تابع توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته x. انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی پیوسته

تمرین 1... چگالی توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته X به شکل زیر است:
پیدا کردن:
الف) پارامتر A؛
ب) تابع توزیع F (x)؛
ج) احتمال برخورد با متغیر تصادفی X در بازه زمانی.
د) انتظارات ریاضی MX و واریانس DX.
توابع f (x) و F (x) را رسم کنید.

تکلیف 2... واریانس یک متغیر تصادفی X که توسط تابع انتگرال داده می شود را بیابید.

تکلیف 3... انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی X را با یک تابع توزیع معین پیدا کنید.

تکلیف 4... چگالی احتمال برخی از متغیرهای تصادفی به صورت زیر داده می شود: f (x) = A / x 4 (x = 1; + ∞)
ضریب A، تابع توزیع F (x)، انتظارات ریاضی و واریانس، و احتمال اینکه متغیر تصادفی مقداری در بازه دریافت کند را بیابید. نمودارهای f (x) و F (x) را بسازید.

وظیفه... تابع توزیع برخی از متغیرهای تصادفی پیوسته به صورت زیر تعریف می شود:

پارامترهای a و b را تعیین کنید، یک عبارت برای چگالی احتمال f (x)، انتظارات ریاضی و واریانس، و همچنین احتمال اینکه متغیر تصادفی مقداری در بازه دریافت کند، بیابید. نمودارهای f (x) و F (x) را بسازید.

اجازه دهید تابع چگالی توزیع را به عنوان مشتق تابع توزیع پیدا کنیم.
F ′ = f (x) = a
با دانستن اینکه پارامتر a را خواهیم یافت:

یا 3a = 1، از این رو a = 1/3
پارامتر b از ویژگی های زیر بدست می آید:
F (4) = a * 4 + b = 1
1/3 * 4 + b = 1 از آنجایی b = -1/3
بنابراین، تابع توزیع به شکل: F (x) = (x-1) / 3 است

ارزش مورد انتظار.

پراکندگی.

1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
اجازه دهید این احتمال را پیدا کنیم که متغیر تصادفی مقداری در بازه دریافت کند
P (2< x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3

مثال شماره 1. چگالی توزیع احتمال f (x) یک متغیر تصادفی پیوسته X داده شده است. ضروری:

ضریب A را تعیین کنید.
تابع توزیع F (x) را پیدا کنید.
نمودارهای F (x) و f (x) را به صورت شماتیک بسازید.
انتظارات ریاضی و واریانس X را پیدا کنید.
احتمال اینکه X مقداری از بازه (2; 3) بگیرد را بیابید.

f (x) = A * sqrt (x)، 1 ≤ x ≤ 4.
راه حل:

متغیر تصادفی X با چگالی توزیع f (x) به دست می آید:

اجازه دهید پارامتر A را از شرط پیدا کنیم:

یا
14/3 * A-1 = 0
جایی که،
A = 3/14

تابع توزیع را می توان با فرمول پیدا کرد.

توزیع یکنواخت قدر پیوسته X به طور مساوی توزیع شده استدر فاصله زمانی ( آ, ب، اگر تمام مقادیر ممکن آن در این بازه باشد و توزیع احتمال ثابت باشد:

برای یک متغیر تصادفی ایکسبه طور یکنواخت در فاصله ( آ, ب) (شکل 4)، احتمال افتادن در هر بازه ای ( ایکس 1 , ایکس 2) دراز کشیدن در داخل فاصله ( آ, ب)، برابر است با:

(30)

برنج. 4. نمودار چگالی توزیع یکنواخت

خطاهای گرد کردن نمونه هایی از مقادیر مساوی هستند. بنابراین، اگر همه مقادیر جدولی یک تابع به یک رقم گرد شوند، سپس مقدار جدولی را به طور تصادفی انتخاب می کنیم، در نظر می گیریم که خطای گرد کردن عدد انتخاب شده یک متغیر تصادفی است که به طور مساوی در بازه توزیع شده است.

توزیع نمایی متغیر تصادفی پیوسته ایکساین دارد توزیع نمایی

(31)

نمودار چگالی توزیع احتمال (31) در شکل نشان داده شده است. 5.

برنج. 5. نمودار چگالی توزیع نمایی

زمان تیعملکرد بدون خرابی یک سیستم کامپیوتری یک متغیر تصادفی است که دارای توزیع نمایی با پارامتر است λ ، که معنای فیزیکی آن میانگین تعداد خرابی ها در واحد زمان بدون احتساب زمان خرابی سیستم برای تعمیر است.

توزیع نرمال (گاوسی). مقدار تصادفی ایکساین دارد معمولی توزیع (گاوسی).، اگر چگالی توزیع احتمالات آن توسط وابستگی تعیین شود:

(32)

جایی که متر = م(ایکس) , .

در توزیع نرمال نامیده می شود استاندارد.

نمودار چگالی توزیع نرمال (32) در شکل نشان داده شده است. 6.

برنج. 6. نمودار چگالی توزیع نرمال

توزیع نرمال در پدیده های مختلف تصادفی طبیعی رایج ترین است. بنابراین، خطا در اجرای دستورات توسط یک دستگاه خودکار، خطا در پرتاب یک فضاپیما به نقطه معینی از فضا، خطا در پارامترهای سیستم های کامپیوتری و غیره. در بیشتر موارد توزیع نرمال یا نزدیک به نرمال دارند. علاوه بر این، متغیرهای تصادفی که از جمع تعداد زیادی از عبارت‌های تصادفی تشکیل می‌شوند، تقریباً طبق قانون عادی توزیع می‌شوند.

توزیع گاما مقدار تصادفی ایکساین دارد توزیع گاما، اگر چگالی توزیع احتمالات آن با فرمول بیان شود:

(33)

جایی که - تابع گامای اویلر.

یک مقدار تصادفی متغیری نامیده می شود که بسته به شرایط مختلف می تواند مقادیر معینی را بگیرد و یک متغیر تصادفی پیوسته نامیده می شود اگر بتواند از هر بازه محدود یا نامحدود هر مقداری بگیرد. برای یک متغیر تصادفی پیوسته، نشان دادن تمام مقادیر ممکن غیرممکن است، بنابراین، فواصل این مقادیر نشان داده شده است که با احتمالات خاصی همراه است.

نمونه هایی از متغیرهای تصادفی پیوسته عبارتند از: قطر قطعه، آسیاب شده به اندازه معین، قد فرد، برد پرتابه و غیره.

از آنجایی که برای متغیرهای تصادفی پیوسته تابع اف(ایکس) بر خلاف متغیرهای تصادفی گسسته، هیچ جهشی ندارد، پس احتمال هر مقدار فردی یک متغیر تصادفی پیوسته صفر است.

این بدان معنی است که برای یک متغیر تصادفی پیوسته صحبت در مورد توزیع احتمالات بین مقادیر آن معنی ندارد: هر یک از آنها احتمال صفر دارند. با این حال، به یک معنا، مقادیر "بیشتر و کمتر احتمالی" در میان مقادیر یک متغیر تصادفی پیوسته وجود دارد. به عنوان مثال، به ندرت کسی شک خواهد کرد که مقدار یک متغیر تصادفی - قد فردی که به طور تصادفی ملاقات می‌کند - 170 سانتی‌متر - محتمل‌تر از 220 سانتی‌متر است، اگرچه یک و مقدار دیگر می‌توانند در عمل رخ دهند.

تابع توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته و چگالی احتمال

مفهوم چگالی توزیع یا چگالی احتمال به عنوان یک قانون توزیع معرفی شده است که فقط برای متغیرهای تصادفی پیوسته معنا دارد. بیایید با مقایسه معنای تابع توزیع برای یک متغیر تصادفی پیوسته و برای یک متغیر تصادفی گسسته به آن نزدیک شویم.

بنابراین، تابع توزیع یک متغیر تصادفی (هم گسسته و هم پیوسته) یا تابع انتگرالتابعی نامیده می شود که احتمال مقدار یک متغیر تصادفی را تعیین می کند ایکسکمتر یا مساوی با مقدار حدی ایکس.

برای یک متغیر تصادفی گسسته در نقاط مقادیر آن ایکس1 , ایکس 2 , ..., ایکسمن، ...توده های متمرکز احتمالات پ1 , پ 2 , ..., پمن، ...و مجموع همه جرم ها برابر است با 1. بیایید این تفسیر را به حالت یک متغیر تصادفی پیوسته منتقل کنیم. تصور کنید که جرمی برابر با 1 در نقاط منفرد متمرکز نشده است، بلکه به طور مداوم در امتداد آبسیسا "آغشته" می شود. گاو نربا نوعی چگالی ناهموار. احتمال برخورد یک متغیر تصادفی به هر بخش Δ ایکسبه عنوان جرم قابل انتساب به این بخش، و چگالی متوسط در این بخش - به عنوان نسبت جرم به طول تفسیر می شود. ما به تازگی یک مفهوم مهم از نظریه احتمال را معرفی کرده ایم: چگالی توزیع.

چگالی احتمالی f(ایکس) یک متغیر تصادفی پیوسته مشتق تابع توزیع آن است:

با دانستن تابع چگالی، می توانیم این احتمال را پیدا کنیم که مقدار یک متغیر تصادفی پیوسته متعلق به بازه بسته [ آ; ب]:

احتمال اینکه یک متغیر تصادفی پیوسته باشد ایکسهر مقدار را از بازه [ می گیرد آ; ب]، برابر است با انتگرال معینی از چگالی احتمال آن در محدوده از آقبل از ب:

علاوه بر این، فرمول کلی برای تابع اف(ایکس) توزیع احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته، که اگر تابع چگالی مشخص باشد می توان از آن استفاده کرد. f(ایکس) :

نمودار چگالی احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته منحنی توزیع آن نامیده می شود (شکل زیر).

مساحت یک شکل (در شکل سایه دار)، محدود شده توسط یک منحنی، خطوط مستقیم ترسیم شده از نقاط آو بعمود بر محور آبسیسا و محور اوه، به صورت گرافیکی احتمال مقدار یک متغیر تصادفی پیوسته را نشان می دهد ایکسمحدوده از آقبل از ب.

ویژگی های تابع چگالی احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته

1. احتمال اینکه متغیر تصادفی هر مقدار را از بازه (و مساحت شکل که توسط نمودار تابع محدود شده است) بگیرد. f(ایکس) و محور اوه) برابر با یک است:

2. تابع چگالی احتمال نمی تواند مقادیر منفی بگیرد:

و خارج از وجود یک توزیع، مقدار آن صفر است

چگالی توزیع f(ایکس) و همچنین تابع توزیع اف(ایکس)، یکی از اشکال قانون توزیع است، اما بر خلاف تابع توزیع، جهانی نیست: چگالی توزیع فقط برای متغیرهای تصادفی پیوسته وجود دارد.

اجازه دهید به دو نوع مهم از توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته در عمل اشاره کنیم.

اگر تابع چگالی توزیع f(ایکس) یک متغیر تصادفی پیوسته در یک بازه محدود [ آ; ب] مقدار ثابتی به خود می گیرد سی، و خارج از بازه مقداری برابر با صفر می گیرد، سپس چنین است توزیع یکنواخت نامیده می شود .

اگر نمودار تابع چگالی توزیع نسبت به مرکز متقارن باشد، مقادیر میانگین در نزدیکی مرکز متمرکز می‌شوند و در فاصله‌ای از مرکز، متفاوت‌تر از میانگین جمع‌آوری می‌شوند (گراف تابع شبیه برش است. یک زنگ)، سپس این توزیع نرمال نامیده می شود .

مثال 1.تابع توزیع احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته شناخته شده است:

یافتن تابع f(ایکس) چگالی احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته. هر دو تابع را ترسیم کنید. احتمال اینکه یک متغیر تصادفی پیوسته هر مقداری در محدوده 4 تا 8 بگیرد را پیدا کنید.

راه حل. تابع چگالی احتمال را با یافتن مشتق تابع توزیع احتمال بدست می آوریم:

نمودار تابع اف(ایکس) - سهمی:

نمودار تابع f(ایکس) - خط مستقیم:

بیایید این احتمال را پیدا کنیم که یک متغیر تصادفی پیوسته هر مقداری را در محدوده 4 تا 8 بگیرد:

مثال 2.تابع چگالی احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته به شکل زیر ارائه می شود:

ضریب را محاسبه کنید سی... یافتن تابع اف(ایکس) توزیع احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته. هر دو تابع را ترسیم کنید. احتمال اینکه یک متغیر تصادفی پیوسته هر مقداری در محدوده 0 تا 5 بگیرد را پیدا کنید.

راه حل. ضریب سیما با استفاده از خاصیت 1 تابع چگالی احتمال دریافتیم:

بنابراین، تابع چگالی احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته:

با ادغام، تابع را پیدا می کنیم اف(ایکس) توزیع احتمال. اگر ایکس < 0 , то اف(ایکس) = 0. اگر 0< ایکس < 10 , то

ایکس> 10، پس اف(ایکس) = 1 .

بنابراین، رکورد کامل تابع توزیع احتمال:

نمودار تابع f(ایکس) :

نمودار تابع اف(ایکس) :

بیایید این احتمال را پیدا کنیم که یک متغیر تصادفی پیوسته هر مقداری را در محدوده 0 تا 5 بگیرد:

مثال 3.چگالی احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته ایکسداده شده توسط برابری، در حالی که. ضریب را پیدا کنید آ، احتمال اینکه یک متغیر تصادفی پیوسته باشد ایکسهر مقدار را از بازه] 0، 5 [، تابع توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته می گیرد ایکس.

راه حل. با فرضیه به برابری می رسیم

از این رو، از کجا. بنابراین،

اکنون احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته را پیدا می کنیم ایکسهر مقدار را از بازه] 0، 5 [:

اکنون تابع توزیع این متغیر تصادفی را دریافت می کنیم:

مثال 4.چگالی احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته را بیابید ایکس، که فقط مقادیر غیر منفی و تابع توزیع آن را می گیرد .

تابع توزیعمتغیر تصادفی ایکستابع نامیده می شود اف(ایکس) برای هر یک بیان می کند ایکساحتمال وجود یک متغیر تصادفی ایکسمقدار کمتری خواهد گرفت ایکس:
.

عملکرد اف(ایکس) گاهی نامیده می شود تابع توزیع انتگرال،یا قانون توزیع یکپارچه.

مقدار تصادفی ایکستماس گرفت مداوماگر تابع توزیع آن در هر نقطه ای پیوسته و در همه جا قابل تمایز باشد، به جز، شاید، در نقاط منفرد.

نمونه هایی ازمتغیرهای تصادفی پیوسته: قطر قسمتی که ترنر به اندازه معینی خرد می کند، قد یک فرد، برد پرتابه و غیره.

قضیه.احتمال هر مقدار منفرد از یک متغیر تصادفی پیوسته صفر است

نتیجه.اگر ایکسیک متغیر تصادفی پیوسته است، سپس احتمال سقوط یک متغیر تصادفی در بازه است
به باز یا بسته بودن این بازه بستگی ندارد، یعنی.

اگر یک متغیر تصادفی پیوسته باشد ایکسفقط می تواند مقادیری را در محدوده از آقبل از ب(جایی که آو ببرخی از ثابت ها هستند)، سپس تابع توزیع آن برای همه مقادیر برابر با صفر است
و واحد برای مقادیر
.

برای یک متغیر تصادفی پیوسته

تمام ویژگی‌های توابع توزیع متغیرهای تصادفی گسسته نیز برای توابع توزیع متغیرهای تصادفی پیوسته برآورده می‌شوند.

تعیین یک متغیر تصادفی پیوسته با استفاده از یک تابع توزیع تنها مورد نیست.

چگالی احتمالی (چگالی توزیعیا تراکم) آر(ایکس) یک متغیر تصادفی پیوسته ایکسمشتق تابع توزیع آن است

چگالی احتمالی آر(ایکس) و همچنین تابع توزیع اف(ایکس)، یکی از اشکال قانون توزیع است، اما بر خلاف تابع توزیع، فقط برای وجود دارد مداوممتغیرهای تصادفی.

گاهی اوقات چگالی احتمال نامیده می شود تابع دیفرانسیل یا قانون توزیع دیفرانسیل.

نمودار چگالی احتمال را منحنی توزیع می گویند.

خواصچگالی احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته:

برنج. 8.1

برنج. 8.2

4.
.

از نظر هندسی، خواص چگالی احتمال به این معنی است که نمودار آن - منحنی توزیع - زیر محور آبسیسا قرار ندارد و مساحت کل شکل محدود شده توسط منحنی توزیع و محور آبسیسا برابر با یک است.

مثال 8.1.عقربه دقیقه ساعت الکتریکی در هر دقیقه به صورت جهشی حرکت می کند. نگاهی به ساعتت انداختی دارند نشان می دهند آدقایق. سپس برای شما زمان واقعی در آن لحظه یک مقدار تصادفی خواهد بود. تابع توزیع آن را پیدا کنید.

راه حل.واضح است که تابع توزیع زمان واقعی برای همه برابر 0 است
و واحد برای
... زمان به طور پیوسته در جریان است. بنابراین، احتمال اینکه زمان واقعی کمتر است آ+ 0.5 دقیقه برابر با 0.5 است، زیرا به همان اندازه احتمال دارد که از آن زمان گذشته باشد یا خیر آکمتر یا بیشتر از نیم دقیقه احتمال اینکه زمان واقعی کمتر است آ+ 0.25 دقیقه برابر با 0.25 است (احتمال این زمان سه برابر کمتر از احتمال بیشتر بودن زمان واقعی است. آ+ 0.25 دقیقه، و مجموع آنها برابر با یک است، به عنوان مجموع احتمالات رویدادهای مخالف). با استدلال مشابه، متوجه می شویم که احتمال اینکه زمان واقعی کمتر است آ+ 0.6 دقیقه برابر است با 0.6. به طور کلی، احتمال اینکه زمان واقعی کمتر از آ + + α دقیقه
، برابر است با α ... بنابراین، تابع توزیع زمان واقعی عبارت زیر را دارد:

O on در همه جا پیوسته است و مشتق آن در همه نقاط پیوسته است، به استثنای دو مورد: x = aو x = a+ 1. نمودار این تابع به شکل (شکل 8.3) است:

برنج. 8.3

مثال 8.2.آیا تابع توزیع برخی از متغیرهای تصادفی تابع است

راه حل.

تمام مقادیر این تابع متعلق به بخش است
، یعنی
... عملکرد اف(ایکس) غیر کاهشی است: در فاصله
ثابت است، برابر با صفر، در بازه
افزایش می یابد، در این بین
نیز ثابت است، برابر با یک (شکل 8.4 را ببینید). تابع در هر نقطه پیوسته است ایکس 0 منطقه از تعریف آن - فاصله
، بنابراین در سمت چپ پیوسته است، یعنی. برابری برقرار است

,
.

برابری ها نیز وجود دارد:

,
.

از این رو تابع
تمام خصوصیات مشخصه تابع توزیع را برآورده می کند. بنابراین این تابع
تابع توزیع برخی از متغیرهای تصادفی است ایکس.

مثال 8.3.آیا تابع توزیع برخی از متغیرهای تصادفی تابع است

راه حل.این تابع تابع توزیع یک متغیر تصادفی نیست، زیرا در بازه کاهش می یابد و پیوسته نیست. نمودار تابع در شکل نشان داده شده است. 8.5.

برنج. 8.5

مثال 8.4.مقدار تصادفی ایکستوسط تابع توزیع داده می شود

ضریب را پیدا کنید آو چگالی احتمال متغیر تصادفی ایکس... احتمال نابرابری را تعیین کنید
.

راه حل.چگالی توزیع برابر با اولین مشتق تابع توزیع است

ضریب آبا استفاده از برابری تعریف شده است

همین نتیجه را می توان با استفاده از تداوم تابع به دست آورد
در نقطه

,
.

از این رو،
.

بنابراین، چگالی احتمال شکل دارد

احتمال
ضربه زدن به یک متغیر تصادفی ایکسدر یک بازه معین با فرمول محاسبه می شود

مثال 8.5.مقدار تصادفی ایکسدارای چگالی احتمال (قانون کوشی)

ضریب را پیدا کنید آو احتمال اینکه متغیر تصادفی باشد ایکسهر مقداری را از بازه می گیرد
... تابع توزیع این متغیر تصادفی را پیدا کنید.

راه حل.ضریب را پیدا کنید آاز برابری

از این رو،
.

بنابراین،
.

احتمال اینکه یک متغیر تصادفی باشد ایکسهر مقداری را از بازه می گیرد
، برابر است با

اجازه دهید تابع توزیع یک متغیر تصادفی معین را پیدا کنیم

پ مثال 8.6.نمودار چگالی احتمال یک متغیر تصادفی ایکسنشان داده شده در شکل 8.6 (قانون سیمپسون). عبارت چگالی احتمال و تابع توزیع این متغیر تصادفی را بنویسید.

برنج. 8.6

راه حل.با استفاده از نمودار، یک عبارت تحلیلی برای چگالی توزیع احتمال یک متغیر تصادفی معین می نویسیم.

بیایید تابع توزیع را پیدا کنیم.

اگر
، سپس
.

اگر
، سپس .

اگر
، سپس

بنابراین تابع توزیع فرم دارد

§ 3. مقادیر تصادفی

3. متغیرهای تصادفی پیوسته.

علاوه بر متغیرهای تصادفی گسسته، که مقادیر ممکن آنها یک دنباله متناهی یا نامتناهی از اعداد را تشکیل می دهند که هیچ بازه ای را به طور کامل پر نمی کنند، اغلب متغیرهای تصادفی وجود دارند که مقادیر ممکن آنها یک بازه مشخص را تشکیل می دهند. نمونه ای از چنین متغیرهای تصادفی انحراف از مقدار اسمی اندازه معینی از یک قطعه با یک فرآیند تکنولوژیکی به درستی تعیین شده است. متغیرهای تصادفی از این نوع را نمی توان با استفاده از قانون توزیع احتمال مشخص کرد p (x)... با این حال، آنها را می توان با استفاده از تابع توزیع احتمال مشخص کرد F (x)... این تابع به همان شکلی که در مورد یک متغیر تصادفی گسسته تعریف می شود:

بنابراین، در اینجا نیز تابع F (x)بر روی کل محور عددی و مقدار آن در نقطه تعریف می شود ایکسبرابر است با احتمال اینکه متغیر تصادفی مقداری کمتر از آن بگیرد ایکس.
فرمول () و خواص 1 درجه و 2 درجه برای تابع توزیع هر متغیر تصادفی معتبر است. اثبات به طور مشابه در مورد یک کمیت گسسته انجام می شود.
متغیر تصادفی نامیده می شود مداوماگر برای آن یک تابع پیوسته تکه ای غیر منفی * برای هر مقداری راضی کننده وجود داشته باشد ایکسبرابری
بر اساس معنای هندسی انتگرال به عنوان یک مساحت، می توان گفت که احتمال برآورده شدن نابرابری ها برابر است با مساحت یک ذوزنقه منحنی با قاعده. از بالا توسط یک منحنی محدود شده است (شکل 6).
از آنجایی که، و بر اساس فرمول ()
، سپس
توجه داشته باشید که برای یک متغیر تصادفی پیوسته، تابع توزیع است F (x)پیوسته در هر نقطه ایکسجایی که تابع پیوسته است. این از این واقعیت ناشی می شود که F (x)در این نقاط قابل تمایز است.
بر اساس فرمول ()، تنظیم x 1 = x،، ما داریم

به دلیل تداوم عملکرد F (x)ما آن را دریافت می کنیم

از این رو

به این ترتیب، احتمال اینکه یک متغیر تصادفی پیوسته بتواند هر مقدار x را بگیرد صفر است.
از این رو نتیجه می شود که رویدادهای مربوط به تحقق هر یک از نابرابری ها
, , ,
همین احتمال را داشته باشید، یعنی

در واقع، برای مثال،

زیرا

اظهار نظر.همانطور که می دانیم، اگر رویدادی غیرممکن باشد، احتمال وقوع آن صفر است. در تعریف کلاسیک احتمال، زمانی که تعداد نتایج آزمون متناهی باشد، گزاره مخالف نیز رخ می دهد: اگر احتمال یک رویداد صفر باشد، آن رویداد غیرممکن است، زیرا در این مورد هیچ یک از نتایج آزمون به نفع آن نیست. در مورد یک متغیر تصادفی پیوسته، تعداد مقادیر ممکن آن بی نهایت است. احتمال اینکه این مقدار مقدار خاصی به خود بگیرد x 1همانطور که دیدیم برابر با صفر است. با این حال، از این نتیجه نمی‌شود که این رویداد غیرممکن است، زیرا در نتیجه آزمایش، یک متغیر تصادفی می‌تواند به ویژه مقدار را به خود بگیرد. x 1... بنابراین، در مورد یک متغیر تصادفی پیوسته، منطقی است که در مورد احتمال سقوط یک متغیر تصادفی در یک بازه صحبت کنیم، و نه در مورد احتمال اینکه مقدار خاصی به خود بگیرد.
بنابراین، برای مثال، در ساخت یک غلتک، ما علاقه ای به این نداریم که قطر آن برابر با مقدار اسمی باشد. آنچه برای ما مهم است این است که احتمال اینکه قطر مهره از محدوده تحمل فراتر نرود.