فرمول معادله کسینوس معادلات مثلثاتی - فرمول ها، راه حل ها، مثال ها

هنگام حل بسیاری از مسائل ریاضیبه خصوص آنهایی که قبل از درجه 10 رخ می دهند، ترتیب اقدامات انجام شده که منجر به هدف می شود به وضوح مشخص شده است. چنین مسائلی عبارتند از، برای مثال، معادلات خطی و درجه دوم، نابرابری های خطی و درجه دوم، معادلات کسری و معادلاتی که به معادلات درجه دوم کاهش می یابند. اصل حل موفقیت آمیز هر یک از مشکلات ذکر شده به شرح زیر است: باید تعیین کنید که چه نوع مشکلی را حل می کنید، دنباله ای از اقدامات لازم را به خاطر بسپارید که به نتیجه مطلوب منجر می شود، یعنی. پاسخ دهید و این مراحل را دنبال کنید.

بدیهی است که موفقیت یا شکست در حل یک مسئله خاص عمدتاً به این بستگی دارد که چگونه نوع معادله حل شده به درستی تعیین شده است، چگونه دنباله تمام مراحل حل آن به درستی بازتولید می شود. البته در این صورت داشتن مهارت انجام تبدیل ها و محاسبات یکسان ضروری است.

وضعیت با معادلات مثلثاتیاثبات این واقعیت که معادله مثلثاتی است اصلاً دشوار نیست. هنگام تعیین توالی اقداماتی که منجر به پاسخ صحیح می شود، مشکلات ایجاد می شود.

گاهی اوقات تعیین نوع آن بر اساس شکل ظاهری یک معادله دشوار است. و بدون دانستن نوع معادله، تقریباً غیرممکن است که از بین چندین ده فرمول مثلثاتی مناسب را انتخاب کنید.

برای حل یک معادله مثلثاتی، باید سعی کنید:

1. همه توابع موجود در معادله را به "زوایای یکسان" بیاورید.
2. معادله را به "توابع یکسان" برسانید.
3. سمت چپ معادله و غیره را فاکتور بگیرید.

در نظر بگیریم روش های اساسی برای حل معادلات مثلثاتی

I. تقلیل به ساده ترین معادلات مثلثاتی

نمودار حل

مرحله 1.یک تابع مثلثاتی را بر حسب مولفه های شناخته شده بیان کنید.

مرحله 2.آرگومان تابع را با استفاده از فرمول ها پیدا کنید:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn، n ЄZ.

گناه x = a; x = (-1) n arcsin a + πn، n Є Z.

tan x = a; x = آرکتان a + πn، n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn، n Є Z.

مرحله 3.متغیر مجهول را پیدا کنید.

مثال.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

راه حل.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn، n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn، n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn، n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3، n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3، n Є Z.

پاسخ: ±π/4 + π/12 + 2πn/3، n Є Z.

II. جایگزینی متغیر

نمودار حل

مرحله 1.با توجه به یکی از توابع مثلثاتی معادله را به شکل جبری کاهش دهید.

مرحله 2.تابع به دست آمده را با متغیر t مشخص کنید (در صورت لزوم محدودیت هایی را برای t وارد کنید).

مرحله 3.معادله جبری حاصل را بنویسید و حل کنید.

مرحله 4.جایگزین معکوس کنید.

مرحله 5.ساده ترین معادله مثلثاتی را حل کنید.

مثال.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

راه حل.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) بگذارید sin (x/2) = t، که در آن |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 یا e = -3/2، شرط |t| را برآورده نمی کند ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn، n Є Z;

x = π + 4πn، n Є Z.

پاسخ: x = π + 4πn، n Є Z.

III. روش کاهش ترتیب معادله

نمودار حل

مرحله 1.با استفاده از فرمول کاهش درجه، این معادله را با یک معادله خطی جایگزین کنید:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

مرحله 2.معادله به دست آمده را با استفاده از روش های I و II حل کنید.

مثال.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

راه حل.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn، n Є Z;

x = ±π/6 + πn، n Є Z.

پاسخ: x = ±π/6 + πn، n Є Z.

IV. معادلات همگن

نمودار حل

مرحله 1.این معادله را به شکل کاهش دهید

الف) a sin x + b cos x = 0 (معادله همگن درجه اول)

یا به منظره

ب) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (معادله همگن درجه دوم).

مرحله 2.دو طرف معادله را تقسیم بر

الف) cos x ≠ 0;

ب) cos 2 x ≠ 0;

و معادله tan x را بدست آورید:

الف) a tan x + b = 0;

ب) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

مرحله 3.معادله را با استفاده از روش های شناخته شده حل کنید.

مثال.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

راه حل.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) بگذارید tg x = t، سپس

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 یا t = -4 که ​​به این معنی است

tg x = 1 یا tg x = -4.

از معادله اول x = π/4 + πn، n Є Z; از معادله دوم x = -arctg 4 + πk، k Є Z.

پاسخ: x = π/4 + πn، n Є Z; x = -arctg 4 + πk، k Є Z.

V. روش تبدیل یک معادله با استفاده از فرمول های مثلثاتی

نمودار حل

مرحله 1.با استفاده از تمام فرمول های مثلثاتی ممکن، این معادله را به معادله ای کاهش دهید که با روش های I، II، III، IV حل شده است.

مرحله 2.معادله به دست آمده را با استفاده از روش های شناخته شده حل کنید.

مثال.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

راه حل.

1) (سین x + گناه 3x) + گناه 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 یا 2cos x + 1 = 0;

از معادله اول 2x = π/2 + πn, n Є Z; از معادله دوم cos x = -1/2.

ما x = π/4 + πn/2، n Є Z داریم. از معادله دوم x = ±(π – π/3) + 2πk، k Є Z.

در نتیجه، x = π/4 + πn/2، n Є Z; x = ± 2π/3 + 2πk، k Є Z.

پاسخ: x = π/4 + πn/2، n Є Z; x = ± 2π/3 + 2πk، k Є Z.

توانایی و مهارت حل معادلات مثلثاتی بسیار زیاد است مهم است، توسعه آنها به تلاش قابل توجهی نیاز دارد، هم از طرف دانش آموز و هم از طرف معلم.

بسیاری از مسائل استریومتری، فیزیک و غیره با حل معادلات مثلثاتی مرتبط است.

معادلات مثلثاتی جایگاه مهمی در فرآیند یادگیری ریاضیات و به طور کلی رشد فردی دارند.

هنوز سوالی دارید؟ نمی دانید چگونه معادلات مثلثاتی را حل کنید؟
برای کمک گرفتن از استاد راهنما، ثبت نام کنید.
درس اول رایگان است

وب سایت، هنگام کپی کردن مطالب به طور کامل یا جزئی، پیوند به منبع مورد نیاز است.

نیاز به دانش فرمول های اساسی مثلثات - مجموع مربع های سینوس و کسینوس، بیان مماس از طریق سینوس و کسینوس، و دیگران است. برای کسانی که آنها را فراموش کرده اند یا آنها را نمی شناسند، خواندن مقاله "" را توصیه می کنیم.
بنابراین، ما فرمول های مثلثاتی اساسی را می دانیم، وقت آن است که از آنها در عمل استفاده کنیم. حل معادلات مثلثاتیبا رویکرد درست، این یک فعالیت بسیار هیجان انگیز است، مانند حل مکعب روبیک.

بر اساس نام خود مشخص می شود که معادله مثلثاتی معادله ای است که مجهول در آن تحت علامت تابع مثلثاتی قرار دارد.
به اصطلاح ساده ترین معادلات مثلثاتی وجود دارد. شکل ظاهری آنها به این صورت است: sinx = a، cos x = a، tan x = a. در نظر بگیریم چگونه می توان چنین معادلات مثلثاتی را حل کرد، برای وضوح از دایره مثلثاتی آشنا استفاده خواهیم کرد.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

تخت x = a

هر معادله مثلثاتی در دو مرحله حل می شود: معادله را به ساده ترین شکل آن کاهش می دهیم و سپس آن را به صورت یک معادله مثلثاتی ساده حل می کنیم.
7 روش اصلی برای حل معادلات مثلثاتی وجود دارد.

1. جایگزینی متغیر و روش جایگزینی

حل معادله 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

با استفاده از فرمول های کاهش می گیریم:

2cos 2 (x + /6) - 3cos(x + /6) +1 = 0

برای ساده کردن و به دست آوردن معادله درجه دوم معمول، cos(x + /6) را با y جایگزین کنید:

2 سال 2 - 3 سال + 1 + 0

که ریشه های آن y 1 = 1، y 2 = 1/2 است

حالا به ترتیب معکوس برویم

مقادیر یافت شده y را جایگزین می کنیم و دو گزینه پاسخ می گیریم:

2. حل معادلات مثلثاتی از طریق فاکتورسازی

چگونه معادله sin x + cos x = 1 را حل کنیم؟

بیایید همه چیز را به سمت چپ حرکت دهیم تا 0 در سمت راست باقی بماند:

sin x + cos x – 1 = 0

اجازه دهید از هویت هایی که در بالا بحث شد برای ساده کردن معادله استفاده کنیم:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

بیایید فاکتورسازی کنیم:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

دو معادله بدست می آوریم

3. کاهش به یک معادله همگن

یک معادله از نظر سینوس و کسینوس همگن است اگر تمام عبارات آن نسبت به سینوس و کسینوس یک درجه از یک زاویه باشند. برای حل یک معادله همگن به صورت زیر عمل کنید:

الف) تمام اعضای خود را به سمت چپ منتقل کنید.

ب) همه عوامل مشترک را از پرانتز خارج کنید.

ج) همه عوامل و براکت ها را با 0 برابر کنید.

د) در پرانتز یک معادله همگن با درجه پایین تر به دست می آید که به نوبه خود به سینوس یا کسینوس درجه بالاتر تقسیم می شود.

ه) معادله حاصل را برای tg حل کنید.

حل معادله 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

بیایید از فرمول sin 2 x + cos 2 x = 1 استفاده کنیم و از دو باز سمت راست خلاص شویم:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

تقسیم بر cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

tan x را با y جایگزین کنید و یک معادله درجه دوم بدست آورید:

y 2 + 4y +3 = 0، که ریشه آن y 1 = 1، y 2 = 3 است

از اینجا دو راه حل برای معادله اصلی پیدا می کنیم:

x 2 = آرکتان 3 + k

4. حل معادلات از طریق انتقال به نیم زاویه

معادله 3sin x – 5cos x = 7 را حل کنید

بیایید به x/2 برویم:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

بیایید همه چیز را به سمت چپ منتقل کنیم:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

تقسیم بر cos(x/2):

tg 2 (x/2) - 3tg (x/2) + 6 = 0

5. معرفی زاویه کمکی

برای در نظر گرفتن، اجازه دهید معادله ای به شکل: a sin x + b cos x = c،

که در آن a، b، c برخی از ضرایب دلخواه هستند و x یک مجهول است.

بیایید هر دو طرف معادله را بر دو تقسیم کنیم:



اکنون ضرایب معادله، طبق فرمول های مثلثاتی، دارای ویژگی های sin و cos هستند، یعنی: مدول آنها بیشتر از 1 نیست و مجموع مربع ها = 1. اجازه دهید آنها را به ترتیب به عنوان cos و sin نشان دهیم، جایی که - این است. به اصطلاح زاویه کمکی. سپس معادله به شکل زیر در می آید:

cos * sin x + sin * cos x = c

یا sin(x + ) = C

راه حل این ساده ترین معادله مثلثاتی است

x = (-1) k * arcsin C - + k، که در آن



لازم به ذکر است که نمادهای cos و sin قابل تعویض هستند.

معادله sin 3x – cos 3x=1 را حل کنید

ضرایب در این معادله عبارتند از:

a = , b = -1 پس هر دو طرف را بر 2 تقسیم کنید

شما می توانید یک راه حل دقیق برای مشکل خود سفارش دهید!!!

تساوی حاوی یک مجهول تحت علامت یک تابع مثلثاتی ("sin x، cos x، tan x" یا "ctg x") معادله مثلثاتی نامیده می‌شود و فرمول‌های آن‌ها است که در ادامه بررسی خواهیم کرد.

ساده ترین معادلات عبارتند از: sin x=a، cos x=a، tg x=a، ctg x=a». اجازه دهید فرمول های ریشه را برای هر یک از آنها بنویسیم.

1. معادله `sin x=a`.

برای `|a|>1` هیچ راه حلی ندارد.

زمانی که `|a| \leq 1` دارای بی نهایت راه حل است.

فرمول ریشه: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. معادله «cos x=a».

برای `|a|>1` - مانند سینوس، هیچ راه حلی در بین اعداد حقیقی ندارد.

زمانی که `|a| \leq 1` دارای بی نهایت راه حل است.

فرمول ریشه: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

موارد ویژه برای سینوس و کسینوس در نمودارها.

3. معادله `tg x=a`

تعداد بی نهایت راه حل برای هر مقدار «a» دارد.

فرمول ریشه: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. معادله «ctg x=a».

همچنین تعداد بی نهایت راه حل برای هر مقدار «a» دارد.

فرمول ریشه: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

فرمول های ریشه معادلات مثلثاتی در جدول

برای سینوس:
برای کسینوس:
برای مماس و کتانژانت:
فرمول های حل معادلات حاوی توابع مثلثاتی معکوس:

روش های حل معادلات مثلثاتی

حل هر معادله مثلثاتی شامل دو مرحله است:

• با کمک تبدیل آن به ساده ترین.
• ساده ترین معادله به دست آمده را با استفاده از فرمول های ریشه و جداول نوشته شده در بالا حل کنید.

بیایید با استفاده از مثال ها به روش های اصلی راه حل نگاه کنیم.

روش جبری.

این روش شامل جایگزینی یک متغیر و جایگزینی آن با یک برابری است.

مثال. معادله را حل کنید: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`،

جایگزینی ایجاد کنید: «cos(x+\frac \pi 6)=y»، سپس «2y^2-3y+1=0»،

ما ریشه ها را پیدا می کنیم: `y_1=1, y_2=1/2` که دو حالت از آن پیروی می کنند:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

پاسخ: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

فاکتورسازی

مثال. معادله "sin x+cos x=1" را حل کنید.

راه حل. بیایید تمام شرایط برابری را به سمت چپ منتقل کنیم: `sin x+cos x-1=0`. با استفاده از، سمت چپ را تبدیل و فاکتورسازی می کنیم:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

"2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0"،

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. «cos x/2-sin x/2=0»، «tg x/2=1»، «x/2=arctg 1+ \pi n»، «x/2=\pi/4+ \pi n» ، `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

پاسخ: `x_1=2\pi n`، `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

کاهش به یک معادله همگن

ابتدا باید این معادله مثلثاتی را به یکی از دو شکل کاهش دهید:

«a sin x+b cos x=0» (معادله همگن درجه اول) یا «a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0» (معادله همگن درجه دوم).

سپس هر دو قسمت را بر «cos x \ne 0» - برای مورد اول و بر «cos^2 x \ne 0» - برای مورد دوم تقسیم کنید. ما معادلاتی را برای «tg x» به دست می‌آوریم: «a tg x+b=0» و «a tg^2 x + b tg x +c =0» که باید با استفاده از روش‌های شناخته شده حل شوند.

مثال. معادله "2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1" را حل کنید.

راه حل. بیایید سمت راست را به صورت `1=sin^2 x+cos^2 x` بنویسیم:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -`` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

این یک معادله مثلثاتی همگن درجه دوم است، سمت چپ و راست آن را بر 'cos^2 x \ne 0' تقسیم می کنیم، به دست می آوریم:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

«tg^2 x+tg x — 2=0». بیایید جایگزین «tg x=t» را معرفی کنیم که نتیجه آن «t^2 + t - 2=0» است. ریشه های این معادله «t_1=-2» و «t_2=1» هستند. سپس:

1. «tg x=-2»، «x_1=arctg (-2)+\pi n»، «n \in Z»
2. «tg x=1»، «x=arctg 1+\pi n»، «x_2=\pi/4+\pi n»، «n \in Z».

پاسخ دهید. `x_1=arctg (-2)+\pi n`، `n \in Z`، `x_2=\pi/4+\pi n`، `n \in Z`.

حرکت به نیم زاویه

مثال. معادله را حل کنید: '11 sin x - 2 cos x = 10'.

راه حل. بیایید فرمول‌های زاویه دوتایی را اعمال کنیم و به این نتیجه می‌رسیم: `22 sin (x/2) cos (x/2) -`` 2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2 =` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

با استفاده از روش جبری که در بالا توضیح داده شد، به دست می آوریم:

1. «tg x/2=2»، «x_1=2 arctg 2+2\pi n»، «n \در Z»،
2. «tg x/2=3/4»، «x_2=arctg 3/4+2\pi n»، «n \in Z».

پاسخ دهید. `x_1=2 arctg 2+2\pi n، n \in Z`، `x_2=arctg 3/4+2\pi n`، `n \in Z`.

معرفی زاویه کمکی

در معادله مثلثاتی "a sin x + b cos x =c" که در آن a,b,c ضرایب هستند و x یک متغیر است، هر دو طرف را بر "sqrt (a^2+b^2) تقسیم کنید:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 ) +b^2))`.

ضرایب سمت چپ دارای ویژگی های سینوس و کسینوس هستند، یعنی مجموع مربع های آنها برابر با 1 است و مدول های آنها بزرگتر از 1 نیست. اجازه دهید آنها را به صورت زیر نشان دهیم: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi`, ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`، سپس:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

بیایید نگاه دقیق تری به مثال زیر بیندازیم:

مثال. معادله "3 sin x+4 cos x=2" را حل کنید.

راه حل. هر دو طرف تساوی را بر 'sqrt (3^2+4^2)' تقسیم کنید، به دست می آوریم:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

«3/5 گناه x+4/5 cos x=2/5».

بیایید "3/5 = cos \varphi"، "4/5=sin \varphi" را نشان دهیم. از آنجایی که `sin \varphi>0`، `cos \varphi>0`، پس "\varphi=arcsin 4/5" را به عنوان یک زاویه کمکی در نظر می گیریم. سپس برابری خود را به شکل زیر می نویسیم:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

با اعمال فرمول مجموع زوایای سینوس، تساوی خود را به شکل زیر می نویسیم:

`sin (x+\varphi)=2/5`،

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

پاسخ دهید. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

معادلات مثلثاتی گویا کسری

اینها تساوی با کسری هستند که صورت و مخرج آنها دارای توابع مثلثاتی هستند.

مثال. معادله را حل کنید. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

راه حل. سمت راست تساوی را ضرب و تقسیم بر «(1+cos x)» کنید. در نتیجه دریافت می کنیم:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

با توجه به اینکه مخرج نمی تواند برابر با صفر باشد، «1+cos x \ne 0»، «cos x \ne -1»، «x \ne \pi+2\pi n، n \in Z» به دست می‌آید.

بیایید عدد کسر را با صفر برابر کنیم: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. سپس «sin x=0» یا «1-sin x=0».

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. «1-sin x=0»، «sin x=-1»، «x=\pi /2+2\pi n، n \in Z».

با توجه به اینکه `x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`، راه حل ها عبارتند از `x=2\pi n, n \in Z` و `x=\pi /2+2\pi n` ، `n \ در Z`.

پاسخ دهید. «x=2\pi n»، «n \in Z»، «x=\pi /2+2\pi n»، «n \in Z».

مثلثات و به طور خاص معادلات مثلثاتی تقریباً در تمام زمینه های هندسه، فیزیک و مهندسی استفاده می شود. مطالعه از کلاس دهم شروع می شود، همیشه وظایفی برای آزمون یکپارچه دولتی وجود دارد، بنابراین سعی کنید تمام فرمول های معادلات مثلثاتی را به خاطر بسپارید - آنها قطعا برای شما مفید خواهند بود!

با این حال، شما حتی نیازی به حفظ آنها ندارید، نکته اصلی این است که ماهیت را درک کنید و بتوانید آن را استخراج کنید. آنقدرها هم که به نظر می رسد سخت نیست. خودتان با تماشای ویدیو ببینید.

معادلات مثلثاتی موضوع ساده ای نیست. آنها بسیار متنوع هستند.) به عنوان مثال، اینها:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = cot(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

و امثال آن...

اما این هیولاهای مثلثاتی (و دیگر) دو ویژگی مشترک و اجباری دارند. اول - باور نمی کنید - توابع مثلثاتی در معادلات وجود دارد.) دوم: تمام عبارات با x پیدا می شوند در همین توابعو فقط آنجا! اگر X در جایی ظاهر شود بیرون،به عنوان مثال، sin2x + 3x = 3،این یک معادله از نوع مختلط خواهد بود. چنین معادلاتی نیاز به رویکرد فردی دارد. ما آنها را در اینجا در نظر نخواهیم گرفت.

معادلات شیطانی را هم در این درس حل نمی کنیم.) در اینجا به آن می پردازیم ساده ترین معادلات مثلثاتیچرا؟ بله چون راه حل هرمعادلات مثلثاتی شامل دو مرحله است. در مرحله اول، معادله شر از طریق انواع تبدیل به یک معادله ساده کاهش می یابد. در دوم، این ساده ترین معادله حل می شود. در غیر این صورت، به هیچ وجه.

بنابراین، اگر در مرحله دوم مشکل دارید، مرحله اول چندان منطقی نیست.)

معادلات مثلثاتی ابتدایی چگونه هستند؟

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

اینجا الف مخفف هر عددی است. هر

به هر حال، در داخل یک تابع ممکن است یک X خالص وجود نداشته باشد، اما نوعی عبارت، مانند:

cos(3x+π /3) = 1/2

و مانند آن این زندگی را پیچیده می کند، اما روش حل یک معادله مثلثاتی را تحت تاثیر قرار نمی دهد.

چگونه معادلات مثلثاتی را حل کنیم؟

معادلات مثلثاتی را می توان به دو روش حل کرد. راه اول: با استفاده از منطق و دایره مثلثاتی. در اینجا به این مسیر خواهیم پرداخت. راه دوم - استفاده از حافظه و فرمول - در درس بعدی مورد بحث قرار خواهد گرفت.

راه اول واضح، قابل اعتماد و به سختی فراموش می شود.) برای حل معادلات مثلثاتی، نابرابری ها و انواع مثال های غیر استاندارد مشکل ساز است. منطق قوی تر از حافظه است!)

حل معادلات با استفاده از دایره مثلثاتی

ما شامل منطق ابتدایی و توانایی استفاده از دایره مثلثاتی هستیم. نمیدونی چطوری؟ با این حال... در مثلثات کار سختی خواهید داشت...) اما مهم نیست. نگاهی به دروس "دایره مثلثاتی...... چیست؟" و "اندازه گیری زوایا روی دایره مثلثاتی." آنجا همه چیز ساده است. برخلاف کتاب های درسی...)

اوه میدونی!؟ و حتی به "کار عملی با دایره مثلثاتی" تسلط پیدا کرد!؟ تبریک میگم این موضوع برای شما نزدیک و قابل درک خواهد بود.) آنچه که به خصوص خوشایند است این است که دایره مثلثاتی اهمیتی نمی دهد که چه معادله ای را حل می کنید. سینوس، کسینوس، مماس، کتانژانت - همه چیز برای او یکسان است. تنها یک اصل راه حل وجود دارد.

بنابراین هر معادله مثلثاتی ابتدایی را می گیریم. حداقل این:

cosx = 0.5

ما باید X را پیدا کنیم. صحبت کردن به زبان انسانی، شما نیاز دارید زاویه (x) را پیدا کنید که کسینوس آن 0.5 است.

قبلاً چگونه از دایره استفاده می کردیم؟ روی آن زاویه کشیدیم. بر حسب درجه یا رادیان. و بلافاصله دید توابع مثلثاتی این زاویه حالا برعکس عمل کنیم. بیایید روی دایره مساوی 0.5 و بلافاصله یک کسینوس بکشیم خواهیم دید گوشه تنها چیزی که باقی می ماند نوشتن پاسخ است.) بله، بله!

دایره ای رسم کنید و کسینوس را برابر 0.5 علامت بزنید. البته در محور کسینوس. مثل این:

حالا بیایید زاویه ای را که این کسینوس به ما می دهد ترسیم کنیم. ماوس خود را روی تصویر نگه دارید (یا تصویر را در رایانه لوحی خود لمس کنید) و خواهید دیدهمین گوشه X

کسینوس کدام زاویه 0.5 است؟

x = π / 3

cos 60 درجه= cos( π /3) = 0,5

بعضی ها با شک می خندند، بله... مثل اینکه آیا ارزش دایره زدن را داشت وقتی همه چیز از قبل مشخص است... البته می توانید بخندید...) اما واقعیت این است که این یک پاسخ اشتباه است. یا بهتر است بگوییم ناکافی است. خبره‌های دایره می‌دانند که یک دسته کامل از زاویه‌های دیگر در اینجا وجود دارد که کسینوس 0.5 را نیز نشان می‌دهد.

اگر سمت متحرک OA را بچرخانید نوبت کامل، نقطه A به موقعیت اولیه خود باز می گردد. با کسینوس یکسان برابر با 0.5. آن ها زاویه تغییر خواهد کردبا 360 درجه یا 2π رادیان، و کسینوس - نهزاویه جدید 60° + 360° = 420° نیز راه حلی برای معادله ما خواهد بود، زیرا

می توان تعداد بی نهایت چنین چرخش کاملی را انجام داد... و همه این زوایای جدید راه حل هایی برای معادله مثلثاتی ما خواهند بود. و همه آنها باید به نوعی در پاسخ نوشته شوند. همهدر غیر این صورت، تصمیم به حساب نمی آید، بله...)

ریاضیات می تواند این کار را به سادگی و زیبایی انجام دهد. در یک پاسخ کوتاه بنویسید مجموعه بی نهایتتصمیمات در اینجا به نظر می رسد معادله ما:

x = π /3 + 2π n، n ∈ Z

من آن را رمزگشایی می کنم. هنوز بنویس معنی داراین خوشایندتر از کشیدن احمقانه برخی حروف مرموز است، درست است؟)

π /3 - این همان گوشه ای است که ما داریم دیدروی دایره و تعیین شده استمطابق جدول کسینوس

2π یک انقلاب کامل در رادیان است.

n - این تعداد کامل است، یعنی. کلدور در دقیقه واضح است که n می تواند برابر با 0، 1±، 2±، 3±.... و غیره باشد. همانطور که در ورودی کوتاه نشان داده شده است:

n ∈ Z

n متعلق به ( ∈ ) مجموعه ای از اعداد صحیح ( ز ). اتفاقا به جای نامه n ممکن است از حروف به خوبی استفاده شود k، m، t و غیره

این نماد به این معنی است که شما می توانید هر عدد صحیح را بگیرید n . حداقل -3، حداقل 0، حداقل +55. هر چی بخوای اگر این عدد را جایگزین پاسخ کنید، زاویه خاصی به دست خواهید آورد که قطعا راه حل معادله سخت ما خواهد بود.)

یا به عبارت دیگر x = π / 3 تنها ریشه یک مجموعه نامتناهی است. برای بدست آوردن تمام ریشه های دیگر، کافی است هر تعداد دور کامل را به π /3 اضافه کنید ( n ) به رادیان. آن ها 2πn رادیان

همه؟ خیر من عمدا لذت را طولانی می کنم. برای اینکه بهتر به خاطر بسپاریم.) ما فقط بخشی از پاسخ های معادله خود را دریافت کردیم. بخش اول راه حل را به این صورت می نویسم:

x 1 = π / 3 + 2π n، n ∈ Z

x 1 - نه فقط یک ریشه، بلکه یک سری ریشه کامل که به صورت کوتاه نوشته شده است.

اما زوایایی هم هست که کسینوس 0.5 رو هم میده!

بیایید به تصویر خود که از آن پاسخ را یادداشت کردیم برگردیم. اینجاست:

ماوس خود را روی تصویر ببرید و ما می بینیمزاویه دیگری که همچنین کسینوس 0.5 می دهد.به نظر شما برابر با چه چیزی است؟ مثلث ها هم همینطور... بله! برابر با زاویه است X ، فقط در جهت منفی به تعویق افتاد. این گوشه است -X. اما ما قبلا x را محاسبه کرده ایم. π /3 یا 60 درجه بنابراین، می توانیم با خیال راحت بنویسیم:

x 2 = - π /3

خوب، البته، ما تمام زوایایی که از طریق چرخش کامل به دست می آیند را اضافه می کنیم:

x 2 = - π /3 + 2π n، n ∈ Z

اکنون تمام است.) روی دایره مثلثاتی ما دید(البته کی میفهمه)) همهزوایایی که کسینوس 0.5 می دهند. و این زوایا را به صورت ریاضی کوتاه یادداشت کردیم. پاسخ به دو سری بی نهایت ریشه منجر شد:

x 1 = π / 3 + 2π n، n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n، n ∈ Z

این پاسخ صحیح است.

امید، اصل کلی برای حل معادلات مثلثاتیاستفاده از دایره واضح است. کسینوس (سینوس، مماس، کتانژانت) را از معادله داده شده روی دایره علامت گذاری می کنیم و زوایای مربوط به آن را رسم می کنیم و پاسخ را یادداشت می کنیم.البته باید بفهمیم در چه گوشه ای هستیم دیدروی دایره گاهی اوقات آنقدر واضح نیست. خب، گفتم که اینجا منطق لازم است.)

به عنوان مثال، اجازه دهید به یک معادله مثلثاتی دیگر نگاه کنیم:

لطفاً در نظر بگیرید که عدد 0.5 تنها عدد ممکن در معادلات نیست!) نوشتن آن از ریشه و کسر برای من راحت‌تر است.

ما طبق اصل کلی کار می کنیم. یک دایره می کشیم، علامت گذاری می کنیم (البته روی محور سینوس!) 0.5. تمام زوایای مربوط به این سینوس را به یکباره رسم می کنیم. ما این تصویر را دریافت می کنیم:

بیایید ابتدا به زاویه بپردازیم X در سه ماهه اول جدول سینوس ها را به یاد می آوریم و مقدار این زاویه را تعیین می کنیم. یک موضوع ساده است:

x = π / 6

ما در مورد چرخش کامل به یاد می آوریم و با وجدان آرام، اولین سری از پاسخ ها را یادداشت می کنیم:

x 1 = π / 6 + 2π n، n ∈ Z

نیمی از کار انجام شده است. اما اکنون باید تعیین کنیم گوشه دوم...این سخت تر از استفاده از کسینوس است، بله... اما منطق ما را نجات خواهد داد! نحوه تعیین زاویه دوم از طریق x؟ آسان است! مثلث های تصویر یکسان هستند و گوشه قرمز رنگ X برابر زاویه X . فقط از زاویه π در جهت منفی شمارش می شود. به همین دلیل است که قرمز است.) و برای پاسخ به زاویه که به درستی محاسبه شده است، از نیم محور مثبت OX، یعنی. از زاویه 0 درجه

ما مکان نما را روی نقاشی می کشیم و همه چیز را می بینیم. گوشه اول را برداشتم تا تصویر پیچیده نشود. زاویه مورد نظر ما (به رنگ سبز ترسیم شده) برابر خواهد بود با:

π - x

X ما این را می دانیم π /6 . بنابراین، زاویه دوم خواهد بود:

π - π /6 = 5π /6

دوباره اضافه کردن دورهای کامل را به یاد می آوریم و سری دوم پاسخ ها را یادداشت می کنیم:

x 2 = 5π / 6 + 2π n، n ∈ Z

همین است. یک پاسخ کامل شامل دو سری ریشه است:

x 1 = π / 6 + 2π n، n ∈ Z

x 2 = 5π / 6 + 2π n، n ∈ Z

معادلات مماس و کتانژانت را می توان با استفاده از همان اصل کلی برای حل معادلات مثلثاتی به راحتی حل کرد. البته اگر بلد باشید که چگونه مماس و کتانژانت را روی یک دایره مثلثاتی رسم کنید.

در مثال های بالا از مقدار جدول سینوس و کسینوس استفاده کردم: 0.5. آن ها یکی از آن معانی که دانش آموز می داند موظف است.حالا بیایید توانایی های خود را گسترش دهیم تمام ارزش های دیگرتصمیم بگیر پس تصمیم بگیر!)

بنابراین، فرض کنید باید این معادله مثلثاتی را حل کنیم:

در جداول کوتاه چنین مقدار کسینوس وجود ندارد. ما به سردی این واقعیت وحشتناک را نادیده می گیریم. یک دایره رسم کنید، 2/3 را روی محور کسینوس علامت بزنید و زوایای مربوطه را رسم کنید. ما این تصویر را دریافت می کنیم.

بیایید ابتدا به زاویه ربع اول نگاه کنیم. اگر فقط می دانستیم x برابر است، بلافاصله جواب را یادداشت می کردیم! نمی دانیم... شکست!؟ آرام! ریاضیات مردم خود را در دردسر نمی گذارد! او برای این مورد کسینوس های قوسی اختراع کرد. نمی دانم؟ بیهوده. دریابید، خیلی ساده تر از آن چیزی است که فکر می کنید. در این لینک حتی یک طلسم پیچیده در مورد "توابع مثلثاتی معکوس" وجود ندارد ... این در این موضوع اضافی است.

اگر می دانید، فقط به خود بگویید: "X زاویه ای است که کسینوس آن برابر با 2/3 است." و بلافاصله، صرفاً با تعریف کسینوس قوس، می توانیم بنویسیم:

ما در مورد چرخش های اضافی به یاد می آوریم و با آرامش اولین سری از ریشه های معادله مثلثاتی خود را یادداشت می کنیم:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n، n∈ Z

سری دوم ریشه های زاویه دوم تقریباً به طور خودکار نوشته می شود. همه چیز یکسان است، فقط X (arccos 2/3) با منهای خواهد بود:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n، n ∈ Z

و بس! این پاسخ صحیح است. حتی ساده تر از مقادیر جدول. نیازی به به خاطر سپردن چیزی نیست.) به هر حال، بیشترین توجه متوجه خواهد شد که این تصویر راه حل را از طریق کسینوس قوس نشان می دهد. در اصل، هیچ تفاوتی با تصویر معادله cosx = 0.5 ندارد.

درست است! اصل کلی فقط همین است! من عمداً دو تصویر تقریباً یکسان کشیدم. دایره زاویه را به ما نشان می دهد X توسط کسینوس آن این که کسینوس جدولی است یا نه برای همه ناشناخته است. این چه نوع زاویه است، π / 3، یا کسینوس قوس چیست - این به ما بستگی دارد که تصمیم بگیریم.

همان آهنگ با سینوس. به عنوان مثال:

دوباره یک دایره بکشید، سینوس را برابر با 1/3 علامت گذاری کنید، زوایا را بکشید. این تصویری است که دریافت می کنیم:

و دوباره تصویر تقریباً مشابه معادله است sinx = 0.5.باز هم در کوارتر اول از کرنر شروع می کنیم. اگر سینوس آن 1/3 باشد X برابر با چه مقدار است؟ سوالی نیست!

اکنون اولین بسته ریشه آماده است:

x 1 = آرکسین 1/3 + 2π n، n∈ Z

بیایید به زاویه دوم بپردازیم. در مثال با مقدار جدول 0.5 برابر بود با:

π - x

اینجا هم دقیقا همینطور خواهد بود! فقط x متفاوت است، arcsin 1/3. پس چی!؟ می توانید با خیال راحت بسته دوم ریشه ها را یادداشت کنید:

x 2 = π - آرکسین 1/3 + 2π n، n ∈ Z

این یک پاسخ کاملا صحیح است. اگرچه خیلی آشنا به نظر نمی رسد. اما روشن است، امیدوارم.)

به این ترتیب معادلات مثلثاتی با استفاده از دایره حل می شوند. این مسیر روشن و قابل درک است. این اوست که در معادلات مثلثاتی با انتخاب ریشه ها در یک بازه معین، در نابرابری های مثلثاتی صرفه جویی می کند - آنها معمولاً تقریباً همیشه در یک دایره حل می شوند. به طور خلاصه، در هر کاری که کمی دشوارتر از کارهای استاندارد است.

بیایید دانش را در عمل به کار ببریم؟)

حل معادلات مثلثاتی:

اول، ساده تر، مستقیماً از این درس.

حالا قضیه پیچیده تر است.

نکته: در اینجا باید در مورد دایره فکر کنید. شخصا.)

و حالا به ظاهر ساده اند... موارد خاص نیز نامیده می شوند.

سینکس = 0

سینکس = 1

cosx = 0

cosx = -1

نکته: در اینجا باید در یک دایره مشخص کنید که کجا دو سری پاسخ وجود دارد و کجا یک ... و چگونه به جای دو سری پاسخ، یکی بنویسید. بله، به طوری که حتی یک ریشه از تعداد نامتناهی گم نمی شود!)

خب خیلی ساده):

سینکس = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

نکته: در اینجا باید بدانید که آرکسین و آرکوزین چیست؟ آرکتانژانت، آرکوتانژانت چیست؟ ساده ترین تعاریف اما شما نیازی به به خاطر سپردن مقادیر جدول ندارید!)

پاسخ ها البته افتضاح هستند):

x 1= arcsin0،3 + 2π n، n ∈ Z
x 2= π - arcsin0.3 + 2

همه چیز درست نمی شود؟ اتفاق می افتد. دوباره درس را بخوانید. فقط متفکرانه(یک کلمه قدیمی وجود دارد...) و لینک ها را دنبال کنید. لینک های اصلی در مورد دایره هستند. بدون آن، مثلثات مانند عبور از جاده با چشم بسته است. گاهی اوقات کار می کند.)

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را بیابید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.