Формулы сокращенного умножения уравнения. Формулы сокращенного умножения

Умножение многочлена на многочлен

! Чтобы умножить многочлен на многочлен , нужно каждое слагаемое одного многочлена умножить на каждое слагаемое другого многочлена и полученные произведения сложить.

Будьте внимательны! У каждого слагаемого есть свой знак.

Формулы сокращённого умножения многочленов - это, как правило, 7 (семь) часто встречающихся случаев умножения многочленов.

Определения и Формулы сокращенного умножения. Таблица

Таблица 2. Определения формул сокращенного умножения (нажмите для увеличения)

Три формулы сокращенного умножения для квадратов

1. Формула квадрата суммы.

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Чтобы лучше понять формулу, сначала упростим выражение (развернем формулу квадрата суммы)

А теперь разложим на множители (свернем формулу)

Последовательность действий при разложении на множители:

определи, какие одночлены возводились в квадрат (5 и 3m );
проверь, стоит ли в середине формулы их удвоенное произведение (2 5 3m = 30m );
запиши ответ (5 + 3m) 2 .

2. Формула квадрата разности

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Сначала упростим выражение (развернем формулу):

А потом наоборот, разложим на множители (свернем формулу):

3. Формула разности квадратов

Произведение суммы двух выражений на их разность равно разности квадратов этих выражений.

Свернем формулу (выполним умножение)

А теперь развернем формулу (разложим на множители)

Четыре формулы сокращенного умножения для кубов

4. Формула куба суммы двух чисел

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

Последовательность действий при «сворачивании» формулы:

найти одночлены, которые возводились в куб (здесь 4х и 1 );
проверить средние слагаемые на соответствие формуле;
записать ответ.

5. Формула куба разности двух чисел

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

6. Формула суммы кубов

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.

И обратно:

7. Формула разности кубов

Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.

Применение формул сокращенного умножения. Таблица

Пример использования формул на практике (устный счет).

Задача: Найти площадь квадрата со стороной а = 71 см.

Решение: S = a 2 . Используя формулу квадрата суммы, имеем

71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2*70*1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041 см 2

Ответ: 5041 см 2

Формулы сокращенного умножения.

Изучение формул сокращенного умножения: квадрата суммы и квадрата разности двух выражений; разности квадратов двух выражений; куба суммы и куба разности двух выражений; суммы и разности кубов двух выражений.

Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.

Для упрощения выражений, разложения многочленов на множители, приведения многочленов к стандартному виду используются формулы сокращенного умножения. Формулы сокращенного умножения нужно знать наизусть .

Пусть а, b R. Тогда:

1. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы.

a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)

4. Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.

Пример 1.

Вычислить

а) Используя формулу квадрата суммы двух выражений, имеем

(40+1) 2 = 40 2 + 2 · 40 · 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

б) Используя формулу квадрата разности двух выражений, получим

98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 · 100 · 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604

Пример 2.

Вычислить

Используя формулу разности квадратов двух выражений, получим

Пример 3.

Упростить выражение

(х - у) 2 + (х + у) 2

Воспользуемся формулами квадрата суммы и квадрата разности двух выражений

(х - у) 2 + (х + у) 2 = х 2 - 2ху + у 2 + х 2 + 2ху + у 2 = 2х 2 + 2у 2

Формулы сокращенного умножения в одной таблице:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Формулы сокращённого умножения (ФСУ) нужны для того, чтобы умножать и возводить в степень числа, выражения, в том числе многочлены. То есть, при помощи формул можно работать с числами значительно быстрее и проще. Таким образом можно из сложного уравнения сделать обычное, что упростит задачу.

Таблица с формулами сокращённого умножения

Название	Формула	Как читается
Квадрат суммы		Квадрат первого выражения плюс удвоенного произведение первого и второго выражения, плюс квадрат второго выражения.
Квадрат разности		Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого выражения на второе, плюс квадрат второго выражения.
Куб суммы		Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение первого выражения в квадрате на второе выражение, плюс утроенное произведение первого выражения на второе в квадрате, плюс второе выражение в кубе.
Куб разности		Куб разности двух величин равен первое выражение в кубе минус утроенное произведение первого выражения в квадрате на второе выражение, плюс утроенное произведение первого выражения на второе в квадрате, минус второе выражение в кубе.
Разность квадратов		Разность квадратов первого и второго выражений равен произведению разности двух выражений и их суммы.
Сумма кубов		Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности равно сумме их кубов.
Разность кубов		Произведение разности двух выражений на неполный квадрат суммы равно разности их кубов.

Обратите внимание на первые четыре формулы. Благодаря им можно возводить в квадрат или куб суммы (разности) двух выражений. Что касается пятой формулы, её нужно применять, чтобы вкратце умножить разность или сумму двух выражений.

Две последние формулы (6 и 7) применяются, чтобы умножать суммы обоих выражений на их неполный квадрат разности или суммы.

Вышеперечисленные формулы довольно-таки часто нужны на практике. Именно поэтому их желательно знать наизусть.

Если вам попался пример, разложить многочлен на множители, тогда во многих случаях нужно левую и правую часть переставить местами.

Например, возмём ту же первую формулу:

и левую часть поставим вправо, а правую влево:

Такую же процедуру можно проделывать и с остальными формулами.

Доказательство ФСУ

Остановимся на доказательствах формул сокращённого умножения. Это не сложно. Нужно всего лишь раскрыть скобки. Рассмотрим на первой формуле – квадрат суммы: .

Шаг первый.

Возведём a + b во вторую степень. Для этого степень трогать не будем, а выполним банальное умножение: = x .

Шаг второй. Теперь и выносим за скобки: x + x .

Шаг третий . Раскрываем скобки: x + x + x + x .

Шаг четвёртый . Умножаем, не забывая о знаках: x + x + .

Шаг пятый . Упрощаем выражение: .

Точно так же можно доказать абсолютно любую формулу сокращённого умножения.

Примеры и решения с помощью ФСУ

Как правило, эти семь формул применяются тогда, когда нужно упростить выражение, чтобы решить какое-либо уравнение и даже обычный пример.

Пример 1

Задание

Упростите выражение:

Как видно, к этому примеру подходит первая формула сокращённого умножения – Квадрат суммы.

Решение

Исходя из первой формулы надо пример разложить на множители. Для этого смотрим на формулу и вместо букв подставляем цифры. В нашем случае «а» – это 3x, а «b» – это 5:

Считаем правую часть и записываем результат. У нас получается:

В примере надо умножить всё то, что умножается и сразу получаем ответ:

Конечно же, есть примеры и с дробями. Но, если научитесь решать простые примеры, тогда другие виды вам будут не страшны.

Пример 2

Задание

Упростите выражение

Решение

= – x x + =

Удвоенное произведение этих выражений – , который совпадает с со вторым членом трёхчлена (со знаком «плюс), значит,

Итак, как видно, ничего сложно в примерах нет. Главное, знать формулы, где их можно применять, а где можно обойтись и без них.

Полезные источники

Арефьева И. Г., Пирютко О. Н. Алгебра: учебник пособие для 7 класса учреждений общего среднего образования: Минск “Народная Асвета”, 2017 – 304 с.
Никольский С. М., Потапов М. К. Алгебра 7 класс: М: 2015 – 287 с.
Рубин А. Г., Чулков П. В. Алгебра. 7 класс. М: 2015 – 224 с.

ФСУ – формулы сокращённого умножения по алгебре за 7 класс с примерами обновлено: 22 ноября, 2019 автором: Научные Статьи.Ру

При расчёте алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются формулы сокращенного умножения . Всего таких формул семь. Их все необходимо знать наизусть.

Следует также помнить, что вместо «a » и «b » в формулах могут стоять как числа, так и любые другие алгебраические многочлены.

Разность квадратов

Запомните!

Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы.

a 2 − b 2 = (a − b)(a + b)

15 2 − 2 2 = (15 − 2)(15 + 2) = 13 · 17 = 221
9a 2 − 4b 2 с 2 = (3a − 2bc)(3a + 2bc)

Квадрат суммы

Запомните!

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращённого умножения легко находить квадраты больших чисел , не используя калькулятор или умножение в столбик. Поясним на примере:

Найти 112 2 .

Разложим 112 на сумму чисел, чьи квадраты мы хорошо помним.
112 = 100 + 1
Запишем сумму чисел в скобки и поставим над скобками квадрат.
112 2 = (100 + 12) 2
Воспользуемся формулой квадрата суммы:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 · 100 · 12 + 12 2 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544

Помните, что формула квадрат суммы также справедлива для любых алгебраических многочленов.

(8a + с) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Предостережение!

(a + b) 2 не равно (a 2 + b 2)

Квадрат разности

Запомните!

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго числа.

(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

Также стоит запомнить весьма полезное преобразование:

(a − b) 2 = (b − a) 2

Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:

(a − b) 2 = a 2 −2ab + b 2 = b 2 − 2ab + a 2 = (b − a) 2

Куб суммы

Запомните!

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Как запомнить куб суммы

Запомнить эту «страшную» на вид формулу довольно просто.

Выучите, что в начале идёт «a 3 ».
Два многочлена посередине имеют коэффициенты 3 .
Вспомним, что любое число в нулевой степени есть 1 . (a 0 = 1, b 0 = 1) . Легко заметить, что в формуле идёт понижение степени «a » и увеличение степени «b ». В этом можно убедиться:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Предостережение!

(a + b) 3 не равно a 3 + b 3

Куб разности

Запомните!

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго.

(a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

Запоминается эта формула как и предыдущая, но только с учётом чередования знаков «+ » и «− ». Перед первым членом «a 3 » стоит «+ » (по правилам математики мы его не пишем). Значит, перед следующим членом будет стоять «− », затем опять «+ » и т.д.

(a − b) 3 = + a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

Сумма кубов

Не путать с кубом суммы!

Запомните!

Сумма кубов равна произведению суммы двух чисел на неполный квадрат разности.

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2)

Сумма кубов — это произведение двух скобок.

Первая скобка — сумма двух чисел.
Вторая скобка — неполный квадрат разности чисел. Неполным квадратом разности называют выражение:
(a 2 − ab + b 2)
Данный квадрат неполный, так как посередине вместо удвоенного произведения обычное произведение чисел.

Разность кубов

Не путать с кубом разности!

Запомните!

Разность кубов равна произведению разности двух чисел на неполный квадрат суммы.

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)

Будьте внимательны при записи знаков.

Применение формул сокращенного умножения

Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.

Многие примеры в учебниках рассчитаны на то, что вы с помощью формул соберёте многочлен обратно.

a 2 + 2a + 1 = (a + 1) 2
(aс − 4b)(ac + 4b) = a 2 c 2 − 16b 2

Таблицу со всеми формулами сокращённого умножения вы можете скачать в разделе «

Формулы сокращенного умножения. Тренировка.

Попробуй таким способом вычислить следующие выражения:

Ответы:

Либо, если ты знаешь квадраты основных двухзначных чисел, вспомни, сколько будет? Вспомнил? . Отлично! Так как мы возводим в квадрат, то мы должны умножить на. Получается, что.

Помни, что формулы квадрат суммы и квадрат разности справедливы не только для числовых выражений:

Посчитай самостоятельно следующие выражения:

Ответы:

Формулы сокращенного умножения. Итог.

Подведем небольшой итог и запишем формулы квадрата суммы и разности в одну строку:

Теперь потренируемся «собирать» формулу из разложенного вида в вид. Данный навык понадобится нам в дальнейшем при преобразовании больших выражений.

Допустим, у нас есть следующее выражение:

Мы знаем, что квадрат суммы (или разности) - это квадрат одного числа квадрат другого числа и удвоенное произведение этих чисел .

В данной задаче легко увидеть квадрат одного числа - это. Соответственно, одно из чисел, входящих в скобку, - это квадратный корень из, то есть

Так как во втором слагаемом есть, значит, это удвоенное произведение одного и другого числа, соответственно:

Где - второе число, входящее в нашу скобку.

Второе число, входящее в скобку, равно.

Проверим. должно быть равно. Действительно так и есть, значит, мы нашли оба числа, присутствующие в скобках: и. Осталось определить знак, который стоит между ними. Как ты думаешь, что за знак там будет?

Правильно! Так как мы прибавляем удвоенное произведение, то между числами будет стоять знак сложения. Теперь запиши преобразованное выражение. Справился? У тебя должно получиться следующее:

Заметь: перемена мест слагаемых не сказывается на результате (неважно, сложение или вычитание стоит между и).

Совершенно необязательно, чтобы слагаемые в преобразуемом выражении стояли так, как написано в формуле. Посмотри на это выражение: . Попробуй преобразовать его самостоятельно. Получилось?

Потренируйся - преобразуй следующие выражения:

Ответы: Справился? Закрепим тему. Выбери из приведенных ниже выражений те, которые можно представить в виде квадрата суммы или разности.

- докажи, что это равносильно.

- нельзя представить как квадрат; можно было бы представить, если вместо было.

Разность квадратов

Еще одна формула сокращенного умножения - разность квадратов.

Разность квадратов это не квадрат разности!

Разность квадратов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на их разность:

Проверим, верна ли эта формула. Для этого перемножим, как делали при выведении формул квадрата суммы и разности:

Таким образом, мы только что удостоверились, что формула действительно верная. Данная формула также упрощает сложные вычислительные действия. Приведем пример:

Необходимо вычислить: . Конечно, мы можем возвести в квадрат, затем возвести в квадрат и вычесть одно из другого, но формула упрощает нам задачу:

Получилось? Сверим результаты:

Так же как и квадрат суммы (разности), формула разности квадратов может применяться не только с числами:

Умение раскладывать разность квадратов поможет нам преобразовывать сложные математические выражения.

Обрати внимание:

Поскольку, при разложении на квадрат разности правого выражения мы получим

Будь внимателен и смотри, какое конкретное слагаемое возводится в квадрат! Для закрепления темы преобразуй следующие выражения:

Записал? Сравним полученные выражения:

Теперь, когда ты усвоил квадрат суммы и квадрат разности, а также разность квадратов, попробуем решать примеры на комбинацию этих трех формул.

Преобразование элементарных выражений (квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов)

Допустим, нам дан пример

Необходимо упростить данное выражение. Посмотри внимательно, что ты видишь в числителе? Правильно, числитель - это полный квадрат:

Упрощая выражение, помни, что подсказка, в какую сторону двигаться в упрощении, находится в знаменателе (или в числителе). В нашем случае, когда знаменатель разложен, и больше ничего сделать нельзя, можно понять, что числителем будет либо квадрат суммы, либо квадрат разности. Так как мы прибавляем, то становится ясно, что числитель - квадрат суммы.

Попробуй самостоятельно преобразовать следующие выражения:

Получилось? Сравниваем ответы и двигаемся дальше!

Куб суммы и куб разности

Формулы куб суммы и куб разности выводятся аналогичным образом, как квадрат суммы и квадрат разности : раскрытием скобок при перемножении членов друг на друга.

Если квадрат суммы и квадрат разности запомнить весьма легко, то возникает вопрос «как запомнить кубы?»

Посмотри внимательно на две описываемые формулы в сравнении с возведением аналогичных членов в квадрат:

Какую ты видишь закономерность?

1. При возведении в квадрат у нас есть квадрат первого числа и квадрат второго; при возведении в куб - есть куб одного числа и куб другого числа.

2. При возведении в квадрат , у нас есть удвоенное произведение чисел (числа в 1 степени, что на одну степень меньше чем та, в которую возводим выражение); при возведении в куб - утроенное произведение, при котором одно из чисел возводится в квадрат (что так же на 1 степень меньше, чем степень, в которую возводим выражение).

3. При возведении в квадрат знак в скобках в раскрытом выражении отражается при прибавлении (или вычитании) удвоенного произведения - если в скобках сложение, то прибавляем, если вычитание - отнимаем; при возведении в куб правило такое: если у нас куб суммы, то все знаки «+», а если куб разности, то знаки чередуются: « » - « » - « » - « ».

Всё перечисленное, кроме зависимости степеней при умножении членов, изображено на рисунке.

Потренируемся? Раскрой скобки в следующих выражениях:

Сравни полученные выражения:

Разность и сумма кубов

Рассмотрим последнюю пару формул разность и сумму кубов.

Как мы помним, в разности квадратов у нас идет перемножение разности и суммы данных чисел одно на другое. В разности кубов и в сумме кубов также имеется две скобки:

1 скобка - разность (или сумма) чисел в первой степени (в зависимости от того, разность или сумму кубов мы раскрываем);

2 скобка - неполный квадрат (присмотрись: если бы мы вычитали (или прибавляли) удвоенное произведение чисел, был бы квадрат), знак при перемножении чисел противоположный знаку изначального выражения.

Для закрепления темы решим несколько примеров:

Сравни полученные выражения:

Тренировка

Ответы:

Подведем итоги:

Существует 7 формул сокращенного умножения:

ПРОДВИНУТЫЙ УРОВЕНЬ

Формулы сокращенного умножения - это формулы, зная которые можно избежать выполнения некоторых стандартных действий при упрощении выражений или разложении многочленов на множители. Формулы сокращенного умножения нужно знать наизусть!

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения:
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения:
Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы:
Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения:
Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения:
Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений:
Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений:

Теперь докажем все эти формулы.

Формулы сокращенного умножения. Доказательство.

1. .
Возвести выражение в квадрат - значит умножить его само на себя:
.

Раскроем скобки и приведем подобные:

2. .
Делаем то же самое: умножаем разность саму на себя, раскрываем скобки и приводим подобные:
.

3. .
Возьмем выражение в правой части и раскроем скобки:
.

4. .
Число в кубе можно представить как это число умноженное на свой квадрат:

Аналогично:

В разности кубов знаки чередуются.

6. .

.

7. .
Раскроем скобки в правой части:
.

Применение формул сокращенного умножения при решении примеров

Пример 1:

Найдите значение выражений:

Решение:

Используем формулу квадрат суммы: .
Представим это число в виде разности и используем формулу квадрата разности: .

Пример 2:

Найдите значение выражения: .

Решение:

Используя формулу разности квадратов двух выражений, получим:

Пример 3:

Упростите выражение:

Решение двумя способами:

Воспользуемся формулами квадрат суммы и квадрат разности:

II способ.

Воспользуемся формулой разности квадратов двух выражений:

ТЕПЕРЬ ТВОЕ СЛОВО...

Я рассказал все, что знаю о формулах сокращенного умножения.

Расскажи теперь ты будешь ли ты ими пользоваться? Если нет, то почему?

Как тебе эта статья?

Возможно у тебя есть вопросы. Или предложения.

Напиши в комментариях. Мы читаем все комментарии и отвечаем на все.

И удачи на экзаменах!