§1.1. اعداد واقعی
اولین آشنایی با اعداد واقعی در درس ریاضی مدرسه اتفاق می افتد. هر عدد حقیقی با یک کسر اعشاری متناهی یا نامتناهی نشان داده می شود.
اعداد حقیقی به دو دسته تقسیم می شوند: دسته اعداد گویا و دسته اعداد غیر منطقی. منطقیاعدادی هستند که شکل , Where را دارند مترو nاعداد صحیح coprime هستند، اما 
. (مجموعه اعداد گویا با حرف نشان داده می شود س). اعداد واقعی باقی مانده فراخوانی می شوند غیر منطقی. اعداد گویا با کسر متناهی یا نامتناهی (همان کسرهای معمولی) نشان داده می شوند، سپس آن و تنها آن اعداد حقیقی که می توانند با کسرهای نامتناهی غیر تناوبی نمایش داده شوند، غیر منطقی خواهند بود.
مثلا عدد 
- عقلانی، و 
, 
, 
و غیره - اعداد غیر منطقی
اعداد واقعی را می توان به اعداد جبری نیز تقسیم کرد - ریشه های یک چند جمله ای با ضرایب منطقی(اینها به ویژه شامل تمام اعداد گویا - ریشه های معادله می شوند 
) – و به ماورایی – بقیه (مثلاً اعداد 
و دیگران).
مجموعه تمام اعداد طبیعی، صحیح و واقعی بر این اساس به صورت زیر نشان داده می شوند: نز, آر
(حروف ابتدایی کلمات Naturel, Zahl, Reel).
§1.2. تصویر اعداد واقعی روی خط اعداد. فواصل
از نظر هندسی (برای وضوح)، اعداد واقعی با نقاطی در یک خط مستقیم بی نهایت (در هر دو جهت) به نام نشان داده می شوند. عددی
محور. برای این منظور، یک نقطه از خط مورد نظر گرفته می شود (مبداء نقطه صفر است)، جهت مثبت نشان داده می شود، با یک فلش (معمولاً به سمت راست) نشان داده می شود و یک واحد مقیاس انتخاب می شود که به طور نامحدود کنار گذاشته می شود. در هر دو طرف نقطه 0. اعداد صحیح به این ترتیب نشان داده می شوند. برای نمایش یک عدد با یک رقم اعشار، باید هر قسمت را به ده قسمت و غیره تقسیم کنید. بنابراین، هر عدد واقعی با یک نقطه در خط اعداد نشان داده می شود. بازگشت به هر نقطه 
مربوط به یک عدد واقعی برابر با طول قطعه است 
و بسته به اینکه نقطه در سمت راست یا چپ مبدا باشد، با علامت "+" یا "-" گرفته می شود. به این ترتیب یک تناظر یک به یک بین مجموعه تمام اعداد حقیقی و مجموعه تمام نقاط روی محور اعداد برقرار می شود. اصطلاحات "عدد واقعی" و "نقطه محور عدد" به عنوان استفاده می شود مترادف ها
نماد 
هم یک عدد واقعی و هم نقطه مربوط به آن را نشان خواهیم داد. اعداد مثبت در سمت راست نقطه 0 و اعداد منفی در سمت چپ قرار دارند. اگر 
، سپس روی محور اعداد نقطه 
در سمت چپ نقطه قرار دارد 
. بگذارید نکته 
مربوط به عدد است، سپس عدد را مختصات نقطه می نامند، بنویس 
; اغلب خود نقطه با همان حرف عدد نشان داده می شود. نقطه 0 مبدا مختصات است. محور نیز با حرف مشخص می شود 
(شکل 1.1).
برنج. 1.1. محور اعداد
مجموعه همه اعداد دروغگو بیناعداد داده شده و فاصله یا شکاف نامیده می شود. انتهای ممکن است متعلق به او باشد یا نباشد. بیایید این را روشن کنیم. اجازه دهید 
. مجموعه ای از اعداد که شرایط را برآورده می کند 
، فاصله (به معنای محدود) یا بازه باز نامیده می شود که با علامت مشخص می شود 
(شکل 1.2).
برنج. 1.2. فاصله
مجموعه ای از اعداد به گونه ای که 
بازه بسته (قطعه، قطعه) نامیده می شود و با نشان داده می شود 
; در محور اعداد به صورت زیر مشخص شده است:
برنج. 1.3. فاصله بسته
با شکاف باز فقط دو نقطه (انتها) و . اما این تفاوت اساسی و قابل توجه است، همانطور که در ادامه خواهیم دید، به عنوان مثال، هنگام مطالعه خواص توابع.
حذف کلمات "مجموعه همه اعداد (نقاط) xبه طوری که» و غیره، در ادامه یادآور می شویم:
و 
، نشان داده شده است 
و 
فواصل نیمه باز یا نیمه بسته (گاهی اوقات: نیمه بازه);
یا 
یعنی: 
یا 
و تعیین شده است 
یا 
;
یا 
به معنی 
یا 
و تعیین شده است 
یا 
;
، نشان داده شده است 
مجموعه تمام اعداد واقعی نشان ها 
نمادهای "بی نهایت"؛ آنها اعداد نامناسب یا ایده آل نامیده می شوند. 
§1.3. مقدار مطلق (یا مدول) یک عدد واقعی
تعریف. مقدار مطلق (یا ماژول)عدد را خود عدد اگر می گویند 
یا 
اگر 
. قدر مطلق با نماد نشان داده می شود 
. بنابراین، 
به عنوان مثال، 
, 
, 
.
از نظر هندسی به معنای فاصله نقطه است الفبه مبدأ اگر دو نقطه و 2 داشته باشیم، فاصله بین آنها را می توان به صورت نمایش داد 
(یا 
). به عنوان مثال، 
سپس فاصله 
.
خواص مقادیر مطلق
1. از تعریف چنین بر می آید که 
, 
، یعنی 
.
2. قدر مطلق مجموع و تفاوت از مجموع قدر مطلق تجاوز نمی کند: 
.
1) اگر 
، آن 
. 2) اگر 
، آن ▲
3. 
.
، سپس توسط ویژگی 2: 
، یعنی 
. به همین ترتیب، اگر تصور کنید 
، سپس به نابرابری می رسیم 
▲
4. 
- از تعریف بر می آید: موارد را در نظر بگیرید 
و 
.
5. 
، به شرطی که 
از تعریف هم همینطور است.
6. نابرابری 
,
، یعنی 
. این نابرابری با نقاطی که بین آنها قرار دارد برآورده می شود 
و 
.
7. نابرابری 
مساوی با نابرابری 
، یعنی . این بازه ای است که در یک نقطه از طول متمرکز شده است 
. نام دارد 
همسایگی یک نقطه (عدد). اگر 
، سپس محله را سوراخ گویند: این یا 
. (شکل 1.4).
8. 
از آنجا نتیجه می شود که نابرابری 
(
) معادل نابرابری است 
یا 
; و نابرابری 
مجموعه ای از نقاط را برای آن تعریف می کند 
، یعنی اینها نقاطی هستند که خارج از بخش قرار دارند 
، دقیقا: 
و 
.
§1.4. برخی مفاهیم و نمادها
اجازه دهید برخی از مفاهیم و نمادهای پرکاربرد را از نظریه مجموعه ها، منطق ریاضی و سایر شاخه های ریاضیات مدرن ارائه کنیم.
1 . مفهوم مجموعه هایکی از موارد اساسی در ریاضیات، اولیه، جهانی است - و بنابراین قابل تعریف نیست. فقط می توان آن را توصیف کرد (با مترادف ها جایگزین کرد): مجموعه ای است، مجموعه ای از برخی اشیاء، چیزهایی که با برخی ویژگی ها متحد شده اند. این اشیاء نامیده می شوند عناصرانبوهی مثال‌ها: بسیاری از دانه‌های شن در ساحل، ستارگان در کیهان، دانش‌آموزان در کلاس درس، ریشه‌های یک معادله، نقاط یک بخش. مجموعه هایی که عناصر آنها اعداد هستند نامیده می شوند مجموعه های عددی. برای برخی از مجموعه‌های استاندارد، نمادهای ویژه معرفی می‌شوند، به عنوان مثال، ن,ز,R-§ 1.1 را ببینید.
اجازه دهید الف- بسیاری و xعنصر آن است، سپس می نویسند: 
; می خواند " xمتعلق است الف» ( 
علامت گنجاندن برای عناصر). اگر شی xشامل نمی شود الف، سپس می نویسند 
; می خواند: " xتعلق ندارد الف" به عنوان مثال، 
ن; 8,51
ن; اما 8.51 
آر.
اگر xیک نام گذاری کلی برای عناصر یک مجموعه است الف، سپس می نویسند 
. اگر امکان نوشتن نام همه عناصر وجود دارد، بنویسید 
, 
و غیره مجموعه ای که شامل یک عنصر واحد نباشد مجموعه خالی نامیده می شود و با علامت نشان داده می شود. به عنوان مثال، مجموعه ریشه های (واقعی) معادله 
خالی است
مجموعه نامیده می شود نهایی، اگر از تعداد محدودی عنصر تشکیل شده باشد. اگر، مهم نیست که چه عدد طبیعی N گرفته شده است، در مجموعه الفپس عناصر بیشتری از N وجود دارد الفتماس گرفت بی پایانمجموعه: بی نهایت عناصر در آن وجود دارد.
اگر هر عنصر از مجموعه ^ Aمتعلق به خیلی هاست ب، آن 
بخشی یا زیر مجموعه ای از یک مجموعه نامیده می شود بو بنویس 
; می خواند " الفموجود در ب» ( 
یک علامت گنجاندن برای مجموعه ها وجود دارد). به عنوان مثال، نزآر.اگر و 
، سپس می گویند که مجموعه ها الفو ببرابر هستند و می نویسند 
. در غیر این صورت می نویسند 
. به عنوان مثال، اگر 
، A 
مجموعه ریشه های معادله 
، آن
مجموعه عناصر هر دو مجموعه الفو بتماس گرفت اتحادمجموعه و نشان داده می شود 
(گاهی اوقات 
). مجموعه ای از عناصر متعلق به و الفو ب، تماس گرفت تقاطعمجموعه و نشان داده می شود 
. مجموعه تمام عناصر یک مجموعه ^ A، که در آن موجود نیست ب، تماس گرفت تفاوتمجموعه و نشان داده می شود 
. این عملیات را می توان به صورت شماتیک به صورت زیر نشان داد:
اگر بتوان بین عناصر مجموعه ها تناظر یک به یک برقرار کرد، می گویند این مجموعه ها معادل هستند و می نویسند. 
. هر مجموعه ای الف، معادل مجموعه اعداد طبیعی است ن= صدا زد قابل شمارشیا قابل شمارشبه عبارت دیگر، در صورتی به مجموعه ای قابل شمارش گفته می شود که بتوان عناصر آن را شماره گذاری و در یک نامتناهی مرتب کرد دنباله 
، که همه اعضای آن متفاوت هستند: 
در 
، و می توان آن را به شکل نوشت. مجموعه های نامتناهی دیگر نامیده می شوند بی شمار. قابل شمارش، به جز خود مجموعه N،برای مثال مجموعه هایی وجود خواهد داشت 
, ز.معلوم می‌شود که مجموعه‌های همه اعداد گویا و جبری قابل شمارش هستند و مجموعه‌های معادل همه اعداد غیرمنطقی، ماورایی، واقعی و نقاط هر بازه غیرقابل شمارش هستند. آنها می گویند که دومی دارای قدرت پیوستگی است (قدرت تعمیم مفهوم تعداد (تعداد) عناصر برای یک مجموعه نامتناهی است).
2
. بگذارید دو گزاره، دو واقعیت وجود داشته باشد: و 
. نماد 
یعنی: «اگر درست است، درست است و» یا «پیش می‌آید»، «به این معناست که ریشه معادله دارای خاصیت انگلیسی است. وجود داشته باشد- وجود داشته باشد.
ورودی: 
، یا 
، یعنی: (حداقل یک) شیء دارای خاصیت وجود دارد 
. و ضبط 
، یا 
، یعنی: هرکس مال دارد. به طور خاص، می توانیم بنویسیم: 
و .
مفاهیم "مجموعه"، "عنصر"، "تعلق یک عنصر به مجموعه" مفاهیم اولیه ریاضیات هستند. بسیاری- هر مجموعه (مجموعه) از هر شی .
A زیرمجموعه ای از مجموعه B است،اگر هر عنصر از مجموعه A عنصری از مجموعه B باشد، یعنی. AÌB Û (ХОА Þ ХОВ).
دو مجموعه مساوی هستند، اگر از عناصر یکسانی تشکیل شده باشند. ما در مورد برابری نظری مجموعه ها صحبت می کنیم (با برابری بین اعداد اشتباه نشود): A=B Û AÌB Ù VA.
اتحاد دو ستشامل عناصری است که حداقل به یکی از مجموعه ها تعلق دارند، یعنی. KHOAÈV Û KHOAÚ KHOV.
تقاطعشامل تمام عناصری است که به طور همزمان به هر دو مجموعه A و مجموعه B تعلق دارند: хоАХВ Û хоА Ù хоВ.
تفاوتشامل تمام عناصر A که به B تعلق ندارند، یعنی. xО A\B Û xОА ÙхПВ.
محصول دکارتی C=A´B مجموعه های A و B مجموعه تمام جفت های ممکن است ( x، y) که در آن اولین عنصر است Xهر جفت شامل A و عنصر دوم آن است درمتعلق به V.
زیرمجموعه F از حاصلضرب دکارتی A´B نامیده می شود نگاشت مجموعه A به مجموعه B در صورت احراز شرایط: (" X OA)($! جفت ( x.y)ÎF). در همان زمان می نویسند: A V.
اصطلاحات "نمایش" و "عملکرد" مترادف هستند. اگر ("хОА)($! уУВ): ( x، y)ОF، سپس عنصر درÎ درتماس گرفت راه Xهنگام نمایش F و آن را به این صورت بنویسید: در=F( X). عنصر Xدر عین حال است نمونه اولیه (یکی از ممکن) عنصر y.
در نظر بگیریم مجموعه اعداد گویا Q - مجموعه همه اعداد صحیح و مجموعه همه کسرها (مثبت و منفی). هر عدد گویا را می توان به عنوان یک ضریب نشان داد، برای مثال 1 =4/3=8/6=12/9=…. چنین نمایش‌هایی بسیارند، اما تنها یکی از آنها تقلیل‌ناپذیر است .
در هر عدد گویا را می توان به صورت یکتا به صورت کسری p/q نشان داد، که در آن pÎZ، qÎN، اعداد p، q هم اول هستند.
ویژگی های مجموعه Q:
1. بسته بودن تحت عملیات حسابی.حاصل جمع، تفریق، ضرب، افزایش به توان طبیعی، تقسیم (به جز تقسیم بر 0) اعداد گویا یک عدد گویا است: ; ; 
.
2. نظم: (" x، yÎQ، x¹y)®( x
علاوه بر این: 1) a>b، b>c Þ a>c; 2)الف -ب.
3. تراکم. بین هر دو عدد گویا x، yیک عدد گویا سوم وجود دارد (به عنوان مثال، c= ):
("x، yÎQ، x<y) ($cÎQ) : ( X
در مجموعه Q می توانید 4 عملیات حسابی انجام دهید، سیستم های معادلات خطی را حل کنید، اما معادلات درجه دوم شکل x 2 =a، aÎ N همیشه در مجموعه Q قابل حل نیستند.
قضیه.هیچ شماره ای وجود ندارد xÎQ، که مربع آن 2 است.
g چنین کسری وجود داشته باشد X=p/q، که در آن اعداد p و q همزمان و X 2 = 2. سپس (p/q) 2 = 2. از این رو،
سمت راست (1) بر 2 بخش پذیر است، یعنی p 2 یک عدد زوج است. بنابراین p=2n (n-عدد صحیح). سپس q باید یک عدد فرد باشد.
با بازگشت به (1)، 4n 2 =2q 2 داریم. بنابراین q 2 = 2n 2. به طور مشابه، ما مطمئن می شویم که q بر 2 بخش پذیر است، یعنی. q یک عدد زوج است. قضیه با تضاد ثابت می شود.n
نمایش هندسی اعداد گویابا قرار دادن یک پاره واحد از مبدأ مختصات 1، 2، 3... بار به سمت راست، نقاطی را در خط مختصات به دست می آوریم که با اعداد طبیعی مطابقت دارند. با جابجایی مشابه به سمت چپ، نقاط مربوط به اعداد صحیح منفی را به دست می آوریم. بگیریم 1/q(q= 2,3,4 … ) بخشی از یک قطعه واحد و آن را در دو طرف مبدا قرار می دهیم rیک بار نقاط خط مربوط به اعداد فرم را بدست می آوریم ± p/q (pОZ، qON).اگر p، q از میان تمام جفت‌های اعداد نسبتا اول عبور کند، در خط مستقیم همه نقاط مربوط به اعداد کسری را داریم. بنابراین، طبق روش پذیرفته شده، هر عدد گویا با یک نقطه از خط مختصات مطابقت دارد.
آیا می توان برای هر نقطه یک عدد گویا مشخص کرد؟ آیا خط کاملاً با اعداد گویا پر شده است؟
به نظر می رسد نقاطی در خط مختصات وجود دارد که با هیچ اعداد گویا مطابقت ندارند. ما یک مثلث متساوی الساقین قائم الزاویه را روی یک قطعه واحد می سازیم. نقطه N با یک عدد گویا مطابقت ندارد، زیرا اگر روشن=x- پس عقلا x 2 = 2، که نمی تواند باشد.
بی نهایت نقاط مشابه نقطه N در یک خط مستقیم وجود دارد. اجازه دهید بخش های منطقی بخش را در نظر بگیریم x=روشن،آن ها X. اگر آنها را به سمت راست حرکت دهیم، هیچ عدد گویا با هر یک از انتهای هر یک از این بخش ها مطابقت نخواهد داشت. با فرض اینکه طول قطعه با یک عدد گویا بیان شود x=، ما آن را دریافت می کنیم x=- منطقی این با آنچه در بالا ثابت شد در تضاد است.
اعداد گویا برای ارتباط دادن یک عدد گویا با هر نقطه از یک خط مختصات کافی نیستند.
بیایید بسازیم مجموعه اعداد واقعی R از طریق اعشار بی پایان
بر اساس الگوریتم تقسیم "گوشه"، هر عدد گویا را می توان به صورت یک کسر اعشاری متناهی یا نامتناهی نشان داد. وقتی مخرج کسری p/q هیچ عامل اولی جز 2 و 5 نداشته باشد، یعنی. q=2 m×5 k، سپس نتیجه کسر اعشاری نهایی p/q=a 0,a 1 a 2 …a n خواهد بود. کسرهای دیگر فقط می توانند بسط اعشاری بی نهایت داشته باشند.
با دانستن یک کسر اعشاری متناوب نامتناهی، می توانید عدد گویا را که نمایشی از آن است پیدا کنید. اما هر کسر اعشاری محدود را می توان به صورت یک کسر اعشاری نامتناهی به یکی از روش های زیر نشان داد:
a 0 ,a 1 a 2 …a n = a 0 ,a 1 a 2 …a n 000…=a 0 ,a 1 a 2 …(a n -1)999… (2)
به عنوان مثال، برای یک کسر اعشاری بی نهایت X= 0، (9) ما 10 داریم X= 9، (9). اگر عدد اصلی را از 10x کم کنیم، عدد 9 به دست می آید X= 9 یا 1 = 1، (0) = 0، (9).
اگر کسر اعشاری نامتناهی را با عدد 9 در یک نقطه با کسر اعشاری نامتناهی مربوطه با عدد 0 اینچ شناسایی کنیم، بین مجموعه همه اعداد گویا و مجموعه همه کسرهای اعشاری متناوب نامتناهی مطابقت یک به یک برقرار می‌شود. یک دوره طبق قانون (2).
اجازه دهید با استفاده از کسرهای تناوبی نامتناهی موافقت کنیم که عدد 9 را در نقطه ندارند. اگر یک کسری اعشاری متناوب نامتناهی با عدد 9 در دوره در فرآیند استدلال به وجود بیاید، آنگاه آن را با کسری اعشاری نامتناهی با صفر در نقطه جایگزین می کنیم، یعنی. به جای 1999... 2000 میگیریم...
تعریف عدد غیر منطقیعلاوه بر کسرهای تناوبی اعشاری نامتناهی، کسرهای اعشاری غیر تناوبی نیز وجود دارد. مثلاً 0.1010010001... یا 27.1234567891011... (اعداد طبیعی به صورت متوالی بعد از اعشار ظاهر می شوند).
کسری اعشاری نامتناهی به شکل ±a 0، a 1 a 2 …a n… (3) را در نظر بگیرید.
این کسر با مشخص کردن علامت "+" یا "-"، یک عدد صحیح غیر منفی 0 و یک دنباله از اعشار a 1، a 2،…، a n، ... تعیین می شود (مجموعه اعشار از ده عدد تشکیل شده است. : 0، 1، 2،…، 9).
اجازه دهید هر کسری از فرم (3) را فراخوانی کنیم. عدد واقعی (واقعی).اگر در جلوی کسر (3) علامت "+" وجود داشته باشد، معمولاً حذف می شود و 0، a 1 a 2 ... a n ... (4) نوشته می شود.
ما با تعدادی از فرم تماس می گیریم (4) عدد واقعی غیر منفی،و در صورتی که حداقل یکی از اعداد a 0 , a 1 , a 2 , …, a n با صفر متفاوت باشد، – عدد واقعی مثبت. اگر علامت "-" در عبارت (3) گرفته شود، این یک عدد منفی است.
اتحاد مجموعه اعداد گویا و غیر منطقی مجموعه اعداد حقیقی را تشکیل می دهد (QÈJ=R). اگر کسر اعشاری نامتناهی (3) تناوبی باشد، یک عدد گویا است، وقتی کسر غیر تناوبی باشد، غیرمنطقی است.
دو عدد حقیقی غیر منفی a=a 0 ,a 1 a 2 …a n …, b=b 0 ,b 1 b 2 …b n ….تماس گرفت برابر(می نویسند a=b), اگر a n = b nدر n=0,1,2… عدد a کوچکتر از عدد b است(می نویسند الف<ب), اگر هر کدام یک 0 یا a 0 =b 0و چنین عددی وجود دارد مترچی a k =b k (k=0،1،2،…m-1)،الف یک متر ، یعنی الف Û (a 0 Ú ($mÎN: a k =b k (k= )، a m ). مفهوم " الف>ب».
برای مقایسه اعداد واقعی دلخواه، مفهوم " را معرفی می کنیم. مدول عدد a» . مدول یک عدد واقعی a=±a 0 , a 1 a 2 …a n …چنین عدد واقعی غیر منفی نامیده می شود که با همان کسر اعشاری نامتناهی قابل نمایش است، اما با علامت "+" گرفته می شود، یعنی. ½ الف½= a 0, a 1 a 2 … a n…و ½ الف½³0. اگر الف -غیر منفی، بیک عدد منفی است، سپس در نظر بگیرید a>b. اگر هر دو عدد منفی باشند ( الف<0, b<0 ) سپس فرض می کنیم که: 1) a=b، اگر ½ الف½ = ½ ب½; 2) الف ، اگر ½ الف½ > ½ ب½.
ویژگی های مجموعه R:
من خواص نظم:
1. برای هر جفت اعداد حقیقی الفو بیک و تنها یک رابطه وجود دارد: a=b، a
2. اگر الف
3. اگر الف ، سپس یک عدد c وجود دارد به طوری که الف< с .
II. ویژگی های عملیات جمع و تفریق:
4. a+b=b+a(تبدیل پذیری).
5. (a+b)+c=a+(b+c) (تعاون سازی).
6. a+0=a.
7. a+(-a)= 0.
8. از الف Þ a+c
III. خواص عملیات ضرب و تقسیم:
9. a×b=b×a .
10. (a×b)×c=a×(b×c).
11. a×1=a.
12. ×(1/a)=1 (a¹0).
13. (a+b)×c = ac + bc(توزیع).
14. اگر الف و c>0، سپس × س
IV. دارایی ارشمیدسی("cÎR)($nÎN) : (n>c).
عدد cÎR هر چه باشد، nÎN وجود دارد به طوری که n>c.
V. خاصیت پیوستگی اعداد حقیقیبگذارید دو مجموعه غیر خالی AÌR و BÌR به گونه ای باشند که هر عنصری الف OA دیگر وجود نخواهد داشت ( الف£ ب) از هر عنصر bОB. سپس اصل تداوم ددکیندوجود یک عدد c را ادعا می کند که برای همه الف OА و bОB شرط زیر برقرار است: الف£ c£ ب:
("AÌR, BÌR):(" الفÎA، bÎB ® الف£ ب) ($cÎR): (" الفÎA، bÎB® الف£ c£b).
مجموعه R را با مجموعه نقاط روی خط اعداد شناسایی می کنیم و اعداد واقعی را نقاط می نامیم.
بلیط 1
منطقیاعداد - اعدادی که به شکل p/q نوشته می شوند، که q یک عدد طبیعی است. عدد و p یک عدد صحیح است.
دو عدد a=p1/q1 و b=p2/q2 برابر نامیده می شوند اگر p1q2=p2q1، و p2q1 و a>b اگر p1q2
بلیط 2
اعداد مختلطاعداد مختلط
یک معادله جبری معادله ای است به شکل: P n ( x) = 0، که در آن P n ( x) - چند جمله ای n- اوه درجه چند عدد واقعی xو دراگر مشخص شد کدام یک اول و کدام دوم در نظر گرفته می شود، آن را مرتب بنامیم. نماد جفت مرتب شده: ( x, y). عدد مختلط یک جفت مرتب شده دلخواه از اعداد حقیقی است. z = (x, y)-عدد مختلط.
x-قسمت واقعی z, y-قسمت خیالی z. اگر x= 0 و y= 0، سپس z= 0. z 1 = (x 1 , y 1) و z 2 = (x 2 , y 2) را در نظر بگیرید.
تعریف 1. z 1 = z 2 اگر x 1 = x 2 و y 1 = y 2.
مفاهیم > و< для комплексных чисел не вводятся.
نمایش هندسی و شکل مثلثاتی اعداد مختلط.
M( x, y) « z = x + iy.
½ OM½ = r = ½ z½ = .(تصویر)
r مدول یک عدد مختلط نامیده می شود z.
j آرگومان یک عدد مختلط نامیده می شود z. با دقت 2 ± p تعیین می شود n.
X= rcosj، y= رسینج.
z= x+ iy= r(cosj + من sinj) شکل مثلثاتی اعداد مختلط است.
بیانیه 3.
= (cos + منگناه)
= (cos + منگناه)، سپس
= (cos(+) + منگناه ( + ))
= (cos( - )+ من sin( - )) در ¹0.
بیانیه 4.
اگر z=r(cosj+ منسینج)، سپس «طبیعی n:
= (cos nj + منگناه nj),
بلیط 3
اجازه دهید X- یک مجموعه عددی حاوی حداقل یک عدد (مجموعه غیر خالی).
xÎ X- xموجود در X. ; xÏ X- xتعلق ندارد X.
تعریف: خیلی ها Xدر صورت وجود عدد به صورت محدود در بالا (زیر) خوانده می شود م(متر) به گونه ای که برای هر x Î Xنابرابری برقرار است x £ م (x ³ متر) در حالی که شماره مکران بالایی (پایینی) مجموعه نامیده می شود X. بسیاری Xگفته می شود که در بالا محدود می شود اگر $ م, " x Î X: x £ م. تعریفمجموعه نامحدود از بالا بسیاری Xگفته می شود که از بالا نامحدود است اگر " م $ x Î X: x> M. تعریفبسیاری Xمحدود نامیده می شود اگر از بالا و پایین محدود شود، یعنی $ م, مترطوری که " x Î X: متر £ x £ م.تعریف معادل ogre mn-va: مجموعه Xمحدود نامیده می شود اگر $ الف > 0, " x Î X: ½ x½£ الف. تعریف: کوچکترین کران بالای مجموعه ای که در بالا محدود شده است Xآن supremum نامیده می شود و Sup نشان داده می شود X
(اعلی). =بخور X. به طور مشابه، می توان دقیق را تعیین کرد
لبه پایین معادل تعریفحد بالایی دقیق:
عدد فوق العاده مجموعه نامیده می شود X، اگر: 1) " x Î X: X£ (این شرط نشان می دهد که یکی از کران های بالایی است). 2) " < $ x Î X: X> (این شرط نشان می دهد که -
کوچکترین چهره بالایی).
Sup X= :
1. " xÎ X: x £ .
2. " < $ xÎ X: x> .
inf X(infimum) infimum دقیق است. اجازه دهید این سوال را مطرح کنیم: آیا هر مجموعه محدود دارای لبه های دقیق است؟
مثال: X= {x: x>0) کوچکترین عدد را ندارد.
قضیه وجود یک وجه بالا (پایین) دقیق. هر حد بالای (پایین) غیر خالی xÎR دارای یک وجه بالایی (پایینی) دقیق است.
قضیه تفکیک پذیری اعداد عددی:▀▀▄
بلیط 4
اگر به هر عدد طبیعی n (n=1،2،3..) یک عدد Xn نسبت داده شود، می گویند تعریف و داده شده است. دنباله x1, x2..., بنویسید (Xn), (Xn) مثال: Xn=(-1)^n: -1,1,-1,1,...نام حد. از بالا (از پایین) اگر مجموعه نقاط x=x1,x2,…xn که روی محور عددی قرار دارند از بالا (از پایین) محدود شود، یعنی. $C:Xn£C" محدودیت توالی:عدد a حد دنباله نامیده می شود اگر برای هر ε> 0 $ : N (N=N/(ε)). "n>N نابرابری |Xn-a|<ε. Т.е. – ε
در n>N.
منحصر به فرد بودن حددنباله محدود و همگرا
خاصیت 1: دنباله همگرا فقط یک حد دارد.
اثبات: با تناقض اجازه دهید الفو بحدود یک دنباله همگرا (xn)، و a برابر با b نیست. دنباله های بی نهایت کوچک (αn)=(xn-a) و (β n)=(xn-b) را در نظر بگیرید. چون همه عناصر b.m. توالی ها (αn -β n ) مقدار b-a یکسانی دارند، سپس با خاصیت b.m. دنباله های b-a=0 i.e. b=a و به یک تناقض رسیدیم.
خاصیت 2: یک دنباله همگرا محدود است.
اثبات: فرض کنید a حد یک دنباله همگرا (xn) باشد، سپس α n =x n -a عنصری از b.m است. دنباله ها بیایید هر ε>0 را بگیریم و از آن برای پیدا کردن N ε استفاده کنیم: / x n -a/< ε при n>N ε . اجازه دهید بزرگترین اعداد ε+/а/، /х1/، /х2/،…،/х N ε-1 /،х N ε را با b نشان دهیم. بدیهی است که / x n /
توجه: دنباله محدود ممکن است همگرا نباشد.
بلیط 6
دنباله a n را بی نهایت کوچک می نامند، یعنی حد این دنباله بعد از آن 0 است.
a n – بی نهایت کوچک Û lim(n® + ¥)a n =0 یعنی برای هر ε>0 N وجود دارد به طوری که برای هر n>N |a n |<ε
قضیه.مجموع یک بی نهایت کوچک یک بی نهایت کوچک است.
a n b n ®بی نهایت کوچک Þ a n +b n - بی نهایت کوچک.
اثبات
a n - بی نهایت کوچک Û "ε>0 $ N 1:" n >N 1 Þ |a n |<ε
b n - بی نهایت کوچک Û "ε>0 $ N 2:" n >N 2 Þ |b n |<ε
اجازه دهید N=max (N 1 ,N 2 ) را تنظیم کنیم، سپس برای هر n>N Þ هر دو نابرابری به طور همزمان برآورده می شوند:
|a n |<ε |a n +b n |£|a n |+|b n |<ε+ε=2ε=ε 1 "n>ن
اجازه دهید "ε 1 > 0، ε=ε 1 /2 را تنظیم کنیم. سپس برای هر ε 1 > 0 $N=maxN 1 N 2: " n>N Þ |a n +b n |<ε 1 Û lim(n ® ¥)(a n +b n)=0, то
یک n + b n است - بی نهایت کوچک.
قضیهحاصل ضرب یک بینهایت کوچک یک بی نهایت کوچک است.
a n ,b n – بی نهایت کوچک Þ a n b n – بی نهایت کوچک.
شواهد:
بیایید "ε 1 > 0 را تنظیم کنیم، ε=Öε 1 قرار دهیم، زیرا a n و b n برای این ε>0 بی نهایت کوچک هستند، پس N 1 وجود دارد: " n>N Þ |a n |<ε
$N 2: " n>N 2 Þ |b n |<ε
اجازه دهید N=max (N 1 ;N 2 ) و سپس "n>N = |a n |<ε
|a n b n |=|a n ||b n |<ε 2 =ε 1
" ε 1 >0 $N:"n>N |a n b n |<ε 2 =ε 1
lim a n b n = 0 Û a n b n - بی نهایت کوچک، که باید ثابت شود.
قضیهحاصلضرب یک دنباله محدود و یک دنباله بی نهایت کوچک یک دنباله بی نهایت کوچک است
و n یک دنباله محدود است
a n – دنباله بی نهایت کوچک Þ a n a n – دنباله بی نهایت کوچک.
اثبات: از آنجایی که a n محدود است Û $С>0: "nО نÞ |a n |£C
بیایید "ε 1 > 0 را تنظیم کنیم؛ ε=ε 1 /C قرار دهیم؛ از آنجایی که a n بی نهایت کوچک است، پس ε>0 $N:"n>NÞ |a n |<εÞ |a n a n |=|a n ||a n | "ε 1 >0 $N: "n>N Þ |a n a n |=Cε=ε 1 Þ lim(n ® ¥) a n a n =0Û a n a n - بی نهایت کوچک دنباله نامیده می شود BBP(به ترتیب) اگر بنویسند. بدیهی است که BBP محدود نیست. گزاره مخالف عموماً نادرست است (مثال). اگر برای بزرگ ها nاعضا، سپس بنویسید به این معنی که به محض. معنای مدخل نیز به همین ترتیب تعیین می شود سکانس های بی نهایت بزرگ a n = 2 n ;
b n =(-1) n 2 n ;c n =-2 n تعریف(دنباله های بی نهایت بزرگ) 1) lim(n® ¥)a n =+¥، اگر "ε>0$N:"n>N Þ a n >ε جایی که ε دلخواه کوچک است. 2) lim(n® ¥)a n =-¥، اگر "ε> 0 $N:"n>N Þ a n<-ε 3) lim(n® ¥)a n =¥ Û "ε>0 $N:"n>N Þ |a n |>ε بلیط 7 قضیه «در مورد همگرایی یکنواخت. آخرین" هر دنباله یکنواختی همگرا است، یعنی. محدودیت هایی دارد سندبگذارید دنباله (xn) بطور یکنواخت افزایش یابد. و از بالا محدود شده است. X - کل مجموعه اعدادی که طبق قرارداد عنصر این دنباله را می پذیرند. قضایا از نظر تعداد محدود هستند، بنابراین، با توجه به قضیه آن دارای حد بالایی دقیق محدود است. face supX xn®supX (supX را با x* نشان می دهیم). چون x* بالا دقیق. صورت، سپس xn£x* "n." e >0 عصب خارج است xm $ (بگذارید m با یک درپوش n باشد): xm>x*-e با "n>m => از 2 نابرابری نشان داده شده به دست می آوریم. نابرابری دوم x*-e£xn£x*+e برای n>m معادل ½xn-x*1 است بلیط 8 نما یا عدد e عدد رومی R دنباله ای با عبارت مشترک xn=(1+1/n)^n (به توان n)(1). معلوم می شود که دنباله (1) به طور یکنواخت افزایش می یابد، از بالا محدود می شود و همگرا است، حد این دنباله نمایی نامیده می شود و با نماد e»2.7128 نشان داده می شود. شماره e بلیط 9 اصل قطعات تو در تو اجازه دهید به خط اعداد دنباله ای از قطعات،،...،،... داده شود. علاوه بر این، این بخش ها موارد زیر را برآورده می کنند. وضعیت: 1) هر مورد بعدی در قبلی تودرتو است، یعنی. М، "n=1،2،…; 2) طول قطعات ®0 با افزایش n، یعنی. lim(n®¥)(bn-an)=0. توالی با قدیسان مشخص شده تودرتو نامیده می شود. قضیههر دنباله ای از قطعات تودرتو حاوی یک نقطه c واحد است که به همه بخش های دنباله به طور همزمان تعلق دارد، با نقطه مشترک همه بخش هایی که به آنها منقبض شده اند. سند(ال) - دنباله انتهای چپ بخش های پدیده ها. یکنواخت بدون کاهش و در بالا با عدد b1 محدود شده است. (bn) - دنباله انتهای سمت راست به طور یکنواخت افزایش نمی یابد، بنابراین این توالی از پدیده ها. همگرا، یعنی اعداد c1=lim(n®¥)an و c2=lim(n®¥)bn => c1=c2 => c - آنها وجود دارد معنی کلی. در واقع، دارای حد lim(n®¥)(bn-an)= lim(n®¥)(bn)- lim(n®¥)(an) به دلیل شرایط 2) o= lim(n®¥) (bn- an)=с2-с1=> с1=с2=с واضح است که t.c برای همه بخش ها مشترک است، زیرا "n یک £ c£bn. اکنون ثابت می کنیم که یکی است. فرض کنید $ یک c دیگر است که همه بخش ها به آن منقبض شده اند. اگر هر پاره غیر متقاطع c و c' را بگیریم، در یک طرف کل "دم" دنباله های (an)، (bn) باید در مجاورت نقطه c" واقع شود (زیرا an و bn به هم همگرا می شوند. ج و ج به طور همزمان). تناقض درست است. بلیط 10 قضیه بولزانو وایرشتراس
از هر برشی پس از آن می توانید گردهمایی را انتخاب کنید. زیرمجموعه 1. از آنجایی که دنباله محدود است، پس m و M، به طوری که "m£xn£M، "n. D1= – بخشی که تمام دنباله های t-ki در آن قرار دارند. بیایید آن را به نصف تقسیم کنیم. حداقل یکی از نیمه ها شامل بی نهایت خواهد بود عدد t-kبعد از D2 نیمه ای است که تعداد نامتناهی دنباله t-k در آن قرار دارد. آن را به نصف تقسیم می کنیم. حداقل در یکی از نیمه ها نگ. D2 دارای بی نهایت دنباله است. این نیمه D3 است. تقسیم بخش D3 ... و غیره. دنباله ای از بخش های تودرتو به دست می آوریم که طول آن ها به 0 می رسد. طبق قانون مربوط به بخش های تودرتو، واحد $. t-ka S، گربه. متعلق همه بخش های D1، هر t-tu Dn1. در بخش D2 نقطه xn2 را انتخاب می کنم، به طوری که n2>n1. در بخش D3 ... و غیره در نتیجه آخرین کلمه xnkÎDk است. بلیط 11 بلیط 12 اساسی در پایان، ما سؤال معیار همگرایی یک دنباله عددی را در نظر می گیریم. بگذارید یعنی: عبارت زیر را دریافت کردیم: اگر دنباله همگرا شود، شرط برقرار است کوشی: دنباله اعدادی که شرط کوشی را برآورده می کند نامیده می شود اساسی. می توان ثابت کرد که عکس آن نیز صادق است. بنابراین برای همگرایی دنباله یک معیار (شرط لازم و کافی) داریم. معیار کوشی برای اینکه دنباله ای حد داشته باشد، لازم و کافی است که بنیادی باشد. معنای دوم از معیار کوشی.اعضای دنباله و کجا nو متر– هر نزدیک شدن بدون محدودیت در . بلیط 13 محدودیت های یک طرفه تعریف 13.11.شماره الفحد تابع نامیده می شود y = f(x) در X، تلاش برای x 0چپ (راست)، اگر چنین باشد که | f(x)-A|<ε при x 0 - x< δ
(x - x 0< δ
). نام گذاری ها: قضیه 13.1 (تعریف دوم حد).تابع y=f(x)دارد در X،تلاش برای X 0، حد برابر است الف، اگر و فقط اگر هر دو حد یک طرفه آن در این نقطه وجود داشته باشد و برابر باشد الف. اثبات 1) اگر، پس و برای x 0 - x< δ, и для x - x 0< δ
|f(x) - A|<ε, то есть 1) اگر , پس δ 1 وجود دارد: | f(x) - A| < ε при x 0 - x< δ 1 и δ 2: |f(x) - A| < ε при x - x 0<
δ2. با انتخاب کوچکتر از اعداد δ 1 و δ 2 و در نظر گرفتن آن به عنوان δ، به دست می آوریم که برای | x - x 0| < δ |f(x) - A| < ε, то есть . Теорема доказана. نظر دهید. از آنجایی که هم ارزی الزامات مندرج در تعریف حد 13.7 و شرایط وجود و برابری حدود یک طرفه ثابت شده است، می توان این شرط را دومین تعریف حد دانست. تعریف 4 (طبق گفته هاینه) شماره الفحد یک تابع نامیده می شود اگر هر BBP از مقادیر آرگومان، دنباله ای از مقادیر تابع مربوطه به الف تعریف 4 (به گفته کوشی). شماره الفتماس گرفت اگر . ثابت شده است که این تعاریف معادل هستند. بلیط 14 و 15 ویژگی های حد تابع در یک نقطه 1) اگر محدودیتی وجود دارد، پس تنها آن است 2) اگر در ناحیه x0 حد تابع f(x) lim(x®x0)f(x)=A lim(x®x0)g(x)£B=> پس در این مورد $ حد مجموع، تفاوت، محصول و ضریب است. جداسازی این 2 عملکرد الف) lim(x®x0)(f(x)±g(x))=A±B ب) lim(x®x0)(f(x)*g(x))=A*B ج) lim(x®x0)(f(x):g(x))=A/B د) lim(x®x0)C=C ه) lim(x®x0)C*f(x)=C*A قضیه 3. اگر ( پاسخ A ) سپس $ همسایگی که در آن نابرابری وجود دارد > B (مسابقه با فرض قضیه 3 B=0، دریافت می کنیم: اگر ( پاسخ، سپس $، در تمام نقاط، که خواهد بود > 0 (مطابق<0),
آن ها تابع علامت حد خود را حفظ می کند. قضیه 4(در عبور از حد در نابرابری). اگر در همسایگی یک نقطه (به جز شاید خود این نقطه) شرط برقرار باشد و این توابع در نقطه محدودیت داشته باشند، آنگاه . در زبان و. بیایید تابع را معرفی کنیم. واضح است که در مجاورت تی . سپس، با قضیه بقای یک تابع، مقدار حد آن را داریم، اما قضیه 5.(در حد یک تابع میانی). (1) اگر بلیط 16 تعریف 14.1.تابع y=α(x) بی نهایت کوچک در نامیده می شود x→x 0،اگر خواص بی نهایت کوچک. 1. مجموع دو بی نهایت کوچک بی نهایت است. اثبات اگر α(x) و β(x) – بی نهایت کوچک در x→x 0، پس δ 1 و δ 2 وجود دارد که | α(x)|<ε/2 и |β(x)|<ε/2 для выбранного значения ε. Тогда |α(x)+β(x)|≤|α(x)|+|β(x)|<ε, то есть |(α(x)+β(x))-0|<ε. Следовательно, نظر دهید. نتیجه می شود که مجموع هر تعداد متناهی بینهایت کوچک بی نهایت است. 2. اگر α( X) – بی نهایت کوچک در x→x 0، A f(x) - تابعی است که در یک محله محدود شده است x 0، آن α(x)f(x) – بی نهایت کوچک در x→x 0. اثبات بیایید یک عدد انتخاب کنیم مطوری که | f(x)| نتیجه 1. حاصلضرب یک نامتناهی بر یک عدد متناهی یک بی نهایت کوچک است. نتیجه 2. حاصل ضرب دو یا چند عدد بینهایت کوچک، بی نهایت کوچک است. نتیجه 3. ترکیب خطی بینهایت کوچک بی نهایت است. 3. (تعریف سوم از حد). اگر، پس شرط لازم و کافی برای این کار این است که تابع f(x) را می توان در فرم نشان داد f(x)=A+α(x، کجا α(x) – بی نهایت کوچک در x→x 0. اثبات 1)
بگذار سپس | f(x)-A|<ε при x→x 0، یعنی α(x)=f(x)-A- بی نهایت کوچک در x→x 0 .از این رو ، f(x)=A+α(x). 2) اجازه دهید f(x)=A+α(x). سپس نظر دهید. بدین ترتیب تعریف دیگری از حد معادل دو مورد قبلی به دست می آید. توابع بی نهایت بزرگ تعریف 15.1. تابع f(x) برای x x 0 اگر بی نهایت بزرگ است گفته می شود برای بی نهایت بزرگ، می توانید همان سیستم طبقه بندی را برای بی نهایت کوچک معرفی کنید، یعنی: 1. بی نهایت بزرگ f(x) و g(x) کمیت های هم ردیف در نظر گرفته می شوند اگر 2. اگر , آنگاه f(x) بی نهایت بزرگ با مرتبه بالاتر از g(x) در نظر گرفته می شود. 3. یک f(x) بی نهایت بزرگ را مقداری از مرتبه kth نسبت به g(x) بی نهایت بزرگ می گویند اگر . نظر دهید. توجه داشته باشید که x بی نهایت بزرگ است (برای a>1 و x) با مرتبه بالاتر از x k برای هر k، و log a x بی نهایت بزرگ از مرتبه پایین تر از هر توان x k است. قضیه 15.1. اگر α(x) بی نهایت به اندازه x→x 0 باشد، 1/α(x) بی نهایت به اندازه x→x 0 است. اثبات اجازه دهید ثابت کنیم که برای |x - x 0 |< δ. Для этого достаточно выбрать в качестве ε 1/M. Тогда при |x - x 0 | < δ |α(x)|<1/M, следовательно, |1/α(x)|>M. این به این معنی است که 1/α(x) بی نهایت به اندازه x→x 0 است. بلیط 17 قضیه 14.7 (اولین حد قابل توجه). . اثبات دایره ای با شعاع واحد با مرکز در مبدا در نظر بگیرید و فرض کنید که زاویه AOB برابر با x (رادیان) است. بیایید مناطق مثلث AOB، بخش AOB و مثلث AOC را مقایسه کنیم، جایی که خط مستقیم OS مماس بر دایره ای است که از نقطه (1;0) می گذرد. بدیهی است که با استفاده از فرمول های هندسی مربوطه برای مساحت شکل ها، از این نتیجه می گیریم که 
همراه با یک عدد طبیعی، می توانید یک عدد طبیعی دیگر را در آخرین نامساوی جایگزین کنید 
، سپس
و در برخی از همسایگی های نقطه (به جز خود نقطه) شرط (2) برقرار است، سپس تابع در نقطه حدی دارد و این حد برابر است با الفبا شرط (1) $ برای (اینجا کوچکترین همسایگی نقطه است). اما پس از آن، به موجب شرط (2)، مقدار نیز در مجاورت نقطه قرار خواهد گرفت الف،آن ها .
، یعنی α(x)+β(x) - بی نهایت کوچک.
معنی | f(x)-A|<ε при |x - x 0| < δ(ε). Cледовательно, .
، یا سینکس
