За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сначала в размере 5%, затем 12%, потом и, наконец, 12,5% в месяц. Известно, что под действием каждой новой процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения первоначальная сумма увеличилась на Определите срок хранения вклада.
Решение.
Известно:
1. Проценты на вклад начислялись ежемесячно.
2. Каждая последующая процентная надбавка по истечении календарного месяца начислялась с учетом вновь образованной суммы вклада и с учетом предыдущих надбавок.
Если первоначальная сумма вклада при ежемесячной 5%-ной ставке начисления процентов продержалась месяцев, то вклад ежемесячно увеличивался в раз, и этот коэффициент будет сохранен до тех пор, пока ставка не изменится.
При изменении процентной надбавки с на (ставка продержалась месяцев) первоначальная сумма вклада за месяцев увеличится в раза.
Предположим, что процентная ставка продержалась месяцев, а процентная ставка продержалась месяцев. Тогда соответствующие коэффициенты повышения составят:
Таким образом, коэффициент повышения суммы вклада в целом за весь период хранения вклада в банке составит:
С другой стороны, согласно условию задачи первоначальная сумма вклада за это же время увеличилась на то есть в
Согласно основной теореме арифметики каждое натуральное число, большее 1, можно представить в виде произведения простых множителей, и это представление единственное с точностью до порядка их следования. В таком случае:
Решим эту систему относительно натуральных и Из последнего уравнения системы имеем: При этих значениях и система примет вид:
Итак, вклад в банке на хранении был 7 месяцев. При найденных значениях и действительно равно нулю.
Ответ: 7.
Примечание.
Более простой вариант этой задачи см. в номерах и .
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 81.
Семен Кузнецов планировал вложить все свои сбережения на сберегательный счет в банк «Навроде» под 500%, рассчитывая через год забрать А рублей. Однако крах банка «Навроде» изменил его планы, предотвратив необдуманный поступок. В результате часть денег г-н Кузнецов положил в банк «Первый Муниципальный», а остальные – в банку из-под макарон. Через год «Первый Муниципальный» повысил процент выплат в два с половиной раза, и г-н Кузнецов решил оставить вклад еще на год. В итоге размер суммы, полученной в «Первом Муниципальном», составил рублей. Определите, какой процент за первый год начислил банк «Первый Муниципальный», если в банку из-под макарон Семен «вложил» рублей.
Решение.
Предположим, что сбережения Кузнецова составляли х р.
Семен планировал через год получить в банке «Навроде», 6х = А (р).
Однако г-н Кузнецов (р) своих сбережений «вложил» в банку из-под макарон, а остальные рублей - в банк «Первый Муниципальный». Скажем, в этом банке процентные выплаты в первый год хранения денежных средств составили y %. Тогда во второй год эта процентная ставка стала %. За 2 года хранения в банке «Первый Муниципальный» вклад Семена вырос до
А значение этого выражения равно
Решим уравнение относительно у .
Не подходит по смыслу задачи.
Семену Кузнецову банк «Первый Муниципальный» за первый год хранения вклада начислил 20% .
Ответ: 20%.
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 94.
Классификатор базовой части: Практические задачи
Сумма ряда
сайт позволяет найти сумму ряда онлайн числовой последовательности. Помимо нахождения суммы ряда онлайн числовой последовательности, сервер в режиме онлайн найдет частичную сумму ряда . Это полезно для аналитических выкладок, когда сумму ряда онлайн необходимо представить и найти как решение предела последовательности частичных сумм ряда . По сравнению с другими сайтами, сайт обладает неоспоримым преимуществом, так как позволяет найти сумму ряда онлайн не только числового, но и функционального ряда , что позволит определить область сходимости исходного ряда , применяя наиболее известные методы. Согласно теории рядов , необходимым условием сходимости числовой последовательности является равенство нулю предела от общего члена числового ряда при стремлении переменной к бесконечности. Однако, это условие не является достаточным для определения сходимости числового ряда онлайн .. Для определения сходимости рядов онлайн найдены разнообразные достаточные признаки сходимости или расходимости ряда . Наиболее известные и часто применяемые из них - это признаки Д"Аламбера, Коши, Раабе, сравнения числовых рядов , а также интегральный признак сходимости числового ряда . Особое место среди числовых рядов занимают такие, в которых знаки слагаемых строго чередуются, а абсолютные величины числовых рядов монотонно убывают. Оказывается, для таких числовых рядов необходимый признак сходимости ряда онлайн является одновременно и достаточным, то есть равенство нулю предела от общего члена числового ряда при стремлении переменной к бесконечности. Существует множество различных сайтов, на которых представлены серверы для вычисления суммы ряда онлайн , а также разложения функций вряд в режиме онлайн в некоторой точке из области определения этой функции. Если разложить функцию в ряд онлайн не представляет на этих серверах особого труда, то вычислить сумму функционального ряда онлайн , каждым членом которого, в отличие от числового ряда , является не число, а функция, представляется практически невозможным в силу отсутствия необходимых технических ресурсов. Для www.сайт такой проблемы не существует.
И т.д. – достаточно самых минимальных знаний о числовых рядах . Необходимо понимать, что такое ряд , уметь расписывать его подробно и не округлять глаза после словосочетаний «ряд сходится», «ряд расходится», «сумма ряда». Поэтому, если ваше настроение совсем на нуле, пожалуйста, уделите 5-10 минут статье Ряды для чайников (буквально первые 2-3 страницы), а потом возвращайтесь сюда и смело начинайте решать примеры!
Следует отметить, что в большинстве случаев найти сумму ряда непросто, и этот вопрос обычно решается через функциональные ряды
(доживём-доживём:))
. Так, например, сумма популярного артиста 
выводится через ряды Фурье
. В этой связи на практике почти всегда требуется установить сам факт сходимости
, но не найти конкретное число (многие, думаю, уже успели это заметить). Однако среди великого множества числовых рядов есть немногочисленные представители, которые позволяют без особых проблем прикоснуться к святая святых даже полному чайнику. И на вводном уроке я приводил пример бесконечно убывающей геометрической прогрессии 
, сумма которой легко рассчитывается по известной школьной формуле.
В данной статье мы продолжим рассматривать похожие примеры, кроме того, узнаем строгое определение суммы и попутно познакомимся с некоторыми свойствами рядов. Разомнёмся… да прямо на прогрессиях и разомнёмся:
Пример 1
Найти сумму ряда
Решение
: представим наш ряд в виде суммы двух рядов:
Почему в данном случае так можно сделать? Выполненные действия основаны на двух простейших утверждениях:
1) Если сходятся ряды 
, то будут сходиться и ряды, составленные из сумм или разностей соответствующих членов: . При этом существенно то обстоятельство, что речь идёт о сходящихся
рядах. В нашём примере мы заранее знаем
, что обе геометрические прогрессии сойдутся, а значит, без всяких сомнений раскладываем исходный ряд в два ряда.
2) Второе свойство ещё очевиднее. Константу можно вынести за пределы ряда: 
, и это не повлияет на его сходимость или расходимость и итоговую сумму. Зачем выносить константу? Да просто чтобы она «не мешалась под ногами». Но иногда бывает выгодно этого и не делать
Чистовое оформление примера выглядит примерно так:
Дважды используем формулу для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: , где – первый член прогрессии, – основание прогрессии.
Ответ : сумма ряда
Начало решения можно оформить несколько в другом стиле – расписать ряд напрямую и перегруппировать его члены:
Дальше по накатанной.
Пример 2
Найти сумму ряда
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Каких-либо особых изысков здесь нет, но однажды мне попался необычный ряд , который может застать врасплох неискушенного человека. Это… тоже бесконечно убывающая геометрическая прогрессия! Действительно, , и сумма рассчитывается буквально за пару мгновений: 
.
А сейчас живительный глоток математического анализа, необходимый для решения дальнейших задач:
Что такое сумма ряда?
Строгое определение сходимости/расходимости и суммы ряда в теории даётся через так называемые частичные суммы
ряда. Частичные – значит неполные. Распишем частичные суммы числового ряда 
:
И особую роль играет частичная сумма «эн» членов ряда:
Если предел частичных сумм числового ряда равен конечному числу: , то такой ряд называют сходящимся , а само число – суммой ряда . Если же предел бесконечен либо его не существует, то ряд называют расходящимся .
Вернёмся к демонстрационному ряду 
и распишем его частичные суммы:
Предел частичных сумм – есть в точности бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, сумма которой равна: . Похожий предел мы рассматривали на уроке о числовых последовательностях . Собственно, и сама формула – это прямое следствие вышеизложенных теоретических выкладок (см. 2-ой том матана).
Таким образом, прорисовывается общий алгоритм решения нашей задачи : необходимо составить энную частичную сумму ряда и найти предел . Посмотрим, как это осуществляется на практике:
Пример 3
Вычислить сумму ряда
Решение
: на первом шаге нужно разложить общий член ряда
в сумму дробей. Используем метод неопределённых коэффициентов
:
В результате:
Сразу же
полезно провести обратное действие, выполнив тем самым проверку:
Получен общий член ряда в исходном виде, следовательно, разложение в сумму дробей проведено успешно.
Теперь составим частичную сумму ряда . Вообще это делается устно, но один раз я максимально подробно распишу, что откуда взялось:
Как записать совершенно понятно, но чему равен предыдущий член ? В общий член ряда 
ВМЕСТО
«эн» подставляем :
Почти все слагаемые частичной суммы благополучно взаимоуничтожаются:
Прямо такие пометки и делаем карандашом в тетради. Чертовски удобно.
Осталось вычислить элементарный предел и узнать сумму ряда:
Ответ :
Аналогичный ряд для самостоятельного решения:
Пример 4
Вычислить сумму ряда
Примерный образец чистового оформления решения в конце урока.
Очевидно, что нахождение суммы ряда – это само по себе доказательство его сходимости (помимо признаков сравнения , Даламбера, Коши и др.), о чём, в частности, намекает формулировка следующего задания:
Пример 5
Найти сумму ряда или установить его расходимость
По внешнему виду общего члена можно сразу сказать, как ведёт себя этот товарищ. Без комплексов. С помощью предельного признака сравнения легко выяснить (причём даже устно), что данный ряд будет сходиться вместе с рядом . Но перед нами редкий случай, когда без особых хлопот рассчитывается ещё и сумма.
Решение
: разложим знаменатель дроби в произведение. Для этого нужно решить квадратное уравнение
:
Таким образом:
Множители лучше расположить в порядке возрастания: .
Выполним промежуточную проверку:
ОК
Таким образом, общий член ряда:
Таким образом: 
Не ленимся:
Что и требовалось проверить.
Запишем частичную сумму «эн» членов ряда, при этом обращаем внимание на тот факт, что «счётчик» ряда «начинает работать» с номера . Как и в предыдущих примерах, надёжнее растянуть кобру на приличную длину:
Однако если мы запишем в одну-две строчки, то всё равно будет довольно трудно сориентироваться в слагаемых (их таки 3 в каждом члене). И здесь нам на помощь придёт… геометрия. Заставим плясать змею под свою дудочку:
Да, прямо так и пишем в тетради один член под другим и прямо так их вычёркиваем. Кстати, собственное изобретение. Как понимаете, не от самого лёгкого задания в этой жизни =)
В результате зачистки получаем:
И, наконец, сумма ряда:
Ответ :
Пример 8
Вычислить сумму ряда 
Это пример для самостоятельного решения.
Рассматриваемая задача, конечно, не радует нас разнообразием – на практике встречается либо бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, либо ряд с дробно-рациональным общим членом и разложимым многочленом в знаменателе (к слову, далеко не каждый такой многочлен даёт возможность найти сумму ряда). Но, тем не менее, иногда попадаются необычные экземпляры, и по сложившейся доброй традиции я завершаю урок какой-нибудь любопытной задачей.
Задание 1. (7 баллов)
Замок Персиваля имел квадратную форму. Однажды Персиваль решил расширить свои владения и добавил к замку квадратную пристройку. В результате периметр замка увеличился на 10%. На сколько процентов увеличилась площадь замка?
Ответ: 4%.
Решение. Пусть ширина замка равна a , а ширина пристройки - b . Тогда первоначальный периметр равен 4a , а итоговый периметр равен 4a + 2b .
1, 1 · 4a = 4a + 2b ⇔ b = 0, 2a .
Отсюда площадь замка стала равна a 2 +(0, 2a ) 2 = 1, 04a 2 , то есть площадь увеличилась на 4%.
Критерии.
Верно найдена сторона пристройки, однако дальнейшее решение отсутствует или неверно: 4 балла.
Задание 2. (7 баллов)
Известно, что a 2 + b = b 2 + c = c 2 + a . Какие значения может принимать выражение a (a 2 — b 2) + b (b 2 — c 2) + c (c 2 — a 2)?
Ответ: 0.
Решение. Заметим, что равенство a 2 + b = b 2 + c можно записать в виде:
a 2 — b 2 = c — b . Аналогично имеем b 2 — c 2 = a — c , c 2 — a 2 = b — a . Подставляя эти равенства в искомые выражения, получаем, что
a (a 2 — b 2) + b (b 2 — c 2) + c (c 2 — a 2) = a (c — b ) + b (a — c ) + c (b — a ) = 0 .
Критерии. Любое верное решение: 7 баллов.
Приведён только верный ответ: 0 баллов.
Задание 3. (7 баллов)
На доске в произвольном порядке выписаны числа от 1 до 2017. Два числа можно поменять местами, если одно из них делится на другое. Докажите, что за несколько таких операций числа можно расположить в порядке возрастания.
Решение. Покажем, как поставить число k ≠ 1 на k -ое место. Пусть на k -ом месте стоит число n . Поменяем сначала n с 1, затем поменяем k с 1. Тогда k действительно окажется на своём месте.
Последовательно ставя на свои места числа 2017, 2016, . . . , мы поставим все числа в порядке возрастания.
Критерии. Любой верный алгоритм действий: 7 баллов.
На примере маленького количества чисел (например, для трёх или четырёх) показано, как расставить числа в порядке возрастания: 0 баллов.
Задание 4. (7 баллов)
Сравните величины углов BAC и CED (см. рисунок). Свой ответ обоснуйте.
Ответ: эти углы равны.
Решение. Пусть K - основание перпендикуляра, опущенного из B на AC .
Рассмотрим треугольники
ABK
и
EDC
. Они оба прямоугольные, причем их катеты относятся как 1: 3. Значит, тангенсы отмеченных углов равны 1/3, то есть сами углы тоже равны.
Критерии. Любое верное решение: 7 баллов.
Приведён только верный ответ: 0 баллов.
Задание 5. (7 баллов)
Лёша не поленился вычислить сумму
и выписать ее на доску. Сколько раз в итоговом результате записана цифра 1?
Ответ: 2013.
Решение. Преобразуем выражение:
Критерии. Любое верное решение: 7 баллов.
Показано, что исходная сумма равна
но дальнейшее решение отсутствует или в нём допускается арифметическая ошибка: 5 баллов.
Приведён только верный ответ: 1 балл.
Задание 6. (7 баллов)
Несколько мудрецов построилось в колонну. На всех были либо черные, либо белые колпаки. Оказалось, что среди любых 10 подряд идущих мудрецов поровну мудрецов с белыми и с черными колпаками, а среди любых 12 подряд идущих - не поровну. Какое наибольшее количество мудрецов могло быть?
Ответ: 15 мудрецов.
Решение. Докажем, что больше 15 мудрецов быть не может. Предположим противное, пусть мудрецов хотя бы 16. Последовательно занумеруем всех мудрецов. Рассмотрим девять подряд идущих мудрецов. Если к ним добавить одного из двух соседних мудрецов, то среди них будет одинаковое число мудрецов с белыми и чёрными колпаками, поэтому на любых мудрецах, между которыми находится 9 мудрецов, надеты колпаки одинакового цвета.
Без ограничения общности, на первом мудреце надет чёрный колпак. Тогда на одиннадцатом мудреце также чёрный колпак. Если на двенадцатом мудреце надет белый колпак, то среди первых двенадцати мудрецов будет поровну белых и чёрных колпаков. Поэтому на двенадцатом мудреце надет чёрный колпак, откуда и на втором мудреце надет чёрный колпак. Аналогично рассмотрев мудрецов со второго по одиннадцатого, получим что на мудрецах 3 и 13 надеты колпаки чёрного цвета. Рассмотрев мудрецов с третьего по двенадцатого, получим, что на мудрецах 4 и 14 надеты колпаки чёрного цвета. Аналогично на мудрецах 5 и 15, 6 и 16 надеты колпаки чёрного цвета. Но тогда среди первых десяти мудрецов на первых шести чёрные колпаки, поэтому чёрных колпаков будет больше. Противоречие.
15 мудрецов может быть: пусть на первых 5 и последних 5 мудрецах надеты чёрные колпаки, а на оставшихся 5 надеты белые колпаки. Несложно понять, что тогда условие задачи будет выполнено.
Критерии. Любое верное решение: 7 баллов.
Доказано, что больше 15 мудрецов не может быть, но не приведён пример, как надеть колпаки на 15 мудрецов: 6 баллов.
Доказано, что на двух мудрецах, между которыми стоят 9 мудрецов, надеты колпаки одинакового цвета, однако дальнейшее рассуждение отсутствует или неверно: 2 балла.
Приведён пример расстановки 15 мудрецов, удовлетворяющей условию, но не доказано, что больше мудрецов поставить нельзя: 1 балл.
Приведён только верный ответ: 0 баллов.
