Лабораторная работа № 23.
RC - цепи.
Цель: Изучение RC - цепей.
Оборудование: Система моделирования Multisim .
ВВЕДЕНИЕ
Напряжение (условное обозначениеU, иногда Е). Напряжение между двумя точками – это энергия (или работа), которая затрачивается на перемещение единичного положительного заряда из точки с низким потенциалом в точку с высоким потенциалом (т.е. первая точка имеет более отрицательный потенциал по сравнению со второй). Напряжение называют такжеразностью потенциалов илиэлектродвижущей силой (э.д.с.). Единицей измерения напряжения служит вольт. Обычно напряжение измеряют в вольтах (В),киловольтах (1 кВ = 10 3 В), милливольтах (1 мВ = 10 -3 В) или микровольтах (1 мкВ = 10 -6 В).
Ток (условное обозначениеI). Ток – это скорость перемещения электрического заряда. Единицей измерения тока служит ампер. Обычно ток измеряют в амперах (А), миллиамперах (1 мА = 10 -3 А), микроамперах (1 мкА = 10 -6 А), наноамперах (1 нА=10 -9 А). Ток величиной 1А создается перемещением заряда в 1 кулон за время, равное 1 сек. Условились считать, что ток в цепи протекает от точки с более положительным потенциалом к точке с более отрицательным потенциалом, хотя электрон перемещается в противоположном направлении.
Напряжение всегда измеряется между двумя точками схемы, ток всегда протекает через точку в схеме или через какой-нибудь элемент схемы.
Законы Кирхгофа.
Сумма токов, втекающих в точку, равна сумме токов вытекающих из нее (сохранение заряда). В электронике эту точку схемы называют узлом . Из этого закона вытекает следствие: в последовательной цепи ток во всех точках одинаков.
При параллельном соединении элементов (рис.1) напряжение на каждом из элементов одинаково. Иначе говоря, сумма падений напряжения между точками А и В, измеренная по любой ветви схемы, соединяющей эти точки, одинакова и равна напряжению между точками А и В.
Иногда это правило формулируется так: сумма падений напряжения в любом замкнутом контуре схемы равна нулю.
Пассивные элементы электроники – это элементы способные только ослабить сигнал (резистор, конденсатор, индуктивность).
Резистор.
Падение напряжения
на участке цепи прямо пропорционально
току, протекающему через цепь и обратно
пропорционально силе тока:
(закон Ома). Объекты, для которых
выполняется закон Ома, называют
резисторами. Однако, закон Ома выполняется
не для всех элементов. Например, ток,
протекающий через неоновую лампу,
представляет собой нелинейную функцию
от приложенного напряжения (он сохраняет
нулевое значение до критического
значения напряжения, а в критической
тоске резко возрастает). То же самое
можно сказать и о целой группе других
элементов – диодах, транзисторах,
лампах.
Резисторы изготавливают из проводящего материала (графита, тонкой металлической или графитовой пленки или провода, обладающего невысокой проводимостью). Сопротивление Rизмеряется в Омах, если напряжениеUвыражено в вольтах, а токIв амперах.
Параметры резисторов :
номинальная величина сопротивления R(Ом, кОм, МОм, мОм);
допуск + R(в %): для обычных резисторов -+ 5%,+ 10%, для прецинзионных -+ 1%,+ 0,01%;
номинальная мощность – это та мощность, которую резистор способен длительное время рассеивать в пространство без изменения своих свойств (типовые мощности: 0,0625Вт, 0,125Вт).
Последовательное и параллельное соединение резисторов. Из определения сопротивления следуют следующие выводы:
Рис.2. Соединения резисторов.
Маркировка резисторов. Отечественная промышленность для маркировки резисторов использует надписи: Е – Ом, К- КОм, М – МОм. Например, надпись на резисторе 1К8 означает 1,8КОМ, К47 – 0,47КОм, 5М6 – 5,6МОм, 4Е7 – 4,7Ом.
Зарубежная промышленность пользуется цветной маркировкой. На резистор как правило наносится 5 цветных колец. В таблице № 1 представлена цветовая маркировка резисторов.
Табл.№1. Цветовая маркировка резисторов.
|
Сопротивление |
(5-я полоса) |
||||
|
(1-я полоса) |
(2-я полоса) |
(3-я полоса) |
Множитель (4-я полоса) |
||
|
серебристый | |||||
|
золотистый | |||||
|
коричневый | |||||
|
оранжевый | |||||
|
фиолетовый | |||||
Номинальное сопротивление резистора выбирается не произвольно, а из стандартного ряда (таблица 2).
Таблица №2.
|
Обозначение рядов |
Обозначение рядов |
||||
Конденсатор – это устройство, имеющее два вывода и обладающее свойством, согласно которому заряд накопленный этим устройством прямо- пропорционален напряжению между выводами, а коэффициент пропорциональности называют емкостью конденсатора (Q=CU).
Конденсатор, имеющий емкость С фарад, к которому приложено напряжение Uвольт, накапливает зарядQкулон на одной пластине и –Q– на другой.
Продифференцировав выражение для Q,
получим
.
Из этого выражения следует вывод, что
конденсатор – это более сложный элемент,
чем резистор; ток пропорционален не
просто напряжению: а скорости изменения
напряжения. Если напряжение на
конденсаторе, имеющем емкость 1Ф,
изменится на 1В за 1сек, то получим ток
1А. И наоборот, протекание тока 1А через
конденсатор емкостью 1Ф вызывает
изменение напряжения на 1В за 1сек.
Емкость, равная 1Ф, очень велика, и поэтому
чаще имеют дело с микрофарадами (мкФ)
или пикофарадами (пФ).
Основные параметры конденсатора:
номинальная емкость;
максимальное напряжение – это напряжение, которое длительное время может быть приложено к конденсатору и не вызывать каких-либо изменений его свойств.
отклонения конденсатора + С (допуск)
Последовательное и параллельное соединение конденсаторов. Емкость несколько параллельно соединенных конденсаторов равна сумме его емкостей. Нетрудно в этом убедиться: приложим напряжение к параллельному соединению, тогда
CU = Q =Q1 +Q2 +Q3+ … = C1U + C2U +C3U +… = (C1 +C2 +C3 + …)Uили С = С1 +С2 +С3 +… .
Для последовательного соединения
конденсаторов имеем такое же выражение,
как для параллельного соединения
резисторов:
.
В частном случае для двух конденсаторов:
.
Номинальное значение, так же как и резистора выбирается из стандартного ряда (таблица 3). Стандартная величина емкости определяется по формуле С =a* 10 n ,n=0,1,2,3,… Значения коэффициентовaприведены в таблице 3.
Таблица №3.
|
Обозначение рядов |
Обозначение рядов |
||||
RC - цепи: изменения во времени напряжения и тока. Для анализа цепей переменного тока (или в общем случае схем, работающих с изменяющимися напряжениями и токами) можно использовать характеристики двух типов. Во-первых, можно рассматривать изменения напряженияUи токаIво времени, а во-вторых, - изменение амплитуды при изменении частоты сигнала. И те, и другие характеристики имеют свои преимущества, и в каждом практическом случае приходится выбирать наиболее подходящие.
Чтобы ответить на вопрос, какими свойствами обладают схемы, в состав которых входят конденсаторы, рассмотрим простейшую RC- цепь (рис.3).
Рис.3. RC- цепь. Рис.4. Сигнал разрядаRC- цепи.
Воспользуемся полученным ранее
выражением для емкости:
.
Это выражение представляет собой
дифференциальное уравнение, решение
которого имеет вид
e - t / RC . отсюда следует, что если заряженный
конденсатор подключить к резистору, то
он будет разряжаться так, как показано
на рис.4.
Постоянная времени. ПроизведениеRCназывают постоянной времени цепи. ЕслиRизмерять в омах,C– в фарадах, то произведениеRCбудет измеряться в секундах. Для конденсатора емкость 1мкФ, подключенного к резистору сопротивлением 1кОм, постоянная времени составляет 1мс. Если конденсатор был предварительно заряжен и напряжение на нем составляет 1В, то при подключении резистора в цепи появится ток, равный 1мА.
Рис.5. RC- цепь. Рис.6.
На рис.5 показана несколько иная схема. В момент времени t=0 схема подключается к батарее. Уравнение, описывающее работу такой схемы, выглядит следующим образом: I = C (dU / dt ) =(U вх - U вых)/ R и имеет решениеU вых = U вх + Ae - t / RC . Постоянная величинаА определяется из начальных условий (рис.6):U =0 приt =0 , откудаA =- U вх иU вых = U вх (1 – e - t / RC ).
Установление равновесия. При условииt>>RCнапряжение достигает значенияUвх (правило пяти: за время равное пяти постоянным времени, конденсатор разряжается или заряжается на 99%). Если затем изменить входное напряжениеUвх (сделать его, например, равным нулю), то напряжение на конденсатореUбудет убывать, стремясь к новому значению по экспоненциальному законуe - t / RC . Например, если на вход подать прямоугольный сигналUвх, то сигнал на выходеUвых будет иметь форму, показанную на рис.7.
(верхние сигналы), при условии, что на него через
резистор подается прямоугольный импульс.
Здесь возникает вопрос: каков закон изменения для произвольного U вх(t )? Для того чтобы ответить на него, нужно решить неоднородное дифференциальное уравнение. В результате получим:
U
вх
e
-
(t-
) / RC
dt.
Согласно полученному выражению, RC- цепь усредняет входное напряжение с коэффициентом пропорциональностиe - t / RC , где t = - t .
Дифференцирующие цепи. Рассмотрим схему, изображенную на рис.8. Напряжение на конденсаторе С равноU вх – U вых, поэтомуI = Cd (U вх - U вых)/ dt = U вых/ R .
Рис.8. Дифференцирующая RC- цепь.
Если резистор и конденсатор выбрать так, чтобы сопротивление Rи емкостьCбыли достаточно малыми и выполнялось условиеdU вых/ dt << dU вх/ dt , то
C (dU вх/ dt ) = U вых/ R илиU вых(t ) = RC [ dU вх(t )/ dt ].
Таким образом, мы получили, что выходное напряжение пропорционально скорости изменения входного сигнала.
Для того, чтобы выполнялось условие dU вых/ dt << dU вх/ dt , произведениеRC должно быть небольшим, но при этом сопротивлениеR не должно быть слишком малым, чтобы не «нагружать» выход (при скачке напряжения на входе изменение напряжения на конденсаторе равно нулю иR представляет собой нагрузку со стороны выхода схемы). Если на вход схемы подать прямоугольный сигнал, то сигнал на выходе будет иметь вид, представленный на рис.9.
Рис.9. Входной и выходной сигналы
дифференцирующей RC- цепи.
Дифференцирующие цепи удобно использовать для выделения переднего изаднего фронтов импульсных сигналов. В цифровых схемах можно иногда встретить цепи, подобные той, которая показана на рис.10.
Рис.10. Выделение переднего фронта импульса.
Дифференцирующая RC- цепь генерирует импульсы в виде коротких пиков в моменты переключения входного сигнала, а выходной буферный усилитель преобразует эти импульсы в короткие прямоугольные импульсы. В реальных схемах отрицательный пик бывает небольшим благодаря встроенному в буфер диоду.
Интегрирующие цепи.
Рассмотрим
схему, изображенную на рис.11. Напряжение
на резистореRравноUвх
–Uвых, следовательноI
=
C
(dU
/
dt
)
=(U
вх -
U
вых)/
R
.
Если обеспечить выполнение условияU
вых <<
U
вх
за счет большего значения произведенияRC
, то получимС(dU
вых/
dt
)
U
вх/
R
илиU
вых(t
)
=
U
вх(t
)
dt
+
const
.
Рис.11. Интегрирующая RC- цепь.
Мы получили, что схема интегрирует входной сигнал во времени. На рис.12 показано, как с помощью RC- цепи можно получить задержанный импульс. В виде треугольников изображены КМОП – буферные усилители. Они дают более высокий уровень на выходе (более половины величины напряжения питания постоянного тока) и наоборот. Первый буферный усилитель воспроизводит входной сигнал и обеспечивает небольшое выходное сопротивление, предотвращая тем самым воздействие на источник сигналаRC- цепи. Согласно характеристикеRC- цепи, выходной сигнал для нее задерживается относительно входного, поэтому выходной буферный усилитель переключается на 10 мкс позже скачка напряжения на входе (напряжение на выходеRC- цепи достигает 50% своего максимального значения через 0,7RC). Подобную схему используют для того, чтобы задержать импульс на время, в течении которого может произойти какое-либо событие.
Рис.12. Использование RC- цепи для формирования
задержанного цифрового сигнала.
Отметим, что условие Uвых
< Интегрирующие цепи находят широкое
применение в аналоговой технике. Их
используют в управляющих системах,
схемах с обратной связью, при
аналогово-цифровом преобразовании и
генерации колебаний. Практическая
часть В системе моделирования MultiSimВам предлагается проделать следующие
задания: Разработать схему дифференцирующей
RC- цепи с постоянной
времени= 0,1с и
сопротивлениемR= 100 Ом.
Получите временные диаграммы и объясните
принцип работы. Разработать схему интегрирующей RC-
цепи с постоянной времени= 0,01 с. Получите временные диаграммы и
объясните принцип работы. Соберите схему аналогичную той, что
изображена на рис.10, только с тем
отличием, что блок питания положительным
полюсом подключается к резистору.
Получите временные диаграммы и объясните
наблюдаемую картину. Соберите схему изображенную на рис.12,
с сопротивлением R= 100кОм
и емкостью С =1000пФ. Получите временные
диаграммы и определите время задержки. Контрольные вопросы
Напряжение. Резисторы. Конденсаторы. Какие существуют характеристики для
анализа цепей переменного тока? Понятие «постоянной времени» и условие
установления равновесия. Дифференцирующие цепи: схема, принцип
работы, применение. Интегрирующие цепи: схема, принцип
работы, применение. Генераторы пилообразного сигнала. Список литературы Токхейм Р. Основы цифровой электроники.
М.:Мир, 1988, 392с. Потемкин И.С. Функциональные узлы
цифровой автоматики. М.:Энергоатомиздат,
1988, 320с. Хоровиц П., Хилл У. Искусство схемотехники.
М.:Мир, 1998. Янсен Й. Курс цифровой электроники.
Т.1, Т.2, М.:Мир, 1987. Тули М. Справочное
руководство по цифровой электронике.
М.:Энергоатомиздат, 1990, 176с. Мальцева Л.А., Фромберг Э.М., Ямпольский
В.С. Основы цифровой техники. М.:Радио
и связь, 1987, 128с. Зельдин Е.А. Цифровые интегральные
микросхемы в информационно-измерительной
аппаратуре. Л.:Энергоатомиздат, 1986,
280с. Шило В.Л. Популярные цифровые микросхемы.
Справочник. М.: Металлургия, 1988, 352с. Преснухин Л.Н., Воробьев Н.В., Шишкевич
А.А. Расчет элементов цифровых устройств.
М.:Высшая школа, 1991, 526с. Угрюмов Е. Цифровая схемотехника.
СПб.:БХВ-Петербург, 2001, 528с. Новиков Ю.В. Основы цифровой схемотехники.
М.:Мир, 2001, 379с. Партала О.Н. Цифровая электроника. СП Постоянная времени цепи RC Рассмотрим ток в электрической цепи, состоящей из конденсатора ёмкостью C и резистора сопротивлением R, соединённых параллельно. Из рисунка видно, что электрический ток I в элементах C и R цепи будет иметь одинаковое значение и противоположное направление, согласно закону Кирхгофа. Следовательно, его можно выразить следующим образом: Решаем дифференциальное уравнение C(dU/dt)= -U/R Интегрируем: Из таблицы интегралов здесь используем преобразование Получаем общий интеграл уравнения: ln|U| = - t/RC + Const. U = e-t/RC * Const. Здесь Const - константа, величина, определяемая... 0
0
Если соединить резистор и конденсатор, то получится пожалуй одна из самых полезных и универсальных цепей. О многочисленных способах применения которой я сегодня и решил рассказать. Но вначале про каждый элемент в отдельности: Резистор - его задача ограничивать ток. Это статичный элемент, чье сопротивление не меняется, про тепловые погрешности сейчас не говорим - они не слишком велики. Ток через резистор определяется законом ома - I=U/R, где U напряжение на выводах резистора, R - его сопротивление. Конденсатор штука поинтересней. У него есть интересное свойство - когда он разряжен то ведет себя почти как короткое замыкание - ток через него течет без ограничений, устремляясь в бесконечность. А напряжение на нем стремится к нулю. Когда же он заряжен, то становится как обрыв и ток через него течь перестает, а напряжение на нем становится равным заряжающему источнику. Получается интересная зависимость - есть ток, нет напряжения, есть напряжение... 0
0
Присоединим цепь, состоящую из незаряженного конденсатора емкостью С и резистора с сопротивлением R, к источнику питания с постоянным напряжением U (рис. 16-4). Так как в момент включения конденсатор еще не заряжен, то напряжение на нем Поэтому в цепи в начальный момент времени падение напряжения на сопротивлении R равно U и возникает ток, сила которого Рис. 16-4. Зарядка конденсатора. Прохождение тока i сопровождается постепенным накоплением заряда Q на конденсаторе, на нем появляется напряжение и падение напряжения на сопротивлении R уменьшается: как и следует из второго закона Кирхгофа. Следовательно, сила тока уменьшается, уменьшается и скорость накопления заряда Q, так как ток в цепи С течением времени конденсатор продолжает заряжаться, но заряд Q и напряжение на нем растут все медленнее (рис. 16-5), а сила тока в... 0
0
Калькуляторы рассчитывают параметры разрядки и зарядки конденсатора от источника постоянной ЭДС через сопротивление. Формулы, по которым идет расчет, приведены под калькуляторами Время зарядки конденсатора до 99.2%, миллисекунд: Начальный ток, Ампер: Напряжение на конденсаторе, Вольт: Заряд на конденсаторе, микроКулон: Энергия конденсатора, миллиДжоуль: Работа, совершенная источником, миллиДжоуль: Начальная энергия конденсатора, миллиДжоуль: Начальный заряд конденсатора, микроКулон: Постоянная времени RC-цепи, миллисекунд: Начальный ток, Ампер: Максимальная рассеиваемая мощность, Ватт: Конечный заряд конденсатора, микроКулон: Конечная энергия... 0
0
Заряд конденсатора Для того чтобы зарядить конденсатор, необходимо включить его в цепь постоянного тока. На рис. 1 показана схема заряда конденсатора. Конденсатор С присоединен к зажимам генератора. При помощи ключа можно замкнуть или разомкнуть цепь. Рассмотрим подробно процесс заряда конденсатора. Генератор обладает внутренним сопротивлением. При замыкании ключа конденсатор зарядится до напряжения между обкладками, равного э. д. с. генератора: Uс = Е. При этом обкладка, соединенная с положительным зажимом генератора, получает положительный заряд (+q), а вторая обкладка получает равный по величине отрицательный заряд (-q). Величина заряда q прямо пропорциональна емкости конденсатора С и напряжению на его обкладках: q = CUc Pис. 1. Схема заряда конденсатора Для того чтобы обкладки конденсатора зарядились, необходимо, чтобы одна из них приобрела, а другая потеряла некоторое количество электронов. Перенос электронов от одной обкладки к... 0
0
RC - цепь. Резисторно - конденсаторная схема. Резистор, конденсатор. Изменение напряжения. Расчет онлайн. Постоянная времени Расчет RC - цепи, изменения напряжения на конденсаторе в зависимости от времени. Постоянная времени. (10+) RC - цепь. Постоянная времени. Зарядка и разрядка конденсатора Соединим конденсатор, резистор и источник напряжения так, как показано на схеме: Если в начальный момент напряжение на конденсаторе отличается от напряжения источника питания, то через резистор потечет ток, а напряжение на конденсаторе будет со временем изменяться, приближаться к напряжению источника питания. Полезно уметь рассчитывать время, за которое напряжение изменится от заданного начального до заданного конечного значения. Такие расчеты необходимы для проектирования цепей задержки, релаксационных генераторов, источников пилообразного напряжения. В процессе изменения напряжения на конденсаторе... 0
0
Конденсатор – это элемент электрической цепи, который способен накапливать электрический заряд. Важной особенностью конденсатора является его свойство не только накапливать, но и отдавать заряд, причем практически мгновенно. Согласно второму закону коммутации напряжение на конденсаторе не может измениться скачком. Эта особенность активно используется в различных фильтрах, стабилизаторах, интегрирующих цепях, колебательных контурах и тд. В том, что напряжение не может измениться мгновенно, можно убедиться из формулы Если бы напряжение в момент коммутации изменилось скачком, это означало бы, что скорость изменения du/dt =... 0
0
vovavova писал(а):То есть, судя по Вашему разъяснению берем формулу: Неправильно. RC - это и есть постоянная времени. Время разрядки Tр = (3...4)RC, то есть конденсатор ёмкостью 1мкФ разрядится через резистор 1 МОм за 3 с на 95 %, а за 4 с на 98 %. vovavova писал(а):Не могли бы Вы более подробно пояснить, что значит «...больше периода сетевого напряжения» - это в цифрах как? В технике, когда говорят "много больше", обычно имеют в виду "больше не менее, чем в 10, а лучше в 100 раз". Частота сетевого напряжения - 50 Гц, значит его период... Дальше считайте сами. vovavova писал(а):И напишите еще, пожалуйста, как при этом рассчитать мощность резистора? 0
0
10
Отвечаю. 0
0
11
Рассмотрим схему, в которой путем включения переключателя П в положение 1 замыкают источник постоянного напряжения U на конденсатор емкостью С. На обкладках конденсатора начинают скапливаться заряды и напряжение исувеличивается до значения, равного U. Это процесс зарядки конденсатора – процесс увеличения энергии электрического поля конденсатора, которая в конце процесса достигает значения CU2/2. Чтобы зарядить конденсатор до напряжения ис=U, ему надо сообщить заряд Q=CU, Этот заряд не может быть сообщен мгновенно, так как для этого потребовался бы ток... 0
0
12
Михаил, с совой очень кстати пример. Трудно объяснить человеку, незнакомому с самыми школьными азами электричества 0
0
13
Заряд и разряд конденсатора через сопротивление при этом мгновенный зарядный ток: Где - рассматриваемый момент времени в секундах от момента начала заряда; - напряжение на обкладках конденсатора момент времени t в Вольтах; - напряжение источника, от которого производится заряд конденсатора в Вольтах - емкость конденсатора в Фарадах - сопротивление последовательной цепи в Омах - постоянная времени в секундах (). Разряд конденсатора емкостью, заряженного до разности потенциалов через сопротивление представляющее внешнее сопротивление разрядной цепи или внутреннее сопротивление утечки самого конденсатора происходит в соответствии с формулой Мгновенная величина разрядного тока Где - напряжение между обкладками конденсатора через секунд после начала разряда,- ток в цепи (внешней или внутренней) конденсатора... 0
0
14
Данный справочник собран из разных источников. Но на его создание подтолкнула небольшая книжка "Массовой радиобиблиотеки" изданная в 1964 году, как перевод книги О. Кронегера в ГДР в 1961 году. Не смотря на такую ее древность, она является моей настольной книгой (наряду с несколькими другими справочниками). Думаю время над такими книгами не властно, потому что основы физики, электро и радиотехники (электроники) незыблемы и вечны. Накопленная в конденсаторе энергия, определяемая в джоулях (дж), равна: С -емкость, ф; 0
0
15
После проведения данного эксперимента Вы сможете продемонстрировать, как величины емкости и сопротивления управляют временем заряда и разряда конденсатора. Необходимые принадлежности * Цифровой мультиметр * Макетная панель * Источник постоянного напряжения * Секундомер или часы с секундной стрелкой * Элементы: один электролитический конденсатор 22 мкФ, один электролитический конденсатор 100 мкФ, один резистор 33 кОм, 1/4 Вт, * один резистор 100 кОм, 1/4 Вт, один резистор 220 кОм, 1/4 Вт, один резистор 1 МОм, 1/4 Вт. ВВОДНАЯ ЧАСТЬ Конденсатор представляет собой электроэлемент, который накапливает электричество в форме электрического поля. Когда к конденсатору прикладывается постоянное напряжение, электроны покидают одну обкладку конденсатора и скапливаются на другой обкладке под действием внешней силы напряжения. Это приводит к заряду конденсатора до напряжения, равного приложенному... 0
0
Лабораторная работа «Дифференцирующие и интегрирующие цепи»
Цели работы:
ознакомление с принципом действия, основными свойствами и параметрами дифференцирующих и интегрирующих цепей, установление условия дифференцирования и интегрирования, определение постоянной времени. Теоретическая часть.
В радиоэлектронике и экспериментальной физике возникает необходимость преобразования формы сигналов. Часто это может быть выполнено путём их дифференцирования или интегрирования. Например, при формировании запускающих импульсов для управления работой ряда устройств импульсной техники (дифференцирующие цепи) или при выделении полезного сигнала на фоне шумов (интегрирующие цепи). Анализ простейших цепей для дифференцирования и интегрирования сигналов
Дифференцирующей называется радиотехническая цепь, с выхода которой может сниматься сигал, пропорциональный производной от входного сигнала U вых
(t) ~ dU вх
(t)/dt(1) Аналогично, для интегрирующей цепи: U вых
(t) ~ òU вх
(t)dt(2) Поскольку дифференцирование и интегрирование являются линейными математическими операциями, указанные выше преобразования сигналов могут осуществляться линейными цепями, т.е. схемами, состоящими из постоянных индуктивностей, емкостей и сопротивлений. Рассмотрим цепь с последовательно соединёнными R, C и L, на вход которой подаётся сигал U вх
(t) (рис.1). Выходной сигал в такой цепи можно снимать с любого её элемента. При этом: U R
+U C
+U L
= Ri(t) + 1/c òi(t)dt + L di(t)/dt = U вх
(t). (3) Очевидно, что поскольку значения U R
, U C
и U L
определяются параметрами R, C и L, то подбором последних могут быть осуществлены ситуации, когдаU R
, U C
и U L
существенно неодинаковы. Рассмотрим для случая цепи, в которой U L
» 0 (RC – цепь). А) U C
>> U R
, тогда из (3) имеем: i(t) = C dU вх
(t)/dt (4) Отсюда следует, что напряжения на сопротивлении пропорционально производной от входного сигнала: U R
(t) = RCdU вх
(t)/dt = t 0
dU вх
(t)/dt. (5) Таким образом, мы приходим к схеме дифференцирующего четырёхполюсника, показанной на рис.2, в которой выходной сигал снимается с сопротивления R. Б) U R
>> U C
. В этом случае из (3) получаем: i(t) = U вх
(t)/R(6) и напряжение на емкости равно: U C
= 1/RCòU вх
(t)dt = 1/t 0
òU вх
(t)dt. (7) Видно, что для осуществления операции интегрирования необходимо использовать RC-цепочку в соответствии со схемой на рис.3. Для получения как эффекта дифференцирования, так и интегрирования, сигнал надо снимать с элемента, на котором наименьшее падение напряжения. Величина U вых
(t) определяется значением постоянной времени t 0
, равной RC для RC-цепочки. Очевидно, что эффекты дифференцирования и интегрирования в общем случае отвечают, соответственно, относительно малым и большим t 0
. Условия дифференцирования и интегрирования
Уточним теперь, как связаны условия А и Б, а также использованные выше понятия «малого» и «большого» t 0
с параметрами R, C, L и характеристиками сигнала. Пусть входной сигнал U вх
(t) обладает спектральной плотностью Тогда при точном дифференцировании для выходного сигнала получим: откуда следует, что коэффициент передачи идеального дифференцирующего четырёхполюсника ( Рассмотренная нами дифференцирующая цепь (рис.2) имеет коэффициент передачи: Из сравнения (14) и (15) видно, что рассмотренная нами цепь будет тем ближе к идеальной, чем лучше выполняется условие wt 0
<< 1 (16) Причём, для всех частот
в спектре входного сигнала. Для упрощения оценки в неравенство (16) обычно подставляют максимальную частоту в спектре входного сигнала w m
t 0
<< 1. Итак, чтобы продифференцировать некоторый сигнал, необходимо найти его спектральный состав и собрать RC-цепь с постоянной времени t 0
<< w m
-1
, где w m
– максимальная частота в спектре входного сигнала. Отметим, что для импульсных сигналов верхнюю границу полосы частот можно оценить по формуле (2) w m
= 2p/t u
, где t u
– длительность импульса. Т.о., в этом случае условие дифференцирования запишется в виде t 0
<< t u
(17) Совершенно аналогично можно показать, что для удовлетворительного интегрирования требуется выполнение условия wt 0
>> 1 (18) также для всех частот спектра входного сигнала, в том числе и для самой нижней. Аналогично для интегрирования импульсов длительностью t u
условие интегрирования запишется в виде t 0
<< t u
(19) Из неравенств (16), (18) следует, что при заданной цепи дифференцирование осуществляется тем точнее, чем ниже частоты, на которых концентрируется энергия входного сигнала, а интегрирование – чем выше эти частоты. Чем точнее дифференцирование или интегрирование, тем меньше величина выходного сигнала. Прохождение прямоугольных импульсов через
RC
-цепи
В качестве примера, иллюстрирующего дифференцирование и интегрирование сигналов, рассмотрим отклик RC-цепей, показанных на рис.2 и 3, на прямоугольный импульс. Возьмём цепь, на выходе которой стоит сопротивление (рис.2), найдём осциллограмму выходного напряжения, т.е. вид U R
(t). Пусть в момент времени t = 0 на входе возникает скачок напряжения U 0
(рис.4). В этом случае для 0 < t < t u
можно записать уравнение цепи в виде: U 0
= 1/Còi(t)dt + U R
(t). (17) После дифференцирования получим dU R
/dt + U R
/t 0
= 0. (18) Поскольку ёмкость С не может зарядиться мгновенно, то для t = 0, U R
= U 0
всё входное напряжение оказывается приложенным к сопротивлению. С учётом этого начального условия решение уравнения (18) запишется в виде: Экспоненциальный спад выходного напряжения описывает процесс зарядки ёмкости через сопротивление R и соответствующее перераспределение напряжения между R и C. При этом постоянная времени t 0
характеризует скорость зарядки ёмкости и может быть интерпретирована как время, за которое напряжение U R
уменьшится в е раз. Для t 0
<< t u
экспоненциальная зависимость становится резче, в результате на выходе наблюдаем короткие импульсы в момент начала и окончания входного воздействия, являющиеся удовлетворительной аппроксимацией производной от входного сигнала (рис.4). Если выходное напряжение снимается с конденсатора, то для 0 < t < t u
получим: и для t >= t u Если цепь является интегрирующей, то выполняется неравенство t 0
>> t u
, что позволяет использовать разложение экспоненты в ряд Тейлора. В результате для выходного напряжения при 0 < t < t u
получим: Т.о., выходной сигнал в первом приближении действительно пропорционален интегралу от входного (рис.5). Практическая часть.
Задание 1:
Получить амплитудно-частотную и фазово-частотную характеристики RC-цепочки. Построить графики. 1) С = 0,05 мкФ;
R
= 1,5 кОм
Таблица для графиков: График К(f):Видно, что графики для К(f) в обоих случаях совпали с теоретическим. Для графиков Dj(f) наблюдается небольшое различие с теорией, т.к. не удалось достигнуть сдвига фаз p/2. Задание 2:
Провести измерение переходной характеристики RC-цепочки при двух способах её включения, сравнить с теорией. Были проведены измерения откликов интегрирующей и дифференцирующей цепей на прямоугольный импульс при двух значениях постоянной времени t (см. осциллограммы на миллиметровой бумаге). Вид осциллограмм U C
(t) и U R
(t) совпадает с рассчитанным в теоретической части отчёта (см. рис. 4,5). Задание 3:
Определить t 0
. Вывод:
в данной работе мы изучили дифференцирующие и интегрирующие электрические цепи. Были поучены АЧХ и ФЧХ для RC-цепочки, установлены условия дифференцирования и интегрирования. Также был исследован отклик четырёхполюсников на прямоугольный импульс, измерены их переходные характеристики и экспериментально определена величина t 0
. Литература
1. В.Н.Ушаков. ”Основы радиоэлектроники и радиотехнические устройства”. М., «Высшая школа», 1976. 2. Е.И. Манаев. “Основы радиоэлектроники”. М., «Радио и связь», 1985. Расчеты напряжения и тока в RC и L/R цепях
Существует простой способ расчета любой величины реактивной цепи постоянного тока в любой момент времени. Первый шаг этого способа заключается в определении начальных и конечных значений тех величин, против изменения которых выступает конденсатор или катушка индуктивности (которые они пытаются держать на постоянном уровне, независимо от реактивной составляющей). Для конденсаторов такой величиной будет напряжение, а для катушек индуктивности - ток. Начальное значение - это такое значение, которое было
до момента замыкания (размыкания) контактов выключателя, и которое
реактивный компонент пытается удерживать на постоянном уровне после замыкания (размыкания) контактов. Конечное значение - это значение, которое устанавливается по истечении неопределенно длительного периода времени. Оно может быть определено путем анализа емкостной цепи, когда конденсатор выступает в качестве обрыва цепи, и индуктивной цепи, когда катушка индуктивности выступает в роли короткозамкнутой перемычки, потому что именно так ведут себя эти элементы при достижении "полной зарядки" через неопределенно длительный промежуток времени. Следующим шагом
является вычисление
постоянной времени
цепи. Постоянная времени представляет собой промежуток времени, в течение которого величина напряжения или тока в переходном процессе изменится примерно на 63% от начального до конечного значения. В последовательной
RC-
цепи
, постоянная времени
равна
общему сопротивлению
(в Омах)
умноженному на общую
емкость
(в
Фарадах)
. В последовательной
L/R
-цепи
она равно
общей индуктивности
(в
Генри)
деленной на общее
сопротивление
(в Омах)
. В обоих случаях постоянная времени выражается в секундах и обозначается греческой буквой "тау" (τ):
Увеличение и уменьшение значений тока и напряжения в переходных процессах, как уже отмечалось ранее , носит асимптотический характер
. А это значит, что они начинают быстро изменяться в начальный момент времени, и практически не изменяются в последующем. На графике данные изменения отображаются в виде экспоненциальных кривых.
Как уже было сказано выше, постоянная времени представляет собой промежуток времени, в течение которого величина напряжения или тока в переходном процессе изменится примерно на 63% от начального до конечного значения. Каждая последующая постоянная времени приближает эти величины к конечному значению еще примерно на 63%. Математическая формула
для определения точного
процента
довольно проста:
Буква e здесь - иррациональная константа, равная приблизительно 2,718281
8
. За время τ, процент изменения от начального до конечного значения составит: За время 2τ, процент изменения от начального до конечного значения составит:
За время 10τ, процент изменения составит:
Для расчета напряжений и токов в реактивных цепях эту формулу можно сделать более универсальной:
Давайте проанализируем повышение напряжения в RC-цепи, показанной в первой статье этого раздела :
Обратите внимание, мы выбрали для анализа напряжение, так как именно эту величину конденсатор пытается поддерживать на постоянном уровне. Зная сопротивление резистора (10 кОм) и емкость конденсатора (100 мкФ) мы можем рассчитать постоянную времени данной цепи: Так как в момент замыкания контактов выключателя напряжение на конденсаторе равно 0 вольт, то именно это значение мы и будем использовать в качестве начального. Конечным значением конечно же будет напряжение источника питания (15 Вольт). С учетом всех этих цифр наше уравнение примет следующий вид: Таким образом, через
7,25
секунд (к примеру)
после подачи напряжения
в схему через замкнутые контакты
выключателя
, напряжение на конденсаторе
увеличится на
:
Из этих расчетов можно сделать следующий вывод: если начальное напряжение конденсатора составляло 0 вольт, то через 7,25 секунд после замыкания контактов выключателя оно будет равно 14,989 вольт.
При помощи этой же формулы можно рассчитать и ток через конденсатор. Поскольку
разряженный
конденсатор
первоначально
действует как
короткозамкнутая перемычка, ток через него будет максимальным. Рассчитать этот ток можно поделив напряжение источника питания (15 вольт) на единственное сопротивление (10 кОм):
Известно также, что
конечный ток
будет равен нулю
, так как конденсатор
в конечном итоге ведет себя как
разомкнутая цепь. Теперь мы можем подставить эти значения в нашу универсальную формулу для расчета величины тока через 7,25 секунд после замыкания контактов выключателя:
Обратите внимание, что
полученное значение
является
отрицательным
, а не положительным! Это говорит об уменьшении тока
с
течением времени
. Так как начальное значение тока составляет 1,5 мА, то его уменьшение на 1,4989 мА за 7,25 секунд даст в конечном итоге 0,001065
мА (1,065
мкА
).
Это же значение можно получить при помощи закона Ома, отняв напряжение конденсатора (14,989
вольт)
от напряжения источника питания (15 вольт) и поделив полученное значение на сопротивление (10кОм): Рассмотренная выше универсальная формула хорошо подходит и для анализа L/R цепи. Давайте применим ее к цепи, рассмотренной во второй статье данного раздела :
При индуктивности 1 Генри и последовательном сопротивлении 1 Ом постоянная времени будет равна 1 секунде:
Поскольку катушка индуктивности в данной цепи выступает против изменения тока, именно эту величину мы и выберем для анализа. Начальным значением здесь выступит величина тока через катушку индуктивности в момент замыкания контактов выключателя. Она будет равна нулю. В качестве конечного значения мы возьмем величину тока, которая установится в катушке индуктивности по прошествии неопределенно длительного промежутка времени (максимальная величина). Рассчитать ее можно поделив напряжение источника питания на последовательное сопротивление: 15 В/1 Ом = 15 А.
Если мы хотим определить величину тока через 3,5 секунды после замыкания контактов выключателя, то формула примет следующий вид: Учитывая тот факт, что начальный ток через катушку индуктивности равнялся нулю, через 3,5 секунды с момента замыкания контактов выключателя его величина составит 14,547 ампер.
Расчет напряжений в индуктивной цепи осуществляется при помощи закона Ома и начинается с резисторов, а заканчивается катушкой индуктивности. При наличии
в нашем примере
только одного
резистора
(имеющего значение
1 Ом
), произвести эти расчеты
довольно легко
:
Отняв полученное значение от напряжения источника питания (15 В), мы получим напряжение, которое будет на катушке индуктивности через 3,5 секунды после замыкания контактов выключателя:
Рассмотрим электрическую цепь из резистора сопротивлением R
и конденсатора ёмкостью C
, представленную на рисунке. Элементы R
и C
соединены последовательно, значит, ток в их цепи можно выразить, исходя из производной напряжения заряда конденсатора dQ/dt = C(dU/dt)
и закона Ома U/R
. Напряжение на выводах резистора обозначим U R
. Проинтегрируем последнее выражение В итоге получилось, что выходное напряжение U out
прямо-пропорционально интегралу напряжения на выводах резистора, следовательно, и входному току I in
. Чтобы обеспечить прямую пропорциональную зависимость выходного напряжения U out
от интеграла входного U in
, необходима пропорциональность входного напряжения от входного тока. Нелинейное соотношение U in /I in
во входной цепи вызвано тем, что заряд и разряд конденсатора происходит по экспоненте e
-t/τ , которая наиболее нелинейна при t/τ
≥ 1, то есть, когда значение t
соизмеримо или больше τ
. Для простой цепи RC
постоянную времени обычно берут на 1-2 порядка больше периода переменного входного сигнала, тогда основная и значительная часть входного напряжения будет падать на выводах резистора, обеспечивая в достаточной степени линейную зависимость U in /I in ≈ R
. В большинстве случаев, переменная составляющая интеграла не требуется при использовании таких цепей, нужна только постоянная Const
, тогда номиналы RC
можно выбирать по возможности большими, но с учётом входного сопротивления следующего каскада. В качестве примера, сигнал с генератора - положительный меандр 1V периодом 2 mS подадим на вход простой интегрирующей цепи RC
с номиналами: В данном случае постоянная времени лишь в пять раз больше времени периода, но визуально интегрирование прослеживается в достаточной степени точно. Проинтегрируем синусоиду, получим косинус с обратным знаком ∫sinxdx = -cosx + Const
. Если подать на вход сигнал треугольной формы, на выходе будет синусоидальное напряжение. Недостаток простейшей цепочки в том, что переменная составляющая на выходе получается очень маленькой относительно входного напряжения. Рассмотрим в качестве интегратора Операционный Усилитель (ОУ) по схеме, показанной на рисунке. С учётом бесконечно большого сопротивления ОУ и правила Кирхгофа здесь будет справедливо равенство: I in = I R = U in /R = - I C
. Напряжение на входах идеального ОУ здесь равно нулю, тогда на выводах конденсатора U C = U out = - U in
. При номиналах элементов RC
, когда τ
= 1 Sec, выходное переменное напряжение будет равно по значению интегралу входного. Но, противоположно по знаку. Идеальный интегратор-инвертор при идеальных элементах схемы.Электрическая цепь RC
Значение тока заряда или разряда конденсатора определится выражением I = C(dU/dt), а значение тока в резисторе, согласно закону Ома, составит U/R, где U - напряжение заряда конденсатора.
Выразим из него напряжение U потенцированием: U = e-t/RC * eConst.
Решение примет вид:16-2. Зарядка и разряд конденсатора
а) Зарядка конденсатора
Заряд конденсатора от источника постоянной ЭДС Точность вычисления:
Разряд конденсатора через сопротивление Точность вычисления:
Секунды = (3 или 4 постоянное времени) х RC
Отсюда, чтобы получить необходимое сопротивление получаем:
R = секунды / (3 или 4 постоянное времени) х С
где: С – в микрофарадах и R – в мегаомах.
Правильно?
Форма напряжения на конденсаторе и включённом параллельно ему резисторе в...
1. При параллельном соединении конденсаторов их ёмкости суммируются. Таким образом, ёмкость С батареи из 8 конденсаторов по 4700 мкФ каждый составит 37600 мкФ.
2. Зависимость напряжения от времени заряда даётся формулой
U = U0*(1-Exp(-t/T)),
где U0 - ЭДС источника (у Вас - 45 Вольт), t - время заряда, Т - постоянная времени, равная R*C.
Таким образом, чтобы провести расчет, необходимо знать R - активное сопротивление в цепи заряда. Если оно реально присутствует, т.е. заряд осуществляется с включенным последовательно с конденсатором резистором, то всё просто. Если же нет - то нужно знать т.н. внутреннее сопротивление источника напряжения. Просто 45 Вольт - это ни о чем не...
такие вещи, как постоянная времени заряда (разряда) и методику расчета. Можно самому посчитать и дать готовый результат.
В частности, ионистор на 1 фараду при напряжении 10 вольт накопит энергии W = 1*10*10/2=50 Дж,
1 джоуль равен 1/3600 Вт*час=1/3600 000 кВт*час, значит в 360 раз меньше, чем "крона".
Покупаешь 360 ионисторов на 1 фараду и хватит на сутки засветить хиленький светодиод.
Или ждешь развития прогресса, пока в объеме пальчикового аккумулятора сделают ионистор на 360 фарад.
Время разряда конденсатора точно можно посчитать только методами высшей математики,
надо решать дифференциальное уравнение, правда, самое примитивное из всех возможных, но все же.
А приблизительно прикинуть можно так:
Заряд, накопленный конденсатором Q=C*U, заряд, протекший через диод, Q=I*t,
C*U=I*t, t=C*U/I, для С=5000...
Заряд конденсатора емкостью от источника тока через наружное сопротивление происходит в соответствии с формулой - Емкость, конденсатор -
U-напряжение, в.
Во время заряда или разряда конденсатора величина протекающего тока изменяется. Мгновенное значение тока выражается формулой:Полянчев С., Коротков Р.
(12)
(14)
(15)
. (19)
(21)
. (24)
f,Гц*10 3
0,9
1,5
2
3
4
5
6
7
9
11
13
16
20
K
0,85
0,75
0,69
0,54
0,47
0,42
0,31
0,28
0,22
0,19
0,16
0,13
0,08
Dj, o
13,4
18,1
22,0
30,0
41,8
48,6
55,5
56,4
57,8
59,0
60,1
61,6
62,8
Определим величину t 0
по наклону касательной к осциллограмме в точке t = 0 (см. прилагаемый рисунок). Тогда значение, отсечённое касательной на оси абсцисс, и будет соответствовать t 0
. Видно, что t 0
= 0,8*50*10 -6
с = 40 мкс.
Тогда будет иметь место равенство:
. Интеграл левой части уравнения будет равен U out + Const
. Перенесём постоянную составляющую Const
в правую часть с тем же знаком.
В правой части постоянную времени RC
вынесем за знак интеграла:
Постоянная составляющая Const
не зависит от номиналов элементов цепи.
Здесь t
- время заряда или разряда конденсатора в пределах периода.
τ
= RC
- постоянная времени - произведение величин R
и C
.
Если взять номиналы RC
цепи, когда τ
будет значительно больше t
, тогда начальный участок экспоненты для короткого периода (относительно τ
) может быть достаточно линейным, что обеспечит необходимую пропорциональность между входным напряжением и током.
В таком случае выходное напряжение U out
будет с допустимой погрешностью пропорционально интегралу входного U in
.
Чем больше величины номиналов RC
, тем меньше переменная составляющая на выходе, тем более точной будет кривая функции.
R
= 10 kOhm, С
= 1 uF. Тогда τ
= RC
= 10 mS.
График показывает, что выходное напряжение на уровне постоянной составляющей 0.5в будет треугольной формы, потому как участки, не меняющиеся во времени, для интеграла будут константой (обозначим её a
), а интеграл константы будет линейной функцией. ∫adx = ax + Const
. Величина константы a
определит тангенса угла наклона линейной функции.
В данном случае постоянная составляющая Const
= 0.
Интеграл линейного участка функции - парабола. В простейшем варианте ∫xdx = x 2 /2 + Const
.
Знак множителя определит направление параболы.
Следовательно, U out
определится, исходя из тока общей цепи.
