Необходимо е да се изгради разработка на повърхности и да се прехвърли линията на пресичане на повърхностите върху разработката. Този проблем се основава на повърхности ( конус и цилиндър) с тяхната пресечна линия, дадена в предишен проблем 8.

За да разрешите такива проблеми в дескриптивната геометрия, трябва да знаете:

— процедурата и методите за изграждане на повърхностни разработки;

— взаимно съответствие между повърхността и нейното развитие;

— специални случаи на строителни разработки.

Процедура за решениечадачи

1. Имайте предвид, че развитие е фигура, получена в
в резултат на разрязване на повърхността по протежение на която и да е образуваща и постепенното й разгъване, докато бъде напълно подравнено с равнината. Оттук и развитието на прав кръгов конус - сектор с радиус, равен на дължината на образуващата и основа, равна на обиколката на основата на конуса. Всички разработки са изградени само от естествени количества.

Фиг.9.1

— обиколката на основата на конуса, изразена в естествен размер, е разделена на няколко дяла: в нашия случай - 10, точността на конструиране на сканирането зависи от броя на дяловете ( Фиг.9.1.а);

— отделяме получените дялове, замествайки ги с акорди, по дължината
дъга, начертана с радиус, равен на дължината на образуващата на конуса l=|Sb|. Свързваме началото и края на дробното броене с върха на сектора - това ще бъде развитието на страничната повърхност на конуса.

Втори начин:

— изграждаме сектор с радиус, равен на дължината на образуващата на конуса.
Обърнете внимание, че както в първия, така и във втория случай радиусът се приема за крайната дясна или лява образуваща на конуса l=|Sb|, тъй като изразяват се в действителен размер;

— в горната част на сектора отделяме ъгъла a, определен по формулата:

Фиг.9.2

Където r— радиусът на основата на конуса;

л— дължина на образуващата на конуса;

360 - постоянна стойност, превърната в градуси.

Изграждаме основата на радиусния конус за сектора за развитие r.

2. Съгласно условията на задачата се изисква преместване на пресечната линия
повърхности на конуса и цилиндъра за проявяване. За да направим това, ние използваме свойствата на връзката едно към едно между повърхността и нейното развитие; по-специално отбелязваме, че всяка точка от повърхността съответства на точка от развитието и всяка линия на повърхността съответства на линия върху развитието.

Това предполага последователността на прехвърляне на точки и линии
от повърхността към развитието.

Фиг.9.3

За пробиване на конус. Нека се съгласим, че сечението на повърхнината на конуса е направено по протежение на образуващата С’ а’ . След това точките 1, 2, 3,…6
ще лежи върху окръжности (дъги на развитие) с радиуси, съответно равни на разстоянията, взети по протежение на образуващата С’ А’ от върха С’ към съответната сечеща равнина с точки 1’ , 2’, 3’…6’ -| С1|, | С2|, | С3|….| С6| (фиг.9.1.b).

Позицията на точките върху тези дъги се определя от разстоянието, взето от хоризонталната проекция от образуващата Sa, по дължината на хордата до съответната точка, например до точка c, ac=35 mm ( Фиг.9.1.а). Ако разстоянието по хордата и дъгата се различават значително, тогава за да намалите грешката, можете да разделите по-голям брой дялове и да ги поставите върху съответните дъги за сканиране. По този начин всякакви точки от повърхността се пренасят върху нейното развитие. Получените точки ще бъдат свързани с гладка крива по шаблона ( Фиг.9.3).

За разширяване на цилиндри.

Развитието на цилиндъра е правоъгълник с височина, равна на височината на образуващата и дължина, равна на обиколката на основата на цилиндъра. По този начин, за да се конструира развитието на прав кръгов цилиндър, е необходимо да се конструира правоъгълник с височина, равна на височината на цилиндъра, в нашия случай 100 мм, и дължина, равна на обиколката на основата на цилиндъра, определена по добре известните формули: ° С=2 Р=220 мм, или чрез разделяне на обиколката на основата на няколко части, както е посочено по-горе. Прикрепяме основата на цилиндъра към горната и долната част на получената разработка.

Нека се съгласим, че разрезът се прави по образуващата А.А. 1 (А’ А’ 1 ; А.А.1) . Имайте предвид, че разрезът трябва да се направи по характерни (референтни) точки за по-удобна конструкция. Като се има предвид, че дължината на проявяване е обиколката на основата на цилиндъра ° С, от точка А’= А’ 1 раздел на предната проекция, вземаме разстоянието по акорда (ако разстоянието е голямо, тогава е необходимо да го разделим на части) до точката б’ (в нашия пример - 17 мм) и го полагаме върху разработка (по дължината на основата на цилиндъра) от точка A. От получената точка B начертаваме перпендикуляр (генератор на цилиндъра). Точка 1 трябва да бъде върху този перпендикуляр) на разстояние от основата, взето от хоризонталната проекция до точката. В нашия случай точката 1 лежи върху оста на симетрия на сканирането на разстояние 100/2=50мм (фиг.9.4).

Фиг.9.4

И правим това, за да намерим всички други точки на сканирането.

Подчертаваме, че разстоянието по дължината на сканиране за определяне положението на точките се взема от фронталната проекция, а разстоянието по височина - от хоризонталата, която съответства на естествените им размери. Свързваме получените точки с гладка крива по шаблона ( Фиг.9.4).

При варианти на задача, когато пресечната линия се разделя на няколко клона, което съответства на пълно пресичане на повърхности, методите за конструиране (пренасяне) на пресечната линия към застройка са подобни на описаните по-горе.

Раздел: Дескриптивна геометрия /
Кратък път http://bibt.ru

Развития на пресечен цилиндър и конус.

За да конструирате разработка на пресечен цилиндър, начертайте пресечен цилиндър в две проекции (изглед отпред и изглед отгоре), след което разделете кръга на равен брой части, например 12 (фиг. 243). СЪС правилната странаот първата проекция начертайте права линия AB, равна на изправената дължина на окръжността, и я разделете на същия брой равни части, т.е. 12. От разделителните точки 1, 2, 3 и т.н. се възстановяват перпендикуляри на линия AB и От точки 1, 2, 3 и т.н., лежащи на окръжността, начертайте прави линии, успоредни на аксиалната линия, докато се пресекат с наклонената линия на сечението.

Ориз. 243. Конструиране на разработка на пресечен цилиндър

Сега на всеки перпендикуляр се полагат сегменти с компас нагоре от линия AB, равни по височина на сегментите, посочени на проекцията на предния изглед с номерата на съответните точки. За по-голяма яснота два такива сегмента са маркирани с фигурни скоби. Получените точки на перпендикулярите са свързани с гладка крива.

Конструкцията на развитието на страничната повърхност на конуса е показана на фиг. 244, а. Начертава се странична проекция на конуса в пълен размер според дадените размери на диаметър и височина. С помощта на пергел измерете дължината на образуващата на конуса, обозначена с буквата R. С помощта на компас с зададен радиус начертайте дъга около центъра O, която е крайната точка на произволно начертана права линия OA.

От точка А по дъга начертайте (с компас на малки отрязъци) дължината на разгънатата окръжност, равна на πD. Получената крайна точка B е свързана с центъра O на дъгата. Фигурата AOB ще бъде развитие на страничната повърхност на конуса.

Развитието на страничната повърхност на пресечен конус е конструирано, както е показано на фиг. 244, б. Профилът на пресечения конус се изчертава според височината и диаметрите на горната и долната основа на пресечения конус в пълен размер. Образуващите на конуса продължават, докато се пресичат в точка O. Тази точка е центърът, от който се изчертават дъги, равни на дължините на окръжностите на основата и върха на пресечения конус. За да направите това, разделете основата на конуса на седем части. Всяка такава част, т.е. 1/7 от диаметъра D, се очертава по голяма дъга 22 пъти и от получената точка B се изчертава права линия до центъра на дъгата O. След свързване на точка O с точки A и B , се получава развитие на страничната повърхност на пресечения конус.

Понякога възниква задача - да се направи защитен чадър за изпускателна или коминна тръба, изпускателен дефлектор за вентилация и др. Но преди да започнете производството, трябва да направите шаблон (или развитие) за материала. В интернет има всякакви програми за изчисляване на такива размахвания. Проблемът обаче е толкова лесен за решаване, че можете да го изчислите по-бързо с помощта на калкулатор (на компютър), отколкото да търсите, изтегляте и работите с тези програми.

Да започнем с прост вариант— развитие на прост конус. Най-лесният начин да обясните принципа на изчисляване на шаблона е с пример.

Да кажем, че трябва да направим конус с диаметър D cm и височина H сантиметра. Абсолютно ясно е, че заготовката ще бъде кръг с изрязан сегмент. Известни са два параметъра - диаметър и височина. Използвайки теоремата на Питагор, изчисляваме диаметъра на кръга на детайла (не го бъркайте с радиуса готовконус). Половината от диаметъра (радиуса) и височината образуват правоъгълен триъгълник. Ето защо:

Сега знаем радиуса на детайла и можем да изрежем кръг.

Нека изчислим ъгъла на сектора, който трябва да бъде изрязан от кръга. Разсъждаваме по следния начин: Диаметърът на детайла е равен на 2R, което означава, че обиколката е равна на Pi * 2 * R - т.е. 6,28*R. Нека го обозначим с L. Кръгът е пълен, т.е. 360 градуса. А обиколката на готовия конус е равна на Pi*D. Нека го обозначим с Lm. Естествено е по-малко от обиколката на детайла. Трябва да изрежем сегмент с дължина на дъгата, равна на разликата между тези дължини. Нека приложим правилото за съотношението. Ако 360 градуса ни дава пълната обиколка на детайла, тогава ъгълът, който търсим, трябва да ни даде обиколката на готовия конус.

От формулата за съотношението получаваме размера на ъгъла X. И секторът на изрязване се намира чрез изваждане на 360 - X.

От кръгла заготовка с радиус R трябва да изрежете сектор с ъгъл (360-X). Не забравяйте да оставите малка лента от материал за припокриване (ако приставката на конуса ще се припокрива). След като свържем страните на изрязания сектор, получаваме конус с определен размер.

Например: Имаме нужда от конус за аспиратор с височина (H) 100 mm и диаметър (D) 250 mm. Използвайки формулата на Питагор, получаваме радиуса на детайла - 160 mm. И обиколката на детайла е съответно 160 x 6,28 = 1005 mm. В същото време обиколката на конуса, от който се нуждаем, е 250 x 3,14 = 785 mm.

Тогава откриваме, че съотношението на ъглите ще бъде: 785 / 1005 x 360 = 281 градуса. Съответно трябва да изрежете сектор от 360 – 281 = 79 градуса.

Изчисляване на заготовката на шаблона за пресечен конус.

Такава част понякога е необходима при производството на адаптери от един диаметър към друг или за дефлектори на Volpert-Grigorovich или Khanzhenkov. Те се използват за подобряване на тягата в комин или вентилационна тръба.

Задачата е малко усложнена от факта, че не знаем височината на целия конус, а само неговата пресечена част. Като цяло има три начални числа: височината на пресечения конус H, диаметърът на долния отвор (основата) D и диаметърът на горния отвор Dm (при напречното сечение на пълния конус). Но ние ще прибегнем до същите прости математически конструкции, базирани на теоремата на Питагор и подобие.

Всъщност е очевидно, че стойността (D-Dm)/2 (половината от разликата в диаметрите) ще се отнася към височината на пресечения конус H по същия начин, както радиуса на основата към височината на целия конус , все едно не е съкратен. Намираме общата височина (P) от това съотношение.

(D – Dm)/ 2H = D/2P

Следователно P = D x H / (D-Dm).

Сега знаейки общата височина на конуса, можем да намалим решението на предишната задача. Изчислете развитието на детайла като за пълен конус и след това „извадете“ от него развитието на горната му, ненужна част. И можем директно да изчислим радиусите на детайла.

Използвайки теоремата на Питагор, получаваме по-голям радиус на детайла - Rz. Това е корен квадратен от сбора на квадратите на височината P и D/2.

По-малкият радиус Rm е корен квадратен от сбора на квадратите (P-H) и Dm/2.

Обиколката на нашия детайл е 2 x Pi x Rz, или 6,28 x Rz. А обиколката на основата на конуса е Pi x D, или 3,14 x D. Съотношението на техните дължини ще даде съотношението на ъглите на секторите, ако приемем, че пълният ъгъл в детайла е 360 градуса.

Тези. X / 360 = 3,14 x D / 6,28 x Rz

Следователно X = 180 x D / Rz (Това е ъгълът, който трябва да се остави, за да се получи обиколката на основата). И трябва да изрежете съответно 360 - X.

Например: Трябва да направим пресечен конус с височина 250 mm, диаметър на основата 300 mm и диаметър на горния отвор 200 mm.

Намерете височината на пълния конус P: 300 x 250 / (300 – 200) = 600 mm

Използвайки точката на Питагор, намираме външния радиус на детайла Rz: корен квадратен от (300/2)^2 + 6002 = 618,5 mm

Използвайки същата теорема, намираме по-малкия радиус Rm: корен квадратен от (600 – 250)^2 + (200/2)^2 = 364 mm.

Определяме ъгъла на сектора на нашия детайл: 180 x 300 / 618,5 = 87,3 градуса.

Върху материала начертаваме дъга с радиус 618,5 mm, след това от същия център - дъга с радиус 364 mm. Ъгълът на дъгата може да има приблизително 90-100 градуса на отваряне. Начертаваме радиуси с ъгъл на отваряне 87,3 градуса. Нашата подготовка е готова. Не забравяйте да оставите надбавка за съединяване на краищата, ако се припокриват.

Вместо думата „модел“ понякога се използва „раймер“, но този термин е двусмислен: например райберът е инструмент за увеличаване на диаметъра на отвор, а в електронната технология има понятието райбер. Следователно, въпреки че съм длъжен да използвам думите „развитие на конуса“, ​​така че търсачките да могат да намерят тази статия, използвайки ги, ще използвам думата „модел“.

Създаването на шаблон за конус е просто нещо. Нека разгледаме два случая: за пълен конус и за пресечен. На снимката (щракнете за уголемяване)Показани са скици на такива конуси и техните модели. (Веднага трябва да отбележа, че ще говорим само за прави конуси с кръгла основа. В следващите статии ще разгледаме конуси с овална основа и наклонени конуси).

1. Пълен конус

Обозначения:

Параметрите на модела се изчисляват по формулите:
;
;
Където .

2. Пресечен конус

Обозначения:

Формули за изчисляване на параметрите на модела:
;
;
;
Където .
Обърнете внимание, че тези формули са подходящи и за пълен конус, ако заместим .

Понякога при конструирането на конус стойността на ъгъла при неговия връх (или във въображаемия връх, ако конусът е пресечен) е фундаментална. Най-простият пример е, когато имате нужда един конус да пасне плътно в друг. Нека означим този ъгъл с буква (вижте снимката).
В този случай можем да го използваме вместо една от три входни стойности: , или . Защо "заедно О“, а не „заедно д"? Тъй като за изграждането на конус са достатъчни три параметъра, а стойността на четвъртия се изчислява чрез стойностите на останалите три. Защо точно три, а не две или четири, е въпрос извън рамките на тази статия. Мистериозен глас ми казва, че това по някакъв начин е свързано с триизмерността на обекта „конус“. (Сравнете с двата начални параметъра на двумерния обект „сегмент от окръжност“, от който изчислихме всичките му други параметри в статията.)

По-долу са дадени формулите, чрез които се определя четвъртият параметър на конуса, когато са дадени три.

4. Методи за изграждане на модел

• Изчислете стойностите на калкулатор и изградете шаблон върху хартия (или директно върху метал) с помощта на компас, линийка и транспортир.
• Въведете формули и изходни данни в електронна таблица (например Microsoft Excel). Използвайте получения резултат, за да създадете модел с помощта на графичен редактор (например CorelDRAW).
• използвайте моята програма, която ще начертае на екрана и ще отпечата шаблон за конус с дадените параметри. Този шаблон може да бъде записан като векторен файл и импортиран в CorelDRAW.

5. Неуспоредни бази

Що се отнася до пресечените конуси, програмата Cones в момента създава шаблони за конуси, които имат само успоредни основи.
За тези, които търсят начин да конструират шаблон за пресечен конус с непаралелни основи, ето връзка, предоставена от един от посетителите на сайта:
Пресечен конус с неуспоредни основи.

При направата на райбери върху метал се използват метър линийка, писец, метален пергел, набор от шаблони, чук и сърцевина за маркиране на възлови точки.

Обиколката се изчислява по формулата:

Или

Където:
- радиус на окръжността,
- диаметър на кръга,
- обиколка,
- Пи (),
По правило за изчислението се използва стойността () до втората цифра (3,14), но в някои случаи това може да не е достатъчно.

• Пресечен конус с достъпен връх:Конус, когато е конструиран, може да се определи позицията на върха.
• Пресечен конус с недостъпен връх:Конус, по време на изграждането на който е трудно да се определи позицията на върха поради отдалечеността му.
• Триангулация:метод за конструиране на разработки на неразвиваеми конични повърхности, общ изгледи с връщащо ребро.
• Неща, които трябва да запомните:Независимо дали въпросната повърхнина е развиваема или неразвиваема, графично може да се начертае само приблизително развитие. Това се обяснява с факта, че в процеса на вземане и полагане на размери и извършване на други графични операции, грешки, дължащи се на характеристики на дизайначертожни инструменти, физическите възможности на окото и грешките от замяната на дъги с хорди и ъгли на повърхността с плоски ъгли. Приблизителните разработки на криви неразвиваеми повърхности, в допълнение към графичните грешки, съдържат грешки, получени поради несъответствието на елементите на такива повърхности с плоските апроксимиращи елементи. Следователно, за да се получи повърхност от такава разработка, освен огъване, е необходимо да се извърши частично разтягане и компресия на отделните й участъци. Приблизителните разчиствания, когато се извършват внимателно, са достатъчно точни за практически цели.

Материалът, представен в статията, предполага, че имате разбиране за основите на чертането, знаете как да разделите кръг, да намерите центъра на сегмент с помощта на компас, да вземете/прехвърлите размери с компас, да използвате шаблони и подходящ справочен материал . Следователно обяснението на много точки в статията е пропуснато.

Изграждане на цилиндрична разработка

Цилиндър

Ротационно тяло с най-просто развитие, имащо формата на правоъгълник, където две успоредни страни съответстват на височината на цилиндъра, а другите две успоредни страни съответстват на обиколката на основите на цилиндъра.

Пресечен цилиндър (риба)

Срязан цилиндър

Приготвяне:

• За да създадете мрежа, начертайте четириъгълник ACDEв реален размер (виж чертежа).
• Нека начертаем перпендикуляр BD, извън самолета A.C.точно д, като се отрязва правата част на цилиндъра от конструкцията АБДЕ, които могат да бъдат попълнени при необходимост.
• От центъра на самолета CD(точка О) начертайте дъга с радиус, равен на половината от равнината CD, и го разделете на 6 части. От получените точки О, начертайте перпендикулярни прави на равнината CD. От точки на равнината CD, начертайте прави линии, перпендикулярни на равнината BD.

Конструкция:

• Линеен сегмент пр.н.е.Прехвърляме го и го превръщаме във вертикал. От точка б, вертикали пр.н.е., начертайте лъч, перпендикулярен на вертикалата пр.н.е..
• С помощта на компас вземете размера C-O 1 б, точка 1 . Вземане на размера B 1 -C 1 1 .
• С помощта на компас вземете размера O 1 -O 2, и го поставете върху лъча от точката 1 , точка 2 . Вземане на размера B 2 -C 2, и начертайте перпендикуляр от точката 2 .
• Повторете, докато точката се остави настрана д.
• Получените вертикали, от точката ° С, вертикали пр.н.е., към основния въпрос д- свържете с крива на шаблон.
• Втората половина на сканирането е огледална.

Всички цилиндрични секции са конструирани по подобен начин.
Забележка: Защо "Рибина"- ако продължите да изграждате сканирането, изграждайте половината от точката д, а вторият в обратна странаот вертикала пр.н.е., тогава полученият шаблон ще изглежда като риба или рибена опашка.

Конструиране на сканиране на конус

Конус

Развитието на конуса може да се извърши по два начина. (Вижте чертежа)

1. Ако размерът на страната на конуса е известен, от точката О, с пергел се чертае дъга, с радиус равен на странатаконус На дъгата са нанесени две точки ( A 1И Б 1 ОТНОСНО.
2. От точка се изгражда конус в реален размер О, точно А, поставя се пергел и се чертае дъга, минаваща през точките АИ б. На дъгата са нанесени две точки ( A 1И Б 1), на разстояние, равно на дължината на окръжността и се свържете с точката ОТНОСНО.

За удобство можете да отделите половината от дължината на кръга, от двете страни на централната линия на конуса.
Конус с изместен връх се конструира по същия начин като пресечен конус с изместени основи.

1. Конструирайте кръга на основата на конуса в изглед отгоре, в цял размер. Разделете кръга на 12 или повече равни части и ги поставете на права линия една по една.

Конус с правоъгълна (многостенна) основа.

Конус с многостенна основа

1. Ако конусът има гладка, радиална основа: ( Когато конструирате окръжност в изглед отгоре, като поставите компас в центъра и очертаете окръжността по произволен връх, всички върхове на основата пасват на дъгата на окръжността.) Конструирайте конус, по аналогия с развитието на правилен конус (конструирайте основата в кръг, поглед отгоре). Начертайте дъга от точка О. Поставете точка в произволна част от дъгата A 1, и едно по едно поставете всички лица на основата върху дъгата. Крайната точка на последното лице ще бъде Б 1.
2. Във всички останали случаи конусът се изгражда според принципа на триангулацията ( виж отдолу).

Пресечен конус с достъпен връх

Фрустум

Конструирайте пресечен конус ABCDв реален размер (вижте чертежа).
Партита ADИ пр.н.е.продължете, докато се появи пресечната точка О. От пресечната точка О, начертайте дъги с радиус O.B.И O.C..
На дъгата O.C., начертайте обиколката DC. На дъгата O.B., начертайте обиколката AB. Свържете получените точки със сегменти L 1И L 2.
За удобство можете да отделите половината от дължината на кръга, от двете страни на централната линия на конуса.

Как да начертаете обиколката на дъга:

1. С помощта на конец, чиято дължина е равна на обиколката.
2. С помощта на метална линийка, която трябва да се огъне „в дъга“ и да се поставят съответните маркировки.

Забележка:Изобщо не е необходимо сегментите L 1И L 2, ако продължи, ще се слее в точката О. За да бъда напълно честен, те трябва да се сближават, но като се вземат предвид корекциите за грешките на инструмента, материала и окото, пресечната точка може да е малко по-ниска или по-висока от върха, което не е грешка.

Пресечен конус с преход от кръг към квадрат

Конус с преход от кръг към квадрат

Приготвяне:
Конструирайте пресечен конус ABCDв пълен размер (вижте чертежа), изградете изглед отгоре ABB 1 A 1. Разделете кръга на равни части (показаният пример показва разделянето на една четвърт). Точки АА 1 - АА 4свържете с отсечки до точка А. Преминете оста О, от чийто център се прави перпендикуляр О-О 1, височина равна на височината на конуса.
По-долу основните размери са взети от изглед отгоре.
Конструкция:

• Премахване на размера ADи изградете произволен вертикал АА 0 - АА 1. Премахване на размера АА 0 -А, и поставете „приблизителна точка“, като направите зелена светлина с компас. Премахване на размера A-AA 1, и на оста О, от точка О О 1 АА 1, до очакваната точка А. Свържете точки с отсечки AA 0 -A-AA 1.
• Премахване на размера АА 1 - АА 2, от точка АА 1задайте „приблизителна точка“, като направите маркировка с компас. Премахване на размера A-AA 2, и на оста О, от точка О, оставете сегмента настрана, измерете от получената точка до точката О 1. Направете справка с компас от точка А, до очакваната точка АА 2. Начертайте сегмент A-AA 2. Повторете, докато сегментът се остави настрана A-AA 4.
• Премахване на размера A-AA 5, от точка Апоставете "приблизителна точка" АА 5. Премахване на размера АА 4 - АА 5, и на оста О, от точка О, оставете сегмента настрана, измерете от получената точка до точката О 1. Направете справка с компас от точка АА 4, до очакваната точка АА 5. Начертайте сегмент АА 4 - АА 5.

Конструирайте останалите сегменти по подобен начин.
Забележка:Ако конусът има достъпен връх и КВАДРАТоснова - тогава конструкцията може да се извърши според принципа пресечен конус с достъпен връх, а основата е конус с правоъгълна (многостенна) основа. Точността ще бъде по-ниска, но конструкцията е много по-проста.