Определение
Период - это отрезок времени, которое необходимо для совершения одного цикла периодического процесса.
Периодом ($T$) колебаний называют время, за которое совершается одно полное колебание.
За время равное периоду колебаний фаза изменяется на величину равную $2\pi $, поэтому:
Разные периодические процессы, (процессы, повторяющиеся через равные промежутки времени) можно представить в виде совокупности наложенных гармонических колебаний.
Гармонические колебания некоторого параметра $\xi $ описываются уравнением:
\[\xi =A{\cos ({\omega }_0t+\varphi)\ }\ \left(2\right),\]
где $A={\xi }_{max}$ - амплитуда колебаний; ${\omega }_0$ - циклическая (круговая) частота колебаний; $\varphi $ - начальная фаза колебаний (фаза при $t=0$); $({\omega }_0t+\varphi)$ - фаза колебаний. Величина $\xi $ лежит в пределах $-A\le s\le $+A.
Формулы для вычисления периода простейших колебательных систем
Период колебаний пружинного маятника определим как:
на упругой пружине, жесткость которой равна $k,$ подвешен груз массой $m$.
Период колебаний математического маятника зависит от ускорения свободного падения ($g$) и длины подвеса ($l$)
Формула для вычисления периода колебаний физического маятника представляет собой выражение:
где $J$ - момент инерции маятника относительно оси вращения; $a$ - расстояние от центра масс тела до оси вращения.
Единицами измерения периода служат единицы времени, например секунды.
\[\left=c.\]
Частота колебаний
Определение
Физическая величина обратная периоду колебаний называется частотой колебаний ($\nu $).
Частота - это количество полных колебаний, которые колебательная система совершает за единицу времени.
\[\nu =\frac{1}{T}\left(6\right).\]
Частота колебаний связана с циклической частотой как:
\[{\omega }_0=2\pi \nu \left(7\right).\]
Единицей измерения частоты в Международной системе единиц (СИ) является герц или обратная секунда:
\[\left[\nu \right]=с^{-1}=Гц.\]
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Каковы период ($T$) и частота ($\nu $) колебаний, которые происходят в соответствии с уравнением: $x=A{\sin ({\omega }_0(t+\tau))\ }$, где ${\omega }_0=2,5\ \pi \ (\frac{рад}{с})$; $\tau =0,4\ $с?
Решение. Из уравнения колебаний:
заключаем, что это гармонические колебания, так как они происходят по закону синуса следовательно, они являются периодическими. Период найдем, зная циклическую частоту колебаний:
Подставляя имеющиеся данные, вычислим период колебаний:
Частоту колебаний найдем как величину, обратную периоду:
\[\nu =\frac{1}{T}\left(1.2\right).\]
Вычислим частоту:
\[\nu =\frac{1}{0,8}=1,25\ \left(Гц\right).\]
Ответ. $T=0,8$ с; $\nu =1,25\ Гц$
Пример 2
Задание. Какими будут период и частота малых колебаний тонкого обруча, который висит на гвозде (точка А), вбитом горизонтально в стену (рис.1)? Колебания совершаются в плоскости параллельной стене. Радиус обруча R.
Решение. В этой задаче мы имеем дело с физическим маятником период которого, найдем, используя формулу:
Осью вращения обруча является гвоздь, находящийся в точке А. Цент масс обруча находится в его геометрическом центре, точке О, следовательно, расстояние от центра масс до оси вращения обруча (рис.1) равно:
Найдем момент инерции обруча относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча, проходящей через точку $A$. Для этого воспользуемся теоремой Штейнера:
где $J_0=mR^2$ - момент инерции обруча, относительно оси, проходящей через его центр (т.О), перпендикулярно плоскости обруча; расстояние между осями равно радиусу обруча. Получаем, момент инерции обруча относительно гвоздя равен:
Используя формулы (2.1) (2.2) и (2.4), имеем:
Отталкиваясь от полученного результата, найдем частоту колебаний как:
\[\nu =\frac{1}{T}=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{g}{2R}}.\]
Ответ. $T=2\pi \sqrt{\frac{2R}{g}},$ $\nu =\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{g}{2R}}$
Основные положения :
Колебательное движение – движение, точно или приблизительно повторяющееся через одинаковые промежутки времени.
Колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса, являются гармоническими.
Периодом колебаний Т называется наименьший промежуток времени, по истечение которого повторяются значения всех величин, характеризующих колебательное движение. За этот промежуток времени совершается одно полное колебание.
Частотой периодических колебаний называется число полных колебаний, которые совершаются за единицу времени. .
Циклической (круговой) частотой колебаний называется число полных колебаний, которые совершаются за 2π единиц времени.
Гармоническими колебаниями называются колебания, при которых колеблющаяся величина х изменяется с течением времени по закону:
где А, ω, φ 0 – постоянные величины.
А > 0 – величина, равная наибольшему абсолютному значению колеблющейся величины х и называется амплитудой колебаний.
Выражение определяет значение х в данный момент времени и называется фазой колебаний.
В момент начала отсчета времени (t = 0) фаза колебаний равна начальной фазе φ 0.
Математический маятник – это идеализированная система, представляющая собой материальную точку, подвешенную на тонкой, невесомой и нерастяжимой нити.
Период свободных колебаний математического маятника: .
Пружинный маятник – материальная точка, закрепленная на пружине и способная совершать колебания под действием силы упругости.
Период свободных колебаний пружинного маятника: .
Физический маятник – это твердое тело, способное вращаться вокруг горизонтальной оси под действием силы тяжести.
Период колебаний физического маятника: .
Теорема Фурье : любой реальный периодический сигнал можно представить в виде суммы гармонических колебаний с различными амплитудами и частотами. Эту сумму называют гармоническим спектром данного сигнала.
Вынужденными называют колебания, которые вызваны действием на систему внешних сил F(t), периодически изменяющихся с течением времени.
Сила F(t) называется возмущающей силой.
Затухающими колебаниями называются колебания, энергия которых уменьшается с течением времени, что связано с убылью механической энергии колеблющейся системы за счет действия сил трения и других сил сопротивления.
Если частота колебаний системы совпадает с частотой возмущающей силы, то резко возрастает амплитуда колебаний системы. Это явление называется резонансом.
Распространение колебаний в среде называется волновым процессом, или волной.
Волна называется поперечной , если частицы среды колеблются в направлении, перпендикулярном направлению распространения волны.
Волна называетсяпродольной , если колеблющиеся частицы движутся в направлении распространения волны. Продольные волны распространяются в любой среде (твердой, жидкой, газообразной).
Распространение поперечных волн возможно только в твердых телах. В газах и жидкостях, которые не обладают упругостью формы, распространение поперечных волн невозможно.
Длиной волны называется расстояние между ближайшими точками, колеблющимися в одинаковой фазе, т.е. расстояние, на которое распространяется волна за один период.
Скорость волны V – это скорость распространения колебаний в среде.
Период и частота волны – период и частота колебаний частиц среды.
Длина волны λ – расстояние, на которое распространяется волна за один период: .
Звук – упругая продольная волна, распространяющаяся от источника звука в среде.
Восприятие звуковых волн человеком зависит от частоты, слышимые звуки от 16 Гц до 20000Гц.
Звук в воздухе – это продольная волна.
Высота тона определяется частотой звуковых колебаний, громкость звука – его амплитудой.
Контрольные вопросы :
1. Какое движение называется гармоническим колебанием?
2. Дайте определения величин, характеризующих гармонические колебания.
3. Каков физический смысл имеет фаза колебаний?
4. Что называется математическим маятником? Каков его период?
5. Что называется физическим маятником?
6. Что такое резонанс?
7. Что называется волной? Дайте определение поперечной и продольной волны.
8. Что называется длиной волны?
9. Каков диапазон частот звуковых волн? Может ли звук распространяться в вакууме?
Выполните задания:
37. Гармонические колебания. Амплитуда, период и частота колебаний.
Колебаниями называются процессы, характеризуемые определённой повторяемостью со временем. Процесс распространения колебаний в пространстве называют волной. Можно без преувеличения сказать, что мы живём в мире колебаний и волн. Действительно, живой организм существует благодаря периодическому биению сердца, наши лёгкие колеблются при дыхании. Человек слышит и разговаривает вследствие колебаний его барабанных перепонок и голосовых связок. Световые волны (колебания электрических и магнитных полей) позволяют нам видеть. Современная техника также чрезвычайно широко использует колебательные процессы. Достаточно сказать, что многие двигатели связаны с колебаниями: периодическое движение поршней в двигателях внутреннего сгорания, движение клапанов и т.д. Другими важными примерами являются переменный ток, электромагнитные колебания в колебательном контуре, радиоволны и т.д. Как видно из приведённых примеров, природа колебаний различна. Однако они сводятся к двум типам - механическим и электромагнитным колебаниям. Оказалось, что, несмотря на различие физической природы колебаний, они описываются одинаковыми математическими уравнениями. Это позволяет выделить в качестве одного из разделов физики учение о колебаниях и волнах, в котором осуществляется единый подход к изучению колебаний различной физической природы.
Любая система, способная колебаться или в которой могут происходить колебания, называется колебательной. Колебания, происходящие в колебательной системе, выведенной из состояния равновесия и представленной самой себе, называют свободными колебаниями. Свободные колебания являются затухающими, так как энергия, сообщенная колебательной системе, постоянно убывает.
Гармоническими называют колебания, при которых какая-либо физическая величина, описывающая процесс, изменяется со временем по закону косинуса или синуса:
Выясним физический смысл постоянных A, w, a, входящих в это уравнение.
Константа А называется амплитудой колебания. Амплитуда – это наибольшее значение, которое может принимать колеблющаяся величина. Согласно определению, она всегда положительна. Выражение wt+a, стоящее под знаком косинуса, называют фазой колебания. Она позволяет рассчитать значение колеблющейся величины в любой момент времени. Постоянная величина a представляет собой значение фазы в момент времени t =0 и поэтому называется начальной фазой колебания. Значение начальной фазы определяется выбором начала отсчёта времени. Величина w получила название циклической частоты, физический смысл которой связан с понятиями периода и частоты колебаний. Периодом незатухающих колебаний называется наименьший промежуток времени, по истечении которого колеблющаяся величина принимает прежнее значение, или коротко - время одного полного колебания. Число колебаний, совершаемых в единицу времени, называют частотой колебаний. Частота v связана с периодом Т колебаний соотношением v=1/T
Частота колебаний измеряется в герцах (Гц). 1 Гц частота периодического процесса, при котором за 1 с происходит одно колебание. Найдём связь между частотой и циклической частотой колебания. Используя формулу, находим значения колеблющейся величины в моменты времени t=t 1 и t=t 2 =t 1 +T, где Т - период колебания.
Согласно определению периода колебаний, Это возможно, если , поскольку косинус - периодическая функция с периодом 2p радиан. Отсюда . Получаем . Из этого соотношения следует физический смысл циклической частоты. Она показывает, сколько колебаний совершается за 2p секунд.
Свободные колебания колебательной системы являются затухающими. Однако на практике возникает потребность в создании незатухающих колебаний, когда потери энергии в колебательной системе компенсируются за счёт внешних источников энергии. В этом случае в такой системе возникают вынужденные колебания. Вынужденными называют колебания, происходящие под действием периодически изменяющегося воздействия, асами воздействия - вынуждающими. Вынужденные колебания происходят с частотой, равной частоте вынуждающих воздействий. Амплитуда вынужденных колебаний возрастает при приближении частоты вынуждающих воздействий к собственной частоте колебательной системы. Она достигает максимального значения при равенстве указанных частот. Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, когда частота вынуждающих воздействий равна собственной частоте колебательной системы, называется резонансом.
Явление резонанса широко используется в технике. Оно может быть как полезным, так и вредным. Так, например, явление электрического резонанса играет полезную роль при настройке радиоприемника на нужную радиостанцию изменяя величины индуктивности и ёмкости, можно добиться того, что собственная частота колебательного контура совпадёт с частотой электромагнитных волн, излучаемых какой-либо радиостанцией. В результате этого в контуре возникнут резонансные колебания данной частоты, амплитуды же колебаний, создаваемых другими станциями, будут малы. Это приводит к настройке радиоприёмника на нужную станцию.
38. Математический маятник. Период колебания математического маятника.
39. Колебание груза на пружине. Превращение энергии при колебаниях.
40. Волны. Поперечные и продольные волны. Скорость и длина волны.
41. Свободные электромагнитные колебания в контуре. Превращение энергии в колебательном контуре. Превращение энергии.
Периодические или почти периодические изменения заряда, силы тока и напряжёния называют электрическими колебаниями.
Получить электрические колебания почти столь же просто, как и заставить тело колебаться, подвесив его на пружине. Но наблюдать электрические колебания уже не так просто. Ведь мы непосредственно не видим ни перезарядки конденсатора, ни тока в катушке. К тому же колебания обычно происходят с очень большой частотой.
Наблюдают и исследуют электрические колебания с помощью электронного осциллографа. На горизонтально отклоняющие пластины электроннолучевой трубки осциллографа подается переменное напряжение развертки Up “пилообразной» формы. Сравнительно медленно напряжение нарастает, а потом очень резко уменьшается. Электрическое поле между пластинами заставляет электронный луч пробегать экран в горизонтальном направлении с постоянной скоростью и затем почти мгновенно возвращаться назад. После этого весь процесс повторяется. Если теперь присоединить вертикально отклоняющие пластины к конденсатору, то колебания напряжения при его разрядке вызовут колебания луча в вертикальном направлении. В результате на экране образуется временная «развертка» колебаний, вполне подобная той, которую вычерчивает маятник с песочницей на движущемся листе бумаги. Колебания затухают с течением времени
Эти колебания - свободные. Они возникают после того, как конденсатору сообщается заряд, выводящий систему из состояния равновесия. Зарядка конденсатора эквивалентна отклонению маятника от положения равновесия.
В электрической цепи можно также получить и вынужденные электрические колебания. Такие колебания появляются при наличии в цепи периодической электродвижущей силы. Переменная ЭДС индукции возникает в проволочной рамке из нескольких витков при вращении ее в магнитном поле (рис. 19). При этом магнитный поток, пронизывающий рамку, периодически изменяется, В соответствии с законом электромагнитной индукции периодически меняется и возникающая ЭДС индукции. При замыкании цепи через гальванометр пойдет переменный ток и стрелка начнет колебаться около положения равновесия.
2.Колебательный контур. Простейшая система, в которой могут происходить свободные электрические колебания, состоит из конденсатора и катушки, присоединенной к обкладкам конденсатора (рис. 20). Такая система называется колебательным контуром.
Рассмотрим, почему в контуре возникают колебания. Зарядим конденсатор, присоединив его на некоторое время к батарее с помощью переключателя. При этом конденсатор получит энергию:
где qm - заряд конденсатора, а С - его электроемкость. Между обкладками конденсатора возникнет разность потенциалов Um.
Переведем переключатель в положение 2. Конденсатор начнет разряжаться, и в цепи появится электрический ток. Сила тока не сразу достигает максимального значения, а увеличивается постепенно. Это обусловлено явлением самоиндукции. При появлении тока возникает переменное магнитное поле. Это переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле в проводнике. Вихревое электрическое поле при нарастании магнитного поля направлено против тока и препятствует его мгновенному увеличению.
По мере разрядки конденсатора энергия электрического поля уменьшается, но одновременно возрастает энергия магнитного поля тока, которая определяется формулой: рис.
где i сила тока,. L - индуктивность катушки. В момент, когда конденсатор полностью разрядится (q=0), энергия электрического поля станет равной нулю. Энергия же тока (энергия магнитного поля) согласно закону сохранения энергии будет максимальной. Следовательно, в этот момент сила тока также достигнет максимального значения
Несмотря на то что к этому моменту разность потенциалов на концах катушки становится равной нулю, электрический ток не может прекратиться сразу. Этому препятствует явление самоиндукции. Как только сила тока и созданное им магнитное поле начнут уменьшаться, возникает вихревое электрическое поле, которое направлено по току и поддерживает его.
В результате конденсатор перезаряжается до тех пор, пока ток, постепенно уменьшаясь, не станет равным нулю. Энергия магнитного поля в этот момент также будет равна нулю, а энергия электрического поля конденсатора опять станет максимальной.
После этого конденсатор вновь будет перезаряжаться и система возвратится в исходное состояние. Если бы не было потерь энергии, то этот процесс продолжался бы сколь угодно долго. Колебания были бы незатухающими. Через промежутки времени, равные периоду колебаний, состояние системы повторялось бы.
Но в действительности потери энергии неизбежны. Так, в частности, катушка и соединительные провода обладают сопротивлением R, и это ведет к постепенному превращению энергии электромагнитного поля во внутреннюю энергию проводника.
При колебаниях, происходящих в контуре, наблюдается превращение энергии магнитного поля в энергию электрического поля и наоборот. Поэтому эти колебания называют электромагнитными. Период колебательного контура находится по формуле.
§ 1.6. Механические колебания
Колебательные процессы весьма часто встречаются в окружающей нас природе и технике. Значительная часть механических движений – движение машин, работающих циклически; почти все акустические явления; переменный ток, применяющийся в быту и в разнообразных технических устройствах; радиотехника и часть электроники; вся волновая оптика; волновые свойства частиц – вот далеко не полный перечень явлений и технических приложений, описываемых на языке колебательных и волновых процессов. В конце концов, наши сердца бьются; наши легкие колеблются при дыхании; мы дрожим, когда нам холодно; мы можем слышать и разговаривать благодаря колебаниям барабанных перепонок и голосовых связок. Световые волны, которые позволяют нам видеть, имеют колебательную природу. Когда мы ходим, наши ноги совершают колебания. Колеблются даже атомы, из которых мы состоим. Если расширенно толковать термин «колебания», то сразу становится очевидным, что многие события повседневной жизни обладают необычайной цикличностью. Мир, в котором мы живем, удивительно склонен к колебаниям. Именно поэтому колебательному движению уделяется особое внимание в физике и технике.
Кроме того, периодическое негармоническое движение можно свести к сумме гармонических движений, причем эти составные движения доступны непосредственному наблюдению при помощи современной аппаратуры. Более того, существует аппаратура, позволяющая складывать заданные гармонические движения и получать, таким образом, периодические движения сложного характера.
В процессе развития науки создан мощный и удобный математический аппарат для описания и исследования периодических движений различной физической природы.
Колебаниями называются движения, процессы, изменения состояния, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени значений физических величин, определяющих это движение, процесс или состояние.
Колебание называют периодическим , если значения величин, изменяющихся в процессе колебаний, повторяются через равные промежутки времени. Период колебания Т – это минимальный промежуток времени через который повторяются определенные состояния системы (время, за которое совершается одно полное колебание). Период измеряется в секундах.
Частота колебаний (линейная частота) – это скалярная физическая величина равная числу колебаний, совершаемых системой за единицу времени. Частота колебаний измеряется в Герцах (Гц).
Если
за какое-то время t
система совершает N
колебаний, то
и
.
Отсюда следует, что
и
.
Гармонические колебания
Среди разнообразных периодических движений особое место занимает гармоническое колебательное движение. Гармоническими называют колебания, в которых интересующая нас величина х (например, линейное или угловое смещение из положения равновесия, скорость, ускорение, заряд, напряжение и т.д.) изменяется со временем t по закону косинуса или синуса, то есть
Циклическая частота
связана с линейной частотой и периодом
следующими соотношениями
.
С
корость
и ускорение тела также изменяются по
гармоническому закону. Продифференцировав
по времени уравнение (1) найдем скорость
изменения величины х -
и ускорение
:
При этом максимальное значение скорости колеблющегося тела V max = Aω 0 , максимальное значение модуля ускорения a max = Aω 0 2 .
Кинетическая энергия колеблющегося тела W k = ½mv 2 = ½mA 2 ω 0 2 sin 2 (ω 0 t+φ).
Потенциальная энергия (учитывая, что сила квазиупругая) W п = ½ kx 2 = ½ kA 2 cos 2 (ω 0 t+φ).
Полная энергия системы при гармонических колебаниях W= W k + W п =½ kA 2 = ½ mω 0 2 A 2 .
На рисунке приведены графики зависимости от времени смещения х, скорости V, ускорения а, кинетической W k и потенциальной W п энергии гармонических колебаний при начальной фазе φ = 0. Из рисунка видно, частота изменения кинетической W k и потенциальной W п энергии при гармонических колебаниях вдвое больше частоты изменения смещения, скорости и ускорения.
Сопоставив уравнения
(1) и (2), видим, что
,
или
. (3)
Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка называют уравнением гармонических колебаний .
Колебательная система, совершающая гармонические колебания, называется гармоническим осциллятором. Если колебательная система, совершающая гармонические колебания, обладает одной степенью свободы (для характеристики положения достаточно одной координаты), то такая система называется линейным гармоническим осциллятором.
Для определения
характера движения механической системы
составляют уравнение движения системы
(исходя из законов динамики или закона
сохранения энергии). Если уравнение при
этом приводится к виду (3), то можно
однозначно утверждать, что данная
система совершает гармоническое
колебание, собственная частота
которого равна корню квадратному из
коэффициента при х(t).
Воспользуемся этим методом для определения
циклических частот и периодов колебаний
пружинного и математического маятников.
Рассмотрим сначала пружинный маятник (рис 1 б). Пусть подвешенное к пружине тело оттянуто от положения равновесия на расстояние х (рис.1.в), а затем предоставлено самому себе. На тело действуют сила тяжести и сила упругости. Под действием этих сил тело движется с ускорением. Запишем уравнение второго закона Ньютона для этого случая (рис.1.в)
.
Это уравнение в
проекции на ось ОХ и с учетом того, что
для одномерного движения ускорение –
это вторая производная от координаты
по времени, то есть
,
запишется
Величину силы
упругости
,
действующей на тело массойm,
найдем по формуле закона Гука
После подстановки (5) в (4) получим
Величину растяжения
пружины в положении равновесия
(рис.1.а и 1.б) найдем из уравнения второго
закона Ньютона для неподвижного тела,
подвешенного к пружине
,
, (7)
,
(8)
Из (7) и (8) следует, что
.
(9)
После подстановки
(9) в (6) и приведения подобных слагаемых
получаем:
,
или
(10)
Сравнив уравнения
(3) и (10), получим, что для пружинного
маятника
.
.
(11)
Похожие рассуждения
можно провести для математического
маятника (рис.2) и показать, что
.
.
(12)
Математический
маятник – это материальная точка на
невесомой и нерастяжимой нити длиной.
При гармонических колебаниях смещение
маятника от положения равновесия х
много меньше длины нити х <<
,
поэтому для угла отклонения нити от
вертикали
имеет место соотношение
Следовательно,
второй закон Ньютона для материальной
точки массы m:
ma
= F
можно записать в виде
,
где - ускорение точки,F
= mg
sin
=mg
- возвращающая сила. Знак минус в правой
части означает, что возвращающая сила
направлена противоположно смещению х.
Таким
образом, дифференциальное уравнение
гармонических колебаний математического
маятника
Сравнивая
это уравнение с уравнением (3), получаем
формулы для собственной частоты и
периода колебаний математического
маятника 
и
.
Физический
маятник – это абсолютно твёрдое тело,
совершающее колебания относительно
горизонтальной оси О, не проходящей
через центр масс маятника С. Основное
уравнение динамики вращательного
движения для маятника Jε
= M,
где J
– момент инерции маятника относительно
горизонтальной оси проходящей через
точку О. Угловое ускорение маятника ε
.
Момент силы тяжести маятника относительно
горизонтальной оси, проходящей через
точку ОM
= mgd
sinφ,
где m
– масса маятника, d
= CO
– расстояние от оси до центра масс
маятника С. При малых углах отклонения
маятника от вертикали можно считать,
что
Подставляя
всё в уравнение второго закона Ньютона,
получаем
.
Минус
означает, что момент возвращающей силы
противоположен угловому перемещению.
Отсюда получаем
Это
дифференциальное уравнение гармонических
колебаний физического маятника. Из
сравнения этого уравнения с уравнением
(3), находим период колебаний физического
маятника
Приведенная
длина физического маятника
- это длина нити математического маятника,
у которого период колебаний совпадает
с периодом данного физического маятника.
Колебания называются собственными , если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему.
Затухающие колебания
Все реальные колебательные системы являются диссипативными 1 . Энергия механических колебаний системы с течением времени расходуется на работу против сил трения, поэтому собственные колебания всегда затухают – их амплитуда постепенно уменьшается. Потеря энергии происходит и при деформациях тел, так как вполне упругих тел не существует, а деформации не вполне упругих тел сопровождаются частичным переходом механической энергии в энергию хаотического теплового движения частиц этих тел.
Во многих случаях
в первом приближении можно считать, что
при небольших скоростях движения силы,
вызывающие затухание механических
колебаний, пропорциональны величине
скорости. Будем называть эти силы,
независимо от их происхождения, силами
трения или сопротивления и вычислять
их по следующей формуле:
.
Здесьr
– коэффициент сопротивления среды,
– скорость движения тела. Знак минус
указывает на то, что силы трения всегда
направлены в сторону, противоположную
направлению движения тела.
Запишем уравнение второго закона Ньютона для затухающих прямолинейных колебаний пружинного маятника
Здесь: m
– масса груза, k
– жесткость пружины,
– проекция скорости на ось ОХ,
– проекция ускорения на ось ОХ. Поделим
обе части уравнения (13) на массуm
и перепишем его в виде:
.
(14)
Введем обозначения:
,
(15)
.
(16)
Назовем
коэффициентом затухания, а
мы ранее назвали собственной циклической
частотой. С учетом введенных обозначений
(15 и 16) уравнение (14) запишется
.
(17)
Это дифференциальное
уравнение затухающих колебаний любой
природы. Вид решения этого линейного
дифференциального уравнения второго
порядка зависит от соотношения между
величиной
– собственной частотой незатухающих
колебаний и коэффициентом затухания
.
Если трение очень
велико (в этом случае
),
то система, выведенная из положения
равновесия, возвращается в него, не
совершая колебаний («ползет»). Такое
движение (кривая 2 на рис.3) называют
апериодическим.
Если же в начальный
момент система с большим трением
находится в положении равновесия и ей
сообщается некоторая начальная скорость
,
то система достигает наибольшего
отклонения от положения равновесия
,
останавливается и после этого смещение
асимптотически стремится к нулю (рис.4).
Рис.3 Рис.4
Если
система выведена из положения равновесия
при условии
и отпущена
без начальной скорости,
то система
также не переходит положения равновесия.
Но в этом случае время практического
приближения к нему оказывается меньше,
чем в случае большого
трения (кривая 1 на рис 3). Такой режим
называется критическим и к нему стремятся
при использовании различных измерительных
приборов (для быстрейшего отсчета
показаний).
при
малом трении (в этом случае
)
движение носит колебательный характер
(рис.5) и решение уравнения (17) имеет вид:
(19)
описывает изменение амплитуды затухающих колебаний со временем. Амплитуда затухающих колебаний уменьшается с течением времени (рис.5) и тем быстрее, чем больше коэффициент сопротивления и чем меньше масса колеблющегося тела, то есть чем меньше инертность системы.
Р
ис.5
Величину
(20)
называют циклической
частотой затухающих колебаний. Затухающие
колебания представляют собой
непериодические колебания, так как в
них никогда не повторяются, например,
максимальные значения смещения, скорости
и ускорения. Поэтому назвать
частотой можно лишь условно в том смысле,
что она показывает, сколько раз за
секунд колеблющаяся система проходит
через положение равновесия. По этой же
причине величину
(21)
можно назвать условным периодом затухающих колебаний .
Для характеристики затухания введем следующие величины:
логарифмический декремент затухания;
время релаксации;
добротность.
Отношение двух любых последовательных смещений, разделенных во времени одним периодом называют декрементом затухания .
Логарифмическим
декрементом затухания
называется натуральный логарифм
отношения значений амплитуды затухающих
колебаний в моменты времени t
и t+T
(натуральный логарифм отношение двух
любых последовательных смещений,
разделенных во времени одним периодом):
Поскольку
и,
то
.
Воспользуемся формулой зависимости амплитуды от времени (19) и получим
Выясним физический
смысл величин
и
.
Обозначим через
промежуток времени, за который амплитуда
затухающих колебаний убывает в е раз и
назовем еговременем
релаксации
.
Тогда
.отсюда
следует, что
Что такое период колебаний? Что это за величина, какой физический смысл она имеет и как ее рассчитать? В этой статье мы разберемся с этими вопросами, рассмотрим различные формулы, по которым можно рассчитать период колебаний, а также выясним, какая связь имеется между такими физическими величинами, как период и частота колебаний тела/системы.
Определение и физический смысл
Периодом колебаний называется такой промежуток времени, при котором тело или система совершают одно колебание (обязательно полное). Параллельно можно отметить параметр, при выполнении которого колебание может считаться полным. В роли такого условия выступает возвращение тела в его первоначальное состояние (к первоначальной координате). Очень хорошо проводится аналогия с периодом функции. Ошибочно, кстати, думать, что она имеет место исключительно в обыкновенной и высшей математике. Как известно, эти две науки неразрывно связаны. И с периодом функций можно столкнуться не только при решении тригонометрических уравнений, но и в различных разделах физики, а именно речь идет о механике, оптике и прочих. При переносе периода колебаний из математики в физику под ним нужно понимать просто физическую величину (а не функцию), которая имеет прямую зависимость от проходящего времени.
Какие бывают колебания?
Колебания подразделяются на гармонические и ангармонические, а также на периодические и непериодические. Логично было бы предположить, что в случае гармонических колебаний они совершаются согласно некоторой гармонической функции. Это может быть как синус, так и косинус. При этом в деле могут оказаться и коэффициенты сжатия-растяжения и увеличения-уменьшения. Также колебания бывают затухающими. То есть, когда на систему действует определенная сила, которая постепенно “тормозит” сами колебания. При этом период становится меньше, в то время как частота колебаний неизменно увеличивается. Очень хорошо демонстрирует такую вот физическую аксиому простейший опыт с использованием маятника. Он может быть пружинного вида, а также математического. Это неважно. Кстати, период колебаний в таких системах будет определяться разными формулами. Но об этом чуточку позже. Сейчас же приведем примеры.
Опыт с маятниками
Взять первым можно любой маятник, разницы никакой не будет. Законы физики на то и законы физики, что они соблюдаются в любом случае. Но почему-то больше по душе математический маятник. Если кто-то не знает, что он собой представляет: это шарик на нерастяжимой нити, который крепится к горизонтальной планке, прикрепленной к ножкам (или элементам, которые играют их роль - держать систему в равновесном состоянии). Шарик лучше всего брать из металла, чтобы опыт был нагляднее.
Итак, если вывести такую систему из равновесия, приложить к шару какую-то силу (проще говоря, толкнуть его), то шарик начнет раскачиваться на нити, следуя определенной траектории. Со временем можно заметить, что траектория, по которой проходит шар, сокращается. В то же время шарик начинает все быстрее сновать туда-сюда. Это говорит о том, что частота колебаний увеличивается. А вот время, за которое шарик возвращается в начальное положение, уменьшается. А ведь время одного полного колебания, как мы выяснили ранее, и называется периодом. Если одна величина уменьшается, а другая увеличивается, то говорят об обратной пропорциональности. Вот мы и добрались до первого момента, на основании которого строятся формулы для определения периода колебаний. Если же мы возьмем для проведения пружинный маятник, то там закон будет наблюдаться немного в другом виде. Для того чтобы он был наиболее наглядно представлен, приведем систему в движение в вертикальной плоскости. Чтобы было понятнее, сначала стоило сказать, что собой представляет пружинный маятник. Из названия понятно, что в его конструкции должна присутствовать пружина. И это действительно так. Опять же таки, у нас есть горизонтальная плоскость на опорах, к которой подвешивается пружина определенной длины и жесткости. К ней, в свою очередь, подвешивается грузик. Это может быть цилиндр, куб или другая фигурка. Это может быть даже какой-то сторонний предмет. В любом случае, при выведении системы из положения равновесия, она начнет совершать затухающие колебания. Наиболее четко просматривается увеличение частоты именно в вертикальной плоскости, без всякого отклонения. На этом с опытами можно закончить.
Итак, в их ходе мы выяснили, что период и частота колебаний это две физические величины, которые имеют обратную зависимость.
Обозначение величин и размерности
Обычно период колебаний обозначается латинской буквой T. Гораздо реже он может обозначаться по-другому. Частота же обозначается буквой µ (“Мю”). Как мы говорили в самом начале, период это не что иное, как время, за которое в системе происходит полное колебание. Тогда размерностью периода будет секунда. А так как период и частота обратно пропорциональны, то размерностью частоты будет единица, деленная на секунду. В записи задач все будет выглядеть таким образом: T (с), µ (1/с).
Формула для математического маятника. Задача №1
Как и в случае с опытами, я решил первым делом разобраться с маятником математическим. Подробно вдаваться в вывод формулы мы не будем, поскольку такая задача поставлена изначально не была. Да и вывод сам по себе громоздкий. Но вот с самими формулами ознакомимся, выясним, что за величины в них входят. Итак, формула периода колебаний для математического маятника имеет следующий вид:
Где l - длина нити, п = 3,14, а g - ускорение свободного падения (9,8 м/с^2). Никаких затруднений формула вызывать не должна. Поэтому без дополнительных вопросов перейдем сразу к решению задачи на определение периода колебания математического маятника. Металлический шар массой 10 грамм подвешен на нерастяжимой нити длиной 20 сантиметров. Рассчитайте период колебания системы, приняв ее за математический маятник. Решение очень простое. Как и во всех задачах по физике, необходимо максимально упростить ее за счет отброса ненужных слов. Они включаются в контекст для того чтобы запутать решающего, но на самом деле никакого веса абсолютно не имеют. В большинстве случаев, разумеется. Здесь можно исключить момент с “нерастяжимой нитью”. Это словосочетание не должно вводить в ступор. А так как маятник у нас математический, масса груза нас интересовать не должна. То есть слова о 10 граммах тоже просто призваны запутать ученика. Но мы ведь знаем, что в формуле масса отсутствует, поэтому со спокойной совестью можем приступать к решению. Итак, берем формулу и просто подставляем в нее величины, поскольку определить необходимо период системы. Поскольку дополнительных условий не было задано, округлять значения будем до 3-его знака после запятой, как и принято. Перемножив и поделив величины, получим, что период колебаний равен 0,886 секунд. Задача решена.
Формула для пружинного маятника. Задача №2
Формулы маятников имеют общую часть, а именно 2п. Эта величина присутствует сразу в двух формулах, но разнятся они подкоренным выражением. Если в задаче, касающейся периода пружинного маятника, указана масса груза, то избежать вычислений с ее применение невозможно, как это было в случае с математическим маятником. Но пугаться не стоит. Вот так выглядит формула периода для пружинного маятника:
В ней m - масса подвешенного к пружине груза, k - коэффициент жесткости пружины. В задаче значение коэффициента может быть приведено. Но если в формуле математического маятника особо не разгуляешься - все-таки 2 величины из 4 являются константами - то тут добавляется 3 параметр, который может изменяться. И на выходе мы имеем 3 переменных: период (частота) колебаний, коэффициент жесткости пружины, масса подвешенного груза. Задача может быть сориентирована на нахождение любого из этих параметров. Вновь искать период было бы слишком легко, поэтому мы немного изменим условие. Найдите коэффициент жесткости пружины, если время полного колебания составляет 4 секунды, а масса груза пружинного маятника равна 200 граммам.
Для решения любой физической задачи хорошо бы сначала сделать рисунок и написать формулы. Они здесь - половина дела. Записав формулу, необходимо выразить коэффициент жесткости. Он у нас находится под корнем, поэтому обе части уравнения возведем в квадрат. Чтобы избавиться от дроби, умножим части на k. Теперь оставим в левой части уравнения только коэффициент, то есть разделим части на T^2. В принципе, задачку можно было бы еще немного усложнить, задав не период в числах, а частоту. В любом случае, при подсчетах и округлениях (мы условились округлять до 3-его знака после запятой), получится, что k = 0, 157 Н/м.
Период свободных колебаний. Формула периода свободных колебаний
Под формулой периода свободных колебаний понимают те формулы, которые мы разобрали в двух ранее приведенных задачах. Составляют также уравнение свободных колебаний, но там речь идет уже о смещениях и координатах, а этот вопрос относится уже к другой статье.
1) Прежде чем браться за задачу, запишите формулу, которая с ней связана.
2) Простейшие задачи не требуют рисунков, но в исключительных случаях их нужно будет сделать.
3) Старайтесь избавляться от корней и знаменателей, если это возможно. Записанное в строчку уравнение, не имеющее знаменателя, решать гораздо удобнее и проще.
