1. Проблем.
При какви стойности на параметъра ауравнението ( а - 1)х 2 + 2х + а- 1 = 0 има точно един корен?
1. Решение.
При а= 1 уравнението има формата 2 х= 0 и очевидно има уникален корен х= 0. Ако а№ 1, тогава това уравнение е квадратно и има един корен за тези стойности на параметъра, за които дискриминантът на квадратния триноми е нула. Приравнявайки дискриминанта на нула, получаваме уравнение за параметъра а
4а 2 - 8а= 0, откъдето а= 0 или а = 2.
1. Отговор:уравнението има уникален корен в а O (0; 1; 2).
2. Задачата.
Намерете всички стойности на параметрите аза което уравнението х 2 +4брадва+8а+3 = 0.
2. Решение.
Уравнението х 2 +4брадва+8а+3 = 0 има два различни корена, ако и само ако д =
16а 2 -4(8а+3)> 0. Получаваме (след намаляване с общ множител 4) 4 а 2 -8а-3> 0, откъдето
2. Отговор:
| а O (-Ґ; 1 - | C 7 2 |
) И (1 + | C 7 2 |
; Ґ ). |
3. Предизвикателството.
Известно е, че
е 2 (х) = 6х-х 2 -6.
а) Начертайте функцията е 1 (х) в а = 1.
б) На каква стойност афункционални графики е 1 (х) и е 2 (х) имат ли обща точка?
3. Решение.
3.а.Ние се трансформираме е 1 (х) по следния начин
Графиката на тази функция при а= 1 е показано на фигурата вдясно.
3.б.Отбелязваме веднага, че графиките на функциите y =
kx+би y = брадва 2 +bx+° С
(а№ 0) се пресичат в една точка тогава и само ако квадратно уравнение kx+б =
брадва 2 +bx+° Сима един корен. Използване на изгледа е 1 от 3.а, приравняваме дискриминанта на уравнението а = 6х-х 2-6 до нула. От уравнение 36-24-4 а= 0 получаваме а= 3. Правете същото с уравнение 2 х-а = 6х-х 2-6 находки а= 2. Лесно е да се провери дали тези стойности на параметъра отговарят на условията на задачата. Отговор: а= 2 или а = 3.
4. Предизвикателството.
Намерете всички стойности аза които множеството решения на неравенството х 2 -2брадва-3аи 0 съдържа сегмент.
4. Решение.
Първата координата на върха на параболата е(х) =
х 2 -2брадва-3ае равно на х 0 =
а... От имоти квадратна функциясъстояние е(х) и 0 на интервал е еквивалентно на набор от три системи
има точно две решения?
5. Решение.
Преписваме това уравнение като х 2 + (2а-2)х - 3а+7 = 0. Това е квадратно уравнение, то има точно две решения, ако дискриминантът му е строго по -голям от нула. Изчислявайки дискриминанта, откриваме, че условието за наличието на точно два корена е изпълнението на неравенството а 2 +а-6> 0. Решавайки неравенството, намираме а < -3 или а> 2. Очевидно първото от неравенствата няма решения в естествени числа, а най -малкото естествено решение на второто е числото 3.
5. Отговор: 3.
6. Проблем (10 степени)
Намерете всички стойности апри която графиката на функцията или след очевидни трансформации, а-2 = |
2-а| ... Последното уравнение е еквивалентно на неравенството а i 2.
6. Отговор: аО; ако стойностите на параметъра а са повече от един, тогава уравнението ще има два корена.
Все още имате въпроси? Не сте сигурни как да решите уравнения с параметър?
За да получите помощ от учител - регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!
сайт, с пълно или частично копиране на материала, е необходима връзка към източника.
За какви стойности на параметъра $ a $ неравенството $ () - x ^ 2 + (a + 2) x - 8a - 1> 0 $ има поне едно решение?
Решение
Нека намалим това неравенство до положителен коефициент за $ x ^ 2 $:
$ () - x ^ 2 + (a + 2) x - 8a - 1> 0 \ quad \ Leftrightarrow \ quad x ^ 2 - (a + 2) x + 8a + 1< 0 .$
Нека изчислим дискриминанта: $ D = (a + 2) ^ 2 - 4 (8a + 1) = a ^ 2 + 4a + 4 - 32a - 4 = a ^ 2 - 28a $. За да има това неравенство решение, е необходимо поне една точка от параболата да лежи под оста $ x $. Тъй като клоните на параболата са насочени нагоре, за това е необходимо квадратният триномиал от лявата страна на неравенството да има два корена, тоест неговият дискриминант е положителен. Стигаме до необходимостта да решим квадратното неравенство $ a ^ 2 - 28a> 0 $. Квадратният триномиал $ a ^ 2 - 28a $ има два корена: $ a_1 = 0 $, $ a_2 = 28 $. Следователно неравенството $ a ^ 2 - 28a> 0 $ се удовлетворява от интервалите $ a \ in ( - \ infty; 0) \ cup (28; + \ infty) $.
Отговор.$ a \ in (- \ infty; 0) \ cup (28; + \ infty) $.
За какви стойности на параметъра $ a $ уравнението $ (a-2) x ^ 2-2ax + a + 3 = 0 $ има поне един корен и всички корени са положителни?
Решение
Нека $ a = 2 $. Тогава уравнението приема формата $ () - 4x +5 = 0 $, откъдето получаваме, че $ x = \ dfrac (5) (4) $ е положителен корен.
Сега нека $ a \ ne 2 $. Оказва се квадратно уравнение. Нека първо да определим за какви стойности на параметъра $ a $ това уравнение има корени. Необходимо е дискриминантът му да е неотрицателен. Това е:
$ D = 4a ^ 2 -4 (a -2) (a + 3) = () -4a + 24 \ geqslant 0 \ Leftrightarrow a \ leqslant 6. $
Корените по условието трябва да са положителни, следователно от теоремата на Виета получаваме системата:
$ \ start (случаи) x_1 + x_2 = \ dfrac (2a) (a - 2)> 0, \\ x_1x_2 = \ dfrac (a + 3) (a - 2)> 0, \\ a \ leqslant 6 \ end (случаи) \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ begin (случаи) a \ in (- \ infty; 0) \ cup (2; + \ infty), \\ a \ in (- \ infty; -3) \ cup ( 2; + \ infty), \\ a \ in (- \ infty; 6] \ end (случаи) \ quad \ Leftrightarrow \ quad a \ in (- \ infty; -3) \ cup (2; 6]. $
Комбинирайки отговорите, получаваме необходимия набор: $ a \ in ( - \ infty; -3) \ cup $.
Отговор.$ a \ in ( - \ infty; -3) \ чаша $.
За какви стойности на параметъра $ a $ неравенството $ ax ^ 2 + 4ax + 5 \ leqslant 0 $ няма решения?
Решение
- Ако $ a = 0 $, това неравенство се изражда в неравенството $ 5 \ leqslant 0 $, което няма решения. Следователно стойността $ a = 0 $ удовлетворява условието на задачата.
- Ако $ a> 0 $, тогава графиката на квадратния триномиал от лявата страна на неравенството е парабола с клони, насочени нагоре. Изчислете $ \ dfrac (D) (4) = 4a ^ 2 - 5a $. Неравенството няма решения, ако параболата се намира над оста на абсцисата, тоест когато квадратният триномиал няма корени ($ D< 0$). Решим неравенство $4a^2 - 5a < 0$. Корнями квадратного трёхчлена $4a^2 - 5a$ являются числа $a_1 = 0$ и $a_2 = \dfrac{5}{4}$, поэтому $D < 0$ при $0 < a < \dfrac{5}{4}$. Значит, из положительных значений $a$ подходят числа $a \in \left(0; \dfrac{5}{4}\right)$.
- Ако $ a< 0$, то график квадратного трехчлена в левой части неравенства - парабола с ветвями, направленными вниз. Значит, обязательно найдутся значения $х$, для которых трёхчлен отрицателен. Следовательно, все значения $a < 0$ не подходят.
Отговор.$ a \ in \ left $ лежи между корените, така че трябва да има два корена (следователно $ a \ ne 0 $). Ако клоните на параболата $ y = ax ^ 2 + (a + 3) x - 3a $ са насочени нагоре, тогава $ y (-1)< 0$ и $y(1) < 0$; если же они направлены вниз, то $y(-1) >0 $ и $ y (1)> 0 $.
Случай I.Нека $ a> 0 $. Тогава
$ \ left \ (\ begin (array) (l) y (-1) = a- (a + 3) -3a = -3a-3<0 \\ y(1)=a+(a+3)-3a=-a+3<0 \\ a>0 \ end (масив) \ вдясно. \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ left \ (\ begin (array) (l) a> -1 \\ a> 3 \\ a> 0 \ end (array) \ right. \ quad \ Leftrightarrow \ quad a> 3. $
Тоест в този случай се оказва, че всички $ a> 3 $ са подходящи.
Случай II.Нека $ a< 0$. Тогда
$ \ left \ (\ begin (array) (l) y (-1) = a- (a + 3) -3a = -3a -3> 0 \\ y (1) = a + (a + 3) - 3a = -a + 3> 0 \\ a<0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} a<-1 \\ a<3 \\ a<0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad a<-1.$
Тоест в този случай се оказва, че всички $ a< -1$.
Отговор.$ a \ in ( - \ infty; -1) \ cup (3; + \ infty) $
Намерете всички стойности на параметъра $ a $, за всяка от които системата от уравнения
$ \ begin (случаи) x ^ 2 + y ^ 2 = 2a, \\ 2xy = 2a-1 \ end (случаи) $
има точно две решения.
Решение
Извадете втория от първия: $ (x-y) ^ 2 = 1 $. Тогава
$ \ наляво [\ begin (масив) (l) x-y = 1, \\ x-y = -1 \ end (масив) \ вдясно. \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ left [\ begin (масив) (l) x = y + 1, \\ x = y-1. \ end (масив) \ вдясно. $
Замествайки получените изрази във второто уравнение на системата, получаваме две квадратни уравнения: $ 2y ^ 2 + 2y - 2a + 1 = 0 $ и $ 2y ^ 2 - 2y - 2a + 1 = 0 $. Дискриминантът на всеки от тях е $ D = 16a-4 $.
Обърнете внимание, че не може да се случи двойка корени от първото квадратно уравнение да съвпадне с двойка корени от второто квадратно уравнение, тъй като сумата от корените на първото е $ -1 $, а второто е 1.
Това означава, че всяко от тези уравнения трябва да има един корен, тогава първоначалната система ще има две решения. Тоест $ D = 16a - 4 = $ 0.
Отговор.$ a = \ dfrac (1) (4) $
Намерете всички стойности на параметъра $ a $, за всяка от които уравнението $ 4x- | 3x- | x + a || = 9 | x-3 | $ има два корена.
Решение
Нека препишем уравнението като:
$ 9 | x-3 | -4x + | 3x- | x + a || = 0. $
Помислете за функцията $ f (x) = 9 | x-3 | -4x + | 3x- | x + a || $.
За $ x \ geqslant 3 $ първият модул се разширява със знак плюс и функцията приема формата: $ f (x) = 5x-27 + | 3x- | x + a || $. Очевидно всяко разширяване на модулите ще доведе до линейна функция с коефициент $ k \ geqslant 5-3-1 = 1> 0 $, тоест тази функция се увеличава неопределено на този интервал.
Помислете сега за интервала $ x<3$. В этом случае первый модуль раскрывается с минусом, и функция принимает следующий вид: $f(x) = - 13x+27+|3x-|x+a||$. При любом раскрытии модулей в итоге будет получаться линейная функция с коэффициентом $k\leqslant - 13+3+1 = - 9<0$, то есть на этом промежутке функция убывает.
И така, получихме, че $ x = 3 $ е минималната точка на тази функция. Това означава, че за да има първоначалното уравнение две решения, стойността на функцията в минималната точка трябва да бъде по -малка от нула. Тоест, неравенството важи: $ f (3)<0$.
$ 12- | 9- | 3 + a ||> 0 \ quad \ Leftrightarrow \ quad | 9- | 3 + a ||< 12 \quad \Leftrightarrow \quad -12 < 9-|3+a| < 12 \quad \Leftrightarrow \quad$
$ \ Leftrightarrow \ quad | 3 + a |< 21 \quad \Leftrightarrow \quad - 21 < 3+a < 21 \quad \Leftrightarrow \quad -24 Отговор.$ a \ in (-24; 18) $ За какви стойности на параметъра $ a $ уравнението $ 5 ^ (2x) -3 \ cdot 5 ^ x + a -1 = 0 $ има един корен? Нека направим промяната: $ t = 5 ^ x> 0 $. Тогава първоначалното уравнение приема формата на квадратно уравнение: $ t ^ 2-3t + a-1 = 0 $. Първоначалното уравнение ще има един корен, ако това уравнение има един положителен корен или два корена, единият от които е положителен, а другият отрицателен. Дискриминантът на уравнението е: $ D = 13-4a $. Това уравнение ще има един корен, ако полученият дискриминант е равен на нула, тоест за $ a = \ dfrac (13) (4) $. В този случай коренът $ t = \ dfrac (3) (2)> 0 $, така че дадената стойност $ a $ се вписва. Ако има два корена, единият от които е положителен, а другият положителен, тогава $ D = 13-4a> 0 $, $ x_1 + x_2 = 3> 0 $ и $ x_1x_2 = a-1 \ leqslant 0 $. Тоест $ a \ in (- \ infty; 1] $ Отговор.$ a \ in (- \ infty; 1] \ cup \ left \ (\ dfrac (13) (4) \ right \) $ Намерете всички стойности на параметъра $ a $, за които системата $ \ begin (случаи) \ log_a y = (x ^ 2-2x) ^ 2, \\ x ^ 2 + y = 2x \ end (случаи) $ има точно две решения. Преобразуваме системата в следната форма: $ \ begin (случаи) \ log_a y = (2x-x ^ 2) ^ 2, \\ y = 2x-x ^ 2. \ end (случаи) $ Тъй като параметърът $ a $ е в основата на логаритъма, върху него се налагат следните ограничения: $ a> 0 $, $ a \ ne 1 $. Тъй като променливата $ y $ е аргументът на логаритъма, тогава $ y> 0 $. Комбинирайки двете уравнения на системата, преминаваме към уравнението: $ \ log_a y = y ^ 2 $. В зависимост от това какви стойности приема параметърът $ a $, са възможни два случая: Отговор.$ a \ in (0; 1) $ Да разгледаме случая, когато $ a> 1 $. Тъй като за големи модулни стойности на $ t $ графиката на функцията $ f (t) = a ^ t $ лежи над правата линия $ g (t) = t $, единствената обща точка може да бъде само точка на допирност. Нека $ t_0 $ е точката на допир. В този момент производната на $ f (t) = a ^ t $ е равна на единица (тангента на ъгъла на наклона на тангентата), освен това стойностите на двете функции съвпадат, т.е. системата се осъществява: $ \ start (случаи) a ^ (t_0) \ ln a = 1, \\ a ^ (t_0) = t_0 \ end (случаи) \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ begin (случаи) a ^ (t_0) = \ dfrac (1) (\ ln a), \\ a ^ (\ tau) = \ tau \ end (случаи) $ От където $ t_0 = \ dfrac (1) (\ ln a) $. $ a ^ (\ frac (1) (\ ln a)) \ ln a = 1 \ quad \ Leftrightarrow \ quad a ^ (\ log_a e) = \ frac (1) (\ ln a) \ quad \ Leftrightarrow \ quad a = e ^ (\ frac (1) (e)). $ В същото време правата линия и експоненциалната функция очевидно нямат други общи точки. Отговор.$ a \ in (0; 1] \ чаша \ наляво \ (e ^ (e ^ (- 1)) \ надясно \) $Решение
Решение
