знание основен елементарни функции, техните свойства и графикине по-малко важно от познаването на таблицата за умножение. Те са като основата, всичко се основава на тях, всичко се гради от тях и всичко се свежда до тях.
В тази статия ще изброим всички основни елементарни функции, ще предоставим техните графики и ще дадем без заключение или доказателство свойства на основните елементарни функциипо схемата:
- поведение на функция в границите на областта на дефиниция, вертикални асимптоти (ако е необходимо, вижте статията класификация на точките на прекъсване на функция);
- четно и нечетно;
- интервали на изпъкналост (изпъкналост нагоре) и вдлъбнатост (изпъкналост надолу), точки на инфлексия (ако е необходимо, вижте статията изпъкналост на функция, посока на изпъкналост, точки на инфлексия, условия на изпъкналост и инфлексия);
- наклонени и хоризонтални асимптоти;
- особени точки на функции;
- специални свойства на някои функции (например най-малкият положителен период на тригонометричните функции).
Ако се интересувате от или, тогава можете да отидете на тези раздели на теорията.
Основни елементарни функцииса: постоянна функция (константа), n-ти корен, степенна функция, експоненциална, логаритмична функция, тригонометрични и обратни тригонометрични функции.
Навигация в страницата.
Постоянна функция.
Константна функция е дефинирана върху множеството от всички реални числа по формулата , където C е някои реално число. Константна функция свързва всяка реална стойност на независимата променлива x със същата стойност на зависимата променлива y - стойността C. Постоянната функция се нарича още константа.
Графиката на постоянна функция е права линия, успоредна на оста x и минаваща през точка с координати (0,C). Като пример ще покажем графики на константни функции y=5, y=-2 и, които на фигурата по-долу съответстват съответно на черна, червена и синя линия.
Свойства на константна функция.
- Домейн: цялото множество от реални числа.
- Постоянната функция е четна.
- Диапазон от стойности: набор, състоящ се от единствено число C.
- Постоянната функция е ненарастваща и ненамаляваща (затова е постоянна).
- Няма смисъл да говорим за изпъкналост и вдлъбнатост на константа.
- Няма асимптоти.
- Функцията минава през точката (0,C) на координатната равнина.
Корен от n-та степен.
Нека разгледаме основната елементарна функция, която е дадена с формулата , където n е естествено число, по-голямо от едно.
Корен от степен n, n е четно число.
Нека започнем с n-тата коренна функция за четни стойности на коренния показател n.
Като пример, ето снимка с изображения на функционални графики 
и съответстват на черни, червени и сини линии.
Графиките на коренните функции с четна степен имат подобен вид за други стойности на експонентата.
Свойства на n-тата коренна функция за четно n.
Коренът n, n е нечетно число.
Коренната функция n с нечетен степенен корен n е дефинирана върху целия набор от реални числа. Например, ето графиките на функциите 
и съответстват на черни, червени и сини криви.
За други нечетни стойности на коренния експонент графиките на функциите ще имат подобен вид.
Свойства на n-та коренна функция за нечетно n.
Силова функция.
Степенната функция е дадена с формула от вида .
Нека разгледаме формата на графиките на степенна функция и свойствата на степенна функция в зависимост от стойността на експонента.
Нека започнем със степенна функция с цяло число а. В този случай външният вид на графиките на степенните функции и свойствата на функциите зависят от четността или нечетността на показателя, както и от неговия знак. Следователно, първо разглеждаме степенни функции за нечетни положителни стойности на експонента a, след това за четни положителни експоненти, след това за нечетни отрицателни експоненти и накрая за дори отрицателни a.
Свойствата на степенните функции с дробни и ирационални показатели (както и вида на графиките на такива степенни функции) зависят от стойността на показателя a. Ще ги разгледаме, първо, за a от нула до едно, второ, за по-голямо от едно, трето, за a от минус едно до нула, четвърто, за по-малко от минус едно.
В края на този раздел, за пълнота, ще опишем степенна функция с нулев показател.
Степенна функция с нечетен положителен показател.
Нека разгледаме степенна функция с нечетен положителен показател, т.е. с a = 1,3,5,....
Фигурата по-долу показва графики на степенни функции – черна линия, – синя линия, – червена линия, – зелена линия. За a=1 имаме линейна функция y=x.
Свойства на степенна функция с нечетен положителен показател.
Степенна функция с четен положителен показател.
Нека разгледаме степенна функция с четен положителен показател, тоест за a = 2,4,6,....
Като пример даваме графики на степенни функции – черна линия, – синя линия, – червена линия. За a=2 имаме квадратна функция, чиято графика е квадратна парабола.
Свойства на степенна функция с четен положителен показател.
Степенна функция с нечетен отрицателен показател.
Погледнете графиките на степенната функция за нечетни отрицателни стойности на степента, тоест за a = -1, -3, -5,....
Фигурата показва графики на степенни функции като примери - черна линия, - синя линия, - червена линия, - зелена линия. За a=-1 имаме обратна пропорционалност, чиято графика е хипербола.
Свойства на степенна функция с нечетен отрицателен показател.
Степенна функция с четен отрицателен показател.
Нека преминем към степенната функция за a=-2,-4,-6,….
Фигурата показва графики на степенни функции – черна линия, – синя линия, – червена линия.
Свойства на степенна функция с четен отрицателен показател.
Степенна функция с рационален или ирационален показател, чиято стойност е по-голяма от нула и по-малка от единица.
Забележка!Ако a е положителна дроб с нечетен знаменател, тогава някои автори смятат, че областта на дефиниране на степенната функция е интервалът. Посочено е, че показателят a е несъкратима дроб. Сега авторите на много учебници по алгебра и принципи на анализа НЕ ДЕФИНИРАТ степенни функции с показател под формата на дроб с нечетен знаменател за отрицателни стойности на аргумента. Ние ще се придържаме именно към този възглед, т.е. ще считаме множеството за области на дефиниране на степенни функции с дробни положителни показатели. Препоръчваме на учениците да разберат мнението на вашия учител по този тънък момент, за да избегнат разногласия.
Нека разгледаме степенна функция с рационален или ирационален показател a и .
Нека представим графики на степенни функции за a=11/12 (черна линия), a=5/7 (червена линия), (синя линия), a=2/5 (зелена линия).
Степенна функция с нецелочислен рационален или ирационален показател, по-голям от едно.
Нека разгледаме степенна функция с нецелочислен рационален или ирационален показател a и .
Нека представим графики на степенни функции, дадени от формулите 
(съответно черни, червени, сини и зелени линии).
За други стойности на експонента a, графиките на функцията ще имат подобен вид.
Свойства на степенната функция при .
Степенна функция с реален показател, който е по-голям от минус едно и по-малък от нула.
Забележка!Ако a е отрицателна дроб с нечетен знаменател, тогава някои автори смятат, че областта на дефиниция на степенна функция е интервалът 
. Посочено е, че показателят a е несъкратима дроб. Сега авторите на много учебници по алгебра и принципи на анализа НЕ ДЕФИНИРАТ степенни функции с показател под формата на дроб с нечетен знаменател за отрицателни стойности на аргумента. Ние ще се придържаме именно към този възглед, т.е. ще считаме областите на дефиниране на степенни функции с дробни дробни отрицателни показатели съответно за множество. Препоръчваме на учениците да разберат мнението на вашия учител по този тънък момент, за да избегнат разногласия.
Да преминем към степенната функция, kgod.
За да имате добра представа за формата на графиките на степенните функции за , ние даваме примери за графики на функции 
(съответно черни, червени, сини и зелени криви).
Свойства на степенна функция с показател a, .
Степенна функция с нецелочислен реален показател, който е по-малък от минус едно.
Нека дадем примери за графики на степенни функции за 
, те са изобразени съответно с черни, червени, сини и зелени линии.
Свойства на степенна функция с нецяло число отрицателен показател, по-малък от минус едно.
Когато a = 0, имаме функция - това е права линия, от която точката (0;1) е изключена (беше договорено да не се придава никакво значение на израза 0 0).
Експоненциална функция.
Една от основните елементарни функции е експоненциалната функция.
Графиката на експоненциалната функция, където и взема различен видв зависимост от стойността на основата a. Нека разберем това.
Първо, разгледайте случая, когато основата на експоненциалната функция приема стойност от нула до едно, т.е.
Като пример представяме графики на експоненциалната функция за a = 1/2 – синя линия, a = 5/6 – червена линия. Графиките на експоненциалната функция имат подобен вид за други стойности на основата от интервала.
Свойства на експоненциална функция с основа по-малка от единица.
Нека преминем към случая, когато основата на експоненциалната функция е по-голяма от единица, т.е.
Като илюстрация представяме графики на експоненциални функции - синя линия и - червена линия. За други стойности на основата, по-големи от едно, графиките на експоненциалната функция ще имат подобен вид.
Свойства на експоненциална функция с основа по-голяма от единица.
Логаритмична функция.
Следващата основна елементарна функция е логаритмичната функция, където , . Логаритмичната функция е дефинирана само за положителни стойности на аргумента, тоест за.
Графиката на логаритмична функция има различни форми в зависимост от стойността на основата a.
Да започнем със случая, когато .
Като пример представяме графики на логаритмичната функция за a = 1/2 – синя линия, a = 5/6 – червена линия. За други стойности на основата, които не надвишават единица, графиките на логаритмичната функция ще имат подобен вид.
Свойства на логаритмична функция с основа по-малка от единица.
Нека да преминем към случая, когато основата на логаритмичната функция е по-голяма от едно ().
Нека покажем графики на логаритмични функции - синя линия, - червена линия. За други стойности на основата, по-големи от едно, графиките на логаритмичната функция ще имат подобен вид.
Свойства на логаритмична функция с основа по-голяма от единица.
Тригонометрични функции, техните свойства и графики.
Всички тригонометрични функции (синус, косинус, тангенс и котангенс) спадат към основните елементарни функции. Сега ще разгледаме техните графики и ще изброим свойствата им.
Тригонометричните функции имат понятието честота(повтаряне на функционални стойности за различни стойности на аргументи, които се различават една от друга с периода 
, където T е периодът), следователно е добавен елемент към списъка със свойства на тригонометрични функции "най-малък положителен период". Също така за всяка тригонометрична функция ще посочим стойностите на аргумента, при които съответната функция изчезва.
Сега нека разгледаме всички тригонометрични функции по ред.
Функция синус y = sin(x) .
Нека начертаем графика на синусовата функция, тя се нарича „синусоида“.
Свойства на функцията синус y = sinx.
Функция косинус y = cos(x) .
Графиката на функцията косинус (наречена "косинус") изглежда така:
Свойства на функцията косинус y = cosx.
Тангенсна функция y = tan(x) .
Графиката на допирателната функция (наречена „тангентоид“) изглежда така:
Свойства на функцията тангенс y = tanx.
Функция котангенс y = ctg(x) .
Нека начертаем графика на функцията котангенс (тя се нарича "котангентоид"):
Свойства на функцията котангенс y = ctgx.
Обратни тригонометрични функции, техните свойства и графики.
Обратните тригонометрични функции (арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс) са основните елементарни функции. Често, поради префикса "дъга", обратните тригонометрични функции се наричат дъгови функции. Сега ще разгледаме техните графики и ще изброим свойствата им.
Функция арксинус y = arcsin(x) .
Нека начертаем функцията арксинус:
Свойства на функцията арккотангенс y = arcctg(x) .Библиография.
- Колмогоров A.N., Абрамов A.M., Дудницин Ю.П. и др.. Алгебра и началото на анализа: учеб. за 10-11 клас. общообразователни институции.
- Вигодски М.Я. Наръчник по елементарна математика.
- Новоселов С.И. Алгебра и елементарни функции.
- Туманов С.И. Елементарна алгебра. Наръчник за самообразование.
Национален изследователски университет
Катедра Приложна геология
Реферат по висша математика
По темата: „Основни елементарни функции,
техните свойства и графики"
Завършено:
Проверено:
учител
Определение. Функцията, дадена с формулата y=a x (където a>0, a≠1) се нарича експоненциална функция с основа a.
Нека формулираме основните свойства на експоненциалната функция:
1. Областта на дефиниция е множеството (R) от всички реални числа.
2. Диапазон - множеството (R+) от всички положителни реални числа.
3. При a > 1 функцията нараства по цялата числова ос; на 0<а<1 функция убывает.
4. Е функция от общ вид.
, на интервала xО [-3;3] , на интервала xО [-3;3]Функция от вида y(x)=x n, където n е числото ОR, се нарича степенна функция. Числото n може да приема различни стойности: както цяло, така и дробно, както четно, така и нечетно. В зависимост от това степенната функция ще има различна форма. Нека разгледаме специални случаи, които са степенни функции и отразяват основните свойства на този тип крива в следния ред: степенна функция y=x² (функция с четен показател - парабола), степенна функция y=x³ (функция с нечетен показател - кубична парабола) и функция y=√x (x на степен ½) (функция с дробна степен), функция с отрицателна цяло число (хипербола).
Силова функция y=x²
1. D(x)=R – функцията е дефинирана върху цялата числова ос;
2. E(y)= и расте на интервала
Силова функция y=x³
1. Графиката на функцията y=x³ се нарича кубична парабола. Степенната функция y=x³ има следните свойства:
2. D(x)=R – функцията е дефинирана върху цялата числова ос;
3. E(y)=(-∞;∞) – функцията приема всички стойности в своята област на дефиниране;
4. При x=0 y=0 – функцията преминава през началото на координати O(0;0).
5. Функцията нараства в цялата област на дефиниция.
6. Функцията е нечетна (симетрична спрямо началото).
, на интервала xО [-3;3]В зависимост от числения фактор пред x³, функцията може да бъде стръмна/плоска и нарастваща/намаляваща.
Степенна функция с цяло отрицателно число:
Ако показателят n е нечетен, тогава графиката на такава степенна функция се нарича хипербола. Степенна функция с цяло число отрицателен показател има следните свойства:
1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) за всяко n;
2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), ако n е нечетно число; E(y)=(0;∞), ако n е четно число;
3. Функцията намалява по цялата област на дефиниция, ако n е нечетно число; функцията расте в интервала (-∞;0) и намалява в интервала (0;∞), ако n е четно число.
4. Функцията е нечетна (симетрична спрямо началото), ако n е нечетно число; функцията е четна, ако n е четно число.
5. Функцията преминава през точките (1;1) и (-1;-1), ако n е нечетно число и през точките (1;1) и (-1;1), ако n е четно число.
, на интервала xО [-3;3]Степенна функция с дробен показател
Степенна функция с дробен показател (картинка) има графика на функцията, показана на фигурата. Степенна функция с дробен показател има следните свойства: (картинка)
1. D(x) ОR, ако n е нечетно число и D(x)= , на интервала xО , на интервала xО [-3;3]
Логаритмичната функция y = log a x има следните свойства:
1. Област на дефиниция D(x)О (0; + ∞).
2. Диапазон от стойности E(y) О (- ∞; + ∞)
3. Функцията не е нито четна, нито нечетна (от общ вид).
4. Функцията нараства на интервала (0; + ∞) за a > 1, намалява на (0; + ∞) за 0< а < 1.
Графиката на функцията y = log a x може да се получи от графиката на функцията y = a x с помощта на трансформация на симетрия спрямо правата линия y = x. Фигура 9 показва графика на логаритмичната функция за a > 1, а фигура 10 за 0< a < 1.
; на интервала xО ; на интервала xОФункциите y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = ctg x се наричат тригонометрични функции.
Функциите y = sin x, y = tan x, y = ctg x са нечетни, а функцията y = cos x е четна.
Функция y = sin(x).
1. Област на дефиниция D(x) ОР.
2. Диапазон от стойности E(y) О [ - 1; 1].
3. Функцията е периодична; главният период е 2π.
4. Функцията е нечетна.
5. Функцията расте на интервали [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] и намалява на интервалите [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n О Z.
Графиката на функцията y = sin (x) е показана на фигура 11.
Нека видим как да изследваме функция с помощта на графика. Оказва се, че като погледнем графиката, можем да разберем всичко, което ни интересува, а именно:
- област на функция
- функционален диапазон
- функционални нули
- интервали на нарастване и намаляване
- максимални и минимални точки
- най-голямата и най-малката стойност на функция върху сегмент.
Нека изясним терминологията:
Абцисае хоризонталната координата на точката.
Ордината- вертикална координата.
Абсцисната ос- хоризонталната ос, най-често наричана ос.
Y ос- вертикална ос или ос.
Аргумент- независима променлива, от която зависят стойностите на функцията. Най-често се посочва.
С други думи, избираме , заместваме функции във формулата и получаваме .
Домейнфункции - набор от тези (и само тези) стойности на аргументи, за които съществува функцията.
Обозначава се с: или .
В нашата фигура областта на дефиниране на функцията е сегментът. На този сегмент е начертана графиката на функцията. Само тук тази функциясъществува.
Функционален диапазоне набор от стойности, които една променлива приема. В нашата фигура това е сегмент - от най-ниската до най-високата стойност.
Функционални нули- точки, където стойността на функцията е нула, т.е. В нашата фигура това са точки и .
Функционалните стойности са положителникъдето . На нашата фигура това са интервалите и .
Стойностите на функциите са отрицателникъдето . За нас това е интервалът (или интервалът) от до .
Най-важните понятия - нарастваща и намаляваща функцияна някакъв комплект. Като набор можете да вземете сегмент, интервал, обединение на интервали или цялата числова линия.
функция се увеличава
С други думи, колкото повече, толкова повече, тоест графиката върви надясно и нагоре.
функция намалявана множество, ако за всяко и принадлежащи на множеството, неравенството предполага неравенството .
За намаляваща функция по-голямата стойност съответства на по-малка стойност. Графиката върви надясно и надолу.
На нашата фигура функцията нараства на интервала и намалява на интервалите и .
Нека да дефинираме какво е това максимални и минимални точки на функцията.
Максимална точка- това е вътрешна точка на областта на дефиниране, така че стойността на функцията в нея е по-голяма, отколкото във всички точки, достатъчно близки до нея.
С други думи, максималната точка е точка, в която стойността на функцията Повече ▼отколкото в съседните. Това е местен „хълм“ на диаграмата.
В нашата фигура има максимална точка.
Минимална точка- вътрешна точка на дефиниционната област, така че стойността на функцията в нея е по-малка, отколкото във всички точки, достатъчно близки до нея.
Тоест минималната точка е такава, че стойността на функцията в нея е по-малка от тази в нейните съседи. Това е локална „дупка“ на графиката.
В нашата фигура има минимална точка.
Точката е границата. Тя не е вътрешна точкаобласт на дефиниция и следователно не отговаря на определението за максимална точка. В крайна сметка тя няма съседи отляво. По същия начин на нашата диаграма не може да има минимална точка.
Максималните и минималните точки заедно се извикват екстремни точки на функцията. В нашия случай това е и .
Какво да направите, ако трябва да намерите напр. минимална функцияна сегмента? В този случай отговорът е:. защото минимална функцияе неговата стойност в минималната точка.
По подобен начин максимумът на нашата функция е . Достига се в точка .
Можем да кажем, че екстремумите на функцията са равни на и .
Понякога проблемите изискват намиране най-голямата и най-малката стойност на функцияна даден сегмент. Не е задължително те да съвпадат с крайностите.
В нашия случай най-малката стойност на функциятана отсечката е равна и съвпада с минимума на функцията. Но най-голямата му стойност в този сегмент е равна на . Достига се в левия край на сегмента.
Във всеки случай най-големите и най-малките стойности непрекъсната функцияна сегмент се постигат или в екстремни точки, или в краищата на сегмента.
След като наистина разберете какво е функция (може да се наложи да прочетете урока повече от веднъж), ще бъдете по-уверени в решаването на проблеми с функции.
В този урок ще разгледаме как се решават основни типове задачи с функции и графики на функции.
Как да получите стойността на функция
Да разгледаме задачата. Функцията се дава по формулата „y = 2x − 1“
- Изчислете "y" при "x = 15"
- Намерете стойността на „x“, при която стойността на „y“ е равна на „−19“.
За да се изчисли "y" за "x = 15", е достатъчно да се замени необходимата числова стойност във функцията вместо "x".
Записът на решението изглежда така:
y(15) = 2 15 − 1 = 30 − 1 = 29
За да намерите „x“ от известно „y“, трябва да замените числова стойност вместо „y“ във формулата на функцията.
Тоест сега, напротив, за да търсим „x“, заместваме числото „−19“ вместо „y“ във функцията „y = 2x − 1“.
−19 = 2x − 1
Получихме линейно уравнение с неизвестното “x”, което се решава по правилата за решаване на линейни уравнения.
Помня!
Не забравяйте за правилото за пренасяне в уравненията.
Когато се прехвърлят от лявата страна на уравнението в дясната (и обратно), буквата или цифрата променят знака си на противоположност.
−19 = 2x − 1
0 = 2x − 1 + 19
−2x = −1 + 19
−2x = 18
Както и при решението линейно уравнениеза да намерите неизвестното, сега трябва да умножите както от лявата, така и от дясната странана „−1“, за да промените знака.
−2x = 18 | · (−1)
2x = −18
Сега разделете лявата и дясната страна на "2", за да намерите "x".
2x = 18 | (: 2)
х=9
Как да проверите дали равенството е вярно за функция
Да разгледаме задачата. Функцията е дадена с формулата „f(x) = 2 − 5x“.
Вярно ли е равенството „f(−2) = −18“?
За да проверите дали равенството е вярно, трябва да замените числовата стойност „x = −2“ във функцията „f(x) = 2 − 5x“ и да я сравните с това, което получавате при изчисленията.
важно!
Когато замествате „x“ с отрицателно число, не забравяйте да го оградите в скоби.
погрешно
вярно
Използвайки изчисления, получихме „f(−2) = 12“.
Това означава, че „f(−2) = −18“ за функцията „f(x) = 2 − 5x“ не е вярно равенство.
Как да проверите дали дадена точка принадлежи на графиката на функция
Разгледайте функцията „y = x 2 −5x + 6“
Трябва да разберете дали точката с координати (1; 2) принадлежи на графиката на тази функция.
За тази задача не е необходимо да се построява графика на дадената функция.
Помня!
За да определите дали дадена точка принадлежи на функция, достатъчно е да замените нейните координати във функцията (координата по оста „Ox“ вместо „x“ и координата по оста „Oy“ вместо „y“).
Ако е възможно истинско равенство, което означава, че точката принадлежи на функцията.
Да се върнем към нашата задача. Нека заместим координатите на точката (1; 2) във функцията “y = x 2 − 5x + 6”.
Вместо "х" заместваме "1". Вместо "у" заместваме "2".
2 = 1 2 − 5 1 + 6
2 = 1 − 5 + 6
2 = −4 + 6
2 = 2 (правилно)
Получихме правилно равенство, което означава, че точката с координати (1; 2) принадлежи на дадената функция.
Сега нека проверим точката с координати (0; 1). Тя принадлежи ли
функция “y = x 2 − 5x + 6”?
Вместо „x“ заместваме „0“. Вместо "у" заместваме "1".
1 = 0 2 − 5 0 + 6
1 = 0 − 0 + 6
1 = 6 (грешно)
В този случай не получихме правилното равенство. Това означава, че точката с координати (0; 1) не принадлежи на функцията “y = x 2 − 5x + 6”
Как да получите координатите на функционална точка
Можете да вземете координатите на точка от всяка графика на функция. След това трябва да се уверите, че когато замествате координатите във формулата на функцията, се получава правилното равенство.
Да разгледаме функцията „y(x) = −2x + 1“. Вече изградихме неговия график в предишния урок.
Нека намерим върху графиката на функцията „y(x) = −2x + 1“, която е равна на „y“ за x = 2.
За да направите това, от стойността "2" на оста "Ox" начертаваме перпендикуляр на графиката на функцията. От точката на пресичане на перпендикуляра и графиката на функцията начертаваме друг перпендикуляр към оста "Oy".
Получената стойност „−3“ на оста „Oy“ ще бъде желаната стойност „y“.
Нека се уверим, че сме взели правилно координатите на точката за x = 2
във функцията “y(x) = −2x + 1”.
За да направим това, ще заместим x = 2 във формулата на функцията „y(x) = −2x + 1“. Ако сме начертали перпендикуляра правилно, трябва също да завършим с y = −3.
y(2) = −2 2 + 1 = −4 + 1 = −3
При изчисленията също получихме y = −3.
Това означава, че правилно сме получили координатите от графиката на функцията.
важно!
Не забравяйте да проверите всички получени координати на точка от графиката на функцията, като замените стойностите "x" във функцията.
Когато заместите числовата стойност "x" във функцията, резултатът трябва да бъде същата стойност "y", която сте получили на графиката.
Когато получавате координатите на точки от графиката на функция, има голяма вероятност да направите грешка, т.к. изчертаването на перпендикуляри на осите се извършва "на око".
Само заместването на стойности във формулата на функцията дава точни резултати.
