§1.1. Действительные числа
Первое знакомство с действительными числами происходит в школьном курсе математики. Всякое действительное число представляется конечной или бесконечной десятичной дробью.
Действительные (вещественные) числа делятся на два класса: класс рациональных и класс иррациональных чисел. Рациональными
называются числа, которые имеют вид , где m
и n
– целые взаимно простые числа, но 
. (Множество рациональных чисел обознается буквой Q
). Остальные действительные числа называются иррациональными
. Рациональные числа представляются конечной или бесконечной периодической дробью (то же, что обыкновенные дроби), тогда иррациональными будут те и только те действительные числа, которые можно представить бесконечными непериодическими дробями.
Например, число 
– рациональное, а 
, 
, 
и т.п. – иррациональные числа.
Действительные числа можно также разделить на алгебраические - корни многочлена с рациональными коэффициентами (к ним относятся, в частности, все рациональные числа – корни уравнения 
) – и на трансцендентные – все остальные (например, числа 
и другие).
Множества всех натуральных, целых, действительных чисел обозначаются соответственно так: N
Z
, R
(начальные буквы слов Naturel, Zahl, Reel).
§1.2. Изображение действительных чисел на числовой оси. Интервалы
Геометрически (для наглядности) действительные числа изображают точками на бесконечной (в обе стороны) прямой линии, именуемой числовой
осью
. С этой целью на рассматриваемой прямой берётся точка (начало отсчёта – точка 0), указывается положительное направление, изображаемое стрелкой (обычно направо) и избирается единица масштаба, которую откладывают неограниченно в обе стороны от точки 0. Так изображаются целые числа. Чтобы изобразить число с одним десятичным знаком, надо каждый отрезок разделить на десять частей и т.д. Таким образом, каждое действительное число изобразится точкой на числовой оси. Обратно, каждой точке 
соответствует действительное число, равное длине отрезка 
и взятое со знаком «+» или «–», в зависимости от того, лежит ли точка правее или левее от начала отсчёта. Таким образом устанавливается взаимнооднозначное соответствие между множеством всех действительных чисел и множеством всех точек числовой оси. Термины «действительное число» и «точка числовой оси» употребляются как синонимы.
Символом 
будем обозначать и действительное число, и точку, ему соответствующую. Положительные числа располагаются правее точки 0, отрицательные – левее. Если 
, то на числовой оси точка 
лежит левее точки 
. Пусть точке 
соответствует число , тогда число называется координатой точки , пишут 
; чаще саму точку обозначают той же буквой , что и число. Точка 0 – начало координат. Ось обозначают тоже буквой 
(рис.1.1).
Рис. 1.1. Числовая ось.
Совокупность всех чисел, лежащих между
данными числами и называется интервалом или промежутком; концы и ему могут принадлежать, а могут и не принадлежать. Уточним это. Пусть 
. Совокупность чисел , удовлетворяющих условию 
, называется интервалом (в узком смысле) или открытым интервалом, обозначается символом 
(рис.1.2).
Рис. 1.2. Интервал
Совокупность чисел таких, что 
называется замкнутым интервалом (отрезок, сегмент) и обозначается через 
; на числовой оси отмечается так:
Рис. 1.3. Замкнутый интервал
От открытого промежутка он отличается лишь двумя точками (концами) и . Но это отличие принципиальное, существенное, как увидим в дальнейшем, например, при изучении свойств функций.
Опуская слова «множество всех чисел (точек) x таких, что» и т. п., отметим далее:
и 
, обозначается 
и 
полуоткрытые, или полузамкнутые, интервалы (иногда: полуинтервалы);
или 
означает: 
или 
и обозначается 
или 
;
или 
означает 
или 
и обозначается 
или 
;
, обозначается 
множество всех действительных чисел. Значки 
символы «бесконечности»; их называют несобственными или идеальными числами. 
§1.3. Абсолютная величина (или модуль) действительного числа
Определение.
Абсолютной величиной (или модулем)
числа называется само это число, если 
или 
если 
. Обозначается абсолютная величина символом 
. Итак, 
Например, 
, 
, 
.
Геометрически означает расстояние точки a
до начала координат. Если имеем две точки и , то расстояние между ними можно представить как 
(или 
). Например, 
то расстояние 
.
Свойства абсолютных величин.
1. Из определения следует, что 
, 
, то есть 
.
2. Абсолютная величина суммы и разности не превосходит суммы абсолютных величин: 
.
1) Если 
, то 
. 2) Если 
, то . ▲
3. 
.
, тогда по свойству 2: 
, т.е. 
. Аналогично, если представить 
,то придём к неравенству 
▲
4. 
– следует из определения: рассмотреть случаи 
и 
.
5. 
, при условии, что 
Так же следует из определения.
6. Неравенство 
,
, означает 
. Этому неравенству удовлетворяют точки, которые лежат между 
и 
.
7. Неравенство 
равносильно неравенству 
, т.е. . Это есть интервал с центром в точке длины 
. Он называется 
окрестностью точки (числа) . Если 
, то окрестность называется проколотой: это или 
. (Рис.1.4).
8. 
откуда следует, что неравенство 
(
) равносильно неравенству 
или 
; а неравенство 
определяет множество точек, для которых 
, т.е. это точки, лежащие вне отрезка 
, именно: 
и 
.
§1.4. Некоторые понятия, обозначения
Приведём некоторые широко применяемые понятия, обозначения из теории множеств, математической логики и других разделов современной математики.
1 . Понятие множества является одним из основных в математике, исходным, всеобщим – а потому не поддаётся определению. Его можно лишь описать (заменить синонимами): это есть собрание, совокупность каких-то объектов, вещей, объединённых какими-либо признаками. Объекты эти называются элементами множества. Примеры: множество песчинок на берегу, звёзд во Вселенной, студентов в аудитории, корней уравнения, точек отрезка. Множества, элементы которых суть числа, называются числовыми множествами . Для некоторых стандартных множеств вводятся специальные обозначения, например, N , Z , R - см. § 1.1.
Пусть A
– множество и x
является его элементом, тогда пишут: 
; читается «x
принадлежит A
» (
знак включения для элементов). Если же объект x
не входит в A
, то пишут 
; читается: «x
не принадлежит A
». Например, 
N
; 8,51
N
; но 8,51
R
.
Если x
является общим обозначением элементов множества A
, то пишут 
. Если возможно выписать обозначение всех элементов, то пишут 
, 
и т. п. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается символом ; например, множество корней (действительных) уравнения 
есть пустое.
Множество называется конечным , если оно состоит из конечного числа элементов. Если же какое бы натуральное число N ни взяли, во множестве A найдётся элементов больше, чем N, то A называется бесконечным множеством: в нём элементов бесконечно много.
Если всякий элемент множества ^
A
принадлежит и множеству B
, то
называется частью или подмножеством множества B
и пишут 
; читается «A
содержится в B
» (
есть знак включения для множеств). Например, N
Z
R.
Если и 
, то говорят, что множества A
и B
равны и пишут 
. В противном случае пишут 
. Например, если 
, а 
множество корней уравнения 
, то .
Совокупность элементов обоих множеств A
и B
называется объединением
множеств и обозначается 
(иногда 
). Совокупность элементов, принадлежащих и A
и B
, называется пересечением
множеств и обозначается 
. Совокупность всех элементов множества ^
A
, которые не содержатся в B
, называется разностью
множеств и обозначается 
. Схематично эти операции можно изобразить так:
Если между элементами множеств можно установить взаимно-однозначное соответствие, то говорят, что эти множества эквивалентны и пишут 
. Всякое множество A
, эквивалентное множеству натуральных чисел N
= называется счётным
или исчислимым.
Иначе говоря, множество называется счётным, если его элементы можно пронумеровать, расположить в бесконечную последовательность
, все члены которой различны: 
при 
, и его можно записать в виде . Прочие бесконечные множества называются несчётными
. Счётными, кроме самого множества N,
будут, например, множества 
, Z.
Оказывается, что множества всех рациональных и алгебраических чисел – счётные, а эквивалентные между собой множества всех иррациональных, трансцендентных, действительных чисел и точек любого интервала – несчётные. Говорят, что последние имеют мощность континуума (мощность – обобщение понятия количества (числа) элементов для бесконечного множества).
2
. Пусть есть два утверждения, два факта: и 
. Символ 
означает: «если верно , то верно и » или «из следует », « имплицирует есть корень уравнения обладает свойством от английского Exist
– существовать.
Запись: 
, или 
, означает: существует (по крайней мере один) предмет , обладающий свойством 
. А запись 
, или 
, означает: все обладают свойством . В частности, можем записать: 
и .
Понятия «множество», «элемент», «принадлежность элемента множеству» - первичные понятия математики. Множество - любое собрание (совокупность) каких- либо предметов.
А является подмножеством множества В, если каждый элемент множества А является элементом множества В, т.е. АÌВ Û (хÎА Þ хÎВ) .
Два множества равны , если они состоят из одних и тех же элементов. Речь идет о теоретико-множественном равенстве (не путать с равенством между числами): А=В Û АÌВ Ù ВÌА .
Объединение двух множеств состоит из элементов принадлежащих хотя бы одному из множеств, т.е. хÎАÈВ Û хÎАÚ хÎВ .
Пересечение состоит из всех элементов одновременно принадлежащих как множеству А, так и множеству В: хÎАÇВ Û хÎА Ù хÎВ .
Разность состоит из всех элементов А не принадлежащих В, т.е.хÎ А\В Û хÎА ÙхÏВ .
Декартовым произведением С=А´В множеств А и В называют множество всех возможных пар (х,у ), где первый элемент х каждой пары принадлежит А, а второй ее элемент у принадлежит В.
Подмножество F декартова произведения А´В называется отображением множества А в множество В , если выполнено условие: ("х ÎА)($! пара (х.у )ÎF). При этом пишут: А В.
Термины «отображение» и «функция» - синонимы. Если ("хÎА)($! уÎВ): (х,у )ÎF, то элемент у ÎВ называется образом х при отображении F и записывают это так: у =F(х ). Элемент х при этом является прообразом (одним из возможных) элемента у.
Рассмотриммножество рациональных чисел Q - множество всех целых чисел и множество всех дробей (положительных и отрицательных). Каждое рациональное число представимо в виде частного, например, 1 =4/3=8/6=12/9=…. Представлений таких много, но только одно из них несократимо.
Всякое рациональное число можно единственным образом представить в виде дроби p/q, где pÎZ, qÎN, числа p, q- взаимно просты.
Свойства множества Q :
1. Замкнутость относительно арифметических операций.
Результат сложения, вычитания, умножения, возведения в натуральную степень, деления (кроме деления на 0) рациональных чисел является рациональным числом: ; ; 
.
2. Упорядоченность: (" х, у
ÎQ, х¹у
)®(x
Причем: 1) a>b, b>c Þ a>c; 2) a-b .
3. Плотность . Между любыми двумя рациональными числами х, у существует третье рациональное число (например, с= ):
("х, у
ÎQ, x
<y
)($cÎQ) : (х
На множестве Q можно выполнять 4 арифметических действия, решать системы линейных уравнений, но квадратные уравнения вида х 2 =а, аÎ N не всегда разрешимы во множестве Q.
Теорема. Не существует числа хÎQ , квадрат которого равен 2.
g Пусть существует такая дробь х =p/q, где числа p и q взаимно просты и х 2 =2. Тогда (p/q) 2 =2. Следовательно,
Правая часть (1) делится на 2, значит p 2 четное число. Тем самым р=2n (n-целое). Тогда q должно быть нечетным числом.
Возвращаясь к (1), имеем 4n 2 =2q 2 . Поэтому q 2 =2n 2 . Аналогично убеждаемся, что q делится на 2, т.е. q - четное число. По методу от противного теорема доказана.n
геометрическое изображение рациональных чисел. Откладывая единичный отрезок от начала координат 1, 2, 3 … раз вправо, получим точки координатной прямой, которые соответствуют натуральным числам. Откладывая аналогично влево, получим точки, соответствующие отрицательным целым числам. Возьмем 1/q (q= 2,3,4 … ) часть единичного отрезка и будем откладывать его по обе стороны от начала отсчета р раз. Получаем точки прямой, соответствующие числам вида ±p/q (pÎZ, qÎN). Если p, q пробегают все пары взаимно простых чисел, то на прямой имеем все точки, соответствующие дробным числам. Таким образом, каждому рациональному числу соответствует по принятому способу единственная точка координатной прямой.
Для всякой ли точки можно указать единственное рациональное число? Заполняется ли прямая сплошь рациональными числами?
Оказывается на координатной прямой имеются точки, которым не соответствуют никакие рациональные числа. Строим равнобедренный прямоугольный треугольник на единичном отрезке. Точке N не соответствует рациональное число, так как если ON=x - рационально, то х 2 = 2, чего не может быть.
Точек, подобных точке N, на прямой бесконечно много. Возьмем рациональные части отрезка х=ON, т.е. х . Если отложить их вправо, то каждому из концов любого из таких отрезков не будет соответствовать никакое рациональное число. Допуская, что длина отрезка выражается рациональным числом х= , получаем, что х= – рационально. Это противоречит доказанному выше.
Рациональных чисел недостаточно, чтобы каждой точке координатной прямой сопоставлять некоторое рациональное число.
Построим множество действительных чисел R через бесконечные десятичные дроби.
По алгоритму деления «уголком» любое рациональное число представимо в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби. Когда у дроби p/q знаменатель не имеет простых делителей кроме 2 и 5, т.е. q=2 m ×5 k , то результатом будет конечная десятичная дробь p/q=a 0 ,a 1 a 2 …a n . Остальные дроби могут иметь только бесконечные десятичные разложения.
Зная бесконечную периодическую десятичную дробь, можно найти рациональное число, представлением которого она является. Но любую конечную десятичную дробь можно представить в виде бесконечной десятичной дроби одним из способов:
a 0 ,a 1 a 2 …a n = a 0 ,a 1 a 2 …a n 000…=a 0 ,a 1 a 2 …(a n -1)999… (2)
Например, для бесконечной десятичной дроби х =0,(9) имеем 10х =9,(9). Если из 10х вычесть исходное число, то получим 9х =9 или 1=1,(0)=0,(9).
Между множеством всех рациональных чисел и множеством всех бесконечных периодических десятичных дробей устанавливается взаимно однозначное соответствие, если отождествлять бесконечную десятичную дробь с цифрой 9 в периоде с соответствующей бесконечной десятичной дробью с цифрой 0 в периоде по правилу (2).
Условимся употреблять такие бесконечные периодические дроби, которые не имеют цифры 9 в периоде. Если бесконечная периодическая десятичная дробь с цифрой 9 в периоде возникает в процессе рассуждений, то ее будем заменять бесконечной десятичной дробью с нулем в периоде, т.е. вместо 1,999… будем брать 2,000…
Определение иррационального числа. Кроме бесконечных десятичных периодических дробей существуют непериодические десятичные дроби. Например, 0,1010010001… или 27,1234567891011… (после запятой последовательно стоят натуральные числа).
Рассмотрим бесконечную десятичную дробь вида±a 0 , a 1 a 2 …a n … (3)
Эта дробь определяется заданием знака «+» или «–», целого неотрицательного числа a 0 и последовательности десятичных знаков a 1 ,a 2 ,…,a n ,…(множество десятичных знаков состоит из десяти чисел: 0, 1, 2,…, 9).
Всякую дробь вида (3) назовем действительным (вещественным) числом. Если перед дробью (3) стоит знак «+», его обычно опускают и пишут a 0 , a 1 a 2 …a n … (4)
Число вида (4) будем называть неотрицательным вещественным числом, а в случае, когда хотя бы одно из чисел a 0 , a 1 , a 2 , …, a n отлично от нуля, – положительным действительным числом . Если в выражении (3) берется знак «-», то это отрицательное число.
Объединение множеств рациональных и иррациональных чисел образуют множество действительных чисел (QÈJ=R). Если бесконечная десятичная дробь (3) периодическая, то это рациональное число, когда дробь непериодическая – иррациональное.
Два неотрицательных действительных числа а=a 0 ,a 1 a 2 …a n …, b=b 0 ,b 1 b 2 …b n …. называют равными (пишут а=b ), если a n =b n при n=0,1,2… Число а меньше числа b (пишут a <b ), если либо a 0 либо a 0 =b 0 и существует такой номер m, что a k =b k (k=0,1,2,…m-1), а a m , т.е. a Û(a 0 Ú($mÎN: a k =b k (k= ), a m ). Аналогично определяется понятие «а > b ».
Для сравнения произвольных вещественных чисел введем понятие «модуль числа а ». Модулем вещественного числа а=±a 0 , a 1 a 2 …a n … называется такое неотрицательное действительное число представимое той же бесконечной десятичной дробью, но взятой со знаком «+», т.е. ½а ½=a 0 , a 1 a 2 …a n … и½а ½³0. Если а – неотрицательное, b – отрицательное число, то считают а>b . Если оба числа отрицательные (a<0, b<0 ), то будем считать, что: 1) а=b , если ½а ½= ½b ½; 2) а, если ½а ½> ½b ½.
Свойства множества R :
I. Свойства порядка :
1. Для каждой пары действительных чисел а
и b
имеет место одно и только одно соотношение: a=b, a
2. Если a
3. Если a, то найдется такое число с, что a< с .
II. Свойства действий сложения и вычитания :
4. a+b=b+a (коммутативность).
5. (a+b)+c=a+(b+c ) (ассоциативность).
6. а+0=а.
7. а+(-а)= 0.
8. из aÞ а+с
III. Свойства действий умножения и деления:
9. a×b=b×a .
10. (a×b)×c=a×(b×c ).
11. а×1=а.
12. а×(1/а)=1 (а¹0) .
13. (а+b)×c = ac + bc (дистрибутивность).
14. если a и c>0, то а×с
IV. Архимедово свойство ("cÎR)($nÎN) : (n>c).
Каково бы ни было число сÎR, существует nÎN, что n>c.
V. Свойство непрерывности действительных чисел. Пусть два непустых множества АÌR и BÌR таковы, что любой элемент а ÎА будет не больше (a £b ) любого элемента bÎB. Тогда принцип непрерывности по Дедекинду утверждаетсуществование такого числа с, что для всех а ÎА и bÎB имеет место условие a £c£b :
(" AÌR, BÌR):("a ÎA, bÎB ® a £b)($cÎR): ("a ÎA, bÎB®a £c£b).
Будем отождествлять множество R с множеством точек числовой прямой, а вещественные числа называть точками.
БИЛЕТ 1
Рациональные числа – числа, записываемые в виде p/q, где q – натурал. число, а p- целое.
Два числа a=p1/q1 и b=p2/q2 назыв равными если p1q2=p2q1, аp2q1 и а>b если p1q2
БИЛЕТ 2
Комплексные числа. Комплексные числа
Алгебраическим уравнением называется уравнение вида: P n (x ) = 0, где P n (x ) - многочлен n - ой степени. Пару вещественных чисел x и у назовём упорядоченной, если указано, какое из них считается первым, а какое - вторым. Обозначение упорядоченной пары: (x , y ). Комплексным числом назовём произвольную упорядоченную пару вещественных чисел. z = (x , y )-комплексное число.
x -вещественная часть z , y -мнимая часть z . Если x = 0 и y = 0, то z = 0. Рассмотрим z 1 = (x 1 , y 1) и z 2 = (x 2 , y 2).
Определение 1. z 1 = z 2 , если x 1 =x 2 и y 1 = y 2 .
Понятия > и < для комплексных чисел не вводятся.
Геометрическое изображение и тригонометрическая форма комплексных чисел.
M(x , y ) « z = x + iy .
½ OM½ = r =½ z ½ = .(рисунок)
r называется модулем комплексного числа z .
j называется аргументом комплексного числа z . Он определён с точностью до ± 2pn .
х = rcosj , y = rsinj.
z = x + iy = r(cosj + i sinj) - тригонометрическая форма комплексных чисел.
Утверждение 3.
= (cos + i sin ),
= (cos + i sin ), то
= (cos( + ) + i sin( + )),
= (cos( - )+ i sin( - )) при ¹0.
Утверждение 4.
Если z =r (cosj + i sinj), то " натурального n :
= (cos nj + i sin nj ),
БИЛЕТ 3
Пусть X -числовое множество, содержащее хотя бы одно число (непустое множество).
x Î X - x содержится в Х . ; x Ï X - x не принадлежит Х .
Определение : Множество Х называется ограниченным сверху (снизу), если существует число М (m ) такое, что для любого x Î X выполняется неравенство x £ M (x ³ m ), при этом число М называется верхней(нижней) гранью множества Х . Множество Х называется ограниченным сверху, если $ M , " x Î Х : x £ M . Определение неограниченного сверху множества. Множество X называется неограниченным сверху, если " M $ x Î Х : x > M. Определение множество X называется огранич., если оно ограничено сверху и снизу, то есть $ М , m такие, что " x Î Х : m £ x £ M. Эквивалентное определение огр мн-ва: Множество X называется ограниченным, если $ A > 0, " x Î X : ½x ½£ A . Определение: Наименьшая из верхних граней ограниченного сверху множества Х называется его точной верхней гранью, и обозначается SupХ
(супремум). =SupХ . Аналогично можно определить точную
нижнюю грань. Эквивалентное определение точной верхней грани:
Число называется точной верхней гранью множества Х , если: 1) " x Î X : х £ (это условие показывает, что - одна из верхних граней). 2) " < $ x Î X : х > (это условие показывает, что -
наименьшая из верхних граней).
Sup X = :
1. " x Î X : x £ .
2. " < $ x ÎX : x > .
inf X (инфимум)-это точная нижняя грань. Поставим вопрос: всякое ли ограниченное множество имеет точные грани?
Пример: Х = {x : x >0} не имеет наименьшего числа.
Теорема о сущ-нии точной верх (ниж) грани . Всякое непустое огранич сверху (снизу) мн-во xÎR имеет точ верх(ниж) грань.
Теорема об отделимости числовых мн-в: ▀▀▄
БИЛЕТ 4
Если каждому натуре числу n (n=1,2,3..) поставлено в соотв-е нек число Xn, то говорят что опред-на и задана последовательность
x1, x2 …, пишут {Xn}, (Xn).Пример: Xn=(-1)^n: -1,1,-1,1,…После-ть назыв огранич. сверху (снизу) если мн-во точек x=x1,x2,…xn лежащ на числовой оси огранич сверху (снизу), т.е. $С:Xn£C" Предел посл-ти:
число а назыв пределом посл-ти, если для люб-го ε>0 $ : N (N=N/(ε)). "n>N выполн-ся неравенство |Xn-a|<ε. Т.е. – ε
при n > N .
Единственность предела ограниченной и сходящейся последовательности
Свойство1: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Доказательство: от противного пусть а и b пределы сходящейся последовательности {x n }, причем a не равно b. рассмотрим бесконечно малые последовательности {α n }={x n -a}и {β n }={x n -b}. Т.к. все элементы б.м. последовательности {α n -β n } имеют одно и тоже значение b-a, то по свойству б.м. последовательности b-a=0 т.е. b=a и мы пришли к противоречию.
Свойство2: Сходящаяся последовательность ограничена.
Доказательство: Пусть а – предел сходящейся последовательности {x n }, тогда α n =x n -a есть элемент б.м. последовательности. Возьмем какое-либо ε>0 и по нему найдем N ε: / x n -a/< ε при n> N ε . Обозначим через b наибольшее из чисел ε+/а/, /х1/, /х2/,…,/х N ε-1 /,х N ε . Очевидно, что / х n /
Замечание: ограниченная последовательность может и не быть сходящаяся.
БИЛЕТ 6
Последовательность а n называется бесконечно малой, это означает, что предел этой последовательности после равен 0.
a n – бесконечно малая Û lim(n ® + ¥)a n =0 то есть для любого ε>0 существует N, такое что для любого n>N выполняется |a n |<ε
Теорема. Сумма бесконечно малой есть бесконечно малое.
a n b n ®бесконечно малое Þ a n +b n – бесконечно малое.
Доказательство.
a n - бесконечно малое Û "ε>0 $ N 1:" n >N 1 Þ |a n |<ε
b n - бесконечно малое Û "ε>0 $ N 2:" n >N 2 Þ |b n |<ε
Положим N=max{N 1 ,N 2 }, тогда для любого n>N Þ одновременно выполняется оба неравенства:
|a n |<ε |a n +b n |£|a n |+|b n |<ε+ε=2ε=ε 1 "n>N
Зададим "ε 1 >0, положим ε=ε 1 /2. Тогда для любого ε 1 >0 $N=maxN 1 N 2: " n>N Þ |a n +b n |<ε 1 Û lim(n ® ¥)(a n +b n)=0, то
есть a n +b n – бесконечно малое.
Теорема Произведение бесконечно малого есть бесконечно малое.
a n ,b n – бесконечно малое Þ a n b n – бесконечно малое.
Докозательство:
Зададим "ε 1 >0, положим ε=Öε 1 , так как a n и b n – бесконечно малое для этого ε>0, то найдётся N 1: " n>N Þ |a n |<ε
$N 2: " n>N 2 Þ |b n |<ε
Возьмем N=max {N 1 ;N 2 }, тогда "n>N = |a n |<ε
|a n b n |=|a n ||b n |<ε 2 =ε 1
" ε 1 >0 $N:"n>N |a n b n |<ε 2 =ε 1
lim a n b n =0 Û a n b n – бесконечно малое, что и требовалось доказать.
Теорема Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность
а n – ограниченная последовательность
a n –бесконечно малая последовательность Þ a n a n – бесконечно малая последовательность.
Доказательство: Так как а n – ограниченная Û $С>0: "nÎN Þ |a n |£C
Зададим "ε 1 >0; положим ε=ε 1 /C; так как a n – бесконечно малая, то ε>0 $N:"n>NÞ |a n |<εÞ |a n a n |=|a n ||a n | "ε 1 >0 $N: "n>N Þ |a n a n |=Cε=ε 1 Þ lim(n ® ¥) a n a n =0Û a n a n – бесконечно малое Последовательность называется ББП
(последовательностью) если Пишут . Очевидно, ББП не ограничена. Обратное же утверждение вообще говоря неверно (пример ). Если для больших n
члены , то пишут это значит, что как только . Аналогично определяется смысл записи Бесконечно большие последовательност
a n =2 n ;
b n =(-1) n 2 n ;c n =-2 n Определение
(бесконечно большие последовательности) 1) lim(n ® ¥)a n =+¥, если "ε>0$N:"n>N Þ a n >ε где ε- сколь угодно малое. 2) lim(n ® ¥)a n =-¥, если "ε>0 $N:"n>N Þ a n <-ε 3) lim(n ® ¥)a n =¥ Û "ε>0 $N:"n>N Þ |a n |>ε БИЛЕТ 7
Теорема “О сходимости монотон. посл-ти” Всякая монотонная посл-ть явл-ся сходящейся, т.е. имеет пределы.Док-во
Пусть посл-ть {xn} монотонно возр. и ограничена сверху. X – все мн-во чисел которое принимает эл-т этой посл-ти согласно усл. Теоремы это мн-во огранич., поэтому по соотв. Теореме оно имеет конечную точную верх. грань supX xn®supX (обозначим supX через х*). Т.к. х* точная верх. грань, то xn£x* " n. " e >0 вып-ся нер-во $ xm(пусть m- это n с крышкой):xm>x*-e при " n>m => из указанных 2-х неравенств получаем второе неравенство x*-e£xn£x*+e при n>m эквивалентно ½xn-x*½ БИЛЕТ 8
Экспонента или число е Р-рим числ. посл-ть с общим членом xn=(1+1/n)^n (в степени n)(1) . Оказывается, что посл-ть (1) монотонно возр-ет, ограничена сверху и сл-но явл-ся сходящейся, предел этой пос-ти наз-ся экспонентой и обозначается символом е»2,7128… Число е
БИЛЕТ 9
Принцип вложенных отрезков Пусть на числовой прямой задана посл-ть отрезков ,,…,,… Причем эти отрезки удовл-ют сл. усл.: 1) каждый посл-щий вложен в предыдущий, т.е. Ì, "n=1,2,…; 2) Длины отрезков ®0 с ростом n, т.е. lim(n®¥)(bn-an)=0. Посл-ть с указанными св-вами наз-ют вложенными. Теорема
Любая посл-ть вложенных отрезков содержит единную т-ку с принадлежащую всем отрезкам посл-ти одновременно, с общая точка всех отрезков к которой они стягиваются. Док-во
{an}-посл-ть левых концов отрезков явл. монотонно не убывающей и ограниченной сверху числом b1. {bn}-посл-ть правых концов монотонно не возрастающей, поэтому эти посл-ти явл. сходящимися, т.е. сущ-ют числа с1=lim(n®¥)an и с2=lim(n®¥)bn => c1=c2 => c - их общее значение. Действительно имеет предел lim(n®¥)(bn-an)= lim(n®¥)(bn)- lim(n®¥)(an) в силу условия 2) o= lim(n®¥)(bn-an)=с2-с1=> с1=с2=с Ясно что т. с общая для всех отрезков, поскольку "n an£c£bn. Теперь докажем что она одна. Допустим что $ другая с‘ к которой стягиваются все отрезки. Если взять любые не пересекающиеся отрезки с и с‘, то с одной стороны весь “хвост” посл-тей {an},{bn} должен нах-ся в окрестностях т-ки с‘‘(т.к. an и bn сходятся к с и с‘ одновременно). Противоречие док-ет т-му. БИЛЕТ 10
Теорема Больцано-Вейерштрасса
Из любой огран. посл-ти можно выбрать сход. подпосл-ть. 1. Поскольку посл-ть ограничена, то $ m и M, такое что " m£xn£M, " n. D1= – отрезок, в котором лежат все т-ки посл-ти. Разделим его пополам. По крайней мере в одной из половинок будет нах-ся бесконечное число т-к посл-ти. D2 – та половина, где лежит бесконечное число т-к посл-ти. Делим его пополам. По краней мере в одной из половинок отр. D2 нах-ся бесконечное число т-к посл-ти. Эта половина - D3. Делим отрезок D3 … и т.д. получаем посл-ть вложенных отрезков, длинны которых стремятся к 0. Согластно о т-ме о вложенных отрезках, $ единств. т-ка С, кот. принадл. всем отрезкам D1, какую-либо т-ку Dn1. В отрезке D2 выбираю т-ку xn2, так чтобы n2>n1. В отрезке D3 … и т.д. В итоге пол-ем посл-ть xnkÎDk. БИЛЕТ 11
БИЛЕТ 12
фундаментальной
В заключении рассмотрим вопрос критерия сходимости числовой последовательности. Пусть т.е.: Мы получили следующее утверждение: Если последовательность сходится, выполняется условие Коши
: Числовая последовательность удовлетворяет условию Коши называется фундаментальной
. Можно доказать, что и справедлива и обратное утверждение. Таким образом мы имеем критерий (необходимое и достаточное условие) сходимости последовательности. Критерий Коши.
Для того, чтобы последовательность имела предел необходимо и достаточно, что бы она была фундаментальной. Второй смысл критерия Коши.
Члены последовательности и где n
и m
– любые неограниченно сближающиеся при . БИЛЕТ 13
Односторонние пределы.
Определение 13.11.
Число А
называется пределом функции у = f(x
) при х
, стремящемся к х 0
слева (справа), если такое, что |f(x)-A
|<ε при x 0 – х < δ
(х - х 0 < δ
). Обозначения: Теорема 13.1(второе определение предела).
Функция y=f(x)
имеет при х,
стремящемся к х
0 , предел, равный А
, в том и только в том случае, если оба ее односторонних предела в этой точке существуют и равны А
. Доказательство. 1) Если , то и для x 0 – х
< δ, и для х - х 0 < δ
|f(x) - A
|<ε, то есть 1) Если , то существует δ 1: |f(x) - A
| < ε при x 0 – x
< δ 1 и δ 2: |f(x) - A
| < ε при х - х 0 <
δ 2 . Выбрав из чисел δ 1 и δ 2 меньшее и приняв его за δ, получим, что при |x - x 0
| < δ |f(x) - A
| < ε, то есть . Теорема доказана. Замечание. Поскольку доказана эквивалентность требований, содержащихся в определении предела 13.7 и условия существования и равенства односторонних пределов, это условие можно считать вторым определением предела. Определение 4 (по Гейне) Число А
называется пределом функции при если любой ББП значений аргумента последовательность соответствующих значений функции сходится к А.
Определение 4 (по Коши).
Число А
называется если . Доказывается, что эти определения равносильны. БИЛЕТ 14 и 15
Свойства предела ф-ции в точке 1) Если предел в т-ке сущ-ет, то он единственный 2) Если в тке х0 предел ф-ции f(x) lim(x®x0)f(x)=A lim(x®x0)g(x)£B=> то тогда в этой т-ке $ предел суммы, разности, произведения и частного. Отделение этих 2-х ф-ций. а) lim(x®x0)(f(x)±g(x))=A±B б) lim(x®x0)(f(x)*g(x))=A*B в) lim(x®x0)(f(x):g(x))=A/B г) lim(x®x0)C=C д) lim(x®x0)C*f(x)=C*A Теорема 3.
Если (resp A) то $ окрестность в которой выполняется неравенство >B (resp Полагая в теореме 3 B=0
, получаем: если (resp
), то $ , во всех точках, которой будет >0 (resp <0),
т.е. функция сохраняет знак своего предела. Теорема 4
(о предельном переходе в неравенстве).
Если в некоторой окрестности точки (кроме быть может самой этой точки) выполняется условие и данные функции имеют в точке пределы, то . На языке и . Введем функцию . Ясно, что в окрестности т. . Тогда по теореме о сохранении функции значении своего предела имеем , но Теорема 5.
(о пределе промежуточной функции).
(1) Если БИЛЕТ 16
Определение 14.1.
Функция у=α(х
) называется бесконечно малой при х→х 0 ,
если Свойства бесконечно малых. 1. Сумма двух бесконечно малых есть бесконечно малая. Доказательство. Если α(х
) и β(х
) – бесконечно малые при х→х 0
, то существуют δ 1 и δ 2 такие, что |α(x
)|<ε/2 и |β(x
)|<ε/2 для выбранного значения ε. Тогда |α(x)+β(x)|≤|α(x)|+|β(x
)|<ε, то есть |(α(x)+β(x
))-0|<ε. Следовательно, Замечание. Отсюда следует, что сумма любого конечного числа бесконечно малых есть бесконечно малая. 2. Если α(х
) – бесконечно малая при х→х 0
, а f(x
) – функция, ограниченная в некоторой окрестности х 0
, то α(х)f(x
) – бесконечно малая при х→х 0
. Доказательство. Выберем число М
такое, что |f(x)| Следствие 1. Произведение бесконечно малой на конечное число есть бесконечно малая. Следствие 2. Произведение двух или нескольких бесконечно малых есть бесконечно малая. Следствие 3. Линейная комбинация бесконечно малых есть бесконечно малая. 3. (Третье определение предела
). Если , то необходимым и достаточным условием этого является то, что функцию f(x
) можно представить в виде f(x)=A+α(x
), где α(х
) – бесконечно малая при х→х 0
. Доказательство. 1)
Пусть Тогда |f(x)-A
|<ε при х→х 0
, то есть α(х)=f(x)-A
– бесконечно малая при х→х 0 .
Следовательно, f(x)=A+α(x).
2) Пусть f(x)=A+α(x
). Тогда Замечание. Тем самым получено еще одно определение предела, эквивалентное двум предыдущим. Бесконечно большие функции. Определение 15.1. Функция f(x) называется бесконечно большой при х х 0 , если Для бесконечно больших можно ввести такую же систему классификации, как и для бесконечно малых, а именно: 1. Бесконечно большие f(x) и g(x) считаются величинами одного порядка, если 2. Если , то f(x) считается бесконечно большой более высокого порядка, чем g(x). 3. Бесконечно большая f(x) называется величиной k-го порядка относительно бесконечно большой g(x), если . Замечание. Отметим, что а х – бесконечно большая (при а>1 и х ) более высокого порядка, чем x k для любого k, а log a x – бесконечно большая низшего порядка, чем любая степень х k . Теорема 15.1. Если α(х) – бесконечно малая при х→х 0 , то 1/α(х) – бесконечно большая при х→х 0 . Доказательство. Докажем, что при |x - x 0 | < δ. Для этого достаточно выбрать в качестве ε 1/M. Тогда при |x - x 0 | < δ |α(x)|<1/M, следовательно, |1/α(x)|>M. Значит, , то есть 1/α(х) – бесконечно большая при х→х 0 . БИЛЕТ 17
Теорема 14.7 (первый замечательный предел). . Доказательство. Рассмотрим окружность единичного радиуса с центром в начале координат и будем считать, что угол АОВ равен х (радиан). Сравним площади треугольника АОВ, сектора АОВ и треугольника АОС, где прямая ОС – касательная к окружности, проходящая через точку (1;0). Очевидно, что . Используя соответствующие геометрические формулы для площадей фигур, получим отсюдa, что 
на ряду с натуральным числом можно подставить в последнее неравенство другое натуральное число 
,тогда
и в некоторой окрестности т. (кроме быть может самой т. ) выполняется условие (2) , то функция имеет в т. предел и этот предел равен А.
по условию (1) $ для (здесь - наименьшая окрестность точки ). Но тогда в силу условия (2) для значения так же будет находится в - окрестности точки А,
т.е. .
, то есть α(х)+β(х
) – бесконечно малая.
значит, |f(x)-A
|<ε при |x - x 0
| < δ(ε). Cледовательно, .
, или sinx
