Геометрическое определение вероятности. Задачи с решениями

За окном ранние осенние деньки, и жёлтая листва на деревьях навевает лирическое и немного грустное настроение…. Но впереди ещё целый учебный год и в такие моменты нужно обязательно настроиться на плодотворную работу! Спешу обрадовать всех хандрящих читателей своим фирменным рецептом, позволяющим быстро повысить тонус своего организма. Для этого достаточно немножко вспомнить геометрию … …нет, я согласен, что иногда она усыпляет, но в небольших дозах – исключительно бодрит! И, главное, очень действенно – как только начинаешь принимать живительные порции знаний, так сразу никакой сезонной депрессии!

Ещё на первом уроке по теме мы познакомились с классическим определением вероятности появления некоторого события в испытании и простейшей формулой , где – общее число всех возможных равновозможных , элементарных исходов данного испытания, а – кол-во элементарных исходов, благоприятствующих событию .

Возникли затруднения с терминологией и/или пониманием? Пожалуйста, начните с основ теории вероятностей .

Едем дальше: классическое определение вероятности оказывается эффективным для решения целого спектра задач, но с другой стороны, обладает и рядом недостатков. Даже правильнее сказать, не недостатков, а ограничений. Одним из таких ограничений является тот факт, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным количеством исходов. Простейший пример:

На отрезок наудачу бросается голодная точка. Какова вероятность того, что она попадёт в промежуток ?

Поскольку на отрезке бесконечно много точек, то здесь нельзя применить формулу (ввиду бесконечно большого значения «эн») и поэтому на помощь приходит другой подход, называемый геометрическим определением вероятности .

Всё очень похоже: вероятность наступления некоторого события в испытании равна отношению , где – геометрическая мера , выражающая общее число всех возможных и равновозможных исходов данного испытания, а – мера , выражающая количество благоприятствующих событию исходов. На практике в качестве такой геометрической меры чаще всего выступает длина или площадь, реже – объём.

Рассмотрим событие: – брошенная на отрезок точка, попала в промежуток . Очевидно, что общее число исходов выражается длиной бОльшего отрезка: , а благоприятствующие событию исходы – длиной вложенного отрезка: По геометрическому определению вероятности:

Слишком просто? Как и в случае с классическим определением , это обманчивое впечатление. Обстоятельно и добросовестно разбираемся в практических примерах:

Задача 1

Метровую ленту случайным образом разрезают ножницами. Найти вероятность того, что длина обрезка составит не менее 80 см.

Решение : «чего тут сложного? Вероятность равна 1/5-й». Это автоматическая ошибка, которую допускают по небрежности. Да, совершенно верно – длина обрезка составит не менее 80 см, если от ленты отрезать не более 20 сантиметров. Но здесь часто забывают, что искомый разрез можно сделать как с одного конца ленты, так и с другого :

Рассмотрим событие: – длина обрезка составит не менее 0,8 м.

Поскольку ленту можно разрезать где угодно, то общему числу исходов соответствует её длина: Благоприятствующие событию участки разреза отмечены на рисунке красным цветом и их суммарная длина равна:

Ответ : 0,4

Какой можно сделать вывод? Даже если задача кажется вам очень простой, НЕ СПЕШИТЕ. Импульсивность вообще штука скверная – это ошибки, ненужные покупки, испорченные кожные покровы отношения и т.д.… но не будем о грустном!

При оформлении задач следует обязательно указывать размерность (единицы, метры, квадратные единицы, квадратные метры и т.д.) . Кстати, обратите внимание, что на финальном этапе вычислений геометрическая мера сокращается. Так в рассмотренном примере, сократились метры: , в результате чего получилась привычная безразмерная вероятность.

Задача 2

После бури на участке между 40-м и 70-м километрами телефонной линии произошёл обрыв провода. Какова вероятность того, что он произошёл между 50-м и 55-м километрами линии?

Краткое и решение и ответ в конце урока.

Значительно чаще встречаются примеры, в которых фигурируют площади:

Задача 3

В треугольник со сторонами вписан круг. Точка произвольно ставится в треугольник. Найти вероятность того, что точка попадёт в круг.

Напоминаю, что вписанный круг лежит внутри треугольника и касается его сторон в 3 точках

Решение : поскольку точка ставится в треугольник, а круг лежит внутри, то общему числу исходов соответствует площадь треугольника, а множеству благоприятствующих исходов – площадь вписанного круга. Что тут сказать? Ищем площади:

Если даны длины сторон треугольника, то его площадь удобно найти по формуле Герона :
, где – длины сторон треугольника, а – полупериметр.

Сначала вычислим полупериметр треугольника: , а затем его площадь:

Методику вынесения множителей из-под корня я освещал ещё в древние-древние времена на вводном уроке по аналитической геометрии .

Площадь вписанного круга найдём по формуле , где – его радиус.

Откуда брать геометрические формулы? Нужные формулы можно найти в школьном учебнике или другом источнике информации. При этом нет никакой необходимости специально их разучивать, лично я вспомнил только , а всё остальное в считанные минуты нашёл в Википедии. И через считанные минуты всё это благополучно забуду =)

Итак, площадь вписанного круга:

По геометрическому определению:
– вероятность того, что точка попадёт во вписанный круг.

Ответ :

Более простой пример для самостоятельного решения:

Задача 4

В круге радиуса 10 см находится прямоугольный треугольник с катетами 12 и 7 см. В круг наудачу ставится точка. Найти вероятность того, что она не попадёт в данный треугольник.

Следует отметить, что в этой задаче треугольник вовсе не обязан как-то касаться окружности, он просто расположен внутри круга и всё. Будьте внимательны!

А теперь рассмотрим широко известную задачу о встрече:

Задача 5

Две грузовые машины могут подойти на погрузку в промежуток времени от 19.00 до 20.30. Погрузка первой машины длится 10 минут, второй – 15 минут. Какова вероятность того, что одной машине придется ждать окончания погрузки другой?

Давайте немного осмыслим условие. Во-первых, автомобили могут подойти на погрузку в любом порядке, а во-вторых – в любые моменты времени в течение полутора часов. По первой оглядке решение представляется довольно трудным. И для неподготовленного человека оно действительно окажется «не по зубам». Подробный анализ метода решения этой задачи можно найти, например, в учебном пособии Гмурмана, я же ограничусь в известной степени формальным алгоритмом:

Решение :сначала выясняем длительность временнОго промежутка, на котором может состояться встреча. В данном случае, как уже отмечено выше, это полтора часа или 90 минут. При этом здесь не имеют особого значения фактические временнЫе рамки – погрузка автомобилей, может состояться, например, утром с 8.30 до 10.00, и решение будет точно таким же.

Вычисления допустимо проводить как в долях часа, так и в минутах. На мой взгляд, в большинстве случаев удобнее работать с минутами – меньше путаницы.

Уточним нижний предел интегрирования аналитически (найдём точку пересечения гиперболы и прямой ) :

На отрезке прямая расположена не ниже гиперболы ,
по соответствующей формуле :

По геометрическому определению:
– вероятность того, что произведение двух загаданных в промежутке от 0 до 5 чисел окажется больше двух.

Ответ :

Аналогичный пример для самостоятельного решения.

IV. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

СТАТИСТИКА

Справочный материал и принципы решения задач

Классическое определение вероятности

Под опытом или экспериментом будем понимать всякое осуществление комплекса определенных условий, в результате которых будет происходить интересующее нас явление.

Пример 1. Опыт σ: стрельба по мишени. Событие А – попадание по мишени. Событие В – промах.

Пример 2. Опыт σ: выбор изделий из партии готовых. Событие А – изделие браковано. Событие В – изделие стандартное.

Элементарным событием (или элементарным исходом) называется любой простейший, то есть неделимый в рамках данного эксперимента, исход опыта. Множество всех элементарных исходов будем называть пространством элементарных событий и обозначать Ω. То есть множество исходов опытов образует пространство элементарных событий, если:

В результате опыта один из исходов обязательно происходит;

Появление одного из исходов опыта исключает появление остальных;

В рамках данного опыта нельзя разделить элементарный исход на более мелкие составляющие.

Записывают это так:

Ω ={w 1, w 2, …w n ,…}={w k , k=1…n, …}.

Пример 3. Опыт: подбрасывание монеты 1 раз.

Здесь Ω={w г, w ц }, где w г – выпадение герба, w ц – выпадение цифры.

Опыт: монета подбрасывается 2 раза. В данном случае пространство элементарных событий Ω={w г г, w г ц, w ц г, w ц ц }.

Опыт заключается в определении числа вызовов, поступивших на телефонную станцию за время Т. Здесь Ω={0,1,2.…n,… }.

Любой набор элементарных исходов или произвольное подмножество А Ω называется случайным событием .

Пусть Ω - пространство элементарных событий, S - некоторое подмножество случайных событий, удовлетворяющее следующим условиям:

Множество S – замкнуто относительно операций сложения, умножения и отрицания.

Достоверное E и невозможное события принадлежат S.

Иногда требуют большего: для любой бесконечной последовательности событий

Подмножество S, удовлетворяющее этим условиям, называется σ – алгеброй.

Пусть задана функция, которая каждому случайному событию из S ставит в соответствие число из интервала ; Р: S → , и при этом выполняются следующие аксиомы:

,

Р(Е)=1, Р(Ø)=0,

Для любой последовательности А 1 ,…А n … попарно несовместных событий А i ÎS,

"i,j, і≠ј ,

.

Функцию Р, удовлетворяющую этим аксиомам, называют вероятностью , а значение Р(A) называют вероятностью события А .

Определение. Тройка объектов (Ω, S, Р) , где Ω – пространство элементарных событий, S – σ-алгебра, Р – вероятность, называется вероятностным пространством.

Классическое определение вероятности служит хорошей математической моделью тех случайных явлений, для которых исходов опыта конечное число n и все исходы равновозможны. В классическом определении вероятности полагают:

;

Вероятность события равной

Иными словами вероятность события равна отношению числа элементарных событий , входящих в , к общему числу элементарных событий в .

Общепринята так же следующая формулировка классического определения вероятности: вероятностью события называется отношение числа исходов опыта, благоприятствующих появлению события , к общему числу равновозможных исходов опыта.

То есть вероятность события определяется как .

Пример 4. Какова вероятность появления герба, по крайней мере, один раз при двукратном бросании монеты?

Решение. Пространство равновозможных элементарных событий данного опыта состоит из следующих событий: Событие ={при двукратном бросании монеты герб появится, по крайней мере, один раз} состоит из несовместных элементарных событий . Следовательно, .

Таким образом, .

Пример 5. Какова вероятность того, что случайно названное двузначное число будет делиться на одиннадцать без остатка?

Решение. Так как всех двузначных чисел 90, то число равновозможных исходов данного опыта . Из этих чисел на 11 без остатка делятся 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99. Следовательно, число исходов, благоприятствующих событию {двузначное число будет делиться на одиннадцать без остатка} . Искомая вероятность будет равна .

Пример 6. Какова вероятность того, что в сентябре наугад выбранного года окажется 5 воскресений?

Решение. В сентябре любого года 30 дней. Количество воскресений в сентябре зависит от того, какой день недели будет 1-е сентября. 1-е сентября может быть любым днём недели. Так как в неделе 7 дней, то и число всех возможных исходов . Если сентябрь начнется с понедельника, вторника, среды, четверга или пятницы то воскресений будет 4. Если сентябрь начнется с субботы или воскресенья, то воскресений будет 5. Среди 7 равновозможных исходов 2 будут благоприятны событию {в сентябре наугад выбранного года окажется 5 воскресений}, следовательно, . Искомая вероятность .

Пример 7. Имеются пять отрезков длиной 3, 5, 6, 9 и 11 см. Определить вероятность того, что из трех наугад взятых отрезков (из этих пяти) можно построить треугольник.

Решение. Имеется равновозможных исходов данного опыта: , , , , , , , , , .

Для того чтобы из трех отрезков можно было построить треугольник, необходимо, чтобы больший отрезок был меньше суммы двух других отрезков. Этому условию удовлетворяют следующие исходы , , , , . Число таких исходов . Следовательно,

.

В тех случаях, когда прямой перебор всех возможных исходов становится громоздким, целесообразно использовать комбинаторику.

Элементы комбинаторики

Пусть дано множество , состоящее из элементов. Существуют два принципиально различных способа выбора элементов из множества : выбор элементов без возвращения и выбор элементов с возвращением.

Первый способ выбора элементов приводит к понятиям перестановок, размещений и сочетаний без повторений или просто перестановок, размещений и сочетаний; второй – к понятиям перестановок, размещений и сочетаний с повторениями.

Перестановкой из элементов называется любой упорядоченный набор этих элементов. Каждая перестановка содержит элементов. Перестановки различаются между собой лишь порядком расположения элементов. Число различных перестановок из элементов вычисляется по формуле

.

Размещением из элементов по называется любой упорядоченный набор из различных элементов, выбранных из общей совокупности в элементов. Размещения отличаются друг от друга или порядком расположения элементов, или хотя бы одним элементом.

Число размещений вычисляется по формуле .

Сочетанием из элементов по называется любой неупорядоченный набор из различных элементов, выбранных из общей совокупности в элементов. Сочетания отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.

Число сочетаний вычисляется по формуле

.

Свойства сочетаний:

Пример 8. Пусть имеется множество из трёх элементов. Тогда все размещения двух элементов из трёх таковы: Все перестановки множества имеют вид: и Все сочетания двух элементов из множества таковы:

Размещения и сочетания с повторениями отличаются от размещений и сочетаний без повторений только тем, что в этих соединениях могут присутствовать повторяющиеся элементы.

Число размещений из элементов по с повторениями вычисляется по формуле .

Число сочетаний из элементов по с повторениями вычисляется по формуле .

Поскольку в таком виде соединений как перестановки с повторениями участвуют все элементы множества , то повторение элементов должно быть заложено в элементах множества . Так, если содержит элементов первого типа, элементов второго типа, …, элементов го типа , то число перестановок с повторениями вычисляется по формуле .

При решении комбинаторных задач могут быть полезны следующие два правила:

Правило суммы: если объект может быть выбран способами, а объект может быть выбран способами, то выбор «либо , либо » может быть осуществлен способами.

Правило произведения: если объект может быть выбран способами и после каждого из таких выборов объект , в свою очередь, может быть выбран способами, то выбор « и » в указанном порядке может быть осуществлен способами.

Пример 9. Пусть имеется групп элементов, причем -я группа состоит из – элементов. Выберем по одному элементу из каждой группы, тогда общее число способов, которыми можно произвести такой выбор по правилу произведения

. (1)

Если , то можно считать, что выбор производится из одной и той же группы, причем элемент после выбора снова возвращается в группу. Тогда .

Пример 10. Преподаватель предлагает каждому из трех студентов задумать любое число от 1 до 10. Считая, что выбор каждым студентом любого числа из заданных равновозможен, найти вероятность того, что у кого-то из троих задуманные числа совпадут.

Решение . Вначале посчитаем общее количество исходов. Первый из студентов выбирает одно из 10 чисел, Второй и третий делают то же самое, Согласно формуле (1), общее число способов будет равно Подсчитаем число благоприятных исходов. Для этого сначала найдем общее число комбинаций задуманных чисел, в которых нет совпадений. Первый студент может выбрать любое из 10 чисел, второй любое из 9 чисел, а третий студент – любое из оставшихся 8 чисел. Поэтому общее число комбинаций задуманных чисел, в которых нет совпадений, по формуле (1) равно Остальные случаи (1000 – 720 =280) характеризуются наличием хотя бы одного совпадения. Следовательно, искомая вероятность равна

Пример 11. По линии связи в случайном порядке передаются все буквы русского алфавита. Найти вероятность того, что на ленте появится последовательность букв, которая начинается словом «мир».

Решение. Русский алфавит содержит 33 буквы. Так как по линии связи передаются все буквы, то число равновозможных исходов опыта . Из этих исходов благоприятными появлению события {появится последовательность букв, которая начинается словом «мир»} будут все исходы, в которых на первых трех позициях будет стоять слово «мир» (такому выбору соответствует один исход), а остальные позиции будут заполнены любым образом (число таких вариантов ). По правилу произведения число благоприятных исходов .

Следовательно,

Пример 12. Из урны, содержащей 3 шара, три раза наудачу вынимается по одному шару с возвращением каждый раз обратно. Найти вероятность того, что в руке перебывают все шары.

Решение. По условию задачи шары возвращаются в урну, следовательно, имеем схему выбора элементов с возвращением.

Число всех возможных исходов данного опыта – это число размещений из трех элементов по три с повторениями, то есть

.

Благоприятными событию A ={ } будут те исходы, в которых элементы (шары) не будут повторяться. Число таких исходов – это число размещений из трех элементов по три, или число перестановок из трех элементов, то есть . Так как все исходы опыта равновозможные, то

.

Пример 13. Технический контроль проверяет из партии в 500 деталей 20 деталей, взятых наудачу. Партия содержит 15 нестандартных деталей. Какова вероятность того, что среди проверяемых деталей будет ровно две нестандартные?

Решение. Так как по условию задачи 20 деталей из 500 извлекаются наудачу, то все возможные варианты извлечения 20 деталей из 500 естественно считать равновозможными и для нахождения требуемой вероятности воспользоваться классической схемой (классическим определением вероятности).

Порядок следования стандартных и нестандартных деталей в извлекаемых 20 не играет роли. Важно только количество стандартных и нестандартных деталей. Следовательно, количество всех возможных способов, которыми это можно сделать, равно , то есть .

Событию ={среди проверяемых деталей будет ровно две нестандартные} (следовательно, остальные 18 должны быть стандартными), будет соответствовать (правило произведения) исходов, то есть . Таким образом,

.

Пример 14. Трехзначное число составляется следующим образом: бросаются три игральные кости: белая, синяя и красная; число выпавших очков на белой кости – это число сотен, число выпавших очков на синей кости – это число десятков, а число выпавших очков на красной кости – это число единиц трехзначного числа. Какова вероятность того, что полученное таким образом число будет больше 456?

Решение. Количество всех чисел, которые можно получить указанным способом, в соответствие с правилом произведения, будет равно .

Посчитаем количество исходов опыта, благоприятных появлению события А. Числа, большие 456, будут получаться, если число сотен будет больше 4, то есть 5 или 6 или число сотен будет равно 4, а число десятков будет больше чем 5, то есть 6. Пусть число сотен будет равно 5. Таких опытов будет так как число десятков и единиц может произвольно меняться от 1 до 6. Такие же рассуждения справедливы, если число сотен равно 6. Опытов, у которых первые две цифры 45 будет 6. Используя правила произведения и суммы, найдем количество таких чисел . Так как все исходы опыта равновозможные, то искомая вероятность .

Пример 15. Трем радиостанциям разрешена работа на шести различных частотах. Определить вероятность того, что, по крайней мере, две радиостанции будут работать на одинаковых частотах, если выбор частот производится наугад.

Решение. Число всех равновозможных исходов опыта – это число размещений из шести элементов (частот) по три с повторениями, то есть . Благоприятными событию A ={по крайней мере, две радиостанции будут работать на одинаковых частотах} будут те исходы, в которых элементы (частоты) будут повторяться. Число таких исходов – представляет собой сумму исходов, в которых две радиостанции работают на одной частоте – и три радиостанции работают на одной частоте – . Число исходов, в которых две из трех радиостанций могут работать на одной из шести частот, – это . Число различных частот – 6. Третья радиостанция может работать на одной из пяти «незанятых» частот. По правилу произведения . Очевидно, что число исходов (три радиостанции будут работать на одной частоте) равно 6 .

Таким образом, .

Следовательно, .

Геометрическое определение вероятности

Геометрическое определение обобщает классическое определение вероятности на случай, когда пространство элементарных событий представляет собой подмножество пространства .

Как было показано в разделе «Классическое определение вероятности» , в случайных экспериментах с конечным числом равновозможных элементарных исходов применяется классическое определение вероятности .

Для введения вероятности событий в случайных экспериментах, возможные результаты которых (элементарные исходы) также являются равновозможными и целиком заполняют отрезок прямой линии, фигуру на плоскости или область в пространстве, применяется геометрическое определение вероятности . В таких экспериментах число элементарных исходов не является конечным , и поэтому классическое определение вероятности к ним применять нельзя.

Проиллюстрируем введение геометрического определения вероятности на примерах.

Пример 1 . На отрезок числовой прямой наугад брошена точка. Найти вероятность того, что точка попала на отрезок (рис.1).

Ответ:

Пример 2 . Диагонали KM и LN квадрата KLMN пересекают вписанную в квадрат окружность в точках E и F , точка O - центр окружности (рис. 2).

В квадрат KLMN наугад брошена точка. Найти вероятность того, что точка попадет в сектор EOF, отмеченный на рисунке 2 розовым цветом.

Ответ:

Пример 3 . В конус с вершиной S и центром основания O наугад брошена точка. Найти вероятность того, что точка попадет в усеченный конус , полученный при сечении конуса плоскостью, проходящей через середину O" высоты конуса и параллельной основанию конуса (рис. 3).

Решение . Множеством элементарных исходов Ω случайного эксперимента по бросанию точки служит множество всех точек конуса с вершиной S и центром основания O .

Попадание точки в усеченный конус является одним из случайных событий, которое мы обозначим буквой A .

При геометрическом определении вероятность события A вычисляется по формуле

Обозначим буквой R радиус основания конуса с вершиной S и центром основания O , а буквой H - высоту этого конуса. Тогда радиус основания и высота конуса с вершиной S и центром основания O" будут равны

соответственно.

Объем конуса с вершиной S и центром основания O равен

Классическое определение вероятности имеет ограничение по его применению. Предполагается, что множество элементарных событий Ω конечно или счетное, т.е. Ω = {ω 1 , ω 2 , … , ω n , …}, а все ω i – равновозможные элементарные события. Однако, на практике встречаются испытания, для которых множество элементарных исходов бесконечно. Например, при изготовлении на станке некоторой детали нужно выдержать определенный размер. Здесь точность изготовления детали зависит от мастерства рабочего, качества режущего инструмента, совершенства станка и т.д. Если под испытанием понимать изготовление детали, то в результате такого испытания возможно бесконечное множество исходов, в данном случае получение деталей требуемого размера.

Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, иногда используют некоторые понятия геометрии (если, конечно, позволяют обстоятельства испытания). Во всех таких случаях предполагается возможность проведения (хотя бы теоретически) любого числа испытаний, и понятию равновозможности также отводится главная роль.

Пусть рассматривается испытание с пространством событий, элементарные исходы которых представляются в виде точек, заполняющих некоторую область Ω (в трёхмерном пространстве R 3). Пусть событие А состоит в попадании брошенной случайным образом точки в подобласть D области Ω. Событию А благоприятствуют элементарные события, в которых точка попадает в некоторую подобласть D . Тогда под вероятностью события А будем понимать отношение объёма подобласти D (выделенная область на рис. 1.11) к объёму области Ω, Р (А ) = V (D ) / V (Ω).

Рис. 1. 11

Здесь, по аналогии с понятием благоприятствую-щего исхода, область D будем называть благопри-ятствующей появлению события А . Аналогично определяется вероятность события А, когда множество Ω представляет собой некоторую область на плоскости или отрезок на прямой линии. В этих случаях объёмы областей заменяются соответственно площадями фигур или длинами отрезков.

Таким образом, мы приходим к новому определению ‒ геометрической вероятности для испытаний с бесконечным несчётным множеством элементарных событий, которое формулируется следующим образом.

Геометрической вероятностью события А называется отношение меры подобласти, благоприятствующей появлению этого события, к мере всей области, т.е.

р(А) = mesD / mes Ω,

где mes – мера областей D и Ω, D Ì Ω.

Геометрическая вероятность события обладает всеми свойствами, присущими классическому определению вероятности. Например, 4-е свойство будет таким: р (А + В ) = р (А ) + р (В ).

Введение

В конце июля, августе и начале сентября 2010 года в России возникла сложная пожарная обстановка из-за ряда пожаров, сопровождавшихся смогом и задымлением городов, а также жертвами и многочисленными убытками. Так, по состоянию на 7 августа 2010 была зафиксирована гибель 53 человек, уничтожено более 1200 домов. Площадь пожаров составила более чем 500 тысяч гектаров. На борьбу с огнём были брошены все силы, и, конечно, воздушная техника, позволявшая тушить участки, доступ к которым по земле был затруднён или невозможен. Меня заинтересовал один вопрос: какова вероятность того, что водный «снаряд» попадет в назначенное место во время того, как самолет движется на огромной скорости, а леса и поля мелькают внизу, подобно брызгам с кисти неосторожного художника? Или же здесь можно полагаться лишь на интуицию и на опытность пилота?

Оказалось, что существует целая наука, занимающаяся нахождением вероятности происхождения того или иного события. Причем один из её разделов посвящен геометрической вероятности. Я решила глубже изучить его для ответа на свой вопрос.

Проблема: возможно ли применение геометрической вероятности для решения практических задач?

Цель работы: исследование раздела математики «геометрическая вероятность» и применение полученных знаний для решения поставленной проблемы.

Задачи:

Познакомиться с историей возникновения теории вероятности как науки и, в частности, её раздела о геометрической вероятности;

Изучить теорию по данной теме;

Рассмотреть типовые задачи и основные способы их решений;

Применить полученные знания на практике.

Методы решения:

Изучение литературы по данной теме;

Анализ материала;

Выбор задач различных типов и уровней сложности;

Ознакомление с методами решения задач на нахождение геометрической вероятности;

Применение навыков для решения практических задач;

Синтез полученных данных.

Основная часть

1.Сведения из истории

Люди еще в 17 веке пытались найти закономерность или определить количество благоприятных исходов для того или иного события. После первых работ итальянских ученых Дж. Кардано, Н. Тарталья, относящихся к 16 веку, такие задачи изучали французские математики Б.Паскаль и П.Ферма. Опыты проводились на игральных костях и были рассчитаны на прогнозирование выигрыша. Из автобиографии Кардано известно, что одно время он был страстным игроком. Вместе с Тартальей они подсчитали различные варианты выпадения очков и составили таблицу, которую впоследствии повторял (в другой форме) Паскаль. Он придал ей форму треугольника и обнародовал ее («Трактат об арифметическом треугольнике», около 1654 г).

Под влиянием поднятых и рассматриваемых этими учеными вопросов решением тех же задач занимался и . При этом с перепиской Паскаля и Ферма он знаком не был, поэтому методику решения изобрёл самостоятельно. Его работа, в которой вводятся основные понятия теории вероятностей вышла в печатном виде на двадцать лет раньше () издания писем Паскаля и Ферма ().

Важный вклад в теорию вероятностей внёс : он доказал в простейшем случае независимых испытаний. В первой половине теория вероятностей начинает применяться к анализу ошибок наблюдений; Лаплас и Пуассон доказали первые предельные теоремы. Во второй половине основной вклад внесли русские учёные , А. А. Марков и . В это время были доказаны , , а также разработана теория . Современный вид теория вероятностей получила благодаря у и его книге «Основные понятия теории вероятностей» (1936).

В результате, появившаяся некогда из игры теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из .

2.Основные теоретические сведения

Теория вероятностей - раздел математики , изучающий закономерности случайных явлений : , , их свойства и операции над ними.

Вероятностью называется отношение числа благоприятных исходов к общему числу равновозможных исходов.

Также вероятность случайного события А это число Р(А), к которому приближается относительная частота этого события в длинной серии экспериментов.

Вероятность любого события заключена между нулем и единицей. Вероятность равна нулю, если благоприятных исходов нет вовсе (невозможное событие), а единице, если все исходы благоприятны (достоверное событие).

Для нахождения вероятности случайного события А при проведении некоторого опыта следует:

1. найти число N всех возможных исходов данного опыта;
2. найти число N(A) тех исходов опыта, в которых наступает событие А;
3. найти частное N(A)/N; оно и будет равно вероятности события А.

Однако иногда встречаются испытания с бесконечным числом исходов. Такая ситуация возникает в некоторых геометрических задачах, связанных со случайным выбором точки на прямой, плоскости или в пространстве. В таком случае говорят о геометрической вероятности.

Геометрическая вероятность события A, являющегося подмножеством множества В точек на прямой, плоскости или в пространстве - это отношение мер данных объектов.

Задача 1 : найдите вероятность того, что точка Х ближе к точке N, чем к M.

Решение: пусть точка О – середина отрезка MN. Наше событие наступит тогда, когда точка Х лежит внутри отрезка ON.

Тогда .

Ответ: 0.5

Таким образом, вероятность может быть вычислена как отношение длин двух отрезков.

2. Выберем на географической карте мира случайную точку. Какова вероятность того, что эта точка окажется в России? Очевидно, что для ответа на вопрос нужно знать, какую часть всей площади карты составляет площадь России. Отношение этих двух площадей и даст искомую вероятность.

Р(А) = S(A)/S(B) , где Р – вероятность, а S – площадь.

Задача 2 : внутри прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 4, 6, 10 см, наудачу выбирается точка М. Какова вероятность того, что она окажется внутри данного куба, ребро которого 3 см.

Решение: пусть событие Е – точка оказалась внутри куба с ребром, равным 3 см. Будем считать, что исходы испытания распределены равномерно. Тогда вероятность наступления события Е пропорциональна мере этого куба и равна P (E) = U куба / U параллелепипеда . Но объем куба равен 27 см 3 , а объем параллелепипеда – 240 см 3 . Следовательно, Р (Е) = 27/ 240 ≈ 0.113

Ответ: 0.113

! Типичная ошибка при решении задач на геометрическую вероятность – несоответствие размерностей. Часто при вычислении геометрической вероятности длину делят на площадь или площадь на объем. В таких случаях полезно проверять полученную формулу для вероятности на «безразмерность».

3.Задачи на нахождение геометрической вероятности

Задача 3 : точку наудачу бросают в квадрат, сторона которого равна 1. Спрашивается, какова вероятность события, которое состоит в том, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата не больше чем ? (рис.1)

Решение: точка удалена от границы квадрата не более чем на , если она принадлежит внутреннему квадрату со стороной равной 1 – 2* = .

Чтобы найти площадь фигуры, составляющей разницу между внутренним и внешним квадратами (G), нужно из площади всей фигуры (F) вычесть площадь внутреннего квадрата со стороной .

Тогда вероятность того, что точка попала в фигуру G, равна

Ответ: 0.75

Задача 4: единичный интервал делится на три части двумя случайными точками. Чему равна вероятность того, что из получившихся отрезков можно построить треугольник?

Решение: необходимо найти вероятность того, что ни один из отрезков не превосходит суммы двух других. Для того, чтобы из трех отрезков можно было построить треугольник, точка, представляющая отрезки, должна лежать внутри треугольника, который получается соединением середин противоположных сторон треугольника (рис.2). Он имеет площадь, равную одной четверти большого треугольника, и, следовательно, вероятность равна одной четвертой.

Ответ: 0.25

Задача 5 : два студента условились встретиться в определенном месте между 12-ю и 13-ю часами. Пришедший первым ждет другого не больше 20 минут, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча произойдет.

Решение: пусть x - момент времени прихода первого студента, y - момент времени прихода второго студента. Тогда x, y € (определение того, что встреча произойдет между 12 и 13 часами, то есть в промежуток времени в 60 минут) - задает область G (рис.3). |x-y| ≤ 20 (определение того, что студент, пришедший первым, ждет второго не больше 20 минут) - задает область g. Тогда области, задаваемые неравенствами, будут выглядеть следующим образом (рис.2). Вероятность можно будет найти как отношение площадей двух областей g и G. Р(A)=60*60/(60*60-40*40) = 5/9.

Ответ: 5/9

Задача 6: согласно правилам дорожного движения, пешеход может перейти улицу в неустановленном месте, если в пределах видимости нет пешеходных переходов. В городе Миргороде расстояние между пешеходными переходами на улице Солнечной равно 1 км. Пешеход переходит улицу Солнечную где-то между двумя переходами. Он может видеть знак перехода не дальше чем за 100 м от себя. Найдите вероятность того, что пешеход не нарушает правила.

Решение: воспользуемся геометрическим методом. Расположим числовую прямую так, что участок улицы между переходами окажется отрезком . Пусть пешеход подходит к улице в некоторой точке с координатой Х. Пешеход не нарушает правила, если он находится на расстоянии более чем 0,1 км от каждого перехода, т.е. 0,1 .

Ответ: 0.8

4.Проблемная задача

Задача 7 : в одном из лесных хозяйств Брянской области, представляющем собой прямоугольник a*b гектаров, вспыхнул пожар. Огнем охвачена часть леса, которая является кругом с радиусом, равным r. Найдите вероятность того, что жидкость, распыляемая пролетающим над лесом самолетом, попадет в область пожара.

Решение: Площадь леса равна а*b, площадь горящей области – r 2 . Тогда Р(А) = r 2 / а*b

Ответ: r 2 / а*b

Таким образом, знакомство с теорией вероятности помогло мне в решении проблемы. После составления и решения задачи 7, я могу сказать, что можно найти много вариантов практического применения геометрической вероятности.

Заключение

В результате проделанной работы я изучила новый для меня раздел математики «геометрическая вероятность» путем ознакомления с разнообразными литературными источниками, анализа информации и, непосредственно, решения задач. Применила полученные знания для решения интересующей меня проблемы. В дальнейшем можно продолжить изучение данной темы, т.к. существует множество заданий более высокого уровня сложности, например «Задача Сильвестра».

Некоторые аспекты данной работы могут быть использованы для подготовки к ГИА по математике, факультативным занятиям по теме «Геометрическая вероятность», подготовке к олимпиадам. Исследовательская работа является наглядным примером, демонстрирующим, что более глубокое изучение тем, не освещенных достаточно подробно в главах стандартного учебника, может быть не только интересным и познавательным, но также служить для решения каких-либо практических задач или нестандартных вопросов.

Литература

1. Е.А.Бунимович, В.А.Булычев «Вероятность и статистика в курсе математики общеобразовательной школы» - Москва, «Педагогический университет «Первое сентября», 2005
2. М.Кендаль, П.Моран «Геометрические вероятности» - Москва, «Наука», 1972
3. Л.В.Кузнецова, С.Б.Суворова, Е.А.Бунимович, Т.В.Колесникова, Л.О.Рослова – «Алгебра. Сборник заданий для подготовки к государственной итоговой аттестации в 9 классе» - Москва, «Просвещение», 2011
4. А.Г.Мордкович, П.В.Семенов «Алгебра и начала математического анализа. Профильный уровень. Учебник, часть 1. 11 класс» - Москва, «Мнемозина», 2009
5. А.П.Савин «Энциклопедический словарь юного математика» - Москва, «Педагогика», 1989
6. З.А.Скопец «Дополнительные главы по курсу математики» - Москва, «Просвещение», 1974
7. Л.А.Трофимова «План-конспект «Геометрическая вероятность»
8. А.Шень «Вероятность: примеры и задачи» - Москва, «Издательство МЦНМО», 2007
9. http://www.historydata.ru

Приложение

Задача 8: на окружности радиуса R случайно выбираются две точки. С какой вероятностью расстояние между ними будет меньше R?

Решение: расстояние меньше R значит, что хорда, соединяющая эти две точки, должна быть меньше R или меньше стороны вписанного шестиугольника. Зная центральный угол, равный 72˚ , найдем длину дуги, заключенной между двумя точками при хорде меньше радиуса. L = 72˚ * 2 r / 360. P (A) = (72˚ * 2 r / 360) / 2 r = 0.2

Ответ: 0.2

Задача 9 : на отрезке АВ длины l независимо друг от друга выбираются наудачу две точки M и N. Какова вероятность того, что точка М окажется ближе к точке А, чем точка N?

Решение : пусть АМ = х, АN = y. Рассматриваемому событию будет благоприятствовать лишь те точки, которые удовлетворяют условию у>x. Множество всех возможных исходов испытания, благоприятствующих рассматриваемому событию, геометрически изображается точками заштрихованного треугольника, т.к. координаты всех точек этого треугольника связаны соотношением у>x. Следовательно, искомая вероятность равна 0.5.

Ответ: 0.5

Задача 10: из треугольника АВС случайным образом выбирается точка Х. Найти вероятность того, что она принадлежит треугольнику, вершинами которого являются середины сторон треугольника (рис.4).

Решение: средние линии треугольника разбивают его на 4 равновеликих треугольников. Значит,

Вероятность того, что точка Х принадлежит треугольнику KMN, равна:

Ответ: 0.25

Задача 11: Буратино посадил в центре прямоугольного листа бумаги размером 20 см на 25 см круглую кляксу радиусом 1 см. Сразу после этого Буратино посадил еще одну такую же кляксу, которая также целиком оказалась на листе. Найдите вероятность того, что эти две кляксы не соприкасаются.

Решение: первая клякса, радиусом 1 см, закрашена красным цветом (рис.5). Контурами показаны возможные расположения второй кляксы - в случае касания первой и второй.

Видим, что кляксы касаются тогда, когда вторая попадет в кольцо, образованное окружностью радиусом 3 см и окружностью радиусом 1 см. Найдем площадь кольца: S кольца = *3 2 - *1 2 = 8 см 2 . Благоприятным считаем исход, когда кляксы не имеют общих точек, либо пересекаются.

В этом случае область для попадания - прямоугольник с вырезанным кольцом. Найдем площадь этой фигуры S1: S1 = 20*25 - 8 = 500-8

Вероятность Р = S1 / S прямоугольника = (500-8*3,14) / 500 ≈ 0,95

Ответ: 0,95

Задача 12: 10 % поверхности шара (по площади) выкрашено в чёрный цвет, остальные 90% белые. Доказать, что можно вписать в шар куб так, чтобы все вершины попали в белые точки.

Решение : впишем куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 в шар случайным образом . Тогда вероятность того, что данная вершина (например, вершина А) окажется чёрной, составляет 1/10. Вероятность того, что хотя бы одна их восьми вершин окажется чёрной, не превосходит 8/10 (объединение восьми событий вероятности 1/10). Значит, бывают случаи (они составляют по крайне мере 2/10 всех вариантов), когда все вершины белые.

Задача Сильвестра

Несколько более сложная задача носит название задачи Сильвестра. Она состоит в нахождении вероятности того, что четыре точки A, B, C, D, взятые случайно внутри выпуклой области, составляют выпуклый четырехугольник; это означает, что ни одна из точек не попадает в треугольник, образованный тремя другими.

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: