Уравнение вида f (x ; a ) = 0 называется уравнением с переменной х и параметром а .
Решить уравнение с параметром а – это значит, для каждого значения а найти значения х , удовлетворяющие этому уравнению.
Пример 1. ах = 0
Пример 2. ах = а
Пример 3.
х + 2 = ах
х – ах = -2
х(1 – а) = -2
Если 1 – а = 0, т.е. а = 1, то х 0 = -2 корней нет
Если 1 – а 0, т.е. а 1, то х =
Пример 4.
(а 2 – 1) х = 2а 2 + а – 3
(а – 1)(а + 1)х = 2(а – 1)(а – 1,5)
(а – 1)(а + 1)х = (1а – 3)(а – 1)
Если а
= 1, то 0х
= 0
х
– любое действительное число
Если а
= -1, то 0х
= -2
Корней нет
Если а 1, а -1, то х = (единственное решение).
Это значит, что каждому допустимому значению а соответствует единственное значение х .
Например:
если а = 5, то х = = ;
если а = 0, то х = 3 и т. д.
Дидактический материал
1. ах = х + 3
2. 4 + ах = 3х – 1
3. а = +
при а = 1 корней нет.
при а = 3 корней нет.
при а = 1 х – любое действительное число, кроме х = 1
при а = -1, а = 0 решений нет.
при а = 0, а = 2 решений нет.
при а = -3, а = 0, 5, а = -2 решений нет
при а = -с , с = 0 решений нет.
Квадратные уравнения с параметром
Пример 1. Решить уравнение
(а – 1)х 2 = 2(2а + 1)х + 4а + 3 = 0
При а = 1 6х + 7 = 0
В случае а 1 выделим те значения параметра, при которых Д обращается в нуль.
Д = (2(2а + 1)) 2 – 4(а – 1)(4а + 30 = 16а 2 + 16а + 4 – 4(4а 2 + 3а – 4а – 3) = 16а 2 + 16а + 4 – 16а 2 + 4а + 12 = 20а + 16
20а + 16 = 0
20а = -16
Если а < -4/5, то Д < 0, уравнение имеет действительный корень.
Если а > -4/5 и а 1, то Д > 0,
х =
Если а = 4/5, то Д = 0,
Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение
х 2 + 2(а + 1)х + 9а – 5 = 0 имеет 2 различных отрицательных корня?
Д = 4(а + 1) 2 – 4(9а – 5) = 4а 2 – 28а + 24 = 4(а – 1)(а – 6)
4(а – 1)(а – 6) > 0
по т. Виета: х
1 + х
2 = -2(а
+ 1)
х
1 х
2 = 9а
– 5
По условию х 1 < 0, х 2 < 0 то –2(а + 1) < 0 и 9а – 5 > 0
В итоге | 4(а
– 1)(а
– 6) > 0 - 2(а + 1) < 0 9а – 5 > 0 |
а
< 1: а > 6 а > - 1 а > 5/9 |
(Рис. 1 ) < a < 1, либо a > 6 |
Пример 3. Найдите значения а , при которых данное уравнение имеет решение.
х 2 – 2(а – 1)х + 2а + 1 = 0
Д = 4(а – 1) 2 – 4(2а + 10 = 4а 2 – 8а + 4 – 8а – 4 = 4а 2 – 16а
4а 2 – 16 0
4а (а – 4) 0
а(а – 4)) 0
а(а – 4) = 0
а = 0 или а – 4 = 0
а = 4
(Рис. 2 )
Ответ: а 0 и а 4
Дидактический материал
1. При каком значении а уравнение ах 2 – (а + 1) х + 2а – 1 = 0 имеет один корень?
2. При каком значении а уравнение (а + 2) х 2 + 2(а + 2)х + 2 = 0 имеет один корень?
3. При каких значениях а уравнение (а 2 – 6а + 8) х 2 + (а 2 – 4) х + (10 – 3а – а 2) = 0 имеет более двух корней?
4. При каких значениях а уравнение 2х 2 + х – а = 0 имеет хотя бы один общий корень с уравнением 2х 2 – 7х + 6 = 0?
5. При каких значениях а уравнения х 2 +ах + 1 = 0 и х 2 + х + а = 0 имеют хотя бы один общий корень?
1. При а = - 1/7, а = 0, а = 1
2. При а = 0
3. При а = 2
4. При а = 10
5. При а = - 2
Показательные уравнения с параметром
Пример 1 .Найти все значения а , при которых уравнение
9 х – (а + 2)*3 х-1/х +2а *3 -2/х = 0 (1) имеет ровно два корня.
Решение. Умножив обе части уравнения (1) на 3 2/х, получим равносильное уравнение
3 2(х+1/х) – (а + 2)*3 х+1/х + 2а = 0 (2)
Пусть 3 х+1/х = у , тогда уравнение (2) примет вид у 2 – (а + 2)у + 2а = 0, или
(у – 2)(у – а ) = 0, откуда у 1 =2, у 2 = а .
Если у = 2, т.е. 3 х+1/х = 2 то х + 1/х = log 3 2 , или х 2 – х log 3 2 + 1 = 0.
Это уравнение не имеет действительных корней, так как его Д = log 2 3 2 – 4 < 0.
Если у = а , т.е. 3 х+1/х = а то х + 1/х = log 3 а , или х 2 – х log 3 а + 1 = 0. (3)
Уравнение (3) имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда
Д = log 2 3 2 – 4 > 0, или |log 3 а| > 2.
Если log 3 а > 2, то а > 9, а если log 3 а < -2, то 0 < а < 1/9.
Ответ: 0 < а < 1/9, а > 9.
Пример 2 . При каких значениях а уравнение 2 2х – (а – 3) 2 х – 3а = 0 имеет решения?
Для того чтобы заданное уравнение имело решения, необходимо и достаточно, чтобы уравнение t 2 – (a – 3) t – 3a = 0 имело хотя бы один положительный корень. Найдем корни по теореме Виета: х 1 = -3, х 2 = а = >
а – положительное число.
Ответ: при а > 0
Дидактический материал
1. Найти все значения а, при которых уравнение
25 х – (2а + 5)*5 х-1/х + 10а * 5 -2/х = 0 имеет ровно 2 решения.
2. При каких значениях а уравнение
2 (а-1)х?+2(а+3)х+а = 1/4 имеет единственный корень?
3. При каких значениях параметра а уравнение
4 х - (5а -3)2 х +4а 2 – 3а = 0 имеет единственное решение?
Логарифмические уравнения с параметром
Пример 1. Найти все значения а , при которых уравнение
log 4x (1 + ах ) = 1/2 (1)
имеет единственное решение.
Решение. Уравнение (1) равносильно уравнению
1 + ах = 2х при х > 0, х 1/4 (3)
х = у
ау 2 –у + 1 = 0 (4)
Не выполняется (2) условие из (3).
Пусть а 0, то ау 2 – 2у + 1 = 0 имеет действительные корни тогда и только тогда, когда Д = 4 – 4а 0, т.е. при а 1.Чтобы решить неравенство (3), построим графики функций Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа. – М.: Просвещение, 1990
При каких значениях параметра $a$ неравенство ${}-x^2 + (a + 2)x - 8a - 1 > 0$ имеет хотя бы одно решение?
Решение
Приведем данное неравенство к положительному коэффициенту при $x^2$:
${}-x^2 + (a + 2)x - 8a - 1 > 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 - (a + 2)x + 8a + 1 < 0 .$
Вычислим дискриминант: $D = (a + 2)^2 - 4(8a + 1) = a^2 + 4a + 4 - 32a - 4 = a^2 - 28a$. Чтобы данное неравенство имело решение, необходимо, чтобы хотя бы одна точка параболы лежала ниже оси $x$. Так как ветви параболы направлены вверх, то для этого нужно, чтобы квадратный трёхчлен в левой части неравенства имел два корня, то есть его дискриминант был положительным. Мы приходим к необходимости решить квадратное неравенство $a^2 - 28a > 0$. Квадратный трехчлен $a^2 - 28a$ имеет два корня: $a_1 = 0$, $a_2 = 28$. Поэтому неравенству $a^2 - 28a > 0$ удовлетворяют промежутки $a \in (-\infty; 0) \cup (28; + \infty)$.
Ответ. $a \in (-\infty; 0) \cup (28; + \infty)$.
При каких значениях параметра $a$ уравнение $(a-2)x^2-2ax+a+3=0$ имеет хотя бы один корень, и при этом все корни положительны?
Решение
Пусть $a=2$. Тогда уравнение принимает вид ${} - 4x +5 = 0$ , откуда получаем, что $x=\dfrac{5}{4}$ - положительный корень.
Пусть теперь $a\ne 2$. Получается квадратное уравнение. Определим сначала, при каких значениях параметра $a$ данное уравнение имеет корни. Нужно, чтобы его дискриминант был неотрицателен. То есть:
$ D = 4a^2 - 4(a-2)(a+3) ={} -4a+24\geqslant 0\Leftrightarrow a\leqslant 6.$
Корни по условию должны быть положительны, следовательно, из теоремы Виета получаем систему:
$ \begin{cases}x_1 + x_2 = \dfrac{2a}{a - 2}>0,\\ x_1x_2 = \dfrac{a + 3}{a - 2}> 0,\\a\leqslant 6\end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases}a\in(- \infty;0)\cup(2; +\infty), \\ a\in(- \infty;-3)\cup(2; +\infty), \\ a\in(-\infty;6] \end{cases}\quad\Leftrightarrow \quad a\in(-\infty;-3)\cup(2;6]. $
Объединяем ответы, получаем искомое множество: $a\in(-\infty;-3)\cup$.
Ответ. $a\in(-\infty;-3)\cup$.
При каких значениях параметра $a$ неравенство $ax^2 + 4ax + 5 \leqslant 0$ не имеет решений?
Решение
- Если $a = 0$, то данное неравенство вырождается в неравенство $5 \leqslant 0$ , которое не имеет решений. Поэтому значение $a = 0$ удовлетворяет условию задачи.
- Если $a > 0$, то график квадратного трехчлена в левой части неравенства - парабола с ветвями, направленными вверх. Вычислим $\dfrac{D}{4} = 4a^2 - 5a$. Неравенство не имеет решений, если парабола расположена выше оси абсцисс, то есть когда квадратный трёхчлен не имеет корней ($D < 0$). Решим неравенство $4a^2 - 5a < 0$. Корнями квадратного трёхчлена $4a^2 - 5a$ являются числа $a_1 = 0$ и $a_2 = \dfrac{5}{4}$, поэтому $D < 0$ при $0 < a < \dfrac{5}{4}$. Значит, из положительных значений $a$ подходят числа $a \in \left(0; \dfrac{5}{4}\right)$.
- Если $a < 0$, то график квадратного трехчлена в левой части неравенства - парабола с ветвями, направленными вниз. Значит, обязательно найдутся значения $х$, для которых трёхчлен отрицателен. Следовательно, все значения $a < 0$ не подходят.
Ответ. $a \in \left$ лежит между корнями, поэтому корней должно быть два (значит, $a\ne 0$). Если ветви параболы $y = ax^2 + (a + 3)x - 3a$ направлены вверх, то $y(-1) < 0$ и $y(1) < 0$; если же они направлены вниз, то $y(-1) > 0$ и $y(1) > 0$.
Случай I. Пусть $a > 0$. Тогда
$\left\{ \begin{array}{l} y(-1)=a-(a+3)-3a=-3a-3<0 \\ y(1)=a+(a+3)-3a=-a+3<0 \\ a>0 \end{array} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} a>-1 \\ a>3 \\ a>0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad a>3.$
То есть в этом случае получается, что подходят все $a > 3$.
Cлучай II. Пусть $a < 0$. Тогда
$\left\{ \begin{array}{l} y(-1)=a-(a+3)-3a=-3a-3>0 \\ y(1)=a+(a+3)-3a=-a+3>0 \\ a<0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} a<-1 \\ a<3 \\ a<0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad a<-1.$
То есть в этом случае получается, что подходят все $a < -1$.
Ответ. $a\in (-\infty ;-1)\cup (3;+\infty)$
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений
$ \begin{cases} x^2+y^2 = 2a, \\ 2xy=2a-1 \end{cases} $
имеет ровно два решения.
Решение
Вычтем из первого второе: $(x-y)^2 = 1$. Тогда
$ \left[\begin{array}{l} x-y = 1, \\ x-y = -1 \end{array}\right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[\begin{array}{l} x = y+1, \\ x = y-1. \end{array}\right. $
Подставляя полученные выражения во второе уравнение системы, получаем два квадратных уравнения: $2y^2 + 2y - 2a + 1 = 0$ и $2y^2 - 2y - 2a + 1 =0$. Дискриминант каждого из них равен $D = 16a-4$.
Заметим, что не может получиться так, что пара корней первого из квадратных уравнений совпадает с парой корней второго квадратного уравнения, так как сумма корней первого равна $-1$, а второго 1.
Значит, нужно, чтобы у каждого из этих уравнений было по одному корню, тогда у исходной системы их будет два решения. То есть $D = 16a - 4 = 0$.
Ответ. $a=\dfrac{1}{4}$
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $4x-|3x-|x+a||=9|x-3|$ имеет два корня.
Решение
Перепишем уравнение в виде:
$ 9|x-3|-4x+|3x-|x+a|| = 0. $
Рассмотрим функцию $f(x) = 9|x-3|-4x+|3x-|x+a||$.
При $x\geqslant 3$ первый модуль раскрывается со знаком плюс, и функция принимает вид: $f(x) = 5x-27+|3x-|x+a||$. Очевидно, что при любом раскрытии модулей в итоге будет получаться линейная функция с коэффициентом $k\geqslant 5-3-1=1>0$, то есть эта функция на данном промежутке неограниченно возрастает.
Рассмотрим теперь промежуток $x<3$. В этом случае первый модуль раскрывается с минусом, и функция принимает следующий вид: $f(x) = - 13x+27+|3x-|x+a||$. При любом раскрытии модулей в итоге будет получаться линейная функция с коэффициентом $k\leqslant - 13+3+1 = - 9<0$, то есть на этом промежутке функция убывает.
Итак, мы получили, что $x=3$ - точка минимума данной функции. А это означает, что для того чтобы у исходного уравнения было два решения, значение функции в точке минимума должно быть меньше нуля. То есть имеет место неравенство: $f(3)<0$.
$ 12-|9-|3+a||>0 \quad \Leftrightarrow \quad |9-|3+a|| < 12 \quad \Leftrightarrow \quad -12 < 9-|3+a| < 12 \quad \Leftrightarrow \quad$
a О (-Ґ ; 1 – | Ц
7 2 |
) И (1 + | Ц
7 2 |
; Ґ ). |
3. Задача.
Известно, что
f
2 (x
) = 6x
-x
2 -6.
а) Постройте график функции
f
1 (x
) при a
= 1.
б) При каком значении a
графики функций f
1 (x
) и
f
2 (x
) имеют единственную общую точку?
3. Решение.
3.а.
Преобразуем f
1 (x
) следующим образом
График этой функции при a
= 1 изображен на рисунке справа.
3.б.
Сразу отметим, что графики функций y
=
kx
+b
и y
= ax
2 +bx
+c
(a
№
0) пересекаются в единственной точке
тогда и только тогда, когда квадратное уравнение kx
+b
=
ax
2 +bx
+c
имеет единственный корень.
Используя представление f
1 из 3.а
, приравняем
дискриминант уравнения a
= 6x
-x
2 -6 к нулю.
Из уравнения 36-24-4a
= 0 получаем a
= 3. Проделав то же
самое с уравнением 2x
-a
= 6x
-x
2 -6
найдем a
= 2. Нетрудно убедиться, что эти значения параметра
удовлетворяют условиям задачи. Ответ: a
= 2 или a
= 3.
4. Задача.
Найти все значения a
, при которых множество решений неравенства
x
2 -2ax
-3a
і
0
содержит отрезок .
4. Решение.
Первая координата вершины параболы f
(x
) =
x
2 -2ax
-3a
равна x
0 =
a
. Из свойств квадратичной функции условие f
(x
) і
0 на отрезке равносильно совокупности трех систем
имеет ровно два решения?
5. Решение.
Перепишем это уравнение в виде
x
2 + (2a
-2)x
- 3a
+7 = 0.
Это квадратное уравнение, оно
имеет ровно два решения, если его дискриминант строго больше нуля.
Вычисляя дискриминант, получаем, что условием наличия ровно двух корней
является выполнение неравенства a
2 +a
-6 > 0.
Решая неравенство, находим a
< -3 или a
> 2. Первое из
неравенств, очевидно, решений в натуральных числах не имеет, а наименьшим
натуральным решением второго является число 3.
5. Ответ: 3.
6. Задача (10 кл.)
Найти все значения a
, при которых
график функции
или, после очевидных преобразований, a
-2 = |
2-a
|
. Последнее
уравнение равносильно неравенству a
і
2.
6. Ответ: a О где \ - переменные, \- параметр;
\[у = kx + b,\] где \ - переменные, \ - параметр;
\[аx^2 + bх + с = 0,\] где \ - переменная, \[а, b, с\] - параметр.
Решить уравнение с параметром значит, как правило, решить бесконечное множество уравнений.
Однако, придерживаясь определенного алгоритма, можно легко решить такие уравнения:
1. Определить "контрольные" значения параметра.
2. Решить исходное уравнение относительно [\x\] при значениях параметра, определенных в первом пункте.
3. Решить исходное уравнение относительно [\x\] при значениях параметра, отличающихся от выбранных в первом пункте.
Допустим, дано такое уравнение:
\[\mid 6 - x \mid = a.\]
Проанализировав исходные данные, видно, что a \[\ge 0.\]
По правилу модуля \ выразим \
Ответ: \ где \
Где можно решить уравнение с параметром онлайн?
Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.