Основни формули на теоретичната механика. Основни закони и формули в теоретичната механика

Теоретична механикае раздел от механиката, който излага основните закони на механичното движение и механичното взаимодействие на материалните тела.

Теоретичната механика е наука, която изучава движението на телата във времето (механични движения). Тя служи като основа за други клонове на механиката (теория на еластичността, якост на материалите, теория на пластичността, теория на механизмите и машините, хидроаеродинамика) и много технически дисциплини.

Механично движение- това е изменение във времето на взаимното разположение в пространството на материалните тела.

Механично взаимодействие- това е взаимодействие, в резултат на което се променя механичното движение или се променя взаимното положение на частите на тялото.

Статика на твърдото тяло

Статикае раздел от теоретичната механика, който се занимава с проблемите на равновесието на твърдите тела и превръщането на една система от сили в друга, еквивалентна на нея.

Основни понятия и закони на статиката
• Абсолютно твърдо тяло(твърдо тяло, тяло) е материално тяло, разстоянието между точките в което не се променя.
• Материална точкае тяло, чиито размери според условията на задачата могат да бъдат пренебрегнати.
• Свободно тяло- това е тяло, върху движението на което не се налагат ограничения.
• Несвободно (обвързано) тялое тяло, чието движение подлежи на ограничения.
• Връзки– това са тела, които възпрепятстват движението на съответния обект (тяло или система от тела).
• Комуникационна реакцияе сила, която характеризира действието на връзка върху твърдо тяло. Ако считаме силата, с която едно твърдо тяло действа върху връзка, за действие, тогава реакцията на връзката е реакция. В този случай силата - действие се прилага към връзката, а реакцията на връзката се прилага към твърдото тяло.
• Механична системае колекция от взаимосвързани тела или материални точки.
• Твърдиможе да се разглежда като механична система, чиито позиции и разстояния между точките не се променят.
• Силае векторна величина, която характеризира механичното въздействие на едно материално тяло върху друго.
  Силата като вектор се характеризира с точка на приложение, посока на действие и абсолютна стойност. Единицата за модул на сила е Нютон.
• Линия на действие на силатае права линия, по която е насочен векторът на силата.
• Фокусирана сила– сила, приложена в една точка.
• Разпределени сили (разпределено натоварване)- това са сили, действащи върху всички точки от обема, повърхността или дължината на едно тяло.
  Разпределеното натоварване се определя от силата, действаща на единица обем (повърхност, дължина).
  Размерът на разпределения товар е N/m 3 (N/m 2, N/m).
• Външна силае сила, действаща от тяло, което не принадлежи към разглежданата механична система.
• Вътрешна силае сила, действаща върху материална точка на механична система от друга материална точка, принадлежаща на разглежданата система.
• Силова системае набор от сили, действащи върху механична система.
• Система с плоска силае система от сили, чиито линии на действие лежат в една и съща равнина.
• Пространствена система от силие система от сили, чиито линии на действие не лежат в една и съща равнина.
• Система от събиращи се силие система от сили, чиито линии на действие се пресичат в една точка.
• Произволна система от силие система от сили, чиито линии на действие не се пресичат в една точка.
• Еквивалентни силови системи- това са системи от сили, чиято замяна една с друга не променя механичното състояние на тялото.
  Прието обозначение: .
• Равновесие- това е състояние, при което тяло под действието на сили остава неподвижно или се движи равномерно праволинейно.
• Балансирана система от сили- това е система от сили, която при прилагане към свободно твърдо тяло не променя механичното си състояние (не го изважда от равновесие).
  .
• Резултатна силае сила, чието действие върху тялото е еквивалентно на действието на система от сили.
  .
• Момент на силае величина, характеризираща ротационната способност на дадена сила.
• Двойка силие система от две успоредни сили с еднаква величина и противоположно насочени.
  Прието обозначение: .
  Под въздействието на двойка сили тялото ще извърши въртеливо движение.
• Проекция на сила върху оста- това е сегмент, затворен между перпендикуляри, изтеглени от началото и края на вектора на силата към тази ос.
  Проекцията е положителна, ако посоката на отсечката съвпада с положителната посока на оста.
• Проекция на сила върху равнинае вектор в равнина, затворен между перпендикуляри, прекарани от началото и края на вектора на силата към тази равнина.
• Закон 1 (закон за инерцията).Изолирана материална точка е в покой или се движи равномерно и праволинейно.
  Равномерното и праволинейно движение на материална точка е движение по инерция. Състоянието на равновесие на материална точка и твърдо тяло се разбира не само като състояние на покой, но и като движение по инерция. За здраво тяло има различни видоведвижение по инерция, например равномерно въртене на твърдо тяло около фиксирана ос.
• Закон 2.Твърдото тяло е в равновесие под действието на две сили само ако тези сили са равни по големина и са насочени в противоположни посоки по обща линия на действие.
  Тези две сили се наричат ​​балансиращи.
  Най-общо силите се наричат ​​уравновесени, ако твърдото тяло, към което са приложени тези сили, е в покой.
• Закон 3.Без да се нарушава състоянието (думата „състояние“ тук означава състояние на движение или покой) на твърдо тяло, може да се добавят и отхвърлят балансиращи сили.
  Последица. Без да се нарушава състоянието на твърдото тяло, силата може да се прехвърли по линията на действие до всяка точка на тялото.
  Две системи от сили се наричат ​​еквивалентни, ако едната от тях може да бъде заменена с друга, без да се нарушава състоянието на твърдото тяло.
• Закон 4.Резултатът от две сили, приложени в една точка, приложени в една и съща точка, е равен по големина на диагонала на успоредник, изграден върху тези сили, и е насочен по тази
  диагонали.
  Абсолютната стойност на резултата е:
  
• Закон 5 (закон за равенството на действието и реакцията). Силите, с които две тела действат едно върху друго, са равни по големина и са насочени в противоположни посоки по една и съща права линия.
  Трябва да се има предвид, че действие- сила, приложена към тялото б, И опозиция- сила, приложена към тялото А, не са балансирани, тъй като се прилагат към различни тела.
• Закон 6 (закон за втвърдяването). Равновесието на нетвърдо тяло не се нарушава при втвърдяването му.
  Не трябва да се забравя, че условията на равновесие, които са необходими и достатъчни за едно твърдо тяло, са необходими, но недостатъчни за съответното нетвърдо тяло.
• Закон 7 (закон за еманципация от връзки).Несвободното твърдо тяло може да се счита за свободно, ако е мислено освободено от връзки, замествайки действието на връзките със съответните реакции на връзките.

Връзки и техните реакции
• Гладка повърхностограничава движението нормално спрямо опорната повърхност. Реакцията е насочена перпендикулярно на повърхността.
• Шарнирна подвижна опораограничава движението на тялото нормално към базовата равнина. Реакцията е насочена нормално към опорната повърхност.
• Шарнирна фиксирана опорапротиводейства на всяко движение в равнина, перпендикулярна на оста на въртене.
• Шарнирен безтегловен прътпротиводейства на движението на тялото по линията на пръта. Реакцията ще бъде насочена по линията на пръта.
• Сляп печатпротиводейства на всяко движение и въртене в равнината. Неговото действие може да бъде заменено със сила, представена под формата на два компонента и двойка сили с момент.

Кинематика

Кинематика- раздел от теоретичната механика, който разглежда общите геометрични свойства на механичното движение като процес, протичащ в пространството и времето. Движещите се обекти се разглеждат като геометрични точки или геометрични тела.

Основни понятия на кинематиката
• Закон за движение на точка (тяло)– това е зависимостта на положението на точка (тяло) в пространството от времето.
• Точкова траектория– това е геометричното разположение на точка в пространството по време на нейното движение.
• Скорост на точка (тяло)– това е характеристика на изменението във времето на положението на точка (тяло) в пространството.
• Ускорение на точка (тяло)– това е характеристика на изменението във времето на скоростта на точка (тяло).

Определяне на кинематични характеристики на точка
• Точкова траектория
  Във векторна отправна система траекторията се описва с израза: .
  В координатната референтна система траекторията се определя от закона за движение на точката и се описва с изразите z = f(x,y)- в космоса, или y = f(x)- в самолет.
  В естествената референтна система траекторията е зададена предварително.
• Определяне на скоростта на точка във векторна координатна система
  При определяне на движението на точка във векторна координатна система съотношението на движението към интервал от време се нарича средна стойност на скоростта за този интервал от време: .
  Приемайки времевия интервал за безкрайно малка стойност, получаваме стойността на скоростта в даден момент (моментна стойност на скоростта): .
  Векторът на средната скорост е насочен по вектора в посоката на движение на точката, векторът на моментната скорост е насочен тангенциално към траекторията в посоката на движение на точката.
  Заключение: скоростта на една точка е векторна величина, равна на производната по време на закона за движение.
  Производно свойство: производната на всяка величина по отношение на времето определя скоростта на промяна на тази величина.
• Определяне на скоростта на точка в координатна отправна система
  Скорост на промяна на координатите на точката:
  .
  Модулът на пълната скорост на точка с правоъгълна координатна система ще бъде равен на:
  .
  Посоката на вектора на скоростта се определя от косинусите на насочващите ъгли:
  ,
  където са ъглите между вектора на скоростта и координатните оси.
• Определяне на скоростта на точка в естествена отправна система
  Скоростта на точка в естествената референтна система се определя като производна на закона за движение на точката: .
  Според предходните заключения векторът на скоростта е насочен тангенциално към траекторията в посоката на движение на точката и в осите се определя само от една проекция.

Кинематика на твърдото тяло
• В кинематиката на твърдите тела се решават два основни проблема:
  1) настройка на движението и определяне на кинематичните характеристики на тялото като цяло;
  2) определяне на кинематичните характеристики на точките на тялото.
• Постъпателно движение на твърдо тяло
  Транслационното движение е движение, при което права линия, прекарана през две точки на тяло, остава успоредна на първоначалното си положение.
  Теорема: по време на транслационно движение всички точки на тялото се движат по еднакви траектории и във всеки момент имат еднаква величина и посока на скорост и ускорение.
  Заключение: транслационното движение на твърдо тяло се определя от движението на всяка от неговите точки и следователно задачата и изследването на неговото движение се свежда до кинематиката на точката.
• Въртеливо движение на твърдо тяло около неподвижна ос
  Ротационното движение на твърдо тяло около фиксирана ос е движението на твърдо тяло, при което две точки, принадлежащи на тялото, остават неподвижни през цялото време на движение.
  Положението на тялото се определя от ъгъла на завъртане. Мерната единица за ъгъл е радиан. (Радианът е централният ъгъл на окръжност, чиято дължина на дъгата е равна на радиуса; общият ъгъл на окръжността съдържа 2πрадиан.)
  Законът за въртеливото движение на тялото около неподвижна ос.
  Определяме ъгловата скорост и ъгловото ускорение на тялото, като използваме метода на диференциация:
  — ъглова скорост, rad/s;
  — ъглово ускорение, rad/s².
  Ако разрязвате тялото с равнина, перпендикулярна на оста, изберете точка на оста на въртене СЪСи произволна точка М, след това точка Мще опише около точка СЪСрадиус на кръга Р. По време на дтима елементарно завъртане през ъгъл , и точката Мще се движи по траекторията на разстояние .
  Модул за линейна скорост:
  .
  Точково ускорение Мс известна траектория се определя от неговите компоненти:
  ,
  Където .
  В резултат на това получаваме формулите
  тангенциално ускорение: ;
  нормално ускорение: .

Динамика

Динамикае раздел от теоретичната механика, в който се изучават механичните движения на материалните тела в зависимост от причините, които ги предизвикват.

Основни понятия на динамиката
• Инерция- това е свойството на материалните тела да поддържат състояние на покой или равномерно праволинейно движение, докато външни сили не променят това състояние.
• Теглое количествена мярка за инертността на тялото. Единицата за маса е килограм (kg).
• Материална точка- това е тяло с маса, чиито размери се пренебрегват при решаването на тази задача.
• Център на масата на механична система- геометрична точка, чиито координати се определят по формулите:
  
  Където m k, x k, y k, z k— маса и координати к- тази точка на механичната система, м— маса на системата.
  В еднородно гравитационно поле положението на центъра на масата съвпада с положението на центъра на тежестта.
• Инерционният момент на материално тяло спрямо осе количествена мярка за инерцията по време на въртеливо движение.
  Инерционният момент на материална точка спрямо оста е равен на произведението на масата на точката по квадрата на разстоянието на точката от оста:
  .
  Инерционният момент на системата (тялото) спрямо оста е равен на аритметичната сума от инерционните моменти на всички точки:
  
• Инерционна сила на материална точкае векторна величина, равна по модул на произведението на масата на точка и модула на ускорението и насочена противоположно на вектора на ускорението:
• Инерционната сила на материално тялое векторна величина, равна по модул на произведението на масата на тялото и модула на ускорение на центъра на масата на тялото и насочена срещуположно на вектора на ускорението на центъра на масата: ,
  където е ускорението на центъра на масата на тялото.
• Елементарен импулс на силае векторна величина, равна на произведението на вектора на силата и безкрайно малък период от време дт:
  .
  Общият импулс на сила за Δt е равен на интеграла от елементарните импулси:
  .
• Елементарна работа на силатае скаларна величина dA, равен на скаларния прои

Съдържание

Кинематика

Кинематика на материална точка

Определяне на скоростта и ускорението на точка чрез дадените уравнения на нейното движение

Дадено е: Уравнения на движение на точка: x = 12 sin(πt/6), см; y = 6 cos 2 (πt/6), см.

Задайте вида на неговата траектория за момента t = 1 секнамерете положението на точката върху траекторията, нейната скорост, общо, тангенциално и нормално ускорение, както и радиуса на кривината на траекторията.

Постъпателно и въртеливо движение на твърдо тяло

дадени:
t = 2 s; r 1 = 2 cm, R 1 = 4 cm; r 2 = 6 cm, R 2 = 8 cm; r 3 = 12 cm, R 3 = 16 cm; s 5 = t 3 - 6t (cm).

Определете в момент t = 2 скоростите на точките A, C; ъглово ускорение на колело 3; ускорение на точка B и ускорение на стелаж 4.

Кинематичен анализ на плосък механизъм

дадени:
R 1, R 2, L, AB, ω 1.
Намерете: ω 2.

Плоският механизъм се състои от пръти 1, 2, 3, 4 и плъзгач E. Прътите са свързани с помощта на цилиндрични панти. Точка D се намира в средата на пръта AB.
Дадено е: ω 1, ε 1.
Намерете: скорости V A, V B, V D и V E; ъглови скорости ω 2, ω 3 и ω 4; ускорение a B ; ъглово ускорение ε AB на връзка AB; позиции на центровете за моментна скорост P 2 и P 3 на връзки 2 и 3 на механизма.

Определяне на абсолютна скорост и абсолютно ускорение на точка

Правоъгълна плоча се върти около фиксирана ос по закона φ = 6 t 2 - 3 t 3. Положителната посока на ъгъла φ е показана на фигурите с дъгообразна стрелка. Ос на въртене OO 1 лежи в равнината на плочата (плочата се върти в пространството).

Точка M се движи по плочата по правата BD. Даден е законът за относителното му движение, т.е. зависимостта s = AM = 40 (t - 2 t 3) - 40(s - в сантиметри, t - в секунди). Разстояние b = 20 см. На фигурата точка M е показана в позиция, където s = AM > 0 (при с< 0 точка M е от другата страна на точка A).

Намерете абсолютната скорост и абсолютното ускорение на точка M в момент t 1 = 1 s.

Динамика

Интегриране на диференциални уравнения на движение на материална точка под въздействието на променливи сили

Товар D с маса m, получил първоначална скорост V 0 в точка А, се движи в извита тръба ABC, разположена във вертикална равнина. В участък AB, чиято дължина е l, товарът се действа от постоянна сила T (посоката му е показана на фигурата) и сила R на средното съпротивление (модулът на тази сила R = μV 2, векторът R е насочен противоположно на скоростта V на товара).

Товарът, завършил движението си в участък AB, в точка B на тръбата, без да променя стойността на скоростния си модул, се придвижва в участък BC. В участък BC товарът се въздейства от променлива сила F, чиято проекция F x върху оста x е дадена.

Считайки товара за материална точка, намерете закона за неговото движение в сечение BC, т.е. x = f(t), където x = BD. Пренебрегнете триенето на товара върху тръбата.

Изтеглете решението на проблема

Теорема за промяната на кинетичната енергия на механична система

Механичната система се състои от тежести 1 и 2, цилиндрична ролка 3, двустепенни макари 4 и 5. Телата на системата са свързани с резби, навити на макарите; секциите на нишките са успоредни на съответните равнини. Ролката (твърд хомогенен цилиндър) се търкаля по опорната равнина без плъзгане. Радиусите на етапите на макарите 4 и 5 са ​​съответно равни на R 4 = 0,3 m, r 4 = 0,1 m, R 5 = 0,2 m, r 5 = 0,1 м. Масата на всяка макара се счита за равномерно разпределена по протежение на външния му ръб. Опорните равнини на товари 1 и 2 са грапави, коефициентът на триене при плъзгане за всеки товар е f = 0,1.

Под действието на сила F, чийто модул се променя по закона F = F(s), където s е преместването на точката на нейното приложение, системата започва да се движи от състояние на покой. Когато системата се движи, върху макарата 5 действат съпротивителни сили, чийто момент спрямо оста на въртене е постоянен и равен на M 5 .

Определете стойността на ъгловата скорост на макарата 4 в момента, когато преместването s на точката на прилагане на сила F стане равно на s 1 = 1,2 m.

Изтеглете решението на проблема

Приложение на общото уравнение на динамиката за изследване на движението на механична система

За механична система определете линейното ускорение a 1 . Да приемем, че масите на блоковете и ролките са разпределени по външния радиус. Кабелите и коланите трябва да се считат за безтегловни и неразтегливи; няма приплъзване. Пренебрегвайте триенето при търкаляне и плъзгане.

Изтеглете решението на проблема

Приложение на принципа на д'Аламбер за определяне на реакциите на опорите на въртящо се тяло

Вертикалният вал AK, въртящ се равномерно с ъглова скорост ω = 10 s -1, е фиксиран от опорен лагер в точка A и цилиндричен лагер в точка D.

Твърдо закрепени към вала са безтегловен прът 1 с дължина l 1 = 0,3 m, в свободния край на който има товар с маса m 1 = 4 kg, и хомогенен прът 2 с дължина l 2 = 0,6 m, с маса m 2 = 8 kg. И двата пръта лежат в една и съща вертикална равнина. Точките на закрепване на прътите към вала, както и ъглите α и β са посочени в таблицата. Размери AB=BD=DE=EK=b, където b = 0,4 м. Вземете товара като материална точка.

Пренебрегвайки масата на вала, определете реакциите на опорния лагер и лагера.

В рамките на всяка курс на обучениеИзучаването на физиката започва с механиката. Не теоретичен, не приложен, не изчислителен, а добър стар класическа механика. Тази механика се нарича още Нютонова механика. Според легендата един учен се разхождал в градината и видял ябълка да пада и именно това явление го подтикнало да открие закона за всемирното притегляне. Разбира се, законът винаги е съществувал и Нютон му е дал само разбираема за хората форма, но неговата заслуга е безценна. В тази статия няма да описваме законите на Нютоновата механика възможно най-подробно, но ще очертаем основите, основните знания, дефинициите и формулите, които винаги могат да ви помогнат.

Механиката е дял от физиката, наука, която изучава движението на материалните тела и взаимодействията между тях.

Самата дума е от гръцки произход и се превежда като „изкуството за изграждане на машини“. Но преди да построим машини, ние все още сме като Луната, така че нека следваме стъпките на нашите предци и да изучаваме движението на камъни, хвърлени под ъгъл спрямо хоризонта, и ябълки, падащи върху главите ни от височина h.

Защо изучаването на физиката започва с механиката? Тъй като това е напълно естествено, не трябва ли да започнем с термодинамичното равновесие?!

Механиката е една от най-старите науки и исторически изучаването на физиката започва именно с основите на механиката. Поставени в рамките на времето и пространството, хората всъщност не биха могли да започнат с нещо друго, колкото и да им се искаше. Движещите се тела са първото нещо, на което обръщаме внимание.

Какво е движение?

Механичното движение е промяна в положението на телата в пространството едно спрямо друго във времето.

След това определение съвсем естествено стигаме до понятието референтна рамка. Промяна на положението на телата в пространството едно спрямо друго.Ключови думи тук: един спрямо друг . В края на краищата, пътник в кола се движи спрямо човека, който стои отстрани на пътя, с определена скорост и е в покой спрямо съседа си на седалката до него и се движи с друга скорост спрямо пътника в колата, която ги изпреварва.

Ето защо, за да измерваме нормално параметрите на движещи се обекти и да не се объркаме, имаме нужда отправна система - твърдо свързани помежду си отправно тяло, координатна система и часовник. Например, земята се движи около слънцето в хелиоцентрична референтна система. В ежедневието ние извършваме почти всички наши измервания в геоцентрична референтна система, свързана със Земята. Земята е референтно тяло, спрямо което се движат автомобили, самолети, хора и животни.

Механиката като наука има своя задача. Задачата на механиката е да знае положението на тялото в пространството по всяко време. С други думи, механиката изгражда математическо описание на движението и намира връзки между физични величини, които го характеризират.

За да продължим напред, се нуждаем от концепцията „ материална точка " Казват, че физиката е точна наука, но физиците знаят колко много приближения и предположения трябва да се направят, за да се постигне съгласие относно точно тази точност. Никой никога не е виждал материална точка или е помирисвал идеален газ, но те съществуват! Просто с тях се живее много по-лесно.

Материална точка е тяло, чийто размер и форма могат да бъдат пренебрегнати в контекста на тази задача.

Раздели на класическата механика

Механиката се състои от няколко раздела

• Кинематика
• Динамика
• Статика

Кинематикаот физическа гледна точка изучава как точно се движи едно тяло. С други думи, този раздел се занимава с количествените характеристики на движението. Намерете скорост, път - типични кинематични проблеми

Динамикарешава въпроса защо се движи по този начин. Тоест, той отчита силите, действащи върху тялото.

Статикаизучава равновесието на телата под въздействието на сили, тоест отговаря на въпроса: защо изобщо не пада?

Граници на приложимост на класическата механика

Класическата механика вече не претендира да бъде наука, която обяснява всичко (в началото на миналия век всичко беше съвсем различно) и има ясна рамка на приложимост. Като цяло законите на класическата механика са валидни в света, с който сме свикнали по размери (макросвят). Те спират да работят в случая на света на частиците, когато класическият се замени с квантова механика. Също така класическата механика не е приложима в случаите, когато движението на телата се извършва със скорост, близка до скоростта на светлината. В такива случаи релативистките ефекти стават ясно изразени. Грубо казано, в рамките на квантовата и релативистката механика - класическата механика, това е частен случай, когато размерите на тялото са големи, а скоростта е малка.

Най-общо казано, квантовите и релативистичните ефекти никога не изчезват; те се появяват и при обикновеното движение на макроскопични тела със скорост, много по-ниска от скоростта на светлината. Друго нещо е, че ефектът от тези ефекти е толкова малък, че не надхвърля най-точните измервания. По този начин класическата механика никога няма да загуби фундаменталното си значение.

Ще продължим да изучаваме физическите основи на механиката в бъдещи статии. За по-добро разбиране на механиката винаги можете да се обърнете към на нашите автори, които индивидуално ще хвърлят светлина върху тъмното петно ​​на най-трудната задача.

Статиката е дял от теоретичната механика, който изучава условията на равновесие на материални тела под въздействието на сили, както и методите за превръщане на силите в еквивалентни системи.

В статиката състояние на равновесие се разбира като състояние, при което всички части на механична система са в покой спрямо някаква инерционна координатна система. Един от основните обекти на статиката са силите и техните точки на приложение.

Силата, действаща върху материална точка с радиус-вектор от други точки, е мярка за влиянието на други точки върху разглежданата точка, в резултат на което тя получава ускорение спрямо инерциалната отправна система. величина силаопределя се по формулата:
,
където m е масата на точката – величина, която зависи от свойствата на самата точка. Тази формула се нарича втори закон на Нютон.

Приложение на статиката в динамиката

Важна характеристикауравнения на движение на абсолютно твърдо тяло е, че силите могат да бъдат преобразувани в еквивалентни системи. С тази трансформация уравненията на движението запазват формата си, но системата от сили, действащи върху тялото, може да се трансформира в по-проста система. Така точката на прилагане на силата може да се премества по линията на нейното действие; силите могат да бъдат разширени според правилото на успоредника; силите, приложени в една точка, могат да бъдат заменени с тяхната геометрична сума.

Пример за такива трансформации е гравитацията. Действа върху всички точки на твърдото тяло. Но законът за движение на тялото няма да се промени, ако силата на гравитацията, разпределена във всички точки, се замени с един вектор, приложен в центъра на масата на тялото.

Оказва се, че ако към основната система от сили, действащи върху тялото, добавим еквивалентна система, в която посоките на силите се променят на противоположни, тогава тялото под въздействието на тези системи ще бъде в равновесие. По този начин задачата за определяне на еквивалентни системи от сили се свежда до проблем за равновесие, тоест до проблем със статиката.

Основната задача на статикатае установяването на закони за трансформиране на система от сили в еквивалентни системи. По този начин методите на статиката се използват не само при изследване на тела в равновесие, но и в динамиката на твърдо тяло, когато се трансформират силите в по-прости еквивалентни системи.

Статика на материална точка

Нека разгледаме материална точка, която е в равновесие. И нека върху него действат n сили, k = 1, 2, ..., н.

Ако една материална точка е в равновесие, тогава векторната сума на силите, действащи върху нея, е равна на нула:
(1) .

В равновесие геометричната сума на силите, действащи върху дадена точка, е нула.

Геометрична интерпретация. Ако поставите началото на втория вектор в края на първия вектор и поставите началото на третия в края на втория вектор и след това продължите този процес, тогава краят на последния, n-ти вектор ще бъде подравнен с началото на първия вектор. Тоест, получаваме затворена геометрична фигура, дължините на страните са равни на модулите на векторите. Ако всички вектори лежат в една и съща равнина, тогава получаваме затворен многоъгълник.

Често е удобно да избирате правоъгълна координатна система Oxyz. Тогава сумите от проекциите на всички вектори на сила върху координатните оси са равни на нула:

Ако изберете посока, определена от някакъв вектор, тогава сумата от проекциите на векторите на силата върху тази посока е равна на нула:
.
Нека умножим уравнение (1) скаларно по вектора:
.
Ето скаларното произведение на векторите и .
Обърнете внимание, че проекцията на вектора върху посоката на вектора се определя от формулата:
.

Статика на твърдото тяло

Силов момент около точка

Определяне на момент на сила

Момент на сила, приложен към тялото в точка А, спрямо неподвижния център О, се нарича вектор, равен на векторното произведение на векторите и:
(2) .

Геометрична интерпретация

Силовият момент е равен на произведението на силата F и рамото OH.

Нека векторите и са разположени в чертожната равнина. Съгласно свойството на векторния продукт, векторът е перпендикулярен на векторите и, тоест, перпендикулярен на равнината на чертежа. Посоката му се определя от правилото за десния винт. На фигурата векторът на въртящия момент е насочен към нас. Абсолютна стойност на въртящия момент:
.
От тогава
(3) .

Използвайки геометрията, можем да дадем различна интерпретация на момента на силата. За да направите това, начертайте права линия AH през вектора на силата. От центъра O спускаме перпендикуляра OH към тази права линия. Дължината на този перпендикуляр се нарича рамо на силата. Тогава
(4) .
Тъй като , то формули (3) и (4) са еквивалентни.

По този начин, абсолютна стойност на момента на силатаспрямо центъра O е равно на произведение на сила на рамотази сила спрямо избрания център O.

Когато се изчислява въртящият момент, често е удобно силата да се разложи на два компонента:
,
Където . Силата минава през точка О. Следователно неговият момент е нула. Тогава
.
Абсолютна стойност на въртящия момент:
.

Моментни компоненти в правоъгълна координатна система

Ако изберем правоъгълна координатна система Oxyz с център в точка O, тогава моментът на сила ще има следните компоненти:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) .
Ето координатите на точка А в избраната координатна система:
.
Компонентите представляват съответно стойностите на момента на силата около осите.

Свойства на момента на силата спрямо центъра

Моментът около центъра O, дължащ се на силата, преминаваща през този център, е равен на нула.

Ако точката на прилагане на силата се премести по линия, минаваща през вектора на силата, тогава моментът с такова движение няма да се промени.

Моментът от векторната сума на силите, приложени към една точка на тялото, е равен на векторната сума на моментите от всяка от силите, приложени към същата точка:
.

Същото важи и за сили, чиито продължаващи линии се пресичат в една точка.

Ако векторната сума на силите е нула:
,
тогава сумата от моментите от тези сили не зависи от позицията на центъра, спрямо който се изчисляват моментите:
.

Двойка сили

Двойка сили- това са две равни по абсолютна величина и противоположни посоки сили, приложени към различни точки на тялото.

Една двойка сили се характеризира с момента, в който те създават. Тъй като векторната сума на силите, влизащи в двойката, е нула, моментът, създаден от двойката, не зависи от точката, спрямо която се изчислява моментът. От гледна точка на статичното равновесие естеството на силите, участващи в двойката, няма значение. Няколко сили се използват, за да укажат, че момент на сила с определена стойност действа върху тялото.

Силов момент около дадена ос

Често има случаи, когато не е необходимо да знаем всички компоненти на момента на силата около избрана точка, а трябва да знаем само момента на силата около избрана ос.

Моментът на силата около ос, минаваща през точка O, е проекцията на вектора на момента на силата, спрямо точка O, върху посоката на оста.

Свойства на момента на силата около оста

Моментът около оста, дължащ се на силата, преминаваща през тази ос, е равен на нула.

Моментът около ос, дължащ се на сила, успоредна на тази ос, е равен на нула.

Изчисляване на момента на силата около ос

Нека сила действа върху тялото в точка А. Нека намерим момента на тази сила спрямо оста O′O′′.

Нека построим правоъгълна координатна система. Нека оста Oz съвпада с O′O′′. От точка А спускаме перпендикуляра OH на O′O′′. През точките O и A прекарваме оста Ox. Начертаваме оста Oy, перпендикулярна на Ox и Oz. Нека разложим силата на компоненти по осите на координатната система:
.
Силата пресича оста O′O′′. Следователно неговият момент е нула. Силата е успоредна на оста O′O′′. Следователно неговият момент също е нула. Използвайки формула (5.3), намираме:
.

Обърнете внимание, че компонентът е насочен тангенциално към окръжността, чийто център е точка O. Посоката на вектора се определя от правилото за десния винт.

Условия за равновесие на твърдо тяло

В равновесие векторната сума на всички сили, действащи върху тялото, е равна на нула, а векторната сума на моментите на тези сили спрямо произволен неподвижен център е равна на нула:
(6.1) ;
(6.2) .

Подчертаваме, че центърът O, спрямо който се изчисляват моментите на силите, може да бъде избран произволно. Точка О може да принадлежи на тялото или да се намира извън него. Обикновено центърът O се избира, за да направи изчисленията по-лесни.

Условията на равновесие могат да бъдат формулирани по друг начин.

В равновесие сумата от проекциите на силите във всяка посока, определена от произволен вектор, е равна на нула:
.
Сумата от моментите на силите спрямо произволна ос O′O′′ също е равна на нула:
.

Понякога такива условия се оказват по-удобни. Има случаи, когато чрез избор на оси изчисленията могат да бъдат опростени.

Център на тежестта на тялото

Нека разгледаме една от най-важните сили - гравитацията. Тук силите не се прилагат в определени точки на тялото, а се разпределят непрекъснато в целия му обем. За всяка област на тялото с безкрайно малък обем ΔV, действа силата на гравитацията. Тук ρ е плътността на веществото на тялото и е ускорението на гравитацията.

Нека е масата на безкрайно малка част от тялото. И нека точка A k определя позицията на този участък. Нека намерим количествата, свързани с гравитацията, които са включени в уравненията на равновесието (6).

Нека намерим сумата от силите на гравитацията, образувани от всички части на тялото:
,
къде е телесната маса. По този начин сумата от гравитационните сили на отделните безкрайно малки части на тялото може да бъде заменена с един вектор на гравитационната сила на цялото тяло:
.

Нека намерим сумата от моментите на тежестта по сравнително произволен начин за избрания център O:

.
Тук сме въвели точка C, която се нарича център на тежесттатела. Положението на центъра на тежестта в координатна система с център точка O се определя по формулата:
(7) .

Така че, когато се определя статичното равновесие, сумата от силите на гравитацията на отделните части на тялото може да бъде заменена с резултата
,
приложен към центъра на масата на тялото C, чието положение се определя по формула (7).

Положението на центъра на тежестта за различни геометрични фигури може да се намери в съответните справочници. Ако тялото има ос или равнина на симетрия, тогава центърът на тежестта е разположен върху тази ос или равнина. По този начин центровете на тежестта на сфера, кръг или кръг са разположени в центровете на кръговете на тези фигури. Центровете на тежестта на правоъгълен паралелепипед, правоъгълник или квадрат също са разположени в техните центрове - в точките на пресичане на диагоналите.

Равномерно (A) и линейно (B) разпределен товар.

Има и случаи, подобни на гравитацията, когато силите не се прилагат в определени точки на тялото, а се разпределят непрекъснато по повърхността или обема му. Такива сили се наричат разпределени силиили .

(Фигура А). Освен това, както в случая с гравитацията, тя може да бъде заменена от резултантна сила с магнитуд, приложена в центъра на тежестта на диаграмата. Тъй като диаграмата на фигура A е правоъгълник, центърът на тежестта на диаграмата е в нейния център - точка C: | AC| = | CB|.

(Фигура B). Може да се замени и с резултата. Големината на резултата е равна на площта на диаграмата:
.
Точката на приложение е в центъра на тежестта на диаграмата. Центърът на тежестта на триъгълник с височина h се намира на разстояние от основата. Ето защо .

Сили на триене

Триене при плъзгане. Нека тялото е на равна повърхност. И нека е силата, перпендикулярна на повърхността, с която повърхността действа върху тялото (сила на натиск). Тогава силата на триене при плъзгане е успоредна на повърхността и насочена настрани, предотвратявайки движението на тялото. Най-голямата му стойност е:
,
където f е коефициентът на триене. Коефициентът на триене е безразмерна величина.

Триене при търкаляне. Оставете кръгло тяло да се търкаля или може да се търкаля по повърхността. И нека силата на натиск е перпендикулярна на повърхността, от която повърхността действа върху тялото. Тогава върху тялото, в точката на контакт с повърхността, действа момент на сили на триене, предотвратявайки движението на тялото. Най-голямата стойност на момента на триене е равна на:
,
където δ е коефициентът на триене при търкаляне. Има измерението на дължината.

Препратки:
С. М. Тарг, Кратък курстеоретична механика", висше училище“, 2010 г.

Списък с изпитни въпроси

1. Техническа механика, нейното определение. Механично движение и механично взаимодействие. Материална точка, механична система, абсолютно твърдо тяло.

Техническа механика – наука за механичното движение и взаимодействие на материалните тела.

Механиката е една от най-древните науки. Терминът "механика" е въведен от изключителния древен философ Аристотел.

Постиженията на учените в областта на механиката позволяват да се решават сложни практически проблеми в областта на технологиите и по същество нито едно природно явление не може да бъде разбрано, без да се разбере откъм механична страна. И нито едно технологично творение не може да бъде създадено, без да се вземат предвид определени механични закони.

Механично движение - това е изменение във времето на взаимното разположение в пространството на материалните тела или взаимното разположение на части от дадено тяло.

Механично взаимодействие - това са действията на материалните тела едно върху друго, в резултат на което настъпва промяна в движението на тези тела или промяна на формата им (деформация).

Основни понятия:

Материална точка е тяло, чиито размери могат да бъдат пренебрегнати при дадени условия. Има маса и способността да взаимодейства с други тела.

Механична система е набор от материални точки, позицията и движението на всяка от които зависят от позицията и движението на други точки на системата.

Абсолютно твърдо тяло (ATB) е тяло, чието разстояние между произволни две точки винаги остава непроменено.

1. Теоретична механика и нейните раздели. Проблеми на теоретичната механика.

Теоретична механика е дял от механиката, в който се изучават законите на движението на телата и общите свойства на тези движения.

Теоретичната механика се състои от три раздела: статика, кинематика и динамика.

Статикаизследва равновесието на телата и техните системи под въздействието на сили.

Кинематикаразглежда общите геометрични свойства на движението на телата.

Динамикаизучава движението на телата под въздействието на сили.

Статични задачи:

1. Преобразуване на системи от сили, действащи върху АТТ, в еквивалентни на тях системи, т.е. довеждайки тази система от сили до нейната най-проста форма.

2. Определяне на условията за равновесие на системата от сили, действащи върху АТТ.

За решаването на тези проблеми се използват два метода: графичен и аналитичен.

1. Равновесие. Сила, система от сили. Резултатна сила, концентрирана сила и разпределени сили.

Равновесие - Това е състоянието на покой на едно тяло спрямо други тела.

Сила – това е основната мярка за механичното взаимодействие на материалните тела. Тя е векторна величина, т.е. Силата се характеризира с три елемента:

Точка на приложение;

Линия на действие (посока);

Модул (числова стойност).

Силова система – това е съвкупността от всички сили, действащи върху разглежданото абсолютно твърдо тяло (ATB)

Системата от сили се нарича конвергентен , ако линиите на действие на всички сили се пресичат в една точка.

Системата се нарича апартамент , ако линиите на действие на всички сили лежат в една и съща равнина, в противен случай пространствена.

Системата от сили се нарича паралелен , ако линиите на действие на всички сили са успоредни една на друга.

Двете системи от сили се наричат еквивалентен , ако една система от сили, действащи върху абсолютно твърдо тяло, може да бъде заменена от друга система от сили, без да се променя състоянието на покой или движение на тялото.

Балансиран или еквивалентен на нула се нарича система от сили, под въздействието на които свободният АТТ може да бъде в покой.

Резултат сила е сила, чието действие върху тяло или материална точка е еквивалентно на действието на система от сили върху същото тяло.

От външни сили

Силата, упражнена върху тялото във всяка една точка, се нарича концентриран .

Наричат ​​се сили, действащи върху всички точки от определен обем или повърхност разпределени .

Тяло, което не е възпрепятствано да се движи в която и да е посока от друго тяло, се нарича свободно.

1. Външен и вътрешни сили. Свободно и несвободно тяло. Принципът на освобождаване от връзки.

От външни сили са силите, с които частите на дадено тяло действат една на друга.

При решаването на повечето проблеми на статиката е необходимо да се представи несвободно тяло като свободно, което се прави с помощта на принципа на освобождаване, който се формулира по следния начин:

всяко несвободно тяло може да се счита за свободно, ако отхвърлим връзките и ги заменим с реакции.

В резултат на прилагането на този принцип се получава тяло, което е свободно от връзки и се намира под въздействието на определена система от активни и реактивни сили.

1. Аксиоми на статиката.

Условия, при които едно тяло може да бъде равно vesii,се извеждат от няколко основни положения, приети без доказателства, но потвърдени от експерименти , и се обади аксиоми на статиката.Основните аксиоми на статиката са формулирани от английския учен Нютон (1642-1727) и затова са кръстени на него.

Аксиома I (аксиома на инерцията или първи закон на Нютон).

Всяко тяло запазва своето състояние на покой или праволинейно равномерно движение до известно време правомощияняма да го извади от това състояние.

Способността на тялото да поддържа състояние на покой или линейно равномерно движение се нарича инерция. Въз основа на тази аксиома ние считаме, че състоянието на равновесие е състояние, когато тялото е в покой или се движи праволинейно и равномерно (т.е. по инерция).

Аксиома II (аксиома за взаимодействие или трети закон на Нютон).

Ако едно тяло действа върху второто с определена сила, то второто тяло едновременно действа върху първото със сила, равна по големина на противоположна по посока.

Съвкупността от сили, приложени към дадено тяло (или система от тела), се нарича система от сили.Силата на действие на тялото върху дадено тяло и силата на реакция на дадено тяло не представляват система от сили, тъй като те са приложени към различни тела.

Ако някоя система от сили има такова свойство, че след прилагане на свободно тяло тя не променя състоянието си на равновесие, тогава такава система от сили се нарича балансиран.

Аксиома III (условие за равновесие на две сили).

За равновесието на свободно твърдо тяло под действието на две сили е необходимо и достатъчно тези сили да са равни по големина и да действат в една права линия в противоположни посоки.

необходимоза балансиране на двете сили. Това означава, че ако една система от две сили е в равновесие, тогава тези сили трябва да са равни по големина и да действат в една права линия в противоположни посоки.

Условието, формулирано в тази аксиома е достатъчноза балансиране на двете сили. Това означава, че е валидна обратната формулировка на аксиомата, а именно: ако две сили са равни по големина и действат по една права линия в противоположни посоки, тогава такава система от сили задължително е в равновесие.

По-нататък ще се запознаем с условието за равновесие, което ще е необходимо, но недостатъчно за равновесие.

Аксиома IV.

Равновесието на твърдо тяло няма да се наруши, ако върху него се приложи или премахне система от балансирани сили.

Следствие от аксиомите IIIИ IV.

Равновесието на твърдото тяло няма да бъде нарушено от прехвърлянето на сила по линията на неговото действие.

Аксиома за успоредник. Тази аксиома е формулирана по следния начин:

Резултат от две приложени силиДа се тяло в една точка, е равна по големина и съвпада по посока с диагонала на успоредник, построен върху тези сили, и е приложена в същата точка.

1. Връзки, реакции на връзки. Примери за връзки.

Връзкисе наричат ​​тела, които ограничават движението на дадено тяло в пространството. Силата, с която тялото действа върху връзка, се нарича налягане;се нарича силата, с която връзката действа върху тялото реакция.Според аксиомата за взаимодействие, реакция и налягане по модул равени действат по една права линия в противоположни посоки. Реакция и натиск се прилагат към различни тела. Външните сили, действащи върху тялото, се делят на активенИ реактивен.Активните сили се стремят да движат тялото, към което са приложени, а реактивните сили, чрез връзки, предотвратяват това движение. Основната разлика между активните сили и реактивните сили е, че големината на реактивните сили, най-общо казано, зависи от величината на активните сили, но не и обратното. Активните сили често се наричат

Посоката на реакциите се определя от посоката, в която тази връзка пречи на движението на тялото. Правилото за определяне на посоката на реакциите може да се формулира, както следва:

посоката на реакцията на връзката е противоположна на посоката на движение, унищожена от тази връзка.

1. Идеално гладка равнина

В този случай реакцията Рнасочена перпендикулярно на базовата равнина към тялото.

2. Идеално гладка повърхност (фиг. 16).

В този случай реакцията R е насочена перпендикулярно на допирателната равнина t - t, т.е. нормално на опорната повърхност към тялото.

3. Фиксирана точка или ъглов ръб (фиг. 17, ръб B).

В този случай реакцията R внасочена нормално към повърхността на идеално гладко тяло към тялото.

4. Гъвкава връзка (фиг. 17).

Реакцията Т на гъвкавата връзка е насочена по дължина s v i z i. От фиг. 17 може да се види, че гъвкава връзка, хвърлена върху блока, променя посоката на предаваната сила.

5. Идеално гладка цилиндрична панта (фиг. 17, панта А;ориз. 18, лагер Д).

В този случай е известно само предварително, че реакцията R преминава през оста на шарнира и е перпендикулярна на тази ос.

6. Идеално гладък аксиален лагер (фиг. 18, аксиален лагер А).

Аксиалният лагер може да се разглежда като комбинация от цилиндрична панта и опорна равнина. Затова ще го направим

7. Идеално гладка сферична става (фиг. 19).

В този случай е известно само предварително, че реакцията R преминава през центъра на пантата.

8. Прът, закрепен в двата края в идеално гладки панти и натоварен само в краищата (фиг. 18, прът BC).

В този случай реакцията на пръта е насочена по протежение на пръта, тъй като според аксиома III реакциите на пантите B и Cкогато е в равновесие, прътът може да бъде насочен само по линията слънце,т.е. по пръта.

1. Система от събиращи се сили. Добавяне на сили, приложени в една точка.

Сближаванесе наричат ​​сили, чиито линии на действие се пресичат в една точка.

Тази глава разглежда системи от сближаващи се сили, чиито линии на действие лежат в една и съща равнина (равнинни системи).

Да си представим, че върху тялото действа плоска система от пет сили, чиито линии на действие се пресичат в точка О (фиг. 10, а). В § 2 беше установено, че силата е плъзгащ се вектор. Следователно всички сили могат да бъдат прехвърлени от точките на тяхното приложение до точката O на пресечната точка на линиите на тяхното действие (фиг. 10, b).

По този начин, всяка система от събиращи се сили, приложени към различни точки на тялото, може да бъде заменена с еквивалентна система от сили, приложени към една точка.Тази система от сили често се нарича сноп от сила.