استخراج معادله هواپیما. معادله کلی یک هواپیما در فضا

در این درس به نحوه استفاده از تعیین کننده برای ایجاد نگاه خواهیم کرد معادله هواپیما. اگر نمی دانید تعیین کننده چیست، به بخش اول درس بروید - "ماتریس ها و عوامل تعیین کننده". در غیر این صورت، شما در معرض خطر عدم درک چیزی در مطالب امروز هستید.

معادله یک هواپیما با استفاده از سه نقطه

اصلا چرا به یک معادله هواپیما نیاز داریم؟ ساده است: با دانستن آن، می‌توانیم به راحتی زوایا، فواصل و سایر موارد تلخ را در مسئله C2 محاسبه کنیم. به طور کلی، شما نمی توانید بدون این معادله انجام دهید. بنابراین، ما مشکل را فرموله می کنیم:

وظیفه سه نقطه در فضا داده می شود که روی یک خط قرار نمی گیرند. مختصات آنها:

M = (x 1، y 1، z 1)؛
N = (x 2، y 2، z 2);
K = (x 3، y 3، z 3)؛

شما باید یک معادله برای هواپیمای عبوری از این سه نقطه ایجاد کنید. علاوه بر این، معادله باید به شکل زیر باشد:

Ax + By + Cz + D = 0

که در آن اعداد A، B، C و D ضرایبی هستند که در واقع باید پیدا شوند.

خوب، اگر فقط مختصات نقاط مشخص باشد، چگونه می توان معادله یک هواپیما را به دست آورد؟ ساده ترین راه این است که مختصات را با معادله Ax + By + Cz + D = 0 جایگزین کنید. شما یک سیستم از سه معادله را دریافت می کنید که به راحتی قابل حل است.

بسیاری از دانش آموزان این راه حل را بسیار خسته کننده و غیر قابل اعتماد می دانند. آزمون یکپارچه در ریاضیات سال گذشته نشان داد که احتمال خطای محاسباتی واقعاً زیاد است.

بنابراین، پیشرفته ترین معلمان شروع به جستجوی راه حل های ساده تر و ظریف تر کردند. و آن را پیدا کردند! درست است، تکنیک به دست آمده بیشتر به ریاضیات بالاتر مربوط می شود. من شخصاً مجبور شدم کل فهرست کتابهای درسی فدرال را زیر و رو کنم تا مطمئن شوم که ما حق استفاده از این تکنیک را بدون هیچ دلیل یا مدرکی داریم.

معادله یک هواپیما از طریق یک دترمینان

شعر بس است، بیایید دست به کار شویم. برای شروع، یک قضیه در مورد چگونگی ارتباط تعیین کننده یک ماتریس و معادله صفحه است.

قضیه. مختصات سه نقطه ای که صفحه باید از طریق آنها رسم شود داده شود: M = (x 1, y 1, z 1); N = (x 2، y 2، z 2); K = (x 3، y 3، z 3). سپس معادله این صفحه را می توان از طریق دترمینان نوشت:

به عنوان مثال، بیایید سعی کنیم یک جفت صفحه را پیدا کنیم که واقعاً در مسائل C2 رخ می دهد. ببینید چقدر سریع همه چیز محاسبه می شود:

A 1 = (0، 0، 1)؛
B = (1، 0، 0)؛
C 1 = (1، 1، 1);

یک دترمینال می سازیم و آن را با صفر برابر می کنیم:


ما تعیین کننده را گسترش می دهیم:

a = 1 1 (z - 1) + 0 0 x + (-1) 1 y = z - 1 - y;
b = (-1) 1 x + 0 1 (z - 1) + 1 0 y = -x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

همانطور که می بینید، هنگام محاسبه عدد d، معادله را کمی "شانه" کردم تا متغیرهای x، y و z وارد شوند. دنباله درست. همین! معادله هواپیما آماده است!

وظیفه برای صفحه ای که از نقاط عبور می کند معادله بنویسید:

A = (0، 0، 0)؛
B 1 = (1، 0، 1);
D 1 = (0، 1، 1);

ما بلافاصله مختصات نقاط را با تعیین کننده جایگزین می کنیم:

ما دوباره تعیین کننده را گسترش می دهیم:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d = a − b = z − (x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

پس دوباره معادله هواپیما به دست می آید! باز هم، در آخرین مرحله، ما مجبور شدیم علائم موجود در آن را تغییر دهیم تا فرمول "زیبا"تری به دست آوریم. انجام این کار در این راه حل اصلاً ضروری نیست، اما همچنان توصیه می شود - ساده کردن راه حل بیشتر مشکل.

همانطور که می بینید، در حال حاضر ایجاد معادله یک هواپیما بسیار ساده تر است. ما نقاط را در ماتریس جایگزین می کنیم، تعیین کننده را محاسبه می کنیم - و تمام، معادله آماده است.

این می تواند درس را تمام کند. با این حال، بسیاری از دانش آموزان مدام فراموش می کنند که چه چیزی در درون تعیین کننده است. به عنوان مثال، کدام خط حاوی x 2 یا x 3 است و کدام خط فقط حاوی x است. برای از بین بردن این موضوع، بیایید ببینیم هر عدد از کجا آمده است.

فرمول با دترمینان از کجا می آید؟

بنابراین، بیایید بفهمیم که چنین معادله سخت با یک تعیین کننده از کجا می آید. این به شما کمک می کند آن را به خاطر بسپارید و آن را با موفقیت به کار ببرید.

تمام صفحاتی که در مسئله C2 ظاهر می شوند با سه نقطه تعریف می شوند. این نقاط همیشه در نقاشی مشخص می شوند و یا حتی مستقیماً در متن مسئله مشخص می شوند. در هر صورت، برای ایجاد یک معادله باید مختصات آنها را بنویسیم:

M = (x 1، y 1، z 1)؛
N = (x 2، y 2، z 2);
K = (x 3، y 3، z 3).

بیایید نقطه دیگری را در هواپیمای خود با مختصات دلخواه در نظر بگیریم:

T = (x، y، z)

هر نقطه از سه نقطه اول (مثلا نقطه M) را بگیرید و بردارهایی را از آن به هر یک از سه نقطه باقیمانده بکشید. سه بردار دریافت می کنیم:

MN = (x 2 - x 1، y 2 - y 1، z 2 - z 1).
MK = (x 3 − x 1 , y 3 − y 1 , z 3 − z 1 );
MT = (x − x 1 , y − y 1 , z − z 1 ).

حال بیایید یک ماتریس مربع از این بردارها بسازیم و دترمینان آن را با صفر برابر کنیم. مختصات بردارها به ردیف های ماتریس تبدیل می شوند - و ما همان تعیین کننده ای را که در قضیه نشان داده شده است به دست خواهیم آورد:

این فرمول به این معنی است که حجم یک متوازی الاضلاع ساخته شده بر روی بردارهای MN، MK و MT برابر با صفر است. بنابراین، هر سه بردار در یک صفحه قرار دارند. به طور خاص، یک نقطه دلخواه T = (x، y، z) دقیقاً همان چیزی است که ما به دنبال آن بودیم.

جایگزینی نقاط و خطوط یک دترمینان

عوامل تعیین کننده چندین ویژگی عالی دارند که کار را آسان تر می کند راه حل مسئله C2. به عنوان مثال، برای ما مهم نیست که بردارها را از کدام نقطه رسم کنیم. بنابراین، تعیین‌کننده‌های زیر همان معادله صفحه‌ای را به دست می‌دهند:

همچنین می توانید خطوط تعیین کننده را عوض کنید. معادله بدون تغییر باقی خواهد ماند. به عنوان مثال، بسیاری از مردم دوست دارند خطی را با مختصات نقطه T = (x; y; z) در بالا بنویسند. لطفا، اگر برای شما راحت است:

برخی افراد گیج می شوند که در یکی از خطوط متغیرهای x، y و z وجود دارد که هنگام جایگزینی نقاط ناپدید نمی شوند. اما آنها نباید ناپدید شوند! با جایگزینی اعداد به دترمینان، باید این ساختار را دریافت کنید:

سپس دترمینان مطابق نموداری که در ابتدای درس داده شده است بسط می یابد و معادله استاندارد هواپیما بدست می آید:

Ax + By + Cz + D = 0

به یک مثال نگاه کنید. این آخرین مورد در درس امروز است. من عمداً خطوط را عوض می کنم تا مطمئن شوم که جواب همان معادله هواپیما را خواهد داد.

وظیفه برای صفحه ای که از نقاط عبور می کند معادله بنویسید:

B 1 = (1، 0، 1);
C = (1، 1، 0)؛
D 1 = (0، 1، 1).

بنابراین، ما 4 نکته را در نظر می گیریم:

B 1 = (1، 0، 1);
C = (1، 1، 0)؛
D 1 = (0، 1، 1);
T = (x، y، z).

ابتدا، بیایید یک تعیین کننده استاندارد ایجاد کنیم و آن را با صفر برابر کنیم:

ما تعیین کننده را گسترش می دهیم:

a = 0 1 (z - 1) + 1 0 (x - 1) + (-1) (-1) y = 0 + 0 + y;
b = (-1) 1 (x - 1) + 1 (-1) (z - 1) + 0 0 y = 1 - x + 1 - z = 2 - x - z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

تمام شد، ما جواب گرفتیم: x + y + z − 2 = 0.

حالا بیایید چند خط را در دترمینان مرتب کنیم و ببینیم چه اتفاقی می‌افتد. برای مثال، بیایید یک خط با متغیرهای x، y، z نه در پایین، بلکه در بالا بنویسیم:

ما دوباره تعیین کننده حاصل را گسترش می دهیم:

a = (x - 1) 1 (-1) + (z - 1) (-1) 1 + y 0 0 = 1 - x + 1 - z = 2 - x - z;
b = (z - 1) 1 0 + y (-1) (-1) + (x - 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

ما دقیقاً معادله صفحه مشابه را بدست آوردیم: x + y + z − 2 = 0. این بدان معنی است که واقعاً به ترتیب ردیف ها بستگی ندارد. تنها چیزی که باقی می ماند نوشتن پاسخ است.

بنابراین، ما متقاعد شده ایم که معادله هواپیما به دنباله خطوط بستگی ندارد. ما می توانیم محاسبات مشابهی انجام دهیم و ثابت کنیم که معادله هواپیما به نقطه ای که مختصات آن را از نقاط دیگر کم می کنیم، بستگی ندارد.

در مسئله ای که در بالا در نظر گرفته شد، از نقطه B 1 = (1، 0، 1) استفاده کردیم، اما گرفتن C = (1، 1، 0) یا D 1 = (0، 1، 1) کاملاً ممکن بود. به طور کلی، هر نقطه با مختصات شناخته شده در صفحه مورد نظر قرار دارد.

- معادله کلی یک هواپیما در فضا

بردار صفحه معمولی

یک بردار معمولی یک صفحه، یک بردار غیرصفر متعامد به هر بردار واقع در صفحه است.

معادله صفحه ای که از نقطه ای با بردار نرمال معین می گذرد

- معادله صفحه ای که از نقطه M0 با یک بردار نرمال می گذرد

بردارهای جهت صفحه

دو بردار غیر خطی موازی با صفحه را بردارهای جهت صفحه می نامیم

معادلات صفحه پارامتریک

– معادله پارامتری صفحه به صورت برداری

- معادله پارامتری صفحه در مختصات

معادله صفحه ای که از یک نقطه معین و دو بردار جهت عبور می کند

-نقطه ثابت

-فقط یک نکته lol

-coplanar، یعنی حاصلضرب مخلوط آنها 0 است.

معادله صفحه ای که از سه نقطه داده شده عبور می کند

- معادله صفحه ای که از سه نقطه عبور می کند

معادله یک صفحه در قطعات

- معادله صفحه در قطعات

اثبات

برای اثبات این موضوع از این واقعیت استفاده می کنیم که هواپیمای ما از A,B,C و بردار معمولی عبور می کند

بیایید مختصات نقطه و بردار n را در معادله صفحه با یک بردار معمولی جایگزین کنیم.

بیایید همه چیز را تقسیم کنیم و بدست آوریم

چنین چیزهایی.

معادله صفحه نرمال

- زاویه بین ox و بردار معمولی نسبت به صفحه منشعب از O.

- زاویه بین oy و بردار نرمال نسبت به صفحه منشعب از O.

- زاویه بین oz و بردار معمولی نسبت به صفحه منشعب از O.

- فاصله مبدا تا هواپیما

اثبات یا چیزهای مزخرفی مانند آن

علامت مقابل D است.

به طور مشابه برای کسینوس های باقی مانده. پایان

فاصله از نقطه به هواپیما

نقطه S، هواپیما

- فاصله جهت دار از نقطه S تا صفحه

اگر، آنگاه S و O در دو طرف هواپیما قرار دارند

اگر، آنگاه S و O در یک طرف دراز می کشند

ضرب در n

موقعیت نسبی دو خط در فضا

زاویه بین هواپیماها

هنگام تقاطع، دو جفت زاویه دو وجهی عمودی تشکیل می شود که کوچکترین آنها را زاویه بین صفحات می نامند.

خط مستقیم در فضا

یک خط مستقیم در فضا را می توان به صورت مشخص کرد

    تقاطع دو صفحه:

    معادلات پارامتریک یک خط

– معادله پارامتریک یک خط مستقیم به صورت برداری

- معادله پارامتریک یک خط مستقیم در مختصات

    معادله متعارف

- معادله متعارف یک خط مستقیم.

معادله خطی که از دو نقطه داده شده می گذرد

- معادله متعارف یک خط مستقیم به صورت برداری.

موقعیت نسبی دو خط در فضا

موقعیت نسبی یک خط مستقیم و یک صفحه در فضا

زاویه بین یک خط مستقیم و یک صفحه

فاصله از یک نقطه تا یک خط در فضا

a بردار جهت خط مستقیم ما است.

- یک نقطه دلخواه متعلق به یک خط معین

– نقطه ای که به دنبال فاصله تا آن هستیم.

فاصله بین دو خط عبور

فاصله بین دو خط موازی

M1 - نقطه متعلق به خط اول

M2 - نقطه متعلق به خط دوم

منحنی ها و سطوح مرتبه دوم

بیضی مجموعه ای از نقاط روی صفحه است که مجموع فواصل آنها تا دو نقطه داده شده (کانون) مقدار ثابتی است.

معادله بیضی متعارف

جایگزین کنید با

تقسیم بر

خواص بیضی

    تقاطع با محورهای مختصات

    تقارن نسبی

    1. ریشه ها

    بیضی منحنی است که در قسمت محدودی از هواپیما قرار دارد

    یک بیضی را می توان از یک دایره با کشش یا فشرده کردن آن به دست آورد

    معادله پارامتری بیضی:

- سرکار خانم ها

هایپربولا

هذلولی مجموعه ای از نقاط روی صفحه است که مدول اختلاف فاصله تا 2 نقطه داده شده (کانون) ثابت (2a) است.

ما همان کاری را که با بیضی انجام می دهیم، می گیریم

جایگزین کنید با

تقسیم بر

ویژگی های هذلولی

;

- سرکار خانم ها

مجانب

مجانب یک خط مستقیم است که منحنی بدون محدودیت به آن نزدیک می شود و تا بی نهایت دور می شود.

سهمی

خواص parawork

رابطه بین بیضی، هذلولی و سهمی.

رابطه بین این منحنی ها یک توضیح جبری دارد: همه آنها با معادلات درجه دوم ارائه می شوند. در هر سیستم مختصاتی، معادلات این منحنی ها به صورت ax 2 +bxy+cy 2 +dx+ey+f=0 است که a، b، c، d، e، f اعداد هستند.

تبدیل سیستم های مختصات دکارتی مستطیلی

انتقال سیستم مختصات موازی

-O در سیستم مختصات قدیمی

- مختصات نقطه در سیستم مختصات قدیمی

- مختصات نقطه در سیستم جدیدمختصات

مختصات نقطه در سیستم مختصات جدید.

چرخش در یک سیستم مختصات دکارتی مستطیلی شکل

- سیستم مختصات جدید

ماتریس انتقال از پایه قدیمی به جدید

– (زیر ستون اول من’ ، زیر دوم - j’ ) ماتریس انتقال از پایه من,jبه پایگاه من’ ,j’

مورد کلی

    1 گزینه

    1. چرخش یک سیستم مختصات

    گزینه 2

    1. چرخش یک سیستم مختصات

      ترجمه منشا موازی

معادله کلی خطوط مرتبه دوم و کاهش آن به شکل متعارف

– نمای کلیمعادلات منحنی مرتبه دوم

طبقه بندی منحنی های مرتبه دوم

بیضی

مقاطع بیضی

- بیضی

- بیضی

بیضی های انقلاب

بیضی‌های انقلاب بسته به چیزی که به دور آن می‌چرخانیم، کروی‌های مایل یا پرولاتی هستند.

هایپربولوئید تک نواری

بخش های یک هایپربولوئید تک نواری

- هذلولی با محور واقعی

هذلولی با محور واقعی x

نتیجه یک بیضی برای هر ساعت است. چنین چیزهایی.

هیپربولوئیدهای تک نواری انقلاب

با چرخاندن هذلولی حول محور فرضی‌اش می‌توان یک هیپربولوئید یک ورقی چرخش به دست آورد.

هایپربولوئید دو ورق

بخش های یک هایپربولوئید دو ورق

- هایپربولی با عمل. axisoz

- هذلولی با محورهای واقعی

مخروط

- یک جفت خط متقاطع

- یک جفت خط متقاطع

پارابولوئید بیضوی

- سهمی

- سهمی

چرخش ها

اگر، پس یک سهمی بیضوی سطحی از چرخش است که از چرخش یک سهمی حول محور تقارن آن تشکیل شده است.

پارابولوئید هیپربولیک

سهمی

- سهمی

      h>0 هذلولی با محور واقعی موازی x

      ساعت<0 гипербола с действительной осью паралльной оу и мнимой ох

منظور از استوانه سطحی است که وقتی خط مستقیم در فضا حرکت می کند، بدون تغییر جهت آن، اگر خط مستقیم نسبت به اونس حرکت کند، معادله استوانه معادله مقطع با صفحه xoy است.

سیلندر بیضوی

سیلندر هایپربولیک

استوانه سهموی

ژنراتورهای مستطیلی سطوح درجه دوم

خطوط مستقیمی که به طور کامل روی سطح قرار می گیرند، مولدهای مستطیلی سطح نامیده می شوند.

سطوح انقلاب

لعنت به تو مکنده

نمایش

نمایشبیایید قاعده ای را بنامیم که طبق آن هر عنصر از مجموعه A با یک یا چند عنصر از مجموعه B مرتبط است. اگر به هر کدام یک عنصر از مجموعه B اختصاص داده شود، نگاشت فراخوانی می شود بدون ابهام، در غیر این صورت مبهم.

دگرگونییک مجموعه، یک نگاشت یک به یک از یک مجموعه بر روی خودش است

تزریق

تزریق یا نگاشت یک به یک مجموعه A به مجموعه B

(عناصر مختلف a با عناصر مختلف B مطابقت دارند) برای مثال y=x^2

سرکشی

برش یا نگاشت مجموعه A به مجموعه B

برای هر B حداقل یک A وجود دارد (به عنوان مثال سینوس)

هر عنصر از مجموعه B تنها مربوط به یک عنصر از مجموعه A است. (مثلا y=x)

برای به دست آوردن معادله کلی یک صفحه، اجازه دهید صفحه ای را که از یک نقطه می گذرد، تجزیه و تحلیل کنیم.

بگذارید سه محور مختصات از قبل برای ما در فضا شناخته شده باشد - گاو نر, اوهو اوز. ورق کاغذ را طوری نگه دارید که صاف بماند. هواپیما خود ورق و ادامه آن در همه جهات خواهد بود.

اجازه دهید پهواپیمای دلخواه در فضا هر بردار عمود بر آن نامیده می شود بردار معمولی به این هواپیما به طور طبیعی، ما در مورد یک بردار غیر صفر صحبت می کنیم.

اگر نقطه ای از هواپیما مشخص باشد پو مقداری بردار نرمال به آن، سپس با این دو شرط صفحه در فضا کاملاً مشخص می شود(از طریق یک نقطه داده شده می توانید یک صفحه عمود بر بردار داده شده رسم کنید). معادله کلی هواپیما به صورت زیر خواهد بود:

بنابراین، شرایطی که معادله هواپیما را تعریف می کند عبارتند از. برای بدست آوردن خودت معادله هواپیمابا داشتن فرم فوق سوار هواپیما شوید پدلخواه نقطه م با مختصات متغیر x, y, z. این نقطه فقط به هواپیما تعلق دارد اگر بردار عمود بر بردار(شکل 1). برای این کار، با توجه به شرط عمود بردارها، لازم و کافی است که حاصل ضرب اسکالر این بردارها برابر با صفر باشد، یعنی

بردار با شرط مشخص می شود. با استفاده از فرمول مختصات بردار را پیدا می کنیم :

.

حال با استفاده از حاصل ضرب اسکالر بردارها ، حاصل ضرب اسکالر را به صورت مختصات بیان می کنیم:

از آنجا که نقطه M(x; y; z)به طور دلخواه در صفحه انتخاب می شود، سپس آخرین معادله با مختصات هر نقطه ای که در هواپیما قرار دارد برآورده می شود. پ. برای یک امتیاز ن، در یک هواپیمای معین دراز نکشید، یعنی. برابری (1) نقض شده است.

مثال 1.برای صفحه ای که از نقطه ای عمود بر بردار می گذرد معادله بنویسید.

راه حل. بیایید از فرمول (1) استفاده کنیم و دوباره به آن نگاه کنیم:

در این فرمول اعداد الف , بو سیمختصات برداری و اعداد x0 , y0 و z0 - مختصات نقطه

محاسبات بسیار ساده است: ما این اعداد را در فرمول جایگزین می کنیم و بدست می آوریم

هر چیزی که باید ضرب شود را ضرب می کنیم و فقط اعداد (که حروف ندارند) را اضافه می کنیم. نتیجه:

.

معادله مورد نیاز هواپیما در این مثال مشخص شد که با یک معادله کلی درجه اول با توجه به مختصات متغیر بیان می شود. x، y، zهر نقطه در هواپیما

بنابراین، یک معادله از فرم

تماس گرفت معادله صفحه عمومی .

مثال 2.در یک سیستم مختصات دکارتی مستطیلی صفحه ای بسازید که با معادله به دست می آید .

راه حل. برای ساختن یک صفحه، دانستن هر سه نقطه از آن که روی یک خط مستقیم قرار ندارند، لازم و کافی است، مثلاً نقاط تلاقی صفحه با محورهای مختصات.

چگونه این نقاط را پیدا کنیم؟ برای یافتن نقطه تقاطع با محور اوز، باید صفرها را به جای X و Y در معادله داده شده در بیان مسئله جایگزین کنید: x = y= 0. بنابراین ما دریافت می کنیم z= 6. بنابراین، صفحه داده شده محور را قطع می کند اوزدر نقطه الف(0; 0; 6) .

به همین ترتیب نقطه تلاقی صفحه با محور را پیدا می کنیم اوه. در x = z= 0 دریافت می کنیم y= -3، یعنی نقطه ب(0; −3; 0) .

و در نهایت نقطه تلاقی هواپیمای خود را با محور پیدا می کنیم گاو نر. در y = z= 0 دریافت می کنیم x= 2، یعنی یک نقطه سی(2; 0; 0) . بر اساس سه نقطه به دست آمده در راه حل ما الف(0; 0; 6) , ب(0؛ -3؛ 0) و سی(2; 0; 0) صفحه داده شده را بسازید.

حال بیایید در نظر بگیریم موارد خاص معادله صفحه عمومی. این موارد زمانی است که ضرایب معینی از معادله (2) صفر می شود.

1. وقتی D=معادله 0 صفحه ای را تعریف می کند که از مبدا عبور می کند، زیرا مختصات نقطه است 0 (0; 0; 0) این معادله را برآورده می کند.

2. وقتی A=معادله 0 صفحه موازی با محور را تعریف می کند گاو نر، از آنجایی که بردار نرمال این صفحه بر محور عمود است گاو نر(برآمدگی آن بر روی محور گاو نربرابر با صفر). به همین ترتیب، زمانی که B= 0 هواپیما موازی با محور اوه، و چه زمانی C= 0 هواپیما موازی با محور اوز.

3. چه زمانی A=D=معادله 0 صفحه ای را تعریف می کند که از محور عبور می کند گاو نر، از آنجایی که با محور موازی است گاو نر (A=D= 0). به طور مشابه، هواپیما از محور عبور می کند اوه، و هواپیما از طریق محور اوز.

4. چه زمانی A=B=معادله 0 صفحه موازی با صفحه مختصات را تعریف می کند xOy، از آنجایی که با محورها موازی است گاو نر (الف= 0) و اوه (ب= 0). به طور مشابه، هواپیما موازی با هواپیما است yOz، و هواپیما همان هواپیما است xOz.

5. چه زمانی A=B=D=معادله 0 (یا z = 0) صفحه مختصات را تعریف می کند xOy، از آنجایی که موازی با هواپیما است xOy (A=B= 0) و از مبدا می گذرد ( D= 0). به همین ترتیب، معادله y = 0 در فضا صفحه مختصات را مشخص می کند xOz، و معادله x = 0 - هواپیمای مختصات yOz.

مثال 3.معادله ای از هواپیما ایجاد کنید پ، از محور عبور می کند اوهو دوره

راه حل. بنابراین هواپیما از محور عبور می کند اوه. بنابراین، در معادله او y= 0 و این معادله به شکل . برای تعیین ضرایب الفو سیبیایید از این واقعیت استفاده کنیم که نقطه متعلق به هواپیما است پ .

بنابراین، در میان مختصات آن مواردی وجود دارد که می توان آنها را در معادله صفحه ای که قبلاً استخراج کردیم () جایگزین کرد. بیایید دوباره به مختصات نقطه نگاه کنیم:

م0 (2; −4; 3) .

در میان آنها x = 2 , z= 3. ما آنها را در معادله عمومی جایگزین می کنیم و معادله مورد خاص خود را بدست می آوریم:

2الف + 3سی = 0 .

ترک 2 الفدر سمت چپ معادله، 3 را حرکت دهید سیبه سمت راست و ما می رسیم

الف = −1,5سی .

جایگزینی مقدار یافت شده الفبه معادله می رسیم

یا .

این معادله مورد نیاز در شرایط مثال است.

مسئله معادله هواپیما را خودتان حل کنید و سپس به حل آن نگاه کنید

مثال 4.یک صفحه (یا صفحات، اگر بیش از یک) را با توجه به محورهای مختصات یا صفحات مختصات در صورتی که صفحه(ها) با معادله داده شده است، تعریف کنید.

راه حل مشکلات معمولی که در طول آزمون ها رخ می دهد در کتاب درسی "مسائل در یک صفحه: موازی، عمود، تقاطع سه صفحه در یک نقطه" آمده است.

معادله صفحه ای که از سه نقطه عبور می کند

همانطور که گفته شد، شرط لازم و کافی برای ساختن یک صفحه، علاوه بر یک نقطه و بردار معمولی، سه نقطه نیز هستند که روی یک خط قرار ندارند.

اجازه دهید سه نقطه مختلف، و، نه دروغ گفتن در یک خط، داده می شود. از آنجایی که سه نقطه نشان داده شده روی یک خط قرار ندارند، بردارها هم خط نیستند و بنابراین هر نقطه از صفحه در یک صفحه با نقاط قرار دارد، و اگر و فقط اگر بردارها، و همسطح، یعنی آن وقت و تنها زمانی که حاصلضرب مخلوط این بردارهابرابر با صفر است.

با استفاده از عبارت محصول مخلوط در مختصات، معادله صفحه را به دست می آوریم

(3)

پس از آشکار شدن دترمینان، این معادله تبدیل به معادله ای از شکل (2) می شود، یعنی. معادله کلی هواپیما

مثال 5.یک معادله برای صفحه ای بنویسید که از سه نقطه داده شده عبور می کند که روی یک خط مستقیم قرار ندارند:

و در صورت وقوع یک مورد خاص از معادله عمومی یک خط را تعیین کنید.

راه حل. طبق فرمول (3) داریم:

معادله صفحه نرمال فاصله از نقطه به هواپیما

معادله عادی یک هواپیما معادله آن است که به شکل نوشته شده است

موقعیت صفحه در فضا کاملاً مشخص خواهد شد اگر فاصله آن را از مبدأ O مشخص کنیم، یعنی طول OT عمود بر نقطه O به صفحه و بردار واحد n° عمود بر صفحه و جهت گیری از آن را مشخص کنیم. مبدا O به صفحه (شکل 110).

هنگامی که نقطه M در امتداد یک صفحه حرکت می کند، بردار شعاع آن تغییر می کند به طوری که همیشه به یک شرط محدود می شود. بیایید ببینیم این شرایط چیست. بدیهی است که برای هر نقطه ای که در هواپیما قرار دارد، داریم:

این شرط فقط برای نقاط روی هواپیما برقرار است. اگر نقطه M خارج از صفحه باشد، نقض می شود. بنابراین، تساوی (1) یک ویژگی مشترک برای تمام نقاط صفحه و فقط برای آنها را بیان می کند. با توجه به § 7 ch. 11 داریم:

و بنابراین، معادله (1) را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

معادله (G) بیانگر شرایطی است که در آن نقطه ) در یک صفحه معین قرار دارد و معادله نرمال این صفحه نامیده می شود. بردار شعاع نقطه دلخواه M از صفحه را بردار شعاع جریان می گویند.

معادله (1) صفحه به صورت برداری نوشته شده است. با رفتن به مختصات و قرار دادن مبدا مختصات در مبدأ بردارها - نقطه O، توجه می کنیم که برآمدگی بردار واحد روی محورهای مختصات، کسینوس زاویه های ساخته شده توسط محورها با این بردار است و پیش بینی بردار شعاع نقطه M

به عنوان مختصات نقطه عمل کنید، یعنی داریم:

معادله (G) تبدیل به مختصات می شود:

هنگام ترجمه معادله برداری (G) صفحه به معادله مختصات (2)، از فرمول (15) § 9 Ch. 11، که حاصل ضرب اسکالر را از طریق پیش بینی بردارها بیان می کند. معادله (2) شرایطی را بیان می کند که در آن نقطه M(x, y, z) در یک صفحه معین قرار می گیرد و معادله نرمال این صفحه به صورت مختصات نامیده می شود. معادله حاصل (2) نسبت به درجه اول است، یعنی هر صفحه ای را می توان با معادله درجه اول نسبت به مختصات فعلی نشان داد.

توجه داشته باشید که معادلات مشتق شده (1") و (2) حتی زمانی که صفحه داده شده از مبدأ مختصات عبور می کند، معتبر می مانند. در این حالت، ما می توانیم هر یک از دو بردار واحد را عمود بر صفحه و با یک تفاوت داشته باشیم. از جهتی دیگر

نظر دهید. معادله صفحه نرمال (2) را می توان بدون استفاده از روش برداری به دست آورد.

بیایید یک صفحه دلخواه بگیریم و یک خط I را از مبدا مختصات عمود بر آن رسم کنیم. خط می تواند گرفته شود).

موقعیت این صفحه در فضا کاملاً با فاصله آن از مبدا مختصات تعیین می شود، یعنی طول قطعه محور l از مبدا مختصات تا نقطه تقاطع آن با صفحه (در شکل 111 - قطعه) و زوایای بین محور و محورهای مختصات. وقتی نقطه ای در امتداد صفحه ای با مختصات حرکت می کند، مختصات آن تغییر می کند به طوری که همیشه به یک شرط محدود می شود. بیایید ببینیم این شرایط چیست.

بیایید آن را در شکل بسازیم. 111 مختصات خط شکسته OPSM نقطه دلخواه M از هواپیما. بیایید طرح این خط شکسته را روی محور l در نظر بگیریم. با توجه به اینکه طرح یک خط شکسته برابر است با قسمت پایانی آن (فصل اول، § 3)، ما داریم.

  • 24. وابستگی خطی ستون های ماتریسی. ویژگی ها وابستگی خطی و استقلال سطرها (ستون ها) یک ماتریس
  • ویژگی های ستون های ماتریس وابسته به خطی و مستقل خطی
  • 25. مینور پایه. قضیه بر اساس جزئی. قضیه رتبه.
  • 26. سیستم معادلات خطی. قضیه کرونکر-کاپلی در مورد سازگاری سیستم ها.
  • 27. سیستم های همگن معادلات خطی. خواص راه حل های آنها. راه حل کلی برای الاغ.
  • 28. سیستم تصمیم گیری اساسی الاغ
  • 29. سیستم های ناهمگن معادلات خطی. خواص راه حل های آنها. ساخت یک راه حل عمومی NSL.
  • 30. فضاهای خطی. تعریف. مثال‌ها، پیامدهای بدیهیات.
  • 31. وابستگی خطی بردارها در فضای خطی. خواص
  • 32. اساس فضای خطی. بعد
  • 33. منحصر به فرد بودن تجزیه بردارها با توجه به مبنا. مختصات. اقدامات روی بردارها به صورت مختصات.
  • 34. تغییر مختصات بردار هنگام حرکت به یک پایه جدید. ماتریس انتقال.
  • 35. فضای اقلیدسی. تعریف، مثالها ماژول برداری. زاویه بین بردارها نابرابری کوشی-بونیاکوفسکی
  • 36. عملگر خطی. ماتریس عملگر خطی تغییر ماتریس یک عملگر خطی هنگام حرکت به یک پایه جدید.
  • 37. تصویر و هسته یک عملگر خطی. رتبه عملگر خطی
  • 38.در یک فایل جداگانه.
  • 39. بردارهای ویژه و مقادیر ویژه یک عملگر خطی. خواص آنها
  • 40. سازگاری. حد سازگاری توالی های محدود، نامحدود، بی نهایت کوچک و بی نهایت بزرگ. تعریف
  • [ویرایش]نمونه ها
  • [ویرایش] عملیات روی دنباله ها
  • [ویرایش] دنباله ها
  • [ویرایش]نمونه ها
  • [ویرایش]خواص
  • [ویرایش] نقطه حد توالی
  • [ویرایش] محدودیت توالی
  • [ویرایش] برخی از انواع دنباله ها
  • [ویرایش] توالی های محدود و نامحدود
  • [ویرایش] معیاری برای محدود بودن یک دنباله عددی
  • [ویرایش]خواص توالی های محدود
  • [ویرایش] توالی های بی نهایت بزرگ و بی نهایت کوچک
  • [ویرایش]خواص دنباله های بی نهایت کوچک
  • [ویرایش] دنباله های همگرا و واگرا
  • [ویرایش]خواص دنباله های همگرا
  • 41. مفهوم تابع. روش های تعیین یک تابع
  • 42. حد تابع در یک نقطه، در بی نهایت. تفسیر هندسی تعاریف و مثال ها
  • 43. قضایای حدود:
  • 44. توابع پیوسته و خواص آنها:
  • خواص محلی
  • جهانی
  • قضیه بقای علامت برای یک تابع پیوسته
  • اثبات
  • 45. اولین حد فوق العاده. عواقب. قضیه حد مجموع، حاصلضرب و ضریب.
  • 46. ​​توابع محدود و خواص آنها. شرط لازم برای وجود حد یک تابع در یک نقطه.
  • 47. توابع بی نهایت کوچک، خواص آنها. لماس
  • لم های بی نهایت کوچک
  • 48. ملاک وجود حد تابع در یک نقطه.
  • 49. توابع بی نهایت بزرگ، ارتباط با توابع بی نهایت کوچک.
  • 50. افشای عدم قطعیت ها. دومین محدودیت قابل توجه.
  • 51. توابع بی نهایت کوچک معادل. جدول توابع بی نهایت کوچک معادل.
  • 52. قضیه اطلاق بی نهایت های معادل در محاسبه حدود.
  • 3.2. فرمول های اساسی برای هم ارزی بینهایت کوچک.
  • 53. حدود یک طرفه یک تابع در یک نقطه. تداوم یک طرفه یک تابع در یک نقطه.
  • 54. نقاط شکست توابع و طبقه بندی آنها.
  • 55. خواص توابع پیوسته در یک بازه.
  • 56. مشکلات منتهی به مفهوم مشتق. مفهوم مشتق. معنای هندسی و فیزیکی مشتق.
  • 1.1 مشکلات منتهی به مفهوم مشتق
  • ، اگر
  • 57. تفاوت پذیری یک تابع. معیار تمایز پذیری یک تابع در یک نقطه.
  • 57. تفاوت پذیری یک تابع. معیار تمایز پذیری یک تابع در یک نقطه.
  • 58. مشتق تابع مختلط.
  • 59. دیفرانسیل یک تابع. تغییر ناپذیری شکل نوشتن دیفرانسیل اول.
  • 60. تابع معکوس و مشتق آن.
  • 60. تابع معکوس و مشتق آن.
  • 61. قواعد تمایز.
  • 63. تمایز لگاریتمی. مشتق تابع توان-نمایی.
  • 5.4. مشتق تابع توان-نمایی
  • 64. فایل جداگانه را ببینید.
  • 65. قضایای مقدار میانگین – فرما، رول.
  • 66. قضایای مقدار میانگین – لاگرانژ، کوشی.
  • 67. تفاضل مراتب بالاتر. عدم تغییر فرم ضبط.
  • 68. قانون L'Hopital. افشای عدم قطعیت با استفاده از قانون L'Hopital.
  • 69. فرمول تیلور. بسط یک تابع با استفاده از فرمول تیلور.
  • 70. یکنواختی تابع. شرایط یکنواختی.
  • 71. مادون تابع. شرط لازم برای وجود افراط.
  • 72. شرایط کافی برای افراط.
  • 73. تحدب و تقعر نمودار یک تابع. نقاط عطف.
  • 74. مجانب نمودار.
  • [ویرایش]انواع مجانب نمودارها [ویرایش]عمودی
  • [ویرایش] افقی
  • [ویرایش] مایل
  • [ویرایش] یافتن مجانبی
  • 76. روش تغییر متغیرها در انتگرال نامعین.
  • 77. ادغام توسط قطعات در یک انتگرال نامعین. دسته هایی از توابع که می توانند توسط قطعات یکپارچه شوند.
  • 78. کسر گویا. تجزیه کسرهای گویا به مجموع ساده ترین کسرها.
  • 79. ادغام کسرهای گویا ساده.
  • 80. ادغام توابع مثلثاتی.
  • 81. ادغام غیر منطقی های شکل ...
  • 82. ادغام غیر منطقی های شکل ...
  • 83. مفهوم انتگرال معین، معنی هندسی و خصوصیات آن. قضیه مقدار میانگین.
  • 84. انتگرال با حد بالایی متغیر. فرمول نیوتن لایب نیتس
  • 85. سیستم مختصات قطبی. معادلات منحنی ها در سیستم مختصات قطبی.
  • معادله منحنی ها در مختصات قطبی
  • دایره
  • رز قطبی
  • مارپیچ ارشمیدس
  • مقاطع مخروطی
  • 86. محاسبه انتگرال معین. کاربرد آن برای محاسبه مساحت شکل های صفحه و طول قوس یک منحنی.
  • 87. محاسبه احجام اجسام، احجام اجسام انقلاب.
  • 88. کاربرد انتگرال معین در مسائل فیزیک.
  • 89. انتگرال های نادرست نوع اول.
  • 89. انتگرال های نادرست نوع اول.
  • انتگرال های نادرست نوع اول
  • معنای هندسی یک انتگرال نادرست از نوع اول
  • نمونه ها
  • 90. انتگرال های نادرست قسم دوم.
  • معنای هندسی انتگرال های نادرست نوع دوم

    • معادله صفحه نرمال

    معادله صفحه کلی فرم نامیده می شود معادله صفحه عادیاگر طول بردار باشد برابر یک، یعنی ، و .

    اغلب می توانید ببینید که معادله عادی یک هواپیما به صورت نوشته شده است. در اینجا کسینوس های جهت بردار نرمال یک صفحه معین با طول واحد، یعنی و ص- عددی غیر منفی برابر با فاصله مبدا تا هواپیما.

    معادله عادی یک صفحه در یک سیستم مختصات مستطیلی Oxyzصفحه ای را تعریف می کند که با فاصله از مبدأ جدا می شود صدر جهت مثبت بردار نرمال این صفحه . اگر p=0، سپس هواپیما از مبدأ عبور می کند.

    اجازه دهید مثالی از یک معادله صفحه معمولی بیاوریم.

    اجازه دهید هواپیما در یک سیستم مختصات مستطیلی مشخص شود Oxyzمعادله صفحه کلی فرم . این معادله کلی هواپیما، معادله نرمال هواپیما است. در واقع، بردار نرمال این صفحه است طول آن برابر با یک است، زیرا .

    معادله یک هواپیما در حالت عادی به شما امکان می دهد فاصله یک نقطه تا یک صفحه را پیدا کنید.

      فاصله از یک نقطه تا یک هواپیما.

    فاصله یک نقطه تا یک صفحه کوچکترین فاصله بین این نقطه و نقاط صفحه است. معلوم است که فاصلهاز یک نقطه به یک صفحه برابر است با طول عمود رسم شده از این نقطه به صفحه.

    اگر و مبدأ مختصات در طرف های مختلف صفحه قرار دارد، در حالت مخالف. فاصله یک نقطه تا یک صفحه است

      ترتیب متقابل هواپیماها. شرایط موازی بودن و عمود بودن صفحات.

    فاصله بین صفحات موازی

    مفاهیم مرتبط

      هواپیماها موازی هستند ، اگر

    یا (محصول برداری)

      صفحات عمود بر هم هستند، اگر

    یا . (محصول نقطه ای)

      مستقیم در فضا. انواع مختلف معادلات خط مستقیم

    معادلات یک خط مستقیم در فضا - اطلاعات اولیه.

    معادله یک خط مستقیم در یک صفحه اکسییک معادله خطی با دو متغیر است xو y، که با مختصات هر نقطه از یک خط ارضا می شود و با مختصات هیچ نقطه دیگر ارضا نمی شود. با یک خط مستقیم در فضای سه بعدی وضعیت کمی متفاوت است - هیچ معادله خطی با سه متغیر وجود ندارد. x, yو z، که فقط با مختصات نقاط روی یک خط مشخص شده در یک سیستم مختصات مستطیلی ارضا می شود. Oxyz. در واقع، معادله ای از شکل، جایی که x, yو zمتغیر هستند و الف, ب, سیو D- تعدادی اعداد واقعی و الف, درو بادر همان زمان برابر با صفر نیستند، نشان دهنده معادله صفحه عمومی. سپس این سؤال مطرح می شود: "چگونه می توان یک خط مستقیم را در یک سیستم مختصات مستطیلی توصیف کرد؟ Oxyz»?

    پاسخ به این موضوع در بندهای بعدی مقاله آمده است.

    معادلات یک خط مستقیم در فضا معادلات دو صفحه متقاطع هستند.

    اجازه دهید یک اصل را به خاطر بیاوریم: اگر دو صفحه در فضا دارای یک نقطه مشترک باشند، یک خط مستقیم مشترک دارند که تمام نقاط مشترک این صفحات روی آن قرار دارند. بنابراین، یک خط مستقیم در فضا را می توان با مشخص کردن دو صفحه متقاطع در امتداد این خط مستقیم تعریف کرد.

    اجازه دهید آخرین جمله را به زبان جبر ترجمه کنیم.

    بگذارید یک سیستم مختصات مستطیلی در فضای سه بعدی ثابت شود Oxyzو معلوم است که صراط مستقیم الفخط تقاطع دو صفحه است و به ترتیب با معادلات کلی صفحه شکل و. از آنجایی که مستقیم است الفمجموعه تمام نقاط مشترک صفحات است و سپس مختصات هر نقطه از خط a به طور همزمان هم معادله و هم معادله را برآورده می کند، مختصات هیچ نقطه دیگری به طور همزمان هر دو معادله صفحه را برآورده نمی کند. بنابراین مختصات هر نقطه از خط الفدر یک سیستم مختصات مستطیلی Oxyzنمایندگی کند راه حل خاص برای یک سیستم معادلات خطیمهربان و حل کلی سیستم معادلات مختصات هر نقطه از یک خط را تعیین می کند الف، یعنی یک خط مستقیم را تعریف می کند الف.

    بنابراین، یک خط مستقیم در فضا در یک سیستم مختصات مستطیلی شکل Oxyzرا می توان با سیستم معادلات دو صفحه متقاطع به دست آورد .

    در اینجا مثالی از تعریف یک خط مستقیم در فضا با استفاده از سیستم دو معادله آورده شده است - .

    توصیف یک خط مستقیم با معادلات دو صفحه متقاطع بسیار عالی است یافتن مختصات نقطه تقاطع یک خط و یک صفحهو همچنین چه زمانی یافتن مختصات نقطه تقاطع دو خط در فضا.

    مطالعه بیشتر این موضوع را با مراجعه به مقاله توصیه می کنیم معادلات یک خط در فضا - معادلات دو صفحه متقاطع. اطلاعات دقیق‌تری را ارائه می‌کند، راه‌حل‌های دقیق‌تری را برای مثال‌ها و مسائل مطرح می‌کند، و همچنین روشی را برای انتقال به معادلات یک خط مستقیم در فضایی از نوع متفاوت نشان می‌دهد.

    لازم به ذکر است که متفاوت هستند راه هایی برای تعریف خط در فضاو در عمل، یک خط مستقیم اغلب نه با دو صفحه متقاطع، بلکه با بردار هدایت کننده خط مستقیم و نقطه ای که روی این خط مستقیم قرار دارد، تعریف می شود. در این موارد، به دست آوردن معادلات متعارف و پارامتریک یک خط در فضا آسان تر است. در پاراگراف های بعدی در مورد آنها صحبت خواهیم کرد.

    معادلات پارامتریک یک خط در فضا.

    معادلات پارامتریک یک خط در فضاشبیه ,

    کجا x 1 ,y 1 و z 1 - مختصات نقطه ای از خط، الف x , الف yو الف z (الف x , الف yو الف zدر همان زمان برابر با صفر نیستند) - متناظر مختصات بردار جهت دهنده خط مستقیم، a پارامتری است که می تواند هر مقدار واقعی را بگیرد.

    برای هر مقدار از پارامتر، با استفاده از معادلات پارامتریک یک خط در فضا، می توانیم یک عدد سه گانه را محاسبه کنیم.

    با نقطه ای از خط مطابقت دارد (از این رو نام این نوع معادله خطی است). مثلاً وقتی

    از معادلات پارامتریک یک خط مستقیم در فضا مختصات را بدست می آوریم x 1 , y 1 و z 1 : .

    به عنوان مثال، یک خط مستقیم را در نظر بگیرید که توسط معادلات پارامتری فرم تعریف شده است . این خط از یک نقطه می گذرد و بردار جهت این خط دارای مختصاتی است.

    توصیه می کنیم با مراجعه به مقاله به مطالعه موضوع ادامه دهید معادلات پارامتریک یک خط در فضا. اشتقاق معادلات پارامتریک یک خط در فضا را نشان می دهد، موارد خاص معادلات پارامتریک یک خط در فضا را بررسی می کند، تصاویر گرافیکی ارائه می دهد، راه حل های دقیقی برای مسائل مشخصه ارائه می دهد و ارتباط بین معادلات پارامتریک یک خط و انواع دیگر را نشان می دهد. معادلات یک خط

    معادلات متعارف یک خط مستقیم در فضا.

    با حل هر یک از معادلات خط مستقیم پارامتریک فرم در مورد پارامتر، به راحتی می توان به آن رفت معادلات متعارف یک خط مستقیم در فضامهربان .

    معادلات متعارف یک خط در فضا خطی را که از یک نقطه می گذرد تعیین می کند ، و بردار جهت خط مستقیم بردار است . به عنوان مثال، معادلات یک خط مستقیم به صورت متعارف مربوط به خطی است که از نقطه ای در فضا با مختصات می گذرد، بردار جهت این خط دارای مختصاتی است.

    لازم به ذکر است که یک یا دو عدد از معادلات متعارف یک خط می تواند برابر با صفر باشد (هر سه عدد نمی توانند همزمان برابر با صفر باشند، زیرا بردار جهت یک خط نمی تواند صفر باشد). سپس نمادی از فرم صوری در نظر گرفته می شود (زیرا مخرج یک یا دو کسر دارای صفر خواهد بود) و باید به صورت ، کجا.

    اگر یکی از اعداد موجود در معادلات متعارف یک خط برابر با صفر باشد، آن خط در یکی از صفحات مختصات یا در صفحه ای موازی با آن قرار دارد. اگر دو عدد از اعداد صفر باشند، خط یا با یکی از محورهای مختصات منطبق است یا با آن موازی است. به عنوان مثال، یک خط مربوط به معادلات متعارف یک خط در فضای فرم ، در هواپیما خوابیده است z=-2، که موازی با صفحه مختصات است اکسی، و محور مختصات اوهتوسط معادلات متعارف تعیین می شود.

    برای تصاویر گرافیکی این موارد، مشتق معادلات متعارف یک خط در فضا، حل دقیق مثال‌ها و مسائل معمولی، و همچنین انتقال از معادلات متعارف یک خط به معادلات دیگر یک خط در فضا، را ببینید. مقاله معادلات متعارف یک خط در فضا.

      معادله کلی یک خط مستقیم انتقال از معادله عمومی به معادله متعارف.

    "
    مقالات مرتبط