Kai kurios diskusijos yra linksmos man labai ...
Labas, ką veiki?
Taip, užduotys nusprendžia iš žurnalo.
-Oho! Nesitikėjo iš jūsų.
-Kas nesitikėjo?
- Ką jūs esate į užduotis. Atrodo protingas, bet tiki visomis nesąmonėmis.
-Sorry i dont suprasti. Ką jūs vadinate nesąmonėmis?
Taip, visa tai matematika. Galų gale, akivaizdu, kad šiukšliadėžė yra baigta.
-Kaip galite tai pasakyti? Matematika - karalienės mokslas ...
-Well tiesiog ateiti be šio patoso, tiesa? Matematika yra ne visai mokslo, bet viena kieta kelionė kvailų įstatymų ir taisyklių.
-Ką?!
- Na, nedarykite tokių didelių akių, jūs patys žinote, kad esu teisus. Ne, aš nesu ginčytis, daugybos lentelė yra puikus dalykas, ji vaidino didelį vaidmenį kultūros ir istorijos formavimo žmonijos. Bet dabar tai yra nereikšminga! Ir tada, kodėl viskas buvo sudėtinga? Nėra jokių integralų ar logaritmų gamtoje, tai yra matematikų fikcija.
-Palauk minutę. Matematika nieko nerado, jie atrado naujus sąveikos įstatymus tarp numerių, naudojant įrodytas priemones ...
-Taip, žinoma! Ir ar manote? Ką jūs nematote, kokia nesąmonė yra nuolat? Ar pateikėte pavyzdį?
Taip, būkite malonūs.
-Taip prašau! Pitagoro teorema.
-Well, kas su juo negerai?
Taip, viskas yra negerai! "Pythagoras kelnės visomis kryptimis yra lygūs", - matote. Ir jūs žinote, kad graikai nešiojo kelnės Pitagora? Kaip Pythagoras paprastai teigė, kas neturėjo idėjos?
-Palauk minutę. Kas yra kelnės čia?
-Vai, atrodo, kad jie yra pitagoras? Arba ne? Ar atpažįstate, kad Pythagora neturėjo kelnių?
- Iš tiesų, žinoma, nebuvo ...
-AGA, tai reiškia, kad jau teorijos pavadinime yra aiškus nenuoseklumas! Kaip mes galime susieti su rimtai tuo, kas ten buvo pasakyta?
- Minutė. Pythagoras nieko nekalbėjo apie savo kelnes ...
- Ar atpažįstate, taip?
Taip ... taip, ar galiu tęsti? Pythagoras nieko nekalbėjo apie kelnes, ir jam nereikia pridėti kito kvailumo į jį ...
-Aga, jūs pats sutinkate, kad visa tai yra nesąmonė!
Taip, aš to nesakiau!
"Ka as pasakiau." Jūs prieštaraujate sau.
- taip. Sustabdyti. Kas pasakyta Pythagora teorem?
-Kokie kelnės yra lygios.
-Brin, ar netgi perskaitėte šį teoremą?!
-Aš žinau.
- kur?
-Aš skaitau.
- Ką perskaitėte?!
-Lobachevsky.
*Pauzė*
- Svetainė, bet ką Lobachevsky turi Pitagora?
-Vell, Lobachevsky taip pat yra matematikas, ir atrodo, kad yra dar gražiausia institucija nei Pythagore, sako ne?
* sigh *
-Well, ką pasakė Lobachevsky apie Pythagora teorem?
- kas kelnės yra lygios. Bet tai yra nesąmonė! Kaip gali būti dėvimi tokie kelnės? Be to, Pythagoras ne visi dėvėjo kelnes!
-Lobachevsky taip sakė?!
* Antroji pauzė, su pasitikėjimu *
-YES!
- Aš man parašyta.
-Ne, gerai, ten jis nėra parašyta taip tiesiai ...
-Kas pavadinimas turi šią knygą?
Taip, tai nėra knyga, tai yra straipsnis laikraštyje. Apie tai, kad Lobachevsky iš tikrųjų buvo Vokietijos intelekto agentas ... Na, tai netaikoma bylai. Visa tai, tikriausiai jis sakė. Jis taip pat yra matematikas, tuo pačiu metu jie yra su Pitagoru.
-Piforgore nieko nesakė apie kelnes.
-Na taip! Apie kalbą. Gerai.
- Pažvelkite į tvarką. Kaip jūs asmeniškai žinote, kas pasakyta Pitagora teorem?
- Neleiskite, palikime! Visa tai žinoma. Bet koks paklausti, jūs iš karto atsakysite.
-Pifagora kelnės nėra kelnės ...
-Ir žinoma! Tai alegorija! Ar žinote, kiek kartų tai girdėjau?
-Table Pythagora sako, kad katedrų kvadratų suma yra lygi hipotenzavimo aikštei. Ir viskas!
-Kas yra kelnės?
Taip, nebuvo Pythagora be kelnių !!!
-Well matote, aš taip pat kalbu. Šiukšlės visą matematiką.
- ir ne šiukšlių! Pažvelkite į save. Čia yra trikampis. Čia yra hipotenuse. Čia yra Kartets ...
Kodėl, kodėl jūs visi, jei tai yra Katenets ir ar tai yra hipotenuse? Gal priešingai?
-Not. Catestai vadinami dviem pusėmis, sudarančiomis tiesinį kampą.
- Na, čia yra dar vienas tiesusis kampelis.
- tai nėra tiesioginė.
- ir kas jis yra, kreivė?
- Ne, jis yra aštrus.
- Taigi tai taip pat yra aštri.
- Jis nėra aštrus, jis yra tiesus.
"Jūs žinote, aš ne kvailas mano galva!" Jūs tiesiog skambinate, kaip jums patogu, kad atitiktų rezultatus, kaip pageidaujama.
- Trumpos stačiakampio trikampio pusės yra katenets. Ilgas pusė - hipotenuse.
- ir kas yra trumpesnis - tai katat? Ir hipotenuse, tai reiškia nebėra ritinys? Jūs klausotės sau iš pusės, kas yra nesąmonė. 21-ojo amžiaus kieme, demokratijos klestėjimas, ir jūs turite tam tikrą viduramžių. Iš jo pusės Pažiūrėkite, ar, nevienodas ...
-Rarologinis trikampis su lygiomis šalimis neegzistuoja ...
-Ar tu tuo tikras? Leiskite jums piešti. Pažvelkite. Stačiakampis? Stačiakampis. Ir visos šalys yra lygios!
- tai atkreipė aikštę.
-Tai kas?
-Beadrat nėra trikampis.
-Ir žinoma! Kai tik jis mums netinka, nedelsiant "ne trikampis"! Neapgauk manęs. Apsvarstykite save: vienas kampas, du kampai, trys kampai.
-.
-Tai kas?
- tai yra kvadratas.
- ir kvadratas, kuris, ne trikampis? Tai dar blogiau, taip? Tiesiog todėl, kad aš jį nudažiau? Yra trys kampas? Yra, ir net čia yra viena atsarga. Na, Nefig čia, jūs žinote ...
- Mes paliksime šią temą.
-AGA, jau perduoda? Nereikia ginčytis? Ar atpažįstate tą matematiką - šiukšles?
- Ne, aš nesuprantu.
- Vėlgi, vėl, puikiai! Aš ką tik įrodiau viską išsamiai! Jei visa geometrija yra pagrįsta Pitagora mokymais, ir atsiprašau, pilnas nesąmonių ... Kas gali būti toliau pagrįsta?
- Pythagorean - ne nesąmonė ...
- Na, kaip! Ir tada aš negirdėjau apie Pitagorų mokyklą! Jie, jei norite žinoti, indulguojami į orgies!
- Aš čia matau ...
-We Pythagoras apskritai buvo fagot! Jis pats pasakė, kad jo draugas Platonas.
-Pyagoras?!
-Jūs nežinojote? Taip, jie paprastai buvo visi fagotai. Ir ant galvos tranšėjos. Vienas iš barelio miegojo, kitas nuogas mieste bėgo ...
- Diogenas miega barelį, bet jis buvo filosofas, o ne matematikas ...
-Ir žinoma! Jei kas nors į barelį pakilo, tada ne matematikas! Kodėl mums reikia papildomų gėdos? Mes žinome, mes žinome, praėjo. Bet jūs man paaiškinate, kodėl visi vaisiaus, kurie gyveno prieš tris tūkstančius metų ir bėgo be kelnės, turėtų būti institucija man? Kodėl turiu paimti savo požiūrį?
- Žemas, palikite ...
Taip, ne, klausotės! Aš, galų gale, aš taip pat klausiausi. Štai šie skaičiavimai, skaičiavimai ... galite padaryti viską! Ir paklauskite kažko iš esmės, nedelsiant iš karto: "Tai yra privatus, tai yra kintamasis, ir tai yra du nežinomi." Ir jūs į Oh-Oh-Oh-Oh general man, be konkrečių ... Ir be jokio nežinomo, nežinomo, egzistencinio ... aš jaučiuosi serga tai, jūs suprantate?
- Supraskite.
-Well, man paaiškinu, kodėl du du visada yra keturi? Kas tai maniau? Ir kodėl aš esu įpareigotas jį priimti kaip tam tikrą ir neturi teisės abejoti?
- abejoja, kiek norite ...
-No, man paaiškinate! Tik be šių dalykų, bet paprastai tai yra žmogiška.
- dvi dienos yra lygios keturioms, nes du du kartus yra keturi.
- Maslo aliejus. Ką man pasakėte?
- dvi dienos - tai dvi, padaugintos iš dviejų. Paimkite du ir du ir mesti juos ...
- taip sulankstyti arba padauginkite?
- Tai yra tas pats ...
-Both! Pasirodo, jei aš vertinu ir dauginasi septyni ir aštuoni, taip pat gaus tą patį?
-Not.
-Ir kodėl?
- Septyni, kad septyni plius aštuoni nėra lygūs ...
- Ką aš devyni du kartus du kartus gausite keturis?
-Not.
-Ir kodėl? Du dauginami - paaiškėjo, ir su devyniais staiga "Bummer"?
-Yes. Du kartus devyni - aštuoniolika.
- du kartus septyni?
- Fourteen.
- du kartus penki?
-Ten.
- tai yra keturi yra gaunami tik vienu konkrečiu atveju?
-Kaip.
- ir dabar manau. Jūs sakote, kad yra keletas sunkių įstatymų ir dauginimo taisyklių. Kokius įstatymus galime apie tai kalbėti apskritai, jei kiekvienu atveju gaunamas kitas rezultatas?!
- tai ne visai. Kartais rezultatas gali sutapti. Pavyzdžiui, du kartus šeši lygūs dvylika. Ir keturis kartus tris kartus - taip pat ...
-Dar blogiau! Du, šeši, trys keturi - nieko bendro! Jūs patys pamatysite, kad rezultatas nepriklauso nuo šaltinio duomenų. Tas pats sprendimas priimamas dviem drastiškai skirtingose \u200b\u200bsituacijose! Ir tai yra nepaisant to, kad tas pats du kartus, kad mes nuolat ir nekeiskite nieko, su visais skaičiais visada suteikia kitokį atsakymą. Kur kalbama logika?
- Be to, be to, logiška!
- Jūs galite - galbūt. Jūs, matematika, visada tikėkite įvairiais nusodiniais šūdais. Ir jų skaičiavimai nekviesk manęs. Ir žinote, kodėl?
-Kodėl?
-Well, kad I. žinotiKodėl jums tikrai reikia jūsų matematikos. Ar visa tai yra? "Mano kišenėje yra vienas obuolys, o Misha turi penkis. Kiek obuolių turėtų suteikti Misha Kate, kad obuoliai taptų lygūs?". Ir jūs žinote, ką aš jums pasakysiu? Misha. niekas neturėtų atiduoti! Katya turi vieną obuolį - ir pakankamai. Mažai jos? Leiskite jam eiti paleisti, ir sąžiningai sąžiningai uždirbs bent jau obuolius, nors ant kriaušių, net ant ananasų šampano. Ir jei kas nors nori ne dirbti, bet tik užduotys nuspręsti - leiskite jam sėdėti su savo vienu obuoliu ir nesikreipia!
Kūrybiškumo potencialas paprastai priskiriamas humanitarinėms disciplinoms, natūraliai moksliškai palikti analizę, praktinį požiūrį ir sausą formulių ir skaičių kalbą. Matematika humanitariniams asmenims nebus atributas. Bet be kūrybiškumo "Visų mokslų karalienė", jie nebus toli - apie tai žmonės yra žinomi ilgai. Nuo Pythagora, pavyzdžiui.
Mokyklos vadovėliai, deja, paprastai nepaaiškina, kad matematikoje svarbu ne tik aštrinti teorus, aksioms ir formules. Svarbu suprasti ir jausti savo pagrindinius principus. Ir tuo pačiu metu pabandykite išlaisvinti savo mintis iš antspaudų ir kenčia tiesos - tik dideli atradimai gimsta tokiomis sąlygomis.
Šį atradimą galima priskirti tiek šiandien, kaip Pitagora teorija. Su juo bandysime parodyti, kad matematika ne tik gali, bet turėtų būti įdomu. Ir kad šis nuotykis yra tinkamas ne tik botanikams storuose stikluose, bet ir visiems, kurie yra stiprūs ir stiprūs dvasioje.
Nuo klausimo istorijos
Siekiant griežtai kalbėti, nors teorema vadinama "Pythagore" teorema ", pats Pythagore to nepadarė. Stačiakampis trikampis ir jo ypatingos savybės buvo tiriamos ilgai prieš jį. Šiame klausime yra du poliariniai požymiai. Pagal vieną versiją Pythagoras buvo pirmasis, kuris suranda visapusišką teorijos įrodymą. Dėl kitų įrodymų nepriklauso Pythagora autoriui.
Šiandien jūs negalite patikrinti, kas yra teisinga, ir kas klysta. Tik žinoma, kad Pythagora įrodymai, jei jie kada nors egzistavo, nebuvo išsaugota. Tačiau siūloma, kad žinomas įrodymas "nauda" Euklida gali priklausyti Pythagora, o Euklidas jį užregistravo.
Be to, taip pat žinoma, kad užduotys apie stačiakampį trikampį yra egiptiečių šaltiniai Ienhetter I faraono šaltiniai, ant babiloniečių molio csar hamurapi karaliaus, senovės Indijos gydytojo "sulva sutra" ir senovės Esė "Zhou-Bi Suan Jin".
Kaip matote, Pythagore teorema okupavo matematikų protus nuo seniausių laikų. Patvirtinimas taip pat tarnauja apie 367 įvairius įrodymus, kurie egzistuoja šiandien. Su juo nėra jokio kito teorijos. Tarp garsiausių įrodymų autorių gali prisiminti Leonardo da Vinci ir dvidešimtojo Jungtinių Valstijų prezidentas James Garfield. Visa tai rodo ypatingą šio matematikos teoremo svarbą: iš jos yra gaunamas arba vienas ar kitas būdas, dauguma geometrijos teoremų yra su juo susiję.
Pythagora teorem įrodymas
Mokyklos vadovėliuose daugiausia lemia algebriniai įrodymai. Bet geometrijos teorijos esmė, todėl apsvarstysime visų pirma tuos garsaus teoremo įrodymą, kuris remiasi šiuo mokslu.
Įrodymas 1.
Dėl paprasčiausio Pythagora teoremo įrodymas stačiakampio trikampio, jums reikia paklausti idealių sąlygų: tegul trikampis būti ne tik stačiakampio, bet ir yra mokestis. Yra priežasčių manyti, kad šis konkretus trikampis iš pradžių buvo laikoma senovės matematika.
Pareiškimas "Square, pastatytas ant stačiakampio trikampio hipotenneus, yra lygus jų kategorijų pastatytų kvadratų sumai" Galite iliustruoti toliau pateiktą brėžinį:
Pažvelkite į pusiausvyrą stačiakampio trikampio ABC: ant AU hipotenziejus, galite sukurti kvadratą, kurį sudaro keturi trikampiai, lygūs originaliam ABC. AV ir Saulės bankai yra pastatyti ant kvadrato, kuriame yra du panašūs trikampiai.
Beje, šis brėžinys nustato daugelio anekdotų ir karikatūrų, skirtų Pitagoreo teoremui. Garsiausias, galbūt tai "Pythagoras kelnės visomis kryptimis yra lygūs:
2 įrodymas.
Šis metodas sujungia algebrą ir geometriją ir gali būti laikoma senovės Indijos įrodinėjimo matematikos bhaskari galimybe.
Sukurkite stačiakampį trikampį su šonais a, b ir c (1 pav.). Tada pastatykite du kvadratas su pusėmis, lygiomis dviejų katets ilgio sumai, - (A + B). Kiekviename iš kvadratų paleiskite statybą, kaip ir 2 ir 3 paveiksluose.
Pirmajame kvadrate pastatyta keturi tų pačių trikampių, kaip ir 1 paveiksle. Gauta du kvadratai: vienas su šone A, antra su šone b..
Antroje aikštėje keturios sukonstruoti panašūs trikampiai sudaro aikštę su partija, lygi hipotenui. c..
Sukurtų kvadratų plotų suma 2 pav. Yra lygi kvadrato kvadratui, kurį sukūrėme su šone su 3 pav. Tai lengva patikrinti, skaičiuojant kvadratų aikštę Fig. 2 pagal formulę. Ir užrašytos kvadrato plotas 3 paveiksle. Atimant keturių lygių dalies kvadratus, įskaičiuotus į stačiakampių trikampių kvadratą nuo didelės pusės kvadrato (A + B).
Pasibaigus visa tai, mes turime: a 2 + B 2 \u003d (A + B) 2 - 2ab. Išplėsti skliausteliuose, išleiskite visus būtinus algebrinius skaičiavimus ir gaukite a 2 + B 2 \u003d A 2 + B 2. Šiuo atveju plotas, įrašytas fig. 3. Kvadratas taip pat gali būti apskaičiuojamas pagal tradicinę formulę S \u003d c 2. Tie. a 2 + B 2 \u003d C 2 - Jūs įrodėte Pitagora teoriją.
Įrodymas 3.
Tas pats senas Indijos įrodymas yra aprašytas XII a. Svarbiame "Žinių karūnoje" (Siddhanta Shromani) ir kaip pagrindinė argumentas, autorius naudoja raginimą kreiptis į matematinius talentus ir studentų ir pasekėjų stebėjimą: "Išvaizda! ".
Tačiau išsamiau analizuosime šį įrodymą:
Viduje kvadratinių statyti keturis stačiakampius trikampius, kaip nurodyta brėžinyje. Didelės kvadrato pusėje, tai yra hipotenuse, mes žymime nuo.. Trikampio citatai vadinami bet ir. \\ T b.. Pagal brėžinį, vidinės kvadrato pusėje yra (A-B).
Naudokite kvadratinę kvadratinę formulę S \u003d c 2Apskaičiuoti išorinio kvadrato plotą. Ir tuo pačiu metu, apskaičiuokite tą pačią vertę sulankstoma vidinio kvadrato sritis ir visų keturių stačiakampių trikampių plotas: (A-B) 2 2 + 4 * 1 2 * A * B.
Galite naudoti abi parinktis apskaičiuojant kvadratinę aikštę, kad būtų užtikrinta: jie suteiks tą patį rezultatą. Ir tai suteikia jums teisę parašyti tai c2 \u003d (A-B) 2 + 4 * 1 2 * A * B. Dėl sprendimo gausite Pythagora teorijos formulę c 2 \u003d A 2 + B 2. Įrodyta teorema.
Įrodymas 4.
Šis smalsus senovės kinų įrodymas gavo pavadinimą "nuotakos kėdė" - dėl figūros formos, kuri gaunama dėl visų pastatų:
Jis naudoja piešinį, kurį jau matėme antrajame įrodyme. Ir vidinė aikštė su C puse buvo pastatyta taip pat, kaip ir senovės Indijos įrodymas pirmiau.
Jei protiškai nutraukiate brėžinį 1 pav. Dviejų žaliųjų stačiakampių trikampių, perkelkite juos į priešingą kvadrato pusę su šonine su puse ir hipotencijomis, taikytinoms "Lilac" trikampių hipotesui, figūra vadinama "nuotakos kėdė" ( 2 pav.). Siekiant aiškumo, galite padaryti tą patį su popieriaus kvadratais ir trikampiais. Įsitikinkite, kad "nuotakos kėdė" sudaro du kvadratus: mažas su šone b. ir didelis su šone a..
Šios konstrukcijos leido senoviniams kinų matematikams ir jiems pateikti išvadą c 2 \u003d A 2 + B 2.
Įrodymas 5.
Tai dar vienas būdas rasti pythagore teoremo sprendimą, pagrįstą geometrija. Jis vadinamas "Garfield metodu".
Sukurkite stačiakampį trikampį Abc.. Mes turime tai įrodyti Saulė 2 \u003d AC 2 + AB 2.
Norėdami tai padaryti, toliau CATAT AC. Ir sukurti supjaustymą CD.kuris yra lygus kateitu Au. Apatinė statmena REKLAMA skyrius Ed.. Segmentai Ed. ir. \\ T AC. lygus. Points. E. ir. \\ T Į, taip pat E. ir. \\ T Nuo. Ir gaukite brėžinį, kaip nurodyta toliau pateiktame paveikslėlyje:
Norėdami įrodyti "Terem", mes vėl pasinaudojame jau išbandytu metodu: mes surandame gauto figūros plotą dviem būdais ir vieni kitiems lyginti išraiškas.
Rasti daugiakampio zoną Lova. Jūs galite sulankstyti trijų trikampių plotą, kuris jį sudaro. Ir vienas iš jų, ESR., Tai ne tik stačiakampis, bet ir yra ginčijamas. Nepamirškite to taip pat AB \u003d CD., Ac \u003d ed. ir. \\ T Saulė \u003d CE. - Tai leis mums supaprastinti įrašymą ir neperkraukite. Taigi, S Abed \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2VS 2.
Tai akivaizdu Lova. - Tai trapecija. Todėl apskaičiuojame savo teritoriją pagal formulę: S Abed \u003d (DE + AB) * 1 / 2AD. Mūsų skaičiavimams patogiau pristatyti segmentą REKLAMA Kaip segmentų suma AC. ir. \\ T CD..
Mes rašome abu būdus, kaip apskaičiuoti figūros figūrą, išleisti lygybės ženklą tarp jų: AB * AC + 1 / 2BC 2 \u003d (DE + AB) * 1/2 (AC + CD). Mes naudojame mums jau žinomų segmentų lygybę ir apibūdinome pirmiau, kad supaprastintų dešinę įrašo pusę: AB * AC + 1 / 2BC 2 \u003d 1/2 (AV + AC) 2. Ir dabar mes atskleisime skliaustelius ir transformuoti lygybę: AB * AC + 1 / 2BC 2 \u003d 1/2 (2A + 2 * 1/2 (AV * AS) + 1/2AV 2. Baigę visus transformacijas, mes gauname būtent tai, ko mums reikia: Saulė 2 \u003d AC 2 + AB 2. Mes įrodėme teoriją.
Žinoma, šis įrodymų sąrašas yra toli nuo pilno. Pythagora teorema taip pat gali būti įrodyta naudojant vektorių, sudėtingų skaičių, diferencialinių lygčių, stereometrijos ir kt. Ir net fizikai: jei, pavyzdžiui, kvadratinių ir trikampių kiekių, pateiktų brėžiniuose ir trikampio kiekio supilkite skystį. Perpildytas skystis, galite įrodyti aikštės lygybę ir tą patį teoriją.
Keletas žodžių apie Pythagora Troika
Šis klausimas nėra daug ar ne visai mokėsi mokykloje. Tuo tarpu tai labai įdomu ir yra labai svarbi geometrijoje. Pythagoras Troika naudojamas daugeliui matematinių užduočių išspręsti. Jų idėja gali būti naudinga tolesniam mokymui.
Taigi, kas yra Pythagora troika? Taigi vadinami natūralūs numeriai, surinkti trys, kurių dviejų kvadratų suma yra lygi trečiam skaičiui aikštėje.
Pythagora Troika gali būti:
- primityvūs (visi trys numeriai - abipusiai paprasta);
- ne primityvus (jei kiekvienas trijų skaičius padaugina tą patį numerį į tą patį numerį, paaiškėja nauja tripller, kuris nėra primityvus).
Netgi prieš mūsų senovės egiptiečių erą sužavėjo Pythagora TroS numerių manija: užduotyse jie laikė stačiakampį trikampį su 3,4 ir 5 vienetų pusėmis. Beje, bet koks trikampis, kurio šalys yra lygios numeriai nuo pythagoroniko, yra stačiakampio pagal nutylėjimą.
Pythagora trokštų pavyzdžiai: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) , (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 32, 40), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), ( 14, 48, 50), (30, 40, 50) ir kt.
Praktinis teorijos taikymas
Pythagoreo teorema randa ne tik matematikos, bet ir architektūros ir statybos, astronomijos ir net literatūros.
Pirmiausia apie statybą: "Pythagora" teorema supranta įvairius sudėtingumo lygius. Pavyzdžiui, pažvelkite į romėnų langą:
Nurodo langų plotį kaip b., tada didelio pusmečio spindulys gali būti paskirtas kaip R. ir išreikšti b: R \u003d b / 2. Mažesnių pusversigų spindulys taip pat bus išreikštas b: R \u003d b / 4. Šioje užduotyje mes esame suinteresuoti lango vidinio rato spinduliu (paskambinkime p.).
Pythagore teorema yra tik naudinga apskaičiuoti r.. Norėdami tai padaryti, naudokite stačiakampį trikampį, kurį paveiksle nurodoma punktyrinė linija. Trikampio hipotenuse susideda iš dviejų spindulių: b / 4 + P. Vienas katatas yra spindulys b / 4., Kita b / 2-P. Naudojant Pythagore teoremą, rašykite: (b / 4 + p) 2 \u003d (b / 4) 2 + (b / 2-p) 2. Be to, mes atskleisime skliaustelius ir gaukite b 2/16 + BP / 2 + P 2 \u003d B 2/16 + B 2/4-BP + P 2. Mes transformuojame šią išraišką bP / 2 \u003d B 2/4-BP. Ir tada padalinkite visus narius b., Duokime tą patį gauti 3/2 * p \u003d b / 4. Ir galų gale tai pastebėsite p \u003d b / 6 - tai, ko mums reikėjo.
Naudojant teoremą, galite apskaičiuoti kaulų stogo plonasluoksnį. Norėdami nustatyti, kuris aukštis mobiliojo bokšto reikia, kad signalas pasiekia tam tikrą atsiskaitymą. Ir netgi nuolat įdiegti Naujųjų metų medį miesto aikštėje. Kaip matote, šis teorema gyvena ne tik vadovų puslapiuose, bet ir dažnai yra naudinga realiame gyvenime.
Kaip literatūrą, Pythagore teorema įkvėpė rašytojų nuo senovės laikų ir toliau tai daryti mūsų laikais. Pavyzdžiui, XIX a. Vokietijos rašytojas "Adelbert Von Shamasso", ji įkvėpė parašyti sonetą:
Tiesos šviesa netrukus išsklaidys,
Bet, nuskendus, dingo
Ir, kaip ir tūkstantmetis,
Tai nesukels abejonių ir ginčų.
Išmintingiausias, kai palietė žvilgsnį
Tiesos šviesa, dievai dėkoja.
Ir šimtai bulių, virsta, melas -
Atsakas Dar iš pasisekė Pitagorean.
Nuo tada buliai yra beviltiškai riaumojantys:
Amžinai mirkė Uparty gentis
Čia pažymėta įvykis.
Atrodo, kad tai: tai yra - ateis laikas.
Ir syznovas bus paaukotas aukai
Kai kurie puikūs teorema.
(Viktoro toporovos vertimas)
Ir XX a. Sovietų rašytojas Evgeny Valtistai knygoje "Nuotykių elektronika" Pythagora teorem įrodymai paėmė visą skyrių. Ir dar pusiau suvirinta istorija apie dvimatį pasaulį, kuris galėtų egzistuoti, jei Pitagora teorema tapo pagrindine teise ir net religija atskiram pasauliui. Tai būtų daug lengviau gyventi, bet ir daug daugiau nuobodu: pavyzdžiui, niekas nesupranta žodžių "apvalios" ir "pūkuotų" reikšmės.
Ir knygoje "Nuotykių elektronika" pagal matematikos mokytojo burną sako: "Pagrindinis dalykas matematikos yra minties judėjimas, naujų idėjų." Tai yra šis kūrybinis mintis, kurios sukelia Pythagora teorem - tai ne nieko, kad ji turi tiek daug įvairių įrodymų. Ji padeda peržengti įprastų ir pažįstamų dalykų sienų, kad galėtų pažvelgti į naują kelią.
Išvada
Šis straipsnis sukurtas taip, kad galėtumėte pažvelgti už matematikos mokymo programos ribų ir mokytis ne tik Pythagora teorem įrodymų, kurie pateikiami vadovėliuose "Geometrija 7-9" (L.S. atanasyan, V.N. Rudenko) ir "Geometrija 7 - 11 "(AV Pogorelov), bet ir kiti įdomūs būdai įrodyti garsų teoremą. Ir taip pat žr pavyzdžių, kaip Pythagore teorema gali būti taikomas įprastu gyvenimu.
Pirma, ši informacija leis jums gauti aukštesnius matematikos pamokų balus - informacija apie papildomų šaltinių tema visada yra labai vertinama.
Antra, norėjome padėti jums jaustis, kaip įdomi mokslo matematika. Užtikrinti konkrečius pavyzdžius, kad jame visada yra vieta. Tikimės, kad Pythagore teorema ir šis straipsnis paskatins jus savarankiškai ir įdomių atradimų matematikos ir kitų mokslų.
Papasakokite mums komentarai, ar jūs atrodėte įdomu straipsnyje taip įdomu. Ar naudojatės šią informaciją mokyklose. Rašykite mums, ką manote apie Pitagora teoriją ir šį straipsnį - mums bus malonu aptarti visa tai su jumis.
svetainė, visiškai arba dalinis kopijavimas medžiagos nuoroda į pradinį šaltinį reikalingas.
Kelnės - gaukite akademinį veikiančią reklaminę Ridestep arba pelningos kelnės pirkti nuolaidą parduoti Ridestep
Jarg. shk. Želė Pythagoreo teorema, kuri nustato santykį tarp kvadratų, pastatytų ant hypotenuze ir stačiakampio trikampio cate. BTS, 835 ... Didelis Rusijos žodžių žodynas
Pythagora kelnės - komikso Pytagora teoremo pavadinimas, atsiradęs dėl to, kad kvadratai pastatyti ant stačiakampio pusių ir kvadratų skirtingomis kryptimis yra panašios į kelnes. Man patiko geometrija ... ir gavau įėjimo egzaminą universitete ... ... ... ... Rusijos literatūros kalbos frazologinė žodynas
pythagora kelnės - pythagoree teoremo pavaduotojas, nustatantis tarp kvadratų, pastatytų ant hipotesų ir stačiakampio trikampio hipotenzinio trikampio, kuris atrodo išorės brėžiniuose atrodo kaip gandrai ... Daugelio išraiškų žodynas
Inloid: Apie žmogų Darovite Wed. Tai yra kančia. Senovėje jis tikriausiai išrado Pythagorovo kelnes ... Saltykov. Pestų raidės. Pythagoras kelnės (GEOM.): Stačiakampyje hipotenuse aikštė yra lygi katetų aikštėms (mokymas ... ... Mikhelsono didelis storas-frazologinis žodynas
Pythagora kelnės yra lygios - žinoma mygtukų skaičius. Kodėl turėčiau atidžiai turėčiau? (Šiurkštus) apie kelnes ir vyrų lytinius organus. Pythagora kelnės yra lygios. Norėdami įrodyti, jums reikia pašalinti ir parodyti 1) apie Pitagora teorijos; 2) Apie plačias kelnes ... Gyvenimas. Žodynų išraiškų žodynas
Piñagorovy kelnės (sugalvoti) Aplankiai. Apie žmogaus manevrą. Plg. Tai neabejotinai yra šalavijas. Senovėje jis būtų išradęs Piñagorovo kelnes ... Saltykov. Vaikščiojimo raidės. Piñagorovy kelnės (geom.): Stačiakampyje, hipotenuse aikštėje ... ... Didelis "Michelson" pažangaus žodžio žodynas (originalus rašyba)
Pythagoras kelnės visomis kryptimis yra lygūs - Pythagore teorijos įrodymas; Taip pat pokštas apie draugų kelnes ... Liaudies frazės žodynas
Atsisėdo, grubus ...
Pythagoras kelnės visomis kryptimis yra lygūs (žinoma mygtukų skaičius. Kodėl tai yra arti? / Įrodyti, jums reikia pašalinti ir parodyti) - Patenkintas, grubus ... Šiuolaikinių pokalbių frazių ir pažangos aiškinamasis žodynas
Suma., Mn., Upotr. palyginti. Dažnai morfologija: Mn. ką? Kelnės, (ne) Ką? Ką? Kelnės, kas? Nei? Ką? Apie kelnes 1. kelnės Tai yra drabužių gabalas, kuriame yra dvi trumpos arba ilgos kelnės ir uždaro apačią ... ... Aiškinamasis žodynas Dmitrija
Knygos. \\ T
- Pythagora kelnės. Šioje knygoje rasite grožinę literatūrą ir nuotykius, stebuklus ir fikciją. Juokingi ir liūdni, paprasti ir paslaptingi ... ir ką dar reikalinga pramoginiam skaitymui? Svarbiausia yra ...
- Stebuklai ant ratų, "Markush Anatolijus". Milijonai ratų sukimuoja visoje žemėje - ritininiai automobiliai, išmatuokite laikrodį, paliesdami pagal traukinius, atlieka daugybę darbo mašinose ir įvairiais mechanizmais. Jie yra…
»Gerbiamo profesorius Matematikos Matematikos Matematikos Warika universiteto, garsaus populiatorius Ian Stewart mokslo, skirta skaičių vaidmenį žmonijos istorijoje ir jų tyrimo aktualumą mūsų metu.
Pytagorovos hipotenuse.
Pythagora trikampiai turi tiesioginį kampą ir sveiką skaičių. Paprasčiausias iš jų ilgiausia pusėje yra 5, likę - 3 ir 4. Yra tik 5 teisingi polihedra. Penktosios lygties lygtis neįmanoma išspręsti su penktojo laipsnio šaknų pagalba - ar kitos šaknys. Laivai plokštumoje ir trimatėje erdvėje neturi penkių taškų simetrijos sukimosi, todėl tokie simetrijos nėra nedalyvauja kristaluose. Tačiau jie gali būti keturių dimensijų erdvėje ir pažangių struktūrų, vadinamų kvazikrystalais.
Mažiausio pythagorough hypotenuse
Pythagoreo teorema teigia, kad ilgiausia stačiakampio trikampio (žinomo hipotenzo) pusė koreliuoja su dviem kitomis šio trikampio pusėmis labai paprasta ir graži. Hypotenuse aikštėje yra lygi dviejų kitų pusių kvadratų sumai.
Tradiciškai mes vadiname šį Pitagora teoriją, tačiau iš tiesų jos istorija yra gana miglotas. Molio plokštės rodo, kad senovės Babiloniečiai žinojo Pitagora teoriją ilgai prieš Pythagora; Iš atradimo šlovė atnešė jam matematinį kultą Pitagoreans, kurių rėmėjai manė, kad visata buvo pagrįsta skaitiniais įstatymais. Senovės autoriai buvo priskirti prie Pitagoreans - todėl Pythagora yra matematinių teoremų įvairovė, bet iš tikrųjų mes neturime idėjos apie tai, ką matematika Pitagores pats buvo užsiėmęs. Mes net nežinome, ar Pitagoriečiai galėtų įrodyti Pythagore teoriją arba tiesiog tikėjo, kad ji buvo tiesa. Arba greičiausiai jie turėjo įtikinamų duomenų apie savo tiesą, kuri vis dėlto neturėtų pakankamai, ką mes manome, šiandien.
Pythagora įrodymas
Pirmoji "Pythagore Theorem" įrodymas, kurį mes randame "Euklidėjos pradžioje. Tai yra gana sudėtinga įrodymas, naudojant brėžinį, kuriame Viktorijos moksleiviai iš karto atpažintų "Pythagora" kelnes "; Brėžinys ir tiesa primenama džiovinimo džiovinant į virvę. Žinoma, žinoma šimtai kitų įrodymų, kurių dauguma jų patvirtina patvirtinti aiškiau.
// pav. 33. Pythagora kelnės
Vienas iš paprasčiausių įrodymų yra matematinis dėlionės natūra. Paimkite bet kurį stačiakampį trikampį, padarykite keturias jo kopijas ir surinkite juos į aikštę. Viename klojant, mes matome aikštę ant hipotenuse; Su kitais kvadratais ant kitų dviejų trikampio pusių. Akivaizdu, kad kvadratas yra lygus tuo pačiu atveju.
// pav. 34. Kairė: aikštė hipotenuse (plius keturi trikampiai). Teisė: kitų dviejų pusių kvadratų suma (ir tos pačios keturios trikampiai). Ir dabar neįtraukti trikampiai
Padaryti perigalą - kitą įrodymą - galvosūkį.
// pav. 35. Apribojimas
Taip pat yra įrodymas, kad teorema naudoja kvadratinį klojimą ant lėktuvo. Galbūt tai yra tai, kaip šis teorema atidarė pitagoriečius ar jų nežinomus pirmtakus. Jei pažvelgsite į tai, kaip įstrižai aikštė sutampa su dviem kitais kvadratais, galite pamatyti, kaip supjaustyti didelę kvadratą į gabalus ir tada sulenkite du mažesnius kvadratus. Taip pat galite pamatyti stačiakampius trikampius, kurių pusės suteikia trijų dalyvaujančių kvadratų dydį.
// pav. 36. Grindinio įrodymas
Yra įdomių įrodymų, naudojant panašius trikampius trigonometrijoje. Žinoma ne mažiau kaip penkiasdešimt skirtingų įrodymų.
Pythagora Troika.
Skaičių teorijoje Pitagorea teorema tapo vaisingos idėjos šaltiniu: rasti sveikųjų skaičių sprendimus algebrinių lygčių. Pytagorova troika yra sveikieji skaičiai A, B ir C, tokie
Geometriškai toks triplisrinis apibrėžia stačiakampį trikampį su sveikais skaičiais.
Mažiausias Pythagoro trejeto hipotenas yra 5.
Kitos dvi šio trikampio pusės yra lygios 3 ir 4 čia
32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.
Kitas didžiausias hipotenusas yra lygus 10, nes
62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.
Tačiau tai iš esmės tas pats trikampis su dvigubomis šalimis. Šie didžiausi ir tikrai kiti hipotenuse yra 13, jai
52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.
Euklidinis žinojo, kad buvo begalinis skaičius skirtingų variantų Pythagora Trok ir davė tai, kas gali būti vadinama formulę rasti juos visus. Vėliau Diofantas Aleksandrianas pasiūlė paprastą receptą, daugiausia sutapo su euklido.
Paimkite visus du natūralius numerius ir apskaičiuokite:
jų dvigubas darbas;
skirtumas tarp jų kvadratų;
jų kvadratų sumą.
Gautos trys gautos numeriai bus Pythazhov trikampio šonuose.
Paimkite, pavyzdžiui, 2 ir 1. Apskaičiuokite:
dvigubas darbas: 2 × 2 × 1 \u003d 4;
kvadratiniai skirtumai: 22 - 12 \u003d 3;
kvadratų santrauka: 22 + 12 \u003d 5,
ir mes turime garsų trikampį 3-4-5. Jei vartojate 3 ir 2 numerį, mes gauname:
dvigubo darbas: 2 × 3 × 2 \u003d 12;
kvadratiniai skirtumai: 32 - 22 \u003d 5;
kvadratinė santrauka: 32 + 22 \u003d 13,
ir mes gauname tokį trikampį 5 - 12 - 13, pabandykite priimti numerius 42 ir 23 ir gauti:
udfieldy: 2 × 42 × 23 \u003d 1932;
kvadratinių skirtumų: 422 - 232 \u003d 1235;
kvadratų suma: 422 + 232 \u003d 2293,
niekas niekada negirdėjo apie trikampį 1235-1932-2293.
Tačiau šie skaičiai taip pat veikia:
12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.
Diofanty taisyklėje yra dar viena funkcija, kuri jau užsiminė: gavusi tris numerius, mes galime imtis kito savavališko numerio ir padauginti juos ant jo. Taigi, trikampis 3-4-5 gali būti paversti trikampiu 6-8-10, dauginant visas puses 2, arba trikampio 15-20-25, dauginant viską 5.
Jei einate į algebros kalbą, taisyklė tampa tokia forma: leiskite u, v ir k būti natūralūs numeriai. Tada stačiakampio trikampio su šalimis
2kuv ir k (U2 - V2) turi hipotenuse
Yra ir kitų pagrindinių idėjos pristatymo būdų, tačiau jie visi sumažina pirmiau aprašytą. Šis metodas leidžia jums gauti visus "Troika Pythagoras".
Teisė Polyhedra.
Yra lygi paskyra penki teisingi polihedra. Teisingas polihedronas (arba "Polyhedron") yra tūrio skaičius su riboto skaičiumi plokščiuose veiduose. Kraštai susilieja tarpusavyje ant linijų, vadinamų šonkauliais; Ribos randamos taškuose, vadinamuose viršūnių.
Euklidino kulminacija "prasidėjo" yra įrodymas, kad gali būti tik penkios teisingos polihedros, ty Polyhedra, kuriame kiekvienas aspektas yra dešinysis daugiakampis (lygūs, lygūs kampai), visi veidai yra identiški ir visi viršūnės yra apsuptos vienodu skaičiumi tų pačių veidų. Čia yra penki dešinė polihedra:
tetraedronas su keturiais trikampiais kraštais, keturiais viršūnių ir šešių šonkaulių;
kubas arba heksahedr, su 6 kvadratinių veidų, 8 viršūnių ir 12 šonkaulių;
octahedron su 8 trikampiais veidais, 6 viršūnių ir 12 šonkaulių;
dodecahedron su 12 piraniorinių liaukų, 20 viršūnių ir 30 šonkaulių;
ikosahedron su 20 trikampių veidų, 12 viršūnių ir 30 šonkaulių.
// pav. 37. Penki dešiniajai polihedra
Teisė polihedra galima rasti gamtoje. 1904 m. "Ernst Geckel" paskelbė mažų organizmų brėžinius, vadinamus radoliaria; Daugelis iš jų primena pačias penkis dešinę polihedrą. Tai gali būti tiesa, jis ištaisė šiek tiek prigimties, o brėžiniai visiškai neatspindi konkrečių gyvų būtybių forma. Pirmosios trys struktūros taip pat pastebimi kristaluose. Dodecahedron ir Ikosahedra kristaluose nerasite, nors blogai Dodecahedra ir Ikosahedra kartais ten susiduria. Nekilnojamasis Dodecahedra gali pasireikšti kvazikrystals pavidalu, kuris yra panašus į kristalus, išskyrus tai, kad jų atomai nesudaro periodinės grotelės.
// pav. 38. Nuotraukos Geckel: Radioles dešinės polihedros pavidalu
// pav. 39. Teisingo polihedros skeneriai
Įdomu padaryti modelius iš teisingo polihedros iš popieriaus, pjovimo iš anksto sujungtų veidų - tai vadinama "Polyhedron" nuskaitymo; Nuskaitymas yra sulankstytas išilgai šonkaulių ir klijuoja atitinkamas šonkaulius. Naudinga pridėti papildomą mokestį už klijus į vieną iš kiekvienos tokios poros kraštų, kaip parodyta Fig. 39. Jei nėra tokios platformos, galite naudoti lipnią juostą.
Penktas laipsnio lygtis
Nėra algebrinės formulės 5-ojo laipsnio lygčių sprendimui.
Apskritai, penktasis lygtis atrodo taip:
aX5 + BX4 + CX3 + DX2 + EX + F \u003d 0.
Problema yra rasti tokios lygties sprendimų formulę (ji gali turėti iki penkių sprendimų). Kvadratinių ir kubinių lygčių apyvartos patirtis, taip pat su ketvirtajais lygtimis rodo, kad tokia formulė turi būti penktojo laipsnio lygtims ir jame, teoriškai turėtų būti penktosios, trečiosios ir trečiosios ir antrasis laipsnis. Vėlgi, tai gali būti drąsa manyti, kad tokia formulė, jei ji egzistuoja, bus labai ir labai sunku.
Ši prielaida galiausiai pasirodė esanti klaidinga. Tiesą sakant, tokia formulė nėra; Bent jau nėra formulės, kurią sudaro koeficientai A, B, C, D, E ir F, sudaryta naudojant papildymą, atimimą, dauginimą ir padalijimą, taip pat šaknų gavybą. Taigi, tarp 5 5 yra kažkas visiškai ypatingo. Tokio neįprasto penkių elgesio priežastys yra labai gilios, ir užtruko daug laiko susidoroti su jais.
Pirmasis problemos požymis buvo tai, kad, kaip ir matematika, jis bandė rasti tokią formulę, nesvarbu, kaip jie buvo protingi, jie visada nepavyko. Jau kurį laiką kiekvienas manė, kad priežastys būtų laikomos neįtikėtinu formulės sudėtingumu. Manoma, kad niekas tiesiog negalėtų išsiaiškinti šios algebros. Tačiau laikui bėgant kai kurios matematikos pradėjo abejoti, kad tokia formulė egzistuoja, o 1823 m. Niels Hendrik Abel pavyko įrodyti priešingai. Ši formulė neegzistuoja. Netrukus po to "Galua" "Evarister" rado būdą, kaip nustatyti, ar vienos pusės ar kito lygtis - 5, 6, 7-oji, apskritai bet kokia - naudojant tokią formulę.
Išvada iš visa tai yra paprasta: 5 numeris yra ypatingas. Galite išspręsti algebrinių lygtis (naudojant N-ojo laipsnio šaknis įvairių verčių n) 1, 2, 3 ir 4 laipsnių, bet ne už 5 laipsnį. Čia akivaizdus modelis baigiasi.
Niekas netikėtumų, kad laipsnių lygtys yra daugiau nei 5, dar blogiau; Visų pirma su jais susijęs tas pats sunkumas: nėra jokių bendrų formulių jų sprendimui. Tai nereiškia, kad lygtys neturi sprendimų; Tai nereiškia, kad neįmanoma rasti labai tikslios skaitinės vertės šių sprendimų. Visa tai apsiriboja tradiciniais algebros instrumentais. Jis primena kampu su valdovo ir apyvartos pagalba neįmanoma. Atsakymas egzistuoja, tačiau išvardyti metodai yra nepakankami ir neleidžia nustatyti, kas tai yra.
Kristalografinė riba
Dviejų ir trijų matmenų kristalai neturi 5 spindulių simetrijos sukimosi.
Atomai Crystal sudaro tinklelį, tai yra, struktūra, kuri periodiškai kartojama keliose nepriklausomose kryptimis. Pavyzdžiui, fono paveikslėlis kartojamas išilgai ritinio ilgio; Be to, jis paprastai kartojamas horizontalioje pusėje, kartais su perėjimas nuo vieno gabalo tapetų į kitą. Iš esmės tapetai yra dvimatės kristalų.
Lėktuve yra 17 tapetų brėžinių veislių (žr. 17 skyrių). Jie skiriasi nuo simetrijos tipo, tai yra, atsižvelgiant į metodus, perkelti sunkų piešinį taip, kad jis tikrai paliks save savo pradinėje padėtyje. Symmetry tipai apima, ypač įvairius sukimosi simetrijos variantus, kur brėžinys turėtų būti pasukamas į tam tikrą kampą aplink tam tikrą tašką - simetrijos centrą.
Simetrijos simetrijos tvarka yra tai, kiek kartų galite paversti kūną į visą ratą, kad visa piešimo detalės būtų grąžintos į pradines pozicijas. Pavyzdžiui, 90 ° rotacija yra 4-osios eilės rotacijos simetrija *. Galimų rūšių simetrija sukimosi kristalinėje grotelių vėl rodo, kad neįprastas skaičius 5: tai nėra ten. Yra variantai su sukimosi 2, 3, 4 ir 6 pavedimų simetrija, tačiau jokio tapetų brėžinys turi 5-osios eilės sukimosi simetriją. Užsakymo sukimosi simetrija daugiau kaip 6 kristalai taip pat nėra jokio atvejo, tačiau pirmasis sekos pažeidimas vis dėlto yra tarp 5.
Tas pats atsitinka su kristalografinėmis sistemomis trimatėje erdvėje. Čia grotelės kartojasi trijose nepriklausomose srityse. Yra 219 skirtingų tipų simetrija arba 230, jei manote, kad modelio atspindys atspindys atskirą variantą, nepaisant to, kad šiuo atveju nėra veidrodžio simetrijos. Vėlgi, stebimas 2, 3, 4 ir 6 pavedimų sukimosi simetrija, bet ne 5. Šis faktas vadinamas kristalografinės ribos pavadinimu.
Keturių dimensijų grotelių erdvėje egzistuoja 5-osios eilės simetrija; Apskritai, už pakankamai aukštos dimensijos groteles, bet koks pažangus eilės simetrija yra įmanoma.
// pav. 40. Stalo druskos kristalų grotelės. Tamsūs rutuliai vaizduoja natrio atomus, šviesiai - chloro atomus
Kvoskristalai
Nors 5-osios eilės ir trijų dimensijų groteles sukimosi simetrija yra neįmanoma, ji gali būti šiek tiek mažiau reguliarių struktūrų, vadinamų kvazikrystalais. Pasinaudojant Keplerio eskizais, Roger Penrose atidarytos plokščios sistemos su daugiau bendro tipo penkių laiko simetrija. Jie gavo kvazikrystals vardą.
Kvazikrystals yra gamtoje. 1984 m. Daniel SHECHTMAN atrado, kad aliuminio ir mangano lydinys gali sudaryti kvazikrystals; Iš pradžių kristalografai susitiko su savo žinia su tam tikru skepticizmu, tačiau vėliau buvo patvirtintas atradimas, o 2011 m. SHECHTMAN buvo apdovanotas Nobelio premija chemijoje. 2009 m. Mokslininkų komanda, vadovaujama Luko Bindi vadovavimu, atrado kvazikrystals į Rusijos Koryak Highlands mineralinį - aliuminio, vario ir geležies derinį. Šiandien šis mineralas vadinamas ikosadritu. Matavimo su masinio spektrometro pagalba, turinys į skirtingų izotopų deguonies mineralais, mokslininkai parodė, kad šis mineralas kilo žemėje. Jis sudarė apie 4,5 mlrd metų, o saulės sistema buvo tik gimė ir praleido didžiąją laiko dalį asteroidų diržui, pasukdami aplink saulę, kol kai kurie pasipiktinimai pakeitė savo orbitą ir nesukėlė jo žemėje.
// pav. 41. Kairė: vienas iš dviejų kvazikrystallinų grotelių su tiksliu penkių laiko simetrija. Teisė: atominis modelis Icosahedral aliuminio-paladžio-mangano kvazikrystal
Romos architektas Vitruvius plūdė Pyphagora teoriją "nuo daugelio atradimų, kurie turėjo paslaugų žmogaus gyvenimo plėtrai", ir ragino ją gydyti didžiausią pagarbą. Jis vis dar buvo pirmame amžiuje iki n. e. XVI-XVII a. Savo ruožtu, garsaus vokiečių astronomas Johann Kepleris jį pavadino vienu iš geometrijos lobių, panašaus į aukso matas. Labai tikėtina, kad visoje matematikoje bus reikšmingas ir reikšmingas patvirtinimas, nes pagal mokslo ir praktinių programų skaičių, Pythagore teorema neturi lygios.
Pythagora teorema už lygiagrečiojo stačiakampio trikampio atveju.
Mokslas ir gyvenimas // Iliustracija
Pythagore teoremo iliustracija iš "šešių matavimo gydymo" (Kinija, III a. BC) ir jo pagrindu rekonstruoti įrodymai.
Mokslas ir gyvenimas // Iliustracija
S. Perkins. Pythagoras.
Piešimas į galimą Pythagora įrodymą.
Pythagore mozaika ir trijų kvadratų piliečių padalijimas Pitagora teorijos įrodyme.
P. de Heh. Mistress ir tarnaitė kieme. Apie 1660 m.
I. OXTERVELT. Atlikti muzikantai turtingo namo duryse. 1665 metai.
Pythagora kelnės
Pythagore teorema yra beveik labiausiai atpažįstamas ir, be abejo, garsiausias matematikos istorijoje. Geometrijoje jis yra taikomas pažodžiui kiekviename žingsnyje. Nepaisant formuluotės paprastumo, šis teorema nėra akivaizdu: žiūri į stačiakampį trikampį su šalimis a< b < c, усмотреть соотношение a 2 + b 2 = c 2 невозможно. Однажды известный американский логик и популяризатор науки Рэймонд Смаллиан, желая подвести учеников к открытию теоремы Пифагора, начертил на доске прямоугольный треугольник и по квадрату на каждой его стороне и сказал: «Представьте, что эти квадраты сделаны из кованого золота и вам предлагают взять себе либо один большой квадрат, либо два маленьких. Что вы выберете?» Мнения разделились пополам, возникла оживлённая дискуссия. Каково же было удивление учеников, когда учитель объяснил им, что никакой разницы нет! Но стоит только потребовать, чтобы катеты были равны, - и утверждение теоремы станет явным (рис. 1). И кто после этого усомнится, что «пифагоровы штаны» во все стороны равны? А вот те же самые «штаны», только в «сложенном» виде (рис. 2). Такой чертёж использовал герой одного из диалогов Платона под названием «Менон», знаменитый философ Сократ, разбирая с мальчиком-рабом задачу на построение квадрата, площадь которого в два раза больше площади данного квадрата. Его рассуждения, по сути, сводились к доказательству теоремы Пифагора, пусть и для конкретного треугольника.
Paveikslai pavaizduoti Fig. 1 ir 2, panašūs į paprasčiausią ornamentą nuo kvadratų ir lygių dalių - geometrinio modelio, žinomo nuo neatmenamų laikų. Jie gali būti visiškai padengti plokštuma. Matematika vadintų tokią plokštumos danga poligonų parketo arba maišymo. Kas yra pythagore? Pasirodo, kad jis pirmiausia nusprendė tinkamų parkų užduotį, su kuria prasidėjo įvairių paviršių patikrinimų tyrimas. Taigi, Pythagoras parodė, kad plokštuma aplink tašką gali būti padengta be tarpų, lygių reguliariai tik trys rūšys: šeši trikampiai, keturi kvadratai ir trys šešiakampiai.
Po 4000 metų
Pythagora teorem istorija eina į gilų senovę. Jos paminėjimas vis dar yra įtrauktas į Babilonijos klinikinius tekstus Car Hammurapi (XVIII a. BC), ty 1200 metų iki Pythagora gimimo. Teorema buvo naudojama kaip paruošta taisyklė daugelyje užduočių, paprasčiausias yra rasti kvadrato įstrižai jo pusėje. Gali būti, kad santykis A 2 + B 2 \u003d C2 dėl savavališko stačiakampio trikampio babiloniečių, tiesiog "Apibendrinant" lygybę A 2 + A 2 \u003d C2. Bet jie pasisekė - už praktinę geometriją senovės, kuris sumažino iki matavimų ir skaičiavimų, nereikalaujama griežtų pateisinimų.
Dabar, beveik 4000 metų, mes susiduriame su įrašų turėtoju visų rūšių įrodymų skaičius. Beje, jų surinkimas yra ilgas tradicijas. Palūkanų Pitagora teorema buvo antroje pusėje XIX - XX amžiaus pradžia. Ir jei pirmojoje kolekcijose yra ne daugiau kaip dviejų dešimčių įrodymų, iki XIX a. Pabaigos jų skaičius kreipėsi į 100, o po pusės amžiaus viršijo 360, ir tai yra tik tie, kurie sugebėjo surinkti skirtingus šaltinius. Kas tiesiog nesiėmė šios nestabilios užduoties sprendimo - nuo žinomų mokslininkų ir mokslo populiatorių kongresams ir moksleiviams. Ir kas yra pastebima, originalumas ir paprastumas sprendžiant kitus mėgėjams nebuvo prastesni specialistai!
Labiausiai senovės apie 2300 metų Pitagora teoremo įrodymus pasiekė mus. Vienas iš jų yra griežtas aksiomatinis - priklauso senovės graikų matematikos euklidui, kuris gyveno IV-III a. BC. e. I, knygoje "Privalumai" Pythagore teorema yra kaip "pasiūlymas 47". Vizučiausiai ir gražūs įrodymai yra pastatyti Pitagorean kelnės tapyboje. Jie atrodo kaip gudrus galvosūkis pjovimo aikštėms. Bet padaryti figūras judėti teisingai - ir jie atvers jums garsiosios teorijos paslaptį.
Tai yra tai, kas elegantiškas įrodymas gaunamas remiantis vienos senovės kinų traktavimo (3 pav.) Brėžiniu, ir iš karto paaiškina jo ryšį su dvigubinimu kvadrato kvadrato užduotį.
Tai buvo toks įrodymas, kad bandė paaiškinti savo jaunesniam draugui septynerių metų amžiaus guido, ne iki metų, protingas herojus iš anglų rašytojo Oldhos Huxley "Little Archimedes" romano. Smalsu, kad pasakotojas, kuris pastebėjo šią nuotrauką, pažymėjo paprastumą ir įtikinamą įrodymų, todėl jis priskyrė jį ... Pitagora pats. Tačiau fantastiško istorijos apie Evgenia Wellstitov "Elektronika - berniukas iš lagamino" žinojo 25 Pythagores teoremo įrodymus, įskaitant euklido davė; Tiesa, klaidingai pakvietė jį paprasčiausia, nors iš tikrųjų šiuolaikiniame leidinyje "prasidėjo" tai trunka vieną ir pusę puslapių!
Pirmasis matematikas
Pythagora Samossy (570-495 BC), kurio vardas jau seniai ir neatskiriamai susijęs su nuostabiu teoremu, tam tikrą prasmę galima pavadinti pirmuoju matematiku. Tai yra iš jo, kad matematika prasideda kaip tikslus mokslas, kur kiekvienos naujos žinios yra ne vizualinių idėjų rezultatas ir iš patirties išleistų taisyklių rezultatas, bet logiškų argumentų ir išvadų rezultatas. Tik todėl jūs galite amžinai nustatyti bet kokio matematinio pasiūlymo tiesą. Prieš Pythagora, dedukcinis metodas buvo naudojamas tik senovės graikų filosofas ir mokslininkas Falez Miletsky, kuris gyveno VII-VI šimtmečių ruožtu N. ruožtu. e. Jis pasiūlė įrodymų idėją, bet taikė jį sistemingai, kaip taisyklė, kaip taisyklė, akivaizdžiai geometriniams pareiškimams, pvz., "Skersmuo padalijamas apskritime per pusę". Pythagoras toliau daugiau. Manoma, kad jis pristatė pirmuosius apibrėžimus, aksiomas ir įrodymų metodus, taip pat sukūrė pirmąjį geometrijos kursą, žinomą senovės graikai, vadinami "Pythagora tradicija". Jis taip pat stovėjo į numerių ir stereometrijos teorijos kilmę.
Kitas svarbus Pythagora nuopelnas yra šlovingos matematikų mokyklos pamatas, kuris daugiau nei šimtmetį nustatė šio mokslo raidą senovės Graikijoje. Terminas "Matematika" yra susijęs su jo vardu (nuo graikų kalbos žodis μαθημa - mokymas, mokslas), kuris vienija keturis santykinius disciplinas, kurias sukūrė Pitagoras ir jo laikymasis - Pitagoriečiai - žinių sistemos: geometrija, aritmetinis, astronomija ir harmonika.
Neįmanoma atskirti Pythagore pasiekimus iš pasiekimų: po papročio, jie priskiria savo idėjas ir atidaro savo mokytoją. Nėra esė paliko ankstyvųjų Pitagoreans paliko visą informaciją, kurią jie praėjo vieni kitiems žodžiu. Taigi, 2500 metų, istorikai neturi nieko kito, išskyrus rekonstruojant prarastas žinias apie kitų, vėlesnių autorių pervedimus. Mes duosime duoklę graikams: jie, nors jie apsupo Pythagora pavadinimą daug legendų, tačiau nieko nedarė nieko, kad jis negalėjo atidaryti ar vystytis į teoriją. Ir su jo vardu teorema nėra išimtis.
Toks paprastas įrodymas
Nežinoma, pats Pythagoras atrado santykį tarp šonų ilgio stačiakampio trikampio arba pasiskolino šias žinias. Antikvariniai autoriai teigė, kad jis pats ir mylėjo pakartoti legendą apie tai, kaip Pythagoras atnešė aukoti bulių garbę jo atidarymui. Šiuolaikiniai istorikai linkę manyti, kad jis sužinojo apie teoremą, susipažinęs su matematika Babilonianu. Mes taip pat nežinome apie tai, kokią Pythagorą suformuluotas teorema: Aritmetika, kaip priimta šiandien, - hipotesų aikštė yra lygi katetų kvadratų sumai arba geometriškai, senovės dvasia, pastatyta kvadratinė Stačiakampio trikampio hipotenneus yra lygus kvadratų, pastatytų ant jo muitinės sumai.
Manoma, kad tai buvo Pythagoras, kuris davė pirmąjį teorijos įrodymą, kuris turi savo vardą. Tai tikrai nėra išsaugota. Pasak vienos iš versijų, Pythagoras galėtų pasinaudoti savo mokykloje sukurtomis proporcijomis. Jis buvo pagrįstas ypač panašumo teorija, kuria pagrįstas motyvavimas. Mes traukiame stačiakampį trikampį su "Catetics A" ir "B" aukščiu iki Hypotenuze C. Mes gauname tris panašius trikampius, įskaitant originalą. Jų atitinkamos šalys yra proporcingos A: C \u003d M: A ir B: C \u003d N: B, iš kur 2 \u003d C · m ir b2 \u003d c · n. Tada 2 + B 2 \u003d C · (M + N) \u003d C2 (4 pav.).
Tai tik vienas iš mokslo istorikų rekonstrukcija, bet įrodymas, sutinku, labai paprasta: tai trunka tik kelias linijas, tai nėra būtina vilkti nieko, repain, apskaičiuoti ... tai nenuostabu, kad ji turi buvo atsigauna daugiau nei vieną kartą. Tai yra, pavyzdžiui, "geometrijos praktikoje" Leonardo Pisansky (1220), ir jis vis dar yra vadovaujasi vadovėliuose.
Tokie įrodymai neprieštaravo Pitagoreans nuomonei santraukoje: iš pradžių jie tikėjo, kad bet kokių dviejų segmentų ilgių santykis, todėl tiesiųjų skaičių plotai gali būti išreikšti naudojant natūralius numerius. Jie nemanė jokių kitų numerių, netgi neleidžia frakcijų, pakeičiant savo santykius 1: 2, 2: 3 ir pan. kvadrato ir jo dalies įstrižainė. Visi bandymai skaityti šį įstrižainės ilgį - vienoje aikštėje, jis yra lygus √2 - jie nesukėlė nieko. Tai buvo lengviau įrodyti, kad užduotis yra neišspręsta. Tokiu atveju matematikai turi įrodytą metodą - įrodymą nuo bjaurus. Beje, jis priskiriamas Pythagora.
Santykių buvimas, kuris nėra išreikštas natūraliais skaičiais, nutrauktų daugybę Pitagoro idėjų. Tapo aišku, kad jiems žinomi skaičiai nėra pakankamai išspręsti net paprastas užduotis, ką pasakyti apie visą geometriją! Šis atradimas tapo posūkio tašku graikų matematikos plėtrai, jos centrinė problema. Iš pradžių jis paskatino mokymus dėl nesusijusių vertybių - neracionalumo, o tada į skaičiaus sąvokos išplėtimą. Kitaip tariant, prasidėjo daugybės galiojančių numerių tyrimo šimtmečių senoji istorija.
Mozaika Pythagora.
Jei padengsite plokštumą su dviejų skirtingų dydžių kvadratais, aplink kiekvieną mažą kvadratą iki keturių didelių, paaiškėja Pythagore mozaikos parketas. Toks brėžinys jau seniai papuoštas akmenimis grindimis, primindamas senovės Pythagore teoremo įrodymus (taigi jo pavadinimas). Skirtingai persidengia kvadratinį tinklelį ant parketo, galite gauti kvadratus, pastatytus ant stačiakampio trikampio pusių, kurie buvo pasiūlyti skirtingiems matematikams. Pavyzdžiui, jei jūs pasirūpinsite tinklu taip, kad visi jo mazgai sutampa su dešiniosios viršutinės viršūnės mažų kvadratų, fragmentų brėžinių bus įrodyta, kad viduramžių persų matematikos An-Nairzi, kurią jis pateikė į komentarus įrodymas "pradžia" euklido. Lengva pamatyti, kad didelių ir mažų kvadratų sričių suma, pradiniai parketo elementai yra lygūs vienos kvadrato viršijimo tinklui. Ir tai reiškia, kad nurodyta skaidinė yra tinkama parketo pateikimui: sujungiant gautus daugiakampius į kvadratų, kaip parodyta paveikslėlyje, galite užpildyti su jais be tarpų ir sutapti visą plokštumą.
