сложни производни. Логаритмична производна.
Производна на експоненциална функция

Продължаваме да подобряваме нашата техника за диференциране. В този урок ще консолидираме разгледания материал, ще разгледаме по-сложни производни, а също и ще се запознаем с нови трикове и трикове за намиране на производната, по-специално с логаритмичната производна.

Тези читатели, които имат ниско ниво на подготовка, трябва да се обърнат към статията Как да намеря производната? Примери за решениекоето ще ви позволи да повишите уменията си почти от нулата. След това трябва внимателно да проучите страницата Производна на сложна функция, разберете и решете всичкопримерите, които дадох. Този урок логично е третият поред и след като го овладеете, вие уверено ще разграничите доста сложни функции. Не е желателно да се придържате към позицията „Къде другаде? Да, и това е достатъчно! ”, Тъй като всички примери и решения са взети от реални тестове и често се срещат на практика.

Да започнем с повторението. На урока Производна на сложна функцияразгледахме редица примери с подробни коментари. В хода на изучаването на диференциалното смятане и други раздели от математическия анализ ще трябва да правите диференциация много често и не винаги е удобно (и не винаги е необходимо) да рисувате примери с големи подробности. Затова ще се упражняваме в устното намиране на производни. Най-подходящите "кандидати" за това са производни на най-простите сложни функции, например:

Според правилото за диференциране на сложна функция :

При изучаване на други теми на matan в бъдеще, такъв подробен запис най-често не се изисква, предполага се, че ученикът може да намери подобни производни на автопилот. Нека си представим, че в 3 часа през нощта телефонът звънна и приятен глас попита: „Каква е производната на тангенса на две х?“. Това трябва да бъде последвано от почти незабавен и учтив отговор: .

Първият пример веднага ще бъде предназначен за независимо решение.

Пример 1

Намерете следните производни устно, в една стъпка, например: . За да изпълните задачата, трябва само да използвате таблица на производните на елементарни функции(ако вече не си е спомнила). Ако имате някакви затруднения, препоръчвам да прочетете отново урока Производна на сложна функция.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Отговори в края на урока

Сложни производни

След предварителна артилерийска подготовка, примерите с 3-4-5 прикачени функции ще бъдат по-малко страшни. Може би следващите два примера ще им се сторят сложни, но ако бъдат разбрани (някой страда), тогава почти всичко останало в диференциалното смятане ще изглежда като детска шега.

Пример 2

Намерете производната на функция

Както вече беше отбелязано, при намирането на производната на сложна функция на първо място е необходимо правоРАЗБЕРЕТЕ ИНВЕСТИЦИИ. В случаите, когато има съмнения, ви напомням за един полезен трик: вземаме например експерименталната стойност "x" и се опитваме (умствено или на чернова) да заменим тази стойност в "ужасния израз".

1) Първо трябва да изчислим израза, така че сборът е най-дълбокото вложение.

2) След това трябва да изчислите логаритъма:

4) След това нарежете на куб косинус:

5) На петата стъпка разликата:

6) И накрая, най-външната функция е корен квадратен:

Формула за диференциране на сложни функции се прилагат в обратен ред, от най-външната функция към най-вътрешната. Ние решаваме:

Изглежда няма грешка...

(1) Вземаме производната на квадратния корен.

(2) Вземаме производната на разликата, използвайки правилото

(3) Производната на тройката е равна на нула. Във втория член вземаме производната на степента (куб).

(4) Вземаме производната на косинуса.

(5) Вземаме производната на логаритъма.

(6) Накрая вземаме производната на най-дълбокото гнездене.

Може да изглежда твърде трудно, но това не е най-бруталният пример. Вземете например колекцията на Кузнецов и ще оцените целия чар и простота на анализираната производна. Забелязах, че обичат да дават подобно нещо на изпита, за да проверят дали студентът разбира как се намира производната на сложна функция, или не разбира.

Следният пример е за самостоятелно решение.

Пример 3

Намерете производната на функция

Съвет: Първо прилагаме правилата за линейност и правилото за диференциране на продукта

Пълно решение и отговор в края на урока.

Време е да преминете към нещо по-компактно и по-красиво.
Не е необичайна ситуация, в която в пример е дадено произведението на не две, а три функции. Как да намерим производната на произведението на три фактора?

Пример 4

Намерете производната на функция

Първо, разглеждаме, но възможно ли е произведението на три функции да се превърне в продукт на две функции? Например, ако имаме два полинома в продукта, тогава бихме могли да отворим скобите. Но в този пример всички функции са различни: степен, степен и логаритъм.

В такива случаи е необходимо последователноприлага правилото за продуктова диференциация два пъти

Номерът е, че за "y" означаваме произведението на две функции: , а за "ve" - ​​логаритъмът:. Защо това може да се направи? Така ли - това не е продукт на два фактора и правилото не работи?! Няма нищо сложно:

Сега остава да приложим правилото втори път към скоба:

Все още можете да изкривите и да извадите нещо от скобите, но в този случай е по-добре да оставите отговора в тази форма - ще бъде по-лесно да проверите.

Горният пример може да бъде решен по втория начин:

И двете решения са абсолютно еквивалентни.

Пример 5

Намерете производната на функция

Това е пример за независимо решение, в пробата се решава по първия начин.

Разгледайте подобни примери с дроби.

Пример 6

Намерете производната на функция

Тук можете да отидете по няколко начина:

или така:

Но решението може да бъде написано по-компактно, ако на първо място използваме правилото за диференциране на частното , вземайки за целия числител:

По принцип примерът е решен и ако се остави в този вид, няма да е грешка. Но ако имате време, винаги е препоръчително да проверите черновата, но възможно ли е да се опрости отговорът? Привеждаме израза на числителя към общ знаменател и отървете се от триетажната фракция:

Недостатъкът на допълнителните опростявания е, че има риск от грешка не при намиране на производна, а при банални училищни трансформации. От друга страна, учителите често отхвърлят задачата и искат да „да я напомнят“ за производната.

По-прост пример за решение "направи си сам":

Пример 7

Намерете производната на функция

Продължаваме да усвояваме техниките за намиране на производната и сега ще разгледаме типичен случай, когато се предлага „ужасен“ логаритъм за диференциране

Пример 8

Намерете производната на функция

Тук можете да извървите дълъг път, като използвате правилото за диференциране на сложна функция:

Но първата стъпка веднага ви потапя в униние - трябва да вземете неприятна производна от дробна степен, а след това и от дроб.

Ето защо предикак да вземем производната на „фантастичния“ логаритъм, преди това е опростен с помощта на добре познати училищни свойства:

! Ако имате под ръка тетрадка за упражнения, копирайте тези формули точно там. Ако нямате тетрадка, нарисувайте ги на лист хартия, тъй като останалите примери от урока ще се въртят около тези формули.

Самото решение може да бъде формулирано по следния начин:

Нека трансформираме функцията:

Намираме производната:

Предварителната трансформация на самата функция значително опрости решението. Следователно, когато се предлага подобен логаритъм за диференциране, винаги е препоръчително да го „разбиете“.

И сега няколко прости примера за независимо решение:

Пример 9

Намерете производната на функция

Пример 10

Намерете производната на функция

Всички трансформации и отговори в края на урока.

логаритмична производна

Ако производната на логаритмите е толкова сладка музика, тогава възниква въпросът, възможно ли е в някои случаи логаритъмът да се организира изкуствено? Мога! И дори необходимо.

Пример 11

Намерете производната на функция

Подобни примери разгледахме наскоро. Какво да правя? Може последователно да се приложи правилото за диференциране на частното, а след това правилото за диференциране на произведението. Недостатъкът на този метод е, че получавате огромна триетажна фракция, с която изобщо не искате да се занимавате.

Но в теорията и практиката има такова прекрасно нещо като логаритмичната производна. Логаритмите могат да бъдат организирани изкуствено, като ги „окачат“ от двете страни:

Забележка : защото функцията може да приема отрицателни стойности, тогава, най-общо казано, трябва да използвате модули: , които изчезват в резултат на диференциацията. Въпреки това, настоящият дизайн също е приемлив, където по подразбиране е комплексстойности. Но ако с цялата строгост, тогава и в двата случая е необходимо да се направи резервация, че.

Сега трябва да „разбиете“ логаритъма на дясната страна колкото е възможно повече (формули пред очите ви?). Ще опиша този процес много подробно:

Да започнем с диференциацията.
Завършваме и двете части с щрих:

Производната на дясната страна е доста проста, няма да я коментирам, защото ако четете този текст, би трябвало да можете да се справите с него уверено.

Ами лявата страна?

От лявата страна имаме сложна функция. Предвидям въпроса: „Защо, има ли една буква „у“ под логаритъма?“.

Факт е, че тази "една буква у" - САМА ФУНКЦИЯ Е(ако не е много ясно, вижте статията Производна на имплицитно посочена функция). Следователно логаритъмът е външна функция, а "y" е вътрешна функция. И ние използваме правилото за диференциране на съставната функция :

От лявата страна, като по магия, имаме производно. Освен това, според правилото за пропорция, хвърляме "y" от знаменателя на лявата страна до върха на дясната страна:

И сега си спомняме за каква "игра"-функция говорихме при разграничаването? Нека разгледаме условието:

Краен отговор:

Пример 12

Намерете производната на функция

Това е пример "направи си сам". Примерен дизайн на пример от този тип в края на урока.

С помощта на логаритмичната производна беше възможно да се реши всеки от примерите № 4-7, друго е, че функциите там са по-прости и може би използването на логаритмичната производна не е много оправдано.

Производна на експоненциална функция

Все още не сме обмисляли тази функция. Експоненциалната функция е функция, която има и степента и основата зависят от "x". Класически пример, който ще ви бъде даден във всеки учебник или на всяка лекция:

Как да намерим производната на експоненциална функция?

Необходимо е да се използва току-що разгледаната техника - логаритмичната производна. Окачваме логаритми от двете страни:

По правило степента се изважда от под логаритъма от дясната страна:

В резултат на това от дясната страна имаме продукт от две функции, които ще бъдат диференцирани според стандартната формула .

Намираме производната, за това ограждаме и двете части под черти:

Следващите стъпки са лесни:

накрая:

Ако някаква трансформация не е напълно ясна, моля, прочетете внимателно обясненията на Пример 11.

В практическите задачи експоненциалната функция винаги ще бъде по-сложна от разглеждания пример от лекция.

Пример 13

Намерете производната на функция

Използваме логаритмичната производна.

От дясната страна имаме константа и произведението на два фактора - "x" и "логаритъм от логаритъма на x" (под логаритъма е вложен друг логаритъм). При диференциране на константа, както си спомняме, е по-добре веднага да я извадим от знака на производната, за да не пречи; и, разбира се, прилагайте познатото правило :

Мислите ли, че има още много време до изпита? Месец ли е? две? Година? Практиката показва, че студентът се справя най-добре с изпита, ако започне да се подготвя за него предварително. В Единния държавен изпит има много трудни задачи, които пречат на ученик и бъдещ кандидат към най-високите резултати. Тези препятствия трябва да се научат да преодоляват, освен това не е трудно да се направи това. Трябва да разберете принципа на работа с различни задачи от билети. Тогава няма да има проблеми с новите.

Логаритмите на пръв поглед изглеждат невероятно сложни, но при по-внимателен анализ ситуацията става много по-проста. Ако искате да издържите изпита с най-висок резултат, трябва да разберете въпросната концепция, която предлагаме да направите в тази статия.

Първо, нека разделим тези определения. Какво е логаритъм (логаритм)? Това е индикатор за мощността, до която трябва да се повдигне основата, за да се получи определеното число. Ако не е ясно, ще анализираме елементарен пример.

В този случай основата по-долу трябва да се повдигне на втора степен, за да се получи числото 4.

Сега нека се заемем с втората концепция. Производната на функция във всякаква форма се нарича понятие, което характеризира промяната на функция в намалена точка. Това обаче е училищна програма и ако имате проблеми с тези понятия поотделно, си струва да повторите темата.

Производна на логаритъма

В задачите на USE по тази тема могат да се посочат няколко задачи като пример. Нека започнем с най-простата логаритмична производна. Трябва да намерим производната на следната функция.

Трябва да намерим следващата производна

Има специална формула.

В този случай x=u, log3x=v. Заменете стойностите от нашата функция във формулата.

Производната на x ще бъде равна на единица. Логаритъмът е малко по-труден. Но ще разберете принципа, ако просто замените стойностите. Припомнете си, че производната lg x е производна на десетичния логаритъм, а производната ln x е производната на естествения логаритъм (по основата e).

Сега просто заменете получените стойности във формулата. Опитайте сами, след това проверете отговора.

Какъв може да е проблемът тук за някои? Въведохме понятието естествен логаритъм. Нека поговорим за това и в същото време да разберем как да разрешим проблемите с него. Няма да видите нищо сложно, особено когато разберете принципа на неговото действие. Трябва да свикнете с него, тъй като често се използва в математиката (особено във висшите учебни заведения).

Производна на естествения логаритъм

В основата си това е производната на логаритъма по основата e (това е ирационално число, равно на приблизително 2,7). Всъщност ln е много просто, поради което често се използва в математиката като цяло. Всъщност решаването на проблема с него също няма да е проблем. Струва си да се помни, че производната на естествения логаритъм по основата e ще бъде равна на единица, разделена на x. Решението на следващия пример ще бъде най-показателно.

Представете си я като сложна функция, състояща се от две прости.

достатъчно за трансформиране

Търсим производната на u спрямо x

Да продължим с втория

Използваме метода за решаване на производната на комплексна функция чрез заместване на u=nx.

Какво стана накрая?

Сега нека си спомним какво означаваше n в този пример? Това е всяко число, което може да се появи в естествения логаритъм преди x. Важно е да разберете, че отговорът не зависи от това. Заменете каквото и да е, отговорът пак ще бъде 1/x.

Както можете да видите, тук няма нищо сложно, достатъчно е просто да разберете принципа, за да решите бързо и ефективно проблеми по тази тема. Сега знаете теорията, остава да се консолидира на практика. Практикувайте решаването на проблеми, за да запомните принципа на решаването им за дълго време. Може да нямате нужда от тези знания след дипломирането, но на изпита ще са по-актуални от всякога. Късмет!

Много е лесно да се запомни.

Е, няма да стигнем далеч, веднага ще разгледаме обратната функция. Какво е обратното на експоненциалната функция? логаритъм:

В нашия случай основата е число:

Такъв логаритъм (тоест логаритъм с основа) се нарича „естествен“ и ние използваме специална нотация за него: вместо това пишем.

На какво е равно? Разбира се, .

Производната на естествения логаритъм също е много проста:

Примери:

1. Намерете производната на функцията.
2. Каква е производната на функцията?

Отговори: Показателят и естественият логаритъм са функции, които са уникално прости по отношение на производната. Експоненциалните и логаритмичните функции с всяка друга база ще имат различна производна, която ще анализираме по-късно, след като преминем през правилата за диференциране.

Правила за диференциране

Какви правила? Пак нов мандат?!...

Диференциацияе процесът на намиране на производната.

Само и всичко. Каква е друга дума за този процес? Не производство... Диференциалът на математиката се нарича самото приращение на функцията at. Този термин идва от латинското differentia - разлика. Тук.

Когато извеждаме всички тези правила, ще използваме две функции, например и. Ще ни трябват и формули за техните увеличения:

Има общо 5 правила.

Константата се изважда от знака на производната.

Ако - някакво постоянно число (константа), тогава.

Очевидно това правило работи и за разликата: .

Нека го докажем. Нека или по-лесно.

Примери.

Намерете производни на функции:

1. в точката;
2. в точката;
3. в точката;
4. в точката.

Решения:

1. (производната е една и съща във всички точки, тъй като е линейна функция, помните?);

Производно на продукт

Тук всичко е подобно: въвеждаме нова функция и намираме нейното увеличение:

производно:

Примери:

1. Намерете производни на функции и;
2. Намерете производната на функция в точка.

Решения:

Производна на експоненциална функция

Сега вашите знания са достатъчни, за да научите как да намирате производната на всяка експоненциална функция, а не само на степента (забравихте ли още какво е?).

И така, къде е някакво число.

Вече знаем производната на функцията, така че нека се опитаме да пренесем нашата функция на нова база:

За да направим това, използваме просто правило: . Тогава:

Е, проработи. Сега се опитайте да намерите производната и не забравяйте, че тази функция е сложна.

Се случи?

Ето, проверете сами:

Формулата се оказа много подобна на производната на степента: както беше, така и остана, се появи само фактор, който е просто число, но не и променлива.

Примери:
Намерете производни на функции:

Отговори:

Това е просто число, което не може да се изчисли без калкулатор, тоест не може да се напише в по-проста форма. Следователно в отговора е оставен в този вид.

Имайте предвид, че тук е частното от две функции, така че прилагаме подходящото правило за диференциране:

В този пример продуктът на две функции:

Производна на логаритмична функция

Тук е подобно: вече знаете производната на естествения логаритъм:

Следователно, за да намерите произволен от логаритъма с различна основа, например:

Трябва да приведем този логаритъм към основата. Как се променя основата на логаритъм? Надявам се да помните тази формула:

Само сега вместо ще напишем:

Знаменателят се оказа просто константа (постоянно число, без променлива). Производната е много проста:

Производни на експоненциалната и логаритмичната функции почти никога не се намират в изпита, но няма да е излишно да ги знаете.

Производна на сложна функция.

Какво е "сложна функция"? Не, това не е логаритъм и не е дъгова допирателна. Тези функции може да са трудни за разбиране (въпреки че ако логаритъмът ви се струва труден, прочетете темата "Логаритми" и всичко ще се получи), но от гледна точка на математиката думата "сложен" не означава "труден".

Представете си малък конвейер: двама души седят и правят някакви действия с някакви предмети. Например, първият увива шоколадов блок в обвивка, а вторият го завързва с панделка. Оказва се такъв композитен обект: шоколадова лента, увита и вързана с панделка. За да изядете шоколадов блок, трябва да направите обратните стъпки в обратен ред.

Нека създадем подобен математически тръбопровод: първо ще намерим косинуса на число, а след това ще квадратурираме полученото число. И така, те ни дават число (шоколад), аз намирам неговия косинус (обвивка) и след това квадратирате това, което имам (завържете го с панделка). Какво стана? Функция. Това е пример за сложна функция: когато, за да намерим нейната стойност, правим първото действие директно с променливата, а след това друго второ действие с това, което се е случило в резултат на първото.

С други думи, Сложната функция е функция, чийто аргумент е друга функция: .

За нашия пример,.

Можем да направим същите стъпки в обратен ред: първо квадратирате, а след това аз търся косинуса на полученото число:. Лесно е да се досетите, че резултатът почти винаги ще бъде различен. Важна характеристика на сложните функции: когато редът на действията се промени, функцията се променя.

Втори пример: (същото). .

Последното действие, което правим, ще бъде извикано "външна" функция, а извършеното първо действие – респ "вътрешна" функция(това са неформални имена, използвам ги само за да обясня материала на прост език).

Опитайте се сами да определите коя функция е външна и коя вътрешна:

Отговори:Разделянето на вътрешните и външните функции е много подобно на променящите се променливи: например във функцията

1. Какви действия ще предприемем първо? Първо изчисляваме синуса и едва след това го повишаваме до куб. Така че това е вътрешна функция, а не външна.
   И първоначалната функция е техният състав: .
2. Вътрешен: ; външен: .
   Преглед: .
3. Вътрешен: ; външен: .
   Преглед: .
4. Вътрешен: ; външен: .
   Преглед: .
5. Вътрешен: ; външен: .
   Преглед: .

променяме променливи и получаваме функция.

Е, сега ще извлечем нашия шоколад - потърсете производното. Процедурата винаги е обратна: първо търсим производната на външната функция, след това умножаваме резултата по производната на вътрешната функция. За оригиналния пример изглежда така:

Друг пример:

И така, нека най-накрая формулираме официалното правило:

Алгоритъм за намиране на производната на сложна функция:

Изглежда, че е просто, нали?

Нека проверим с примери:

Решения:

1) Вътрешни: ;

Външен: ;

2) Вътрешни: ;

(само не се опитвайте да намалите досега! Нищо не се изважда изпод косинуса, помните ли?)

3) Вътрешни: ;

Външен: ;

Веднага става ясно, че тук има сложна функция на три нива: в края на краищата това вече е сложна функция сама по себе си и ние все още извличаме корена от нея, тоест извършваме третото действие (поставяме шоколад в опаковка и с панделка в куфарче). Но няма причина да се страхуваме: така или иначе ще „разопаковаме“ тази функция в същия ред, както обикновено: от края.

Тоест първо диференцираме корена, след това косинуса и едва след това израза в скоби. И след това умножаваме всичко.

В такива случаи е удобно да номерирате действията. Тоест, нека си представим какво знаем. В какъв ред ще извършим действия за изчисляване на стойността на този израз? Нека да разгледаме пример:

Колкото по-късно се извърши действието, толкова по-„външна“ ще бъде съответната функция. Последователността на действията - както преди:

Тук гнезденето обикновено е на 4 нива. Нека определим начина на действие.

1. Радикален израз. .

2. Корен. .

3. Синус. .

4. Квадрат. .

5. Обединяване на всичко:

ПРОИЗВОДЕН. КРАТКО ЗА ОСНОВНОТО

Производна на функцията- съотношението на увеличението на функцията към нарастването на аргумента с безкрайно малко увеличение на аргумента:

Основни производни:

Правила за диференциране:

Константата се изважда от знака на производната:

Производна на сумата:

Производен продукт:

Производна на коефициента:

Производна на сложна функция:

Алгоритъм за намиране на производната на сложна функция:

1. Дефинираме "вътрешната" функция, намираме нейната производна.
2. Дефинираме "външната" функция, намираме нейната производна.
3. Умножаваме резултатите от първата и втората точка.

Доказателство и извеждане на формули за производната на естествения логаритъм и логаритъма по основа а. Примери за изчисляване на производни на ln 2x, ln 3x и ln nx. Доказателство на формулата за производната на логаритъм от n-ти порядък по метода на математическата индукция.

Съдържание

Вижте също: Логаритъм - свойства, формули, графика
Естествен логаритъм - свойства, формули, графика

Извеждане на формули за производни на естествения логаритъм и логаритъма по основа а

Производната на естествения логаритъм на x е равна на единица, разделена на x:
(1) (lnx)′ =.

Производната на логаритъма спрямо основата a е равна на единица, разделена на променливата x, умножена по естествения логаритъм на a:
(2) (log x)′ =.

Доказателство

Нека има някакво положително число, което не е равно на единица. Помислете за функция, която зависи от променливата x, която е основен логаритъм:
.
Тази функция се дефинира с . Нека намерим нейната производна по отношение на x . По дефиниция производната е следната граница:
(3) .

Нека трансформираме този израз, за ​​да го сведем до известни математически свойства и правила. За да направим това, трябва да знаем следните факти:
НО)Свойства на логаритъма. Нуждаем се от следните формули:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
Б)Непрекъснатост на логаритъма и свойство на границите за непрекъсната функция:
(7) .
Ето някаква функция, която има ограничение и тази граница е положителна.
В)Значението на второто прекрасно ограничение:
(8) .

Ние прилагаме тези факти до нашия лимит. Първо трансформираме алгебричния израз
.
За да направим това, прилагаме свойства (4) и (5).

.

Използваме свойство (7) и второто забележително ограничение (8):
.

И накрая, приложете свойство (6):
.
основен логаритъм дНаречен естествен логаритъм. Той е маркиран така:
.
Тогава ;
.

Така получихме формула (2) за производната на логаритъма.

Производна на естествения логаритъм

Още веднъж изписваме формулата за производната на логаритъма по база a:
.
Тази формула има най-простата форма за естествения логаритъм, за който , . Тогава
(1) .

Поради тази простота, естественият логаритъм се използва много широко в смятането и други области на математиката, свързани с диференциалното смятане. Логаритмичните функции с други бази могат да бъдат изразени чрез естествения логаритъм, използвайки свойство (6):
.

Основната производна на логаритъма може да се намери от формула (1), ако константата се извади от знака на диференциация:
.

Други начини за доказване на производната на логаритъма

Тук приемаме, че знаем формулата за производната на степента:
(9) .
Тогава можем да изведем формулата за производната на естествения логаритъм, като се има предвид, че логаритъмът е обратен на степента.

Нека докажем формулата за производната на естествения логаритъм, прилагане на формулата за производната на обратната функция:
.
В нашия случай. Обратното на естествения логаритъм е степента:
.
Производната му се определя по формула (9). Променливите могат да бъдат обозначени с всяка буква. Във формула (9) заменяме променливата x с y:
.
От тогава
.
Тогава
.
Формулата е доказана.

Сега доказваме формулата за производната на естествения логаритъм, използвайки правила за диференциране на сложна функция. Тъй като функциите и са обратни една на друга, тогава
.
Диференцирайте това уравнение по отношение на променливата x :
(10) .
Производната на х е равна на едно:
.
Прилагаме правилото за диференциране на сложна функция:
.
Тук . Заместете в (10):
.
Оттук
.

Пример

Намерете производни на в 2x, В 3хИ ln nx.

Оригиналните функции имат подобна форма. Следователно ще намерим производната на функцията y = log nx. След това заместваме n = 2 и n = 3. И по този начин получаваме формули за производни на В 2хИ В 3х .

И така, търсим производната на функцията
y = log nx .
Нека представим тази функция като сложна функция, състояща се от две функции:
1) Променливи зависими функции : ;
2) Променливи зависими функции : .
Тогава оригиналната функция се състои от функциите и:
.

Нека намерим производната на функцията по отношение на променливата x:
.
Нека намерим производната на функцията по отношение на променливата:
.
Прилагаме формулата за производната на комплексна функция.
.
Тук сме заменили.

Така че открихме:
(11) .
Виждаме, че производната не зависи от n. Този резултат е съвсем естествен, ако трансформираме оригиналната функция с помощта на формулата на логаритъма на произведението:
.
- е константа. Производната му е нула. Тогава, според правилото за диференциране на сумата, имаме:
.

; ; .

Производна на логаритъм по модул x

Нека намерим производната на друга много важна функция - естествения логаритъм на x модула:
(12) .

Нека разгледаме случая. Тогава функцията изглежда така:
.
Производната му се определя по формула (1):
.

Сега разгледайте случая. Тогава функцията изглежда така:
,
където .
Но също така открихме производната на тази функция в горния пример. Не зависи от n и е равно на
.
Тогава
.

Ние комбинираме тези два случая в една формула:
.

Съответно за логаритъма към основата а имаме:
.

Производни от по-висок порядък на естествения логаритъм

Помислете за функцията
.
Намерихме производната му от първи ред:
(13) .

Нека намерим производната от втори ред:
.
Нека намерим производната от третия ред:
.
Нека намерим производната от четвърти ред:
.

Вижда се, че производната от n-ти ред има формата:
(14) .
Нека докажем това чрез математическа индукция.

Доказателство

Нека заместим стойността n = 1 във формула (14):
.
Тъй като , тогава за n = 1 , формула (14) е валидна.

Да приемем, че формула (14) е изпълнена за n = k . Нека докажем, че от това следва, че формулата е валидна за n = k + 1 .

Наистина, за n = k имаме:
.
Диференцирайте по отношение на x :

.
Така че имаме:
.
Тази формула съвпада с формула (14) за n = k + 1 . По този начин, от допускането, че формула (14) е валидна за n = k, следва, че формула (14) е валидна за n = k + 1 .

Следователно, формула (14), за производна от n-ти ред, е валидна за всяко n .

Производни от по-висок порядък на логаритъма по основа a

За да намерите n-то производно на основния логаритъм a , трябва да го изразите чрез естествения логаритъм:
.
Прилагайки формула (14), намираме n-то производно:
.

Вижте също: