Определение 1
Случайная величина $X$ имеет нормальное распределение (распределение Гаусса), если плотность её распределения определяется формулой:
\[\varphi \left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }e^{\frac{-{(x-a)}^2}{2{\sigma }^2}}\]
Здесь $aϵR$ -- математическое ожидание, а $\sigma >0$ -- среднее квадратическое отклонение.
Плотность нормального распределения.
Покажем, что эта функция действительно является плотностью распределения. Для этого проверим следующее условие:
Рассмотрим несобственный интеграл $\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }e^{\frac{-{(x-a)}^2}{2{\sigma }^2}}dx}$.
Сделаем замену: $\frac{x-a}{\sigma }=t,\ x=\sigma t+a,\ dx=\sigma dt$.
Так как $f\left(t\right)=e^{\frac{-t^2}{2}}$ четная функция, то
Равенство выполняется, значит, функция $\varphi \left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }e^{\frac{-{(x-a)}^2}{2{\sigma }^2}}$ действительно является плотностью распределения некоторой случайной величины.
Рассмотрим некоторые простейшие свойства функции плотности вероятности нормального распределения $\varphi \left(x\right)$:
- График функции плотности вероятности нормального распределения симметричен относительно прямой $x=a$.
- Функция $\varphi \left(x\right)$ достигает максимума при $x=a$, при этом $\varphi \left(a\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }e^{\frac{-{(a-a)}^2}{2{\sigma }^2}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }$
- Функция $\varphi \left(x\right)$ убывает, при $x>a$, и возрастает, при $x
- Функция $\varphi \left(x\right)$ имеет точки перегиба при $x=a+\sigma $ и $x=a-\sigma $.
- Функция $\varphi \left(x\right)$ асимптотически приближается к оси $Ox$ при $x\to \pm \infty $.
- Схематический график выглядит следующим образом (рис. 1).
Рисунок 1. Рис. 1. График плотности нормального распределения
Заметим, что, если $a=0$, то график функции симметричен относительно оси $Oy$. Следовательно, функция $\varphi \left(x\right)$ четна.
Функция нормального распределения вероятности.
Для нахождения функции распределения вероятности при нормальном распределении воспользуемся следующей формулой:
Следовательно,
Определение 2
Функция $F(x)$ называется стандартным нормальным распределением, если $a=0,\ \sigma =1$, то есть:
Здесь $Ф\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int\limits^x_0{e^{\frac{-t^2}{2}}dt}$ - функция Лапласса.
Определение 3
Функция $Ф\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int\limits^x_0{e^{\frac{-t^2}{2}}dt}$ называется интегралом вероятности.
Числовые характеристики нормального распределения.
Математическое ожидание: $M\left(X\right)=a$.
Дисперсия : $D\left(X\right)={\sigma }^2$.
Среднее квадратическое распределение: $\sigma \left(X\right)=\sigma $.
Пример 1
Пример решения задачи на понятие нормального распределения.
Задача 1 : Длина пути $X$ представляет собой случайную непрерывную величину. $X$ распределена по нормальному закону распределения среднее значение которого равно $4$ километра, а среднее квадратическое отклонение равно $100$ метров.
- Найти функцию плотности распределения $X$.
- Построить схематически график плотности распределения.
- Найти функцию распределения случайной величины $X$.
- Найти дисперсию.
- Для начала представим все величины в одном измерении: 100м=0,1км
Из определения 1, получим:
\[\varphi \left(x\right)=\frac{1}{0,1\sqrt{2\pi }}e^{\frac{-{(x-4)}^2}{0,02}}\]
(так как $a=4\ км,\ \sigma =0,1\ км)$
- Используя свойства функции плотности распределения, имеем, что график функции $\varphi \left(x\right)$ симметричен относительно прямой $x=4$.
Максимум функция достигает в точке $\left(a,\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\right)=(4,\ \frac{1}{0,1\sqrt{2\pi }})$
Схематический график имеет вид:
Рисунок 2.
- По определению функции распределения $F\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\int\limits^x_{-\infty }{e^{\frac{-{(t-a)}^2}{2{\sigma }^2}}dt}$, имеем:
- $D\left(X\right)={\sigma }^2=0,01$.
Наиболее известным и часто применяемым в теории вероятностей законом является нормальный закон распределения или закон Гаусса .
Главная особенность нормального закона распределения заключается в том, что он является предельным законом для других законов распределения.
Заметим, что для нормального распределения интегральная функция имеет вид:
.
Покажем теперь, что вероятностный смысл параметров и таков: а есть математическое ожидание, - среднее квадратическое отклонение (то есть ) нормального распределения:
а) по определению математического ожидания непрерывной случайной величины имеем
Действительно
,
так как под знаком интеграла стоит нечётная функция, и пределы интегрирования симметричны относительно начала координат;
- интеграл Пуассона
.
Итак, математическое ожидание нормального распределения равно параметру а .
б) по определению дисперсии непрерывной случайной величины и, учитывая, что , можем записать
.
Интегрируя по частям, положив 
, найдём
Следовательно 
.
Итак, среднее квадратическое отклонение нормального распределения равно параметру .
 |
В случае если и нормальное распределение называют нормированным (или, стандартным нормальным) распределением. Тогда, очевидно, нормированная плотность (дифференциальная) и нормированная интегральная функция распределения запишутся соответственно в виде:
(Функция , как вам известно, называется функцией Лапласа (см. ЛЕКЦИЮ5) или интегралом вероятностей. Обе функции, то есть 
, табулированы и их значения записаны в соответствующих таблицах).
Свойства нормального распределения (свойства нормальной кривой):
1. Очевидно, функция на всей числовой прямой.
2. 
, то есть нормальная кривая расположена над осью Ох
.
3. 
, то есть ось Ох
служит горизонтальной асимптотой графика.
4. Нормальная кривая симметрично относительно прямой х = а (соответственно график функции симметричен относительно оси Оу ).
Следовательно, можем записать : .
5. 
.
6. Легко показать, что точки 
и 
являются точками перегиба нормальной кривой (доказать самостоятельно).
7. Очевидно, что
но, так как 
, то 
. Кроме того 
, следовательно, все нечётные моменты равны нулю.
Для чётных же моментов можем записать:
8. 
.
9. 
.
10. 
, где .
11. При отрицательных значениях случайной величины: , где .
13. Вероятность попадания случайной величины на участок, симметричный относительно центра распределения, равна:
ПРИМЕР 3 . Показать, что нормально распределённая случайная величина Х отклоняется от математического ожидания М (Х ) не более чем на .
Решение
. Для нормального распределения: 
.
Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала, а именно равна 0, 0027. Это означает, что лишь в 0,27% случаев так может произойти. Такие события, исходя из принципа невозможности маловероятных событий, можно считать практически невозможными.
Итак, событие с вероятностью 0,9973 можно считать практически достоверным, то есть случайная величина отклоняется от математического ожидания не более чем на .
ПРИМЕР 4 . Зная характеристики нормального распределения случайной величины Х - предела прочности стали: кг/мм 2 и кг/мм 2 , найти вероятность получения стали с пределом прочности от 31 кг/мм 2 до 35 кг/мм 2 .
Решение .
3. Показательное распределение (экспоненциальный закон распределения)
 |
Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х , которое описывается дифференциальной функцией (плотность распределения)
где - постоянная положительная величина.
Показательное распределение определяется одним параметром . Эта особенность показательного распределения указывает на его преимущество, по сравнению с распределениями, зависящими от большего числа параметров. Обычно параметры неизвестны и приходится находить их оценки (приближённые значения); разумеется, проще оценить один параметр, чем два, или три и т.д.
 |
Нетрудно записать интегральную функцию показательного распределения:
Мы определили показательное распределение при помощи дифференциальной функции; ясно, что его можно определить, пользуясь интегральной функцией.
Замечание
: Рассмотрим непрерывную случайную величину Т
- длительность времени безотказной работы изделия. Обозначим принимаемые её значения через t
, . Интегральная функция распределения 
определяет вероятность отказа
изделия за время длительностью t
. Следовательно, вероятность безотказной работы за это же время, длительностью t
, то есть вероятность противоположного события , равна
В статье подробно показано, что такое нормальный закон распределения случайной величины и как им пользоваться при решении практически задач.
Нормальное распределение в статистике
История закона насчитывает 300 лет. Первым открывателем стал Абрахам де Муавр, который придумал аппроксимацию еще 1733 году. Через много лет Карл Фридрих Гаусс (1809 г.) и Пьер-Симон Лаплас (1812 г.) вывели математические функции.
Лаплас также обнаружил замечательную закономерность и сформулировал центральную предельную теорему (ЦПТ ), согласно которой сумма большого количества малых и независимых величин имеет нормальное распределение.
Нормальный закон не является фиксированным уравнением зависимости одной переменной от другой. Фиксируется только характер этой зависимости. Конкретная форма распределения задается специальными параметрами. Например, у = аx + b – это уравнение прямой. Однако где конкретно она проходит и под каким наклоном, определяется параметрами а и b . Также и с нормальным распределением. Ясно, что это функция, которая описывает тенденцию высокой концентрации значений около центра, но ее точная форма задается специальными параметрами.
Кривая нормального распределения Гаусса имеет следующий вид.
График нормального распределения напоминает колокол, поэтому можно встретить название колоколообразная кривая . У графика имеется «горб» в середине и резкое снижение плотности по краям. В этом заключается суть нормального распределения. Вероятность того, что случайная величина окажется около центра гораздо выше, чем то, что она сильно отклонится от середины.
На рисунке выше изображены два участка под кривой Гаусса: синий и зеленый. Основания, т.е. интервалы, у обоих участков равны. Но заметно отличаются высоты. Синий участок удален от центра, и имеет существенно меньшую высоту, чем зеленый, который находится в самом центре распределения. Следовательно, отличаются и площади, то бишь вероятности попадания в обозначенные интервалы.
Формула нормального распределения (плотности) следующая.
Формула состоит из двух математических констант:
π – число пи 3,142;
е – основание натурального логарифма 2,718;
двух изменяемых параметров, которые задают форму конкретной кривой:
m – математическое ожидание (в различных источниках могут использоваться другие обозначения, например, µ или a );
σ 2 – дисперсия;
ну и сама переменная x , для которой высчитывается плотность вероятности.
Конкретная форма нормального распределения зависит от 2-х параметров: (m ) и (σ 2 ). Кратко обозначается N(m, σ 2) или N(m, σ) . Параметр m (матожидание) определяет центр распределения, которому соответствует максимальная высота графика. Дисперсия σ 2 характеризует размах вариации, то есть «размазанность» данных.
Параметр математического ожидания смещает центр распределения вправо или влево, не влияя на саму форму кривой плотности.
А вот дисперсия определяет остроконечность кривой. Когда данные имеют малый разброс, то вся их масса концентрируется у центра. Если же у данных большой разброс, то они «размазываются» по широкому диапазону.
Плотность распределения не имеет прямого практического применения. Для расчета вероятностей нужно проинтегрировать функцию плотности.
Вероятность того, что случайная величина окажется меньше некоторого значения x , определяется функцией нормального распределения :
Используя математические свойства любого непрерывного распределения, несложно рассчитать и любые другие вероятности, так как
P(a ≤ X < b) = Ф(b) – Ф(a)
Стандартное нормальное распределение
Нормальное распределение зависит от параметров средней и дисперсии, из-за чего плохо видны его свойства. Хорошо бы иметь некоторый эталон распределения, не зависящий от масштаба данных. И он существует. Называется стандартным нормальным распределением . На самом деле это обычное нормальное нормальное распределение, только с параметрами математического ожидания 0, а дисперсией – 1, кратко записывается N(0, 1).
Любое нормальное распределение легко превращается в стандартное путем нормирования:
где z
– новая переменная, которая используется вместо x;
m
– математическое ожидание;
σ
– стандартное отклонение.
Для выборочных данных берутся оценки:
Среднее арифметическое и дисперсия новой переменной z теперь также равны 0 и 1 соответственно. В этом легко убедиться с помощью элементарных алгебраических преобразований.
В литературе встречается название z-оценка . Это оно самое – нормированные данные. Z-оценку можно напрямую сравнивать с теоретическими вероятностями, т.к. ее масштаб совпадает с эталоном.
Посмотрим теперь, как выглядит плотность стандартного нормального распределения (для z-оценок ). Напомню, что функция Гаусса имеет вид:
Подставим вместо (x-m)/σ букву z , а вместо σ – единицу, получим функцию плотности стандартного нормального распределения :
График плотности:
Центр, как и ожидалось, находится в точке 0. В этой же точке функция Гаусса достигает своего максимума, что соответствует принятию случайной величиной своего среднего значения (т.е. x-m=0 ). Плотность в этой точке равна 0,3989, что можно посчитать даже в уме, т.к. e 0 =1 и остается рассчитать только соотношение 1 на корень из 2 пи.
Таким образом, по графику хорошо видно, что значения, имеющие маленькие отклонения от средней, выпадают чаще других, а те, которые сильно отдалены от центра, встречаются значительно реже. Шкала оси абсцисс измеряется в стандартных отклонениях, что позволяет отвязаться от единиц измерения и получить универсальную структуру нормального распределения. Кривая Гаусса для нормированных данных отлично демонстрирует и другие свойства нормального распределения. Например, что оно является симметричным относительно оси ординат. В пределах ±1σ от средней арифметической сконцентрирована большая часть всех значений (прикидываем пока на глазок). В пределах ±2σ находятся большинство данных. В пределах ±3σ находятся почти все данные. Последнее свойство широко известно под названием правило трех сигм для нормального распределения.
Функция стандартного нормального распределения позволяет рассчитывать вероятности.
Понятное дело, вручную никто не считает. Все подсчитано и размещено в специальных таблицах, которые есть в конце любого учебника по статистике.
Таблица нормального распределения
Таблицы нормального распределения встречаются двух типов:
— таблица плотности ;
— таблица функции (интеграла от плотности).
Таблица плотности используется редко. Тем не менее, посмотрим, как она выглядит. Допустим, нужно получить плотность для z = 1 , т.е. плотность значения, отстоящего от матожидания на 1 сигму. Ниже показан кусок таблицы.
В зависимости от организации данных ищем нужное значение по названию столбца и строки. В нашем примере берем строку 1,0 и столбец 0 , т.к. сотых долей нет. Искомое значение равно 0,2420 (0 перед 2420 опущен).
Функция Гаусса симметрична относительно оси ординат. Поэтому φ(z)= φ(-z) , т.е. плотность для 1 тождественна плотности для -1 , что отчетливо видно на рисунке.
Чтобы не тратить зря бумагу, таблицы печатают только для положительных значений.
На практике чаще используют значения функции стандартного нормального распределения, то есть вероятности для различных z .
В таких таблицах также содержатся только положительные значения. Поэтому для понимания и нахождения любых нужных вероятностей следует знать свойства стандартного нормального распределения .
Функция Ф(z) симметрична относительно своего значения 0,5 (а не оси ординат, как плотность). Отсюда справедливо равенство:
Это факт показан на картинке:
Значения функции Ф(-z) и Ф(z) делят график на 3 части. Причем верхняя и нижняя части равны (обозначены галочками). Для того, чтобы дополнить вероятность Ф(z) до 1, достаточно добавить недостающую величину Ф(-z) . Получится равенство, указанное чуть выше.
Если нужно отыскать вероятность попадания в интервал (0; z) , то есть вероятность отклонения от нуля в положительную сторону до некоторого количества стандартных отклонений, достаточно от значения функции стандартного нормального распределения отнять 0,5:
Для наглядности можно взглянуть на рисунок.
На кривой Гаусса, эта же ситуация выглядит как площадь от центра вправо до z .
Довольно часто аналитика интересует вероятность отклонения в обе стороны от нуля. А так как функция симметрична относительно центра, предыдущую формулу нужно умножить на 2:
Рисунок ниже.
Под кривой Гаусса это центральная часть, ограниченная выбранным значением –z слева и z справа.
Указанные свойства следует принять во внимание, т.к. табличные значения редко соответствуют интересующему интервалу.
Для облегчения задачи в учебниках обычно публикуют таблицы для функции вида:
Если нужна вероятность отклонения в обе стороны от нуля, то, как мы только что убедились, табличное значение для данной функции просто умножается на 2.
Теперь посмотрим на конкретные примеры. Ниже показана таблица стандартного нормального распределения. Найдем табличные значения для трех z : 1,64, 1,96 и 3.
Как понять смысл этих чисел? Начнем с z=1,64 , для которого табличное значение составляет 0,4495 . Проще всего пояснить смысл на рисунке.
То есть вероятность того, что стандартизованная нормально распределенная случайная величина попадет в интервал от 0 до 1,64 , равна 0,4495 . При решении задач обычно нужно рассчитать вероятность отклонения в обе стороны, поэтому умножим величину 0,4495 на 2 и получим примерно 0,9. Занимаемая площадь под кривой Гаусса показана ниже.
Таким образом, 90% всех нормально распределенных значений попадает в интервал ±1,64σ от средней арифметической. Я не случайно выбрал значение z=1,64 , т.к. окрестность вокруг средней арифметической, занимающая 90% всей площади, иногда используется для и расчета доверительных интервалов. Если проверяемое значение не попадает в обозначенную область, то его наступление маловероятно (всего 10%).
Для проверки гипотез, однако, чаще используется интервал, накрывающий 95% всех значений. Половина вероятности от 0,95 – это 0,4750 (см. второе выделенное в таблице значение).
Для этой вероятности z=1,96. Т.е. в пределах почти ±2σ от средней находится 95% значений. Только 5% выпадают за эти пределы.
Еще одно интересное и часто используемое табличное значение соответствует z=3 , оно равно по нашей таблице 0,4986 . Умножим на 2 и получим 0,997 . Значит, в рамках ±3σ от средней арифметической заключены почти все значения.
Так выглядит правило 3 сигм для нормального распределения на диаграмме.
С помощью статистических таблиц можно получить любую вероятность. Однако этот метод очень медленный, неудобный и сильно устарел. Сегодня все делается на компьютере. Далее переходим к практике расчетов в Excel.
Нормальное распределение в Excel
В Excel есть несколько функций для подсчета вероятностей или обратных значений нормального распределения.
Функция НОРМ.СТ.РАСП
Функция НОРМ.СТ.РАСП предназначена для расчета плотности ϕ(z ) или вероятности Φ(z) по нормированным данным (z ).
=НОРМ.СТ.РАСП(z;интегральная)
z – значение стандартизованной переменной
интегральная
– если 0, то рассчитывается плотность
ϕ(z
)
, если 1 – значение функции Ф(z), т.е. вероятность P(Z
Рассчитаем плотность и значение функции для различных z: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 (их укажем в ячейке А2).
Для расчета плотности потребуется формула =НОРМ.СТ.РАСП(A2;0). На диаграмме ниже – это красная точка.
Для расчета значения функции =НОРМ.СТ.РАСП(A2;1). На диаграмме – закрашенная площадь под нормальной кривой.
В реальности чаще приходится рассчитывать вероятность того, что случайная величина не выйдет за некоторые пределы от средней (в среднеквадратичных отклонениях, соответствующих переменной z
), т.е. P(|Z|
Определим, чему равна вероятность попадания случайной величины в пределы ±1z, ±2z и ±3z от нуля. Потребуется формула 2Ф(z)-1 , в Excel =2*НОРМ.СТ.РАСП(A2;1)-1.
На диаграмме отлично видны основные основные свойства нормального распределения, включая правило трех сигм. Функция НОРМ.СТ.РАСП – это автоматическая таблица значений функции нормального распределения в Excel.
Может стоять и обратная задача: по имеющейся вероятности P(Z
Функция НОРМ.СТ.ОБР
НОРМ.СТ.ОБР рассчитывает обратное значение функции стандартного нормального распределения. Синтаксис состоит из одного параметра:
=НОРМ.СТ.ОБР(вероятность)
вероятность – это вероятность.
Данная формула используется так же часто, как и предыдущая, ведь по тем же таблицам искать приходится не только вероятности, но и квантили.
Например, при расчете доверительных интервалов задается доверительная вероятность, по которой нужно рассчитать величину z .
Учитывая то, что доверительный интервал состоит из верхней и нижней границы и то, что нормальное распределение симметрично относительно нуля, достаточно получить верхнюю границу (положительное отклонение). Нижняя граница берется с отрицательным знаком. Обозначим доверительную вероятность как γ (гамма), тогда верхняя граница доверительного интервала рассчитывается по следующей формуле.
Рассчитаем в Excel значения z (что соответствует отклонению от средней в сигмах) для нескольких вероятностей, включая те, которые наизусть знает любой статистик: 90%, 95% и 99%. В ячейке B2 укажем формулу: =НОРМ.СТ.ОБР((1+A2)/2). Меняя значение переменной (вероятности в ячейке А2) получим различные границы интервалов.
Доверительный интервал для 95% равен 1,96, то есть почти 2 среднеквадратичных отклонения. Отсюда легко даже в уме оценить возможный разброс нормальной случайной величины. В общем, доверительным вероятностям 90%, 95% и 99% соответствуют доверительные интервалы ±1,64, ±1,96 и ±2,58 σ.
В целом функции НОРМ.СТ.РАСП и НОРМ.СТ.ОБР позволяют произвести любой расчет, связанный с нормальным распределением. Но, чтобы облегчить и уменьшить количество действий, в Excel есть несколько других функций. Например, для расчета доверительных интервалов средней можно использовать ДОВЕРИТ.НОРМ. Для проверки о средней арифметической есть формула Z.ТЕСТ.
Рассмотрим еще пару полезных формул с примерами.
Функция НОРМ.РАСП
Функция НОРМ.РАСП отличается от НОРМ.СТ.РАСП лишь тем, что ее используют для обработки данных любого масштаба, а не только нормированных. Параметры нормального распределения указываются в синтаксисе.
=НОРМ.РАСП(x;среднее;стандартное_откл;интегральная)
среднее – математическое ожидание, используемое в качестве первого параметра модели нормального распределения
стандартное_откл – среднеквадратичное отклонение – второй параметр модели
интегральная
– если 0, то рассчитывается плотность, если 1 – то значение функции, т.е. P(X
Например, плотность для значения 15, которое извлекли из нормальной выборки с матожиданием 10, стандартным отклонением 3, рассчитывается так:
Если последний параметр поставить 1, то получим вероятность того, что нормальная случайная величина окажется меньше 15 при заданных параметрах распределения. Таким образом, вероятности можно рассчитывать напрямую по исходным данным.
Функция НОРМ.ОБР
Это квантиль нормального распределения, т.е. значение обратной функции. Синтаксис следующий.
=НОРМ.ОБР(вероятность;среднее;стандартное_откл)
вероятность – вероятность
среднее – матожидание
стандартное_откл – среднеквадратичное отклонение
Назначение то же, что и у НОРМ.СТ.ОБР , только функция работает с данными любого масштаба.
Пример показан в ролике в конце статьи.
Моделирование нормального распределения
Для некоторых задач требуется генерация нормальных случайных чисел. Готовой функции для этого нет. Однако В Excel есть две функции, которые возвращают случайные числа: СЛУЧМЕЖДУ и СЛЧИС. Первая выдает случайные равномерно распределенные целые числа в указанных пределах. Вторая функция генерирует равномерно распределенные случайные числа между 0 и 1. Чтобы сделать искусственную выборку с любым заданным распределением, нужна функция СЛЧИС .
Допустим, для проведения эксперимента необходимо получить выборку из нормально распределенной генеральной совокупности с матожиданием 10 и стандартным отклонением 3. Для одного случайного значения напишем формулу в Excel.
НОРМ.ОБР(СЛЧИС();10;3)
Протянем ее на необходимое количество ячеек и нормальная выборка готова.
Для моделирования стандартизованных данных следует воспользоваться НОРМ.СТ.ОБР.
Процесс преобразования равномерных чисел в нормальные можно показать на следующей диаграмме. От равномерных вероятностей, которые генерируются формулой СЛЧИС, проведены горизонтальные линии до графика функции нормального распределения. Затем от точек пересечения вероятностей с графиком опущены проекции на горизонтальную ось.
Определение. Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью вероятности
Нормальный закон распределения также называется законом Гаусса .
Нормальный закон распределения занимает центральное место в теории вероятностей. Это обусловлено тем, что этот закон проявляется во всех случаях, когда случайная величина является результатом действия большого числа различных факторов. К нормальному закону приближаются все остальные законы распределения.
Можно легко показать, что параметры и , входящие в плотность распределения являются соответственно математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением случайной величины Х.
Найдем функцию распределения F(x) .
График плотности нормального распределения называется нормальной кривой или кривой Гаусса .
Нормальная кривая обладает следующими свойствами:
1) Функция определена на всей числовой оси.
2) При всех х функция распределения принимает только положительные значения.
3) Ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика плотности вероятности, т.к. при неограниченном возрастании по абсолютной величине аргумента х , значение функции стремится к нулю.
4) Найдем экстремум функции.
Т.к. при y’ > 0 при x < m и y’ < 0 при x > m , то в точке х = т функция имеет максимум, равный .
5) Функция является симметричной относительно прямой х = а , т.к. разность
(х – а ) входит в функцию плотности распределения в квадрате.
6) Для нахождения точек перегиба графика найдем вторую производную функции плотности.
При x = m + s и x = m - s вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки меняет знак, т.е. в этих точках функция имеет перегиб.
В этих точках значение функции равно .
Построим график функции плотности распределения.
Построены графики при т =0 и трех возможных значениях среднего квадратичного отклонения s = 1, s = 2 и s = 7. Как видно, при увеличении значения среднего квадратичного отклонения график становится более пологим, а максимальное значение уменьшается..
Если а > 0, то график сместится в положительном направлении, если а < 0 – в отрицательном.
При а
= 0 и s = 1 кривая называется нормированной
. Уравнение нормированной кривой: 
Для краткости говорят, что СВ Х подчиняется закону N(m, s), т.е. Х ~ N(m, s). Параметры m и s совпадают с основными характеристиками распределения: m = m X , s = s Х = . Если СВ Х ~ N(0, 1), то она называется стандартизованной нормальной величиной . ФР стандартизованной нормальной величиной называется функцией Лапласа и обозначается как Ф(x) . С ее помощью можно вычислять интервальные вероятности для нормального распределения N(m, s):
P(x 1 £ X < x 2) = Ф - Ф .
При решении задач на нормальное распределение часто требуется использовать табличные значения функции Лапласа. Поскольку для функции Лапласа справедливо соотношение Ф(-х) = 1 - Ф(х) , то достаточно иметь табличные значения функции Ф(х) только для положительных значений аргумента.
Для вероятности попадания на симметричный относительно математического ожидания интервал справедлива формула: P(|X - m X | < e) = 2×Ф(e/s) - 1.
Центральные моменты нормального распределения удовлетворяют рекуррентному соотношению: m n +2 = (n+1)s 2 m n , n = 1, 2, ... . Отсюда следует, что все центральные моменты нечетного порядка равны нулю (так как m 1 = 0).
Найдем вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону, в заданный интервал.
Обозначим 
Т.к. интеграл не выражается через элементарные функции, то вводится в рассмотрение функция
,
которая называется функцией Лапласа или интегралом вероятностей .
Значения этой функции при различных значениях х посчитаны и приводятся в специальных таблицах.
Ниже показан график функции Лапласа.
Функция Лапласа обладает следующими свойствами:
2) Ф(-х ) = - Ф(х );
Функцию Лапласа также называют функцией ошибок и обозначают erf x .
Еще используется нормированная функция Лапласа, которая связана с функцией Лапласа соотношением:
Ниже показан график нормированной функции Лапласа.
При рассмотрении нормального закона распределения выделяется важный частный случай, известный как правило трех сигм .
Запишем вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от математического ожидания меньше заданной величины D:
Если принять D = 3s, то получаем с использованием таблиц значений функции Лапласа:
Т.е. вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидание на величину, большую чем утроенное среднее квадратичное отклонение, практически равна нулю.
Это правило называется правилом трех сигм .
Не практике считается, что если для какой – либо случайной величины выполняется правило трех сигм, то эта случайная величина имеет нормальное распределение.
Пример. Поезд состоит из 100 вагонов. Масса каждого вагона – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожидание а = 65 т и средним квадратичным отклонением s = 0,9 т. Локомотив может везти состав массой не более 6600 т, в противном случае необходимо прицеплять второй локомотив. Найти вероятность того, что второй локомотив не потребуется.
Второй локомотив не потребуется, если отклонение массы состава от ожидаемого (100×65 = 6500) не превосходит 6600 – 6500 = 100 т.
Т.к. масса каждого вагона имеет нормальное распределение, то и масса всего состава тоже будет распределена нормально.
Получаем:
Пример. Нормально распределенная случайная величина Х задана своими параметрами – а =2 – математическое ожидание и s = 1 – среднее квадратическое отклонение. Требуется написать плотность вероятности и построить ее график, найти вероятность того, Х примет значение из интервала (1; 3), найти вероятность того, что Х отклонится (по модулю) от математического ожидания не более чем на 2.
Плотность распределения имеет вид:
Построим график:
Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал (1; 3).
Найдем вероятность отклонение случайной величины от математического ожидания на величину, не большую чем 2.
Тот же результат может быть получен с использованием нормированной функции Лапласа.
Лекция 8 Закон больших чисел (Раздел 2)
План лекции
Центральная предельная теорема (общая формулировка и частная формулировка для независимых одинаково распределенных случайных величин).
Неравенство Чебышева.
Закон больших чисел в форме Чебышева.
Понятие частоты события.
Статистическое понимание вероятности.
Закон больших чисел в форме Бернулли.
Изучение статистических закономерностей позволило установить, что при некоторых условиях суммарное поведение большого количества случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным (иначе говоря, случайные отклонения от некоторого среднего поведения взаимно погашаются). В частности, если влияние на сумму отдельных слагаемых является равномерно малым, закон распределения суммы приближается к нормальному. Математическая формулировка этого утверждения дается в группе теорем, называемой законом больших чисел .
ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ – общий принцип, в силу которого совместное действие случайных факторов приводит при некоторых весьма общих условиях к результату, почти не зависящему от случая. Первым примером действия этого принципа может служить сближение частоты наступления случайного события с его вероятностью при возрастании числа испытаний (часто использующееся на практике, например, при использовании частоты встречаемости какого-либо качества респондента в выборке как выборочной оценки соответствующей вероятности).
Сущность закона больших чисел состоит в том, что при большом числе независимых опытов частота появления какого-то события близка к его вероятности.
Центральная предельная теорема (ЦПТ) (в формулировке Ляпунова А.М. для одинаково распределенных СВ). Если попарно независимые СВ X 1 , X 2 , ..., X n , ... имеют одинаковый закон распределения с конечными числовыми характеристиками M = m и D = s 2 , то при n ® ¥ закон распределения СВ неограниченно приближается к нормальному закону N(n×m, ).
Следствие.
Если в условии теоремы СВ 
, то при n ® ¥ закон распределения СВ Y неограниченно приближается к нормальному закону N(m, s/ ).
Теорема Муавра-Лапласа. Пусть СВ К - число “успехов” в n испытаниях по схеме Бернулли. Тогда при n ® ¥ и фиксированном значении вероятности “успеха” в одном испытании p закон распределения СВ K неограниченно приближается к нормальному закону N(n×p, ).
Следствие. Если в условии теоремы вместо СВ К рассмотреть СВ К/n - частоту “успехов” в n испытаниях по схеме Бернулли, то ее закон распределения при n ® ¥ и фиксированном значении p неограниченно приближается к нормальному закону N(p, ).
Замечание. Пусть СВ К - число “успехов” в n испытаниях по схеме Бернулли. Законом распределения такой СВ является биноминальный закон. Тогда при n ® ¥ биноминальный закон имеет два предельных распределения:
n распределение Пуассона (при n ® ¥ и l = n×p = const);
n распределение Гаусса N(n×p, ) (при n ® ¥ и p = const).
Пример. Вероятность “успеха” в одном испытании всего лишь p = 0,8. Сколько нужно провести испытаний, чтобы с вероятностью не менее 0,9 можно ожидать, что наблюдаемая частота “успеха” в испытаниях по схеме Бернулли отклонится от вероятности p не более чем на e = 0,01?
Решение. Для сравнения решим задачу двумя способами.
Случайной, если в результате опыта она может принимать действительные значения с определёнными вероятностями. Наиболее полной, исчерпывающей характеристикой случайной величины является закон распределения. Закон распределения – функция (таблица, график, формула), позволяющая определять вероятность того, что случайная величина Х принимает определеное значение хi или попадает в некоторый интервал. Если случайная величина имеет данный закон распределения, то говорят, что она распределена по этому закону или подчиняется этому закону распределения.
Каждый закон распределения – это некоторая функция, полностью описывающая случайную величину с вероятностной точки зрения. На практике о распределении вероятностей случайной величины Х часто приходится судить только по результатам испытаний.
Нормальное распределение
Нормальное распределение , также называемое распределением Гаусса, - распределение вероятностей, которое играет важнейшую роль во многих областях знаний, особенно в физике. Физическая величина подчиняется нормальному распределению, когда она подвержена влиянию огромного числа случайных помех. Ясно, что такая ситуация крайне распространена, поэтому можно сказать, что из всех распределений, в природе чаще всего встречается именно нормальное распределение - отсюда и произошло одно из его названий.
Нормальное распределение зависит от двух параметров - смещения и масштаба, то есть, является, с математической точки зрения, не одним распределением, а целым их семейством. Значения параметров соответствуют значениям среднего (математического ожидания) и разброса (стандартного отклонения).
Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и стандартным отклонением 1.
Коэффициент асимметрии
Коэффициент асимметрии положителен, если правый хвост распределения длиннее левого, и отрицателен в противном случае.
Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то его коэффициент асимметрии равен нулю.
Выборочный коэффициент асимметрии используется для проверки распределения на симметричность, а также для грубой предварительной проверки на нормальность. Он позволяет отвергнуть, но не позволяет принять гипотезу нормальности.
Коэффициент эксцесса
Коэффициент эксцесса (коэффициент островершинности) - мера остроты пика распределения случайной величины.
«Минус три» в конце формулы введено для того, чтобы коэффициент эксцесса нормального распределения был равен нулю. Он положителен, если пик распределения около математического ожидания острый, и отрицателен, если вершина гладкая.
Моменты случайной величины
Момент случайной величины - числовая характеристика распределения данной случайной величины.
