Интегриране на дробно-рационална функция.
Метод на несигурен коефициент

Продължаваме да работим върху интегрирането на дроби. Вече разгледахме интегралите на някои видове дроби в урока и този урок в известен смисъл може да се счита за продължение. За успешното разбиране на материала са необходими основни интеграционни умения, така че ако току-що сте започнали да изучавате интеграли, тоест сте начинаещ, тогава трябва да започнете със статията Неопределен интеграл. Примери за решения.

Колкото и да е странно, сега ще се занимаваме не толкова с намирането на интеграли, а... с решаването на системи линейни уравнения. В това отношение спешноПрепоръчвам да присъствате на урока.А именно, трябва да сте добре запознати с методите на заместване („училищния“ метод и метода на почленно събиране (изваждане) на системни уравнения).

Какво е дробна рационална функция? С прости думи, дробно-рационална функция е дроб, чийто числител и знаменател съдържат полиноми или произведения на полиноми. Освен това фракциите са по-сложни от тези, обсъдени в статията Интегриране на някои дроби.

Интегриране на правилна дробно-рационална функция

Веднага пример и типичен алгоритъм за решаване на интеграла на дробно-рационална функция.

Пример 1

Етап 1.Първото нещо, което ВИНАГИ правим, когато решаваме интеграл от дробна рационална функция, е да изясним следния въпрос: правилна ли е дробта?Тази стъпка се изпълнява устно и сега ще обясня как:

Първо гледаме числителя и откриваме висша степенполином:

Водещата степен на числителя е две.

Сега разглеждаме знаменателя и откриваме висша степензнаменател. Очевидният начин е да отворите скобите и да въведете подобни термини, но можете да го направите по-просто, в всекинамерете най-високата степен в скоби

и мислено умножете: - така най-високата степен на знаменателя е равна на три. Съвсем очевидно е, че ако наистина отворим скобите, няма да получим степен по-голяма от три.

Заключение: Голяма степен на числително СТРОГОе по-малка от най-голямата степен на знаменателя, което означава, че дробта е правилна.

Ако в този пример числителят съдържа полином 3, 4, 5 и т.н. градуса, тогава дробът ще бъде грешно.

Сега ще разгледаме само правилните дробни рационални функции. Случаят, когато степента на числителя е по-голяма или равна на степента на знаменателя, ще бъде разгледан в края на урока.

Стъпка 2.Нека разложим на множители знаменателя. Нека да разгледаме нашия знаменател:

Най-общо казано, това вече е продукт на фактори, но въпреки това се питаме: възможно ли е да се разшири нещо друго? Обектът на изтезанията несъмнено ще бъде квадратният тричлен. Нека решим квадратно уравнение:

Дискриминантът е по-голям от нула, което означава, че триномът наистина може да бъде факторизиран:

Общо правило: ВСИЧКО в знаменателя МОЖЕ да бъде разложено на множители - разложено на множители

Нека започнем да формулираме решение:

Стъпка 3.Използвайки метода на неопределените коефициенти, ние разширяваме интегранта в сбор от прости (елементарни) дроби. Сега ще стане по-ясно.

Нека да разгледаме нашата интегрална функция:

И, знаете ли, някак интуитивна мисъл изскача, че би било хубаво да превърнем нашата голяма дроб в няколко малки. Например така:

Възниква въпросът дали изобщо е възможно да се направи това? Нека въздъхнем с облекчение, съответната теорема на математическия анализ гласи – ВЪЗМОЖНО Е. Такова разлагане съществува и е уникално.

Има само една уловка, шансовете са ЧаоНе знаем, откъдето идва и името – методът на неопределените коефициенти.

Както се досещате, следващите движения на тялото са такива, не се кикотете! ще има за цел просто да ги РАЗПОЗНАЕ - да разбере на какво се равняват.

Внимавайте, ще обясня подробно само веднъж!

И така, нека започнем да танцуваме от:

От лявата страна свеждаме израза до общ знаменател:

Сега можем спокойно да се отървем от знаменателите (тъй като те са еднакви):

От лявата страна отваряме скобите, но засега не докосваме неизвестните коефициенти:

В същото време повтаряме училищното правило за умножение на полиноми. Когато бях учител, се научих да произнасям това правило с право лице: За да умножите полином по полином, трябва да умножите всеки член на един полином по всеки член на другия полином.

От гледна точка на ясно обяснение е по-добре да поставите коефициентите в скоби (въпреки че аз лично никога не правя това, за да спестя време):

Съставяме система от линейни уравнения.
Първо търсим висши степени:

И записваме съответните коефициенти в първото уравнение на системата:

Запомнете добре следната точка. Какво би станало, ако изобщо нямаше s от дясната страна? Да речем, щеше ли просто да се показва без никакъв квадрат? В този случай в уравнението на системата ще е необходимо да поставите нула отдясно: . Защо нула? Но тъй като от дясната страна винаги можете да присвоите същия този квадрат с нула: Ако от дясната страна няма променливи и/или свободен член, тогава поставяме нули отдясно на съответните уравнения на системата.

Записваме съответните коефициенти във второто уравнение на системата:

И накрая, минерална вода, избираме безплатни членове.

Ееееееееее... малко се пошегувах. Шегата настрана - математиката е сериозна наука. В нашата институтска група никой не се засмя, когато асистентката каза, че ще разпръсне членовете по числовата ос и ще избере най-големите. Хайде да станем сериозни. Въпреки че... който доживее до края на този урок, пак ще се усмихне тихо.

Системата е готова:

Решаваме системата:

(1) От първото уравнение ние изразяваме и го заместваме във 2-ро и 3-то уравнения на системата. Всъщност беше възможно да се изрази (или друга буква) от друго уравнение, но в този случай е изгодно да се изрази от 1-вото уравнение, тъй като там най-малките шансове.

(2) Представяме подобни членове във 2-ро и 3-то уравнения.

(3) Събираме 2-ро и 3-то уравнения член по член, получавайки равенството , от което следва, че

(4) Заместваме във второто (или третото) уравнение, откъдето намираме това

(5) Заместете и в първото уравнение, получавайки .

Ако имате затруднения с методите за решаване на системата, упражнете ги в клас. Как се решава система от линейни уравнения?

След решаването на системата винаги е полезно да проверите - заменете намерените стойности всекиуравнение на системата, в резултат всичко трябва да се „събере“.

Почти там. Намерени са коефициентите и:

Завършената работа трябва да изглежда така:

Както можете да видите, основната трудност на задачата беше да се състави (правилно!) и да се реши (правилно!) система от линейни уравнения. И на последния етап всичко не е толкова трудно: използваме свойствата на линейността на неопределения интеграл и интегрираме. Моля, обърнете внимание, че под всеки от трите интеграла имаме „безплатно“ сложна функция, говорих за характеристиките на интегрирането му в клас Метод на промяна на променлива в неопределен интеграл.

Проверка: Разграничете отговора:

Получена е оригиналната интегрална функция, което означава, че интегралът е намерен правилно.
При проверката трябваше да сведем израза до общ знаменател и това не е случайно. Методът на неопределените коефициенти и редуцирането на израз до общ знаменател са взаимно обратни действия.

Пример 2

намирам неопределен интеграл.

Да се ​​върнем на дробта от първия пример: . Лесно се забелязва, че в знаменателя всички фактори са РАЗЛИЧНИ. Възниква въпросът какво да правим, ако например е дадена следната дроб: ? Тук имаме степени в знаменателя, или, математически, кратни. В допълнение, има квадратен трином, който не може да бъде факторизиран (лесно е да се провери, че дискриминантът на уравнението е отрицателна, така че триномът не може да бъде факторизиран). Какво да правя? Развиването в сбор от елементарни дроби ще изглежда така с неизвестни коефициенти в горната част или нещо друго?

Пример 3

Въведете функция

Етап 1.Проверка дали имаме правилна дроб
Главен числител: 2
Най-висока степен на знаменател: 8
, което означава, че дробта е правилна.

Стъпка 2.Възможно ли е да разложим нещо в знаменателя? Очевидно не, всичко вече е изложено. Квадратният тричлен не може да бъде разширен в продукт поради посочените по-горе причини. Качулка. По-малко работа.

Стъпка 3.Нека си представим една дробно-рационална функция като сбор от елементарни дроби.
В този случай разширението има следната форма:

Нека да разгледаме нашия знаменател:
При разлагане на дробно-рационална функция в сума от елементарни дроби могат да се разграничат три основни момента:

1) Ако знаменателят съдържа „самотен“ фактор на първа степен (в нашия случай), тогава поставяме неопределен коефициент най-отгоре (в нашия случай). Примери № 1, 2 се състоят само от такива „самотни“ фактори.

2) Ако знаменателят има многократнимножител, тогава трябва да го разложите по следния начин:
- т.е. последователно преминаване през всички степени на "X" от първа до n-та степен. В нашия пример има два множество фактора: и , погледнете отново разширението, което дадох, и се уверете, че те са разширени точно според това правило.

3) Ако знаменателят съдържа неразложим полином от втора степен (в нашия случай), тогава при разлагане в числителя трябва да напишете линейна функция с неопределени коефициенти (в нашия случай с неопределени коефициенти и ).

Всъщност има още един 4-ти случай, но за него ще замълча, тъй като на практика е изключително рядък.

Пример 4

Въведете функция като сбор от елементарни дроби с неизвестни коефициенти.

Това е пример, който можете да решите сами. Пълно решение и отговор в края на урока.
Следвайте стриктно алгоритъма!

Ако разбирате принципите, чрез които трябва да разширите дробно-рационална функция в сума, можете да дъвчете почти всеки интеграл от разглеждания тип.

Пример 5

Намерете неопределения интеграл.

Етап 1.Очевидно дробът е правилен:

Стъпка 2.Възможно ли е да разложим нещо в знаменателя? Мога. Ето сбора на кубовете . Разложете знаменателя на множители, като използвате формулата за съкратено умножение

Стъпка 3.Използвайки метода на неопределените коефициенти, разширяваме интегранта в сума от елементарни дроби:

Моля, обърнете внимание, че полиномът не може да бъде факторизиран (проверете дали дискриминантът е отрицателен), така че най-отгоре поставяме линейна функция с неизвестни коефициенти, а не само една буква.

Привеждаме дробта към общ знаменател:

Нека съставим и решим системата:

(1) Изразяваме от първото уравнение и го заместваме във второто уравнение на системата (това е най-рационалният начин).

(2) Представяме подобни членове във второто уравнение.

(3) Събираме второто и третото уравнения на системата член по член.

Всички по-нататъшни изчисления по принцип са устни, тъй като системата е проста.

(1) Записваме сбора на дробите в съответствие с намерените коефициенти.

(2) Използваме свойствата на линейността на неопределения интеграл. Какво се случи във втория интеграл? Можете да се запознаете с този метод в последния параграф на урока. Интегриране на някои дроби.

(3) Още веднъж използваме свойствата на линейността. В третия интеграл започваме да изолираме пълния квадрат (предпоследния параграф на урока Интегриране на някои дроби).

(4) Взимаме втория интеграл, в третия избираме пълния квадрат.

(5) Вземете третия интеграл. Готов.

Нека ви го напомним дробно-рационаленсе наричат ​​функции от вида $$ f(x) = \frac(P_n(x))(Q_m(x)), $$ в общия случай е отношението на два полинома %%P_n(x)%% и % %Q_m(x)% %.

Ако %%m > n \geq 0%%, тогава се извиква рационалната дроб правилно, в противен случай - неправилно. Използвайки правилото за деление на полиноми, една неправилна рационална дроб може да бъде представена като сбор от полином %%P_(n - m)%% от степен %%n - m%% и някаква правилна дроб, т.е. $$ \frac(P_n(x))(Q_m(x)) = P_(n-m)(x) + \frac(P_l(x))(Q_n(x)), $$ където степента %%l%% на полинома %%P_l(x)%% е по-малка от степента %%n%% на полинома %%Q_n(x)%%.

По този начин неопределеният интеграл на рационална функция може да бъде представен като сбор от неопределените интеграли на полином и правилна рационална дроб.

Интеграли от прости рационални дроби

Сред правилните рационални дроби има четири типа, които се класифицират като прости рационални дроби:

1. %%\displaystyle \frac(A)(x - a)%%,
2. %%\displaystyle \frac(A)((x - a)^k)%%,
3. %%\displaystyle \frac(Ax + B)(x^2 + px + q)%%,
4. %%\displaystyle \frac(Ax + B)((x^2 + px + q)^k)%%,

където %%k > 1%% е цяло число и %%p^2 - 4q< 0%%, т.е. квадратные уравнения не имеют действительных корней.

Изчисляване на неопределени интеграли от дроби от първите два вида

Изчисляването на неопределени интеграли на дроби от първите два вида не създава затруднения: $$ \begin(array)(ll) \int \frac(A)(x - a) \mathrm(d)x &= A\int \frac (\mathrm (d)(x - a))(x - a) = A \ln |x - a| + C, \\ \\ \int \frac(A)((x - a)^k) \mathrm(d)x &= A\int \frac(\mathrm(d)(x - a))(( x - a)^k) = A \frac((x-a)^(-k + 1))(-k + 1) + C = \\ &= -\frac(A)((k-1)(x-a )^(k-1)) + C. \end(масив) $$

Изчисляване на неопределени интеграли от дроби от трети тип

Първо трансформираме третия вид дроб, като подчертаваме перфектния квадрат в знаменателя: $$ \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) = \frac(Ax + B)((x + p/2 )^2 + q - p^2/4), $$ от %%p^2 - 4q< 0%%, то %%q - p^2/4 >0%%, което означаваме като %%a^2%%. Заменяйки също %%t = x + p/2, \mathrm(d)t = \mathrm(d)x%%, трансформираме знаменателя и записваме интеграла на дроб от трети тип във формата $$ \begin(array )(ll) \ int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x &= \int \frac(Ax + B)((x + p/2)^2 + q - p^2 /4) \mathrm(d)x = \\ &= \int \frac(A(t - p/2) + B)(t^2 + a^2) \mathrm(d)t = \int \frac (At + (B - A p/2))(t^2 + a^2) \mathrm(d)t. \край (масив) $$

Използвайки линейността на неопределения интеграл, представяме последния интеграл като сбор от две и в първия от тях въвеждаме %%t%% под диференциалния знак: $$ \begin(array)(ll) \int \frac (At + (B - A p /2))(t^2 + a^2) \mathrm(d)t &= A\int \frac(t \mathrm(d)t)(t^2 + a^ 2) + \left(B - \frac(pA)(2)\right)\int \frac(\mathrm(d)t)(t^2 + a^2) = \\ &= \frac(A) (2) \int \frac( \mathrm(d)\left(t^2 + a^2\right))(t^2 + a^2) + - \frac(2B - pA)(2)\int \frac(\mathrm(d) t)(t^2 + a^2) = \\ &= \frac(A)(2) \ln \left| t^2 + a^2\надясно| + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(t)(a) + C. \end(array) $$

Връщайки се към първоначалната променлива %%x%%, в резултат на това за част от третия тип получаваме $$ \int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x = \frac(A)( 2) \ln \left| x^2 + px + q\right| + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(x + p/2)(a) + C, $$ където %%a^2 = q - p^2 / 4 > 0% %.

Изчисляването на интеграл от тип 4 е трудно и затова не се разглежда в този курс.

Преди да започнете да интегрирате прости дроби, за да намерите неопределения интеграл на дробно рационална функция, се препоръчва да освежите раздела „Разлагане на дроби на прости“.

Пример 1

Нека намерим неопределения интеграл ∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x .

Решение

Нека изберем цялата част, като разделим полинома на полинома с колона, като вземем предвид факта, че степента на числителя на интегранта е равна на степента на знаменателя:

Следователно 2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + - 2 x + 3 x 3 + x. Получихме правилната рационална дроб - 2 x + 3 x 3 + x, която сега ще разложим на прости дроби - 2 x + 3 x 3 + x = 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1. следователно

∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x = ∫ 2 + 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1 d x = ∫ 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = 2 x + 3 ln x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x

Получихме интеграла на най-простата дроб от трети вид. Можете да го вземете, като го поставите под знака за разлика.

Тъй като d x 2 + 1 = 2 x d x, тогава 3 x d x = 3 2 d x 2 + 1. Ето защо
∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = ∫ 3 x x 2 + 1 d x + ∫ 2 x 2 + 1 = 3 2 ∫ d x 2 + 1 x 2 + 1 + 2 ∫ d x x 2 + 1 = 3 2 ln x 2 + 1 + 2 a r c t g x + C 1

следователно
∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x = 2 x + 3 ln x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = 2 x + 3 ln x - 3 2 ln x 2 + 1 - 2 a r c tan x + C , където C = - C 1

Нека опишем методите за интегриране на прости дроби от всеки от четирите типа.

Интегриране на прости дроби от първи тип A x - a

За да разрешим този проблем, използваме метода на директна интеграция:

∫ A x - a d x = A ∫ d x x - a = A ln x - a + C

Пример 2

Намерете множеството от първоизводни на функцията y = 3 2 x - 1 .

Решение

Използвайки правилото за интегриране, свойствата на първоизводната и таблицата с първоизводните, намираме неопределения интеграл ∫ 3 d x 2 x - 1: ∫ f k · x + b d x = 1 k · F k · x + b + C

∫ 3 d x 2 x - 1 = 3 ∫ d x 2 x - 1 2 = 3 2 ∫ d x x - 1 2 = 3 2 ln x - 1 2 + C

Отговор: ∫ 3 d x 2 x - 1 = 3 2 ln x - 1 2 + C

Интегриране на прости дроби от втори вид A x - a n

Методът на директното интегриране също е приложим тук: ∫ A x - a n d x = A ∫ x - a - n d x = A - n + 1 x - a - n + 1 + C = A 1 - n x - a n - 1 + C

Пример 3

Необходимо е да се намери неопределеният интеграл ∫ d x 2 x - 3 7 .

Решение

∫ d x 2 x - 3 7 = ∫ d x 2 x - 3 2 7 = 1 2 7 ∫ x - 3 2 - 7 d x = = 1 2 7 1 - 7 + 1 x - 3 2 - 7 + 1 + C = 1 2 7 · - 6 · x - 3 2 6 + C = = 1 2 · - 6 · 2 6 · x - 3 2 6 + C = - 1 12 · 1 2 x - 3 6 + C

Отговор:∫ d x 2 x - 3 7 = - 1 12 · 1 2 x - 3 6 + C

Интегриране на прости дроби от трети тип M x + N x 2 + p x + q, D = p 2 - 4 q< 0

Първата стъпка е да представим неопределения интеграл ∫ M x + N x 2 + p x + q като сума:

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = ∫ M x x 2 + p x + q d x + N ∫ d x x 2 + p x + q

За да вземем първия интеграл, използваме метода на добавяне на диференциалния знак:

∫ M x x 2 + p x + q d x = d x 2 + p x + q = 2 x + p d x = 2 x d x + p d x ⇒ 2 x d x = d x 2 + p x + q - p d x ⇒ M x d x = M 2 d x 2 + p x + q - p M 2 d x = = ∫ M 2 d x 2 + p x + q - p M 2 d x x 2 + p x + q = = M 2 ∫ d x 2 + p x + q x 2 + p x + q - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q

Ето защо,
∫ M x + N x 2 + p x + q d x = ∫ M x x 2 + p x + q d x + N ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q + N ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q

Получихме интеграла ∫ d x x 2 + p x + q. Нека трансформираме знаменателя му:

∫ d x x 2 + p x + q = ∫ d x x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = = ∫ d x x + p 2 2 - p 2 4 + q = ∫ d x x + p 2 2 - p 2 4 + q = = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = 2 4 q - p 2 a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C 1

следователно

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 · 2 4 q - p 2 · a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C 1

Формулата за интегриране на прости дроби от трети тип приема формата:
∫ M x + N x 2 + p x + q d x = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 4 q - p 2 · a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C

Пример 4

Необходимо е да се намери неопределеният интеграл ∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x .

Решение

Нека приложим формулата:

∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ∫ 2 x + 1 x 2 + 2 x + 10 d x = M = 2, N = 1, p = 2, q = 10 = = 1 3 2 2 ln x 2 + 2 x + 10 + 2 1 - 2 2 4 10 - 2 2 a r c t g 2 x + 2 2 4 10 - 2 2 + C = = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t g x + 1 3 + C

Второто решение изглежда така:

∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ∫ 2 x + 1 x 2 + 2 x + 10 d x = d (x 2 + 2 x + 10 = (2 x + 2) d x = = 1 3 ∫ 2 x + 2 - 1 x 2 + 2 x + 10 d x = 1 3 ∫ d (x 2 + 2 x + 10) x 2 + 2 x + 10 = 1 3 ∫ d x x 2 + 2 x + 10 = = конвертируема стойност = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 3 ∫ d (x) x + 1 2 + 9 = = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t g x + 1 3 + C

Отговор: ∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t g x + 1 3 + C

Интегриране на най-простите дроби от четвъртия тип M x + N (x 2 + p x + q) n, D = p 2 - 4 q< 0

Първо, извършваме изваждането на диференциалния знак:

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = d (x 2 + p x + q) = (2 x + p) d x = = M 2 ∫ d (x 2 + p x + q) (x 2 + p x + q ) n + N - p M 2 ∫ d x (x 2 + p x + q) n = = M 2 (- n + 1) 1 (x 2 + p x + q) n - 1 + N - p M 2 ∫ d x ( x 2 + p x + q) n

След това намираме интеграл под формата J n = ∫ d x (x 2 + p x + q) n, като използваме рекурентни формули. Информация за рекурентни формули можете да намерите в темата „Интегриране с помощта на рекурентни формули“.

За да решим нашия проблем, рекурентна формула от вида J n = 2 x + p (n - 1) (4 q - p 2) (x 2 + p x + q) n - 1 + 2 n - 3 n - 1 2 4 q е подходящо - p 2 · J n - 1 .

Пример 5

Необходимо е да се намери неопределеният интеграл ∫ d x x 5 x 2 - 1 .

Решение

∫ d x x 5 x 2 - 1 = ∫ x - 5 (x 2 - 1) - 1 2 d x

Ще използваме метода на заместване за този тип интегранд. Нека въведем нова променлива x 2 - 1 = z 2 x = (z 2 + 1) 1 2 d x = z (z 2 + 1) - 1 2 d x

Получаваме:

∫ d x x 5 x 2 - 1 = ∫ x - 5 (x 2 - 1) - 1 2 d x = = ∫ (z 2 + 1) - 5 2 z - 1 z (z 2 + 1) - 1 2 d z = ∫ d z (z 2 + 1) 3

Стигнахме до намирането на интеграла на дроб от четвърти вид. В нашия случай имаме коефициенти M = 0, p = 0, q = 1, N = 1и n = 3. Прилагаме рекурентната формула:

J 3 = ∫ d z (z 2 + 1) 3 = 2 z + 0 (3 - 1) (4 1 - 0) z 2 + 1 3 - 1 + 2 3 - 3 3 - 1 2 4 · 1 - 0 · ∫ d z (z 2 + 1) 2 = = z 4 (z 2 + 1) 2 + 3 4 2 z (2 - 1) · (4 · 1 - 0) · (z 2 + 1) 2 - 1 + 2 2 - 3 2 - 11 2 4 1 - 0 ∫ d z z 2 + 1 = = z 4 (z 2 + 1) 2 + 3 8 z z 2 + 1 + 3 8 a r c t g (z) +C

След обратното заместване z = x 2 - 1 получаваме резултата:
∫ d x x 5 x 2 - 1 = x 2 - 1 4 x 4 + 3 8 x 2 - 1 x 2 + 3 8 a r c t g x 2 - 1 + C

Отговор:∫ d x x 5 x 2 - 1 = x 2 - 1 4 x 4 + 3 8 x 2 - 1 x 2 + 3 8 a r c t g x 2 - 1 + C

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Проблемът за намиране на неопределен интеграл на дробно рационална функция се свежда до интегриране на прости дроби. Затова ви препоръчваме първо да се запознаете с раздела на теорията за разлагането на дроби в най-простите.

Пример.

Намерете неопределения интеграл.

Решение.

Тъй като степента на числителя на интегранта е равна на степента на знаменателя, първо избираме цялата част, като разделяме полинома на полинома с колона:

Ето защо, .

Разлагането на получената правилна рационална дроб на по-прости дроби има формата . следователно

Полученият интеграл е интеграл на най-простата дроб от трети тип. Гледайки малко напред, отбелязваме, че можете да го вземете, като го включите под диференциалния знак.

защото , Че . Ето защо

следователно

Сега нека да преминем към описание на методите за интегриране на прости дроби от всеки от четирите типа.

Интегриране на прости дроби от първи тип

Методът на директна интеграция е идеален за решаване на този проблем:

Пример.

Намерете множеството от първоизводни на функция

Решение.

Нека намерим неопределения интеграл, използвайки свойствата на първоизводната, таблицата с първоизводните и правилото за интегриране.

Най-горе на страницата

Интегриране на прости дроби от втори вид

Методът на директна интеграция също е подходящ за решаване на този проблем:

Пример.

Решение.

Най-горе на страницата

Интегриране на прости дроби от трети вид

Първо представяме неопределения интеграл като сума:

Взимаме първия интеграл, като го поставим под диференциалния знак:

Ето защо,

Нека трансформираме знаменателя на получения интеграл:

следователно

Формулата за интегриране на прости дроби от трети тип приема формата:

Пример.

Намерете неопределения интеграл .

Решение.

Използваме получената формула:

Ако нямахме тази формула, какво щяхме да правим:

Най-горе на страницата

Интегриране на прости дроби от четвърти тип

Първата стъпка е да го поставите под диференциалния знак:

Втората стъпка е да се намери интеграл на формата . Интеграли от този тип се намират с помощта на рекурентни формули. (Вижте раздела за интегриране с помощта на рекурентни формули.) Следната рекурентна формула е подходяща за нашия случай:

Пример.

Намерете неопределения интеграл

Решение.

За този тип интегранд използваме метода на заместване. Нека въведем нова променлива (вижте раздела за интегриране на ирационални функции):

След заместване имаме:

Стигнахме до намирането на интеграла на дроб от четвърти вид. В нашия случай имаме коефициенти M = 0, p = 0, q = 1, N = 1И n=3. Прилагаме рекурентната формула:

След обратна замяна получаваме резултата:

Интегриране на тригонометрични функции

1.Интеграли на формата се изчисляват чрез преобразуване на произведението на тригонометричните функции в сума по формулите: Например, 2. Интеграли на формата , Където мили н– нечетно положително число, изчислено чрез поставянето му под диференциалния знак. Например, 3.Интеграли на формата , Където мИ н–четните положителни числа се изчисляват с помощта на формули за намаляване на степента: Напр. 4.Интеграли където се изчисляват чрез промяна на променливата: или Например, 5. Интегралите на формата се редуцират до интеграли на рационални дроби с помощта на универсално тригонометрично заместване тогава (тъй като =[след разделяне на числителя и знаменателя на ]= ; Например, Трябва да се отбележи, че използването на универсално заместване често води до тромави изчисления.

§5. Интегриране на най-простите ирационалности

Нека разгледаме методите за интегриране на най-простите видове ирационалност. 1. Функциите от този тип се интегрират по същия начин като най-простите рационални дроби от 3-ти тип: в знаменателя пълен квадрат се изолира от квадратния тричлен и се въвежда нова променлива. Пример. 2. (под знака интеграл – рационална функция на аргументите). Интегралите от този тип се изчисляват чрез заместване. По-специално, в интеграли от формата, ние означаваме . Ако подинтегралната функция съдържа корени от различни степени: , след това означете къде н– най-малко общо кратно на числа м, к. Пример 1. Пример 2. -неправилна рационална дроб, изберете цялата част: – – – 3.Интеграли на формата се изчисляват с помощта на тригонометрични замествания:

44

45 Определен интеграл

Определен интеграл- адитивен монотонен нормализиран функционал, дефиниран върху набор от двойки, чийто първи компонент е интегрируема функция или функционал, а вторият е домейн в множеството за определяне на тази функция (функционал).

Определение

Нека бъде дефинирано на . Нека го разделим на части с няколко произволни точки. След това казват, че отсечката е разделена След това изберете произволна точка , ,

Определен интеграл на функция на интервал е границата на интегралните суми, тъй като рангът на дяла клони към нула, ако съществува независимо от разделянето и избора на точки, т.е.

Ако определеното ограничение съществува, тогава се казва, че функцията е интегрируема на Риман.

Наименования

· - долна граница.

· - горен лимит.

· - функция под интегранд.

· - дължина на частичния сегмент.

· - интегрална сума на функцията на съответния дял.

· - максимална дължиначестота на секцията

Имоти

Ако една функция е интегрируема по Риман върху , то тя е ограничена върху нея.

Геометрично значение

Определен интеграл като площ на фигура

Определеният интеграл е числено равен на площта на фигурата, ограничена от абсцисната ос, прави линии и графиката на функцията.

Теорема на Нютон-Лайбниц

[редактиране]

(пренасочено от "Формула на Нютон-Лайбниц")

Формула на Нютон-Лайбницили основна теорема на анализадава връзка между две операции: вземане на определен интеграл и изчисляване на първоизводната.

Доказателство

Нека е дадена интегрируема функция на интервал. Нека започнем, като отбележим това

тоест няма значение коя буква (или) стои под знака в определения интеграл върху сегмента.

Нека зададем произволна стойност и да определим нова функция . Дефинира се за всички стойности на , защото знаем, че ако има интеграл от on , тогава има и интеграл от on , където . Нека припомним, че считаме по дефиниция

(1)

забележи това

Нека покажем, че е непрекъснат на интервала. Всъщност нека ; Тогава

и ако , тогава

По този начин той е непрекъснат, независимо дали има или няма прекъсвания; важно е да е интегрируем на .

Фигурата показва графика. Площта на променливата фигура е. Увеличението му е равно на площта на фигурата , която поради своята ограниченост очевидно клони към нула при, независимо дали е точка на непрекъснатост или прекъсване, например точка.

Нека сега функцията е не само интегрируема върху , но и непрекъсната в точката . Нека докажем, че тогава производната в тази точка е равна на

(2)

Всъщност за посочената точка

(1) , (3)

Поставяме , и тъй като е постоянна спрямо ,TO . Освен това, поради непрекъснатост в точка, за всеки може да се посочи така, че за .

което доказва, че лявата страна на това неравенство е o(1) за .

Преминаването към границата в (3) при показва съществуването на производната на в точката и валидността на равенството (2). Когато говорим тук съответно за дясната и лявата производна.

Ако една функция е непрекъсната на , тогава, въз основа на това, което беше доказано по-горе, съответната функция

(4)

има производна, равна на . Следователно функцията е антипроизводна за .

Това заключение понякога се нарича интегрална теорема за променлива горна граница или теорема на Бароу.

Доказахме, че произволна функция, непрекъсната на интервал, има първоизводна на този интервал, определена от равенство (4). Това доказва съществуването на първоизводна за всяка функция, непрекъсната на интервал.

Нека сега има произволна антипроизводна на функция на . Знаем, че къде е някаква константа. Приемайки това равенство и като вземем предвид това, получаваме .

По този начин, . Но

Неправилен интеграл

[редактиране]

Материали от Wikipedia - свободната енциклопедия

Определен интегралНаречен не твоя собствена, ако е изпълнено поне едно от следните условия:

· Граница a или b (или и двете граници) са безкрайни;

· Функцията f(x) има една или повече точки на прекъсване вътре в сегмента.

[редактиране] Неправилни интеграли от първи род

. Тогава:

1. Ако а интегралът се нарича . В такъв случай се нарича конвергентен.

, или просто различни.

Позволявам да бъде определена и непрекъсната на множеството от и . Тогава:

1. Ако , тогава се използва нотацията а интегралът се нарича неправилен риманов интеграл от първи род. В такъв случай се нарича конвергентен.

2. Ако няма краен ( или ), тогава се казва, че интегралът се отклонява към , или просто различни.

Ако една функция е дефинирана и непрекъсната на цялата числова ос, тогава може да има неправилен интеграл на тази функция с две безкрайни граници на интегриране, определени от формулата:

, където c е произволно число.

[редактиране] Геометричен смисъл на неправилен интеграл от първи род

Неправилният интеграл изразява площта на безкрайно дълъг извит трапец.

[редактиране] Примери

[редактиране] Неправилни интеграли от втори род

Нека е дефиниран на , страда от безкрайно прекъсване в точката x=a и . Тогава:

1. Ако , тогава се използва нотацията а интегралът се нарича

наречена дивергентна към , или просто различни.

Нека е дефиниран на , страда от безкрайно прекъсване при x=b и . Тогава:

1. Ако , тогава се използва нотацията а интегралът се нарича неправилен риманов интеграл от втори род. В този случай интегралът се нарича конвергентен.

2. Ако или , тогава обозначението остава същото, и наречена дивергентна към , или просто различни.

Ако функцията претърпи прекъсване в вътрешна точкасегмент , тогава неправилният интеграл от втори вид се определя по формулата:

[редактиране] Геометричен смисъл на несобствени интеграли от втори род

Неправилният интеграл изразява площта на безкрайно висок извит трапец

[редактиране] Пример

[редактиране]Изолиран случай

Нека функцията е дефинирана на цялата числова ос и има прекъсване в точките.

Тогава можем да намерим неправилния интеграл

[редактиране] Критерий на Коши

1. Нека е дефинирано върху множество от и .

Тогава се сближава

2. Нека се дефинира върху и .

Тогава се сближава

[редактиране]Абсолютна конвергенция

Интеграл Наречен абсолютно конвергентен, Ако се сближава.
Ако интегралът се сближава абсолютно, тогава той се сближава.

[редактиране]Условна конвергенция

Интегралът се нарича условно конвергентен, ако се сближава, но се разминава.

48 12. Неправилни интеграли.

Когато разглеждаме определени интеграли, ние приехме, че областта на интегриране е ограничена (по-конкретно, това е сегмент [ а ,b ]); За да съществува определен интеграл, интеграндът трябва да бъде ограничен върху [ а ,b ]. Ние ще наричаме определени интеграли, за които са изпълнени и двете условия (ограниченост както на областта на интегриране, така и на интегранта) собствен; интеграли, за които тези изисквания са нарушени (т.е. или интегралната функция, или областта на интегриране е неограничена, или и двете) не твоя собствена. В този раздел ще изучаваме неправилни интеграли.

• 12.1. Неправилни интеграли върху неограничен интервал (неправилни интеграли от първи род).
• 12.1.1. Дефиниция на неправилен интеграл върху безкраен интервал. Примери.
• 12.1.2. Формула на Нютон-Лайбниц за неправилен интеграл.
• 12.1.3. Сравнителни знаци за неотрицателни функции.
• 12.1.3.1. Знак за сравнение.
• 12.1.3.2. Знак за сравнение в неговата крайна форма.
• 12.1.4. Абсолютна конвергенция на неправилни интеграли върху безкраен интервал.
• 12.1.5. Тестове за сходимост на Абел и Дирихле.
• 12.2. Несобствени интеграли от неограничени функции (несобствени интеграли от втори род).
• 12.2.1. Определение на неправилен интеграл на неограничена функция.
• 12.2.1.1. Сингулярността е в левия край на интеграционния интервал.
• 12.2.1.2. Приложение на формулата на Нютон-Лайбниц.
• 12.2.1.3. Сингулярност в десния край на интеграционния интервал.
• 12.2.1.4. Сингулярност във вътрешната точка на интеграционния интервал.
• 12.2.1.5. Няколко характеристики на интеграционния интервал.
• 12.2.2. Критерии за сравнение на неотрицателни функции.
• 12.2.2.1. Знак за сравнение.
• 12.2.2.2. Знак за сравнение в неговата крайна форма.
• 12.2.3. Абсолютна и условна сходимост на несобствени интеграли от прекъснати функции.
• 12.2.4. Тестове за сходимост на Абел и Дирихле.

12.1. Неправилни интеграли върху неограничен интервал

(неправилни интеграли от първи род).

12.1.1. Дефиниция на неправилен интеграл върху безкраен интервал. Нека функцията f (х ) е дефинирана на полуоста и е интегрируема върху всеки интервал [ от, което предполага във всеки от тези случаи съществуването и крайността на съответните граници. Сега решенията на примерите изглеждат по-прости: .

12.1.3. Критерии за сравнение на неотрицателни функции. В този раздел ще приемем, че всички интегранти са неотрицателни в цялата област на дефиниция. Досега определяхме сходимостта на интеграла, като го изчислявахме: ако има крайна граница на първоизводната със съответната тенденция ( или ), тогава интегралът се сближава, в противен случай се разминава. При решаването на практически задачи обаче е важно преди всичко да се установи самият факт на сходимост и едва след това да се изчисли интегралът (освен това първоизводната често не се изразява чрез елементарни функции). Нека формулираме и докажем редица теореми, които ни позволяват да установим сходимостта и дивергенцията на неправилни интеграли на неотрицателни функции, без да ги изчисляваме.
12.1.3.1. Знак за сравнение. Нека функциите f (х ) И ж (х ) интеграл

Дробта се нарича правилно, ако най-високата степен на числителя е по-малка от най-високата степен на знаменателя. Интегралът на правилна рационална дроб има формата:

$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Формулата за интегриране на рационални дроби зависи от корените на многочлена в знаменателя. Ако полиномът $ ax^2+bx+c $ има:

1. Само комплексни корени, тогава е необходимо да се извлече пълен квадрат от него: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^ 2 \pm a ^2) $$
2. Различни реални корени $ x_1 $ и $ x_2 $, тогава трябва да разширите интеграла и да намерите неопределените коефициенти $ A $ и $ B $: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c ) dx = \int \frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B)(x-x_2) dx $$
3. Един кратен корен $ x_1 $, след което разширяваме интеграла и намираме неопределените коефициенти $ A $ и $ B $ за следната формула: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$

Ако дробта е грешно, тоест най-високата степен в числителя е по-голяма или равна на най-високата степен на знаменателя, тогава първо трябва да се намали до правилнообразуват чрез разделяне на полинома от числителя на полинома от знаменателя. В този случай формулата за интегриране на рационална дроб има формата:

$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Примери за решения

Пример 1

Намерете интеграла на рационалната дроб: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) $$

Решение

Дробта е правилна и полиномът има само комплексни корени. Затова избираме пълен квадрат: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \int \frac(dx)(x^2-2\cdot 5 x+ 5^2 - 9) = $$ Сгъваме пълен квадрат и го поставяме под диференциалния знак $ x-5 $: $$ = \int \frac(dx)((x-5)^2 - 9) = \int \frac(d(x-5))((x-5)^2-9) = $$ Използвайки таблицата на интегралите, получаваме: $$ = \frac(1)(2 \cdot 3) \ln \bigg | \frac(x-5 - 3)(x-5 + 3) \bigg | + C = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$ Ако не можете да разрешите проблема си, изпратете го до нас. Ние ще предоставим подробно решение. Ще можете да видите напредъка на изчислението и да получите информация. Това ще ви помогне да получите оценката си от вашия учител навреме!

Отговор

$$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$

Пример 2

Извършете интегриране на рационални дроби: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx $$

Решение

Нека решим квадратното уравнение: $$ x^2+5x-6 = 0 $$ $$ x_(12) = \frac(-5\pm \sqrt(25-4\cdot 1 \cdot (-6)))(2) = \frac(-5 \pm 7)(2) $$ Записваме корените: $$ x_1 = \frac(-5-7)(2) = -6; x_2 = \frac(-5+7)(2) = 1 $$ Като вземем предвид получените корени, трансформираме интеграла: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \int \frac(x+2)((x-1)(x+6)) dx = $$ Извършваме разширяване на рационална дроб: $$ \frac(x+2)((x-1)(x+6)) = \frac(A)(x-1) + \frac(B)(x+6) = \frac(A(x) -6)+B(x-1))((x-1)(x+6)) $$ Приравняваме числителите и намираме коефициентите $ A $ и $ B $: $$ A(x+6)+B(x-1)=x+2 $$ $$ Ax + 6A + Bx - B = x + 2 $$ $$ \begin(cases) A ​​​​+ B = 1 \\ 6A - B = 2 \end(cases) $$ $$ \begin(cases) A ​​​​= \frac(3)(7) \\ B = \frac(4)(7) \end(cases) $$ Заместваме намерените коефициенти в интеграла и го решаваме: $$ \int \frac(x+2)((x-1)(x+6))dx = \int \frac(\frac(3)(7))(x-1) dx + \int \frac (\frac(4)(7))(x+6) dx = $$ $$ = \frac(3)(7) \int \frac(dx)(x-1) + \frac(4)(7) \int \frac(dx)(x+6) = \frac(3) (7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$

Отговор

$$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \frac(3)(7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$