Лекции по ТОЭ/ №77 Определение коэффициентов четырехполюсника.
Коэффициенты четырехполюсника могут быть определены расчетным или экспериментальным путем. Если известна внутренняя структура (схема) четырехполюсника и параметры отдельных элементов, то коэффициенты четырехполюсника определяются расчетным путем по одному из двух методов.
Сущность первого метода состоит в том, что сложная схема четырехполюсника путем последовательных преобразований сворачивается к простейшей Т- или П-образной схеме. Коэффициенты четырехполюсника определяются по соответствующим формулам, полученным ранее для этих схем.
Пусть требуется определить коэффициенты четырехполюсника, схема которого приведена на рис. 77.1.
Выполняется первое преобразование: треугольник Z 2 , Z 3 , Z 4 преобразуется в эквивалентную звезду Z 6 , Z 7 , Z 8 (рис. 77.2):
Затем выполняются последовательные преобразования Z 1э =Z1+Z6, Z 2э =Z7+Z5, Y0=1/Z8, после чего схема получает стандартный Т-образный вид (рис. 77.3):
Коэффициенты четырехполюсника находятся по формулам для Т-схемы:
Сущность второго метода заключается в том, что коэффициенты четырехполюсника определяются через его входные сопротивления со стороны входных (Z 1X и Z 1K) и выходных (Z 2X и Z 2K) выводов в режимах холостого хода и короткого замыкания на противоположной стороне. Значения этих сопротивлений рассчитываются аналитически методом свертки схемы четырехполюсника в соответствующем режиме (х.х. или к.з.) относительно его выводов.
При питании четырехполюсника со стороны первичных выводов применяются уравнения формы А:
В режиме холостого хода на вторичной стороне I 2X = 0, а в режиме короткого замыкания U 2K = 0. Из уравнений следует:
При питании четырехполюсника со стороны вторичных выводов применяются уравнения формы В:
В режиме холостого хода на первичной стороне I 1X = 0, а в режиме короткого замыкания - U 1K = 0. Из уравнений следует:
Совместное решение полученных уравнений позволяет установить связь между входными сопротивлениями четырехполюсника в режиме холостого хода и короткого замыкания, но не дает возможности определить его коэффициенты:
Для определения коэффициентов четырехполюсника берут любые три из четырех уравнений для входных сопротивлений и дополняют их уравнением связи между коэффициентами A D -B C = 1, после чего решают полученную систему из четырех уравнений. В качестве примера возьмем уравнения для Z 1X , Z 2X и Z 2K , тогда получим:
Из уравнений (1), (2) и (3) делаем подстановку в уравнение (4), получим:
Остальные коэффициенты (B, C, D) получим путем подстановки найден¬ного значения А в уравнения (1), (2) и (3).
При извлечении квадратного корня получаются два значения коэффициента А и, соответственно, всех остальных коэффициентов, отличающиеся знаком (+ или -) или аргументом в ±180.
Двойственность решения объясняется тем фактом, что входные сопротивления любой цепи, в том числе четырехполюсника, не зависят от полярности выводов. С другой стороны, изменения полярности двух выводов четырехпо¬люсника (1 ↔ 1" или 2 ↔ 2") приводит к изменению знаков перед всеми его коэффициентами. Таким образом, для утверждения знаков перед коэффициентами необходимы дополнительные исследования.
Входные комплексные сопротивления четырехполюсника могут быть измерены экспериментально по схеме рис. 77.4:
Комплексное входное сопротивление цепи находится по формуле:
Желаем удачного изучения материала и успешной сдачи!
Так как пассивный четырехполюсник характеризуется только тремя независимыми параметрами, то простейшая эквивалентная схема четырехполюсника должна содержать три элемента.
На рис. 11.3а изображена Т-образная эквивалентная схема четырехполюсника, на рис. 11.3б – П-образная эквивалентная схема.
Выразим U 1 и I 1 через U 2 и I 2 для Т-образной эквивалентной схемы и сопоставим эти выражения с уравнениями четырехполюсника в системе А-параметров:
Рис. 11.3. Т-образная (а) и П-образная (б) схемы четырехполюсников
Связь между параметрами четырехполюсника и его эквивалентной Т-образной схемы
Аналогично для П-образной эквивалентной схемы
.
Следовательно,
Для симметричного четырехполюсника A = D, Z 1 = Z 2 и Y 1 = Y 2 .
4)Характеристическое сопротивление и постоянная передачи симметричного четырёхполюсника.
Характерестическое
сопротивление, оно равно входному
сопротивлению со стороны первичных
зажимов, если вторичные замкнуты на
сопротивление ,
или, наоборот, как входное сопротивление
со стороны вторичных зажимов, если
первичные замкнуты на сопротивление
.
;
;
A=0,
;
– характеристическое сопротивление
g-постоянная передачи – комплексная величина, которая показывает изменение комплексного выходного напряжения к отношению комплекса входного напряжения
a-коэффициент затухания, он показывает, как изменяется амплитуда напряжения при прохождении через четырёхполюсник.
a [Непер] а=
b – коэффициент фазы, показывает изменение фазы колебания при прохождении сигнала через четырёхполюсник.
b [Рад][град]
5) Цепные схемы
Четырехполюсники соединяются различными способами. Чаще всего встречается каскадное соединение, при котором входные выводы одного четырехполюсника соединяются с выходными выводами другого. Если каскад соединяет несколько одинаковых четырехполюсников, то каскадное соединение называют однородной цепной схемой, или однородной цепочкой. Такой цепочкой заменяют, например, линии передачи сигналов или электроэнергии при лабораторных исследованиях процессов, происходящих в реальных линиях; из одинаковых четырехполюсников собирают цепные схемы для получения коротких импульсов и для увеличения времени движения сигнала от источника к приемнику (линии задержки).
Рисунок – цепная схема
Цепная схема, состоящая из одинаковых симметричных пассивных четырехполюсников, также является симметричным пассивным четырехполюсником.
Следовательно, ее свойства определяются двумя коэффициентами или параметрами, например, характеристическим сопротивлением и постоянной передачи.
Определяя последовательно входные сопротивления всех звеньев, получаем, что входное сопротивление любого звена, в том числе и первого, равно ZС. Значит входное сопротивление цепочки также равно ZС, т.е. при Zн = ZС цепочка согласована с сопротивлением нагрузки и характеристическое сопротивление цепочки Zц = ZС.
Постоянная передачи цепочки
Отношение напряжений и токов на входе и выходе цепочки можно выразить через напряжения или токи на входе и выходе промежуточных звеньев. При этом:
Сумма состоит из n слагаемых. Каждое слагаемое представляет собой постоянную передачу звена, так как при согласованной нагрузке Zн =Zц = ZС и каждое звено имеет согласованную нагрузку, поэтому
При соединении в каскад несимметричных четырехполюсников возможны два различных режима работы.
В первом случае соединение выполняется по принципу согласования. Тогда постоянная передачи цепи равна сумме постоянных передачи всех четырехполюсников:
Во втором случае соединение состоит из четырехполюсников, для которых не выполняются условия согласования. Тогда расчет производят через коэффициенты уравнений типа А.
ПРИМЕР
Вычислить если напряжение и ток состоят из двух гармоник: 1-й и 3-й. известны действующие значения гармоник напряжения и тока , а также угля сдвига фаз между гармониками напряжения и тока .
В этом случае мощности будут равны:
;
Очевидно, что только при условиях и . Оба эти условия выполняются только при чисто активном сопротивлении приёмника, то есть при одинаковых формах кривых тока и напряжения.
6.4 Высшие гармоники в трёхфазных цепях
Э.Д.С. каждой фазы трёхфазного трансформатора или трёхфазного генератора часто оказываются несинусоидальными. Каждая Э.Д.С. повторяет по форме остальные со сдвигом на одну треть периода и может быть разложена на гармоники. Постоянная составляющая, обычно, отсутствует.
Пусть k-гармоника Э.Д.С. фазы А:
Так для Э.Д.С. фазы В отстаёт от фаз А на , то k-гармоники Э.Д.С. фазы В и С соответственно:
; (6.39)
. (6.41)
Если k = 1,4,7,10, то k-гармоника Э.Д.С. фазы В опережает k-гармонику Э.Д.С. фазы А на 120 0 . Следовательно, 1-,4-,7,10-я гармоники образуют систему прямой последовательности фаз.
Если k = 2,5,8,11, то k-гармоника Э.Д.С. фазы В опережает k-гармонику Э.Д.С. фазы А на 120 0 . Следовательно, 2-,5-,8-11- и так далее гармоники образуют системы обратной последовательности.
Гармоники кратные трём (k = 3,6,9) образуют систему нулевой последовательности, то есть третьи гармоники Э.Д.С. всех трёх фаз совпадают по фазе (
):
Шестые гармоники также совпадают по фазе и так далее.
На рис. 6.6 Э.Д.С. представляют собой три фазные Э.Д.С. трёхфазного генератора. Они имеют прямоугольную форму и сдвинуты относительно друг друга на одну треть периода основной частоты. На том же рисунке показаны первая и третья гармоники каждой Э.Д.С.. Из рисунка видно, что третьи гармоники Э.Д.С., действительно, находятся в фазе.
Рассмотрим особенности работы трёхфазных систем, вызываемые гармониками, кратным трём:
1. 
При соединении обмоток трёхфазного генератора (трёхфазного трансформатора) треугольником (рис. 6.7) по ним протекают токи гармоник, кратные трём, даже при отсутствии внешней нагрузки.
Алгебраическая сумма третьих гармоник Э.Д.С. равна . Обозначим сопротивление обмотки каждой фазы для третьей гармоники , тогда ток третьей гармоники в треугольнике 
. Аналогично ток шестой гармоники , где - действующее значение шестой гармоники фазовой Э.Д.С.; - сопротивление фазы для шестой гармоники.
Действующее значение тока, протекающего по замкнутому треугольнику в схеме на рис. 6.7, определяется выражением
. (6.43)
2. В линейном напряжении независимо от того, звездой или треугольником соединены обмотки генератора (трансформатора), гармоники, кратные трём, отсутствуют, если нагрузка равномерная.
Рассмотрим сначала схему соединения трёхфазного источника Э.Д.С. треугольником 6.7 при отсутствии внешней нагрузки. Обозначив потенциал точки А, - потенциал точки В по третьей гармонике, получим . Но , следовательно, . При наличии равномерной нагрузки, соединённой треугольником, каждая фаза генератора (трансформатора) и параллельно ей присоединённая нагрузка могут быть заменены эквивалентной ветвью, с некоторой Э.Д.С. и сопротивлением . На полученную схему можно распространить вывод, сделанный для случая отсутствия внешней нагрузки.
При соединении звездой трёхфазного источника Э.Д.С. (рис. 6.8) линейное напряжение третьей гармоники равно разности соответствующих фазовых напряжений. Так как третьи гармоники в фазовых напряжениях совпадают по фазе, то при составлении этой разности они вычитаются.
В фазовом напряжении могут присутствовать все гармоники (постоянная составляющая обычно отсутствует). Следовательно, действующее значение фазового напряжения:
. (6.44)
В линейном напряжении схемы (рис. 6.8) отсутствуют гармоники кратные трём, поэтому
Отношение , если есть гармоники кратные трём.
3. При соединении генератора и равномерной нагрузки звездой и отсутствии нулевого провода токи третьих и других гармоник нулевой последовательности не могут протекать по линейным проводам. Поэтому между нулевыми точками приёмника и (рис. 6.9) при действуют напряжение:
Действующее значение, которого
. (6.47)
4. Если в схеме звезда - звезда при равномерной нагрузке фаз сопротивление нагрузки для третьей гармоники обозначить , а сопротивление нулевого провода для третьей гармоники - (рис. 6.9), то по нулевому проводу будет протекать ток третьей гармоники
.
Аналогично находят токи других гармоник, кратных трём.
ГЛАВА 7 ЧЕТЫРЁХПОЛЮСНИКИ
7.1 Определение четырёхполюсника. Основные формы записи уравнений четырёхполюсника
В ряде случаев необходимо рассматривать электрические цепи с двумя входными и двумя выходными зажимами, в которых ток и напряжение на входе связаны линейными зависимостями с напряжением и током на выходе.
Такие цепи называются четырёхполюсниками . Они могут иметь сколь угодно сложную структуру, так как в процессе исследования цепи важно определить не токи и напряжения в отдельных ветвях, а только зависимости между входными и выходными напряжениями и токами.
Иногда четырёхполюсниками называют электрические аппараты и устройства, имеющие пару входных и пару выходных зажимов. К ним, например, относятся однофазные трансформаторы, участки линии электропередачи, мостовые диодные выпрямители, сглаживающие фильтры и прочее.
Условное изображение четырехполюсника показано на рис. 7.1.
Одну пару выводов называют входными (обозначаются ), другую - выходными (обозначаются ).
Если четырёхполюсник не содержит источников электрической энергии, то он называется пассивным , а если содержит – активным .
Примером активного четырёхполюсника может служить электронный усилитель.
На схеме активный четырёхполюсник изображается в виде прямоугольника с буквой А . Пассивный четырёхполюсник обозначается буквой П , либо вообще не обозначается.
Если у четырёхполюсника рабочими являются обе пары зажимов, то он называется проходным .
Четырёхполюсник, по сути, является передаточным звеном между источником питания и нагрузкой. К входным зажимам , как правило, подключают источник питания, к выходным зажимам - нагрузку.
Зависимости между двумя напряжениями и двумя токами на входных и выходных выводах можно записать в различной форме.
Отношение напряжения к току при питании четырёхполюсника со стороны входных выводов (со стороны выходных вводов) и при сопротивлении нагрузки на выходных (входных) выводах называется входным сопротивлением четырёхполюсника со стороны входных (выходных) выводов.
В частном случае при отключенном или закороченном приёмнике входные сопротивления характеризуют только сам четырёхполюсник, а значит, зависят только от его коэффициентов.
Для нахождения коэффициентов четырёхполюсника записывают выражения для входного сопротивления при четырёх режимах работы:
1. При питании его со стороны входных зажимов и коротком замыкании выходных, то есть 
.
Для B-формы:
7.3 Эквивалентные схемы четырёхполюсника
Для пассивных четырёхполюсников чаще выбирают Т- или П- образную схему замещения, состоящую из трёх независимых элементов. Иногда применяют мостовую (Х образную) схему замещения.
Т - и П – образные схемы замещения представлены на (рис. 7.2 и 7.3) соответственно.
Комплексные коэффициенты несимметричного пассивного четырехполюсника определяются опытным путем или расчетом, причем в последнем случае должны быть известны величины сопротивлений или проводимостей ветвей, составляющих четырехполюсник, и схема их соединения.
Из выражений для коэффициентов А, В, С и D следует, что их значения определяются различным сочетанием трех постоянных величин: (входной проводимости со стороны зажимов при закороченных зажимах 2-2), (входной проводимости со стороны зажимов 2-2 при закороченных зажимах ) (взаимной проводимости). Следовательно, для экспериментального определения этих коэффициентов достаточно иметь данные опытов, в той или иной форме определяющих три комплексные величины: Если можно измерить одновременно как первичные ток и напряжение так и вторичные , то для определения коэффициентов А, В, С и D достаточно иметь данные только двух опытов.
Наиболее просто значения этих коэффициентов вычисляются по данным опытов холостого хода и короткого замыкания.
При разомкнутых вторичных зажимах, т. е. когда из уравнений (8-6) первичные напряжение и ток
Входное сопротивление со стороны первичных зажимов при разомкнутых вторичных
При этом должны быть измерены не только модули соответствующих величин, но и их фазы.
При коротком замыкании на вторичных зажимах, т. е. когда из уравнений (8-6)
Входное сопротивление со стороны первичных зажимов при коротком замыкании вторичных
Следовательно, измерив модули и фазы при холостом ходе и при коротком замыкании, легко определить все четыре коэффициента четырехполюсника.
Коэффициенты четырехполюсника можно также рассчитать по данным опытов, измеряя в каждом опыте только первичные или только вторичные ток и напряжение. В этом случае необходимо иметь данные трех опытов, из которых два опыта, описанных выше, проводятся при питании четырехполюсника со стороны первичных зажимов и один опыт - при питании со стороны вторичных, или наоборот. Наиболее простые выражения получаются для коэффициентов А, В, С и D по данным опытов холостого хода и короткого замыкания при питании четырехполюсника со стороны вторичных зажимов и опыта холостого хода при питании со стороны первичных зажимов.
Такая двузначность объясняется тем, что коэффициенты зависят не только от элементов схемы четырехполюсника, но и от выбора
положительных направлений напряжений и токов относительно зажимов четырехполюсника. Однозначное опредение коэффициентов возможно при помощи опыта, позволяющего определить, как это было указано, сдвиг по фазе напряжения или тока на входе четырехполюсника по отношению к напряжению или току на выходе.
Здесь следует также отметить, что возможная ошибка в определении коэффициентов, возникающая вследствие неучета связи между значениями коэффициентов и положительными направлениями токов и напряжений, может привести к ошибочному определению только фазы на угол, равный . Такая ошибка во многих случаях исследования четырехполюсника не имеет значения. Однако в ряде случаев неправильное определение фазы может иметь существенное значение, например при параллельном соединении четырехполюсников.
Необходимо подчеркнуть, что сопротивления связаны между собой соотношениями , причем для симметричного четырехполюсника эти отношения равны единице (А = D). Из уравнений (8-18) и (8-19) следует, что для определения коэффициентов симметричного четырехполюсника при достаточно иметь данные двух опытов, например холостого хода и короткого замыкания.
