Тип уравнение е(х; а) = 0 се извиква променливо уравнение хи параметър но.
Решете уравнение с параметър ноТова означава, че за всяка стойност нонамерете стойности худовлетворяване на това уравнение.
Пример 1 ох= 0
Пример 2 ох = но
Пример 3
х + 2 = ах
x - брадва \u003d -2
x (1 - a) = -2
Ако 1 - но= 0, т.е. но= 1, тогава х 0 = -2 без корени
Ако 1 - но 0, т.е. но 1, тогава х =
Пример 4
(но 2 – 1) х = 2но 2 + но – 3
(но – 1)(но + 1)х = 2(но – 1)(но – 1,5)
(но – 1)(но + 1)х = (1но – 3)(но – 1)
Ако но= 1, след това 0 х = 0
х- всякакви реално число
Ако но= -1, след това 0 х = -2
няма корени
Ако но 1, но-1 тогава х= (единственото решение).
Това означава, че всеки валидна стойност носъвпада с една стойност х.
Например:
ако но= 5, тогава х = = ;
ако но= 0, тогава х= 3 и т.н.
Дидактически материал
1. ох = х + 3
2. 4 + ох = 3х – 1
3. но = +
в но= 1 няма корени.
в но= 3 без корени.
в но = 1 хвсяко реално число освен х = 1
в но = -1, но= 0 няма решения.
в но = 0, но= 2 няма решения.
в но = -3, но = 0, 5, но= -2 няма решения
в но = -от, от= 0 няма решения.
Квадратни уравнения с параметър
Пример 1реши уравнението
(но – 1)х 2 = 2(2но + 1)х + 4но + 3 = 0
В но = 1 6х + 7 = 0
Кога но 1 изберете тези стойности на параметъра, за които дотива на нула.
D = (2(2 но + 1)) 2 – 4(но – 1)(4но + 30 = 16но 2 + 16но + 4 – 4(4но 2 + 3но – 4но – 3) = 16но 2 + 16но + 4 – 16но 2 + 4но + 12 = 20но + 16
20но + 16 = 0
20но = -16
Ако но < -4/5, то д < 0, уравнение имеет действительный корень.
Ако но> -4/5 и но 1, тогава д > 0,
х = 
Ако но= 4/5, тогава д = 0,
Пример 2При какви стойности на параметъра a уравнението
х 2 + 2( но + 1)х + 9но– 5 = 0 има 2 различни отрицателни корена?
D = 4( но + 1) 2 – 4(9но – 5) = 4но 2 – 28но + 24 = 4(но – 1)(но – 6)
4(но – 1)(но – 6) > 0
според t. Vieta: х 1 + х 2 = -2(но + 1)
х 1 х 2 = 9но – 5
По условие х 1 < 0, х 2 < 0 то –2(но + 1) < 0 и 9но – 5 > 0
| В крайна сметка | 4(но – 1)(но – 6) > 0 - 2(но + 1) < 0 9но – 5 > 0 |
но < 1: а > 6 но > - 1 но > 5/9 |
 (Ориз. един) < а < 1, либо а > 6 |
Пример 3Намерете стойности ноза които това уравнение има решение.
х 2 - 2( но – 1)х + 2но + 1 = 0
D = 4( но – 1) 2 – 4(2но + 10 = 4но 2 – 8но + 4 – 8но – 4 = 4но 2 – 16но
4но 2 – 16 0
4но(но – 4) 0
но( но – 4)) 0
но( но – 4) = 0
a = 0 или но – 4 = 0
но = 4
(Ориз. 2)
Отговор: но 0 и но 4
Дидактически материал
1. На каква стойност ноуравнението ох 2 – (но + 1) х + 2но– 1 = 0 има един корен?
2. На каква стойност ноуравнението ( но + 2) х 2 + 2(но + 2)х+ 2 = 0 има един корен?
3. За какви стойности на a е уравнението ( но 2 – 6но + 8) х 2 + (но 2 – 4) х + (10 – 3но – но 2) = 0 има повече от два корена?
4. За какви стойности на уравнение 2 х 2 + х – но= 0 има поне един общ корен с уравнение 2 х 2 – 7х + 6 = 0?
5. За какви стойности на a правят уравненията х 2 +ох+ 1 = 0 и х 2 + х + но= 0 имат поне един общ корен?
1. Кога но = - 1/7, но = 0, но = 1
2. Кога но = 0
3. Кога но = 2
4. Кога но = 10
5. Кога но = - 2
Експоненциални уравнения с параметър
Пример 1.Намерете всички стойности но, за което уравнението
9 х - ( но+ 2) * 3 x-1 / x +2 но*3 -2/x = 0 (1) има точно два корена.
Решение. Умножавайки двете страни на уравнение (1) по 3 2/x, получаваме еквивалентно уравнение
3 2(x+1/x) – ( но+ 2) * 3 x + 1 / x + 2 но = 0 (2)
Нека 3 x+1/x = в, тогава уравнение (2) приема формата в 2 – (но + 2)в + 2но= 0, или
(в – 2)(в – но) = 0, откъдето в 1 =2, в 2 = но.
Ако в= 2, т.е. 3 x + 1/x = 2 тогава х + 1/х= log 3 2 , или х 2 – х log 3 2 + 1 = 0.
Това уравнение няма реални корени, защото д= log 2 3 2 – 4< 0.
Ако в = но, т.е. 3 x+1/x = нотогава х + 1/х= дневник 3 но, или х 2 –х log 3 a + 1 = 0. (3)
Уравнение (3) има точно два корена, ако и само ако
D = log 2 3 2 – 4 > 0, или |log 3 a| > 2.
Ако log 3 a > 2, тогава но> 9 и ако log 3 a< -2, то 0 < но < 1/9.
Отговор: 0< но < 1/9, но > 9.
Пример 2. При какви стойности на уравнение 2 2x - ( но - 3) 2 х - 3 но= 0 има решения?
За да има решения на дадено уравнение, е необходимо и достатъчно уравнението т 2 – (а - 3) т – 3а= 0 има поне един положителен корен. Нека намерим корените, използвайки теоремата на Виета: х 1 = -3, х 2 = но = >
а е положително число.
Отговор: кога но > 0
Дидактически материал
1. Намерете всички стойности на a, за които уравнението
25 х - (2 но+ 5) * 5 x-1 / x + 10 но* 5 -2/x = 0 има точно 2 решения.
2. За какви стойности на a прави уравнението
2 (a-1) x? + 2 (a + 3) x + a \u003d 1/4 има един корен?
3. За какви стойности на параметъра a уравнението
4 х - (5 но-3) 2 x +4 но 2 – 3но= 0 има уникално решение?
Логаритмични уравнения с параметър
Пример 1Намерете всички стойности но, за което уравнението
log 4x (1 + ох) = 1/2 (1)
има уникално решение.
Решение. Уравнение (1) е еквивалентно на уравнението
1 + ох = 2хв х > 0, х 1/4 (3)
х = в
au 2 - в + 1 = 0 (4)
Условието (2) от (3) не е изпълнено.
Нека бъде но 0, тогава au 2 – 2в+ 1 = 0 има реални корени, ако и само ако д = 4 – 4но 0, т.е. в но 1. За решаване на неравенство (3) изграждаме графики на функции Галицки М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И.Задълбочено изучаване на курса по алгебра и математически анализ. - М.: Просвещение, 1990
За какви стойности на параметъра $a$ неравенството $()-x^2 + (a + 2)x - 8a - 1 > 0$ има поне едно решение?
Решение
Ние намаляваме това неравенство до положителен коефициент за $x^2$:
$()-x^2 + (a + 2)x - 8a - 1 > 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 - (a + 2)x + 8a + 1< 0 .$
Изчислете дискриминанта: $D = (a + 2)^2 - 4(8a + 1) = a^2 + 4a + 4 - 32a - 4 = a^2 - 28a$. За да има решение това неравенство е необходимо поне една точка от параболата да лежи под оста $x$. Тъй като клоните на параболата са насочени нагоре, това изисква квадратният трином от лявата страна на неравенството да има два корена, тоест неговият дискриминант е положителен. Стигаме до необходимостта да решим квадратното неравенство $a^2 - 28a > 0$. Квадратният тричлен $a^2 - 28a$ има два корена: $a_1 = 0$, $a_2 = 28$. Следователно неравенството $a^2 - 28a > 0$ се удовлетворява от интервалите $a \in (-\infty; 0) \cup (28; + \infty)$.
Отговор.$a \in (-\infty; 0) \cup (28; + \infty)$.
За какви стойности на параметъра $a$ уравнението $(a-2)x^2-2ax+a+3=0$ има поне един корен и всички корени са положителни?
Решение
Нека $a=2$. Тогава уравнението приема формата $() - 4x +5 = 0$ , откъдето получаваме, че $x=\dfrac(5)(4)$ е положителен корен.
Сега нека $a\ne 2$. Получава се квадратно уравнение. Нека първо определим за какви стойности на параметъра $a$ даденото уравнение има корени. Необходимо е неговият дискриминант да бъде неотрицателен. т.е.:
$ D = 4a^2 - 4(a-2)(a+3) =() -4a+24\geqslant 0\Leftrightarrow a\leqslant 6.$
Корените трябва да са положителни по условие, следователно от теоремата на Виета получаваме системата:
$ \begin(case)x_1 + x_2 = \dfrac(2a)(a - 2)>0,\\ x_1x_2 = \dfrac(a + 3)(a - 2)> 0,\\a\leqslant 6\end (случаи) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases)a\in(- \infty;0)\cup(2; +\infty), \\ a\in(- \infty;-3)\cup( 2; +\infty), \\ a\in(-\infty;6] \end(cases)\quad\Leftrightarrow \quad a\in(-\infty;-3)\cup(2;6). $
Комбинираме отговорите, получаваме желания набор: $a\in(-\infty;-3)\cup$.
Отговор.$a\in(-\infty;-3)\cup$.
За какви стойности на параметъра $a$ неравенството $ax^2 + 4ax + 5 \leqslant 0$ няма решения?
Решение
- Ако $a = 0$, то това неравенство се изражда в неравенство $5 \leqslant 0$ , което няма решения. Следователно стойността $a = 0$ удовлетворява условието на задачата.
- Ако $a > 0$, тогава графиката на квадратния трином от лявата страна на неравенството е парабола с клони нагоре. Изчисляваме $\dfrac(D)(4) = 4a^2 - 5a$. Неравенството няма решения, ако параболата е разположена над оста x, тоест когато квадратният трином няма корени ($D< 0$). Решим неравенство $4a^2 - 5a < 0$. Корнями квадратного трёхчлена $4a^2 - 5a$ являются числа $a_1 = 0$ и $a_2 = \dfrac{5}{4}$, поэтому $D < 0$ при $0 < a < \dfrac{5}{4}$. Значит, из положительных значений $a$ подходят числа $a \in \left(0; \dfrac{5}{4}\right)$.
- Ако $a< 0$, то график квадратного трехчлена в левой части неравенства - парабола с ветвями, направленными вниз. Значит, обязательно найдутся значения $х$, для которых трёхчлен отрицателен. Следовательно, все значения $a < 0$ не подходят.
Отговор.$a \in \left$ лежи между корените, така че трябва да има два корена (следователно $a\ne 0$). Ако клоните на параболата $y = ax^2 + (a + 3)x - 3a$ сочат нагоре, тогава $y(-1)< 0$ и $y(1) < 0$; если же они направлены вниз, то $y(-1) >0$ и $y(1) > 0$.
Случай I.Нека $a > 0$. Тогава
$\left\( \begin(array)(l) y(-1)=a-(a+3)-3a=-3a-3<0 \\ y(1)=a+(a+3)-3a=-a+3<0 \\ a>0 \ край (масив) \ вдясно. \quad \Leftrightarrow \quad \left\( \begin(array)(l) a>-1 \\ a>3 \\ a>0 \end(array) \right.\quad \Leftrightarrow \quad a>3. $
Тоест в този случай се оказва, че всички $a > 3$ пасват.
Случай II.Нека $a< 0$. Тогда
$\left\( \begin(array)(l) y(-1)=a-(a+3)-3a=-3a-3>0 \\ y(1)=a+(a+3)-3a =-a+3>0 \\ a<0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} a<-1 \\ a<3 \\ a<0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad a<-1.$
Тоест в този случай се оказва, че всички $a< -1$.
Отговор.$a\in (-\infty ;-1)\cup (3;+\infty)$
Намерете всички стойности на параметъра $a$, за всяка от които системата от уравнения
$ \begin(случаи) x^2+y^2 = 2a, \\ 2xy=2a-1 \end(случаи) $
има точно две решения.
Решение
Извадете второто от първото: $(x-y)^2 = 1$. Тогава
$ \left[\begin(array)(l) x-y = 1, \\ x-y = -1 \end(array)\right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[\begin(масив)(l) x = y+1, \\ x = y-1. \край(масив)\вдясно. $
Замествайки получените изрази във второто уравнение на системата, получаваме две квадратни уравнения: $2y^2 + 2y - 2a + 1 = 0$ и $2y^2 - 2y - 2a + 1 =0$. Дискриминантът на всеки от тях е равен на $D = 16a-4$.
Забележете, че не може да се случи двойката корени на първото от квадратните уравнения да съвпада с двойката корени на второто квадратно уравнение, тъй като сумата от корените на първото е равна на $-1$, а второто е 1
Това означава, че всяко от тези уравнения трябва да има един корен, тогава оригиналната система ще има две решения. Това е $D = 16a - 4 = 0$.
Отговор.$a=\dfrac(1)(4)$
Намерете всички стойности на параметъра $a$, за всяка от които уравнението $4x-|3x-|x+a||=9|x-3|$ има два корена.
Решение
Нека пренапишем уравнението във вида:
$9|x-3|-4x+|3x-|x+a|| = 0.$
Да разгледаме функцията $f(x) = 9|x-3|-4x+|3x-|x+a||$.
За $x\geqslant 3$ първият модул се разширява със знак плюс и функцията става: $f(x) = 5x-27+|3x-|x+a||$. Очевидно е, че при всяко разширяване на модулите в резултат ще се получи линейна функция с коефициент $k\geqslant 5-3-1=1>0$, тоест тази функция расте неограничено на този интервал.
Помислете сега за интервала $x<3$. В этом случае первый модуль раскрывается с минусом, и функция принимает следующий вид: $f(x) = - 13x+27+|3x-|x+a||$. При любом раскрытии модулей в итоге будет получаться линейная функция с коэффициентом $k\leqslant - 13+3+1 = - 9<0$, то есть на этом промежутке функция убывает.
И така, получаваме, че $x=3$ е минималната точка на тази функция. А това означава, че за да има две решения на оригиналното уравнение, стойността на функцията в минималната точка трябва да е по-малка от нула. Тоест, неравенството се изпълнява: $f(3)<0$.
$ 12-|9-|3+a||>0 \quad \Leftrightarrow \quad |9-|3+a||< 12 \quad \Leftrightarrow \quad -12 < 9-|3+a| < 12 \quad \Leftrightarrow \quad$
$\Leftrightarrow\quad |3+a|< 21 \quad \Leftrightarrow \quad - 21 < 3+a < 21 \quad \Leftrightarrow \quad -24 Отговор.$a \in (-24; 18)$ За какви стойности на параметъра $a$ уравнението $5^(2x)-3\cdot 5^x+a-1=0$ има един корен? Нека направим промяна: $t = 5^x > 0$. Тогава първоначалното уравнение приема формата на квадратно уравнение: $t^2-3t+a-1 =0$. Оригиналното уравнение ще има един корен, ако това уравнение има един положителен корен или два корена, единият от които е положителен, а другият е отрицателен. Дискриминантът на уравнението е: $D = 13-4a$. Това уравнение ще има един корен, ако полученият дискриминант е равен на нула, тоест за $a = \dfrac(13)(4)$. В този случай коренът $t=\dfrac(3)(2) > 0$, така че дадената стойност на $a$ е подходяща. Ако има два корена, един положителен и един неположителен, тогава $D = 13-4a > 0$, $x_1+x_2 = 3 > 0$ и $x_1x_2 = a - 1 \leqslant 0$. Тоест $a\in(-\infty;1]$ Отговор.$a\in(-\infty;1]\cup\left\(\dfrac(13)(4)\right\)$ Намерете всички стойности на параметъра $a$, за които системата $ \begin(cases)\log_a y = (x^2-2x)^2, \\ x^2+y=2x\end(case) $ има точно две решения. Нека трансформираме системата в следната форма: $ \begin(case) \log_a y = (2x-x^2)^2, \\ y = 2x-x^2. \end(case) $ Тъй като параметърът $a$ е в основата на логаритъма, върху него се налагат следните ограничения: $a>0$, $a \ne 1$. Тъй като променливата $y$ е аргументът на логаритъма, тогава $y > 0$. Комбинирайки двете уравнения на системата, преминаваме към уравнението: $\log_a y = y^2$. В зависимост от това какви стойности приема параметърът $a$, са възможни два случая: Отговор.$a\in(0;1)$ Да разгледаме случая, когато $a > 1$. Тъй като за големи стойности на $t$ графиката на функцията $f(t) = a^t$ лежи над правата линия $g(t) = t$, единствената обща точка може да бъде само точка на контакт . Нека $t_0$ е точката на допир. В този момент производната на $f(t) = a^t$ е равна на единица (тангенса на наклона на допирателната), освен това стойностите на двете функции са еднакви, т.е. се изпълнява следната система: $ \begin(cases) a^(t_0)\ln a = 1, \\ a^(t_0) = t_0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(case) a^(t_0) = \dfrac (1)(\ln a), \\ a^(\tau) = \tau \end(случаи) $ Откъдето $t_0 = \dfrac(1)(\ln a)$. $ a^(\frac(1)(\ln a))\ln a = 1 \quad \Leftrightarrow \quad a^(\log_a e) =\frac(1)(\ln a) \quad \Leftrightarrow \quad a = e^(\frac(1)(e)). $ В същото време други общи точки на линията и експоненциална функцияочевидно не. Отговор.$a \in (0;1] \cup \left\(e^(e^(-1))\right\)$ 1. Задача. 1. Решение. 1. Отговор:уравнението има един корен при аО(0; 1; 2). 2. Задача. 2. Отговор: 3. Задача. 3. Решение. 4. Задача. 4. Решение. 5. Решение. 5. Отговор: 3.
6. Задача (10 клетки) 6. Отговор: аО където \ - променливи, \ - параметър; \[y = kx + b,\] където \ - променливи, \ - параметър; \[ax^2 + bx + c = 0,\] където \ е променлива, \[a, b, c\] е параметър. Решаването на уравнение с параметър означава, като правило, решаване на безкраен набор от уравнения. Въпреки това, придържайки се към определен алгоритъм, можете лесно да решите следните уравнения: 1. Определете "контролните" стойности на параметъра. 2. Решете оригиналното уравнение за [\x\] със стойностите на параметрите, посочени в първия параграф. 3. Решете оригиналното уравнение по отношение на [\x\] със стойности на параметри, които се различават от избраните в първия параграф. Да кажем, че е дадено следното уравнение: \[\mid 6 - x \mid = a.\] След анализ на първоначалните данни става ясно, че a \[\ge 0.\] Чрез правилото на модула \ изразяваме \ Отговор: \ къде \ Можете да решите уравнението на нашия уебсайт https: // сайт. Безплатният онлайн решаващ ще реши уравнението онлайн всякаквисложност за секунди. Всичко, което трябва да направите, е просто да въведете вашите данни в Solver. Можете също да гледате видео инструкцията и да научите как да решавате уравнението на нашия уебсайт. И ако имате въпроси, можете да ги зададете в нашата група Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Присъединете се към нашата група, ние винаги се радваме да ви помогнем.Решение
Решение
При какви стойности на параметъра ауравнението ( а - 1)х 2 + 2х + а- 1 = 0 има точно един корен?
В а= 1 уравнението има вида 2 х= 0 и очевидно има един корен х= 0. Ако а№ 1, то това уравнение е квадратно и има единичен корен за тези стойности на параметъра, за които дискриминантът на квадратния трином е равен на нула. Приравнявайки дискриминанта към нула, получаваме уравнение за параметъра а
4а 2 - 8а= 0, откъдето а= 0 или а = 2.
Намерете всички стойности на параметрите а, за което уравнението има два различни корена х 2 +4брадва+8а+3 = 0.
2. Решение.
Уравнението х 2 +4брадва+8а+3 = 0 има два различни корена, ако и само ако д =
16а 2 -4(8а+3) > 0. Получаваме (след намаляване с общ коефициент 4) 4 а 2 -8а-3 > 0, откъдето а O (-Ґ ; 1 -
C 7 2
) И (1 +
C 7 2
; Ґ
).
Известно е, че
е 2 (х) = 6х-х 2 -6.
а) Графично изобразете функцията е 1 (х) при а = 1.
б) На каква стойност афункционални графики е 1 (х) И е 2 (х) имат една обща точка?
3.a.Да се трансформираме е 1 (х) по следния начин
Графиката на тази функция а= 1 е показано на фигурата вдясно.
3.bВеднага отбелязваме, че функцията графики г =
kx+бИ г = брадва 2 +bx+° С
(а№ 0) се пресичат в една точка, ако и само ако квадратното уравнение kx+б =
брадва 2 +bx+° Сима един корен. Използване на View е 1 от 3.a, приравняваме дискриминанта на уравнението а = 6х-х 2 -6 до нула. От уравнение 36-24-4 а= 0 получаваме а= 3. Правете същото с уравнение 2 х-а = 6х-х 2 -6 намери а= 2. Лесно е да се провери дали тези стойности на параметрите удовлетворяват условията на задачата. Отговор: а= 2 или а = 3.
Намерете всички стойности а, при което множеството от решения на неравенството х 2 -2брадва-3а i 0 съдържа сегмента .
Първата координата на върха на параболата е(х) =
х 2 -2брадва-3ае равно на х 0 =
а. От свойствата на квадратична функция, условието е(х) i 0 на интервала е еквивалентно на съвкупността от три системи
има точно две решения?
Нека пренапишем това уравнение във формата х 2 + (2а-2)х - 3а+7 = 0. Това е квадратно уравнение, то има точно две решения, ако неговият дискриминант е строго по-голям от нула. Изчислявайки дискриминанта, получаваме, че условието за наличието на точно два корена е изпълнението на неравенството а 2 +а-6 > 0. Решавайки неравенството, намираме а < -3 или а> 2. Очевидно първото от неравенствата няма решения в естествени числа, а най-малкото естествено решение на второто е числото 3.
Намерете всички стойности а, за което графиката на функцията или, след очевидни трансформации, а-2 = |
2-а| . Последното уравнение е еквивалентно на неравенството ааз 2.Къде мога да реша онлайн уравнение с параметър?
