Определение параметров простейших четырехполюсников. Рассмотрим схемы простейших четырехполюсников, которые изображены на рис. 5.7,а и б.
Рис. 5.7. Схемы простейших четырехполюсников.
На основании закона Кирхгофа для схемы (рис. 5.7,а) можно записать: U1= U2 + I2Z1; I1 = I2. На основании сравнения этих уравнений с уравнениями передачи в А-параметрах (5.7) для рассматриваемой схемы можно записать матрицу А-параметров:
Для схемы рис. 5.7,б на основании закона Кирхгофа запишем следующие уравнения: U1 = U2; I1 = U2/Z2 + I2 и поэтому матрица А-параметров будет иметь вид:
Зная матрицы А-параметров, используя таблицу пересчета (5.1), можно получить матрицы Y, Z и Н-параметров.
Используя схемы простейших четырехполюсников можно составить схемы типовых четырехполюсников.
Определение параметров типовых четырехполюсников. К типовым пассивным четырехполюсникам относятся Г-, Т-, П-образные схемы, которые изображены на рис. 5.8,а, б, в.
Рис. 5.8 Схемы Г-образного (а), Т-образного (б) и П-образного (в) четырехполюсников.
Г-образный четырехполюсник (рис. 5.8,а) получается путем каскадного соединения простейших четырехполюсников (рис. 5.7,а и б). Следовательно, его матрицуА-параметров можно получить перемножением матриц (5.71) и (5.72):
. (5.73)
Т-образный четырехполюсник (рис. 5.8,б) образуется путем каскадного соединения Г- образной схемы (рис. 5.8,а) с элементами Z1 и Z2 и схемы (рис. 5.7,а) с элементом Z3 в продольном плече. Тогда его матрица А-параметров определяется как произведение матриц Аг и матрицы (5.71), в которой Z1 заменено Z3.
Выполняя перемножение матриц Аг и А′1 получим:
. (5.74)
П-образный четырехполюсник (рис. 5.8,в) образуется путем каскадного соединения простейшего четырехполюсника (рис. 5.7,б) с элементомZ1 и Г-образного четырехполюсника (рис. 5.8,а) с элементами Z2 и Z3 в продольном и в поперечном плечах. Следовательно, его матрицу А-параметров можно получить перемножением матриц соединенных четырехполюсников, т.е.:
, (5.75)
Матрица А′г получена из (5.73) путем замены Z1 на Z2 и Z2 на Z3, а матрица А′2 - из (5.72) путем замены Z2 на Z1.
Зная А-параметры типовых четырехполюсников используя таблицу (5.1) можно определить другие интересующие нас параметры Г-, Т- и П-образных четырехполюсников.
При анализе сложных четырехполюсников необходимо выделить в их составе простейшие и типовые четырехполюсники и установить способы их соединения. После этого с помощью матричных методов расчета можно определить матрицы сложного четырехполюсника.
Экспериментальный способ определения параметров четырехполюсника. Если схема четырехполюсника неизвестна, то его параметры можно определить экспериментальным путем, используя режимы холостого хода и короткого замыкания.
Рис. 5.9. Схема для экспериментального определения параметров четырехполюсника.
Определим А-параметры четырехполюсника.
Для этого на входе четырехполюсника подключим вольтметр (V), амперметр (А) и фазометр (φ), как показано на рис. 5.9.
Переведем четырехполюсник в режим холостого хода по выходу (I2=0) и измерим с помощью приборов Iх.х.1, Uх.х.1 и φх.х.1.
В случае, когда I2 = 0 система А-параметров имеет вид.
Четырехполюсники.
Общая теория четырехполюсников.
Четырехполюсником называют часть электрической цепи, имеющей две пары зажимов, которые могут быть входными или выходными. К входным зажимам присоединяют источник питания, а к выходным зажимам – приемники энергии.
Теория четырехполюсников дает возможность единым методом анализировать электрические схемы большого объема.
Пассивный четырехполюсник – не содержащий источников энергии (ЛЭП, усилители).
Активный четырехполюсник – содержащий источники энергии.
Автономный четырехполюсник – у которого действие внутренних независимых источников энергии не компенсируется.
Линейные и нелинейные четырехполюсники.
Четырехполюсник является нелинейным, если в четырехполюснике имеется хотя бы один нелинейный элемент.
Симметричный и несимметричный четырехполюсник.
Симметричный четырехполюсник – это четырехполюсник, в котором перемена местами его входных и выходных зажимов не изменяет его входных и выходных токов и напряжений.
Уравнение линейного, пассивного четырехполюсника.
Зависимость между двумя напряжениями и двумя токами, определяющими на первичных и вторичных выводах, могут быть записаны в различных формах.
или в матричной форме
=А
,
где
и- матрицы-столбцы напряжения и тока на
первичных и вторичных выводах
соответственно
А=
-
квадратная матрица коэффициентов.
Всего можно записать 6 различных по форме, но по существу эквивалентных пар уравнений.
Y
=
или
=
Z
или
H
или
G
или
B
или
Эквивалентные четырехполюсники – четырехполюсники у которых при взаимной замене входные и выходные токи и напряжения не изменяются.
Линейный, пассивный четырехполюсник в установившемся синусоидальном режиме.
∆ 11 /∆;
∆=
;
∆ 11 =
;
∆ 11 /∆
-∆ 12 /∆
;
=∆ 21 /∆-∆ 22 /∆;
Y 11 =∆ 11 /∆;Y 12 =-∆ 12 /∆; Y 21 =∆ 21 /∆; Y 22 =-∆ 22 /∆;
;
Тогда получим:
;
Z 12 =-Z 21 ;Y 12 =-Y 21
;
Перейдем к системе А параметров
Подставляем полученный результат в (*):
Используя выражения (1) и (2) запишем систему:
,где
AD-BC=1 - уравнение связи для А параметров.
Таким образом, пассивный четырехполюсник характеризуется тремя независимыми параметрами, а четвертый определяется из этих независимых.
Экспериментальное определение параметров четырехполюсников.
Измерение параметров при Z пр =∞ I 2 =0 – опыт холостого хода(ХХ)
Измерение параметров при Z пр =0 U 2 =0 – опыт короткого замыкания(КЗ)
Особо важно при измерении параметров мощных устройств, так как мощность в опытах ХХ и КЗ меньше, чем в номинальном режиме.
При опытах холостого хода и короткого замыкания подводимая к первичным зажимам мощность идет только на покрытие потерь внутри четырехполюсника. При номинальном режиме она значительно больше, так как происходит передача энергии во вторичную цепь к приемнику.
Тогда для опыта
холостого хода имеем:
И для опыта короткого
замыкания:
Накладывая эти
режимы, получаем:
Из полученных выражений можно найти:
Z 1 K – сопротивление со стороны первичных зажимов, когда вторичные зажимы соединены накоротко; Z 10 – сопротивление со стороны первичных зажимов, когда вторичные разомкнуты.
Эквивалентные схемы четырехполюсников.
Пассивный четырехполюсник характеризуется только тремя независимыми параметрами, следовательно простейшая эквивалентная схема содержит три элемента.
|
Условие симметрии
четырехполюсника в А параметрах:
,что
соответствует:
для Т-образной
схемы
для П-образной
схемы
Х
Каскадное соединение нескольких четырехполюсников – называют цепной схемой, а отдельные четырехполюсники – звеньями этой цепной схемы.
Согласованием звеньев цепной схемы с сопротивлением источника ЭДС, звеньев между собой и звеньев с сопротивлением нагрузки называют случай, когда одновременно имеют место следующие условия:
Z вых(k+1) =Z вх(k+1)
Z вых(n+1) =Z n
Для определения входного и выходного сопротивления разорвем цепную схему по АА’ , тогда сопротивления цепи для обеих частей будут Z вх k и Z вых(k -1) (ЭДС закорочено, Z 1 – оставлено)
При соблюдении условий согласования, сопротивления Z k вх иZ (k +1)вых называют входным и выходным характеристическими сопротивлениями k-ого звена четырехполюсника.
Соединение всех четырехполюсников цепной схемы при указанных условиях называют характеристически согласованным соединением.
Так как Z k вых =Z k вх, то можно Z kc =Z kc .
Рассмотрим первый четырехполюсник цепной системы:
тогда
Для обратного четырехполюсника можно записать:
Решаем совместно последние равенства:
В этом случае характеристическое сопротивление называют повторным.
Необходимо ввести еще один параметр, связывающий процессы на входе и на выходе:
-
мера передачи.
Выразим меру передачи из А параметров:
Для симметричного четырехполюсника имеем:
ln(U 1 e jψ 1)/(U 1 e jψ 2)=ln[(U 1 /U 2)e j(ψ 1 -ψ 2) ]=ln(U 1 /U 2)+j(ψ 1 -ψ 2)=α+jβ
где α=ln
- коэффициент затухания,
β=ψ 1 -ψ 2 – коэффициент фазы(на сколько изменился сдвиг фаз) [рад].
Единица измерения затухания Непер [Нп].
1Нп означает, что напряжение U 2 меньше U 1 в е раз, т.е. 2,718
α=20lg(U 1 /U 2) [дБ]-децибел
α=1 U 1 /U 2 =10 1/20 =1,12
Определение характеристических параметров через опыты ХХ и КЗ.
XX
наложим режимы КЗ и ХХ друг на друга:
Уравнение четырехполюсника, записанное через гиперболические функции.
Для симметричного
четырехполюсника А форму записывают
через гиперболические функции от
аргумента
Соединение четырехполюсников
(продолжение).
а
.
Каскадное соединение
Задача: определение параметров эквивалентного четырехполюсника.
Кроме условий (*),(**) справедливы:
В матричной форме имеем:
б. Параллельное соединение
в. Последовательное соединение
Исследование режима работы сложной электрической цепи часто сводится к установлению связи между токами, напряжениями и мощностями различных ее участков или ветвей. При этом режим остальной части цепи может оставаться неизвестным, хотя все ее параметры учитываются при решении задачи.
В таких условиях рассматриваемая цепь может определяться обобщенными параметрами на соответствующих зажимах, относительно которых параметры заданы или должны быть найдены.
Часть цепи, которая характеризуется обобщенными параметрами, необходимыми и достаточными для составления уравнений связи между токами и потенциалами на ее зажимах, называется многополюсником. Число полюсов многополюсника равно числу зажимов на границе данной части цепи. Многополюсники часто условно изображаются в виде прямоугольников с соответствующим числом зажимов-полюсов. Так, на рис. 8-1 показано условное изображение пассивного двухполюсника, на рис. 8-2 изображен трехполюсник, а на рис. 8-3 - четырехполюсник.
Практически при исследовании электрических цепей чаще приходится пользоваться двухполюсниками, трехполюсниками и четырехполюсниками
с фиксированными зажимами для присоединения источников электрической энергии и приемников. Четырехполюсники, не содержащие в своих ветвях источников энергии, называются пассивными, к числу которых относятся, например, линии передачи электрической энергии и трансформаторы. Четырехполюсники, содержащие в своих ветвях источники энергии, называются активными.
Для изучения теории и методов расчета режимов пассивных четырехполюсников рассмотрим схему с двумя источниками энергии.
Выделим две ветви с источниками (рис. 8-4). Тогда остальную часть схемы можно рассматривать как пассивный четырехполюсник с первичными - входными зажимами и вторичными - выходными зажимами при этом внутренние сопротивления источников энергии отнесены внутрь четырехполюсника. Положительные направления токов в этих ветвях и напряжений на их зажимах выбраны в соответствии с направлениями э. д. с. (рис. 8-4).
Пользуясь методом контурных токов (при выбранных положительных направлениях токов и напряжений ), напишем следующие уравнения:
где при (питание четырехполюсника со стороны первичных зажимов и разомкнутые вторичные); при (питание четырехполюсника со стороны вторичных зажимов и разомкнутые первичные).
Форма записи уравнений (8-1) называется формой Z. Эти уравнения можно записать и в матричной форме:
Если из уравнений (8-1) выразить токи Д и А через напряжения то получаются следующие уравнения:
Уравнения (8-2) могут быть получены и непосредственно из схемы рис. 8-4 методом узловых потенциалов. Форма записи уравнений (8-2) называется формой Y; эти уравнения можно записать также в матричной форме:
Для анализа четырехполюсника с транзисторами (см. гл. 9) часто применяются уравнения с так называемыми смешанными (гибридными) параметрами, в которых независимыми переменными являются напряжение и ток , а зависимыми - напряжение и ток . Эти уравнения легко получаются из (8-1) в следующем виде:
Аналогично (8-1а) и (8-2а) уравнения (8-3), которые называются формой Н, можно записать в матричной форме:
Для исследования режимов четырехполюсников при их каскадном соединении целесообразно иметь такую форму уравнений, в которой напряжение и ток выражены через напряжение и ток . С этой целью по теореме о компенсации заменим падением напряжения в сопротивлении от тока , направленного навстречу (рис. 8-5). Эту схему сможно рассматривать и как четырехполюсник с источником э. д. с. на входных зажимах и сопротивлением нагрузки на выходных.
В связи с изменением положительного направления тока (рис. 8-5) в уравнениях (8-2) для этой схемы изменится знак перед током :
В результате совместного решения уравнений (8-5) относительно получим:
где - безразмерная величина;
Имеет размерность сопротивления;
Имеет размерность проводимости;
Безразмерная величина.
Форма записи уравнений (8-6) называется формой А.
Коэффициенты четырехполюсника А, В, С и D связаны между собой соотношением
Введение
В различных областях электротехники особенно часто применяются аппараты и устройства с двумя парами выводов, при помощи которых они соединяются с другими участками электронной цепи, т.е. четырёхполюсники.
На практике четырёхполюсники и цепи, которые целесообразно представлять состоящими из нескольких четырёхполюсников, применяются, прежде всего, для передачи и преобразования электрических сигналов, несущих информацию. Тракт передачи информации, или канал связи, как правило, состоит из ряда четырёхполюсников, включённых между генератором (передатчиком) сигналов и приёмником сигналов. В тракт передачи обычно входят: линия связи генератора и приёмника, находящихся часто на значительных расстояниях один от другого; усилители, в которых увеличивается мощность; аттенюаторы (ослабители) для снижения уровня сигналов; фильтры для разделения сигналов; корректирующие контуры, включаемые для устранения искажений сигналов; трансформаторы, при помощи которых изменяются сопротивления отдельных участков тракта передачи информации, и устраняется гальваническая связь между этими участками.
Таким образом, теория четырёхполюсников даёт возможность единым методом анализировать системы, самые различные по структуре и принципу действия. Кроме того, сложная цепь расчленяется на более простые части, характеристики которых дают полное представление о режиме работы всей цепи.
1. Основные уравнения четырёхполюсника
четырехполюсник электрический расчет
Четырехполюсником называют электрическую схему, имеющую два входных и два выходных режима. Трансформатор, линию передачи энергий, мостовую схему и т. п. можно рассматривать как четырехполюсник.
Рисунок 1 - положительные направления для токов и напряжений в активном четырехполюснике
Принято изображать четырёхполюсник в виде прямоугольника с выходящими из него концами (полюсами) mn и pq (рисунок 1). Если четырёхполюсник содержит источники электрической энергии, то в прямоугольнике ставят букву А (активный); если буква А отсутствует, то это значит, что четырёхполюсник пассивный. Входной ток обозначают, входное напряжение; ток и напряжение на выходе - и.
Четырёхполюсник является передаточным звеном между источником питания и нагрузкой. К входным зажимам mn, как правило, присоединяется источник питания; к выходным зажимам pq - нагрузка.
Предполагается, что нагрузка четырёхполюсника и напряжение на входе при работе четырёхполюсника в качестве связующего звена могут изменяться, но схема внутренних соединений четырёхполюсника и сопротивления в ней остаются неизменными.
Для любого пассивного линейного четырёхполюсника напряжение и ток на входе и связаны с напряжением и током на выходе и двумя основными уравнениями:
В этих уравнениях комплексные коэффициенты A, B, C, D зависят от схемы внутренних соединений четырёхполюсника, от значений сопротивлений схемы и от частоты. Для каждого четырёхполюсника их можно определить расчетным или опытным путём. Коэффициенты связаны соотношением:
Форма записи уравнений (1) называют формой А.
Помимо А-формы для расчёта токов и напряжений в четырёхполюснике используются и другие формы записи уравнений. К ним относятся:
Обратим внимание на попарную инверсию Y- и Z-форм, А- и В-форм, Н- и G-форм.
Исторически сложилось так, что для А-формы (её считают основной) положительные направления для токов и напряжений соответствуют рисунку 1, а для Y-, Z-, H-, G-форм - рисунок 2, а, В-форме - рисунок 2,б.
Рисунок 2 - положительные и отрицательные направления токов и напряжений в четырехполюсниках
Четырёхполюсник называют симметричным, если при замене первичных зажимов вторичными токи источника и приёмника не изменяются. Уравнения симметричного четырёхполюсника должны остаться неизменными при взаимной первичных и вторичных зажимов. Поэтому A = D и разметка первичных и вторичных зажимов для симметричного четырёхполюсника не обязательна. Все четырёхполюсники, не удовлетворяющие этому условию, называют несимметричными.
Комплексные коэффициенты при всех формах записи уравнений зависят от величин сопротивлений или проводимостей ветвей четырехполюсника, схемы четырехполюсника, а также от частоты источника питания. Соотношения между коэффициентами четырехполюсника при различной форме записи уравнений даны в таблице 1. В этой таблице определители матриц Z, Y, H и A находятся по формулам:
Таблица 1
Определяемые параметрыИзвестные параметрыYZHAB Y Z
2. Определение коэффициентов четырёхполюсника
Комплексные коэффициенты несимметричного пассивного четырёхполюсника определяют опытным путем или расчётом, причём в последнем случае величины сопротивлений или проводимостей ветвей, составляющих четырёхполюсники, и схема их соединений должны быть известны. Из выражений для коэффициентов А, В, С, D следует, что их значения получаются различного сочетания трёх постоянных величин: Z11 (входного сопротивления со стороны зажимов mn при разомкнутых зажимах pq); Z22 (входного сопротивления со стороны зажимов pq при разомкнутых зажимах mn) и Z12 = Z21 (взаимного сопротивления). Таким образом, для экспериментального определения этих коэффициентов достаточно иметь данные опытов, которые в той или форме определяют комплексные величины Z11, Z22 и Z12 = Z21 или другие комплексные величины, через которые искомые коэффициенты могут быть выражены.
Если одновременно можно измерить как первичные (и), так и вторичные (и) комплексные величины, то для определения коэффициентов А, В, С и D достаточно иметь данных только двух опытов. Проще всего значения этих коэффициентов вычисляются по данным опытов при (режим холостого хода) или (режим короткого замыкания).
При режиме х. х. первичные напряжение и ток определяются из уравнений
и, откуда, .
Входное сопротивление со стороны первичных зажимов при х.х.
При режиме к.з. на вторичных зажимах
и, откуда, .
Входное сопротивление со стороны первичных зажимов при к.з. вторичных
Следовательно, измерив величины и фазы, и при х.х., а также, и при к.з., можно определить все коэффициенты четырёхполюсника.
Различные формы записи уравнений четырёхполюсника. Соединение четырёхполюсника
Ту или иную форму записи уравнений применяют, исходя из соображений удобства. Так, в теории синтеза цепей используют обычно Y- или Z-форму записи. Параметры транзисторов для малых переменных составляющих дают в Y-, H- или Z-форме, так как в этих формах их удобнее определить опытным путём.
При нахождении связи между входными и выходными величинами различным образом соединённых четырёхполюсников (при определении коэффициентов эквивалентного четырёхполюсника) используют Z-, H-, G- и А-формы.
Рисунок 3 - виды соединения четырехполюсников
При последовательном соединении четырёхполюсников а и б (рис. 3, а) применяют Z-форму, при параллельном соединении (рис.3, б) - Y-форму, при последовательно-параллельном (рис. 3, в) - Н-форму, при параллельно-последовательном (рис.3, г) - G-форму, при каскадном соединении (рис. 3, д) - А-форму.
Форму записи уравнений выбирают, исходя из удобства получения матрицы составного четырёхполюсника. Так, Z-матрица последовательно соединённых четырёхполюсников равна сумме Z-матриц этих четырёхполюсников, так как напряжение на входе (выходе) эквивалентного четырёхполюсника равно сумме напряжений на входе (выходе) составляющих его четырёхполюсников, а токи соответственно на входе (выходе) у последовательно соединённых четырёхполюсников одинаковы. матрица параллельно соединённых четырёхполюсников равна сумме их Y-матриц, так как ток на входе (выходе) эквивалентного четырёхполюсника равен сумме токов на входе (выходе) параллельно соединённых четырёхполюсников, а напряжения на входе (выходе) у них одинаковы.
Аналогично, и в отношении Н-матрицы при параллельно-последовательных соединениях четырёхполюсников. При каскадном соединении ток и напряжение на выходе первого четырёхполюсника равны входному току и напряжению второго четырёхполюсника, поэтому А-матрица двух каскадно соединённых четырёхполюсников а и б равна произведению А-матриц этих четырёхполюсников:
При параллельном, последовательном, параллельно-последовательном и последовательно-параллельном соединениях необходимо соблюдать условие регулярности соединения четырёхполюсников - через оба первичных зажима каждого четырёхполюсника должны течь равные по значению и противоположные по направлению токи; то же и по отношению и к вторичным зажимам.
При регулярном соединении матрица каждого четырёхполюсника должна оставаться такой же, какой она было до соединения четырёхполюсников. Пример нарушения условия регулярности при последовательном соединении показан на рисунке 4,а. Так соединять четырёхполюсники 1 и 2 нельзя, поскольку входные зажимы второго четырёхполюсника оказались накоротко соединёнными с его выходными зажимами.
Регулярное соединение тех же четырёхполюсников показано на рисунке 4,б - перекрещены обе пары концов второго четырёхполюсника (при перекрещивании обеих пар концов все элементы любой матрицы остаются неизменными).
Рисунок 4 - регулярные соединения четырехполюсников
Применение четырёхполюсников
Четырёхполюсники широко применяются в электронике. С их помощью можно преобразовывать ток, напряжение, сдвиг фаз между ними. Между тем в качестве четырёхполюсников можно рассматривать такие приборы как трансформаторы, транзисторы и для них рассчитывать параметры различных форм, чтобы облегчить расчёты схем.
Моделирование
Определить A-параметры трансформатора на рис. 5, а также рассчитать Z-параметры, если R1 = 10 Ом; Х1 = 60 Ом; R2 = 8 Ом; Х2 = 40 Ом; ХМ = 30 Ом.
Рисунок 5 - трансформатор
Основные уравнения для A-параметров:
Определим эти параметры по второму закону Кирхгофа:
Упростим выражение, заменив, получим:
где проведём аналогичную замену, т.е.
Отсюда
Получаем следующие коэффициенты:
Теперь запишем уравнения для Z-параметров:
Подставим найденные значения в уравнения (2):
Рисунок 6 - четырехполюсник
Уравнения для Y-параметров:
Для начала мы преобразуем П-схему четырёхполюсника в эквивалентную ей звезду:
Рисунок 7 - П-схема эквивалентная схеме на рис. 6
Найдем сопротивления эквивалентной цепи:
Для решения задачи воспользуемся режимом короткого замыкания:
Рисунок 8 - режим короткого замыкания
Следовательно, из уравнений (1) получим:
Из схемы видно, что напряжение можно найти по второму закону Кирхгофа:
Ток найдём по первому закону Кирхгофа:
Из этого уравнения выразим ток:
Подставим (3) в (2):
Найдем коэффициент:
Аналогично находим остальные коэффициенты уравнения (1):
Чтобы найти коэффициент произведем режим к.з. в обратную сторону, тогда
Промоделируем данную схему в программе Electronics Workbench.
Проведем опыт короткого замыкания:
Чтобы убедиться в правильности схемы, рассчитаем ток.
Исходные данные:
Рассчитаем полное сопротивление цепи:
Подставим численные значения:
Ток получился приблизительно равный току, который мы получили при моделировании данной схемы.
Заключение
Таким образом, в ходе проведения курсового исследования мы рассмотрели теорию четырёхполюсников, определяли формы записи и постоянные коэффициенты четырёхполюсника, сделали моделирование и проверили расчетным путем его достоверность. Также были решены задачи по нахождению постоянных коэффициентов для различных схем.
Список литературы
1.Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Теория четырёхполюсников/ Л.А. Бессонов.- 6-е изд., перераб. и доп. Учебник для студентов энергетических и электротехнических вузов. М.:Высшая школа, 1973. - 752 с.
.Ионкин П.А. Теоретические основы электротехники. Т. I. Основы теории электрических цепей: теория четырёхполюсников/ П.А. Ионкин, А.И.
.Даревский, Е.С. Кухаркин. Учебник для электротехн. вузов. - 2-е изд., перераб. и доп. М.:Высшая школа, 1976. - 544 с.
.Бессонов Л.А. Сборник задач по теоретическим основам электротехники: Учеб. пособие/ Л.А. Бессонов, И.Г. Демидова, М.Е. Заруди.- 2-е изд., перераб. и доп. М.:Высшая школа, 1980. - 472 с.
.Галас В.П. Моделирование и анализ электрических схем в среде EWB: Практикум для студентов / В.П. Галас. Владим. Гос. ун-т.; Владимир,2003. -52 с.
Основы теории четырехполюсников
7.1. Основные определения. Уравнения и параметры четырехполюсника
Теория четырехполюсников – это один из способов описания электрической цепи, когда схема электрической цепи может быть не известна. В теории четырехполюсников электрическую цепь заменяют «черным ящиком» с четырьмя выводами, два из которых являются входными (1, 1 1), а два других – выходными (2, 2 1).
Режим работы цепи и все ее параметры известны (можно рассчитать), если известны входные и выходные токи и напряжения. При этом:
Однако это бывает излишнем, теория четырехполюсников позволяет описывать электрическую цепь, для которой известны две из этих четырех величин и параметры четырехполюсника определенные в режиме короткого замыкания и холостого хода на входе и выходе цепи. Две известные величины называют воздействием, обозначим их Х 1 , Х 2 (это независимые переменные), а две другие откликом, обозначим их Y 1 , Y 2 (это зависимые переменные, т. е. функции).
Уравнения, устанавливающие связь между откликами и воздействиями называют основными уравнениями четырёхполюсника . В общем виде, их можно записать, как две некоторые функции f 1 и f 2 от (х 1 и х 2), однако для линейных цепей, в соответствии с принципом суперпозиции, эти функции обращаются в линейную комбинацию переменных (х1 и х2)
Коэффициенты L 11, L 12 , L 21 , L 22 , входящие в основные уравнения четырехполюсника, называются параметрами четырехполюсника. В зависимости от того, что считать воздействием (аргументами) Х 1 , Х 2 и что откликом (функциями) Y 1 , Y 2 (см. табл.7.1), можно записать шесть пар основных уравнений четырехполюсника.
Таблица 7.1.
|
Воздействие |
||||||
|
Параметры |
7.2. Z – параметры четырехполюсника
Связь между напряжениями, токами и Z – параметрами получают из уравнений U 1 =f 1 (I 1 ,I 2), U 2 =f 2 (I 1 ,I 2). Если считать четырехполюсник линейным, то в силу принципа суперпозиции, функции представляют собой линейную комбинацию аргументов т. е.
Коэффициенты, входящие в эти уравнения имеют размерность сопротивлений и называются Z – параметрами, а сами уравнения - уравнениями четырехполюсника с Z – параметрами. Эти параметры имеют следующие названия:
- входное сопротивление при режиме
холостого хода (Х.Х) на выходе;
-сопротивление
обратной передачи при Х.Х. на входе;
-
сопротивление прямой передачи при Х.Х. на выходе;
- выходное сопротивление при Х.Х. на
входе.
В общем случае, приналичие в схеме реактивных элементов эти сопротивления являются комплексными.
Полученную систему уравнений можно записать в матричной форме
где (I)=(I 1 ,I 2) т – матрица-столбец заданных токов, (U)=(U 1 ,U 2) т – матрица-столбец напряжений на выводах четырехполюсника,
- матрица сопротивлений
четырехполюсника.
Аналогично можно записать и остальные уравнения четырехполюсника.
Например: Y -параметры. Основные уравнения четырехполюсника в y-параметрах записываются как
а Y -параметры имеют следующие названия:
-
входная проводимость в режиме короткого замыкания на выходе;
-
проводимость обратной передачи в режиме короткого замыкания на входе;
-
проводимость прямой передачи при коротком замыкании на выходе;
-
выходная проводимость в режиме короткого замыкания на входе.
Причем 
, т.к. они определены при разных
режимах.
Параметры различных систем уравнений относящиеся к одному четырехполюснику взаимосвязаны, т.е. любой из параметры одной системы уравнений (например z-параметры) могут быть выражены через параметры другой системы (например у, h, g и т.д.). Кроме того, все параметры четырехполюсника связаны с функциями цепи.
7.3. Связь между функциями цепи и параметрами
четырёхполюсника
К основным параметрам (функциям) электрической цепи относят 
. Покажем, что все они могут быть
выражены через Z - параметры четырёхполюсника: 
.
Так как функции цепи и Z-параметры четырехполюсника характеризуют свойства
одного и того же четырёхполюсника, то все они связаны между собой. Установим
связь между функциями цепи и параметрами четырёхполюсника.
Запишем основные уравнения в Z – параметрах и
закон Ома для Zн и обозначим, записанные уравнения как (1), (2), (3).
(1);
(2);
(3).
Подставим (3) ® (2). Получим
.
Электрическая схема реального четырёхполюсника может быть сложной или даже недоступной, например, транзистор. Поэтому представляет интерес замена схемы реальной электрической цепи некоторой простой эквивалентной схемой.
Схемы называются эквивалентными , если при их взаимной замене входные и выходные токи и напряжения не изменяются. Эквивалентные схемы можно составлять разными способами:
1) по заданной топологии (по расположению элементов) электрической цепи;
3) по основным уравнениям четырехполюсника, такие схемы называют формальными схемами замещения.
3) по физической модели – это физическая схема замещения
7.4.1. Схемы замещения по заданной топологии
Обычно, в качестве эквивалентных схем выбирают схемы с минимальным числом элементов. Наиболее распространены Т-, П- и Г- образные схемы замещения (рис.7.3).
