интегрального уравнения (2.6) на . Определим функцию ϕ(x) как «сшивку» по непрерывности ϕ+ и ϕ , т.е. + ϕ (x), при x 2 , ϕ(x) = ϕ (x), при x 2 . Отметим, что ϕ+ (x0) = ϕ (x0) = y0 и потому ϕ(x) 2 C . Функции ϕ (x) по построению удовлетворяют интегральному уравнению (2.6), т.е. Zx ϕ (x) = y0 + f τ, ϕ (τ) dτ, x0 -30- где x 2 для ϕ+ (x) и x 2 для ϕ (x), соответственно. Следовательно, при любом x 2 функция ϕ(x) удовлетворяет инте 1 гральному уравнению (2.6). Тогда по лемме 2. 2, ϕ(x) 2 C и является решением задачи Коши (2.1), (2.2). Теорема доказана. Из доказанной теоремы 2. 4 нетрудно получить следствие для интервала (A, B) (открытой полосы). Ñледствие. Пусть функция f (x, y) определена, непрерывна в открытой полосе Q = (x, y) 2 R2: x 2 (A, B), y 2 R , причем A и B 2 R могут быть символами 1 и +1 соответственно. Предположим, что f (x, y) удовлетворяет в полосе Q условию: 9 L(x) 2 C(A, B), такая, что 8 x 2 (A, B) и 8 y1 , y2 2 R выполняется неравенство f (x, y2) f (x, y1) 6 L(x) jy2 y1 j. Òогда при любых начальных данных x0 2 (A, B), y0 2 R т.е. (x0 y0) 2 Q существует и притом единственное решение задачи Êоши (2.1), (2.2), определенное на всем (A, B). Доказательство. Для любой полосы Q1 = (x, y) 2 R2: x 2 , y2R , где A1 > A, B1.< B, лежащей строго внутри Q и содержащей (x0 , y0), справедлива теорема 2. 4, так как при доказательстве оценок вида (2.10), необходимых для обоснования равномерной на сходимости последовательности yn (x) , используются постоянные M0 = max f (x, y0) при x 2 и L = max L(x) x 2 . Эти постоянные не убывают при расширении (A, B). Возьмем последовательность расширяющихся отрезков , удовлетворяющих условиям B > BK + 1\u003e BK за всички K2N; 1) А.< Ak+1 < Ak , 2) x0 2 при всех k 2 N; 3) Ak ! A, Bk ! B при k ! 1. Заметим сразу, что S = (A, B) и, более того, для любого x 2 (A, B) k найдется номер x 2 . N (x) 2 N, такой, что при всех -31- k > N се извършва чрез доказване на това спомагателно декларация за случая на А, В2 R (т.е., А и В са крайни; ако a \u003d 1 или b \u003d + 1, след това по същия начин). Вземете x a b x, произволен x 2 (a, b) и δ (x) \u003d min, δ (x)\u003e 0. 2 2 2 на номера δ от конвергенцията на AK! А и BK! B Получаваме това 9 n1 (δ) 2 n: 8 k\u003e n1, a< Ak < A + δ < x, 9 N2 (δ) 2 N: 8 k > N2, X.< B δ < Bk < B. Тогда для N = max N1 , N2 справедливо доказываемое свойство. Построим последовательность решений задачи Коши (2.1), (2.2) Yk (x), применяя теорему 2. 4 к соответствующему отрезку . Любые два из этих решений совпадают на общей области определения по следствию 1 из теоремы 2.1. Таким образом, два последовательных решения Yk (x) и Yk+1 (x) совпадают на , но Yk+1 (x) определено на более широком отрезке . Построим решение на всем (A, B). Возьмем и построим ϕ(x) – решение задачи (2.1), (2.2) на всем (по теореме 2. 4). Затем продолжим это решение на , . . . , . . . Получим, что решение ϕ(x) определено на всем (A, B). Докажем его единственность. Предположим, что существует решение ψ(x) задачи Коши (2.1), (2.2), также определенное на всем (A, B). Докажем, что ϕ(x) ψ(x) при любом x 2 (A, B). Пусть x – произвольная точка (A, B), найдется номер N (x) 2 N, такой, что x 2 при всех k > Н. Прилагайки следствие от 1 стр. 2.1 (т.е. теоремата на уникалността), ние получаваме това φ (t) ψ (t) изобщо t 2 и по-специално при t \u003d x. Тъй като X е произволна точка (а, б), уникалността на решението и с нея се доказва последствията. Бележка 2. 10. В доказалото разследване за първи път се срещнахме с понятието за продължаване на решението за по-широк набор. В следващия параграф ще го проучим по-подробно. Даваме няколко примера. p Пример 2. 2. За уравнение Y 0 \u003d EJXJ x2 + y 2, разберете дали нейното решение съществува на всичко (a, b) \u003d (1, +1). Помислете за това уравнение в "лентата" Q \u003d R2, функцията p jxj f (x, y) \u003d e x2 + y 2 ∂f y \u003d ejxj p, fy0 6 ejxj \u003d l (x). 10.Сякст X2 + Y2 съгласно претенция 2. 1 от параграф 2.1 Функцията f (x, y) удовлетворява състоянието на lipschitz на Y с "константа" l \u003d l (x), X е фиксиран. След това се извършват всички условия на последствията и с всякакви първоначални данни (X0, Y0) 2 R2, решението на проблема с Cauchy съществува и освен това е единственият (1, +1). Обърнете внимание, че самата уравнение в квадратурите не е решена, но приблизителните решения могат да бъдат изградени числено. Той се определя и непрекъснато в Q, -32- Пример 2. 3. За уравнението Y 0 \u003d Ex Y 2 разберете дали неговите решения са дефинирани на R. Ако отново сме разгледани това уравнение в "лентата" Q \u003d R2, Когато функцията ∂ ff (x, y) \u003d ex y 2 се определя и непрекъснато, a \u003d 2yex, можем да забележим, че условието на разследването е нарушено, а именно, няма такава непрекъсната функция l (x) Това f (x, y2) f (x, y1) 6 l (x) jy2 y1 j с всички y1, y2 2 r. всъщност, f (x, y2) f (x, y1) \u003d ex jy2 + y1 j JY2 Y1 J, и изразът JY2 + Y1 J не е ограничен до Y1, Y2 2 R. Така последствие не е приложим. Решавам това уравнение "Разделяне на променливите", получаваме общо решение: "Y (x) \u003d 0, y (x) \u003d 1. ex + c приема за определяне x0 \u003d 0, y0 2 r. ако y0 \u003d 0, след това Y (x) 0 - решението на проблема с Cauchy на R. 1 - решението на проблема с Cauchy. При Y0 2 [1, 0) ex се дефинира при всички х 2 R, и при Y0 2 (1, 1) [(0, +1) Y0 + 1 може да бъде продължено през точката x \u003d ln. По-точно, ако x\u003e 0, след това Y0 1 разтвор Y (x) \u003d Y0 +1 е дефиниран при X 2 (1, x) и ако x< 0 x e y0 y0 < 1 , то решение определено при x 2 (x , +1). В первом случае lim y(x) = +1, а во втором – lim y(x) = 1. Если y0 6= 0, то y(x) = x!x 0 y0 +1 y0 x!x +0 -33- Для наглядности нарисуем интегральные кривые при соответствующих значениях y0 (рис. 2. 5). Рис. 2. 5. Интегральные кривые уравнения y 0 = ex y 2 Таким образом, для задачи Коши 0 y = ex y 2 , y(0) = y0 имеем следующее: 1) если y0 2 [ 1, 0], то решение существует при всех x 2 R; y0 + 1 2) если y0 < 1, то решение существует лишь при x 2 ln ; +1 ; y0 y0 + 1 . 3) если y0 > 0, след това разтворът съществува само при х 2 1; LN Y0 Този пример показва, че границата на растежа на функцията f (x, y) в настоящата последица от теорема 2. 4 е от съществено значение за продължаване на решението за всички (А, В). По същия начин, примерите с функцията F (x, y) \u003d F1 (x) y 1 + ε с всеки ε\u003e 0, в дадения пример, ε \u003d 1 се вземат само за удобство на представяне. 2. 3. Продължаване на решението за първия ред на първата поръчка. Определение 2. 5. Помислете за уравнението Y 0 \u003d F (x, y) и y (x) - неговия разтвор на ha, bi и y (x) - Неговото решение, BI, с ха, BI се съдържа в ха, BI и Y (x) \u003d Y (x) на ха, BI. След това y (x) се нарича продължение на разтвора y (x) на ха, bi и около y (x) те казват, че продължава на ха, BI. -34- В параграф 2.2 доказахме местната теорема на съществуването на проблема с Cauchy (2.1), (2.2). При какви условия това решение продължава в по-широка разлика? Този въпрос е посветен на този въпрос. Основният резултат е следният. Теорема 2. 5 (при продължаване на разтвора в ограничена затворена зона). Оставете функцията F (x, y) 2 cg и да удовлетворява Lipschitz състоянието по Y в R2, a (x0, y0) вътрешната точка на ограниченото затворено участък g g. разтвор на уравнението Y 0 \u003d F (X, y), продължава до границата на региона G, т.е. Тя може да бъде продължена на такъв сегмент, който сочи а, y (a) и b, y (b) лежи на ∂g. ∂f (x, y) е непрекъснат в ограничен от OT, затворен, изпъкнал от y област g, след това функцията f (x, y) удовлетворява състоянието на lipschitz в променливата y. Вж. Последствие на одобрението 2. 1 ∂f от параграф 2.1. Ето защо, тази теорема ще бъде валидна, ако тя е непрекъсната в G. Забележка 2. 11. Спомнете си, че ако доказателството. Тъй като (x0, y0) е вътрешна точка g, тогава има затворен правоъгълник № 2 р \u003d (x, y) 2R x06 α, y y0 6 β, цялото лежи в G. след това чрез теорема 2.3 от. 2.2 Има h\u003e 0 такъв, че има разтвор на сегмента (и единствения) разтвор y \u003d φ (x) на уравнението y 0 \u003d f (x, y). Първо ще продължа това решение до границата на Г на региона, като нарушава доказателството за отделните стъпки. 1. Помислете за SET ER: NO \u003d α\u003e 0 Разтворът y \u003d φ (x) непрекъснато на разтвора y \u003d φ1 (x) на уравнението y 0 \u003d f (x, y), отговарящ на условията на cauchy φ1 ~ b \u003d φ ~ b. По този начин, φ (x) и φ1 (x) са разтвори на сегмента на ~ B H1, ~ b един уравнения, които съответстват на точката X \u003d ~ B, така че те съвпадат с целия сегмент ~ B H1, ~ B и следователно , φ1 (x) е продължение на разтвора φ (x) от сегмента ~ BH1, ~ b до ~ BH1, ~ B + Н1. Помислете за функцията ψ (x): φ (x), x 2 x0, ψ (x) \u003d φ1 (x), x 2 ° B, h1, ~ В + Н1 ° С1, x0 + α0 + H1, \\ t което е решение на уравнението Y 0 \u003d F (x, y) и удовлетворява състоянието на cauchy ψ (x0) \u003d Y0. След това броят α0 + H1 2 e, и това противоречи на дефиницията на α0 \u003d sup e. Следователно, случай 2 е невъзможен. По същия начин, решението φ (X) продължава наляво, на сегмента, където точка А, φ (A) 2 ∂g. Теорема е напълно доказана. -37 - глава III. Задачата на Cauchy за нормалната система на N-та поръчка 3. 1. Основни понятия и някои спомагателни свойства на векторните функции в тази глава ще разгледат нормалната N-та поръчка на форма 8\u003e t, y ,. . . , y _ \u003d f 1 n 1 1\u003e,< y_ 2 = f2 t, y1 , . . . , yn , (3.1) . . . > \u003e: y_ \u003d f t, y ,. . . , Y, N N1N, където е неизвестен (желаното) са функциите y1 (t) ,. . . , yn (t) и fi функции са известни, i \u003d 1, n, точката над функцията обозначава производа на Т. Предполага се, че всички фиксират в региона G RN + 1. Удобно е за записване на системата (3.1) във векторна форма: Y_ \u003d F (t, Y), където Y (t) Y1 (t). . . , yn (t), f (t, y) f1 (t, y). . . , fn (t, y); Ароцовете в обозначението на векторите няма да пишат за краткост. Такъв запис също ще бъде обозначен (3.1). Нека точката t0, y10 ,. . . , YN0 се намира в G. Проблемът Cauchy за (3.1) е да се намери решение φ (t) на системата (3.1), отговаряща на състоянието: φ1 (t0) \u003d Y10, φ2 (t0) \u003d Y20, ..., φn (t0) \u003d yn0, (3.2) или във векторна форма φ (t0) \u003d y 0. Както е отбелязано в глава 1, под разтвора на системата (3.1), векторната функция φ (t) \u003d φ1 (t) се разбира като система на HA, BI. . . , φn (t), удовлетворяващи условия: 1) 8 t 2 ha, bi точка t, φ (t) се крие в g; 2) 8 т2a, bi 9 d dt φ (t); 38 3) 8 т2 ха, bi φ (t) отговарят на (3.1). Ако такова решение допълнително удовлетворява (3.2), където t0 2 ha, BI, тогава се нарича решение на проблема с Cauchy. Условия (3.2) са призовани на условията на силите или CAUCH, а броят T0, Y10 ,. . . , YN0 - Cauchy данни (първоначални данни). В конкретния случай, когато векторната функция f (t, y) (n + 1) променлива зависи от Y1 ,. . . , yn linearly, т.е. Той има формата: f (t, y) \u003d a (t) y + g (t), където (t) \u003d aij (t) - n n matrix, система (3.1) се нарича линейно. В бъдеще ще се нуждаем от свойствата на векторните функции, които тук сме тук за удобство на връзките. Правилата за добавяне и умножение по номера на векторите са известни от хода на линейната алгебра, тези основни операции са напълно изпълнени. n ако в r да въведе скаларен продукт x, y \u003d x1 y1 +. . . + Xn in, получаваме евклидовото пространство, което също ще бъде обозначено с RN, с дължина s q n p вектор jxj \u003d x, x \u003d x2k (или от евклидовата норма). За скалар K \u003d 1, произведенията и дължините са справедливи две основни неравенства: 1) 8 x, Y 2 RN 2) 8 x, Y 2 RN). x + Y 6 x + y x, y 6 x (триъгълно неравенство); Y (неравномерността на Caschy принадлежи - от хода на математическия анализ на втория семестър е известно, че сближаването на последователността на точките (векторите) в евклидовото пространство (крайно-размерът) е еквивалентно на сближаването на последователностите на. \\ T Координират тези вектори, те казват, че е еквивалентно на координационното сближаване. Лесно е последвано от неравенство: QP max x 6 x21 + ... + x2n \u003d jxj 6 n max xk. 16k6N 16k6N, подобно на скаларния случай, се определя от Производство и интеграл на векторната функция и свойствата лесно се доказват от прехода към координатите. Ето някои неравенства за векторните функции, използвани в бъдеще. 1. За всяка векторна функция Y (t) \u003d Y1 (t) ,. . . , yn (t) горен (например непрекъснато) върху, доста неравенство zb zb y (t) DT 6 AY \u200b\u200b(t) DT A -39- (3.3) или в координатна форма 0 ZB ZB Y1 (t) DT, @ Y2 (t) dt ,. . . , 1 ZB A ZB Q yN (t) dt a 6 y12 (t) +. . . Yn2 (t) dt. Едно доказателство. Забележка първо, че в неравенството не изключва случая< a, для этого случая в правой части присутствует знак внешнего модуля. По определению, интеграл от вектор-функции – это предел интегральn P ных сумм στ (y) = y(ξk) tk при характеристике («мелкости») разбиения k=1 λ(τ) = max tk стремящейся к нулю. По условию στ ! k=1, N Rb y(t) dt , а по a неравенству треугольника получим στ 6 n X Zb y(ξk) tk ! k=1 при λ(τ) ! 0 y(t) dt, a (здесь мы для определенности считаем a < b). По теореме о переходе к пределу в неравенстве получим доказываемое. Случай b < a сводится к изученному, Rb Ra так как = . a b Аналоги теорем Ролля и Лагранжа отсутствуют для вектор-функций, однако можно получить оценку, напоминающую теорему Лагранжа. 2. Для любой вектор-функции x(t), непрерывно дифференцируемой на , имеет место оценка ¾приращения¿: x(b) x(a) 6 max x 0 (t) b a. (3.4) Доказательство. Неравенство (3.4) сразу получается из (3.3) при y(t) = x 0 (t). При доказательстве теоремы разрешимости для линейных систем нам понадобятся оценки с n n матрицами, которые мы сейчас и рассмотрим. 3. Пусть A(t) = aij (t) n n матрица, обозначим произведение Ax через y. Как оценить y через матрицу A и x ? Оказывается, справедливо неравенство Ax 6 A -40- 2 x, (3.5) где x = p jx1 j2 + . . . + jxn j2 , A 2 = n P ! 12 a2ij , а элементы матрицы i,j=1 A и координаты вектора x могут быть комплексными. Доказательство. Для любого i = 1, n, ai – i-я строка матрицы A, тогда: 2 2 2 yi = ai1 x1 + ai2 x2 + . . . + ain xn = ai , x 6 h i 2 6 по неравенству Коши-Áуняковского 6 jai j2 x = ! ! n n X X 2 2 aik xl = , k=1 суммируя эти неравенства по i = 1, n, имеем: 0 1 n X 2 2 2 aik A x = A y [Защитен имейл] 2 2 l \u003d 1 2 x, k, i \u003d 1 от мястото, където следва (3.5). Дефиниция 3. 1. Да се \u200b\u200bкаже, че функцията на вектор F (t, y) удовлетворява състоянието на липсите на векторната променлива y върху MNA 1 g от променливи (t, y), ако 9 l\u003e 0 е такава, че с който и да е t , Y, 2 T, Y2 g се извършва неравенство FT, Y 2 Ft, Y 1 6 L Y2 Y 1. Както в случая на функцията на две променливи (виж одобрението 2.1), достатъчно условие за липшазе в региона на "изпъкналост на Y" е ограниченото частично деривати. Нека дадем точно определение. Дефиниция 3. 2. Диапазонът g от променливите (t, y) се нарича изпъкнал 1 2 от y, ако за всякакви две точки t, y и t, лежащи в g, той принадлежи изцяло към него и сегмента, свързващ тези две точки, t. д.. д. Комплектът n o t, y y \u003d y 1 + τ y 2 y 1, където τ 2. Одобрение 3. 1. Ако диапазонът g от променливите (t, y) е изпъкнал към y, и ∂fi частни производни са непрекъснати и ограничени до постоянната L в g с ∂yj всички i, j \u003d 1, n, след това Функцията FT Vector удовлетворява в G, Lipschitz условие за y с постоянна L \u003d n l. 1 2 Доказателство. Помислете за произволни точки t, y и t, y от g и 1 2 сегмента, свързвайки ги, т.е. Настройката t, y, където y \u003d y + τ y y1, t е фиксирана и τ 2. -41 - въвеждаме векторната функция на един скаларен аргумент g (τ) \u003d ft, y (τ), 2 1 след това g (1) g (0) \u003d ft, yft, y, а от друга страна - z1 g (1) g (0) \u003d dg (τ) dτ \u003d dτ z1 a (τ) dy (τ) dτ \u003d dτ 0 0 h \u003d по силата y \u003d y 1 + τ τ y 2 yi 1 z1 \u003d a (τ) \\ t Y 2 Y 1 Dτ 0, където (τ) е матрица с елементи ∂fi, и ∂yj Y2 y 1 е съответната колона. Тук се възползвахме от правилото за диференциране на сложната функция, а именно, изобщо i \u003d 1, n, t - фиксирани, имаме: gi0 (τ) \u003d ∂fi ∂y1 ∂fi ∂y2 ∂fi ∂yn d fi t , Y (τ) \u003d + + ... + \u003d dτ ∂y1 ∂τ ∂y2 ∂τ ∂yn ∂τ ∂fi ∂fi, ..., y2 y1. \u003d ∂y1 ∂yn Като припомняме това в матрична форма, получаваме: 0 2 1 g (τ) \u003d a (τ) y y с n n matrix a (τ) \u003d aij (τ) ∂fi ∂yj. Използвайки оценката на интеграла (3.3) и неравенство (3.5), след заместването, получаваме: FT, Y 2 FT, Y 1 Z1 \u003d G 0 (τ) Dτ \u003d 0 Z1 6 A (τ) y 2 z1 y1 a (τ) Y 2 0 z1 dτ 6 0 a (τ) a (τ) dτ y2 y1 6 y2 y1 6 nl 0 6 max a (τ) Тъй като 2 y \u200b\u200b1 dτ 6 2 2 np ∂fi \u003d i, j \u003d 1 ∂yj 2 Y2 Y1, 2 6 N2 L2 на 8 τ 2. Изявлението е доказано. -42- 3. 2. Моривостта на решаването на проблема Cauchy за нормалната система на теорема 3. 1 (относно оценката на разликата в два решения). Нека g да бъде някакъв регион RN + 1, а векторната функция f (x, y) е непрекъсната в g и удовлетворява състоянието на липсите на векторна променлива y на set g с постоянен L. ако y 1, y 2 две разтвори на нормалната система (3.1) y_ \u003d f (x, y) върху сегмента, след това рейтинг Y2 (t) y 1 (t) 6 y2 (t0) y 1 (t0) exp l (t t0) е валиден за всички Т2. Доказателството за буквално, като се вземат предвид очевидните понижения, повтаря доказателството за теорема 2.1 от параграф 2.1. 2 Оттук е лесно да се получи теорема на уникалността и стабилността на решението за първоначалните данни. Алтернативно 3.1. Нека векторната функция f (t, y) непрекъснато в региона g и удовлетворява състоянието на g lipschitz по y, и функциите y 1 (t) и y 2 (t) две разтвори на нормалната система (3.1) на същия сегмент, освен това, t0 2. Ако Y 1 (t0) \u003d Y2 (t0), след това Y 1 (t) Y2 (t) на. Алтернативно 3.2. (при непрекъсната зависимост от първоначалните данни). Оставете векторната функция F (t, y) да бъде непрекъсната в региона G и удовлетворява състоянието на G с константа L\u003e 0 и векторните функции y 1 (t) и Y2 (t) са разтвори на нормална система (3.1). Ако при 8 т2, неравенството y 1 (t) е вярно, когато δ \u003d y1 (t0) y2 (t0) и l \u003d t1 y2 (t) 6 δl l, t0. Доказателството за последиците от буквално, като се вземат предвид очевидните асоциации, повтаря доказателството за последиците 2.1 и 2.2. 2 Проучване на разрешаването на проблема с Cauchy (3.1), (3.2), както при едноизмерния случай, се намалява до режима на интегрално уравнение (вектор). Lemma 3. 1. Нека f (t, y) 2 ° С; RN 1. Следните твърдения се извършват: 1) Всяко решение φ (T) уравнение (3.1) върху пролуката HA, BI, удовлетворяваща (3.2) T0 2 ha, BI, е непрекъснат разтвор на HA, BI 1 до C G; H е прието, за да обозначи набора от всички функции непрекъснато в региона G с стойностите в пространството Н. Например, F (t, Y) 2С g; RN компоненти), дефинирани на SET G. - наборът от всички непрекъснати векторни функции (от N -43 интегралното уравнение Y (t) \u003d Y 0 + ZT F τ, y (τ) dτ; (3.6) t0 2) ако Vector -Function φ (t) 2 ° С, BI е непрекъснат разтвор на интегралното уравнение (3.6) на HA, BI, където T0 2 ha, Bi, тогава φ (t) има непрекъснато производно на HA, BI и е решение (3.1), (3.2). Доказателства. 1. Нека 8 τ 2 ha, BI се изпълняват от равенството dφ (τ) \u003d f τ, φ (τ). След това интегриране от t0 до t, като се вземат предвид (3.2), семинар р 0 chim, че φ (t) \u003d y + f τ, φ (τ) dτ, т.е. φ (t) удовлетворява уравнението (3.6). T0 2. Оставете непрекъснатата векторна функция φ (t) да отговаря на уравнението (3.6) на HA, BI, тогава FT, φ (t) е непрекъснато на HA, BI от теоремата за непрекъснатост на сложната функция и следователно правото Ръчна страна (3.6) (и следователно лявата част) има непрекъснато производно от T до HA, BI. При t \u003d t0 от (3.6) φ (t0) \u003d y 0, т.е. φ (T) е решението на проблема с Cauchy (3.1), (3.2). Обърнете внимание, че както обикновено, под деривата в края на сегмента (ако принадлежи към него) се разбира, че е едностранна дериватна функция. Лема се доказва. Забележка 3. 1. Използване на аналогия с едноизмерен случай (виж глава 2) и горепосочените одобрения, е възможно да се докаже терхемът на съществуването и да продължи да решава проблема с коша, конструирането на итеративна последователност се сближава към решаването на Интегрирано уравнение (3.6) върху определен сегмент T0H, T0 + H. Тук представяме друго доказателство за решенията на теоремата на съществуването (и уникалност) въз основа на принципа на компресивни карти. Ние правим това за запознанства на читателя с по-съвременни методи на теорията, която ще се прилага в бъдеще, в курсове на интегрални уравнения и уравнения на математическата физика. За да приложим нашия план, ще ви трябват редица нови концепции и спомагателни твърдения, които ще продължим. 3. 3. Концепцията за метрично пространство. Принципът на компресиране на препятствията Най-важната концепция за лимит по математика се основава на концепцията за "близост" на точки, т.е. Възможност да се намери разстоянието между тях. На числата ос, разстоянието е модулът на двата числа, в равнината е добре позната формула на евклидовото разстояние и др. Много от фактите за анализ не използват алгебричните свойства на елементите и те се основават на концепцията за разстоянието с мед. Развитието на този подход, т.е. Разпределението на "създанието", свързано с концепцията за лимит води до концепцията за метрично пространство. -44- Дефиниция 3. 3. Нека X е множество произволни и ρ (x, y) - действителната функция на две променливи X, Y 2 x, удовлетворяващи трите аксиома: 1) ρ (x, y) \u003e 0 8 x, Y 2 x, и ρ (x, y) \u003d 0 само при x \u003d y; 2) ρ (x, y) \u003d ρ (y, x) (симетрия аксиома); 3) ρ (x, z) 6 ρ (x, y) + ρ (y, z) (триъгълно неравенство). В този случай, наборът x с дадена функция ρ (x, y) се нарича метрично пространство (μp), а функцията ρ (x, y): x x 7! R, удовлетворяващ 1) - 3), - метрика или разстояние. Представяме някои примери за метрични пространства. Пример 3. Нека X \u003d R с разстояние ρ (x, y) \u003d x y, ние получаваме mp R. n o n Xi2R, I \u003d 1, п е Пример 3. 2. Нека X \u003d R \u003d X1 ,. . . , Xn набор от поръчани комплекти от n валидни числа s n 2 p x \u003d x1 ,. . . , Xn с разстояние ρ (x, y) \u003d xk yk, получаваме n1 k \u003d 1 n размер на евклидово пространство R. n Пример 3. 3. Да X \u003d C A, B; R е набор от всички непрекъснати на A, B функции със стойности в RN, т.е. Непрекъснати векторни функции, с разстояние ρ (F, g) \u003d максимум f (t) g (t), където f \u003d f (t) \u003d F1 (t) ,. . . , Fn (t), t2 s n2 p g \u003d g (t) g1 (t) ,. \\ t . . , Gn (t), f g \u003d fk (t) gk (t). k \u003d 1 за примери 3. 1 -3. 3 депутатите се проверяват директно, оставяйте го като упражнение за добросъвестен читател. Както обикновено, ако всеки естествен n е поставен в съответствие с електрона на Xn 2 x, се казва, че последователността на точките Xn "е дадена. Определение 3. 4. Последователността на точките XN MP X се нарича X 2 x точка, ако lim ρ xn, x \u003d 0. n! 1 определение 3. 5. последователността на XN се нарича фундаментална, ако за всеки ε\u003e 0 има такова естествено число n (ε), че за всички n\u003e n и M\u003e n неравенство ρ xn, xm< ε. Определение 3. 6. МП X называется полным (ПÌП), если любая его фундаментальная последовательность сходится к элементу этого пространства. -45- Полнота пространств из примеров 3. 1 и 3. 2 доказана в курсе математиче ского анализа. Докажем полноту пространства X = C a, b ; Rn из примера 3. 3. Пусть последовательность вектор-функций fn (t) фундаментальна в X. Это означает, что 8 ε > 0 9 N (ε) 2 n: 8m, n\u003e n \u003d) max fm (t) fn (t)< ε. Поэтому выполнены условия критерия Коши равномерной на a, b сходи мости функциональной последовательности, т.е. fn (t) ⇒ f (t) при n ! 1. Как известно, предел f (t) в этом случае – непрерывная функция. Докажем, что f (t) – это предел fn (t) в метрике пространства C a, b ; Rn . Из равномерной сходимости получим, что для любого ε > 0 има номер n (ε), така че за всички n\u003e n и за всички t 2 a, b се извършва неравенство fn (t) f (t)< ε, а так как в левой части неравенства стоит непрерывная функция, то и max fn (t) f (t) < ε. Это и есть сходимость в C a, b ; Rn , следовательно, полнота установлена. В заключение приведем пример МП, не являющегося полным. Пример 3. 4. Пусть X = Q – множество рациональных чисел, а расстояние ρ(x, y) = x y – модуль разностиpдвух чисел. Если взять последовательность десятичных приближений числа 2 , т.е. x1 = 1; x2 = 1, 4; x3 = 1, 41; . . ., p то, как известно, lim xn = 2 62 Q. При этом данная последовательность n!1 сходится в R, значит она фундаментальна в R, а следовательно, она фундаментальна и в Q. Итак, последовательность фундаментальна в Q, но предела, лежащего в Q, не имеет. Пространство не является полным. Определение 3. 7. Пусть X – метрическое пространство. Отображение A: X 7! X называется сжимающим отображением или сжатием, если 9 α < 1 такое, что для любых двух точек x, y 2 X выполняется неравенство: ρ Ax, Ay 6 α ρ(x, y). (3.7) Определение 3. 8. Точка x 2 X называется неподвижной точкой отображения A: X 7! X, если Ax = x . Замечание 3. 2. Всякое сжимающее отображение является непрерывным, т.е. любую сходящуюся последовательность xn ! x, n ! 1, переводит в сходящуюся последовательность Axn ! Ax, n ! 1, а предел последовательности – в предел ее образа. Действительно, если A – сжимающий оператор, то положив в (3.7) X X y = xn ! x, n ! 1, получим, что Axn ! Ax, n ! 1. Теорема 3. 2 (Принцип сжимающих отображений). Пусть X полное метрическое пространство, а отображение A: X 7! X является сжатием. Òогда A имеет и притом единственную неподвижную точку. Доказательство этого фундаментального факта см. , . -46- Приведем обобщение теоремы 3. 2, часто встречающееся в приложениях. Теорема 3. 3 (Принцип сжимающих отображений). Пусть X полное метрическое пространство, а отображение A: X 7! X таково, что оператор B = Am с некоторым m 2 N является сжатием. Òогда A имеет и притом единственную неподвижную точку. Доказательство. При m = 1 получаем теорему 3. 2. Пусть m > 1. Помислете b \u003d Am, B: x 7! X, B - Компресия. От теорема 3. 2, операторът Б има една фиксирана точка x. Тъй като А и Б са закъснали AB \u003d BA и след BX \u003d X, имаме B AX \u003d BX \u003d AX, т.е. Y \u003d AX е и фиксирана точка Б и тъй като такава точка от теорема 3. 2 е уникална, след това y \u003d x или ax \u003d x. От тук X е фиксирана точка на оператора А. Ще докажем уникалността. Да предположим, че x ~ 2 x и a ~ x \u003d x ~, след това m m 1 b x ~ \u003d a x ~ \u003d a x ~ \u003d. . . \u003d x ~, т.е. X ~ - Също така фиксирана точка за b, където x ~ \u003d x. Теорема се доказва. Специален повод на метричното пространство е линейно нормализирано пространство. Ние даваме точната дефиниция. Дефиниция 3. 9. Нека X е линейно пространство (реално или сложно), което определя цифровата функция x, действаща от x до R и удовлетворяване на аксиомите: 1) 8 x 2 x, x\u003e 0 и x \u003d 0 само с x \u003d θ; 2) 8 x 2 x и за 8 λ2 r (или c) 3) 8 x, y 2 x се извършва). X + Y 6 x + y λx \u003d jjj x; (Неравенството на триъгълния - тогава X се нарича нормализирано пространство, X: X 7! R, удовлетворяващо 1) - 3), - норма. И функцията в нормализираното засмукване може да бъде въведена разстоянието между елементите по формулата ρ x, y \u003d x y. Извършването на аксиома на депутат лесно се проверява. Ако полученото метрично пространство е напълно, тогава съответното нормализирано пространство се нарича BANA пространство. Често влизат в норма от същото линейно пространство по различни начини. В това отношение възниква такава концепция. Дефиниция 3. 10. Нека х е линейно пространство, а - две 1 2 стандарта. Нормите се наричат \u200b\u200b1 2 норми, ако 9 C1\u003e 0 и C2\u003e 0: 8 x 2 x С1 х 1 6 x 26 С2 х 1. Забележка 3. 3. Ако и двете са две еквивалентни норми върху X, и 1 2 пространство X е завършено един от тях, след това е напълно и на друга норма. Това лесно следва от факта, че Xn X последователността, фундаментален софтуер, фундаментален и в и се сближава до 1 2 от същия елемент x 2 x. -47- преглед 3. 4. често теорема 3. 2 (или 3. 3 ) Използва се при затворена топка от това пространство o Br (A) \u003d X 2 x ρ x, A 6R, където R\u003e 0 и 2 x е фиксиран като пълно N пространство. Обърнете внимание, че затворената топка в самия PMP е PMP със същото разстояние. Доказателство за този факт остави читателя като упражнение. Бележка 3. 5. Прилепността на пространството е установена по-горе. 3. Обърнете внимание, че в линейното пространство x \u003d c 0, t, r, можете да въведете скоростта kxk \u003d max x (t), така че нормализираната стойност да бъде Банак. На същия набор от непрекъснато пространство 0, t векторни функции, можете да влезете в еквивалентната норма с формула KXKa \u003d max e αt x (t) с всеки α2 R. когато α\u003e 0, еквивалентността следва от неравенството e αt x (t) 6 e αt x (t) 6 x (t) при всички t 2 0, t, от където e αt kxk 6 kxka 6 kxk. Ние ще използваме това свойство на еквивалентни норми в доказателството на теорема на недвусмислената възможност за Cauchy проблем за линейни (нормални) системи. 3. 4. Теоремите за съществуването и уникалността на решаването на проблема с нормални системи за нормални системи разглеждат проблема на Cauchy (3.1) - (3.2), където първоначалните данни T0, Y 0 2 g, G RN + 1 е поле за определяне на векторната функция f (t, y). В този параграф, ние приемаме, че G има известен n външен вид g \u003d a, b о, където регионът rn, и br (Y 0) \u003d протича теоремата. Y 2 RN Y Y0 6 R е изцяло. Теорема 3. 4. Оставете векторната функция F (t, y) 2 ° С; RN, с 9 m\u003e 0 и 1\u003e 0 такива условия 1) 8 (t, y) 2 g \u003d a, b f (t, y) 6 m се извършват; 2) 8 (t, y 1), (t, y 2) 2 g f t, y2 f t, y 1 6 l y2 y 1. Фиксирайте номера 5 2 (0, 1) и оставете t0 2 (a, b). R190 h \u003d min; Шпакловка T0 a; B T0\u003e 0 ml такъв, който съществува и повече от разтвора на проблема с êshoshi (3.1), (3.2) y (t) на участъка jh \u003d t0 h, t0 + Н, и y (t) y 06 r с всички t 2 jh. -48-доказателство. В Lemma 3. 1, проблемът с Cauchy (3.1), (3.2) е еквивалентен на едно цяло уравнение (3.6) върху сегмента и следователно на JH, където H е избран по-горе. Помислете за банашното пространство x \u003d c (jh; rn) - множество непрекъснати векторни функции x (t) с нормата kxk \u003d max x (t) и ние въвеждаме затворен комплект: t2jh sr y 0 n 8 t 2 jh \u003d Y (t) 2 x Y (t) n \u003d y (t) 2 x yy (t) O 0 6R \u003d o 0 y 6R затворена топка в X. оператор А, определен по правило: AY \u003d Y 0 + ZT F τ , Y (τ) dτ, t 2 jh, t0 превежда sr y 0 сам по себе си, тъй като Y 0 \u003d макс, y zt t2jh f τ, y (τ) dτ 6 h \u200b\u200bm 6 r t0 за състояние 1 на теоремата и определението H. Доказваме, че А е на оператора на компресия на SR. Вземете произволен 0 1 2 и ние оценяваме стойността: y (t), y (t) 2 sr y a 2 ay 1 \u003d max zt h t2jh f τ, y 2 (τ) ако τ, y 1 (τ) dτ 6 t0 zt 6 max t2jh f τ, y 2 (τ) f τ, y 1 (τ) dτ 6 t0 6h l y2 y1 \u003d q y2 y1, където q \u003d h l 6 1 δ< 1 по условию теоремы. Отметим (см. замечание 3.4), что замкнутый шар SR y 0 в банаховом пространстве X является ПМП. Поэтому применим принцип сжимающих отображений (теорема 3. 2), по которому существует единственное решение y(t) 2 X интегрального уравнения (3.6) на отрезке Jh = t0 h, t0 + h . Теорема доказана. Замечание 3. 6. Если t0 = a или t0 = b, то утверждение теоремы сохраняется с небольшими изменениями в формуле для h и отрезка Jh . Приведем эти изменения для случая t0 = a. В этом случае число h > 0 Изберете съгласно формула H \u003d min m; 1л Δ; B A, и като сегмент JH, е необходимо да се приема -49- jh \u003d t0, t0 + h \u003d a, a + h. Всички други условия на теоремата не се променят, е постигнато доказателство, като се вземат предвид преиздаването. За случая на t0 \u003d b, по подобен начин, h \u003d min m; 1л Δ; b a, и jh \u003d b h, b. n Забележка 3. 7. При теорема 3. 4, състоянието f (t, y) 2 ° С; R, където g \u003d a, b d може да бъде отслабена чрез замяна на изискването за непрекъснатост F (t, y) чрез променлива t всеки път, когато 2, с запазване на състояния 1 и 2. Доказателството няма да се промени. Бележка 3. 8. Достатъчно е, че състоянията 1 и 2 на теореми 3. 4 са извършени 0 на всички t, y2 a, b br и постоянни m и l зависят от, 0 като цяло, от Y и R , с по-трудно функциите на FT, Y векторна функция, подобна на теорема 2.4, е валидна за теоремата за съществуване и уникалността на решението на проблема с Cauchy (3.1), (3.2) върху целия сегмент А, б. N. 5. Оставете функцията FX вектор FX, Y 2 cg, R, където g \u003d a, b rn, съществува l\u003e 0, така че условието 8 t, y 1, t, y 2 2 g ft, Y 2 ft, y 1 6y 2 y 1. Ако някой T0 2 и Y 02 RN, на А, Б съществува и освен това, единственото решение на задачата на êshoshi (3.1), (3.2). Доказателства. Вземете произволен T0 2 и Y 0 2 RN и ги поправете. Комплектът G \u003d A, B RN присъства във формата: g \u003d g [g +, където rn, и g + \u003d t0, b rn, вярвайки, че t0 2 a, b, в противен случай един g \u003d a, t0 от Доказателствата ще отсъстват. Провеждане на мотиви за G + лентата. На сегмента T0, B, проблемът с Cauchy (3.1), (3.2) е еквивалентен на уравнение (3.6). Въвеждаме оператора интеграл n a: x 7! X, където x \u003d c t0, b; R, съгласно формулата AY \u003d Y 0 + ZT F τ, y (τ) dτ. T0 тогава интегралното уравнение (3.6) може да бъде написано под формата на уравнение на оператора AY \u003d Y. (3.8) Ако докажем, че уравнението на оператора (3.8) има решение в PMP X, тогава получаваме разрешимост на проблема с Cauchy на T0, B или на A, T0 за G. Ако това решение е единственото, поради еквивалентност, единственото решение ще бъде решението на проблема с Cauchy. Даваме две доказателства за недвусмислената възможност за уравнение (3.8). Доказателство 1. Обмислете произволни векторни функции 1 2 N Y, Y 2 x \u003d C T0, B; R, тогава стойностите са валидни за всеки -50- t 2 t0, b AY2: AY 1 ZT HF τ, y 2 (τ) \u003d 1 f τ, y (τ) i dτ 6 t0 zt y 2 (τ ) 6L y 1 (τ) dτ 6 l t t0 max y 2 (τ) y 1 (τ) 6 τ 2 t0 6l t t0 y2 y1. Спомнете си, че в x нормата се въвежда по следния начин: kxk \u003d max x (τ). От полученото неравенство ще имаме: 2 2 AY 2 1 AY ZT HF τ, AY 2 (τ) \u003d 1 i τ t0 dτ f τ, τ t0 dτ f τ, ay (τ) dτ 6 t0 6 l2 z z 2 (τ) ay 1 ( τ) Dτ 6 L2 T0 ZT Y2 Y1 6 T0 6 L2 T T0 2! 2 Y2 Y1. Продължавайки този процес, може да се докаже чрез индукция, че 8 k 2 n ak y 2 ak y 1 6 l t0 k! K Y2 Y1. Следователно, накрая, ние получаваме оценка на AK Y 2 AK Y 1 \u003d MAX AK Y 2 L B T0 AK Y 1 6 L B T0 K! K Y2 Y1. K от α (k) \u003d! 0 за k! 1, тогава има k0 че, k! този α (k0)< 1. Применим теорему 3. 3 с m = k0 , получим, что A имеет в X неподвижную точку, причем единственную. Доказательство 2. В банаховом пространстве X = C t0 , b ; Rn введем семейство эквивалентных норм, при α > 0 (вж. Забележка 3.5) с формула: x α \u003d max e αt x (t). -51- Ще покажем, че можете да изберете α, така че операторът А в пространството X с нормата при α\u003e l ще бъде компресиран. Всъщност, α AY 2 AY 1 α zt hf τ, y 2 (τ) αt \u003d max e 1 f τ, y (τ) i dτ 6 t0 6 max e τ 6 t0 6 max e αt zt y 2 (τ) l y 1 (τ) dτ \u003d T0 \u003d \u200b\u200bl max e zt αt e ατ y 2 (τ) eaτ dτ 6 y 1 (τ) t0 6 l max e αt zt eaτ dτ max e ατ y 2 (τ) y 1 (τ) \u003d y2 α t0 \u003d l Max e αt Тъй като α\u003e L, след това q \u003d l α 1 1 αt e α e eat0 l \u003d α α b t0 y2 y1 y1 α \u003d 1 e α b t0.< 1 и оператор A – сжимающий (например, с α = L). Таким образом, доказано, что существует и притом единственная вектор + функция ϕ (t) – решение Коши (3.1), (3.2) на t0 , b . задачи Rn задачу Коши сведем к предыдущей при Для полосы G = a, t0 помощи линейной замены τ = 2t0 t. В самом деле, для вектор-функция y(t) = y 2t0 τ = y~(t), задача Коши (3.1), (3.2) запишется в виде: y~(τ) = f (2t0 τ, y~(τ)) f~ (τ, y~(τ)) , y~(t0) = y 0 на отрезке τ 2 t0 , 2t0 a . Поэтому можно применить предыдущие рассуждения, взяв b = 2t0 a. Итак, существует и притом единственное решение задачи Коши y~(τ) на всем отрезке τ 2 t0 , 2t0 a и,следовательно, ϕ (t) = y~ 2t0 t – решение задачи Коши (3.1), (3.2) на a, t0 . Возьмем «сшивку» вектор-функций ϕ (t) и ϕ+ (t), т.е. вектор-функцию ϕ (t), при t 2 a, t0 ; ϕ(t) = ϕ+ (t), при t 2 t0 , b . d dτ Как при доказательстве теоремы 2.4, устанавливаем, что ϕ(t) – это решение задачи Коши (3.1), (3.2) на a, b . Единственность его следует из следствия 3.1. Теорема доказана. -52- Замечание 3.9. Утверждение 3. 1 дает достаточное условие того, что векторфункция f t, y в выпуклой по y области G удовлетворяет условию Лип∂fi шица. А именно, для этого достаточно, чтобы все частные производные ∂yj были непрерывны и ограничены некоторой константой в G. Аналогично следствию из теоремы 2.4 получаем такое утверждение для нормальных систем. Ñледствие 3.3. Пусть вектор-функция f (t, y) определена, непрерывна в открытой полосе o n n Q = (t, y) t 2 (A, B), y 2 R , причем A и B могут быть символами 1 и +1 соответственно. Предположим, что вектор-функция f (t, y) удовлетворяет в полосе Q условию: 9 L(t) 2 C(A, B) такая, что 8 t 2 (A, B) и 8 y 1 , y 2 2 Rn выполняется неравенство f t, y 2 f t, y 1 6 L(t) y 2 y 1 . Òогда при любых начальных данных t0 2 (A, B), y 0 2 Rn существует и притом единственное решение задачи Êоши (3.1), (3.2) на всем интервале (A, B). Доказательство проводится повторением соответствующих рассуждений из п. 2.2, оставляем его добросовестному читателю. В качестве других следствий из доказанной теоремы 3. 5 получим теорему о существовании и единственности решения задачи Коши для линейной системы. Речь идет о задаче нахождения вектор-функции y(t) = (y1 (t), . . . , yn (t)) из условий: d y(t) = A(t)y(t) + f 0 (t), t 2 a, b , (3.9) dt y(t0) = y 0 , (3.10) где A(t) = aij (t) – n n матрица, f 0 (t) – вектор-функция переменной t, t0 2 a, b , y 0 2 Rn – заданы. n 0 Теорема 3. 6. Пусть a (t) 2 C a, b , f (t) 2 C a, b ; R , ij t0 2 a, b , y 0 2 Rn заданы. Òогда существует и притом единственное решение задачи Êоши (3.9), (3.10) на всем отрезке a, b . Доказательство. Проверим, что для функции f t, y = A(t)y + f 0 (t) выполнены теоремы 3. 5. Во-первых, f t, y 2 C G; Rn , где условия G = a, b Rn , как сумма двух непрерывных функций. Во-вторых, (см. неравенство (3.5)): Ay 2 Ay 1 = A(t) y 2 y 1 6 A 2 y 2 y 1 6 L y 2 y 1 , -53- поскольку A n P 2 ! 21 aij (t) 2 – непрерывная на a, b функция. Тогда i,j=1 по теореме 3. 5 получим доказываемое утверждение. Теорема 3. 7. Пусть aij (t) 2 C (R), f 0 (t) 2 C (R; Rn) заданы. Òогда при любых начальных данных t0 2 R, y 0 2 Rn существует и притом единственное решение задачи Êоши (3.9), (3.10) на всей числовой прямой. Доказательство. Проверим, что выполнены все условия следствия из теоре мы 3. 5 с A = 1, B = +1. Вектор-функция f t, y = A(t)y + f 0 (t) непрерывна в полосе Q = R Rn как функция (n + 1) переменной. Кроме того, L(t) y 2 y 1 , f t, y 2 f t, y 1 6 A(t) 2 y 2 y 1 где L(t) – непрерывная по условию теоремы на A, B = 1, +1 функция. Таким образом, все условия следствия выполнены, и теорема доказана. -54- Глава IV. Некоторые классы обыкновенных дифференциальных уравнений, решаемых в квадратурах В ряде случаев дифференциальное уравнение может быть решено в квадратурах, т.е. для его решения может быть получена явная формула. В таких случаях методика решения, как правило, следующая. 1. Предполагая, что решение существует, находят формулу, по которой решение выражается. 2. Существование решения затем доказывается непосредственной проверкой, т.е. подстановкой найденной формулы в исходное уравнение. 3. Используя дополнительные данные, (например, задавая начальные данные Коши) выделяют конкретное решение. 4. 1. Уравнение с разделяющимися переменными В данном параграфе применим уже использовавшуюся выше методику для решения уравнений с разделяющимися переменными, т.е. уравнений вида y 0 (x) = f1 (x) f2 (y), Áудем предполагать, что f1 (x) 2 C (ha, bi) , x 2 ha, bi, f2 (y) 2 C (hc, di) , y 2 hc, di. (4.1) f2 (y) 6= 0 на hc, di а следовательно, в силу непрерывности функции f2 (y), она сохраняет знак на hc, di . Итак, предположим, что в окрестности U(x0) точки x0 2 ha, bi существует решение y = ϕ(x) уравнения (4.1). Тогда имеем тождество dy = f1 (x) f2 (y), dx y = ϕ(x), 55 x 2 U(x0). Но тогда равны дифференциалы dy = f1 (x) dx f2 (y) мы учли, что f2 (y) 6= 0 . Из равенства дифференциалов вытекает равенство первообразных с точностью до постоянного слагаемого: Z Z dy = f1 (x) dx + C. (4.2) f2 (y) После введения обозначений Z F2 (y) = Z dy , f2 (y) F1 (x) = f1 (x) dx, получаем равенство F2 (y) = F1 (x) + C. (4.3) Заметим, что F20 (y) = 1/f2 (y) 6= 0, поэтому к соотношению (4.3) можно применить теорему об обратной функции, в силу которой равенство (4.3) можно разрешить относительно y и получить формулу y(x) = F2 1 F1 (x) + C , (4.4) справедливую в окрестности точки x0 . Покажем, что равенство (4.4) дает решение уравнения (4.1) в окрестности точки x0 . Действительно, используя теорему о дифференцировании обратной функции и учитывая соотношение F10 (x) = f1 (x), получим y 0 (x) = dF2 1 (z) dz z=F1 (x)+C F10 (x) = 1 F20 (y) y=y(x) F10 (x) = f2 y(x) f1 (x), откуда следует, что функция y(x) из (4.4) является решением уравнения (4.1). Рассмотрим теперь задачу Коши для уравнения (4.1) с начальным условием y(x0) = y0 . (4.5) Формулу (4.2) можно записать в виде Zy dξ = f2 (ξ) Zx f1 (x) dx + C. x0 y0 Подставляя сюда начальное условие (4.5), находим, что C = 0, т.е. решение задачи Коши определяется из соотношения Zy y0 dξ = f2 (ξ) Zx f1 (x) dx. x0 -56- (4.6) Очевидно, оно определяется однозначно. Итак, общее решение уравнения (4.1) задается формулой (4.4), а решение задачи Коши (4.4), (4.5) находится из соотношения (4.6). Замечание 4. 1. Если f2 (y) = 0 при некоторых y = yj , (j = 1, 2, . . . , s), то, очевидно, решениями уравнения (4.1) являются также функции y(x) yj , j = 1, 2, . . . , s, что доказывается непосредственной подстановкой этих функций в уравнение (4.1). Замечание 4. 2. Для уравнения (4.1) общее решение определяем из соотношения F2 (y) F1 (x) = C. (4.7) Таким образом, левая часть соотношения (4.7) постоянна на каждом решении уравнения (4.1). Соотношения типа (4.7) можно записать и при решении других ОДУ. Такие соотношения принято называть интегралами (общими интегралами) соответствующего ОДУ. Дадим точное определение. Определение 4. 1. Рассмотрим уравнение y 0 (x) = f (x, y). (4.8) Соотношение (x, y) = C, (4.9) где (x, y) – функция класса C 1 , называется общим интегралом уравнения (4.8), если это соотношение не выполняется тождественно, но выполняется на каждом решении уравнения (4.8). При каждом конкретном значении C 2 R мы получаем частный интеграл. Общее решение уравнения (4.8) получается из общего интеграла (4.9) с использованием теоремы о неявной функции. Пример 4. 1. Рассмотрим уравнение x (4.10) y 0 (x) = y и начальное условие y(2) = 4. (4.11) Применяя для решения уравнения (4.10) описанный выше метод разделения переменныõ, получаем y dy = x dx, откуда находим общий интеграл для уравнения (4.10) y 2 x2 = C. Общее решение уравнения (4.10) запишется по формуле p y= C + x2 , а решение задачи Коши (4.10), (4.11) – по формуле p y = 12 + x2 . -57- 4. 2. Линейные ОДУ первого порядка Линейным ОДУ первого порядка называется уравнение y 0 (x) + p(x)y(x) = q(x), Если q(x) 6 Если q(x) x 2 ha, bi. (4.12) 0, то уравнение называется неоднородным. 0, то уравнение называется однородным: y 0 (x) + p(x)y(x) = 0. (4.120) Теорема 4. 1. 1) Если y1 (x), y2 (x) решения однородного уравнения (4.120), α, β произвольные числа, то функция y (x) αy1 (x) + βy2 (x) также является решением уравнения (4.120). 2) Для общего решения неоднородного уравнения (4.12) имеет место формула yон = yоо + yчн; (4.13) здесь yон общее решение неоднородного уравнения (4.12), yчн частное решение неоднородного уравнения (4.12), yоо общее решение однородного уравнения (4.120). Доказательство. Первое утверждение теоремы доказывается непосредственной проверкой: имеем y 0 αy10 + βy20 = αp(x)y1 βp(x)y2 = p(x) αy1 + βy2 = p(x)y . Докажем второе утверждение. Пусть y0 – произвольное решение уравнения (4.120), тогда y00 = p(x)y0 . C другой стороны, 0 yчн = p(x)yчн + q(x). Следовательно, 0 y0 + yчн = p(x) y0 + yчн + q(x), а значит y y0 + yчн является решением уравнения (4.12). Таким образом, формула (4.13) дает решение неоднородного уравнения (4.12). Покажем, что по этой формуле могут быть получены все решения уравнения (4.12). Действительно, пусть y^(x) – решение уравнения (4.12). Положим y~(x) = y^(x) yчн. Имеем y~ 0 (x) = y^ 0 (x) 0 yчн (x) = p(x)^ y (x) + q(x) + p(x)yчн (x) = p(x) y^(x) q(x) = yчн (x) = p(x)~ y (x). Таким образом, y~(x) – решение однородного уравнения (4.120), и мы имеем y^(x) = y~(x) + yчн, что соответствует формуле (4.13). Теорема доказана. -58- Ниже будем рассматривать задачи Коши для уравнений (4.12) и (4.120) с начальным условием y(x0) = y0 , x0 2 ha, bi. (4.14) Относительно функций p(x) и q(x) из (4.12) будем предполагать, что p(x), q(x) 2 C (ha, bi). Замечание 4. 3. Положим F (x, y) = p(x)y + q(x). Тогда в силу наложенных выше условий на p(x) и q(x) имеем F (x, y), ∂F (x, y) 2 C G , ∂y G = ha, bi R1 , а следовательно, для задачи Коши (4.12), (4.14) справедливы теоремы существования и единственности решения, доказанные в главе 2. В доказанных ниже теоремах 4. 2, 4. 3 будут получены явные формулы для решений уравнений (4.120) и (4.12) и будет показано, что эти решения существуют на всем промежутке ha, bi. Рассмотрим сначала однородное уравнение (4.120). Теорема 4. 2. утверждения: Пусть p(x) 2 C (ha, bi). Òогда справедливы следующие 1) любое решение уравнения (4.120) определено на всем промежутке ha, bi; 2) общее решение однородного уравнения (4.120) задается формулой y(x) = C e где C R p(x) dx , (4.15) произвольная константа; 3) решение задачи Êоши (4.120), (4.14) задается формулой Rx y(x) = y0 e x0 p(ξ) dξ . (4.16) Доказательство. Выведем формулу (4.15) в соответствии с данной в начале главы методикой. Прежде всего заметим, что функция y 0 является решением уравнения (4.120). Пусть y(x) – решение уравнения (4.120), причем y 6 0 на ha, bi. Тогда 9 x1 2 ha, bi такая, что y(x1) = y0 6= 0. Рассмотрим уравнение (4.120) в окрестности точки x1 . Это уравнение с разделяющимися переменными, причем y(x) 6= 0 в некоторой окрестности точки x1 . Тогда, следуя результатам предыдущего параграфа, получим явную формулу для решения Z dy = p(x) dx, ln y = p(x) dx + C, y -59- откуда R y(x) = C e p(x) dx , c 6= 0, что соответствует формуле (4.15). Áолее того, решение y 0 также задается формулой (4.15) при C = 0. Непосредственной подстановкой в уравнение (4.120) убеждаемся, что функция y(x), задаваемая по формуле (4.15) при любом C, является решением уравнения (4.120), причем на всем промежутке ha, bi. Покажем, что формула (4.15) задает общее решение уравнения (4.120). Действительно, пусть y^(x) – произвольное решение уравнения (4.120). Если y^(x) 6= 0 на ha, bi, то повторяя предыдущие рассуждения, получим, что эта функция задается формулой (4.15) при некотором C: именно, если y^(x0) = y^0 , то Rx p(ξ) dξ . y^(x) = y^0 e x0 Если же 9x1 2 ha, bi такая, что y^(x1) = 0, то задача Коши для уравнения (4.120) с начальным условием y(x1) = 0 имеет два решения y^(x) и y(x) 0. В силу замечания 4. 3 решение задачи Коши единственно, поэтому y^(x) 0, а следовательно, задается формулой (4.15) при C = 0. Итак, доказано, что общее решение уравнения (4.120) определено на всем ha, bi и задается формулой (4.15). Формула (4.16), очевидно, является частным случаем формулы (4.15), поэтому задаваемая ею функция y(x) является решением уравнения (4.120). Кроме того, x R0 p(ξ) dξ y(x0) = y0 e x0 = y0 , поэтому формула (4.16) действительно задает решение задачи Коши (4.120), (4.14). Теорема 4. 2 доказана. Рассмотрим теперь неоднородное уравнение (4.12). Теорема 4. 3. Пусть p(x), q(x) 2 C (ha, bi). Òогда справедливы следующие утверждения: 1) любое решение уравнения (4.12) определено на всем промежутке ha, bi; 2) общее решение неоднородного уравнения (4.12) задается формулой Z R R R p(x) dx p(x) dx q(x)e p(x) dx dx, (4.17) y(x) = Ce +e где C произвольная константа; 3) решение задачи Êоши (4.12), (4.14) задается формулой Rx y(x) = y0 e x0 Zx p(ξ) dξ + q(ξ)e x0 -60- Rx ξ p(θ) dθ dξ. (4.18) Доказательство. В соответствии с теоремой 4. 1 и формулой (4.13) yон = yоо + yчн требуется найти частное решение уравнения (4.12). Для его нахождения применим так называемый метод вариации произвольной постоянной. Суть этого метода заключается в следующем: берем формулу (4.15), заменяем в ней константу C на неизвестную функцию C(x) и ищем частное решение уравнения (4.12) в виде yчн (x) = C(x) e R p(x) dx . (4.19) Подставим yчн (x) из (4.19) в уравнение (4.12) и найдем C(x) так, чтобы это уравнение удовлетворялось. Имеем R R 0 yчн (x) = C 0 (x) e p(x) dx + C(x) e p(x) dx p(x) . Подставляя в (4.12), получим C 0 (x) e R p(x) dx + C(x) e R p(x) dx p(x) + C(x)p(x) e R p(x) dx = q(x), откуда R C 0 (x) = q(x) e p(x) dx . Интегрируя последнее соотношение и подставляя найденное C(x) в формулу (4.19), получим, что Z R R p(x) dx yчн (x) = e q(x) e p(x) dx dx. Кроме того, в силу теоремы 4. 2 R yоо = C e p(x) dx . Поэтому используя формулу (4.13) из теоремы 4. 1, получаем, что Z R R R p(x) dx p(x) dx y(x) = yоо + yчн = Ce +e q(x)e p(x) dx dx, что совпадает с формулой (4.17). Очевидно, что формула (4.17) задает решение на всем промежутке ha, bi. Наконец, решение задачи Коши (4.12), (4.14) задается формулой Rx y(x) = y0 e Rx p(ξ) dξ x0 +e p(θ) dθ Zx Rξ p(θ) dθ q(ξ)ex0 x0 dξ. (4.20) x0 Действительно, формула (4.20) является частным случаем формулы (4.17) при C = y0 , поэтому она задает решение уравнения (4.12). Кроме того, x R0 y(x0) = y0 e x0 x R0 p(ξ) dξ +e p(θ) dθ Zx0 Rξ q(ξ)e x0 x0 x0 -61- p(θ) dθ dξ = y0 , поэтому удовлетворяются начальные данные (4.14). Приведем формулу (4.20) к виду (4.18). Действительно, из (4.20) имеем Rx y(x) = y0 e Zx p(ξ) dξ + x0 Rξ q(ξ)e x p(θ) dθ Rx dξ = y0 e Zx p(ξ) dξ + x0 x0 Rx q(ξ)e p(θ) dθ dξ, ξ x0 что совпадает с формулой (4.18). Теорема 4. 3 доказана. Ñледствие(об оценке решения задачи Коши для линейной системы). x0 2 ha, bi, p(x), q(x) 2 C (ha, bi), причем p(x) 6 K, q(x) 6 M Пусть 8 x 2 ha, bi. Òогда для решения задачи Êоши (4.12), (4.14) справедлива оценка M Kjx x0 j Kjx x0 j y(x) 6 y0 e + e 1 . K (4.21) Доказательство. Пусть сначала x > x0. Благодарение на (4.18), имаме RX ZX K Dξ Y (x) 6 Y0 ex0 rx k dθ m eξ + dξ \u003d y0 ek (x x0) zx + m x0 \u003d y0 ek (x x0) ek (x ξ) dξ \u003d x0 m + k e k (x ξ) ξ \u003d x ξ \u003d x0 \u003d y0 e kjx x0 j m kjx + e k x0 J 1. Сега остави X.< x0 . Тогда, аналогично, получаем x R0 y(x) 6 y0 e x K dξ Zx0 + Rξ M ex K dθ dξ = y0 eK(x0 x) Zx0 +M x = y0 e K(x0 eK(ξ x) dξ = x M x) eK(ξ + K x) ξ=x0 ξ=x M h K(x0 x) = y0 e + e K M Kjx Kjx x0 j e = y0 e + K i 1 = K(x0 x) x0 j Таким образом, оценка (4.21) справедлива 8 x 2 ha, bi. Пример 4. 2. Решим уравнение y = x2 . x Решаем сначала однородное уравнение: y0 y0 y = 0, x dy dx = , y x ln jyj = ln jxj + C, -62- y = C x. 1 . Решение неоднородного уравнения ищем методом вариации произвольной постоянной: y чн = C(x) x, Cx = x2 , x 0 C x+C 0 C = x, x2 C(x) = , 2 откуда x3 , 2 y чн = а общее решение исходного уравнения y =Cx+ x3 . 2 4. 3. Однородные уравнения Однородным уравнением называется уравнение вида y 0 y (x) = f , (x, y) 2 G, x (4.22) G – некоторая область в R2 . Áудем предполагать, что f (t) – непрерывная функция, x 6= 0 при (x, y) 2 G. Однородное уравнение заменой y = xz, где z(x) – новая искомая функция, сводится к уравнению с разделяющимися переменными. В силу данной замены имеем y 0 = xz 0 + z. Подставляя в уравнение (4.22), получим xz 0 + z = f (z), откуда z 0 (x) = 1 x f (z) z . (4.23) Уравнение (4.23) представляет собой частный случай уравнения с разделяющимися переменными, рассмотренного в п. 4.1. Пусть z = ϕ(x) – решение уравнения (4.23). Тогда функция y = xϕ(x) является решением исходного уравнения (4.22). Действительно, y 0 = xϕ 0 (x) + ϕ(x) = x 1 x f (ϕ(x)) ϕ(x) + ϕ(x) = xϕ(x) y(x) = f ϕ(x) = f =f . x x Пример 4. 3. Ðешим уравнение y0 = y x -63- ey/x . Положим y = zx. Тогда xz 0 + z = z откуда y(x) = 1 z e, x z0 = ez , dz dx = , e z = ln jzj + C, z e x z = ln ln Cx , c 6= 0, x ln ln Cx , c 6= 0. 4. 4. Уравнение Áернулли Уравнением Áернулли называется уравнение вида y 0 = a(x)y + b(x)y α , α 6= 0, α 6= 1 . x 2 ha, bi (4.24) При α = 0 или α = 1 получаем линейное уравнение, которое было рассмотрено в п. 4.2. Áудем предполагать, что a(x), b(x) 2 C (ha, bi). Замечание 4. 4. Если α > 0, тогава, очевидно функцията Y (X) 0 е решение на уравнение (4.24). За да разрешите уравнението на Bernilli (4.24) α 6 \u003d 0, α 6 \u003d 1, ние разделяме двете части на уравнението на Y α. При α\u003e 0 е необходимо да се вземе предвид, че по силата на коментари 4. 4, функцията Y (x) 0 е решението на уравнение (4.24), което ще бъде загубено с това разделение. Следователно в бъдеще ще трябва да се добави към общото решение. След разделянето получаваме съотношението y α Y 0 \u003d a (x) y 1 α + b (x). Въвежда нова желана функция Z \u003d Y 1 α, след това z 0 \u003d (1 следователно пристигаме в уравнението спрямо zz 0 \u003d (1 α) a (x) z + (1 α) y α) b (x) . α Y 0, (4.25) уравнение (4.25) е линейно уравнение. Такива уравнения се разглеждат в клауза 4.2, където се получава формулата на общ разтвор, благодарение на който разтворът Z (X) на уравнение (4.25) е написан във формата Z (x) \u003d CE R (α 1) a (x) DX + + (1 α) E R (α 1) a (x) dx 1 z b (x) e r (α 1) a (x) dx dx. (4.26) След това функцията y (x) \u003d z 1 α (x), където z (x) е дефинирана в (4.26), е разтвор на уравнението на Bernilli (4.24). -64- В допълнение, както е описано по-горе, при α\u003e 0, разтворът също е функцията y (x) 0. Пример 4. 4. 4. Уравнение Y 0 + 2Y \u003d Y2 ex. (4.27) Разделяме уравнението (4.27) до Y 2 и ние ще заменим z \u003d Получаваме линейно нехомогенно уравнение 1 y. В резултат, z 0 + 2z \u003d ex. (4.28) Първо решаваме хомогенното уравнение: z 0 + 2Z \u003d 0, dz \u003d 2dx, z ln jzj \u003d 2x + c, z \u003d ce2x, c2 R1. Разтвор на нехомогенно уравнение (4.28) Търсим вариант на произволна константа: Zn \u003d C (x) e2x, c 0 e2x 2ce2x + 2ce2x \u003d ex, c 0 \u003d ex, c (x) \u003d ex, от където Zhen \u003d ex и общото решение на уравнението (4.28) z (x) \u003d ce2x + ex. Следователно, разтворът на уравнението на Bernilli (4.24) се записва като y (x) \u003d 1. Ex + ce2x в допълнение, решението на уравнението (4.24) също е функцията y (x) Това решение, което загубихме, когато това уравнение е разделено на Y 2. 0. 4. 5. Уравнението в пълните разлики смятат уравнението в диференциали m (x, y) dx + n (x, y) dx \u003d 0, (x, y) 2 g, (4.29) g е някакъв регион в R2. Това уравнение се нарича уравнение в пълните разлики, ако има функция f (x, y) 2С1 (g), наречена потенциал, така че DF (x, y) \u003d m (x, y) dx + n ( X, Y) DY, (X, Y) 2 G. Ние ще приемем, че m (x, y), n (x, y) 2 С1 (g) и площ g е едно-свързано. В тези предположения, наясно с математическия анализ (виж например), се доказва, че потенциалът F (X, Y) за уравнение (4.29) съществува (т.е. (4.29) - уравнението в пълните разлики), ако и само когато ми (x, y) \u003d nx (x, y) -65-8 (x, y) 2 g. В същото време (x, zy) f (x, y) \u003d m (x, y) dx + n (x, y) dy, (4.30) (x0, y0), където точката (x0, y0) е някои Фиксирана точка от g, (x, y) - текущата точка в g, а криволинейният интеграл се взема по всяка крива, свързваща точките (x0, y0) и (x, y) и цялата лежаща в региона G. ако Уравнение (4.29) е уравнение

Makarskaya Е. V. В книгата: дни на студентската наука. Пролет - 2011 г. М.: Московски държавен университет по икономика, статистика и информатика, 2011. стр. 135-139.

Авторите считат, че практическото прилагане на теорията на линейните диференциални уравнения за изследване на икономическите системи. Документът осигурява анализ на динамичните модели на Кейнс и Самуелс, които са с намирането на равновесни състояния на икономическите системи.

Иванов А. I., Исаков I., DEMIN A.V. et al. 5. m.: Word, 2012.

Ръководството изследва количествените методи за изследване на консумацията на кислород от човека по време на изпитвания с упражнения за дозиране, извършени в ГСС на Руската академия на науките - Ambp RAS. Наръчникът е предназначен за учените, физиолози и лекари, работещи в областта на космическата, подводната и спортната медицина.

Микхеев А. В. СПБ.: Катедра по Оперативен печат NSU HSE - Санкт Петербург, 2012.

Тази колекция съдържа задачи по степен на диференциални уравнения, четими от автора на икономиката на факултета на икономиката HSE - Санкт Петербург. В началото на всяка тема се дава кратко резюме на основните теоретични факти и се раздават примери за решения на типични задачи. За ученици и слушатели на висши професионални професионални програми.

КОНАКОВ В.Д. Sti. WP BRP. Публикуване на напитмите на Механика и математическия факултет на Московския държавен университет, 2012. 2012.

В основата на това ръководство за обучение има специален курс по избор на студент, прочетете от автора на механично математическия факултет на Московския държавен университет. M.v. Ломоносов през 2010-2012 г. учебни години. Ръководството въвежда читателя с метода на параметрите и дискретен аналог, разработен в последния път от автора на ръководството и неговите колеги-съавтори. Той съчетава материала, който преди това е бил държан само в няколко статии за списания. Не се стремим към максималната обярност на презентацията, авторът определя целта да демонстрира възможностите на метода в доказателството за местни лимитни теореми върху сближаването на веригите на Марков към процеса на дифузия и при получаване на двустранни оценки на типа на Арон някаква дегенеративна дифузия.

МКС. 20. NY: Springer, 2012.

Тази публикация е колекция от отделни статии "Трета международна конференция за информационни системи", която се проведе в Университета на Флорида, 16-18 февруари 2011 г. Целта на тази конференция е да събере заедно учени и инженери от индустрията, правителствата и научни среди, така че те да могат да обменят нови открития и резултати по въпроси, свързани с теорията и практиката на динамиката на информационните системи. Динамиката на информационните системи: Математическо откритие е модерно проучване и е предназначено за студенти - завършили студенти и изследователи, които се интересуват Най-новите открития в информационната теория и динамичните системи. Учените от други дисциплини също могат да се възползват от прилагането на нови развития в техните области на изследване.

Палвелев Р., Сергеев А. Ж. Действия по математическия институт. В.А. Steklov рани. 2012. Т. 277. С. 199-214.

Адиабатният лимит се изследва в хиперболични уравнения на Landau Ginzburg. Използвайки посочената граница, кореспонденцията е установена между решенията на уравненията на Ginzburg-Landau и адиабатните траектории в пространството на статичните решения, наречени вихрите. Menthon предложи евристичния адиабатният принцип, който постулира, че всяко решение на уравненията на Ginzburg-Landau с достатъчно ниска кинетична енергия може да бъде получено като смущение на някаква адиабатна траектория. Страшно доказателство за този факт наскоро е първият автор

Ние даваме изрична формула за квази-изоморфизъм между Opeads Hycomm (хомологията на хомотопия, оцветител на Баталин-Вилковийски опери от BV-оператора). В OTER думи ние извличаме еквивалентност на Hycomm-алгебри и BV-алгебри, подобрени с хомотопия, която тривиализира BV-оператора. Тези формули са дадени по отношение на разделителните графики и се доказват по два различни начина. Едно доказателство използва груповото групово действие, а другото доказателство преминава през верига от изрични формули върху решенията на Hycomm и BV. Вторият подход дава по-специално хомологично обяснение на дейността на групата на GUIVALLE на Hycomm-Algebras.

Под научни Редактирано: А. Михайлов. 14. М.: Социологически факултет на Московския държавен университет, 2012.

Изделия от тази събиране са написани въз основа на доклади, направени през 2011 г. в Социологическия факултет на Московския държавен университет. M.v. Ломоносов на среща на XIV интердисциплинарния годишен научен семинар "Математическо моделиране на социалните процеси". Герой на социалистическия труд академик А.А. Самара.

Публикацията е предназначена за изследователи, учители, студенти от университети и научни институции на рани, заинтересовани от проблеми, разработване и прилагане на методологията за математическо моделиране на социалните процеси.

"Лекции по обикновени диференциални уравнения Част 1. Елементите на общата теория в учебника са представени разпоредбите, които съставляват основата за теорията на обикновените диференциални уравнения: ..."

-- [ Страница 1 ] --

А. Е. Мамонтов

Лекции на обикновените

Диференциални уравнения

Елементи на общата теория

Учебникът определя разпоредбите, съставляващи

основата на теорията на обикновените диференциални уравнения: концепцията за решения, тяхното съществуване, уникалност,

зависимост от параметрите. Също така (в § 3) се обръща известно внимание на "изричното" решение на някои класове уравнения. Наръчникът е предназначен за задълбочено проучване на курса "диференциални уравнения" от ученици, изучаващи се в математическия факултет на държавния педагогически университет Novosibirsk.

UDC 517.91 BBK B161.61 Предговорният ръководител, предназначен за студенти по математическия факултет на Новосибирски държавен педагогически университет, който иска да проучи задължителния курс "диференциални уравнения" в удължен обем. На читателите се предлагат основните понятия и резултати, които съставляват основата на теорията на обикновените диференциални уравнения: концепцията за решенията, теоремите за тяхното съществуване, уникалност, в зависимост от параметрите. Описаният материал е представен под формата на логически неразделен текст в §§ 1, 2, 4, 5. също (в § 3, стоящ по няколко имения и временно прекъсването на основната нишка на курса) накратко разгледайте най-търсените техники на "изрични" решения за някои класове уравнения. Когато първо четене § 3 можете да пропуснете без значителни щети за логическата структура на курса.

Упражненията играят важна роля, в големи количества, включени в текста. Четецът силно се препоръчва да изострят "горещите пиксели", които гарантират асимилацията на материала и служат като тест. Освен това, често тези упражнения запълват логическа тъкан, която е, без да ги решават, не всички разпоредби ще бъдат строго доказани.

В квадратни скоби в средата на текста направи коментари, които носят ролята на коментари (разширени или странични обяснения). Лексично, тези фрагменти прекъсват основния текст (т.е. за едно кохерентно четене, те трябва да "не са забелязали"), но все пак са необходими като обяснение. С други думи, тези фрагменти трябва да бъдат възприемани, сякаш са поставени на полетата.

Текстът има отделно категоризирани "коментари за учителя" - те могат да бъдат пропуснати при четене на ученици, но полезни за учителя, който ще използва ръководството, например, когато чете лекции - те помагат по-добре да разберат логиката на курса и показват по-добре посоката на възможните подобрения (разширения) на курса. Въпреки това, развитието на тези коментари към учениците може да бъде приветствано само.

Подобна роля се играе от "оправдания за учителя" - те са в изключително компресирана форма, давайки доказателство за някои разпоредби, предложени на читателя като упражнения.

Най-често срещаните (ключови) термини се използват под формата на съкращения, чийто списък е даден за удобство в края. Също така предоставя списък на математическите наименования, срещани в текста, но не са свързани с най-често срещаните (и / или неизвестни в литературата недвусмислено).

Символът означава край на доказателството, формулирането на одобрение, коментари и др. (Където е необходимо да се избегне объркване).

Номерирането на формулите се провежда независимо във всеки параграф. Както е посочено в част от формулата, се използват индекси, например (2) 3 означава третата част на формула (2) (фрагменти, разделени типографски пространства и от логически позиции - лигамент "и").

Това ръководство не може напълно да замени дълбокото проучване на темата, което изисква независими упражнения и четене на допълнителна литература, например, списъкът, който е даден в края на ръководството. Въпреки това, авторът се опита да определи основните разпоредби на теорията в достатъчно компресирана форма, подходяща за лекционния курс. В това отношение следва да се отбележи, че при четенето на лекционния курс, около 10 лекции се извършват в това ръководство.

Предвижда се издание на други 2 части (обеми), които продължават това ръководство и настоящият цикъл на лекции по темата за "обикновени диференциални уравнения": част 2 (линейни уравнения), част 3 (допълнителна теория на нелинейни уравнения, уравнения в. \\ T частични производни на първата поръчка).

§ 1. Въведение Диференциалното уравнение (dB) е съотношението на формуляра u1 u1 un, най-високите производни fy, u (y), ..., \u003d 0, y1 y2 yk (1) където y \u003d (Y1 ,. .., YK) RK - независими променливи и U \u003d U (Y) - неизвестни функции1, U \u003d (U1, ..., UN). Така, в (1) има N неизвестни, така че се изискват N уравнения, т.е. f \u003d (F1, ..., fn), така че (1) е, като цяло, системата от N уравнения. Ако неизвестна функция е една (n \u003d 1), тогава уравнението (1) е скалар (едно уравнение).

Така че функцията (ите) f е настроена (и) и се търси. Ако k \u003d 1, тогава (1) се нарича ODU и в противен случай - UCH. Вторият случай е предмет на специалния курс на UMF, посочен в поредицата от учебници. В тази серия ползи (състоящи се от 3 обема на части), ние ще проучим само ODU, с изключение на последния параграф на последната част (обем), в която ще започнем да изучаваме някои конкретни случаи на UCH.

2U u пример. 2 \u003d 0 - Това е спешно.

y1 y неизвестни стойности U могат да бъдат реални или сложни, което е незначително, тъй като този момент се прилага само за формата на уравнения на запис: всеки изчерпателен запис може да се превърне в реално, разделяне на реалните и въображаеми части (, но, разбира се , удвоява броя на уравненията и неизвестните) и обратно, в някои случаи е удобно да се премине към интегриран запис.

du d2v dv · 2 \u003d UV; U3 \u003d 2. Това е система от 2 ODER пример.

dy dy dy за 2 неизвестни функции от независим променлив y.

Ако K \u003d 1 (ODU), след това се използва иконата D / DY.

u (y) du пример. EXP (SIN Z) DZ е ORD, тъй като има пример. \u003d U (u (Y)) при n \u003d 1 не е дистанционно управление, но функцията е развиваща се диференциално уравнение.

Това не е дистанционно управление, но интепло-диференциално уравнение, ние няма да изучаваме такива уравнения. Въпреки това уравнението (2) лесно се свежда до ODU:

Упражнението. Да се \u200b\u200bнамали (2) към ODU.

Но като цяло интегралните уравнения са по-сложен предмет (частично е проучен в курс на функционален анализ), въпреки че, както ще видим по-долу, тя е с тяхната помощ, че някои резултати се получават за ODU.

Du възникнат както от вътрешноматематични нужди (например в диференциална геометрия) и в приложения (исторически за първи път, а сега главно във физиката). Най-простият DU е "основната задача на диференциалното смятане" за възстановяването на функцията според производно: \u003d H (Y). Както е известно от анализа, решението му има форма U (Y) \u003d + H (S) DS. Още по-голям DU за своите решения изискват специални методи. Въпреки това, както виждаме, почти всички методи за решаване на ODU "изрично" са по същество намалени до посочения тривиален случай.

Най-често в приложенията се случва код, когато описват процесите, които се развиват във времето, така че ролята на независима променлива обикновено играе време.

по този начин значението на ODU в такива приложения е да се опише промяната в параметрите на системата с течение на времето, удобно да се определи независима променлива чрез t (и да го нарекат време с всички получени терминологични последствия), \\ t и неизвестна функция (AI) - чрез x \u003d (x1, ..., xn). По този начин общият поглед върху ODU (системите ODU) е както следва:

където f \u003d (F1, ..., fn) е това e. това е система от n odu за n функции x, и ако n \u003d 1, след това една ода за 1 функция x.

В този случай, x \u003d x (t), t r и x в общо казано е сложен (това е за удобство, тъй като някои системи са по-компактно).

Казва се, че системата (3) има ред m на XM функцията.

Дериватите се наричат \u200b\u200bстарейшини, а останалото (включително XM \u003d) - по-млади. Ако всички m \u003d, тогава те просто казват, че редът на системата е равен.

Вярно е, често редът на системата се нарича номер m, който също е естествен, тъй като става ясно.

Въпросът за необходимостта от изучаване на ODU и техните приложения, ние ще се считат за достатъчно разумни други дисциплини (диференциална геометрия, математически анализ, теоретична механика и др.) И тя е частично покрита с практическо обучение в решаването на проблеми (например, \\ t от задачата). В настоящия курс ще бъдем ангажирани изключително с математическо изследване на системите на формуляра (3), което предполага отговор на следните въпроси:

1. Какво означава "да се реши" уравнението (системата) (3);

2. Как да направите това;

3. Какви имоти имат тези решения, как да ги изследваме.

Въпрос 1 не е толкова очевиден, колкото изглежда - виж по-долу. Незабавно имайте предвид, че всяка система (3) може да бъде намалена до системата от първа поръчка, обозначавайки по-младите деривати като нови неизвестни функции. Най-лесно е да обясните тази процедура, като използвате примера:

от 5 уравнения за 5 неизвестни. Лесно е да се разбере, че (4) и (5) са еквивалентни в смисъл, че решението на една от тях (след съответното преиздадено) е разтворът на другия. В същото време трябва да е наясно с въпроса за гладкостта на решенията - това ще бъде направено по-нататък, когато срещаме по-висок ред (т.е. не първи).

Но сега е ясно, че е достатъчно да изучавате само една от първите поръчки, а други могат да се изискват само за удобство на обозначения (тази ситуация понякога ще се случи).

И сега ние се ограничаваме от първия ред:

dimx \u003d dimf \u003d n.

Изследването на уравнението (системата) (6) е неудобно поради факта, че тя не е разрешена спрямо DX / DT производни. Както е известно от анализа (от теоремата на имплицитната функция), при определени условия на F, уравнението (6) може да бъде разрешено спрямо DX / DT и да го напише във формата, където F: RN + 1 RN е Комплект и X: RN е желателно. Казва се, че (7) има ODU, разрешен по отношение на дериватите (ORD на нормална форма). По време на прехода от (6) до (7), естествено, трудностите могат да възникнат:

Пример. Exp (X) \u003d 0 уравнението не може да бъде записано във формата (7) и изобщо няма решения, т.е. Exp няма нули дори в комплексната равнина.

Пример. Уравнението x 2 + x2 \u003d 1 е написано под формата на две нормални ода \u003d ± 1 x2. Всеки от тях трябва да бъде решен и след това да интерпретира резултата.

Коментар. За информация (3) до (6) може да възникне трудности, ако (3) има 0 поръчка за някаква функция или част от функции (т.е. това е функционално диференциално уравнение). Но тогава тези функции трябва да бъдат изключени от теоремата на имплицитната функция.

Пример. x \u003d y, xy \u003d 1 x \u003d 1 / x. Необходимо е да се намери X от получения ODU, а след това Y от функционалното уравнение.

Но във всеки случай проблемът с прехода от (6) до (7) се отнася до по-скоро в областта на математическия анализ, отколкото до ДУ, и ние няма да го направим. Въпреки това, когато решават одата (6), могат да възникнат интересни моменти от гледна точка, така че този въпрос е подходящ за изучаване при решаване на задачи (тъй като това се прави например б) и ще бъде леко засегнато в § 3. Но В останалата част от курса ще се занимаваме само с нормални системи и уравнения. Така че, помислете за ODU (System ODU) (7). Пишем 1 път в формата на Pumidation:

Концепцията за "решаване (7)" (и като цяло, всякакви) за дълго време се разбира като търсене на "изрична формула" за решаване (т.е. под формата на елементарни функции, техните първични или специални функции, \\ t и т.н.), без акцент върху гладкостта на решението и интервала на нейната дефиниция. Въпреки това, текущото състояние на теорията на ODU и други участъци на математиката (и в общите науки) показва, че такъв подход е незадоволителен - поне защото делът на ODUS, който дадоха такава "изрична интеграция" е изключително малка (дори и за Най-простата ODE X \u003d F (t) е известна, че решението в елементарните функции е рядкост, въпреки че има "очевидна формула").

Пример. Уравнение X \u003d T2 + X2, въпреки екстремната си простота, няма решения в елементарни функции (и има дори "без формула").

И въпреки че знаете класовете на ODU, за които е възможно "изричното" решение (по същия начин, както е полезно да можете да "преброите интегралите", когато е възможно, въпреки че е възможно изключително рядко), В тази връзка термините се характеризират: "intitengrilators odu", "интегриран ODU" (остарели аналози на съвременни концепции "за решаване на ODU", "Решение на ODU"), което отразява предишните концепции за решението. Как да разберем съвременните условия, ще посочим сега.

и този въпрос ще бъде разгледан в § 3 (а също и традиционно много внимание му се обръща при решаването на проблеми в практическите класове), но не трябва да се очаква никаква гъвкавост от този подход. Като правило, съгласно процеса на вземане на решения (7) ще разберем напълно различни стъпки.

Трябва да се изясни коя функция x \u003d x (t) може да бъде посочена като разтвор (7).

Първо, отбелязваме, че ясната формулировка на концепцията за решаване е невъзможна, без да се определя зададената, на която е дефинирана, ако само защото решението е функция, и всяка функция (според дефиницията на училището) е закон, който отговаря на закона всеки елемент от определен набор (наречен регион на дефиниция тази функция)) някакъв елемент от друг набор (функционални стойности). Така тя е абсурдна по дефиниция, без да се уточнява областта на неговото определение. Аналитичните функции (по-широко елементарно) служат тук "изключение" (подвеждащо) по мотивите, изброени по-долу (и някои други), но в случай на такава свобода е неприемлива.

и като цяло, без да се уточняват наборите за определяне на всички функции, участващи в (7). От допълнително ще бъде ясно, че е препоръчително да се свържем понятието за решаване с множество свои дефиниции и да обмисляте решения на различни, ако наборите от тяхното определяне са различни, дори ако кръстовете на тези комплекти съвпадат.

Най-често, в специфични ситуации, това означава, че ако решенията са конструирани под формата на елементарни функции, така че 2 разтвори имат "еднаква формула", тогава е необходимо да се провери дали са написани тези формули, които са написани, са съвпадащи. Объркването, за дълго време царува по този въпрос, беше изключение, докато решенията бяха счетени под формата на елементарни функции, тъй като аналитичните функции ясно продължават по-широки интервали.

Пример. X1 (t) \u003d et on (0.2) и x2 (t) \u003d et in (1,3) - различни разтвори на уравнението x \u003d x.

В същото време, естествено, в качеството на определението за всяко решение да се вземе отворен интервал (може би безкраен), тъй като този комплект трябва да бъде:

1. отворени така, че във всеки един момент има смисъл да се говори за дериват (двустранно);

2. Svyaznoy, така че решението не се вписва в непоследователни парчета (в този случай е по-удобно да се говори за няколко решения) - вижте предишния пример.

По този начин, разтворът (7) е двойка (, а, b)), където В + е дефиниран с (А, В).

Коментар за учителя. В някои учебници е позволено да включва края на сегмента в областта на определяне на решението, но е неподходящо поради факта, че само усложнява представянето и реалното обобщение не дава (вж. § 4).

За да се улесни разбирането на по-нататъшното разсъждение, е полезно да се използва геометрична интерпретация (7). В пространството rn + 1 \u003d ((t, x)) при всяка точка (t, x), където f е дефиниран, векторът f (t, x) може да се обмисли. Ако изградите графика на решения (7) в това пространство (тя се нарича интегрална крива на системата (7)), след което се състои от точки на формата (t, x (t)). Когато t (a, b) се променя, този момент се движи по IR. Допирателната към IR в точката (t, x (t)) има формата (1, x (t)) \u003d (1, F (t, x (t))). Така, IR е тези и само тези криви в пространството RN + 1, което във всяка от собствената си точка (T, X) има тангенциален, паралелен вектор (1, F (t, x)). На тази идея тя е построена така наречена. Метода на изоцел за приблизителното изграждане на IR, който се използва като графики на решения на специфичен ODUS (виж

например). Например, при n \u003d 1, нашата конструкция означава следното: във всяка точка IR, нейният наклон към оста t има свойство tg \u003d f (t, x). Естествено е да се предположи, че като вземете някаква точка от набор от дефиниция F, можем да прекараме IR чрез него. Тази идея ще бъде строго оправдана допълнително. Докато ни липсват строга формулировка на гладкостта на решенията - това ще бъде направено по-долу.

Сега е необходимо да се изясни наборът Б, който определя f. Това е много естествено взето:

1. отворени (така че IR може да бъде изграден в съседство от всяка точка от б), 2. свързан (в противен случай всички свързани парчета могат да бъдат разглеждани - така или иначе, IR (като диаграма на непрекъсната функция) не може да скочи от едно парче в друго, така че търсенето на решения на общността няма да повлияе).

Ще разгледаме само класическите решения (7), т.е. така, че x и неговият х е непрекъснат (a, b). След това естествено се нуждаят от F (B). След това това изискване ще бъде подложено от нас. Така че най-накрая получаваме определение. Нека b rn + 1 е областта, f в (б).

Чифт ((a, b)), ab +, е дефиниран с (а, b), се нарича разтвор (7), ако c (a, b), всеки път t (a, b), (t, \\ t (T)) b и съществува (t), с (t) \u003d f (t, (t)) (след това автоматично С1 (a, b)).

Геометрично е ясно, че (7) ще има много решения (което е лесно да се разбере графично), тъй като да извърши IR, започвайки с точки на формуляра (t0, x0), където t0 е фиксиран, тогава ще получим различни IR. Освен това промяната в интервала на решението ще даде друго решение, според нашата дефиниция.

Пример. x \u003d 0. Разтвор: x \u003d \u003d const rn. Въпреки това, ако изберете някои t0 и фиксирайте стойността x0 на разтвора в точката t0: x (t0) \u003d x0, стойността се определя уникално: \u003d x0, т.е. разтворът е уникален с точност на интервала (A, b) t0.

Наличието на "безличен" набор от решения е неудобен за работа с NIMI2 - по-удобно е да се "импортират", както следва: добави към (7) допълнителни условия, така че да се подчертае единственото (в определен смисъл) решението и след това, пренасочване на тези състояния, работа с всеки разтвор е отделен (геометрично разтворът може да бъде един (IR) и има много парчета - с това неудобство ще изглежда по-късно).

Определение. Задачата за (7) е (7) с допълнителни условия.

Ние значително изобретихме най-простата задача - това е задачата на Cauchy: (7) с условията на формуляра (Cauchy данни, първоначални данни):

C Мрежа на приложенията Тази задача е естествена: например, ако (7) описва промяната в някои параметри X с време t, след това (8) означава, че в някои (начален) момент от време е известно стойността на параметрите е известна . Необходимо е да се научат други задачи, ние ще говорим за това по-късно, но засега ще се съсредоточим върху задачата на Cauchy. Естествено, тази задача има смисъл в (t0, x0) Б. съответно, решението на проблема (7), (8) се нарича решение (7) (в смисъл на определението, дадено по-горе), така че t0 (А, \\ t Б) и се изпълнява (осем).

Нашата най-близка задача е да докажем съществуването на решението на проблема на Cauchy (7), (8) и с определен допълнителен пример - квадратно уравнение, по-добре е да напишете x1 \u003d ..., x2 \u003d ... отколкото x \u003d b / 2 ± ...

предположения за F - и нейната уникалност в определен смисъл.

Коментар. Трябва да изясним концепцията за нормата на вектора и матрицата (въпреки че матриците ще бъдат необходими само в част 2). Поради факта, че при крайното пространство всички правила са еквивалентни, изборът на определена норма няма значение дали се интересуваме само като оценки, а не толкова точни стойности. Например, за вектори можете да приложите | x | p \u003d (| xi | p) 1 / p, p - peano сегмент (пикара). Помислете за конуса K \u003d (| x x0 | f | t t0 |) и неговата съкратена част K1 \u003d K (t IP). Ясно е, че само K1 C.

Теорема. (Peano). Нека изискванията за F в проблема (1), посочени при определяне на разтвора, т.е.:

f C (b), където Б е област в RN + 1. След това изобщо (t0, x0) b има решение на задача (1).

Доказателства. Задайте произволно (0, t0] и изграждане на така наречените. Сървъри на супера със стъпка, а именно: тя е счупена в RN + 1, в която всяка връзка има проекция на оста, първата връзка към Правото започва в точката (t0, x0) и това е, че е dx / dt \u003d f (t0, x0); десният край на тази връзка (t1, x1) служи като левия край за втория, на който DX / Dt \u003d f (t1, x1) и т.н., и подобно на ляво. Получената счупена функция определя парче линейна функция x \u003d (t). Докато t IP, счупените останки остават в K1 (и още повече в C и следователно в Б), така че строителството е правилно - за това всъщност и е направено спомагателно строителство пред теоремата.

Всъщност, навсякъде, освен точките на почивката, и след това (и) (t) \u003d (z) dz, където има произволни производни стойности на точките на прекъсване.

По едно и също време (движещ се по отношение на индукционната решения), | (t) x0 | F | t t0 |.

По този начин, на IP функции:

2. равномерно непрекъснато, тъй като Lipshtsy:

Тук, ако е необходимо, обновете знанията ми за такива концепции и резултати като: справедлива приемственост, равномерно сближаване, теорема на Arzel Ascol и др.

Чрез теоремата Arzel-Ascol има последователност k 0 така, че k на IP, където c (IP). Чрез строителство, (t0) \u003d x0, така че остава да се провери дали ще го докажем за s t.

Упражнението. Подобно на разглеждане на t.

Задайте 0 и откриваме 0, така че за всички (t1, x1), (t2, x2) c, това може да се направи поради еднаквата непрекъснатост на f върху компактна C. ще намерим m n, така че да фиксирате t int ( IP) и приемайте всеки S int (IP) е този TST +. Тогава за всички Z имаме | K (Z) K (t) | F, така предвид (4) | k (z) (t) | 2F.

Обърнете внимание, че k (z) \u003d k (z) \u003d f (z, k (z)), където z е абсцисата на левия край на счупеното рязане, съдържащо точката (z, k (z)). Но точката (z, k (z)) влиза в цилиндъра с параметри (2F), построен в точката (t, (t)) (в действителност, дори в съкратен конус - виж фиг. Но сега няма значение ), Така с оглед на (3) получаваме | k (z) f (t, (t)) |. За счупени, ние, както е споменато по-горе, формулата за k ще даде (2).

Коментар. Нека f c 1 (b) бъде. След това разтворът, дефиниран на (А, В), ще бъде клас С2 (А, В). Всъщност, на (a, b) имаме: има f (t, x (t)) \u003d ft (t, x (t)) + (t, x (t)) x (t) (тук - the. \\ T Матрица на Якоби) - непрекъсната функция. Мамят, има и 2 C (a, b). Можете да продължите да увеличавате гладкостта на разтвора, ако е гладка. Ако f е аналитичен, тогава можете да докажете съществуването и уникалността на аналитичното решение (това е така наречено. Cauchy теорема), въпреки че не трябва да бъде в предишното разсъждение!

Тук е необходимо да запомните каква е аналитичната функция. Да не се бърка с функцията, представена от номера на властта (това е само представяне на аналитичната функция, като цяло говоренето, части от неговото определение)!

Коментар. При посоченото (t0, x0) е възможно, различно t и r, опитайте да максимизирате T0. Това обаче обикновено не е толкова важно, тъй като да проучи максималния интервал на съществуването на разтвора, има специални методи (вж. § 4).

В Perano Theorem нищо не е посочено за уникалността на решението. С нашето разбиране за решението винаги е единственото, тъй като ако има някакво решение, следите му ще бъдат други решения за по-тесни интервали. Този момент ще разгледаме по-подробно по-късно (в § 4) и досега, при уникалност, ние разбираме съвпадението на две решения на кръстовището на интервалите на тяхното определение. Дори и в този смисъл, теоремата от постановление не казва нищо за уникалността, че не е случайно, тъй като е невъзможно да се гарантира уникалност.

Пример. n \u003d 1, F (x) \u003d 2 | x |. Проблемът Cauchy има тривиално решение: X1 0, и освен x2 (t) \u003d t | t |. От тези две решения може да се компилира цялото 2 параметрично семейство семейство:

където + (безкрайни стойности означават липсата на съответния клон). Ако броите за областта на дефиницията на всички тези решения всички r, тогава те все още са безкрайно много.

Отбелязваме, че ако приложите доказателството на теоремата на Peano през счупения обелан, тогава ще бъде само нулевото решение. От друга страна, ако в процеса на изграждане на счупен сулер, за да се позволи малка грешка на всяка стъпка, дори след желанието на параметъра за грешка до нула, всички решения ще останат. Така, теоремата на Peano и счупеният супер са естествени като метод за изграждане на решения и тясно свързани с цифрови методи.

Проблемът, наблюдаван в примера, се дължи на факта, че функцията F не е разположена от х. Оказва се, че ако наложите допълнителни изисквания за редовността f чрез x, тогава единството може да бъде осигурено и тази стъпка е в определен смисъл необходим (виж по-долу).

Припомнете някои понятия от анализа. Функцията (скалар или вектор) g се нарича хеледер с индикатор (0, 1] на зададения, ако състоянието на Lipshitz е правилно. При 1 е възможно само за постоянни функции. Функцията, посочена в сегмента (където Изборът е без значение) се нарича модул за непрекъснатост, ако казват, че G удовлетворява в обобщеното окачител с модул, ако в този случай се нарича модул за непрекъснатост G c.

Може да се покаже, че всеки модул за непрекъснатост е модул за непрекъснатост на някаква непрекъсната функция.

Обратният факт е важен за нас, а именно: всяка непрекъсната функция на компактния има свой собствен модул за непрекъснатост, т.е. удовлетворява (5) с някои. Доказваме го. Спомнете си, че ако е компактен, и gc (), тогава той е равномерно непрекъснат в, т.е.

\u003d (): | x y | \u003d | G (x) g (y) |. Оказва се, че това е еквивалентно на условие (5) с някои. Всъщност, ако има, е достатъчно да се изгради модул за непрекъснатост, така че (()), и след това в | x y | \u003d \u003d () Получаваме (и) произволно, x и y могат да бъдат всички.

И обратно, ако (5) е вярно, е достатъчно да се намери такова, че (()), и след това в | x y | \u003d () Ние остава да обоснове логически преходи:

За монотонно и достатъчно, за да се вземат обратни функции, и като цяло, е необходимо да се използва така нареченото. Обща обратна връзка. Тяхното съществуване изисква отделно доказателство, че няма да водим, но нека просто да кажем идея (полезно е да придружавате чертежите за четене):

за всеки F, ние дефинираме f (x) \u003d min f (y), f (x) \u003d max f (y) са монотонови функции и те имат обратна. VVIF е лесен за проверка на X X F (F (x)), (F) 1 (F (x)) x, F ((f) 1 (x)) x.

Най-добрият модул за непрекъснатост е линеен (състояние на липсици). Това са "почти диференцирани" функции. За да се даде стриктна смисъл, последното изявление изисква определени усилия и ние ще се ограничим до две коментари:

1. Строго говорене, не всички функции на Lipschitz диференциране, като пример g (x) \u003d | x | на R;

2. Но от диференцизъм следва lipshetsevity, както показва следното изявление. Всяка функция G, която има всички m на изпъкналия комплект, удовлетворява състоянието на Lipschitz върху него.

[Докато за краткост, помислете за скаларните функции g.] Доказателство. За всички x, y ясно имаме, че това твърдение е вярно за векторните функции.

Коментар. Ако f \u003d f (t, x) (общо казано, векторна илюстрация), след това можете да влезете в концепцията за "f lipschitsev by x", т.е. f (t, x) f (t, y) | C | xy |, и също така доказват, че ако d е изпъкнал в x за всички t, след това за lipshetsevity f чрез x в d, е достатъчно да има деривативи f чрез x, ограничено в изявлението, което получихме оценка | g ( x) g (Y) | чрез | x y |. С n \u003d 1, обикновено се извършва, като се използва формула с ограничена точка: g (x) g (Y) \u003d g (z) (xy) (ако g е векторна функция, тогава z е своя собствена за всеки компонент). За n 1 е удобно да се използва следният аналог на тази формула:

Лема. (Адамара). Нека f c (d) да бъде (общо казано, векторната функция), където d (t \u003d t) изпъкна във всеки t и f (t, x) f (t, y) \u003d a (t, x, y) · (XY), където А е непрекъсната правоъгълна матрица.

Доказателства. При всяко фиксирано Т, ние прилагаме изчислението от доказателството за одобрението за \u003d d (t \u003d t), g \u003d fk. Получаваме желаното представяне с (t, x, y) \u003d a всъщност непрекъснато.

Нека да се върнем към въпроса за уникалността на решаването на проблема (1).

Ние ще поставим този въпрос: какъв трябва да бъде модулът за непрекъснатост F чрез X, така че решението (1) е единственото нещо в смисъл, че 2 решения, дефинирани в същия интервал съвпадат? Отговорът се дава на следната теорема:

Теорема. (Osgood). Нека при условията на Peano непрекъснатостта на непрекъснатостта на Х в Б, т.е. функцията в неравенството отговаря на условието (c). Тогава проблемът (1) не може да има два различни разтвора, дефинирани в същия интервал на формуляра (T0 A, T0 + B).

Сравнете с пример за взаимно свързване по-горе.

Лема. Ако z c 1 (,), тогава всички (,):

1. в точки, където z \u003d 0 съществува | z | и || z | | | z |;

2. в точки, където z \u003d 0 има едностранни деривати | z | ± и || z | ± | \u003d | z | (По-специално, ако z \u003d 0, тогава съществува | z | \u003d 0).

Пример. n \u003d 1, z (t) \u003d t. В точка t \u003d 0 производно от | z | Няма, но има едностранни деривати.

Доказателства. (Леми). В тези точки, където z \u003d 0, parz · z IT: съществува | z | \u003d, и || z | | | z |. В тези точки t, където z (t) \u003d 0, имаме:

Случай 1: z (t) \u003d 0. След това получаваме съществуване | z | (T) \u003d 0.

Случай 2: Z (t) \u003d 0. След това, на +0 или 0 ochiz (t +) | | z (t) | Модулът от който е равен | Z (t) |.

Чрез условие, F C 1 (0,), F 0, F, F (+0) \u003d +. Нека Z1,2 са два разтвора (1), дефинирани от (t0, t0 +). Означава z \u003d z1 z2. Ние имаме:

Да предположим, че е t1 (за определено t1 t0) такъв, че z (t1) \u003d 0. наборът a \u003d (t t1 | z (t) \u003d 0) не е празен (t0 а) и е ограничен от по-горе. Това означава, че тя има горната повърхност T1. Чрез строителство, z \u003d 0 на (, t1) и поради непрекъснатостта на z, имаме z () \u003d 0.

От лема | z | C 1 (, T1) и на този интервал отдясно | z | | z | (| Z |), така че интеграцията на софтуера (t, t1) (където t (, t1)) дава f (| z (t) |) f (| z (t1) |) t1 t. С T + 0 получаваме противоречие.

Следствие 1. Ако при условията на Peano F теорема, Lipshitsev съгласно X в b, тогава проблемът (1) има едно решение в смисъла, описан в теоремата на OSGood, тъй като в този случай () \u003d С отговаря (7) ).

Следствие 2. Ако при условията на Peaano c (b) теорема, тогава решението (1), дефинирано на int (IP), единственият.

Лема. Всяко решение (1), определено на ПР, е необходимо за задоволяване на рейтинга X | \u003d | F (t, x) | F, и нейният график - лежат в К1 и още повече в С.

Доказателства. Да предположим, че ще има T1 IP такъв, че (t, x (t)) C. За определеност, нека t1 t0. След това има t2 (t0, t1] такъв, че | х (t) x0 | \u003d R. По същия начин аргументите в доказателството на теоремата на OSCA могат да се считат за това, че T2 е най-лявата такава точка и на ние имаме (t , x (t)) c, така че | f (t, x (t)) | f, и следователно (t, x (t)) k1, който противоречи | x (t2) x0 | \u003d R. така, (t , X (t)) c на всички IP и след това (повтаряне на изчисленията) (t, x (t)) k1.

Доказателства. (Следствие 2). C е компактен MNOF, който е софтуер за Lipszytsev в C, където графиките се намират всички решения с оглед на лемата. Чрез разследване 1 получаваме желаното.

Коментар. Състояние (7) означава, че условието Lipschitz за F не може да бъде значително отслабено. Например, състоянието на Хелдер С1 вече не е подходящо. Само модулите за непрекъснатост са близки до линейни - като свързване "лошото":

Упражнението. (сложен достатъчно). Докажете, че ако отговарят (7), тогава има 1, удовлетворяваща (7) такава, че 1 / в нула.

Като цяло, не е необходимо да се изисква нещо от модула за непрекъснатост F чрез X за уникалност - възможни са различни видове специални случаи, например:

Изявление. Ако в условията на теоремата на Peano, всички 2 решения (1), дефинирани на (9), могат да се видят, че XC 1 (a, b) и след това диференциация (9) дава (1) 1 и (1). ) 2 очевидна.

За разлика от (1), за (9), естествено е да се изгради решение на затворен сегмент.

Пикар предложи за решаване (1) \u003d (9) следния метод за последователни приближения. Означават x0 (t) x0, а след това върху индуцирането на теоремата. (Cauchy Picara). Позволяваме при условията на Peano Theorem Function F Lipshitsev съгласно X във всякакъв изпъкнал от X Compact K от региона Б, т.е.

След това за всяка (T0, x0) b, задачата cauchy (1) (тя (9)) има едно решение на int (IP) и xk x On IP, където XK е дефиниран в (10).

Коментар. Ясно е, че теоремата остава сила, ако състоянието (11) се заменя с C (b), поради това условие следва (11).

Коментар за учителя. Всъщност, това не е необходимо за целия изпъкнал софтуер с X компакти, но само цилиндри, но формулировката е направена точно така, защото в § ще бъдат необходими по-общи компакти, и по-точно това е именно тази формулировка.

Доказателства. Изберете произволно (t0, x0) b и ние ще направим същото спомагателно строителство както преди теоремата на Peano. Ние доказваме чрез индукция, че всички XK се дефинират и непрекъснато на ПР и графиките лежат в K1 и още повече в C. за x0 е очевидно. Ако това е вярно за XK1, след това от (10) е ясно, че XK се дефинира и непрекъснато на IP и това принадлежи към К1.

Сега доказваме чрез въвеждане на оценка на IP:

(C е изпъкнал от x cd в b и l (c) е дефиниран за него). В k \u003d 0, това е доказана оценка (t, x1 (t)) k1. Ако (12) е вярно за k: \u003d k 1, след това от (10) имаме необходимото. По този начин, редица мамаризирани по IP конвергентни числа и следователно (това се нарича теорема на Weierstrass) равномерно на IP се сгъва до някаква функция X C (IP). Но това означава xk x на IP. След това в (10) на IP отидете на границата и получете (9) на IP и следователно (1) на int (IP).

Уникалността се получава незабавно с последица от 1 на теоремата на Osgood, но е полезно да се докаже и по друг начин да се използва уравнение (9). Да предположим, че има 2 решения x1.2 задачи (1) (т.е. (9)) на int (IP). Както бе споменато по-горе, тогава графиките непременно лежат в K1 и още повече в C. Нека t i1 \u003d (t0, t0 +), където - някакво положително число. След това \u003d 1 / (2L (с)). След това \u003d 0. Така, x1 \u003d x2 на I1.

Коментар за учителя. Все още има доказателство за уникалността с помощта на лема на Хронола, тя е още по-естествена, тъй като отнема непосредствено глобално, но докато лемата на Хронила не е много удобна, тъй като е трудно да го възприемат адекватно да го възприемат.

Коментар. Последното доказателство за уникалност е поучително в това, че отново се показва в различна светлина, тъй като местната уникалност води до глобално (което е неправилно на съществуване).

Упражнението. Докажете уникалността незабавно на всички IP, като спорехте от противника, както и в доказателството на теоремата на Osgood.

Важно частно дело (1) е линейно ODU, т.е., в която стойността f (t, x) е линейна с x:

В този случай, за да се въведат условията на обща теория, тя трябва да се изисква по този начин, в този случай, струнът излиза, и състоянието на линдзиране (и дори диференцизъм) съгласно X се изпълнява автоматично: при всички t (a, b), x, y rn имаме | f (t, x) f (t, y) | \u003d | A (t) (x Y) | | A (t) | · | (X Y) |.

Ако временно разпределите компактен (A, B), тогава ще бъде получено | F (t, x) f (t, y) | L | (x y) |, където l \u003d max | a |.

От теоремите на Peano и Osgood или Cauchy-Picar, недвусмислената възможност за проблем (13) на някакъв интервал (Peano-бране), съдържаща Т0, трябва да бъде недвусмислено. Освен това решението на този интервал е границата на последователни приближения на пикара.

Упражнението. Намерете този интервал.

Но се оказва, че в този случай всички тези резултати могат да бъдат доказани веднага в световен мащаб, т.е. за всичко (a, b):

Теорема. Нека бъде вярно (14). Тогава проблемът (13) има едно решение на (a, b) и последователните приближения на бране се сближават равномерно на всеки компактен (А, В).

Доказателства. Отново, както в TK-P, ние изграждаме решение на интегралното уравнение (9) с помощта на последователни приближения по формула (10). Но сега не е необходимо да проверяваме състоянието да влезем в конуса и цилиндъра, тъй като.

f е дефиниран изобщо x, докато t (a, b). Необходимо е само да се провери дали всички XK са дефинирани и непрекъснати (A, B), което е очевидно за индукция.

Вместо (12), сега сега ще покажем подобна оценка на видовете, където N е число в зависимост от избора. Първата индукционна стъпка за тази оценка на друга (T. K. не е свързана с K1): за k \u003d 0 | x1 (t) x0 | N Поради непрекъснатост X1 и следните стъпки са подобни (12).

Не можете да го рисувате, защото е очевидно, но отново можем да забележим XK X ON, и X е решението на съответното (10) на. Но по този начин сме изградили решение за всичко (a, b), защото изборът на компакт е произволен. Уникалността следва от теоремата на Огроуд или Косхи-Пикара (и разсъждение по-горе за глобалната уникалност).

Коментар. Както бе споменато по-горе, TC-P е официално лишаване от свобода поради наличието на теореми на Peano и Osgood, но е полезно за 3 причини - тя:

1. Позволява ви да свържете проблема с Cauchy за ODU с цялостно уравнение;

2. приканва конструктивния метод за последователни приближения;

3. Това улеснява доказването на глобалното съществуване за линейна одаус.

[Въпреки че последното може да бъде получено от мотивите § 4.] След това най-често ще го наричаме.

Пример. x \u003d x, x (0) \u003d 1. Последователно приближение означава x (t) \u003d e - решението на първоначалната задача в R.

Най-често ще бъде получен номер, но определен дизайн остава. Можете също да оцените грешката на x xk (виж).

Коментар. На Peano, Osguda, теорема и Cauchy Picar, лесно е да се получат съответните теореми за най-висок ред.

Упражнението. Формулират концепциите на проблема с Cauchy, решения на системата и задачите на Cauchy, всички теореми за най-висок ред, като използват минимизирането на системите за първи ред, посочени в § 1.

Няколко нарушават логиката на курса, но с цел по-добра асимилация и обосновка на методите за решаване на проблеми в практическите класове, временно прекъсваме представянето на общата теория и ще се справим с техническия проблем на "Изричното решение на. \\ T Odu ".

§ 3. Някои техники за интеграция така, помислете за скаларното уравнение \u003d F (t, x). Продължи стъпките на частно случай, който се научил да интегрира, е така наречен. URP, т.е. уравнение, в което f (t, x) \u003d a (t) b (x). Официалният метод за интегриране на URP е да "разделят" променливите t и x (следователно името): \u003d a (t) dt, след което се вземат интеграл:

chim x \u003d b (a (t)). Такава формална мотиви съдържа няколко точки, изискващи оправдание.

1. Решение за Б (x). Ние вярваме, че f е непрекъснато, така че c (,), b c (,), т.е. правоъгълникът е издал () () (,)(Общо казано, безкрайно). Комплекти (B (x) 0) и (b (x) 0) отворени и следователно са крайни или брояни набори от интервали. Между тези интервали има точки или сегменти, където b \u003d 0. Ако b (x0) \u003d 0, тогава задачата на Cauchy има решение x x0. Може би това решение не е единственото, след това в областта на дефиницията му има интервали, където b (x (t)) \u003d 0, но след това може да бъде разделен на b (x (t)). Ние едновременно забелязваме, че на тези интервали функцията B monotonne и следователно може да бъде взета b 1. ако b (x0) \u003d 0, след това в квартала на t0 съзнателно b (x (t) \u003d 0 и процедурата е законна. По този начин описаната процедура трябва, като цяло, да се прилага при разделяне на зоната за определяне на разтвора от страна.

2. Интегриране на лявата и дясната част според различни променливи.

Метод I. Да искаме да намерим решението на KDD (t) задача (1) x \u003d (t). Ние имаме: \u003d a (t) b ((t)), откъдето са получили една и съща формула стриктно.

Метод II. Уравнението се нарича така. Симетричен запис на оригиналния ODU, т.е., при който не е посочен, коя променлива е независима и която зависи. Тази форма има смисъл само в случая с едно от разглежданото уравнение от първо поръчка поради теорема върху инвариантността на формата на първия диференциал.

Целесъобразно е да се разбере по-подробно с концепцията за диференциал, илюстрирайки го с пример за равнина ((t, x)), криви върху него, възникващи връзки, степени на свобода, параметър на кривата.

По този начин уравнението (2) свързва разликите t и x по желания IR. Тогава интегрирането на уравнение (2) в метода, показано в началото, е напълно законно - това означава, че ако искате, интегриране на всяка променлива избрана като независима.

В метода I, ние показахме това, като избираме като независима променлива t. Сега ще покажем това, като изберем параметъра S като независима променлива по IR (тъй като това е по-ясно показано от равенството T и X). Нека стойността s \u003d s0 съответства на точката (t0, x0).

След това имаме: \u003d a (t (s)) t (s) ds, че след това му дава, за да се подчертае гъвкавостта на симетричен запис, пример: кръг не се записва или x (t), нито пък като t (x), но като x (s), t (s).

Някои други ODU от първия ред са сведени до URPS, които могат да се видят при решаване на задачи (например в дадена задача).

Друг важен случай е линеен код:

Метод I. Вариант до постоянен.

това е специален случай на по-общ подход, който ще бъде разгледан в част 2. Значението е, че търсенето на решения в специална форма намалява реда на уравнението.

Първо трябва да бъда така наречен. Уравнение:

Благодарение на уникалността или x 0, или навсякъде x \u003d 0. в последния случай (нека да даде това (4), тя дава всички разтвори (3) 0 (включително нула и отрицателно).

Във формула (4) има произволна константа С1.

Методът на изменение е постоянен, състоящ се от това, че разтворът (3) С1 (t) \u003d С0 + е видим (както при алгебрични линейни системи) структурата на ORNA \u003d CHRN + OROU (около нея по-подробно в част 2).

Ако искаме да решим задачата на cauchy x (t0) \u003d x0, тогава трябва да намерите c0 от данните за Cauchy - лесно получаване на C0 \u003d x0.

Метод II. Ще ги намерим, т.е. такава функция V, към която трябва да се размножават (3) (записан така, че всички неизвестни са сглобени в лявата страна: xa (t) x \u003d b (t)), така че производно да е така получени от някаква удобна комбинация.

Ние имаме: vx vax \u003d (vx) ако v \u003d AV, т.е. (такова уравнение, (3) е еквивалентно на уравнение, което вече е лесно решено и дава (5). Ако задачата на Cauchy е решена, след това в (6) е удобно незабавно да се предприемат специфични интегрални до линейни ODU (3) Някои други са намалени, както може да се види при решаване на проблеми (например в дадена задача). Ще се разглежда по-важен случай на линеен odus (незабавно за всеки н) в) част 2.

И двете от разглежданите ситуации са специален случай. PED. Помислете за първата поръчка ODU (с n \u003d 1) в симетрична форма:

Както е споменато, (7) определя IR в равнината (t, x) без изясняване коя променлива се счита за независима.

Ако се размножават (7) на произволна функция m (t, x), ще бъде получена еквивалентната форма на запис на същото уравнение:

Така същото нещо има много симетрични записи. Сред тях се играе специална роля. Вписванията в пълни разлики, името на UPD е неуспешно, тъй като това свойство не е уравнение, но формите на неговия запис, т.е. такава, че лявата част (7) е равна на DF (t, x) с някои F.

Ясно е, че (7) има up и само ако a \u003d ft, b \u003d fx с някои F., както е известно от анализа, е необходимо за последния и ние не оправдават строго технически моменти, за Пример, гладкост на всички функции. Факт е, че § играе незначителна роля - обикновено не е необходима за други части на курса и не бих искал да изразходват прекомерни усилия за разгръщането му.

По този начин, ако (9) се извършва, тогава има такъв f (той е уникален с точност на добавката константа), която (7) пренаписване под формата на DF (t, x) \u003d 0 (по IC), т.е.

F (t, x) \u003d const по IR, т.е. IR същност на линията на нивото на функцията F. Получаваме, че интегрирането на UDD е тривиална задача, тъй като търсенето f чрез A и B, удовлетворяващо (9) не е такава (9) труден. Ако (9) не е изпълнено, тя трябва да бъде намерена така наречена. Той е m (t, x) такъв, че (8) е актуализацията, за която е необходима и достатъчно, за да се извърши аналог (9), който приема формата:

Както следва от теорията на UCH от първия ред (който разглеждаме в част 3), уравнението (10) винаги има решение, така че те съществуват. Така, всяко уравнение на формуляра (7) има вписване под формата на UPD и следователно позволява "изрична" интеграция. Но тези аргументи не дават конструктивен метод в общия случай, тъй като да решават (10) общо казано, е необходимо да се намери решение (7), което търсим. Въпреки това има редица техники за търсене на тях, които традиционно се считат за практическо обучение (вж. Например).

Обърнете внимание, че горните техники за решението на URP и линейната ODU са специален случай на идеология.

Всъщност URP DX / DT \u003d A (t) b (x), записан в симетрична форма DX \u003d A (t) b (x) dt, се решава чрез умножаване на 1 / b (x), тъй като след това Включва в DX / B (x) \u003d a (t) dt и т.н. dB (x) \u003d da (t). Линейно уравнение DX / DT \u003d A (t) X + B (t), записано в симетрична форма Dx A (t) XDT B (t) DT, се решава чрез умножаване на тях, почти всички методи за решаване на ODU "изрично"

(С изключение на голям блок, свързан с линейни системи), това е с помощта на специални методи за понижаване на променливите за поръчка и подмяна, те се свеждат до първия ред, които след това се свеждат до UPD, и те са решен чрез използването на основната диференциална теорема за изчисляване: DF \u003d 0 F \u003d const. Въпросът за намаляване на заповедта е традиционно включен в хода на практическото обучение (вж. Например).

Да кажем няколко думи за първия ред на първата поръчка, които не са разрешени по отношение на деривата:

Както е споменато в § 1, можете да се опитате да разрешите (11) спрямо x и да получите нормална форма, но не винаги е подходяща. Често е по-удобно да се реши (11) директно.

Помислете за пространството ((t, x, p)), където p \u003d x временно се счита за независима променлива. След това (11) определя повърхността в това пространство (F (t, x, p) \u003d 0), което може да бъде написано параметрично:

Полезно е да запомните какво означава, например, с помощта на сфера в R3.

Желаните разтвори ще съответстват на кривите на тази повърхност: t \u003d s, x \u003d x (s), p \u003d x (s) - една степен на свобода се губи, защото има връзка DX \u003d PDT за решения. Ние пишем тази връзка по отношение на параметрите на повърхността (12): gu du + gv dv \u003d h (fudu + fv dv), т.е.

По този начин желаните разтвори съответстват на кривите на повърхността (12), при които параметрите са свързани чрез уравнение (13). Последното е ода в симетрична форма, която може да бъде решена.

Случай I. Ако в някаква област (GU HFU) \u003d 0, след това (12) след това t \u003d f ((v), v), x \u003d g (v), v) дава параметрично запис на желаните криви в. \\ T равнина (t, x)) (т.е. ние проектираме на този самолет, тъй като не се нуждаем).

Случай II. По същия начин, ако (GV HFV) \u003d 0.

Случай III. В едно и също време, GU HFU \u003d GV HFV \u003d 0. Това изисква отделен анализ, независимо дали е много решения (те след това се наричат \u200b\u200bспециални).

Пример. Уравнение Clero X \u003d TX + X 2. Ние имаме:

x \u003d tp + p2. Параметризирайте тази повърхност: t \u003d u, p \u003d v, x \u003d uv + v 2. уравнение (13) ще вземе формата (U + 2V) DV \u003d 0.

Случай I. не е изпълнен.

Случай II. U + 2V \u003d 0, след това DV \u003d 0, т.е. v \u003d c \u003d const.

Така, t \u003d u, x \u003d cu + c 2 - параметрично IR запис.

Лесно го изгорете в ясна форма X \u003d CT + C2.

Случай III. U + 2V \u003d 0, т.е. v \u003d U / 2. Така че, t \u003d u, x \u003d u2 / 4 - параметричният запис на "кандидата в IR".

За да проверите дали е IR, пишем я изрично x \u003d t2 / 4. Оказа се, че това е (специално) решение.

Упражнението. Докажете, че специално решение се отнася до всички останали.

Това е често срещан факт - графикът на всяко специално решение е обвивката на семейството на всички други решения. Това се основава на друго определение на специално решение именно като плик (виж).

Упражнението. За да се докаже, че за по-общо клирово уравнение x \u003d tx (x) с изпъкнала функция, се разглежда определено решение x \u003d (t), където - превръщането на тока от, т.е. \u003d () 1, или (t) \u003d max (tv (v)). По същия начин, за уравнението x \u003d tx + (x).

Коментар. Прочетете повече и внимателно съдържанието § 3 е посочено в учебника.

Коментар за учителя. При четене на хода на лекциите може да бъде полезно да се разшири § 3, като му дава по-строга форма.

Сега обратно към основното платно на курса, продължавайки представянето започна в §§§§§.

§ 4. Глобална възможност за проблема с Cauchy в § 2 Доказахме местното съществуване на решението на проблема с Cauchy, т.е. само на определен интервал, съдържащ точка T0.

С някои допълнителни предположения за F, ние също доказахме уникалността на решението, като го разбират като съвпадение на две решения, определени в същия интервал. Ако F е линейна с х, се получава глобално съществуване, т.е. през целия интервал, където коефициентите на уравнението (системата) са определени и непрекъснати. Въпреки това, като опит за използване към линейната система на обща теория, интервалът на Peano-бране е по-малък, отколкото на който може да бъде конструиран разтворът. Възникват естествени въпроси:

1. Как да определите максималния интервал, върху който трябва да бъде одобрен решението (1)?

2. Този интервал винаги съвпада с максималния, на който правилната част (1) 1 има смисъл?

3. Как да формулирате концепцията за уникалността на решението без резерви за интервала на неговото определение?

Отговорът на под въпрос 2 като цяло говорещ отрицателен (или по-скоро изисква голяма точност), казва следният пример. x \u003d x2, x (0) \u003d x0. Ако x0 \u003d 0, след това x 0 - няма други решения на теоремата на OSGood. Ако x0 \u003d 0, тогава решаваме да направим снимка). Интервалът на съществуването на разтвора не може да бъде по-голям от (1 / x0) или (1 / x0, +), съответно, с x0 0 и x0 0 (вторият клон на хиперболите не е свързан с решението! - това е типична грешка на учениците). На пръв поглед нищо в първоначалната задача "не предвижда такъв резултат". В § 4 ще намерим обяснение за това явление.

При примера на уравнението X \u003d T2 + X2 се проявява типична грешка на учениците на интервала на разтвора. Тук фактът, че "уравнението се определя навсякъде", изобщо не води до непрекъснатост на решението за целия пряк. Това е ясно дори от чисто ежедневна гледна точка, например във връзка с юридическите закони и процеси, които се развиват под тях: вещно право, очевидно не е предписано прекратяването на съществуването на компания през 2015 г., това не означава това Компанията няма да продължи правила за тази година. По вътрешни причини (макар и в сила в закона).

За да отговарят на въпроси 1-3 (и дори да ги формулират ясно), е необходимо концепцията за кратко решение. Ние ще (както се съгласихме по-горе) разглеждане на решения на уравнение (1) 1 като двойка (, (tl (), tr ())).

Определение. Разтвор (, (tl (), tr ())) има продължаване на разтвора ((tl (), tr ())), ако (tl (), tr ()) (tl (), tr ( )) и | (tl (), tr ()) \u003d.

Определение. Решение (, (tl (), tr ())) - кратко, ако няма нетривиално (т.е. различно от това) продължение. (Виж примера по-горе).

Ясно е, че това е специфична стойност и в техните термини е необходимо да се докаже съществуването и уникалността. Има естествен въпрос - мога ли да изградя HP, въз основа на местно решение, или на задачата Cauchy? Оказва се да. За да разберем това, ние въвеждаме концепциите:

Определение. Набор от разтвори (((tl (), tr ())))))) е последователно, ако има такива 2 разтвори от този комплект, които съвпадат с пресечната точка на интервалите на тяхното определение.

Определение. Последователен набор от решения се нарича максимум, ако не може да се добави друго решение към него, така че новият комплект да е последователен и да съдържа нови точки в съчетаването на зони за определяне на решения.

Ясно е, че изграждането на MNN е еквивалентно на изграждането на HP, а именно:

1. Ако има HP, тогава всеки MNN, който е съдържащ, може да бъде само набор от нейните текове.

Упражнението. Проверете.

2. Ако има MNN, тогава HP (, (T, T +)) е изграден като:

поставете (t) \u003d (t), където - всеки елемент на ENN, определен в този момент. Очевидно е, че такава функция ще бъде уникално дефинирана на всичко (t, t +) (недмията следва от последователността на набора) и съвпада във всяка точка с всички елементи на ENN, определени в този момент. За всеки t (t, t +) има някакъв вид дефиниран в него, и следователно в околността му, и така нататък. В този квартал има решение (1) 1, тогава - също. Така, има решение (1) 1 на всичко (t, t +). Това е кратко, тъй като в противен случай нестрия продължаването може да бъде добавено към МНН против неговата максималнаност.

Изграждане на проблема с MNH (1) в общия случай (при условията на теоремата на Peano), когато няма местна уникалност, е възможно (виж,), но доста тромаво - тя се основава на стъпка по стъпка Теоремата на Peano с оценка на долната част на интервала. Така, HP винаги съществува. Оправдаваме това само в случая, когато има местна уникалност, тогава изграждането на MNN (и следователно HP) е тривиално. Например, за определеност, ние ще действаме в рамките на TC-P.

Теорема. Нека се извършват TK-P условията в региона B RN + 1. След това за всеки (t0, x0) b, проблемът (1) има един HP.

Доказателства. Помислете за набора от всички решения на проблем (1) (той не е празен от TK-P). Той представлява MNN - последователен поради местната уникалност, а максималът поради факта, че това е много от всички решения на проблема с Cauchy. Така че HP съществува. Това е единственият за местната уникалност.

Ако искате да изградите HP въз основа на съществуващото местно решение (1) 1 (а не задачата на Cauchy), този проблем в случай на местна уникалност се свежда до задачата на Cauchy: трябва да изберете никаква точка на на разположение и обмисля съответната задача на Cauchy. HP на тази задача ще бъде продължение на първоначалното решение поради уникалност. Ако няма уникалност, продължаването на дадено решение се извършва по реда, посочен по-горе.

Коментар. HP не може да бъде посветена в края на интервала на съществуването му (независимо от състоянието на уникалността), така че да е решение и в крайни точки. За да оправдае, е необходимо да се изясни, че разбирането на решението на ODU в края на сегмента: \\ t

1. Подход 1. Позволявам се в Решение (1) 1 върху сегмента, разбира се като функция, която отговаря на уравнението в краищата в смисъла на едностранно дериват. След това възможността за определеното обезсърчаване на някакво решение, например в десния край на интервала на неговото съществуване (t, t +] означава, че IR има крайна точка вътре в В и С1 (t, t +]. Но след това решавайки задачата cauchy x (t +) за (1) и намиране на неговото решение, ние получаваме, за десния край t + (в точка T + съществуват едностранни деривати и са равни на f ( T +, (t +)), което означава, че има общо производно), т.е. не е било hp.

2. Подход 2. Ако под решението (1) 1 върху сегмента се разбира като функция, само непрекъснато в краищата, но такава, че краищата на IR лежат в b (дори ако уравнението не се изисква) - Оказва се, че е същото разсъждение само по отношение на съответното интегрирано уравнение (виж подробности).

Така, незабавно ограничено до отворени интервали като набори от определение на решенията, ние не нарушихме Общността (и само избягвах ненужния венец с едностранни деривати и др.).

В резултат на това отговорихме на въпроса 3, доставен в началото на § 4: при извършване на състоянието на уникалността (например, Osgood или Cauchy-Picara), се осъществява уникалността на HP решаването на проблема с Cauchy. Ако състоянието на уникалността е счупено, тогава може да има много задачи на HP Cauchy, всеки с неговия интервал на съществуване. Всяко решение (1) (или просто (1) 1) може да бъде продължено до HP.

За да отговорите на въпроси 1.2, е необходимо да не се помислите поотделно, а поведението на IC в пространството RN + 1. По въпроса как се държи IR "близо до краищата", ще отбележим, че интервалът на съществуване свършва, а IR не може да ги има (краят на IR в B винаги не съществува - вижте забележката по-горе, но може да не съществуват B - виж по-долу).

Теорема. (За напускане на компактния).

ние го формулираме в условия на местна уникалност, но това не е непременно - виж, TPK е формулиран като критерий на HP.

В условията на ТС-Р, диаграма на всяко уравнение на HP (1) 1 оставя всеки компактен k b, т.е. k b (t, t +): (t, (t)) k с t.

Пример. K \u003d (((t, x) b | ((t, x), б)).

Коментар. По този начин, IR Nr близо до t ± приближава се b: ((t, (t)), b) 0 при t t ± - процесът на продължаване на разтвора не може да се пробие стриктно в Б.

положително, тук като упражнение е полезно да се докаже позитивността между не унищожаваните затворени множество комплекти, една от които е компактна.

Доказателства. Fix k B. Вземете всеки 0 (0, (k, b)). Ако b \u003d rn + 1, след това по дефиниция считаме (k, b) \u003d +. Комплектът k1 \u003d (((((t, x) | ((t, x), k) 0/2) има и компактен в b, така че има f \u003d max | f |. Изберете числата T и R Dok са постоянно малки, така че всеки цилиндър от формата например е достатъчно да се вземе T2 + R2 2/4. Тогава задачата на Cauchy Type има разтвор на TC-P разтвор на интервала, който не е вече, отколкото (t t0, t + t0), където t0 \u003d min (t, r / f) за всички (t, x) k .

Сега като желания сегмент може да се вземе \u003d. Всъщност е необходимо да се покаже, че ако (t, (t)) k, след това t + t0 t + t0. Ще покажем например второто неравенство. Решението на проблема с Cauchy (2) с X \u003d (t) съществува вдясно до точката t + t0, но HP на същия проблем, който с оглед на уникалността има продължаване, следователно t + T0 t +.

Така диаграмата на HP винаги "достига Б", така че интервалът на съществуването на HP зависи от геометрията на IR.

Например:

Изявление. (A, B) RN (интервалът или безкраен), F отговаря на условията на TK-P в B, е проблем с HP (1) с T0 (A, B). След това или t + \u003d b, или | (t) | + при Т + (и подобно на t).

Доказателства. Така че, нека t + b, тогава t + +.

Помислете за компактния K \u003d B B. с всяко R + според TPK, има (R) t + такова, че при t (((r), t +) точка (t, (t)) k., но тъй като t +, тогава е възможно само за сметка | (t) | R. но това означава | (t) | + при t +.

В този конкретен случай виждаме, че ако F е дефиниран "с всички х", интервалът на НР съществуването може да бъде по-малък от възможно най-малък (a, б) само поради желанието на HP чрез подхода към краищата на. Интервалът (t, t +) (по принцип - до границата б).

Упражнението. За да обобщим последното изявление в случай, когато b \u003d (a, b), където RN е произволна област.

Коментар. Необходимо е да се разбере това | (t) | + не означава никакво k (t).

По този начин ние отговорихме на въпрос 2 (вж. Пример в началото § 4): IR идва в b, но неговата проекция на ос t може да не достигне краищата на проекцията Б на оста Т. Въпросът остава 1 - Има ли някакви признаци, за които, без решаване на ODU, може да се прецени за възможността за продължаване на решението за "широк спектър от интервал"? Знаем, че за линейната ODUS това продължава винаги е възможно и в примера в началото на § 4 е невъзможно.

Помислете първо, за да илюстрирате специалния случай на URP при n \u003d 1:

конвергенцията на несъвместимите интегрални H (S) DS (несъвместима с изглед \u003d + или поради характеристиките Н в точката) не зависи от избора (,). Ето защо, нека просто да напишем h (s) ds, когато става въпрос за сближаване или дивергенция на този интеграл.

това може да се направи вече в теоремата на Osguda и в свързаните твърдения.

Изявление. Нека c (,), b c (+) да бъде положително на техните интервали. Нека проблемът с Cauchy (където t0 (,), x0) има HP x \u003d x (t) на интервала (t, t +) (). Тогава:

Следствие. Ако a \u003d 1, \u003d +, след това t + \u003d + доказателство. (Одобрение). Имайте предвид, че X монотонно се увеличава.

Упражнението. Докажи.

Следователно има x (t +) \u003d lim x (t) +. Имаме случай 1. t +, x (t +) + е невъзможно на TPK, тъй като X е HP.

И двете интегрални или безкрайни.

Упражнението. Завърши доказателство.

Обосновка за учителя. В крайна сметка, ние получаваме, че в случая на 3: a (s) ds + и в случая 4 (ако това обикновено се прилага) същото.

Така за най-простия ODUS при N \u003d 1 на вида X \u003d F (x) непрекъснатостта на решенията се определя по-подробно за структурата на решенията (така наречените.

автономни) уравнения виж част 3.

Пример. За F (x) \u003d x, 1 (по-специално линейният случай \u003d 1) и f (x) \u003d x ln x, можете да гарантирате непрекъснатостта на (положителни) решения до +. За F (x) \u003d x и f (x) \u003d x ln x, с 1 разтвори, "унищожени от последното време".

Като цяло, ситуацията се определя от много фактори и не е толкова просто, но значението на "темпът на растеж F от X остава значението. За N 1 формулират критериите за продължаване са трудни, но съществуват достатъчно условия. Като правило те се стремят с помощта на т.нар. априори оценки на решения.

Определение. Нека h c (,), h 0. Казва се, че за някои нечетни, има Ao | x (t) | h (t) на (,), ако всяко решение на тази озда отговаря на тази оценка от страна на интервала (,), когато се определя (т.е. не се приема, че решенията са задължително дефинирани през целия интервал () \\ t ).

Но се оказва, че наличието на AO гарантира, че решенията все още ще бъдат дефинирани на всички (, и следователно отговарят на оценката през целия интервал), така че оценката за априори се превръща в posteriori:

Теорема. Нека проблемът на Cauchy (1) отговаря на условията на TK-P, а за неговите решения има Ao на интервала () с някои HC (,) и криволинеен цилиндър (| x | h (t), t ( ,)) b. тогава HP (1) е дефиниран на всички (,) (и следователно отговаря на АД).

Доказателства. Доказваме, че t + (t е подобен). Да предположим t +. Помислете за компактния k \u003d (| x | h (t), t) b. Според TPK в T t +, точката на графиката (t, x (t)) оставя k, което е невъзможно поради АД.

По този начин, за да се докаже непрекъснатостта на решението за някакъв интервал, е достатъчно официално да се оцени решението на целия необходим интервал.

Аналогия: Измерваемостта на Leb функцията и формалната оценка на интеграла приписва действителното съществуване на интеграла.

Нека дадем някои примери за ситуации, както работи тази логика. Нека започнем с илюстрацията на гореспоменатата теза на "растежа f с достатъчно бавно".

Изявление. Нека b \u003d (,) rn, f отговарят на условията на tk-p в b, | f (t, x) | A (t) b (| x |), където a и b отговарят на условията на предишното одобрение c \u003d 0, и \u003d +. След това проблемът с HP (1) съществува на (,) във всички t0 (,), x0 rn.

Лема. Ако е непрекъснато, (t0) (t0); С доказателство. Обърнете внимание, че в околностите (t0, t0 +): if (t0) (t0), тогава това е веднага очевидно, и по друг начин (ако (t0) \u003d (t0) \u003d 0) има (t0) \u003d g (t0, 0) (T0), което отново дава необходимото.

Да предположим сега, че има T1 T0 такъв, че (t1). Очевидно разсъждение може да бъде намерено (t1) t2 (t0, t1] такова, че (t2) \u003d (t2) и на (t0, t2). Но след това в точката t2 имаме \u003d, - противоречие.

g Всички, и наистина имате нужда само от C, и навсякъде, където \u003d, там. Но за да не се отбелязва главата, помислете като в лема. Тук е строго неравенство, но не е линейно оду, и все още се нарича така.

Коментар за учителя. Неравенствата от този вид като в лемата се наричат \u200b\u200bнеравенства в хапълника (LF). Лесно е да се види, че в лемата не е имало уникалност, така че такъв "строг LF" е вярно и в рамките на теоремата на Peano. "Не-силна LF" очевидно е погрешна без уникалност, тъй като равенството е специален случай на не-строго неравенство. И накрая, "не-инсулт" като част от състоянието на уникалността е вярно, но е възможно да се докаже само локално - с помощта на нея.

Доказателства. (Одобрение). Доказваме, че t + \u003d (t \u003d е подобен). Да предположим t +, след това според одобрението по-горе | x (t) | + при t t +, така че може да се счита за x \u003d 0 до. Ако докажем АД | x | H за) (топка за удобство е затворена).

Задачата на Cauchy X (0) \u003d 0 има единствения HP X \u003d 0 на R.

Ние посочваме достатъчно състояние на F, при което съществуването на HP на R + може да бъде гарантирано на всички достатъчно малки x0 \u003d x (0). Да се \u200b\u200bнаправи това, да предположим, че (4) има така наречените. Функция Ляпунова, т.е. такава функция V, която:

1. V с 1 (b (0, R));

2. SGNV (x) \u003d SGN | x |;

Проверете изпълнението на условията А и Б:

A. Разгледайте задачата на Cauchy, където | x1 | R / 2. Ние изграждаме цилиндъра B \u003d R B (0, R) е полето на определяне на функцията F, където е ограничено и клас С1, така че има f \u003d max | f |. Съгласно ТС-Р, има разтвор (5), определен на интервала (T1 T0, T1 + T0), където t0 \u003d min (t, r / (2f)). Изборът на достатъчно голям t може да бъде постигнат T0 \u003d R / (2F). Важно е T0 да не зависи от избора (t1, x1), просто | x1 | R / 2.

Б. Докато решението (5) се определя и остава в топка B (0, R), можем да извършим следните мотиви. Ние имаме:

V (x (t)) \u003d F (x (t)) · v (x (t)) 0, т.е. V (x (t)) v (x1) m (R) \u003d max v (y). Ясно е, че m и m не намаляват, Incredia | R frivans in Zero, m (0) \u003d m (0) \u003d 0 и външна нула те са положителни. Следователно, има R 0, така че m (r) m (r / 2). Ако | x1 | R, след това V (x (t)) v (x1) m (R) m (r / 2), от където | x (t) | R / 2. Имайте предвид, че R / 2.

Сега можем да формулираме теорема, че от pp. A, B показва глобалното съществуване на решения (4):

Теорема. Ако (4) има функция на Ляпунов в b (0, R), след това при всички X0b (0, R) (където R е дефиниран по-горе) HP Cauchy Task X (T0) \u003d x0 за система (4) (с всички T0) дефиниран до +.

Доказателства. Благодарение на P. a, разтворът може да бъде конструиран върху, където t1 \u003d t0 + t0 / 2. Това решение е в B (0, R) и за използване на параграф B, така че | x (t1) | R / 2. Ние отново се прилагаме към n. А и получаваме разтвор, където t2 \u003d t1 + t0 / 2, т.е. сега решението е изградено. Към това решение, приложите параграф B и получавате | x (t2) | R / 2 и т.н. За броя на стъпките, получаваме решение на § 5. Зависимостта на решенията на ODU от разглеждане на задачата на Cauchy, където RK. Ако в някои, t0 (), x0 () тази задача на cauchy има HP, тогава е x (t). Възниква въпросът: Как да изучаваме зависимостта x от? Този въпрос е важен за различни приложения (и ще възникне особено в част 3), една от които (въпреки че не е най-важното) е приблизително решение на ODU.

Пример. Помислете за задачата на Cauchy. Неговият HP съществува и е единственият, както следва от TC-P, но е невъзможно да се изрази в елементарни функции. Как тогава да изследвате неговите свойства? Един от начините: Обърнете внимание, че (2) "затворете" към проблема Y \u003d Y, Y (0) \u003d 1, състоянието на което лесно се намира: Y (t) \u003d et. Може да се приеме, че X (t) Y (t) \u003d et. Тази идея се отчита: помислете за проблема при \u003d 1/100 това (2) и AT \u003d 0 е задача за Y. Ако докажем, че x \u003d x (t,) е непрекъснато (в определен смисъл), получаваме това x (t,) y (t) при 0, и това означава x (t, 1/100) y (t ) \u003d Et.

Вярно е, че остава неясно колко близо X на Y, но доказателството за непрекъснатост на X софтуера е първата необходима стъпка, без която е невъзможно да се насърчи допълнително.

По същия начин е полезно и проучване в зависимост от параметрите в първоначалните данни. Както ще видим по-късно, тази зависимост лесно намалява до параметъра на параметъра в дясната част на уравнението, така че все още ние все още се ограничаваме до задачата на формата да бъде fc (d), където D е регионът в RN + К + 1; F lipszytseva с x във всякакъв изпъкнал на x компактен от D (например, достатъчно C (d)). Fix (t0, x0). Означава m \u003d rk | (T0, x0,) d е множество допустими (в коя задача (4) има смисъл). Обърнете внимание, че m е отворен. Ние ще приемем, че (t0, x0) е избран така, че m \u003d. Според TK-P, за всички m, има един NR проблем (4) - функцията x \u003d (t), определена на интервала t (t (), t + ()).

Строго говорейки, защото зависи от много променливи, трябва да записвате (4), така че:

където (5) 1 се прави на SET G \u003d ((t,) | m, t (t (), t + ())). Въпреки това, разликата между иконите d / dt и / t е чисто психологическа (тяхната употреба зависи от една и съща психологическа концепция за "фиксиране"). По този начин, наборът G е естествен максимален определящ дефиниция на функцията, а въпросът за приемственост следва да бъде разследван върху G.

Ще се нуждаем от спомагателен резултат:

Лема. (Holonolla). Нека функцията C, 0, удовлетворява оценката за всички Т. Тогава, забележката е вярна за учителя. Когато четете лекция, не можете да помните тази формула предварително, но оставете място и след изхода да влезете.

Но след това запазете тази формула, тъй като тя ще бъде необходима в тон.

h \u003d A + B AH + B, откъдето получавате желаното.

Значението на тази лема: диференциално уравнение и неравенство, връзката между тях, интегралното уравнение и неравенство, връзката между тях от всички, диференциалната и интегралната лема на Грънъл и връзката между тях.

Коментар. Можете да докажете тази лема и с по-общи предположения за, a и b, но все още не е необходимо за нас и ще стане в курса на UMF (така че е лесно да се види, че ние не използваме приемственост A и B и т.н.).

Сега сме готови да формулираме ясно резултата:

Теорема. (Тонове) с предположенията на F и в нотацията на въведеното по-горе може да се твърди, че G е отворен и c (g).

Коментар. Ясно е, че наборът m обикновено не е свързан, така че G може да не е свързан.

Коментар за учителя. Въпреки това, ако бяхме включени (T0, x0) в броя на параметрите, свързаността ще бъде направена така.

Доказателства. Нека (t,) Г. трябва да докаже, че: \\ t

Да предположим за определена стойност t0. Ние имаме: m, така че (t,) е дефиниран от (t (), t + ()) t, t0 и следователно на някакъв сегмент, така че t точка (t, (t,),) да работи компактна крива d (паралелен хиперплан (\u003d 0)). Така че много от дефиницията на типа трябва да се държи преди очите ви постоянно!

също така има компактен в D с достатъчно малък a и b (изпъкнал от x), така че функцията f lipshitsev е на x:

[Тази оценка трябва да се съхранява преди очите постоянно! ] и равномерно непрекъснато на всички променливи, и още повече | F (t, x, 1) f (t, x, 2) | (| 12 |), (t, x, 1), (t, x, 2).

[Тази оценка трябва да се съхранява преди очите постоянно! ] Помислете за произволно 1 такова, че | 1 | BI съответното решение (t, 1). Комплектът (\u003d 1) е компактен в d (\u003d 1) и при t \u003d t0, точката (t, (t, 1), 1) \u003d (t0, x0, 1) \u003d (t0, (t0, \\ t ), 1) (\u003d 1) и според TPK при Tt + (1), точката (t, (t, 1), 1) листа (\u003d 1). Нека T2 T0 е (T2 t + (1)) е първата стойност, на която идва посочената точка.

Чрез строителство, T2 (t0, t1]. Нашата задача ще покаже, че T2 \u003d T1 с допълнителни ограничения. Нека сега t3. Имат (с всички такива Т3 всички стойности се използват допълнително определени от строителството):

(T3, 1) (t3,) \u003d f (t, (t, 1), 1) f (t, (t,),) dt, нека се опитаме да докажем, че тази стойност е по-малка от a.

къде е интегрираната функция, оценена, както следва:

± F (t, (t,),), и не ± f (t, (t,),), защото на разликата | (t, 1) (t,) | Засега няма рейтинг, така че (t, (t, 1),) е неясно, но за | 1 | Има и (t, (t), 1) е известно.

така в края | (t3, 1) (t3,) | K | (t, 1) (t) | + (| 1 |) dt.

Така функцията (T3) \u003d | (t3, 1) (t3,) | (Това е непрекъсната функция) отговаря на условията на гроналеклета с a (s) k 0, b (s) (| 1 |), t \u003d t2, \u003d 0, така че ние се разбираме по тази лема [тази оценка, от която се нуждаете да се държи пред очите си! ] Ако вземете | 1 | 1 (t1). Предполагаме, че 1 (t1) b. Всички наши аргументи са верни за всички t3.

Така с такъв избор 1, когато T3 \u003d T2 обаче | (t2, 1) (t2,) | А, както и | 1 | б. Така че, (t2, (t2, 1), 1) е възможно само поради факта, че t2 \u003d t1. Но това по-специално означава, че (т, 1) се дефинира на целия сегмент, т.е. t1 t + (1) и всички точки на формата (t, 1) g, ако t, | 1 | 1 (t1).

Това е, въпреки че t + зависи от, но сегментът остава ляво t + () със, тясно близко до. Фигурата е подобна на T0, е показана съществуването на числа T4 T0 и 2 (T4). Ако t0, тогава точката (t) b (1) g е подобна на t t0 и ако t \u003d t0, тогава и двата случая са приложими, така че (t0,) b (, 3) g, където 3 \u003d min (12). Важно е с фиксиран (t) може да се намери t1 (t), така че t1 t 0 (или съответно t4) и 1 (t1) \u003d 1 (t,) 0 (или съответно 2), така че да се избере 0 \u003d 0 (t,) е чист (t. В получения цилиндричен квартал можете да влезете в топката).

всъщност бе доказан по-фин имот: ако HP се определя на определен сегмент, тогава той определя всички HP с достатъчно близки параметри (т.е.

всички малки възмутени HP). Обаче, напротив, този имот следва от откритостта g, както ще бъде показано по-долу, така че те са еквивалентни формулировки.

Така се оказахме 1.

Ако сме в посочения цилиндър в пространството, тогава рейтингът е истина | 1 | 4 (, t). В същото време | (t3,) (t,) | в | t3 t | 5 (, t,) поради непрекъснатост от t. В резултат на (t3, 1) b ((t,), ние имаме | (t3, 1) (t,) |, къде \u003d min (4, 5). Това е параграф 2.

"Министерство на образованието и науката на Руската федерация Федерална държавна бюджетна образователна институция по висше професионално образование Държавен университет в Управителния институт за подготовка на научно-педагогически и научен персонал на уводни тестове за специална дисциплина Социология на управлението Москва - 2014 1. Организация- Методически инструкции Тази програма е фокусирана върху подготовката за въвеждане на встъпителни тестове в дипломирането ... "

"Държавен университет" Амур "на катедрата по психология и педагогическа образователна и методична сложна дисциплина Консултативна психология на основната образователна програма по посока на бакалавърска степен 030300.62 Психология Благовешхенск 2012 UMCD е разгледан и препоръча на срещата на катедрата по психология и протокола на педагогиката. .. "

"Автомобилна ферма) Omsk - 2009 3 Федерална агенция за образование Gou VPO Сибирската държавна автомобилна и пътна академия (Sibadi) Катедра" Инженеринг Педагогически методически указания за изследване на педагогически технологии за студенти по специалност 050501 - професионално обучение (автомобили и автомобилостроене. .. "

"Серия научен съд Г.С. Ровсенберг, F.N. Ryansky Теоретичен и приложен екологичен урок, препоръчан от методологическата асоциация за класическото университетско образование на Руската федерация като учебно ръководство за ученици от висши учебни заведения за екологични специалитети 2-ро издание Nizhnevartovsky педагогически институт 2005 BBK 28.080.1W73 P64 Рецензенти: Д-р Биол. Науки, професор V.I. Попченко (Институт по екология ... "

"Министерство на образованието и науката на Руската федерация Федерална държавна бюджетна образователна институция по висше професионално образование Красноярск държавен педагогически университет. Отвратителен Астафиева е. Антипова Малка работилница за ботаническо електронно издание Красноярск 2013 г. BBK 28.5 А 721 рецензенти: Василеев а.н., D., професор Кго. Отвратителен Астафиева; YAMSKI G.YU., D.G.N., професор Сфу Третякова, т.н., д-р, професор, водещ служител на горския институт ... "

"Министерство на образованието и науката за Руската федерация Федерална държавна образователна бюджетна институция по висше професионално образование Университет на държавния университет на психологията и педагогиката на педагогиката на педагогиката на педиатрията и хигиената на основната образователна програма в посока на подготовка 050400.62 Психологически и \\ t Педагогическо образование Анализ 2012 1 UMCD разработен преглед и препоръча на срещата на Министерството на психологията и ... "

"Проверка на задачите с подробно състояние на отговор (окончателно) сертифициране на завършилите IX класове общо образователни институции (в нова форма) 2013 География Москва 2013 Автор-компилатор: Ambarcumova e.m. Подобряване на обективността на резултатите от държавата (окончателното) сертифициране на завършилите 9 класа общообразователни институции (в ... "

"Практически препоръки за използването на справка и информация и методическо съдържание за преподаване на руски като държавен език на Руската федерация. Практически препоръки са насочени към учителите на руския език (включително и двете, които не са такелаж). Съдържание: Практически препоръки и насоки за подбор 1. Съдържанието на материали за образователни и образователни класове, посветени на проблемите на функционирането на руския език като държавен език ... "

"E.V. Muriukina Развитие на критичното мислене и медийна компетентност на учениците в процеса на анализиране на пресата за университети Таганрог 2008 2 MURIUKINA E.V. Развитие на критично мислене и медийна компетентност на учениците в процеса на анализ на преси. Урок за университети. Таганрог: Център за лично развитие на NP, 2008. 298 c. Ръководството за проучване обсъжда развитието на критично мислене и медиен компонент на учениците в процеса на медийно образование. От пресата днес ... "

"ОТНОСНО. P. Golovchenko за формиране на физическа активност на човека част II P. Ag Ogik a moy gat yeln oi akti петрови 3 английски английски олег Петрович фисшченко формиране на физическа активност на обучението на обучение част II педагогична активност издание секунди, ревизиран *** редактор Ni. Kosskova Компютърно оформление Извършено D.V.Smolyak и S.V. Potapova *** Подписан в печатница 23.11. Формат 60 x 90 / 1/16. Хартия за писане на слушалки Времето за експлоатация на печат SL. P.l .... "

"Държавната образователна институция по висше професионално образование Казанския държавен университет. В и. Електронни библиотеки на научни и образователни ресурси на Улянов-Ленин. Образователен и методичен наръчник Абсосимов A.g. Lazareva yu.i. Казан 2008 Електронни библиотеки на научни и образователни ресурси. Образователен и методически ръководство към електронни образователни ресурси. - Kazan: KSU, 2008. Наръчник за преподаване е публикувано с решение ... "

"Министерство на образованието на Руската федерация Държавно образователно създаване на Висше професионално образование Оренбургския държавен университет Акбулак клон на педагогика V.A. Тервен методология за преподаване от в началните училища на Общото образование Методически инструкции, препоръчани за публикуването на редакционния и издателски съвет на държавната образователна институция по висше професионално образование Оренбургския държавен университет ... "

"Министерство на образованието и науката на Руската федерация Министерство на образованието на територията на Ставропол Държавна образователна институция по висше професионално образование Ставропол Държавен педагогически институт N.I. Детска литература в Ютатанова на учебния език Образователен и методически комплекс Ставропол 2010 1 се отпечатва с решението на UDC 82.0 Редакционен издателски съвет на BBC 83.3 (0) GOU VPO Ставропол Държава D Педагогически отзиви: ...

"Правилник за новата система за оценка на вътрешно училище за качеството на формиране на MBOU Kamyshinsky Sosh 1. Общи разпоредби 1.1. Разпоредбата на вътрешно-училищната система за оценка на качеството на образованието (наричана по-долу "разпоредба") създава еднакви изисквания за прилагане на системата за оценка на качеството на вътрешното образование (наричана по-долу "SCO) в общинската бюджетна обща образователна институция на СОУ "Камишин" (наричан по-долу - училището). 1.2. Практическото прилагане на Schok е изградено в съответствие с ... "

"Министерството на здравеопазването на Република Узбекистан Ташкент Медицинска академия на Департамента на VPP с клинична алергология одобрява заместник-ректор за академична работа от проф. O.r.teshaev _ 2012. Препоръки за подготовка на образователни и методически разработки за практически класове на една методическа система Методически инструкции за учители по медицински университети Ташкент- 2012 Министерство на здравеопазването на Република Узбекистан Медицински образователен център Ташкент медицински ... "\\ t

"Федерална агенция за образование Горно-Алтайски държавен университет АП Макошев Политическа география и геополитика Образователна и методология Горно-Алтайск Рио на Горно-Алтайския държавен университет 2006 се отпечатва с решението на редакционния и издателски съвет на Държавния университет в Горно-Алтайския държавен университет на Политическа география на Макошев и геополитика. Образователно и методическо ръководство. - Горно-Алтайски: Рио Гага, 2006.-103 s. Образователното и методологичното ръководство е разработено според обучението ... "

"A.V. Novitskaya, l.i. НИКОЛАЕВ УЧИЛИЩЕ НА БЪДЕЩЕ СЪВРЕМЕННО ОБРАЗОВАТЕЛНО УЧИЛИЩЕ НА ЖИВОТ ЕТАП 1 Методологичен наръчник за начални учители Москва 2009 UDC 371 (075.8) BBC 74.00 N 68 Авторското право е защитено законно, позоваването на авторите е задължено. Nikolaeva l.i. H 68 Модерна образователна програма на живота. - m.: Avvalon, 2009. - 176 p. ISBN 978 5 94989 141 4 Тази брошура е насочена предимно към педагози, но, кърменето, със своята информация ... "

"Образователен и методически комплекс Руски предприемачески дясно 030500 - юриспруденция Москва 2013 Автор - компилиран от Министерството на гражданското право Дисциплини Рецензеник - образователният и методическият комплекс се разглежда и одобрява на заседание на Протокола за протокола на Министерството на гражданското право от _2013. Руски предприемачески закон: образователен и методически ... "

"НО. А. Yamashkin V. V. RUHENKOV AL. А. Ямашкин География на Република Мордовия Урок Саранск Мордовски университет Издателска къща 2004 UDC 91 (075) (470.345) BBK D9 (2P351-6MO) YA549 Рецензенти: Катедра по физическа география на Държавния педагогически университет Воронеж; Доктор на географски науки професор А. М. Настон; Учител на училищния комплекс номер 39. Саранск А. В. Леонтиев се отпечатва с решението на образователния и методологическия съвет на преподаването на преподвидката и средната стойност ... "

Александър Викторович Абрасимов Дата на раждане: 16 ноември 1948 г. (1948 11 16) Място на раждане: Kuibyshev Дата на смъртта ... Уикипедия

I Диференциални уравнения уравнения, съдържащи желаните функции, техните производни на различни поръчки и независими променливи. Теория D. y. произхожда в края на 17-ти век. Под влиянието на нуждите на механиката и други природни научни дисциплини, ... ... Велика съветска енциклопедия

Обикновените диференциални уравнения (ODU) са диференциално уравнение на видовете, където неизвестната функция (евентуално функцията на вектора, след това, като правило, векторът също е функция със стойности в пространството на същото измерение; в това ... ... Уикипедия

Уикипедия има статии за други хора с такова име, виж Юдович. Виктор Йосифович Юдович Дата на раждане: 4 октомври 1934 г. (1934 10 04) Място на раждане: Tbilisi, USSR Дата на смъртта ... Уикипедия

Диференциален - (диференциално) определяне на различия, диференциална функция, диференциална информация за различна дефиниция, диференциална функция, диференциален блок съдържание съдържание математическо неформално описание ... ... Енциклопедия инвеститор

Една от основните понятия в теорията на диференциалните уравнения с частни деривати. Ролята на X. се проявява в съществените свойства на тези уравнения, като местни свойства на решенията, разрешаването на различни задачи, тяхната коректност и т.н. Математическа енциклопедия

Уравнението, в неизвестния ром, е функцията от една независима променлива и това уравнение включва не само неизвестната функция, но и нейните производни на различни поръчки. Терминът диференциални уравнения бяха предлагани ... ... ... Математическа енциклопедия

Тренеогин Владилен Александрович V. A. Trenchy в лекции в Misis Дата на раждане ... Уикипедия

Trenchyine, Владилен Александрович Треногин Владилен Александрович V. A. Треногин на лекциите в Misis Дата на раждане: 1931 (1931) ... Уикипедия

Уравнението за гасас, линейно обикновен диференциално уравнение 2-ти ред или, в самостоятелна форма, променливи и параметри в общия случай могат да приемат всякакви сложни стойности. След заместването се получава формата ... ... ... Математическа енциклопедия

Този лекционен курс се чете повече от 10 години за ученици от теоретична и приложна математика в далечния източен държавен университет. Съответства на стандартното поколение II, но тези специалитети. Препоръчани студенти и студенти по математически специалитети.

Теорема на Cauchy за съществуването и уникалността на решаването на проблема с Cauchy на уравнението от първия ред.
В този параграф, ние, налагаме на някои ограничения в дясната част на диференциалното уравнение от първото поръчка, доказваме съществуването и уникалността на решението, определено от първоначалните данни (x0, u0). Първото доказателство за съществуването на решаването на диференциалните уравнения принадлежи на Cauchy; Доказателството по-долу е дадено от пикара; Извършва се с помощта на метода на последователни приближения.

СЪДЪРЖАНИЕ
1. Уравнения за първи ред
1.0. Въведение
1.1. Уравнения с разделителни променливи
1.2. Единни уравнения
1.3. Обобщени хомогенни уравнения
1.4. Линейни уравнения на първата поръчка и водещи към тях
1.5. Уравнение Бернули
1.6. Уравнение на Riccati.
1.7. Уравнение в пълно разлики
1.8. Интегриране на множителя. Най-простите случаи на намиране на интегриращ мултипликатор
1.9. Уравнения, които не са разрешени по отношение на деривата
1.10. Cauchy теорема за съществуването и уникалността на решаването на предизвикателството на Cauchy на първата поръчка
1.11. Специални точки
1.12. Специални решения
2. Уравнения по по-високи поръчки
2.1. Основни понятия и определения
2.2. Видове N-ред уравнения, които са разрешени в квадратури
2.3. Междинни интеграли. Уравнения, които позволяват намаляване на поръчката
3. Линейни диференциални уравнения по поръчка
3.1. Основни понятия
3.2. Линейни хомогенни диференциални уравнения по поръчка
3.3. Понижаване на реда на линейно хомогенно уравнение
3.4. Хетерогенни линейни уравнения
3.5. Намаляване на реда в линейно нехомогенно уравнение
4. Линейни уравнения с постоянни коефициенти
4.1. Равномерно линейно уравнение с постоянни коефициенти
4.2. Нехомогенни линейни уравнения с постоянни коефициенти
4.3. Линейни уравнения на втори ред с колебавни решения
4.4. Интеграция от поредица серия
5. Линейни системи
5.1. Нехомогенни и хомогенни системи. Някои свойства на решенията на линейните системи
5.2. Изисквани и достатъчно условия за линейна независимост към разтвори на линейна хомогенна система
5.3. Съществуването на фундаментална матрица. Изграждане на общо решение на линейна хомогенна система
5.4. Изграждане на целия набор от фундаментални матрици на линейна хомогенна система
5.5. Нехомогенни системи. Изграждане на общо решение по метода на изменение на произволната константа
5.6. Линейни хомогенни системи с постоянни коефициенти
5.7. Информация от теорията на функциите от матриците
5.8. Изграждане на фундаментална матрица на система от линейни хомогенни уравнения с постоянни коефициенти в общия случай
5.9. Теорема на съществуването и теорема за функционалните свойства на решенията на нормалните системи на диференциалните уравнения от първа поръчка
6. Елементи на теорията на стабилността
6.1
6.2. Най-простите видове точки за почивка
7. уравнения в частични деривати на 1-ва ред
7.1. Линейно хомогенно уравнение в частични производни на 1-ви ред
7.2. Нехомогенно линейно уравнение в частни деривати от 1 поръчка
7.3. Система от две частични диференциални уравнения с 1 неизвестна функция
7.4. Уравнение на Pfaffa.
8. Опции за тестови задачи
8.1. Номер на изпит 1.
8.2. Изпит номер 2.
8.3. Измерен номер 3.
8.4. Измерен номер 4.
8.5. Измерване номер 5.
8.6. Номер 6.
8.7. Номер 7.
8.8. Измерен номер 8.

Безплатно изтегляне e-book в удобен формат, вижте и прочетете:
Изтегляне на книги лекции за обикновени диференциални уравнения, Шепелев r.p., 2006 - Fileskackat.com, бързо и безплатно изтегляне.

Изтеглете PDF.
По-долу можете да закупите тази книга на най-добрата цена с отстъпка с доставка в цяла Русия.