Умножение на логаритми на неравенства. Логаритмични неравенства

С тях са вътрешни логаритми.

Примери:

\(\log_3⁡x≥\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}\)
\(\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))\)

Как се решават логаритмични неравенства:

Трябва да се стремим да редуцираме всяко логаритмично неравенство до формата \(\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))\) (символът \(˅\) означава всяко от ). Този тип ви позволява да се отървете от логаритмите и техните основи, като направите прехода към неравенството на изразите под логаритми, тоест към формата \(f(x) ˅ g(x)\).

Но когато правите този преход, има една много важна тънкост:
\(-\) ако е число и е по-голямо от 1, знакът за неравенство остава същият по време на прехода,
\(-\) ако основата е число, по-голямо от 0, но по-малко от 1 (лежи между нула и едно), тогава знакът за неравенство трябва да се промени на противоположния, т.е.

Примери:

\(\log_2⁡((8-x))<1\) ODZ: \(8-x>0\) \(-x>-8\) \(х<8\) Решение: \(\log\)\(_2\) \((8-x)<\log\)\(_2\) \({2}\) \(8-x\)\(<\) \(2\) \(8-2\(x>6\) Отговор: \((6;8)\)

\(\log\)\(_(0,5⁡)\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_(0,5)\) ⁡\((((x+ 1))\) ODZ: \(\begin(cases)2x-4>0\\x+1 > 0\end(cases)\) \(\begin(cases)2x>4\\x > -1\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x>2\\x > -1\end(cases) \) \(\Ляво-дясна стрелка\) \(x\in(2;\infty)\) Решение: \(2x-4\)\(≤\) \(x+1\) \(2x-x≤4+1\) \(x≤5\) Отговор: \((2;5]\)

Много важно!Във всяко неравенство преходът от формата \(\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))\) към сравняване на изрази под логаритми може да се извърши само ако:

Пример . Решаване на неравенство: \(\log\)\(≤-1\)

Решение:

\(\дневник\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)	Да изпишем ОДЗ.
ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)
\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)	Отваряме скобите и донасяме .
\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)	Умножаваме неравенството по \(-1\), като не забравяме да обърнем знака за сравнение.
\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)
\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\)	Нека построим числова ос и маркираме точките \(\frac(7)(3)\) и \(\frac(3)(2)\) върху нея. Моля, обърнете внимание, че точката е премахната от знаменателя, въпреки факта, че неравенството не е строго. Факт е, че тази точка няма да бъде решение, тъй като когато бъде заменена в неравенство, ще ни доведе до деление на нула.
\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)	Сега начертаваме ODZ на същата цифрова ос и записваме в отговор интервала, който попада в ODZ.
	Записваме крайния отговор.

Отговор: \(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)

Пример . Решете неравенството: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Решение:

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Да изпишем ОДЗ.
ODZ: \(x>0\)	Да стигнем до решението.
Решение: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Тук имаме типично квадратно-логаритмично неравенство. Хайде да го направим.
\(t=\log_3⁡x\) \(t^2-t-2>0\)	Разгръщаме лявата страна на неравенството в .
\(D=1+8=9\) \(t_1= \frac(1+3)(2)=2\) \(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\) \((t+1)(t-2)>0\)
	Сега трябва да се върнем към първоначалната променлива - x. За да направим това, нека отидем на , което има същото решение, и направим обратното заместване.
\(\left[ \begin(gathered) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2\\\log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)	Трансформирайте \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\).
\(\left[ \begin(gathered) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Нека да преминем към сравняване на аргументи. Основите на логаритмите са по-големи от \(1\), така че знакът на неравенствата не се променя.
\(\left[ \begin(gathered) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Нека комбинираме решението на неравенството и ODZ в една фигура.
	Нека запишем отговора.

Отговор: \((0; \frac(1)(3))∪(9;∞)\)

Логаритмични уравнения и неравенствав Единния държавен изпит по математика е посветен на проблем C3 . Всеки ученик трябва да се научи да решава задачи С3 от Единния държавен изпит по математика, ако иска да издържи предстоящия изпит с „добър” или „отличен”. Тази статия предоставя кратък преглед на често срещаните логаритмични уравнения и неравенства, както и основните методи за тяхното решаване.

И така, нека днес разгледаме няколко примера. логаритмични уравнения и неравенства, които бяха предложени на учениците на Единния държавен изпит по математика от предишни години. Но ще започне с кратко обобщение на основните теоретични точки, които ще ни трябват, за да ги разрешим.

Логаритмична функция

Определение

Функция на формата

0,\, a\ne 1 \]" title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

Наречен логаритмична функция.

Основни свойства

Основни свойства на логаритмичната функция г=дневник a x:

Графиката на логаритмична функция е логаритмична крива:

Свойства на логаритмите

Логаритъм на произведениетодве положителни числа е равно на сумата от логаритмите на тези числа:

Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

Логаритъм на частнотодве положителни числа е равно на разликата между логаритмите на тези числа:

Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

Ако аИ b а≠ 1, тогава за произволно число r равенството е вярно:

Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

Равенстводневник а T=дневник а с, Където а > 0, а ≠ 1, T > 0, с> 0, валидно тогава и само ако T = с.

Ако а, b, ° Сса положителни числа и аИ ° Сса различни от единица, тогава равенството ( формула за преминаване към нова основа на логаритъм):

Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

Теорема 1.Ако f(х) > 0 и ж(х) > 0, тогава log на логаритмичното уравнение a f(х) = дневник a g(х) (Където а > 0, а≠ 1) е еквивалентно на уравнението f(х) = ж(х).

Решаване на логаритмични уравнения и неравенства

Пример 1.Решете уравнението:

Решение.Към региона приемливи стойностисамо включените х, за които изразът под знака на логаритъма е по-голям от нула. Тези стойности се определят от следната система от неравенства:

Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

Като се има предвид това

Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

получаваме интервала, който определя обхвата на допустимите стойности на това логаритмично уравнение:

Въз основа на теорема 1, всички условия на която са изпълнени тук, ние пристъпваме към следното еквивалентно квадратно уравнение:

Диапазонът от приемливи стойности включва само първия корен.

Отговор:х = 7.

Пример 2.Решете уравнението:

Решение.Диапазонът на приемливите стойности на уравнението се определя от системата от неравенства:

ql-right-eqno">

Решение.Диапазонът на приемливите стойности на уравнението се определя тук лесно: х > 0.

Използваме заместване:

Уравнението става:

Обратно заместване:

И двете отговорса в обхвата на приемливите стойности на уравнението, тъй като са положителни числа.

Пример 4.Решете уравнението:

Решение.Нека започнем решението отново, като определим обхвата на приемливите стойности на уравнението. Определя се от следната система от неравенства:

ql-right-eqno">

Основите на логаритмите са еднакви, така че в диапазона от приемливи стойности можем да продължим към следното квадратно уравнение:

Първият корен не е в обхвата на приемливите стойности на уравнението, но вторият е.

Отговор: х = -1.

Пример 5.Решете уравнението:

Решение.Ще търсим решения между тях х > 0, х≠1. Нека трансформираме уравнението в еквивалентно:

И двете отговорса в обхвата на приемливите стойности на уравнението.

Пример 6.Решете уравнението:

Решение.Системата от неравенства, определяща обхвата на допустимите стойности на уравнението, този път има формата:

Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

Използвайки свойствата на логаритъма, трансформираме уравнението в уравнение, което е еквивалентно в диапазона от приемливи стойности:

Използвайки формулата за преминаване към нова основа на логаритъм, получаваме:

Диапазонът от приемливи стойности включва само една отговор: х = 4.

Нека сега да преминем към логаритмични неравенства . Точно с това ще трябва да се справите на Единния държавен изпит по математика. За да разрешим други примери, се нуждаем от следната теорема:

Теорема 2.Ако f(х) > 0 и ж(х) > 0, тогава:
при а> 1 логаритмично неравенство log a f(х) > log a ж(х) е еквивалентно на неравенство със същото значение: f(х) > ж(х);
на 0< а < 1 логарифмическое неравенство log a f(х) > log a ж(х) е еквивалентно на неравенство с противоположно значение: f(х) < ж(х).

Пример 7.Решете неравенството:

Решение.Нека започнем с определяне на обхвата на приемливите стойности на неравенството. Изразът под знака на логаритмичната функция трябва да приема само положителни стойности. Това означава, че необходимият диапазон от приемливи стойности се определя от следната система от неравенства:

Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

Тъй като основата на логаритъма е число, по-малко от едно, съответната логаритмична функция ще бъде намаляваща и следователно, съгласно теорема 2, преходът към следното квадратно неравенство ще бъде еквивалентен:

Накрая, като вземем предвид диапазона от приемливи стойности, получаваме отговор:

Пример 8.Решете неравенството:

Решение.Нека започнем отново, като дефинираме диапазона от приемливи стойности:

Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

На множеството от допустими стойности на неравенството извършваме еквивалентни трансформации:

След редукция и преход към неравенството, еквивалентно на теорема 2, получаваме:

Като вземем предвид обхвата на приемливите стойности, получаваме окончателния отговор:

Пример 9.Решете логаритмично неравенство:

Решение.Диапазонът на допустимите стойности на неравенството се определя от следната система:

Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

Вижда се, че в диапазона от приемливи стойности изразът в основата на логаритъма винаги е по-голям от единица и следователно, съгласно теорема 2, преходът към следното неравенство ще бъде еквивалентен:

Като вземем предвид обхвата на допустимите стойности, получаваме крайния отговор:

Пример 10.Решете неравенството:

Решение.

Диапазонът на допустимите стойности на неравенството се определя от системата от неравенства:

Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

Метод IНека използваме формулата за преход към нова основа на логаритъма и да преминем към неравенство, което е еквивалентно в диапазона от приемливи стойности.

Цели на урока:

Дидактически:

• Ниво 1 – учат как да решават най-простите логаритмични неравенства, като използват определението за логаритъм и свойствата на логаритмите;
• Ниво 2 – решаване на логаритмични неравенства, като избира собствен метод за решаване;
• Ниво 3 – да може да прилага знания и умения в нестандартни ситуации.

Образователни:развиват паметта, вниманието, логическото мислене, уменията за сравнение, могат да обобщават и правят изводи

Образователни:култивирайте точност, отговорност към изпълняваната задача и взаимопомощ.

Методи на обучение: глаголен , визуален , практичен , частично търсене , самоуправление , контрол.

Форми на организация познавателна дейностученици: челен , индивидуален , работете по двойки.

Оборудване: набор от тестови задачи, справочни бележки, празни листове за решения.

Тип урок:изучаване на нов материал.

По време на часовете

1. Организационен момент.Обявяват се темата и целите на урока, планът на урока: на всеки ученик се дава лист за оценка, който ученикът попълва по време на урока; за всяка двойка ученици - печатни материали със задачи, като задачите се изпълняват по двойки; празни листовеза разтвори; опорни листове: определение на логаритъм; графика на логаритмична функция, нейните свойства; свойства на логаритмите; алгоритъм за решение логаритмични неравенства.

Всички решения след самооценка се предоставят на учителя.

Лист за оценка на ученика

2. Актуализиране на знанията.

Инструкции на учителя. Припомнете си определението за логаритъм, графиката на логаритмична функция и нейните свойства. За да направите това, прочетете текста на стр. 88–90, 98–101 от учебника „Алгебра и началото на анализа 10–11” под редакцията на Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин и др.

На учениците се раздават листове, на които са записани: определението за логаритъм; показва графика на логаритмична функция и нейните свойства; свойства на логаритмите; алгоритъм за решаване на логаритмични неравенства, пример за решаване на логаритмично неравенство, което се свежда до квадратно.

3. Изучаване на нов материал.

Решаването на логаритмични неравенства се основава на монотонността на логаритмичната функция.

Алгоритъм за решаване на логаритмични неравенства:

А) Намерете областта на дефиниция на неравенството (подлогаритмичният израз е по-голям от нула).
B) Представете (ако е възможно) лявата и дясната страна на неравенството като логаритми на една и съща основа.
В) Определете дали логаритмичната функция е нарастваща или намаляваща: ако t>1, тогава нараства; ако 0 1, след което намалява.
Г) Преминете към по-просто неравенство (подлогаритмични изрази), като вземете предвид, че знакът на неравенството ще остане същият, ако функцията расте, и ще се промени, ако намалява.

Обучаващ елемент #1.

Цел: консолидирайте решението на най-простите логаритмични неравенства

Форма на организация на познавателната дейност на учениците: индивидуална работа.

Задачи за самостоятелна работаза 10 минути. За всяко неравенство има няколко възможни отговора, като трябва да изберете правилния и да го проверите с помощта на ключа.

КЛЮЧ: 13321, максимален брой точки – 6 точки.

Обучаващ елемент #2.

Цел: консолидирайте решението на логаритмични неравенства, като използвате свойствата на логаритмите.

Инструкции на учителя. Запомнете основните свойства на логаритмите. За целта прочетете текста от учебника на с. 92, 103–104.

Задачи за самостоятелна работа за 10 минути.

КЛЮЧ: 2113, максимален брой точки – 8 точки.

Обучаващ елемент #3.

Цел: да се изследва решението на логаритмични неравенства чрез метода на редукция до квадратни.

Инструкции на учителя: методът за редуциране на неравенство до квадратно е неравенството да се преобразува до такава форма, че определена логаритмична функция да бъде означена с нова променлива, като по този начин се получава квадратно неравенство по отношение на тази променлива.

Нека използваме метода на интервала.

Преминахте първото ниво на усвояване на материала. Сега ще трябва самостоятелно да изберете метод за решаване на логаритмични уравнения, като използвате всичките си знания и възможности.

Обучаващ елемент #4.

Цел: консолидирайте решението на логаритмични неравенства чрез самостоятелно избиране на метод за рационално решение.

Задачи за самостоятелна работа за 10 минути

Обучаващ елемент #5.

Инструкции на учителя. Много добре! Усвоихте решаването на уравнения от второ ниво на сложност. Целта на по-нататъшната ви работа е да приложите знанията и уменията си в по-сложни и нестандартни ситуации.

Задачи за самостоятелно решаване:

Инструкции на учителя. Страхотно е, ако сте изпълнили цялата задача. Много добре!

Оценката за целия урок зависи от събраните точки за всички образователни елементи:

• ако N ≥ 20, тогава получавате оценка „5“,
• за 16 ≤ N ≤ 19 – оценка „4“,
• за 8 ≤ N ≤ 15 – оценка „3“,
• при Н< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).

Изпратете документите за оценка на учителя.

5. Домашна работа: ако сте събрали не повече от 15 точки, работете върху грешките си (решенията могат да бъдат взети от учителя), ако сте събрали повече от 15 точки, изпълнете творческа задача по темата „Логаритмични неравенства“.

Сред цялото разнообразие от логаритмични неравенства отделно се изучават неравенствата с променлива основа. Те се решават с помощта на специална формула, която по някаква причина рядко се преподава в училище:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

Вместо квадратчето за отметка „∨“ можете да поставите произволен знак за неравенство: повече или по-малко. Основното е, че и в двете неравенства знаците са еднакви.

По този начин се отърваваме от логаритмите и свеждаме проблема до рационално неравенство. Последното е много по-лесно за решаване, но при изхвърляне на логаритми може да се появят допълнителни корени. За да ги отрежете, достатъчно е да намерите диапазона от приемливи стойности. Ако сте забравили ODZ на логаритъм, силно препоръчвам да го повторите - вижте „Какво е логаритъм“.

Всичко, свързано с обхвата на допустимите стойности, трябва да бъде написано и решено отделно:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Тези четири неравенства представляват система и трябва да бъдат изпълнени едновременно. Когато диапазонът от приемливи стойности е намерен, остава само да го пресечете с решението на рационалното неравенство - и отговорът е готов.

Задача. Решете неравенството:

Първо, нека напишем ODZ на логаритъма:

Първите две неравенства се изпълняват автоматично, но последното ще трябва да се изпише. Тъй като квадратът на число е нула тогава и само ако самото число е нула, имаме:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Оказва се, че ODZ на логаритъма са всички числа с изключение на нула: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Сега решаваме основното неравенство:

Правим преход от логаритмично неравенство към рационално. Първоначалното неравенство има знак „по-малко от“, което означава, че полученото неравенство също трябва да има знак „по-малко от“. Ние имаме:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · x 2< 0.

Нулите на този израз са: x = 3; x = −3; x = 0. Освен това x = 0 е корен от втора кратност, което означава, че при преминаване през него знакът на функцията не се променя. Ние имаме:

Получаваме x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Това множество се съдържа изцяло в ODZ на логаритъма, което означава, че това е отговорът.

Преобразуване на логаритмични неравенства

Често първоначалното неравенство е различно от горното. Това може лесно да се коригира с помощта на стандартните правила за работа с логаритми - вижте „Основни свойства на логаритмите“. а именно:

1. Всяко число може да бъде представено като логаритъм с дадена основа;
2. Сумата и разликата на логаритми с еднакви основи могат да бъдат заменени с един логаритъм.

Отделно бих искал да ви напомня за диапазона от допустими стойности. Тъй като в първоначалното неравенство може да има няколко логаритма, трябва да се намери VA на всеки от тях. По този начин общата схема за решаване на логаритмични неравенства е следната:

1. Намерете VA на всеки логаритъм, включен в неравенството;
2. Редуцирайте неравенството до стандартно, като използвате формулите за събиране и изваждане на логаритми;
3. Решете полученото неравенство, като използвате схемата, дадена по-горе.

Задача. Решете неравенството:

Нека намерим дефиниционната област (DO) на първия логаритъм:

Решаваме с помощта на интервалния метод. Намиране на нулите на числителя:

3x − 2 = 0;
х = 2/3.

След това - нулите на знаменателя:

x − 1 = 0;
х = 1.

Маркираме нули и знаци върху координатната стрелка:

Получаваме x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Вторият логаритъм ще има същия VA. Ако не вярвате, можете да проверите. Сега трансформираме втория логаритъм, така че основата да е две:

Както можете да видите, тройките в основата и пред логаритъма са намалени. Имаме два логаритма с една и съща основа. Нека ги съберем:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Получихме стандартното логаритмично неравенство. Отърваваме се от логаритмите с помощта на формулата. Тъй като първоначалното неравенство съдържа знак „по-малко от“, полученият рационален израз също трябва да бъде по-малък от нула. Ние имаме:

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Имаме два комплекта:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Отговорът на кандидата: x ∈ (−1; 3).

Остава да пресечем тези множества - получаваме истинския отговор:

Интересуваме се от пресечната точка на множества, така че избираме интервали, които са защриховани и на двете стрелки. Получаваме x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - всички точки са пробити.

ЛОГАРИТМИЧНИ НЕРАВЕНСТВА В УПОТРЕБАТА

Сечин Михаил Александрович

Малка академия на науките за ученици на Република Казахстан „Искател“

MBOU "Sovetskaya Средно училище № 1", 11 клас, гр. Советски Советски район

Гунко Людмила Дмитриевна, учител в Общинска бюджетна образователна институция „Съветско средно училище № 1“

Съветски район

Цел на работата:изследване на механизма за решаване на логаритмични неравенства C3 с помощта на нестандартни методи, идентифициране интересни фактилогаритъм

Предмет на изследване:

3) Научете се да решавате конкретни логаритмични неравенства C3, като използвате нестандартни методи.

Резултати:

Съдържание

Въведение…………………………………………………………………………………….4

Глава 1. История на проблема……………………………………………………...5

Глава 2. Колекция от логаритмични неравенства …………………………… 7

2.1. Еквивалентни преходи и обобщеният метод на интервалите…………… 7

2.2. Метод на рационализация………………………………………………………………… 15

2.3. Нестандартно заместване……………….................................. ............ 22

2.4. Задачи с капани………………………………………………………27

Заключение………………………………………………………………………………… 30

Литература………………………………………………………………………. 31

Въведение

Аз съм в 11 клас и планирам да вляза в университет, където основният предмет е математика. Ето защо работя много със задачи в част C. В задача C3 трябва да реша нестандартно неравенство или система от неравенства, обикновено свързани с логаритми. Когато се подготвях за изпита, се сблъсках с проблема с недостига на методи и техники за решаване на изпитни логаритмични неравенства, предлагани в C3. Методи, които се изучават в училищна програмапо тази тема, не дават основа за решаване на задачи С3. Учителката по математика ми предложи да работя самостоятелно по задачи C3 под нейно ръководство. Освен това ме интересуваше въпросът: срещаме ли логаритми в живота си?

С оглед на това беше избрана темата:

„Логаритмични неравенства в Единния държавен изпит“

Цел на работата:изучаване на механизма за решаване на задачи С3 с помощта на нестандартни методи, идентифициране на интересни факти за логаритъма.

Предмет на изследване:

1) Намерете необходимата информация за нестандартни методи за решаване на логаритмични неравенства.

2) Намерете допълнителна информация за логаритмите.

3) Научете се да решавате специфични проблеми на C3, като използвате нестандартни методи.

Резултати:

Практическото значение се състои в разширяването на апарата за решаване на задачи С3. Този материал може да се използва в някои уроци, за кръжоци и избираеми часове по математика.

Продуктът на проекта ще бъде колекцията „C3 Logarithmic Inequalities with Solutions.“

Глава 1. Предистория

През 16-ти век броят на приблизителните изчисления се увеличава бързо, главно в астрономията. Подобряването на инструментите, изучаването на планетарните движения и друга работа изисква колосални, понякога многогодишни изчисления. Астрономията беше в реална опасност да се удави в неизпълнени изчисления. Трудности възникнаха в други области, например в застрахователния бизнес бяха необходими таблици със сложни лихви за различни лихвени проценти. Основната трудност беше умножението и деленето на многоцифрени числа, особено на тригонометрични величини.

Откриването на логаритмите се основава на свойствата на прогресиите, които са добре известни до края на 16 век. Архимед говори за връзката между членовете на геометричната прогресия q, q2, q3, ... и аритметичната прогресия на техните показатели 1, 2, 3,... в Псалма. Друга предпоставка беше разширяването на концепцията за степен до отрицателни и дробни показатели. Много автори са посочили, че умножението, делението, степенуването и извличането на корен в геометричната прогресия съответстват в аритметиката - в същия ред - събиране, изваждане, умножение и деление.

Тук беше идеята за логаритъма като показател.

В историята на развитието на учението за логаритмите са преминали няколко етапа.

Етап 1

Логаритмите са изобретени не по-късно от 1594 г. независимо от шотландския барон Напиер (1550-1617) и десет години по-късно от швейцарския механик Бюрги (1552-1632). И двамата искаха да осигурят ново, удобно средство за аритметични изчисления, въпреки че подходиха към този проблем по различни начини. Напиер изразява кинематично логаритмичната функция и по този начин навлиза в нова област на теорията на функциите. Bürgi остана на базата на разглеждане на дискретни прогресии. Дефиницията на логаритъма и за двете обаче не е подобна на съвременната. Терминът "логаритъм" (логаритъм) принадлежи на Напиер. Възникна от комбинация от гръцки думи: logos - "отношение" и ariqmo - "число", което означаваше "брой отношения". Първоначално Напиер използва различен термин: numeri artificiales - „изкуствени числа“, за разлика от numeri naturalts - „естествени числа“.

През 1615 г. в разговор с Хенри Бригс (1561-1631), професор по математика в Gresh College в Лондон, Напиер предлага да се приеме нула като логаритъм от едно и 100 като логаритъм от десет, или каквото се равнява на същото нещо, само 1. Ето как са отпечатани десетични логаритми и Първите логаритмични таблици. По-късно таблиците на Бригс са допълнени от холандския книжар и ентусиаст по математика Адриан Флак (1600-1667). Напиер и Бригс, въпреки че стигнаха до логаритмите по-рано от всички останали, публикуваха своите таблици по-късно от останалите - през 1620 г. Знаците log и Log са въведени през 1624 г. от И. Кеплер. Терминът „натурален логаритъм“ е въведен от Менголи през 1659 г. и последван от Н. Меркатор през 1668 г., а лондонският учител Джон Шпайдел публикува таблици с естествени логаритми на числа от 1 до 1000 под името „Нови логаритми“.

Първите логаритмични таблици са публикувани на руски през 1703 г. Но във всички логаритмични таблици имаше изчислителни грешки. Първите таблици без грешки са публикувани през 1857 г. в Берлин, обработени от немския математик К. Бремикер (1804-1877).

Етап 2

По-нататъшното развитие на теорията на логаритмите е свързано с по-широкото приложение на аналитичната геометрия и инфинитезималното смятане. По това време връзката между квадратурата на равностранна хипербола и натурален логаритъм. Теорията на логаритмите от този период е свързана с имената на редица математици.

Немският математик, астроном и инженер Николаус Меркатор в есе

"Logarithmotechnics" (1668) дава серия, даваща разширението на ln(x+1) в

степени на x:

Този израз точно съответства на неговия ход на мисли, въпреки че, разбира се, той не използва знаците d, ..., а по-тромава символика. С откриването на логаритмичните серии техниката за изчисляване на логаритмите се промени: те започнаха да се определят с помощта на безкрайни серии. В лекциите си „Елементарна математика с най-високата точкавизия", прочетена през 1907-1908 г., Ф. Клайн предлага използването на формулата като отправна точка за изграждане на теорията на логаритмите.

Етап 3

Дефиниция на логаритмична функция като обратна функция

експоненциален, логаритъм като степенен показател тази основа

не е формулиран веднага. Есе от Леонхард Ойлер (1707-1783)

„Въведение в анализа на безкрайно малките“ (1748) служи за по-нататъшно

развитие на теорията на логаритмичните функции. По този начин,

Изминаха 134 години от първото въвеждане на логаритмите

(от 1614 г.), преди математиците да стигнат до определението

концепцията за логаритъм, която сега е в основата на училищния курс.

Глава 2. Колекция от логаритмични неравенства

2.1. Еквивалентни преходи и обобщен метод на интервалите.

Еквивалентни преходи

, ако a > 1

, ако 0 < а < 1

Обобщен интервален метод

Този метод е най-универсалният за решаване на неравенства от почти всякакъв вид. Диаграмата на решението изглежда така:

1. Приведете неравенството във вид, в който е функцията от лявата страна
, а отдясно 0.

2. Намерете домейна на функцията
.

3. Намерете нулите на функцията
, тоест решаване на уравнението
(и решаването на уравнение обикновено е по-лесно от решаването на неравенство).

4. Начертайте областта на дефиниция и нули на функцията върху числовата ос.

5. Определете знаците на функцията
върху получените интервали.

6. Изберете интервали, в които функцията приема необходимите стойности и запишете отговора.

Пример 1.

Решение:

Да приложим интервалния метод

където

За тези стойности всички изрази под логаритмичните знаци са положителни.

Отговор:

Пример 2.

Решение:

1-во начин . ADL се определя от неравенство х> 3. Вземане на логаритми за такива хв база 10, получаваме

Последното неравенство може да бъде разрешено чрез прилагане на правила за разширение, т.е. сравняване на фактори с нула. В този случай обаче е лесно да се определят интервалите на постоянен знак на функцията

следователно може да се приложи интервалният метод.

функция f(х) = 2х(х- 3,5)lgǀ х- 3ǀ е непрекъснат при х> 3 и изчезва в точки х 1 = 0, х 2 = 3,5, х 3 = 2, х 4 = 4. Така определяме интервалите на постоянен знак на функцията f(х):

Отговор:

2-ри метод . Нека директно приложим идеите на интервалния метод към първоначалното неравенство.

За да направите това, припомнете си, че изразите аб- а c и ( а - 1)(b- 1) имат един знак. Тогава нашето неравенство при х> 3 е еквивалентно на неравенство

или

Последното неравенство се решава чрез интервалния метод

Отговор:

Пример 3.

Решение:

Да приложим интервалния метод

Отговор:

Пример 4.

Решение:

От 2 х 2 - 3х+ 3 > 0 за всички реални х, Че

За решаване на второто неравенство използваме интервалния метод

В първото неравенство правим замяната

тогава стигаме до неравенството 2y 2 - г - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те г, които удовлетворяват неравенството -0,5< г < 1.

Откъде, защото

получаваме неравенството

която се извършва при х, за което 2 х 2 - 3х - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Сега, като вземем предвид решението на второто неравенство на системата, най-накрая получаваме

Отговор:

Пример 5.

Решение:

Неравенството е еквивалентно на набор от системи

или

Нека използваме метода на интервала или

Отговор:

Пример 6.

Решение:

Неравенството е равно на система

Позволявам

Тогава г > 0,

и първото неравенство

системата приема формата

или, разгъване

квадратен трином, факторизиран,

Прилагайки интервалния метод към последното неравенство,

виждаме, че неговите решения отговарят на условието г> 0 ще бъде всичко г > 4.

Така първоначалното неравенство е еквивалентно на системата:

И така, решенията на неравенството са всички

2.2. Метод на рационализация.

Преди това неравенството не се решаваше с помощта на метода на рационализация; не беше известно. Това е "новото модерно" ефективен методрешения на експоненциални и логаритмични неравенства" (цитат от книгата на S.I. Kolesnikova)
И дори ако учителят го познаваше, имаше страх - познава ли го експертът от Единния държавен изпит и защо не го дават в училище? Имаше ситуации, когато учителят каза на ученика: "Откъде го взе? Седни - 2."
Сега методът се рекламира навсякъде. И за специалистите има насоки, свързан с този метод, и в „Най-пълните издания на опциите на модела...“ решението C3 използва този метод.
ЧУДЕСЕН МЕТОД!

"Магическа маса"

В други източници

Ако a >1 и b >1, след това log a b >0 и (a -1)(b -1)>0;

Ако a >1 и 0

ако 0<а<1 и b >1, след това регистрирайте a b<0 и (a -1)(b -1)<0;

ако 0<а<1 и 00 и (a -1)(b -1)>0.

Извършеното разсъждение е просто, но значително опростява решението на логаритмичните неравенства.

Пример 4.

log x (x 2 -3)<0

Решение:

Пример 5.

log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x )

Решение:

Отговор. (0; 0,5) U.

Пример 6.

За да решим това неравенство, вместо знаменателя записваме (x-1-1)(x-1), а вместо числителя записваме произведението (x-1)(x-3-9 + x).

Отговор : (3;6)

Пример 7.

Пример 8.

2.3. Нестандартна замяна.

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Пример 4.

Пример 5.

Пример 6.

Пример 7.

log 4 (3 x -1) log 0,25

Нека направим замяната y=3 x -1; тогава това неравенство ще приеме формата

Log 4 log 0,25
.

защото log 0,25 = -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , тогава пренаписваме последното неравенство като 2log 4 y -log 4 2 y ≤.

Нека направим замяната t =log 4 y и получим неравенството t 2 -2t +≥0, чието решение са интервалите - .

По този начин, за да намерим стойностите на y, имаме набор от две прости неравенства
Решението на това множество са интервалите 0<у≤2 и 8≤у<+.

Следователно първоначалното неравенство е еквивалентно на набор от две експоненциални неравенства,
тоест агрегати

Решението на първото неравенство от това множество е интервалът 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. По този начин първоначалното неравенство е изпълнено за всички стойности на x от интервалите 0<х≤1 и 2≤х<+.

Пример 8.

Решение:

Неравенството е равно на система

Решението на второто неравенство, определящо ODZ, ще бъде множеството от тях х,

за което х > 0.

За да решим първото неравенство, правим заместването

Тогава получаваме неравенството

или

Множеството от решения на последното неравенство се намира по метода

интервали: -1< T < 2. Откуда, возвращаясь к переменной х, получаваме

или

Много такива х, които удовлетворяват последното неравенство

принадлежи на ОДЗ ( х> 0), следователно е решение на системата,

и оттам първоначалното неравенство.

Отговор:

2.4. Задачи с капани.

Пример 1.

.

Решение. ODZ на неравенството е всички x, които отговарят на условието 0 . Следователно всички x са от интервала 0

Пример 2.

log 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1.. ? Въпросът е, че второто число очевидно е по-голямо от

Заключение

Не беше лесно да се намерят конкретни методи за решаване на проблеми с C3 от голямо изобилие от различни образователни източници. В хода на извършената работа успях да изучавам нестандартни методи за решаване на сложни логаритмични неравенства. Това са: еквивалентни преходи и обобщен метод на интервалите, метод на рационализация , нестандартна замяна , задачи с капани по ОДЗ. Тези методи не са включени в училищната програма.

Използвайки различни методи, реших 27 неравенства, предложени на Единния държавен изпит в част C, а именно C3. Тези неравенства с решения по методи формираха основата на колекцията „С3 Логаритмични неравенства с решения“, която стана проектен продукт на моята дейност. Хипотезата, която поставих в началото на проекта, беше потвърдена: проблемите на C3 могат да бъдат ефективно решени, ако знаете тези методи.

Освен това открих интересни факти за логаритмите. Беше ми интересно да правя това. Продуктите от моя проект ще бъдат полезни както за ученици, така и за учители.

Изводи:

Така целта на проекта е постигната и проблемът е решен. И получих най-пълния и разнообразен опит в проектните дейности на всички етапи на работа. По време на работата по проекта основното ми въздействие върху развитието беше върху умствената компетентност, дейности, свързани с логически мисловни операции, развитие на творческа компетентност, лична инициатива, отговорност, постоянство и активност.

Гаранция за успех при създаване на изследователски проект за Придобих: значителен училищен опит, умение да получавам информация от различни източници, да проверявам нейната надеждност и да я класирам по важност.

В допълнение към преките познания по математика, разширих практическите си умения в областта на компютърните науки, придобих нови знания и опит в областта на психологията, установих контакти със съученици и се научих да си сътруднича с възрастни. По време на дейностите по проекта бяха развити организационни, интелектуални и комуникативни общообразователни умения.

Литература

1. Корянов А. Г., Прокофиев А. А. Системи от неравенства с една променлива (стандартни задачи C3).

2. Малкова А. Г. Подготовка за Единния държавен изпит по математика.

3. Самарова С. С. Решаване на логаритмични неравенства.

4. Математика. Колекция от учебни работи под редакцията на A.L. Семенов и И.В. Ященко. -М .: МЦНМО, 2009. - 72 с.-