Функция на разпределение на непрекъсната случайна величина x. Очакване на непрекъсната случайна променлива

Упражнение 1. Плътността на разпределение на непрекъсната случайна променлива X има формата:
Намирам:
а) параметър А;
б) функция на разпределение F(x) ;
в) вероятността случайна променлива X да попадне в интервала;
г) математическо очакване MX и дисперсия DX.
Начертайте графика на функциите f(x) и F(x).

Задача 2. Намерете дисперсията на случайната променлива X, дадена от интегралната функция.

Задача 3. Намерете математическото очакване на случайната променлива X при дадена функция на разпределение.

Задача 4. Плътността на вероятността на някаква случайна променлива е дадена, както следва: f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
Намерете коефициент A, функция на разпределение F(x), математическо очакване и дисперсия, както и вероятността случайната променлива да приеме стойност в интервала. Начертайте графики f(x) и F(x).

Задача. Функцията на разпределение на някаква непрекъсната случайна променлива е дадена, както следва:

Определете параметрите a и b, намерете израз за плътността на вероятността f(x), математическото очакване и дисперсията, както и вероятността случайната променлива да приеме стойност в интервала. Начертайте графики на f(x) и F(x).

Нека намерим функцията на плътността на разпределението като производна на функцията на разпределение.
F′=f(x)=a
Знаейки, че ще намерим параметър a:

или 3a=1, откъдето a = 1/3
Намираме параметъра b от следните свойства:
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1, откъдето b = -1/3
Следователно функцията на разпределение има формата: F(x) = (x-1)/3

Очаквана стойност.


дисперсия.

1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
Нека намерим вероятността случайната променлива да приеме стойност в интервала
P(2< x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3

Пример №1. Дадена е плътността на вероятностното разпределение f(x) на непрекъсната случайна променлива X. Задължително:

1. Определете коефициента А.
2. намерете функцията на разпределение F(x) .
3. Схематично изградете графики на F(x) и f(x).
4. намерете математическото очакване и дисперсията на X.
5. намерете вероятността X да приеме стойност от интервала (2;3).

f(x) = A*sqrt(x), 1 ≤ x ≤ 4.
Решение:

Случайната променлива X се определя от плътността на разпределение f(x):

Нека намерим параметър А от условието:



или
14/3*A-1 = 0
Където,
А = 3/14

Функцията на разпределение може да се намери с помощта на формулата.

Равномерно разпределение. Непрекъсната стойност X се разпределя равномернона интервала ( а, b), ако всичките й възможни стойностиса в този интервал и плътността на разпределение на вероятността е постоянна:

За случайна променлива х, равномерно разпределени в интервала ( а, b) (Фиг. 4), вероятността за попадане във всеки интервал ( х 1 , х 2), лежащ вътре в интервала ( а, b), е равно на:

(30)


Ориз. 4. График на равномерното разпределение на плътността

Примери за равномерно разпределени количества са грешки при закръгляване. Така че, ако всички таблични стойности на определена функция са закръглени до една и съща цифра, тогава избирайки таблична стойност на случаен принцип, считаме, че грешката при закръгляване на избраното число е случайна променлива, равномерно разпределена в интервала

Експоненциално разпределение. Непрекъсната случайна променлива хТо има експоненциално разпределение

(31)

Диаграмата на плътността на вероятността (31) е представена на фиг. 5.

Ориз. 5. График на плътност на експоненциално разпределение

време Tбезотказната работа на компютърна система е случайна променлива с експоненциално разпределение с параметъра λ , чийто физически смисъл е средният брой повреди за единица време, без да се брои престоя на системата за ремонт.

Нормално (гаусово) разпределение. Случайна стойност хТо има нормално (Гаусово) разпределение, ако неговата плътност на разпределение на вероятностите се определя от зависимостта:

(32)

Където м = М(х) , .

При се нарича нормално разпределение стандартен.

Графиката на плътността на нормалното разпределение (32) е представена на фиг. 6.

Ориз. 6. Диаграма на плътността на нормалното разпределение

Нормалното разпределение е най-често срещаното разпределение в различни случайни природни явления. По този начин, грешки при изпълнение на команди от автоматизирано устройство, изходни грешки космически корабдо дадена точка в пространството, грешки в параметрите на компютърната система и др. в повечето случаи имат нормални или близки до нормална дистрибуция. Освен това случайните променливи се формират чрез сумиране голямо количествослучайните членове се разпределят почти според нормалния закон.

Гама разпределение. Случайна стойност хТо има гама разпределение, ако неговата плътност на разпределение на вероятностите се изразява с формулата:

(33)

Където – Гама функция на Ойлер.

Случайна величина е променлива, която може да приема определени стойности в зависимост от различни обстоятелства и случайната променлива се нарича непрекъсната , ако може да приема произволна стойност от всеки ограничен или неограничен интервал. За непрекъсната случайна променлива е невъзможно да се посочат всички възможни стойности, така че ние обозначаваме интервали от тези стойности, които са свързани с определени вероятности.

Примери за непрекъснато случайни променливиможе да служи като: диаметър на детайла, който се шлифова даден размер, човешки ръст, обсег на снаряда и др.

Тъй като за непрекъснати случайни променливи функцията Е(х), За разлика от дискретни случайни променливи, няма скокове никъде, тогава вероятността за всяка отделна стойност на непрекъсната случайна променлива е нула.

Това означава, че за непрекъсната случайна променлива няма смисъл да се говори за разпределение на вероятностите между нейните стойности: всяка от тях има нулева вероятност. Въпреки това, в известен смисъл, сред стойностите на непрекъсната случайна променлива има „повече и по-малко вероятни“. Например, едва ли някой би се съмнявал, че стойността на случайна променлива - височината на случайно срещнат човек - 170 см - е по-вероятно от 220 см, въпреки че и двете стойности могат да се появят на практика.

Функция на разпределение на непрекъсната случайна променлива и плътност на вероятността

Като закон за разпределение, който има смисъл само за непрекъснати случайни променливи, се въвежда концепцията за плътност на разпределение или плътност на вероятността. Нека подходим, като сравним значението на функцията на разпределение за непрекъсната случайна променлива и за дискретна случайна променлива.

И така, функцията на разпределение на случайна променлива (както дискретна, така и непрекъсната) или интегрална функциясе нарича функция, която определя вероятността стойността на случайна променлива хпо-малко или равно на граничната стойност х.

За дискретна случайна променлива в точките на нейните стойности х1 , х 2 , ..., хаз,...маси от вероятности са концентрирани стр1 , стр 2 , ..., страз,..., а сумата от всички маси е равна на 1. Нека прехвърлим тази интерпретация към случая на непрекъсната случайна променлива. Нека си представим, че маса, равна на 1, не е концентрирана в отделни точки, а непрекъснато се „размазва“ по абсцисната ос ос известна неравномерна плътност. Вероятност случайна променлива да попадне в произволна област Δ хще се тълкува като маса на секция, а средната плътност на тази секция като съотношение на маса към дължина. Току-що въведохме важна концепция в теорията на вероятностите: плътност на разпределение.

Плътност на вероятността f(х) на непрекъсната случайна променлива е производната на нейната функция на разпределение:

.

Познавайки функцията на плътността, можете да намерите вероятността стойността на непрекъсната случайна променлива да принадлежи към затворения интервал [ а; b]:

вероятността непрекъсната случайна променлива хще вземе всяка стойност от интервала [ а; b], е равен на определен интеграл от неговата плътност на вероятността, варираща от апреди b:

.

В този случай общата формула на функцията Е(х) вероятностно разпределение на непрекъсната случайна променлива, което може да се използва, ако е известна функцията на плътността f(х) :

.

Графиката на плътността на вероятността на непрекъсната случайна променлива се нарича нейната крива на разпределение (фигурата по-долу).

Площ на фигура (защрихована на фигурата), ограничена от крива, прави линии, начертани от точки аИ bперпендикулярна на оста x и оста о, показва графично вероятността стойността на непрекъсната случайна променлива хе в рамките на апреди b.

Свойства на функцията за плътност на вероятността на непрекъсната случайна променлива

1. Вероятността случайна променлива да приеме произволна стойност от интервала (и областта на фигурата, която е ограничена от графиката на функцията f(х) и ос о) е равно на едно:

2. Функцията за плътност на вероятността не може да приема отрицателни стойности:

и извън съществуването на разпределението стойността му е нула

Плътност на разпространение f(х), както и функцията на разпределение Е(х), е една от формите на закона за разпределение, но за разлика от функцията на разпределение, тя не е универсална: плътността на разпределението съществува само за непрекъснати случайни променливи.

Нека споменем двата най-важни типа разпределение на непрекъсната случайна променлива на практика.

Ако функцията за плътност на разпределение f(х) непрекъсната случайна променлива в някакъв краен интервал [ а; b] приема постоянна стойност ° С, а извън интервала приема стойност, равна на нула, тогава това разпределението се нарича равномерно .

Ако графиката на функцията за плътност на разпределението е симетрична спрямо центъра, средните стойности се концентрират близо до центъра, а при отдалечаване от центъра се събират тези, които са по-различни от средната (графиката на функцията прилича на част от звънец), тогава това разпределението се нарича нормално .

Пример 1.Функцията на разпределение на вероятността на непрекъсната случайна променлива е известна:

Намиране на функция f(х) плътност на вероятността на непрекъсната случайна променлива. Постройте графики на двете функции. Намерете вероятността непрекъсната случайна променлива да приеме произволна стойност в интервала от 4 до 8: .

Решение. Получаваме функцията за плътност на вероятността, като намерим производната на функцията за разпределение на вероятностите:

Графика на функция Е(х) - парабола:

Графика на функция f(х) - прав:

Нека намерим вероятността непрекъсната случайна променлива да приеме произволна стойност в диапазона от 4 до 8:

Пример 2.Функцията на плътност на вероятността на непрекъсната случайна променлива се дава като:

Изчислете коефициента ° С. Намиране на функция Е(х) вероятностно разпределение на непрекъсната случайна променлива. Постройте графики на двете функции. Намерете вероятността непрекъсната случайна променлива да приеме произволна стойност в диапазона от 0 до 5: .

Решение. Коефициент ° Снамираме, използвайки свойство 1 на функцията за плътност на вероятността:

По този начин функцията на плътност на вероятността на непрекъсната случайна променлива е:

Чрез интегриране намираме функцията Е(х) вероятностни разпределения. Ако х < 0 , то Е(х) = 0 . Ако 0< х < 10 , то

.

х> 10 тогава Е(х) = 1 .

Така пълният запис на функцията на разпределение на вероятностите е:

Графика на функция f(х) :

Графика на функция Е(х) :

Нека намерим вероятността непрекъсната случайна променлива да приеме произволна стойност в диапазона от 0 до 5:

Пример 3.Плътност на вероятността на непрекъсната случайна променлива хсе дава от равенството , и . Намерете коефициент А, вероятността непрекъсната случайна променлива хще вземе произволна стойност от интервала ]0, 5[, функцията на разпределение на непрекъсната случайна променлива х.

Решение. По условие стигаме до равенство

Следователно, , откъде . Така,

.

Сега намираме вероятността една непрекъсната случайна променлива хще вземе всяка стойност от интервала]0, 5[:

Сега получаваме функцията на разпределение на тази случайна променлива:

Пример 4.Намерете плътността на вероятността на непрекъсната случайна променлива х, която приема само неотрицателни стойности, и нейната функция на разпределение .

Разпределителна функцияслучайна величина хнаречена функция Е(х), изразявайки за всеки хвероятността случайната променлива хще вземе стойност по-малка от х:
.

функция Е(х) понякога се нарича интегрална функция на разпределение,или интегрален закон за разпределение.

Случайна стойност хНаречен непрекъснато, ако неговата функция на разпределение е непрекъсната във всяка точка и диференцируема навсякъде, освен може би в отделни точки.

Примеринепрекъснати случайни променливи: диаметърът на частта, която стругарът обръща до даден размер, височината на човек, обхватът на полета на снаряд и др.

Теорема.Вероятността за всяка отделна стойност на непрекъсната случайна променлива е нула

.

Последица.Ако хе непрекъсната случайна променлива, тогава вероятността случайната променлива да попадне в интервала
не зависи от това дали този интервал е отворен или затворен, т.е.

Ако непрекъсната случайна променлива хможе да приема само стойности между Апреди b(Където АИ b- някои константи), тогава неговата функция на разпределение е равна на нула за всички стойности
и единица за стойности
.

За непрекъсната случайна променлива

Всички свойства на функциите на разпределение на дискретни случайни променливи са изпълнени и за функциите на разпределение на непрекъснати случайни променливи.

Задаването на непрекъсната случайна променлива с помощта на функция на разпределение не е единственият начин.

Плътност на вероятността (плътност на разпространениеили плътност) Р(х) непрекъсната случайна променлива хсе нарича производна на неговата функция на разпределение

.

Плътност на вероятността Р(х), както и функцията на разпределение Е(х), е една от формите на закона за разпределение, но за разлика от функцията на разпределение, тя съществува само за непрекъснатослучайни променливи.

Понякога се нарича плътност на вероятността диференциална функция или закон за диференциално разпределение.

Графиката на плътността на вероятността се нарича крива на разпределение.

Имотиплътност на вероятността на непрекъсната случайна променлива:

Ориз. 8.1

Ориз. 8.2

4.
.

Геометрично свойствата на плътността на вероятността означават, че нейната графика - кривата на разпределението - не лежи под абсцисната ос, а общата площ на фигурата, ограничена от кривата на разпределение и абсцисната ос, е равна на единица.

Пример 8.1.Стрелката за минутите на електрическия часовник се движи скокообразно всяка минута. Погледна часовника си. Те се показват Аминути. Тогава за вас истинското време в даден момент ще бъде случайна променлива. Намерете неговата функция на разпределение.

Решение.Очевидно истинската функция за разпределение на времето е равна на 0 за всички
и единица за
. Времето тече равномерно. Следователно вероятността истинското време е по-малка А+ 0,5 min, равно на 0,5, тъй като е еднакво вероятно дали е минало след това Апо-малко или повече от половин минута. Вероятността истинското време е по-малка А+ 0,25 минути, равно на 0,25 (вероятността за това време е три пъти по-малка от вероятността истинското време да е по-голямо А+ 0,25 min, а сборът им е равен на единица, като сбор от вероятностите за противоположни събития). Разсъждавайки по подобен начин, откриваме, че вероятността истинското време е по-малка А+ 0,6 минути, равно на 0,6. Като цяло вероятността истинското време е по-малка А + + α мин
, е равно α . Следователно истинската функция за разпределение на времето има следния израз:

ОТНОСНО on е непрекъснат навсякъде и неговата производна е непрекъсната във всички точки, с изключение на две: х = аИ х = а+ 1. Графиката на тази функция изглежда така (фиг. 8.3):

Ориз. 8.3

Пример 8.2.Дали функцията на разпределение на някаква случайна променлива е функция

Решение.

Всички стойности на тази функция принадлежат към сегмента
, т.е.
. функция Е(х) е ненамаляваща: в интервала
тя е постоянна, равна на нула, в интервала
се увеличава между тях
също е постоянна, равна на единица (виж фиг. 8.4). Функцията е непрекъсната във всяка точка х 0 зона на неговата дефиниция - интервал
, следователно е непрекъснат отляво, т.е. има равенство

,
.

Важат и равенствата:

,
.

Следователно функцията
удовлетворява всички свойства, характерни за функцията на разпределение. Така че тази функция
е функцията на разпределение на някаква случайна променлива х.

Пример 8.3.Дали функцията на разпределение на някаква случайна променлива е функция

Решение.Тази функция не е функция на разпределение на случайна променлива, тъй като тя намалява с времето и не е непрекъсната. Функционалната графика е показана на фиг. 8.5.

Ориз. 8.5

Пример 8.4.Случайна стойност хдаден от функцията на разпределение

Намерете коефициент Аи плътността на вероятността на случайната променлива х. Определете вероятността от неравенство
.

Решение.Плътността на разпределението е равна на първата производна на функцията на разпределение

Коефициент Аопределени чрез равенство

,

.

Същият резултат може да се получи, като се използва непрекъснатостта на функцията
в точката

,
.

следователно
.

Следователно плътността на вероятността има формата

Вероятност
удари на случайна променлива хв даден период се изчислява по формулата

Пример 8.5.Случайна стойност хима плътност на вероятността (закон на Коши)

.

Намерете коефициент Аи вероятността случайната променлива хще вземе някаква стойност от интервала
. Намерете функцията на разпределение на тази случайна променлива.

Решение.Нека намерим коефициента Аот равенството

,

следователно
.

Така,
.

Вероятността случайна променлива хще вземе някаква стойност от интервала
, е равно

Нека намерим функцията на разпределение на тази случайна променлива

П Пример 8.6.График на плътността на вероятността на случайна променлива хпоказано на фиг. 8.6 (закон на Симпсън). Напишете израз за плътността на вероятността и функцията на разпределение на тази случайна променлива.

Ориз. 8.6

Решение.Използвайки графиката, ние записваме аналитичния израз за плътността на разпределение на вероятността на дадена случайна променлива

Нека намерим функцията на разпределение.

Ако
, Че
.

Ако
, Че .

Ако
, Че

Ако
, Че

Следователно функцията на разпределение има формата

§ 3. СЛУЧАЙНИ ВЕЛИЧИНИ

3. Непрекъснати случайни променливи.

В допълнение към дискретните случайни променливи, чиито възможни стойности образуват крайна или безкрайна последователност от числа, които не запълват напълно нито един интервал, често има случайни променливи, чиито възможни стойности образуват определен интервал. Пример за такава случайна величина е отклонението от номиналната стойност на определен размер на детайл с правилно настроен технологичен процес. Този вид случайни променливи не могат да бъдат определени чрез закона за разпределение на вероятностите p(x). Те обаче могат да бъдат определени с помощта на функцията за разпределение на вероятностите F(x). Тази функция се дефинира точно по същия начин, както в случай на дискретна случайна променлива:

Така и тук функцията F(x)дефинирана върху цялата числова ос, и нейната стойност в точката хе равна на вероятността случайната променлива да приеме стойност, по-малка от х.
Формула () и свойства 1° и 2° са валидни за функцията на разпределение на всяка случайна променлива. Доказателството се извършва подобно на случая на дискретно количество.
Случайната променлива се извиква непрекъснато, ако за него има неотрицателна непрекъсната функция*, която удовлетворява за всякакви стойности хравенство
Въз основа на геометричния смисъл на интеграла като площ, можем да кажем, че вероятността за изпълнение на неравенствата е равна на площта на криволинейния трапец с основа , ограничена отгоре от кривата (фиг. 6).
Тъй като и въз основа на формулата ()
, Че
Имайте предвид, че за непрекъсната случайна променлива функцията на разпределение F(x)непрекъснато във всяка точка х, където функцията е непрекъсната. Това следва от факта, че F(x)е диференцируем в тези точки.
Въз основа на формула (), като се приеме х 1 = х, , ние имаме

Поради непрекъснатостта на функцията F(x)разбираме това

Следователно

По този начин, вероятността непрекъсната случайна променлива да приеме произволна стойност x е нула.
От това следва, че събитията, състоящи се в изпълнението на всяко от неравенствата
, , ,
Те имат еднаква вероятност, т.е.

Всъщност напр.

защото

Коментирайте.Както знаем, ако дадено събитие е невъзможно, тогава вероятността то да се случи е нула. С класическата дефиниция на вероятността, когато броят на резултатите от теста е краен, важи и обратното твърдение: ако вероятността за събитие е нула, тогава събитието е невъзможно, тъй като в този случай нито един от резултатите от теста не го благоприятства. В случай на непрекъсната случайна променлива, броят на възможните й стойности е безкраен. Вероятността това количество да приеме определена стойност х 1както видяхме, е равно на нула. От това обаче не следва, че това събитие е невъзможно, тъй като в резултат на теста случайната променлива може по-специално да приеме стойността х 1. Следователно, в случай на непрекъсната случайна променлива, има смисъл да се говори за вероятността случайната променлива да попадне в интервала, а не за вероятността тя да приеме някаква конкретна стойност.
Така например, когато правим ролка, не се интересуваме от вероятността нейният диаметър да бъде равен на номиналната стойност. Това, което е важно за нас, е вероятността диаметърът на ролката да е в диапазона на допустимите отклонения.