Функция распределения непрерывной случайной величины х. Математическое ожидание непрерывной случайной величины

Задание 1 . Плотность распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид:
Найти:
а) параметр A ;
б) функцию распределения F(x) ;
в) вероятность попадания случайной величины X в интервал ;
г) математическое ожидание MX и дисперсию DX .
Построить график функций f(x) и F(x) .

Задание 2 . Найти дисперсию случайной величины X , заданной интегральной функцией.

Задание 3 . Найти математическое ожидание случайной величины Х заданной функцией распределения.

Задание 4 . Плотность вероятности некоторой случайной величины задана следующим образом: f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
Найти коэффициент A , функцию распределения F(x) , математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале . Построить графики f(x) и F(x) .

Задача . Функция распределения некоторой непрерывной случайной величины задана следующим образом:

Определить параметры a и b , найти выражение для плотности вероятности f(x) , математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале . Построить графики f(x) и F(x).

Найдем функцию плотности распределения, как производную от функции распределения.
F′=f(x)=a
Зная, что найдем параметр a:

или 3a=1, откуда a = 1/3
Параметр b найдем из следующих свойств:
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1 откуда b = -1/3
Следовательно, функция распределения имеет вид: F(x) = (x-1)/3

Математическое ожидание .


Дисперсия .

1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
Найдем вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале
P(2 < x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3

Пример №1 . Задана плотность распределения вероятностей f(x) непрерывной случайной величины X . Требуется:

1. Определить коэффициент A .
2. найти функцию распределения F(x) .
3. схематично построить графики F(x) и f(x) .
4. найти математическое ожидание и дисперсию X .
5. найти вероятность того, что X примет значение из интервала (2;3).

f(x) = A*sqrt(x), 1 ≤ x ≤ 4.
Решение :

Случайная величина Х задана плотностью распределения f(x):

Найдем параметр A из условия:



или
14/3*A-1 = 0
Откуда,
A = 3 / 14

Функцию распределения можно найти по формуле.

Равномерное распределение. Непрерывная величина Х распределена равномерно на интервале (a , b ), если все ее возможные значения находятся на этом интервале и плотность распределения вероятностей постоянна:

Для случайной величины Х , равномерно распределенной в интервале (a , b ) (рис. 4), вероятность попадания в любой интервал (x 1 , x 2 ), лежащий внутри интервала (a , b ), равна:

(30)


Рис. 4. График плотности равномерного распределения

Примерами равномерно распределенных величин являются ошибки округления. Так, если все табличные значения некоторой функции округлены до одного и того же разряда , то выбирая наугад табличное значение, мы считаем, что ошибка округления выбранного числа есть случайная величина, равномерно распределенная в интервале

Показательное распределение. Непрерывная случайная величина Х имеет показательное распределение

(31)

График плотности распределения вероятностей (31) представлен на рис. 5.

Рис. 5. График плотности показательного распределения

Время Т безотказной работы компьютерной системы есть случайная величина, имеющая показательное распределение с параметром λ , физический смысл которого – среднее число отказов в единицу времени, не считая простоев системы для ремонта.

Нормальное (гауссово) распределение. Случайная величина Х имеет нормальное (гауссово) распределение , если плотность распределения ее вероятностей определяется зависимостью:

(32)

где m = M (X ) , .

При нормальное распределение называется стандартным .

График плотности нормального распределения (32) представлен на рис. 6.

Рис. 6. График плотности нормального распределения

Нормальное распределение является наиболее часто встречающимся в различных случайных явлениях природы. Так, ошибки выполнения команд автоматизированным устройством, ошибки вывода космического корабля в заданную точку пространства, ошибки параметров компьютерных систем и т.д. в большинстве случаев имеют нормальное или близкое к нормальному распределение. Более того, случайные величины, образованные суммированием большого количества случайных слагаемых, распределены практически по нормальному закону.

Гамма-распределение. Случайная величина Х имеет гамма-распределение , если плотность распределения ее вероятностей выражается формулой:

(33)

где – гамма-функция Эйлера.

Случайной величиной называется переменная, которая может принимать те или иные значения в зависимости от различных обстоятельств, и случайная величина называется непрерывной , если она может принимать любое значение из какого-либо ограниченного или неограниченного интервала. Для непрерывной случайной величины невозможно указать все возможные значения, поэтому обозначают интервалы этих значений, которые связаны с определёнными вероятностями.

Примерами непрерывных случайных величин могут служить: диаметр детали, обтачиваемой до заданного размера, рост человека, дальность полёта снаряда и др.

Так как для непрерывных случайных величин функция F (x ), в отличие от дискретных случайных величин , нигде не имеет скачков, то вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю.

Это значит, что для непрерывной случайной величины бессмысленно говорить о распределении вероятностей между её значениями: каждое из них имеет нулевую вероятность. Однако в некотором смысле среди значений непрерывной случайной величины есть "более и менее вероятные". Например, вряд ли у кого-либо возникнет сомнение, что значение случайной величины - роста наугад встреченного человека - 170 см - более вероятно, чем 220 см, хотя и одно, и другое значение могут встретиться на практике.

Функция распределения непрерывной случайной величины и плотность вероятности

В качестве закона распределения, имеющего смысл только для непрерывных случайных величин, вводится понятие плотности распределения или плотности вероятности. Подойдём к нему путём сравнения смысла функции распределения для непрерывной случайной величины и для дискретной случайной величины.

Итак, функцией распределения случайной величины (как дискретной, так и непрерывной) или интегральной функцией называется функция , которая определяет вероятность, что значение случайной величины X меньше или равно граничному значению х .

Для дискретной случайной величины в точках её значений x 1 , x 2 , ..., x i ,... сосредоточены массы вероятностей p 1 , p 2 , ..., p i ,... , причём сумма всех масс равна 1. Перенесём эту интерпретацию на случай непрерывной случайной величины. Представим себе, что масса, равная 1, не сосредоточена в отдельных точках, а непрерывно "размазана" по оси абсцисс Оx с какой-то неравномерной плотностью. Вероятность попадания случайной величины на любой участок Δx будет интерпретироваться как масса, приходящаяся на этот участок, а средняя плотность на этом участке - как отношение массы к длине. Только что мы ввели важное понятие теории вероятностей: плотность распределения.

Плотностью вероятности f (x ) непрерывной случайной величины называется производная её функции распределения:

.

Зная функцию плотности, можно найти вероятность того, что значение непрерывной случайной величины принадлежит закрытому интервалу [a ; b ]:

вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо значение из интервала [a ; b ], равна определённому интегралу от её плотности вероятности в пределах от a до b :

.

При этом общая формула функции F (x ) распределения вероятностей непрерывной случайной величины, которой можно пользоваться, если известна функция плотности f (x ) :

.

График плотности вероятности непрерывной случайной величины называется её кривой распределения (рис. ниже).

Площадь фигуры (на рисунке заштрихована), ограниченной кривой, прямыми, проведёнными из точек a и b перпендикулярно оси абсцисс, и осью Ох , графически отображает вероятность того, что значение непрерывной случайной величины Х находится в пределах от a до b .

Свойства функции плотности вероятности непрерывной случайной величины

1. Вероятность того, что случайная величина примет какое-либо значение из интервала (и площадь фигуры, которую ограничивают график функции f (x ) и ось Ох ) равна единице:

2. Функция плотности вероятности не может принимать отрицательные значения:

а за пределами существования распределения её значение равно нулю

Плотность распределения f (x ), как и функция распределения F (x ), является одной из форм закона распределения, но в отличие от функции распределения, она не универсальна: плотность распределения существует только для непрерывных случайных величин.

Упомянем о двух важнейших в практике видах распределения непрерывной случайной величины.

Если функция плотности распределения f (x ) непрерывной случайной величины в некотором конечном интервале [a ; b ] принимает постоянное значение C , а за пределами интервала принимает значение, равное нулю, то такое распределение называется равномерным .

Если график функции плотности распределения симметричен относительно центра, средние значения сосредоточены вблизи центра, а при отдалении от центра собираются более отличающиеся от средних (график функции напоминает разрез колокола), то такое распределение называется нормальным .

Пример 1. Известна функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины:

Найти функцию f (x ) плотности вероятности непрерывной случайной величины. Построить графики обеих функций. Найти вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое-либо значение в интервале от 4 до 8: .

Решение. Функцию плотности вероятности получаем, находя производную функции распределения вероятностей:

График функции F (x ) - парабола:

График функции f (x ) - прямая:

Найдём вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое либо значение в интервале от 4 до 8:

Пример 2. Функция плотности вероятности непрерывной случайной величины дана в виде:

Вычислить коэффициент C . Найти функцию F (x ) распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Построить графики обеих функций. Найти вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое-либо значение в интервале от 0 до 5: .

Решение. Коэффициент C найдём, пользуясь свойством 1 функции плотности вероятности:

Таким образом, функция плотности вероятности непрерывной случайной величины:

Интегрируя, найдём функцию F (x ) распределения вероятностей. Если x < 0 , то F (x ) = 0 . Если 0 < x < 10 , то

.

x > 10 , то F (x ) = 1 .

Таким образом, полная запись функции распределения вероятностей:

График функции f (x ) :

График функции F (x ) :

Найдём вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое либо значение в интервале от 0 до 5:

Пример 3. Плотность вероятности непрерывной случайной величины X задана равенством , при этом . Найти коэффициент А , вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо значение из интервала ]0, 5[, функцию распределения непрерывной случайной величины X .

Решение. По условию приходим к равенству

Следовательно, , откуда . Итак,

.

Теперь находим вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо значение из интервала ]0, 5[:

Теперь получим функцию распределения данной случайной величины:

Пример 4. Найти плотность вероятности непрерывной случайной величины X , которая принимает только неотрицательные значения, а её функция распределения .

Функцией распределения случайной величиныХ называется функцияF (х ), выражающая для каждогох вероятность того, что случайная величинаХ примет значение, меньшеех :
.

Функцию F (х ) иногда называют интегральной функцией распределения, или интегральным законом распределения .

Случайная величина Х называется непрерывной , если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.

Примеры непрерывных случайных величин: диаметр детали, которую токарь обтачивает до заданного размера, рост человека, дальность полета снаряда и др.

Теорема. Вероятность любого отдельно взятого значения непрерывной случайной величины равна нулю

.

Следствие. Если Х - непрерывная случайная величина, то вероятность попадания случайной величины в интервал
не зависит от того, является этот интервал открытым или закрытым, т.е.

Если непрерывная случайная величина Х может принимать только значения в границах от а до b (где а и b - некоторые постоянные), то функция распределения ее равна нулю для всех значений
и единице для значений
.

Для непрерывной случайной величины

Все свойства функций распределения дискретных случайных величин выполняются и для функций распределения непрерывных случайных величин.

Задание непрерывной случайной величины с помощью функции распределения не является единственным.

Плотностью вероятности (плотностью распределения или плотностью ) р (х ) непрерывной случайной величины Х называется производная ее функции распределения

.

Плотность вероятности р (х ), как и функция распределенияF (х ), является одной из форм закона распределения, но в отличие от функции распределения она существует только длянепрерывных случайных величин.

Плотность вероятности иногда называют дифференциальной функцией, или дифференциальным законом распределения .

График плотности вероятности называется кривой распределения.

Свойства плотности вероятности непрерывной случайной величины:

Рис. 8.1

Рис. 8.2

4.
.

Геометрически свойства плотности вероятности означают, что ее график - кривая распределения - лежит не ниже оси абсцисс, и полная площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

Пример 8.1. Минутная стрелка электрических часов передвигается скачками поминутно. Вы бросили взгляд на часы. Они показывают а минут. Тогда для вас истинное время в данный момент будет случайной величиной. Найти ее функцию распределения.

Решение. Очевидно, что функция распределения истинного времени равна 0 для всех
и единице для
. Время течет равномерно. Поэтому вероятность того, что истинное время меньше а + 0,5 мин, равна 0,5, так как одинаково вероятно, прошло ли после а менее или более полминуты. Вероятность того, что истинное время меньше а + 0,25 мин, равна 0,25 (вероятность этого времени втрое меньше вероятности того, что истинное время больше а + 0,25 мин, а сумма их равна единице, как сумма вероятностей противоположных событий). Аналогично рассуждая, найдем, что вероятность того, что истинное время меньше а + 0,6 мин, равна 0,6. В общем случае вероятность того, что истинное время меньше а + + α мин
, равна α . Следовательно, функция распределения истинного времени имеет следующее выражение:

Она непрерывна всюду, а производная ее непрерывна во всех точках, за исключением двух:х = а их = а + 1. График этой функции имеет вид (рис. 8.3):

Рис. 8.3

Пример 8.2. Является ли функцией распределения некоторой случайной величины функция

Решение.

Все значения этой функции принадлежат отрезку
, т.е.
. Функция F (х ) является неубывающей: в промежутке
она постоянна, равна нулю, в промежутке
возрастает, в промежутке
также постоянна, равна единице (см. рис. 8.4). Функция непрерывна в каждой точке х 0 области ее определения - промежутка
, поэтому непрерывна слева, т.е. выполняется равенство

,
.

Выполняются и равенства:

,
.

Следовательно, функция
удовлетворяет всем свойствам, характерным для функции распределения. Значит данная функция
является функцией распределения некоторой случайной величиныХ .

Пример 8.3. Является ли функцией распределения некоторой случайной величины функция

Решение. Данная функция не является функцией распределения случайной величины, так как напромежутке она убывает и не является непрерывной. График функции изображен на рис. 8.5.

Рис. 8.5

Пример 8.4. Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти коэффициент а и плотность вероятности случайной величины Х . Определить вероятность неравенства
.

Решение. Плотность распределения равна первой производной от функции распределения

Коэффициент а определяем с помощью равенства

,

.

Тот же результат можно было получить, используя непрерывность функции
в точке

,
.

Следовательно,
.

Поэтому плотность вероятности имеет вид

Вероятность
попадания случайной величины Х в заданный промежуток вычисляется по формуле

Пример 8.5. Случайная величина Х имеет плотность вероятности (закон Коши)

.

Найти коэффициент а и вероятность того, что случайная величина Х примет какое-нибудь значение из интервала
. Найти функцию распре­деления этой случайной величины.

Решение. Найдем коэффициент а из равенства

,

Следовательно,
.

Итак,
.

Вероятность того, что случайная величина Х примет какое-нибудь значение из интервала
, равна

Найдем функцию распределения данной случайной величины

Пример 8.6. График плотности вероятности случайной величиныХ изображен на рис. 8.6 (закон Симпсона). Написать выражение плотности вероятности ифункцию распределения этой случайной величины.

Рис. 8.6

Решение. Пользуясь графиком, записываем аналитическое выражение плотности распределения вероятностей данной случайной величины

Найдем функцию распределения.

Если
, то
.

Если
, то .

Если
, то

Если
, то

Следовательно, функция распределения имеет вид

§ 3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

3. Непрерывные случайные величины.

Кроме дискретных случайных величин, возможные значения которых образуют конечную или бесконечную последовательность чисел, не заполняющих сплошь никакого интервала, часто встречаются случайные величины, возможные значения которых образуют некоторый интервал. Примером такой случайной величины может служить отклонение от номинала некоторого размера детали при правильно налаженном технологическом процессе. Такого рода, случайные величины не могут быть заданы с помощью закона распределения вероятностей р(х) . Однако их можно задать с помощью функции распределения вероятностей F(х) . Эта функция определяется точно так же, как и в случае дискретной случайной величины:

Таким образом, и здесь функция F(х) определена на всей числовой оси, и ее значение в точке х равно вероятности того, что случайная величина примет значение, меньшее чем х .
Формула () и свойства 1° и 2° справедливы для функции распределения любой случайной величины. Доказательство проводится аналогично случаю дискретной величины.
Случайная величина называется непрерывной , если для нее существует неотрицательная кусочно-непрерывная функция* , удовлетворяющая для любых значений x равенству
Исходя из геометрического смысла интеграла как площади, можно сказать, что вероятность выполнения неравенств равна площади криволинейной трапеции с основанием , ограниченной сверху кривой (рис. 6).
Так как , а на основании формулы ()
, то
Заметим, что для непрерывной случайной величины функция распределения F(х) непрерывна в любой точке х , где функция непрерывна. Это следует из того, что F(х) в этих точках дифференцируема.
На основании формулы (), полагая x 1 =x , , имеем

В силу непрерывности функции F(х) получим, что

Следовательно

Таким образом, вероятность того, что непрерывная случайная величина может принять любое отдельное значение х, равна нулю .
Отсюда следует, что события, заключающиеся в выполнении каждого из неравенств
, , ,
Имеют одинаковую вероятность, т.е.

В самом деле, например,

так как

Замечание. Как мы знаем, если событие невозможно, то вероятность его наступления равна нулю. При классическом определении вероятности, когда число исходов испытания конечно, имеет место и обратное предложение: если вероятность события равна нулю, то событие невозможно, так как в этом случае ему не благоприятствует ни один из исходов испытания. В случае непрерывной случайной величины число возможных ее значений бесконечно. Вероятность того, что эта величина примет какое-либо конкретное значение x 1 как мы видели, равна нулю. Однако отсюда не следует, что это событие невозможно, так как в результате испытания случайная величина может, в частности, принять значение x 1 . Поэтому в случае непрерывной случайной величины имеет смысл говорить о вероятности попадания случайной величины в интервал, а не о вероятности того, что она примет какое-то конкретное значение.
Так, например, при изготовлении валика нас не интересует вероятность того, что его диаметр будет равен номиналу. Для нас важна вероятность того, что диаметр валика не выходит из поля допуска.