فرمول های سینماتیک در مکانیک سینماتیک

جلسه نزدیک است و زمان آن فرا رسیده است که از تئوری به عمل برویم. در آخر هفته نشستیم و فکر کردیم که بسیاری از دانش‌آموزان از داشتن مجموعه‌ای از فرمول‌های اولیه فیزیک در نوک انگشتان خود سود خواهند برد. فرمول های خشک با توضیح: کوتاه، مختصر، هیچ چیز اضافی. یک چیز بسیار مفید هنگام حل مشکلات، می دانید. و در طول امتحان، زمانی که دقیقاً آنچه که روز قبل حفظ شده است ممکن است "از ذهن شما بیرون بیفتد" ، چنین انتخابی هدف عالی را دنبال می کند.

بیشترین مشکلات معمولا در سه بخش محبوب فیزیک پرسیده می شود. این مکانیک, ترمودینامیکو فیزیک مولکولی, برق. آنها را ببریم!

فرمول های اساسی در دینامیک فیزیک، سینماتیک، استاتیک

بیایید با ساده ترین شروع کنیم. حرکت مستقیم و یکنواخت مورد علاقه قدیمی.

فرمول های سینماتیک:

البته حرکت در دایره را فراموش نکنیم و سپس به سراغ دینامیک و قوانین نیوتن می رویم.

پس از دینامیک، زمان آن است که شرایط تعادل اجسام و مایعات را در نظر بگیریم، یعنی. استاتیک و هیدرواستاتیک

اکنون فرمول های اساسی را در مورد موضوع "کار و انرژی" ارائه می دهیم. ما بدون آنها کجا بودیم؟

فرمول های اساسی فیزیک مولکولی و ترمودینامیک

بیایید بخش مکانیک را با فرمول های نوسانات و امواج به پایان برسانیم و به سراغ فیزیک مولکولی و ترمودینامیک برویم.

ضریب کارایی، قانون گی-لوساک، معادله کلاپیرون- مندلیف - همه این فرمول‌ها در زیر جمع‌آوری شده‌اند.

اتفاقا! اکنون برای همه خوانندگان تخفیف وجود دارد 10% در هر نوع کاری.

فرمول های اساسی در فیزیک: الکتریسیته

زمان آن فرا رسیده است که به سراغ الکتریسیته برویم، حتی اگر از ترمودینامیک محبوبیت کمتری داشته باشیم. بیایید با الکترواستاتیک شروع کنیم.

و با ضربان طبل، با فرمول های قانون اهم، القای الکترومغناطیسی و نوسانات الکترومغناطیسی پایان می دهیم.

همین. البته می‌توان به یک کوه کامل از فرمول‌ها اشاره کرد، اما این هیچ فایده‌ای ندارد. وقتی فرمول های زیادی وجود دارد، به راحتی می توانید گیج شوید و حتی مغز خود را ذوب کنید. ما امیدواریم که برگه تقلب ما از فرمول های فیزیک پایه به شما کمک کند مشکلات مورد علاقه خود را سریعتر و کارآمدتر حل کنید. و اگر می خواهید چیزی را روشن کنید یا فرمول مناسب را پیدا نکرده اید: از متخصصان بپرسید خدمات دانشجویی. نویسندگان ما صدها فرمول را در سر خود نگه می دارند و مشکلات را مانند آجیل می شکند. با ما تماس بگیرید و به زودی هر کاری به عهده شما خواهد بود.

فرمول های اساسی در دینامیک فیزیک، سینماتیک، استاتیک

بیایید با ساده ترین شروع کنیم. حرکت مستقیم و یکنواخت مورد علاقه قدیمی.

فرمول های سینماتیک:

البته حرکت در دایره را فراموش نکنیم و سپس به سراغ دینامیک و قوانین نیوتن می رویم.

پس از دینامیک، زمان آن است که شرایط تعادل اجسام و مایعات را در نظر بگیریم، یعنی. استاتیک و هیدرواستاتیک

اکنون فرمول های اساسی را در مورد موضوع "کار و انرژی" ارائه می دهیم. ما بدون آنها کجا بودیم؟

فرمول های اساسی فیزیک مولکولی و ترمودینامیک

ضریب کارایی، قانون گی-لوساک، معادله کلاپیرون- مندلیف - همه این فرمول‌ها در زیر جمع‌آوری شده‌اند.

اتفاقا! اکنون برای همه خوانندگان تخفیف وجود دارد 10% در .

فرمول های اساسی در فیزیک: الکتریسیته

و با ضربان طبل، با فرمول های قانون اهم، القای الکترومغناطیسی و نوسانات الکترومغناطیسی پایان می دهیم.

ابتدا باید توجه داشت که ما در مورد یک نقطه هندسی صحبت خواهیم کرد، یعنی منطقه ای از فضا که ابعادی ندارد. تمام تعاریف و فرمول های ارائه شده در زیر برای این تصویر انتزاعی (مدل) معتبر است. با این حال، برای اختصار، در آنچه در ادامه می آید اغلب در مورد حرکت صحبت خواهم کرد بدن, شییا ذرات. من این کار را فقط برای اینکه خواندن را برای شما راحت کنم انجام می دهم. اما همیشه به یاد داشته باشید که ما در مورد یک نقطه هندسی صحبت می کنیم.

بردار شعاعنقاط برداري است كه ابتداي آن با مبدأ سيستم مختصات و پايان آن با يك نقطه معين منطبق است. بردار شعاع معمولاً با حرف نشان داده می شود r. متأسفانه برخی از نویسندگان آن را با نامه تعیین می کنند س. من به شدت توصیه می کنم استفاده نکنیدتعیین سبرای بردار شعاع واقعیت این است که اکثریت قریب به اتفاق نویسندگان (اعم از داخلی و خارجی) از حرف s برای نشان دادن یک مسیر استفاده می کنند که یک عدد اسکالر است و به طور معمول ربطی به بردار شعاع ندارد. اگر بردار شعاع را به صورت مشخص کنید س، به راحتی می توانید گیج شوید. یک بار دیگر، ما، مانند همه افراد عادی، از نماد زیر استفاده می کنیم: rبردار شعاع نقطه است، s مسیر طی شده توسط نقطه است.

بردار حرکت(آنها اغلب به سادگی می گویند - در حال حرکت) - این بردار، که ابتدای آن با نقطه ای از مسیری که بدن در آن زمان شروع به مطالعه این حرکت کردیم، و انتهای این بردار با نقطه مسیری که این مطالعه را به پایان رساندیم، منطبق است. این بردار را با Δ نشان خواهیم داد r. استفاده از نماد Δ واضح است: Δ rتفاوت بین بردار شعاع است rنقطه پایانی بخش مسیر مورد مطالعه و بردار شعاع r 0 نقطه شروع این بخش است (شکل 1)، یعنی Δ r = r − r 0 .

مسیر حرکت- این خطی است که بدن در امتداد آن حرکت می کند.

مسیرمجموع طول تمام بخش‌های مسیری است که بدن در حین حرکت به‌طور متوالی طی می‌کند. اگر در مورد بخشی از مسیر صحبت می کنیم، یا ΔS، یا اگر در مورد کل مسیر حرکت مشاهده شده صحبت می کنیم، S تعیین می شود. گاهی اوقات (به ندرت) مسیر با حرف دیگری مشخص می شود، به عنوان مثال، L (فقط آن را با r نشان ندهید، قبلاً در مورد آن صحبت کردیم). به خاطر بسپار! مسیر است اسکالر مثبت! مسیر در طول حرکت می تواند فقط افزایش.

سرعت حرکت متوسط vچهارشنبه

v av = Δ r/Δt.

سرعت حرکت لحظه ای vبردار تعریف شده توسط عبارت است

v= د r/dt.

میانگین سرعت سفر v cf یک اسکالر است که توسط

V av = Δs/Δt.

عناوین دیگر اغلب یافت می شوند، به عنوان مثال، .

سرعت مسیر لحظه ای v یک اسکالر است که توسط

ماژول سرعت لحظه ای حرکت و سرعت لحظه ای مسیر یکسان هستند، زیرا dr = ds.

شتاب متوسط الف

الف av = Δ v/Δt.

شتاب آنی(یا به سادگی، شتاب) الفبردار تعریف شده توسط عبارت است

الف=د v/dt.

شتاب مماس (مماسی) الفτ (زیرنویس حرف کوچک یونانی tau است) است بردار، که است طرح برداری برداریشتاب لحظه ای در محور مماس.

شتاب معمولی (مرکزی) الف n است بردار، که است طرح برداری برداریشتاب آنی در محور عادی

ماژول شتاب مماس

| الفτ | = dv/dt،

یعنی این مشتق از ماژول سرعت لحظه ای نسبت به زمان است.

ماژول شتاب معمولی

| الف n | = v 2 /r،

جایی که r مقدار شعاع انحنای مسیر در نقطه ای است که جسم در آن قرار دارد.

مهم!توجه شما را به موارد زیر جلب می کنم. با علامت شتاب های مماسی و معمولی اشتباه نگیرید!واقعیت این است که در ادبیات مربوط به این موضوع به طور سنتی یک جهش کامل وجود دارد.

به خاطر بسپار!

الفτ است بردارشتاب مماسی،

الف n است بردارشتاب معمولی

الفτ و الف n هستند بردارپیش بینی شتاب کامل الفبه ترتیب روی محور مماس و محور عادی،

A τ برآمدگی (اسکالار!) شتاب مماسی بر روی محور مماس است.

A n پیش بینی (اسکالری!) شتاب نرمال بر روی محور نرمال است.

| الفτ |- این ماژول بردارشتاب مماسی،

| الف n | - این ماژول بردارشتاب معمولی

اگر با خواندن ادبیات حرکت منحنی (به ویژه چرخشی) متوجه شدید که نویسنده یک τ را به عنوان یک بردار، طرح ریزی و مدول آن درک می کند، تعجب نکنید. همین امر در مورد یک n نیز صدق می کند. همه چیز، همانطور که می گویند، "در یک بطری". و این، متأسفانه، همیشه اتفاق می افتد. حتی کتاب های درسی برای دبیرستاندر بسیاری از آنها (باور کنید - در اکثریت!) سردرگمی کامل در این مورد وجود ندارد.

بنابراین، بدون دانستن اصول جبر برداری یا نادیده گرفتن آنها، بسیار آسان است که هنگام مطالعه و تجزیه و تحلیل فرآیندهای فیزیکی کاملاً گیج شوید. بنابراین دانش جبر برداری است مهمترین شرط موفقیتدر مطالعه مکانیک و نه فقط مکانیک. در آینده، هنگام مطالعه سایر شاخه های فیزیک، بارها به این موضوع متقاعد خواهید شد.

سرعت زاویه ای آنی(یا به سادگی، سرعت زاویه ای) ω بردار تعریف شده توسط عبارت است

ω = د φ /dt

جایی که د φ - تغییر بی نهایت کوچک در مختصات زاویه ای (د φ - بردار!).

شتاب لحظه ای زاویه ای(یا به سادگی، شتاب زاویه ای) ε بردار تعریف شده توسط عبارت است

ε = د ω /dt.

اتصالبین v, ω و r:

v = ω × r.

اتصالبین v، ω و r:

اتصالبین | الفτ |، ε و r:

| الفτ | = ε · r.

حالا بیایید به ادامه مطلب برویم معادلات سینماتیکانواع خاص حرکت شما باید این معادلات را یاد بگیرید ازبر.

معادله سینماتیک حرکت یکنواخت و خطیدارای فرم:

r = r 0 + vتی،

کجا r- بردار شعاع جسم در زمان t، r 0 - در لحظه اولیه زمان t 0 (در لحظه شروع مشاهدات) یکسان است.

معادله حرکتی حرکت با شتاب ثابتدارای فرم:

r = r 0 + v 0t+ الف t 2/2، که در آن v 0 سرعت جسم در لحظه t 0 است.

معادله سرعت جسم هنگام حرکت با شتاب ثابتدارای فرم:

v = v 0 + الفتی

معادله سینماتیک حرکت دایره ای یکنواخت در مختصات قطبیدارای فرم:

φ = φ 0 + ω z t،

جایی که φ مختصات زاویه ای جسم در یک لحظه معین از زمان است، φ 0 مختصات زاویه ای جسم در لحظه شروع مشاهده (در لحظه اولیه زمان)، ω z نمایش سرعت زاویه ای است. ω به محور Z (معمولاً این محور عمود بر صفحه چرخش انتخاب می شود).

معادله سینماتیکی حرکت دایره ای با شتاب ثابت در مختصات قطبیدارای فرم:

φ = φ 0 + ω 0z t + ε z t 2 /2.

معادله سینماتیک ارتعاشات هارمونیکدر امتداد محور Xدارای فرم:

X = A Cos (ω t + φ 0)،

در جایی که A دامنه نوسانات، ω فرکانس چرخه ای، φ 0 فاز اولیه نوسانات است.

طرح ریزی سرعت نقطه ای که در امتداد محور X بر روی این محور نوسان می کندبرابر است با:

V x = − ω · A · Sin (ω t + φ 0).

طرح ریزی شتاب نقطه ای که در امتداد محور X بر روی این محور نوسان می کندبرابر است با:

A x = - ω 2 · A · Cos (ω t + φ 0).

اتصالبین فرکانس چرخه ای ω، فرکانس نرمال ƒ و دوره نوسان T:

ω = 2 πƒ = 2 π/T (π = 3.14 - پی).

آونگ ریاضیدارای دوره نوسان T است که با عبارت:

صورت بیان رادیکال طول نخ آونگ و مخرج شتاب گرانش است.

اتصالبین مطلق vشکم، نسبی v rel و فیگوراتیو vدر هر سرعت:

v abs = v rel + vخط

در اینجا، شاید، تمام تعاریف و فرمول هایی است که ممکن است هنگام حل مسائل سینماتیک مورد نیاز باشد. اطلاعات ارائه شده فقط برای مرجع است و نمی تواند جایگزین شود کتاب الکترونیکی، جایی که تئوری این شاخه از مکانیک به صورت در دسترس، مفصل و امیدوارم جذاب ارائه شده است.

سینماتیک

مفاهیم اساسی، قوانین و فرمول ها.

سینماتیک- شاخه ای از مکانیک که مطالعه می کند حرکت مکانیکیبدن بدون در نظر گرفتن دلایل ایجاد حرکت.

حرکت مکانیکیبه تغییر موقعیت جسم در فضا در طول زمان نسبت به اجسام دیگر می گویند.

ساده ترین حرکت مکانیکیحرکت یک نقطه مادی است - جسمی که می توان اندازه و شکل آن را هنگام توصیف حرکت آن نادیده گرفت.

حرکت یک نقطه مادی با مسیر، طول مسیر، جابجایی، سرعت و شتاب مشخص می شود.

مسیر حرکتخطی در فضا نامیده می شود که توسط یک نقطه در حین حرکت آن توصیف می شود.

فاصلهبدن در طول مسیر حرکت مسیر (S) را طی می کند.

در حال حرکت- یک بخش جهت دار که موقعیت اولیه و نهایی بدن را به هم متصل می کند.

طول مسیریک کمیت اسکالر است، جابجایی یک کمیت برداری است.

سرعت متوسطیک کمیت فیزیکی برابر با نسبت بردار جابجایی به دوره زمانی است که در طی آن جابجایی رخ داده است:

سرعت یا سرعت آنی در یک نقطه معین از یک مسیر- این کمیت فیزیکی، برابر با حدی است که سرعت متوسط به آن میل می کند زیرا بازه زمانی Dt بی نهایت کاهش می یابد:

مقدار مشخص کننده تغییر سرعت در واحد زمان شتاب متوسط نامیده می شود:

مشابه مفهوم سرعت لحظه ای، مفهوم شتاب لحظه ای نیز معرفی شده است:

در حرکت با شتاب یکنواخت، شتاب ثابت است.

ساده ترین نوع حرکت مکانیکی، حرکت مستطیلی یک نقطه با شتاب ثابت است.

حرکت با شتاب ثابت متغیر یکنواخت نامیده می شود. در این مورد:

; ; https://pandia.ru/text/78/108/images/image014_3.gif" width="80" height="22">; ; https://pandia.ru/text/78/108/images/image017_1 .gif" width="194" height="42">; ;

رابطه بین کمیت های خطی و زاویه ای در حرکت چرخشی :

; ; https://pandia.ru/text/78/108/images/image024_1.gif" width="57" height="23 src=">.

هر حرکت پیچیده ای را می توان نتیجه جمع تلقی کرد حرکات ساده. جابجایی حاصل برابر با مجموع هندسی است و با قانون جمع بردار به دست می آید. سرعت بدنه و سرعت سیستم مرجع نیز به صورت برداری جمع می شوند.

هنگام حل مسائل برای بخش های خاصی از دوره، به جز قوانین کلیراه حل ها، لازم است برخی از اضافات مربوط به خود بخش ها را در نظر بگیریم.

وظایف برای سینماتیک ، که در درس فیزیک ابتدایی مورد بحث قرار گرفته است، عبارتند از: مسائل مربوط به حرکت مستطیلی متغیر یکنواخت یک یا چند نقطه، مسائل مربوط به حرکت منحنی یک نقطه در یک صفحه. ما هر یک از این نوع مشکلات را جداگانه بررسی خواهیم کرد.

پس از خواندن شرایط مشکل، باید یک نقشه شماتیک ایجاد کنید که در آن باید سیستم مرجع را به تصویر بکشید و مسیر نقطه را نشان دهید.

پس از اتمام طراحی، با استفاده از فرمول های:

; ; https://pandia.ru/text/78/108/images/image027_0.gif" width="93" height="25">؛ .

با جایگزین کردن عبارات بسط یافته برای Sn، S0، vn، v0 و غیره در آنها، قسمت اول راه حل به پایان می رسد.

مثال 1 . دوچرخه سواری از شهری به شهر دیگر می رفت. او نیمی از راه را با سرعت v1 = 12 کیلومتر در ساعت رانندگی کرد، سپس نیمی از زمان باقی مانده را با سرعت v2 = 6 کیلومتر در ساعت رانندگی کرد و سپس بقیه راه را با سرعت v3 = پیمود. 4 کیلومتر در ساعت. سرعت متوسط را تعیین کنید دوچرخه سوارتمام راه

الف) این مسئله مربوط به حرکت خطی یکنواخت یک جسم است. ما آن را در قالب یک نمودار ارائه می دهیم. هنگام کامپایل آن، مسیر حرکت را به تصویر می کشیم و یک نقطه مرجع روی آن انتخاب می کنیم (نقطه 0). کل مسیر را به سه بخش S1، S2، S3 تقسیم می کنیم، در هر یک از آنها سرعت های v1، v2، v3 را نشان می دهیم و زمان سفر t1، t2، t3 را یادداشت می کنیم.

S = S1 + S2 + S3، t = t1 + t2 + t3.

ب) معادلات حرکت را برای هر بخش از مسیر می سازیم:

S1 = v1t1; S2 = v2t2; S3 = v3t3 و شرایط اضافی مشکل را بنویسید:

S1 = S2 + S3; t2 = t3; .

ج) دوباره شرایط مسئله را می خوانیم، مقادیر عددی کمیت های شناخته شده را می نویسیم و با تعیین تعداد مجهولات در سیستم معادلات حاصل (7 مورد از آنها وجود دارد: S1، S2، S3، t1). ، t2، t3، vav)، آن را نسبت به مقدار مورد نظر vav حل کنید.

اگر هنگام حل مسئله، تمام شرایط به طور کامل در نظر گرفته شود، اما در معادلات کامپایل شده تعداد مجهولات به دست آید. تعداد بیشترمعادلات، به این معنی است که در طول محاسبات بعدی یکی از مجهولات کاهش می یابد.

حل سیستم برای سرعت متوسط می دهد:

د) با جایگزینی مقادیر عددی در فرمول محاسبه، دریافت می کنیم:

; vav 7 کیلومتر در ساعت.

به شما یادآوری می کنیم که جایگزینی مقادیر عددی در فرمول محاسبه نهایی راحت تر است و از همه میانی ها دور می زند. این باعث صرفه جویی در زمان در حل مشکل می شود و از خطاهای اضافی در محاسبات جلوگیری می کند.

هنگام حل مسائل مربوط به حرکت اجسامی که به صورت عمودی به سمت بالا پرتاب می شوند، باید به موارد زیر توجه ویژه ای داشته باشید. معادلات سرعت و جابجایی برای جسمی که به صورت عمودی به سمت بالا پرتاب می شود، وابستگی کلی v و h به t را برای کل زمان حرکت بدن نشان می دهد. آنها (با علامت منفی) نه تنها برای یک صعود آهسته رو به بالا، بلکه برای سقوط یکنواخت بیشتر بدن معتبر هستند، زیرا حرکت بدن پس از توقف فوری در نقطه بالای مسیر با همان حرکت انجام می شود. شتاب منظور ما از h، همیشه حرکت عمودی یک نقطه متحرک است، یعنی مختصات آن در یک لحظه معین از زمان - فاصله از مبدأ حرکت تا نقطه.

اگر جسمی با سرعت V0 به صورت عمودی به سمت بالا پرتاب شود، آنگاه تندر زمان و ارتفاع hmax ارتفاع آن برابر است:

; .

علاوه بر این، زمان سقوط این جسم به نقطه شروع برابر است با زمان صعود به حداکثر ارتفاع (tfall = تندر) و سرعت سقوط برابر با سرعت اولیه پرتاب (vfall = v0) است.

مثال 2 . یک جسم به صورت عمودی به سمت بالا با سرعت اولیه v0 = 3.13 متر بر ثانیه پرتاب می شود. هنگامی که به نقطه بالای پرواز خود رسید، جسد دوم از همان نقطه شروع با همان سرعت اولیه پرتاب شد. تعیین کنید که اجساد در چه فاصله ای از نقطه پرتاب قرار می گیرند. مقاومت هوا را نادیده بگیرید.

راه حل. ما یک نقاشی می کشیم. ما مسیر حرکت بدن اول و دوم را روی آن مشخص می کنیم. پس از انتخاب مبدا در نقطه، سرعت اولیه اجسام v0، ارتفاع h که در آن جلسه رخ داده است (مختصات y=h) و زمان t1 و t2 حرکت هر جسم تا لحظه ملاقات را نشان می دهیم. .

معادله جابجایی جسمی که به سمت بالا پرتاب می شود به ما این امکان را می دهد که مختصات یک جسم متحرک را برای هر لحظه از زمان پیدا کنیم، صرف نظر از اینکه بدن پس از بالا آمدن به پایین یا پایین می آید، بنابراین برای اولین جسم.

و برای دومی

معادله سوم را بر اساس این شرط می سازیم که بدن دوم در زمان حداکثر خیز دیرتر از اولی پرتاب شود:

با حل یک سیستم سه معادله برای h، به دست می آوریم:

; ; https://pandia.ru/text/78/108/images/image017_1.gif" width="194" height="42">; ,

کجا و https://pandia.ru/text/78/108/images/image042.gif" width="58" height="22 src=">.gif" width="381" height="278">

ما یک سیستم مختصات مستطیلی را انتخاب می کنیم تا مبدا آن با نقطه پرتاب منطبق باشد و محورهای آن در امتداد سطح زمین و در جهت جابجایی اولیه پرتابه به سمت آن عادی باشد. ما مسیر پرتابه، سرعت اولیه آن، زاویه پرتاب a، ارتفاع h، جابجایی افقی S، سرعت در لحظه سقوط (مماس بر مسیر در نقطه برخورد است) و زاویه برخورد j ( زاویه تابش جسم، زاویه بین مماس بر مسیر رسم شده در نقطه برخورد و نرمال با سطح زمین است.

حرکت جسمی که در زاویه ای نسبت به افق پرتاب می شود را می توان به عنوان نتیجه اضافه کردن دو حرکت مستقیم نشان داد: یکی در امتداد سطح زمین (یکنواخت خواهد بود، زیرا مقاومت هوا در نظر گرفته نشده است) و دومی عمود بر آن. به سطح زمین (در این حالت حرکت جسمی است که به صورت عمودی به بالا پرتاب می شود). برای جایگزینی یک حرکت پیچیده با دو حرکت ساده، اجازه دهید (طبق قانون متوازی الاضلاع) سرعت ها را گسترش دهیم و https://pandia.ru/text/78/108/images/image047.gif" width="60" height= "22">و - برای سرعت و vx و vy - برای سرعت.

الف، ب) معادله سرعت و جابجایی را برای پیش بینی آنها در هر جهت می سازیم. از آنجایی که پرتابه به طور یکنواخت در جهت افقی پرواز می کند، سرعت و مختصات آن در هر زمان معادلات را برآورده می کند.

و . (2)

برای جهت عمودی:

(3)

و . (4)

در زمان t1، زمانی که پرتابه به زمین برخورد می کند، مختصات آن برابر است با:

در آخرین معادله، جابجایی h با علامت منفی گرفته می شود، زیرا در طول حرکت، پرتابه نسبت به سطح مرجع ارتفاع 0 در جهت مخالف جهت مثبت در نظر گرفته شده جابجا می شود.

سرعت حاصل در لحظه سقوط برابر است با:

پنج مجهول در سیستم معادلات کامپایل شده وجود دارد که باید S و v را تعیین کنیم.

در صورت عدم وجود مقاومت هوا، سرعت اجسام در حال سقوط بدون توجه به زاویه پرتاب بدن، تا زمانی که نقاط پرتاب و سقوط در یک سطح باشند، برابر است با سرعت پرتاب اولیه. با توجه به اینکه مولفه افقی سرعت در طول زمان تغییر نمی کند، به راحتی می توان تشخیص داد که در لحظه سقوط سرعت بدن با افق زاویه ای مشابه در لحظه پرتاب می کند.

ه) حل معادلات (2)، (4) و (5) با توجه به زاویه پرتاب اولیه a به دست می آید:

. (10)

از آنجایی که زاویه پرتاب نمی تواند تخیلی باشد، این عبارت فقط در شرایطی معنای فیزیکی دارد

یعنی ,

از این رو نتیجه می شود که حداکثر حرکت پرتابه در جهت افقی برابر است با:

با جایگزینی عبارت S = Smax به فرمول (10)، برای زاویه a که در آن برد پرواز بیشترین است، به دست می آوریم: