На всякий заряд в электрическом поле действует сила, которая может перемещать этот заряд. Определить работу А перемещения точечного положительного заряда q из точки О в точку n, совершаемую силами электрического поля отрицательного заряда Q. По закону Кулона сила, перемещающая заряд, является переменной и равной
Где r - переменное расстояние между зарядами.
. Это выражение можно получить так:
Величина представляет собой потенциальную энергию W п заряда в данной точке электрического поля:
Знак (-) показывает, что при перемещении заряда полем его потенциальная энергия убывает, переходя в работу перемещения.
Величина равная потенциальной энергии единичного положительного заряда (q = +1), называется потенциалом электрического поля.
Тогда 
. Для q = +1 .
Таким образом, разность потенциалов двух точек поля равна работе сил поля по перемещению единичного положительного заряда из одной точки в другую.
Потенциал точки электрического поля равен работе по перемещению единичного положительного заряда из данной точки на бесконечность: . Единица измерения - Вольт = Дж/Кл.
Работа перемещения заряда в электрическом поле не зависит от формы пути, а зависит только от разности потенциалов начальной и конечной точек пути.
Поверхность, во всех точках которой потенциал одинаков, называется эквипотенциальной.
Напряженность поля является его силовой характеристикой, а потенциал –энергетической.
Связь между напряженностью поля и его потенциалом выражается формулой
,
знак (-) обусловлен тем, что напряженность поля направлена в сторону убывания потенциала, а в сторону возрастания потенциала.
5. Использование электрических полей в медицине.
Франклинизация, или «электростатический душ», представляет собой лечебный метод, при котором организм больного или отдельные участки его подвергаются воздействию постоянного электрического поля высокого напряжения.
Постоянное электрическое поле при процедуре общего воздействия может достигать 50 кВ, при местном воздействии 15 – 20 кВ.
Механизм лечебного действия. Процедуру франклинизации проводят таким образом, что голова больного либо другой участок тела становятся как бы одной из пластин конденсатора, в то время как второй является электрод, подвешенный над головой, или устанавливаемый над местом воздействия на расстоянии 6 - 10см. Под влиянием высокого напряжения под остриями игл, закрепленных на электроде, возникает ионизация воздуха с образованием аэроионов, озона и окислов азота.
Вдыхание озона и аэроионов вызывает реакцию сосудистой сети. После кратковременного спазма сосудов происходит расширение капилляров не только поверхностных тканей, но и глубоких. В результате улучшаются обменно-трофические процессы, а при наличии повреждения тканей стимулируются процессы регенерации и восстановления функций.
В результате улучшения кровообращения, нормализации обменных процессов и функции нервов происходит уменьшение головных болей, повышенного артериального давления, повышенного сосудистого тонуса, урежение пульса.
Применение франклинизации показано при функциональных расстройствах нервной системы
Примеры решения задач
1. При работе аппарата для франклинизации ежесекундно в 1 см 3 воздуха образуется 500000 легких аэроионов. Определить работу ионизации, необходимую для создания в 225 см 3 воздуха такого же количества аэроионов за время лечебного сеанса (15 мин). Потенциал ионизации молекул воздуха считать равным 13,54 В, условно считать воздух однородным газом.
- потенциал ионизации, А– работа ионизации, N-количество электронов.
2. При лечении электростатическим душем на электродах электрической машины приложена разность потенциалов 100 кВ. Определить, какой заряд проходит между электродами за время одной процедуры лечения, если известно, что силы электрического поля при этом совершают работу 1800Дж.
Отсюда 
Электрический диполь в медицине
В соответствии с теорией Эйнтховена, лежащей в основе электрокардиографии, сердце представляет собой электрический диполь, расположенный в центре равностороннего треугольника (треугольник Эйнтховена), вершины которого условно можно считать 
находящимися в правой руке, левой руке и левой ноге.
За время сердечного цикла изменяется как положение диполя в пространстве, так и дипольный момент. Измерение разности потенциалов между вершинами треугольника Эйнтховена позволяет определить соотношение между проекциями дипольного момента сердца на стороны треугольника следующим образом:
Зная напряжения U AB , U BC , U AC , можно определить, как ориентирован диполь относительно сторон треугольника.
В электрокардиографии разность потенциалов между двумя точками тела (в данном случае между вершинами треугольника Эйнтховена) называется отведением.
Регистрация разности потенциалов в отведениях в зависимости от времени называется электрокардиограммой.
Геометрическое место точек конца вектора дипольного момента за время сердечного цикла называется вектор-кардиограммой .
Лекция №4
Контактные явления
1. Контактная разность потенциалов. Законы Вольты.
2. Термоэлектричество.
3. Термопара, ее использование в медицине.
4. Потенциал покоя. Потенциал действия и его распространение.
- Контактная разность потенциалов. Законы Вольты.
При тесном соприкосновении разнородных металлов между ними возникает разность потенциалов, зависящая только от их химического состава и температуры (первый закон Вольты). Эта разность потенциалов называется контактной.
Для того чтобы покинуть металл и уйти в окружающую среду, электрон должен совершить работу против сил притяжения к металлу. Эта работа называется работой выхода электрона из металла.
Приведем в контакт два различных металла 1 и 2, имеющих работу выхода соответственно A 1 и A 2, причем A 1 < A 2 . Очевидно, что свободный электрон, попавший в процессе теплового движения на поверхность раздела металлов, будет втянут во второй металл, так как со стороны этого металла на электрон действует большая сила притяжения (A 2 > A 1). Следовательно, через контакт металлов происходит «перекачка» свободных электронов из первого металла во второй, в результате чего первый металл зарядится положительно, второй - отрицательно. Возникающая при этом разность потенциалов создает электрическое поле напряженностью Е, которое затрудняет дальнейшую «перекачку» электронов и совсем прекратит ее, когда работа перемещения электрона за счет контактной разности потенциалов станет равна разности работ выхода:
(1)
Приведем теперь в контакт два металла с A 1 = A 2 , имеющие различные концентрации свободных электронов n 01 > n 02 . Тогда начнется преимущественный перенос свободных электронов из первого металла во второй. В результате первый металл зарядится положительно, второй – отрицательно. Между металлами возникнет разность потенциалов , которая прекратит дальнейший перенос электронов. Возникающая при этом разность потенциалов определяется выражением:
, (2)
где k - постоянная Больцмана.
В общем случае контакта металлов, различающихся и работой выхода и концентрацией свободных электронов к.р.п. из (1) и (2) будет равна:
(3)
Легко показать, что сумма контактных разностей потенциалов последовательно соединенных проводников равна контактной разности потенциалов, создаваемой концевыми проводниками, и не зависит от промежуточных проводников:
Это положение называется вторым законом Вольты.
Если теперь непосредственно соединить концевые проводники, то существующая между ними разность потенциалов компенсируется равной по величине разностью потенциалов , возникающей в контакте 1 и 4. Поэтому к.р.п. не создает тока в замкнутой цепи металлических проводников, имеющих одинаковую температуру.
2. Термоэлектричество – это зависимость контактной разности потенциалов от температуры.
Составим замкнутую цепь из двух разнородных металлических проводников 1 и 2.
Температуры контактов a и b будем поддерживать различными Т a > T b . Тогда, согласно формуле (3), к.р.п. в горячем спае больше, чем в холодном: . В результате между спаями a и b возникает разность потенциалов , называемая термоэлектродвижущей силой, а в замкнутой цепи пойдет ток I. Пользуясь формулой (3), получим
где 
для каждой пары металлов.
- Термопара, ее использование в медицине.
Замкнутая цепь проводников, создающая ток за счет различия температур контактов между проводниками, называется термопарой.
Из формулы (4) следует, что термоэлектродвижущая сила термопары пропорциональна разности температур спаев (контактов).
Формула (4) справедлива и для температур по шкале Цельсия:
Термопарой можно измерить только разности температур. Обычно один спай поддерживается при 0ºС. Он называется холодным спаем. Другой спай называется горячим или измерительным.
Термопара обладает существенными преимуществами перед ртутными термометрами: она чувствительна, безинерционна, позволяет измерять температуру малых объектов, допускает дистанционные измерения.
Измерение профиля температурного поля тела человека.
Считается, что температура тела человека постоянна, однако это постоянство относительно, поскольку на различных участках тела температура не одинакова и меняется в зависимости от функционального состояния организма.
Температура кожи имеет свою вполне определенную топографию. Самую низкую температуру (23-30º) имеют дистальные отделы конечностей, кончик носа, ушные раковины. Самая высокая температура – в подмышечной области, в промежности, области шеи, губ, щек. Остальные участки имеют температуру 31 - 33,5 ºС.
У здорового человека распределение температур симметрично относительно средней линии тела. Нарушение этой симметрии и служит основным критерием диагностики заболеваний методом построения профиля температурного поля с помощью контактных устройств: термопары и термометра сопротивления.
4. Потенциал покоя. Потенциал действия и его распространение.
Поверхностная мембрана клетки не одинаково проницаема для разных ионов. Кроме того, концентрация каких-либо определенных ионов различна по разные стороны мембраны, внутри клетки поддерживается наиболее благоприятный состав ионов. Эти факторы приводят к появлению в нормально функционирующей клетке разности потенциалов между цитоплазмой и окружающей средой (потенциал покоя)
При возбуждении разность потенциалов между клеткой и окружающей средой изменяется, возникает потенциал действия, который распространяется в нервных волокнах.
Механизм распространения потенциала действия по нервному волокну рассматривается по аналогии с распространением электромагнитной волны по двухпроводной линии. Однако наряду с этой аналогией существуют и принципиальные различия.
Электромагнитная волна, распространяясь в среде, ослабевает, так как ее энергия рассеивается, превращаясь в энергию молекулярно-теплового движения. Источником энергии электромагнитной волны является ее источник: генератор, искра и т.д.
Волна возбуждения не затухает, так как получает энергию из самой среды, в которой она распространяется (энергия заряженной мембраны).
Таким образом, распространение потенциала действия по нервному волокну происходит в форме автоволны. Активной средой являются возбудимые клетки.
Примеры решения задач
1. При построении профиля температурного поля поверхности тела человека используется термопара с сопротивлением r 1 = 4 Ом и гальванометр с сопротивлением r 2 = 80 Ом; I=26 мкА при разности температур спаев ºС. Чему равна постоянная термопары?
Термоэдс, возникающая в термопаре, равна , где термопары, -разность температур спаев.
По закону Ома для участка цепи ,где U принимаем как . Тогда
Лекция №5
Электромагнетизм
1. Природа магнетизма.
2. Магнитное взаимодействие токов в вакууме. Закон Ампера.
4. Диа-, пара- и ферромагнитные вещества. Магнитная проницаемость и магнитная индукция.
5. Магнитные свойства тканей организма.
1. Природа магнетизма.
Вокруг движущихся электрических зарядов (токов) возникает магнитное поле, посредством которого эти заряды взаимодействуют с магнитными или другими движущимися электрическими зарядами.
Магнитное поле является силовым полем, его изображают посредством магнитных силовых линий. В отличие от силовых линий электрического поля магнитные силовые линии всегда замкнуты.
Магнитные свойства вещества обусловлены элементарными круговыми токами в атомах и молекулах этого вещества.
2 . Магнитное взаимодействие токов в вакууме. Закон Ампера .
Магнитное взаимодействие токов изучалось с помощью подвижных проволочных контуров. Ампер установил, что величина силы взаимодействия двух малых участков проводников 1 и 2 с токами пропорциональна длинам и этих участков, силам тока I 1 и I 2 в них и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между участками:
Выяснилось, что сила воздействия первого участка на второй зависит от их взаиморасположения и пропорциональна синусам углов и .
где - угол между и радиусом-вектором r 12 , соединяющим с , а - угол между и нормалью n к плоскости Q, содержащей участок и радиус-вектор r 12.
Объединяя (1) и (2) и вводя коэффициент пропорциональности k, получим математическое выражение закона Ампера:
(3)
Направление силы также определяется по правилу буравчика: оно совпадает с направлением поступательного движения буравчика, рукоятка которого вращается от к нормали n 1.
Элементом тока называется вектор, равный по величине произведению Idl бесконечно малого участка длины dl проводника на силу тока I в нем и направленный вдоль этого тока. Тогда, переходя в (3) от малых к бесконечно малым dl, можно записать закон Ампера в дифференциальной форме:
. (4)
Коэффициент k можно представить в виде
где - магнитная постоянная (или магнитная проницаемость вакуума).
Величина для рационализации с учетом (5) и (4) запишется в виде
. (6)
3 . Напряженность магнитного поля. Формула Ампера. Закон Био-Савара-Лапласа .
Поскольку электрические токи взаимодействуют друг с другом посредством своих магнитных полей, количественную характеристику магнитного поля можно установить на основе этого взаимодействия-закона Ампера. Для этого проводник l с током I разобьем на множество элементарных участков dl. Он создает в пространстве поле.
В точке О этого поля, находящуюся на расстоянии r от dl, поместим I 0 dl 0. Тогда, согласно закону Ампера (6), на этот элемент будет действовать сила
(7)
где -угол между направлением тока I на участке dl (создающем поле) и направлением радиуса-вектора r, а -угол между направлением тока I 0 dl 0 и нормалью n к плоскости Q содержащей dl и r.
В формуле (7) выделим часть, не зависящую от элемента тока I 0 dl 0, обозначив ее через dH:
Закон Био-Савара-Лапласа (8)
Величина dH зависит только от элемента тока Idl, создающего магнитное поле, и от положения точки О.
Величина dH является количественной характеристикой магнитного поля и называется напряженностью магнитного поля. Подставляя (8) в (7), получим
где - угол между направлением тока I 0 и магнитного поля dH. Формула (9) называется формулой Ампера, выражает зависимость силы, с которой магнитное поле действует на находящийся в нем элемент тока I 0 dl 0 от напряженности этого поля. Эта сила расположена в плоскости Q перпендикулярно dl 0 . Ее направление определяется по «правилу левой руки».
Полагая в (9) =90º, получим:
Т.е. напряженность магнитного поля направлена по касательной к силовой линии поля, а по величине равна отношению силы, с которой поле действует на единичный элемент тока, к магнитной постоянной.
4 . Диамагнитные, парамагнитные и ферромагнитные вещества. Магнитная проницаемость и магнитная индукция.
Все вещества, помещенные в магнитное поле, приобретают магнитные свойства, т.е. намагничиваются и поэтому изменяют внешнее поле. При этом одни вещества ослабляют внешнее поле, а другие усиливают его. Первые называются диамагнитными , вторые –парамагнитными веществами. Среди парамагнетиков резко выделяется группа веществ, вызывающих очень большое усиление внешнего поля. Это ферромагнетики .
Диамагнетики - фосфор, сера, золото, серебро, медь, вода, органические соединения.
Парамагнетики - кислород, азот, алюминий, вольфрам, платина, щелочные и щелочноземельные металлы.
Ферромагнетики – железо, никель, кобальт, их сплавы.
Геометрическая сумма орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов и собственного магнитного момента ядра образует магнитный момент атома (молекулы) вещества.
У диамагнетиков суммарный магнитный момент атома (молекулы) равен нулю, т.к. магнитные моменты компенсируют друг друга. Однако под влиянием внешнего магнитного поля у этих атомов индуцируется магнитный момент, направленный противоположно внешнему полю. В результате диамагнитная среда намагничивается и создает собственное магнитное поле, направленное противоположно внешнему и ослабляющее его.
Индуцированные магнитные моменты атомов диамагнетика сохраняются до тех пор, пока существует внешнее магнитное поле. При ликвидации внешнего поля индуцированные магнитные моменты атомов исчезают и диамагнетик размагничивается.
У атомов парамагнетиков орбитальные, спиновые, ядерные моменты не компенсируют друг друга. Однако атомные магнитные моменты расположены беспорядочно, поэтому парамагнитная среда не обнаруживает магнитных свойств. Внешнее поле поворачивает атомы парамагнетика так, что их магнитные моменты устанавливаются преимущественно в направлении поля. В результате парамагнетик намагничивается и создает собственное магнитное поле, совпадающее с внешним и усиливающим его.
(4), где -абсолютная магнитная проницаемость среды. В вакууме =1, , а
В ферромагнетиках имеются области (~10 -2 см) с одинаково ориентированными магнитными моментами их атомов. Однако ориентация самих доменов разнообразна. Поэтому в отсутствие внешнего магнитного поля ферромагнетик не намагничен.
С появлением внешнего поля домены, ориентированные в направлении этого поля, начинают увеличиваться в объеме за счет соседних доменов, имеющих иные ориентации магнитного момента; ферромагнетик намагничивается. При достаточно сильном поле все домены переориентируются вдоль поля, и ферромагнетик быстро намагничивается до насыщения.
При ликвидации внешнего поля ферромагнетик полностью не размагничивается, а сохраняет остаточную магнитную индукцию, так как тепловое движение не может разориентировать домены. Размагничивание может быть достигнуто нагреванием, встряхиванием или приложением обратного поля.
При температуре, равной точке Кюри, тепловое движение оказывается способным дезориентировать атомы в доменах, вследствие чего ферромагнетик превращается в парамагнетик.
Поток магнитной индукции через некоторую поверхность S равен числу линий индукции, пронизывающих эту поверхность:
(5)
Единица измерения B –Тесла, Ф-Вебер.
7.7. Работа и энергия электростатического поля
7.7.1. Работа сил электростатического поля по перемещению заряда
Работу сил электростатического поля можно рассчитать двумя способами в зависимости от того, является поле однородным или неоднородным.
В однородном электростатическом поле работа сил поля по перемещению заряда q определяется формулой
A = (F → , Δ r →) = F → ⋅ Δ r → = F Δ r cos α ,
где F → - сила, действующая на заряд q со стороны поля, F → = q E → ; q - заряд; E → - напряженность поля; Δ r → - перемещение заряда; α - угол между векторами F → и Δ r → ;
В однородном поле сила, действующая на заряд, является постоянной величиной, так как вектор E → имеет одинаковое значение и направление в любой точке поля).
При перемещении электрического заряда:
- вдоль силовой линии электростатическим полем совершается максимальная положительная работа -
A = q E Δ r cos 0 ° = q E Δ r ;
- противоположно силовой линии электростатическим полем совершается максимальная отрицательная работа -
A = q E Δ r cos 180 ° = − q E Δ r ;
- перпендикулярно силовой линии электростатическим полем работа не совершается -
A = q E Δ r cos 90 ° = 0 .
В любом ( в том числе в неоднородном ) электростатическом поле работа сил поля не зависит от траектории перемещения заряда и может быть рассчитана по формуле
A = q (φ 1 − φ 2),
где φ 1 - потенциал точки поля, в которой заряд q находился в начальный момент времени; φ 2 - потенциал точки поля, в которой заряд q оказался в результате перемещения.
При перемещении электрического заряда по эквипотенциальной поверхности (φ 1 = φ 2) электростатическим полем работа не совершается:
A = q (φ 1 − φ 2) = 0.
В любом электростатическом поле (однородном и неоднородном) работа по перемещению электрического заряда может быть рассчитана графически как площадь трапеции (рис. 7.23) по графику зависимости проекции силы на направление перемещения F r (r ).
Рис. 7.23
Пример 21. Какую работу совершит однородное электростатическое поле напряженностью 300 В/м при перемещении заряда 5,00 мкКл на 50,0 мм в направлении, составляющем угол 120° с направлением силовых линий?
Решение . На рисунке показаны линии вектора напряженности однородного электростатического поля E → и перемещаемый в данном поле заряд q . Перемещение заряда происходит из точки 1 в точку 2 .
Работа сил однородного электростатического поля по перемещению точечного заряда определяется формулой
A = q E | Δ r → | cos α ,
где q - заряд, совершающий перемещение в указанном поле; E - модуль вектора напряженности поля; | Δ r → | - величина перемещения; α - угол между направлениями векторов напряженности и перемещения.
Угол между векторами E → и Δ r → составляет 120°, поэтому
A = q E | Δ r → | cos 120 ° = − 0,5 q E | Δ r → | .
Расчет дает значение
A = −0,5 ⋅ 5,00 ⋅ 10 −6 ⋅ 300 ⋅ 50,0 ⋅ 10 −3 =
= −37,5 ⋅ 10 −6 Дж = −37,5 мкДж.
При перемещении заряда в указанном направлении совершается отрицательная работа –37,5 мкДж, так как угол между направлением силовых линий и направлением перемещения является тупым.
Пример 22. Точечный заряд 3 мкКл расположен в начале прямоугольной системы координат xOy , где x и y заданы в метрах. Какую работу совершает электростатическое поле, образованное данным зарядом, при перемещении другого точечного заряда 2 мкКл из точки (5; 0) в точку (0; 5)? Система зарядов находится в вакууме.
Решение . На рисунке показаны линии вектора напряженности электростатического поля E → , образованного точечным положительным зарядом Q , расположенным в начале системы координат. Перемещение Δ r → другого точечного заряда q происходит из точки с координатами (5; 0) в точку с координатами (0; 5).
Электростатическое поле, образованное точечным зарядом, является неоднородным. Поэтому для вычисления работы сил поля используем формулу
A = q (φ 1 − φ 2),
где q - заряд, перемещаемый в поле; φ 1 - потенциал электростатического поля, образованного зарядом Q в точке (5; 0); φ 2 - потенциал электростатического поля, образованного зарядом Q в точке (0; 5).
Потенциал электростатического поля, образованного зарядом Q , задается следующими выражениями:
- для точки (5; 0) -
φ 1 = k Q r 1 ,
где k - коэффициент пропорциональности, k = 9 ⋅ 10 9 Н ⋅ м 2 /Кл 2 ; r 1 - расстояние от заряда Q до точки с координатами (5, 0), r 1 = 5 м;
- для точки (0; 5) -
φ 2 = k Q r 2 ,
где r 2 - расстояние от заряда Q до точки с координатами (0, 5), r 2 = 5 м.
С учетом выражений для потенциалов формула для вычисления работы приобретает следующий вид:
A = q (k Q r 1 − k Q r 2) = k q Q (1 r 1 − 1 r 2) .
Подстановка числовых данных дает результат:
A = 9 ⋅ 10 9 ⋅ 3 ⋅ 10 − 6 ⋅ 2 ⋅ 10 − 6 ⋅ (1 5 − 1 5) = 0 .
При перемещении заряда между точками с указанными координатами электростатическое поле не совершает работу, так как точки находятся на одинаковом расстоянии от заряда, создающего данное поле.
На электрические заряды в электростатическом поле действуют силы. Поэтому, если заряды перемещаются, то эти силы совершают работу. Рассчитаем работу сил однородного электростатического поля при перемещении положительного заряда q из точки A в точку B (рис. 1).
На заряд q , помещенный в однородное электрическое поле с напряженностью E , действует сила \(~\vec F = q \cdot \vec E \). Работу поля можно рассчитать по формуле
\(~A_{AB} = F \cdot \Delta r \cdot \cos \alpha,\)
где Δr ⋅cos α = AC = x 2 – x 1 = Δx - проекция перемещения на силовую линию (рис. 2).
\(~A_{AB} = q \cdot E \cdot \Delta x. \ \ (1)\)
Рассмотрим теперь перемещение заряда по траектории ACB (см. рис. 1). В этом случае работа однородного поля может быть представлена как сумма работ на участках AC и CB :
\(~A_{ACB} = A_{AC} + A_{CB} = q \cdot E \cdot \Delta x + 0 = q \cdot E \cdot \Delta x\)
(на участке CB работа равна нулю, т.к. перемещение перпендикулярна силе \(~\vec F \)). Как видно, работа поля такая же, как и при перемещении заряда по отрезку AB .
Не сложно доказать, что работа поля при перемещении заряда между точками AB по любой траектории будет находиться все по той же формуле 1.
Таким образом,
- работа по перемещению заряда в электростатическом поле не зависит от формы траектории, по которой двигался заряд q, а зависит только от начального и конечного положений заряда .
- Это утверждение справедливо и для неоднородного электростатического поля.
Найдем работу на замкнутой траектории ABCA :
\(~A_{ABCA} = A_{AB} + A_{BC} + A_{CA} = q \cdot E \cdot \Delta x + 0 - q \cdot E \cdot \Delta x = 0.\)
Поле, работа сил которого не зависит от формы траектории и на замкнутой траектории равна нулю, называется потенциальным или консервативным .
Потенциал
Из механики известно, что работа консервативных сил связана с изменением потенциальной энергии. Система "заряд - электростатическое поле" обладает потенциальной энергией (энергией электростатического взаимодействия). Поэтому, если не учитывать взаимодействие заряда с гравитационным полем и окружающей средой, то работа, совершаемая при перемещении заряда в электростатическом поле, равна изменению потенциальной энергии заряда, взятому с противоположным знаком:
\(~A_{12} = -(W_{2} - W_{1}) = W_{1} - W_{2} . \)
Сравнивая полученное выражение с уравнением 1, можно сделать вывод, что
\(~W = -q \cdot E \cdot x, \)
где x - координата заряда на ось 0Х, направленную вдоль силовой линии (см. рис. 1). Так как координата заряда зависит от выбора системы отсчета, то и потенциальная энергия заряда так же зависит от выбора системы отсчета.
Если W 2 = 0, то в каждой точке электростатического поля потенциальная энергия заряда q 0 равна работе, которая была бы совершена при перемещении заряда q 0 из данной точки в точку с нулевой энергией.
Пусть электростатическое поле создано в некоторой области пространства положительным зарядом q . Будем помещать в некоторую точку этого поля различные пробные заряды q 0 . Потенциальная энергия их различна, но отношение \(~\dfrac{W}{q_0} = \operatorname{const}\) для данной точки поля и служит характеристикой поля, называемой потенциалом поля φ в данной точке.
- Потенциал электростатического поля φ в данной точке пространства - скалярная физическая величина, равная отношению потенциальной энергии W , которой обладает точечный заряд q в данной точке пространства, к величине этого заряда:
Единицей потенциала в СИ является вольт (В): 1 В = 1 Дж/Кл.
- Потенциал - это энергетическая характеристика поля.
Свойства потенциала.
- Потенциал, как и потенциальная энергия заряда, зависит от выбора системы отсчета (нулевого уровня). В технике за нулевой потенциал выбирают потенциал поверхности Земли или проводника, соединенного с землей. Такой проводник называют заземленным . В физике за начало отсчета (нулевой уровень) потенциала (и потенциальной энергии) принимается любая точка, бесконечно удаленная от зарядов, создающих поле.
- На расстоянии r от точечного заряда q , создающего поле, потенциал определяется формулой
- Потенциал в любой точке поля, создаваемого положительным зарядом q , положителен , а поля, создаваемого отрицательным зарядом, отрицателен: если q > 0, то φ > 0; если q < 0, то φ < 0.
- Потенциал поля, образованного равномерно заряженной проводящей сферой радиусом R , в точке, находящейся на расстоянии r от центра сферы \(~\varphi = k \cdot \dfrac{q}{R}\) при r ≤ R и \(~\varphi = k \cdot \dfrac{q}{r}\) при r > R .
- Принцип суперпозиции : потенциал φ поля, созданного системой зарядов, в некоторой точке пространства равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых в этой точке каждым зарядом в отдельности:
Зная потенциал φ поля в данной точке, можно рассчитать потенциальную энергию заряда q 0 помещенного в эту точку: W 1 = q 0 ⋅φ. Если положить, что вторая точка находится в бесконечности, т.е. W 2 = 0, то
\(~A_{1\infty} = W_{1} = q_0 \cdot \varphi_1 .\)
Потенциальная энергия заряда q 0 в данной точке поля будет равна работе сил электростатического поля по перемещению заряда q 0 из данной точки в бесконечность. Из последней формулы имеем
\(~\varphi_1 = \dfrac{A_{1\infty}}{q_0}.\)
- Физический смысл потенциала : потенциал поля в данной точке численно равен работе по перемещению единичного положительного заряда из данной точки в бесконечность.
Потенциальная энергия заряда q 0 помещенного в электростатическое поле точечного заряда q на расстоянии r от него,
\(~W = k \cdot \dfrac{q \cdot q_0}{r}.\)
- Если q и q 0 - одноименные заряды, то W > 0, если q и q 0 - разные по знаку заряды, то W < 0.
- Отметим, что по этой формуле можно рассчитать потенциальную энергию взаимодействия двух точечных зарядов, если за нулевое значение W выбрано ее значение при r = ∞.
Разность потенциалов. Напряжение
Работа сил электростатического поля по перемещению заряда q 0 из точки 1 в точку 2 поля
\(~A_{12} = W_{1} - W_{2} .\)
Выразим потенциальную энергию через потенциалы поля в соответствующих точках:
\(~W_{1} = q_0 \cdot \varphi_1 , W_{2} = q_0 \cdot \varphi_2 .\)
\(~A_{12} = q_0 \cdot (\varphi_1 - \varphi_2) .\)
Таким образом, работа определяется произведением заряда на разность потенциалов начальной и конечной точек.
Из этой формулы разность потенциалов
\(~\varphi_1 - \varphi_2 = \dfrac{A_{12}}{q_0} .\)
- Разность потенциалов - это скалярная физическая величина, численно равная отношению работы сил поля по перемещению заряда между данными точками поля к этому заряду.
В СИ единицей разности потенциалов является вольт (В).
- 1 В - разность потенциалов между двумя такими точками электростатического поля, при перемещении между которыми заряда в 1 Кл силами поля совершается работа в 1 Дж.
Разность потенциалов в отличие от потенциала не зависит от выбора нулевой точки. Разность потенциалов φ 1 - φ 2 часто называют электрическим напряжением между данными точками поля и обозначают U :
\(~U = \varphi_1 - \varphi_2 .\)
- Напряжение между двумя точками поля определяется работой сил этого поля по перемещению заряда в 1 Кл из одной точки в другую.
Работу сил электрического поля иногда выражают не в джоулях, а в электронвольтах .
- 1 эВ равен работе, совершаемой силами поля при перемещении электрона (е = 1,6·10 -19 Кл) между двумя точками, напряжение между которыми равно 1 В.
Разность потенциалов и напряженность
Рассчитаем работу, совершаемую силами электростатического поля при перемещении электрического заряда q 0 из точки с потенциалом φ 1 в точку с потенциалом φ 2 однородного электрического поля.
С одной стороны работа сил поля \(~A = q_0 \cdot (\varphi_1 - \varphi_2)\).
С другой стороны работа по перемещению заряда q 0 в однородном электростатическом поле \(~A = q_0 \cdot E \cdot \Delta x\).
Приравнивая два выражения для работы, получим:
\(~q_0 \cdot (\varphi_1 - \varphi_2) = q_0 \cdot E \cdot \Delta x, \;\; E = \dfrac{\varphi_1 - \varphi_2}{\Delta x},\)
где Δx - проекция перемещения на силовую линию.
Эта формула выражает связь между напряженностью и разностью потенциалов однородного электростатического поля. На основании этой формулы можно установить единицу напряженности в СИ: вольт на метр (В/м).
Литература
- Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. - Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. - C. 228-233.
- Жилко, В. В. Физика: учеб. пособие для 11-го кл. общеобразоват. учреждений с рус. яз. обучения с 12-летним сроком обучения (базовый и повышенный уровни) /В. В. Жилко, Л. Г. Маркович. - 2-е изд., исправленное. - Минск: Нар. асвета, 2008. - С. 86-95.
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЗАРЯД. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ.
Электрический заряд q - физическая величина, определяющая интенсивность электромагнитного взаимодействия.
[q] = l Кл (Кулон).
Атомы состоят из ядер и электронов. В состав ядра входят положительно заряженные протоны и не имеющие заряда нейтроны. Электроны несут отрицательный заряд. Количество электронов в атоме равно числу протонов в ядре, поэтому в целом атом нейтрален.
Заряд любого тела: q = ±Ne , где е = 1,6*10 -19 Кл - элементарный или минимально возможный заряд (заряд электрона), N - число избыточных или недостающих электронов. В замкнутой системе алгебраическая сумма зарядов остается постоянной:
q 1 + q 2 + … + q n = const.
Точечный электрический заряд - заряженное тело, размеры которого во много раз меньше расстояния до другого наэлектризованного тела, взаимодействующего с ним.
Закон Кулона
Два неподвижных точечных электрических заряда в вакууме взаимодействуют с силами, направленными по прямой, соединяющей эти заряды; модули этих сил прямо пропорциональны произведению зарядов и обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними:
Коэффициент пропорциональности
где - электрическая постоянная.
где 12 - сила, действующая со стороны второго заряда на первый, а 21 - со стороны первого на второй.
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ. НАПРЯЖЕННОСТЬ
Факт взаимодействия электрических зарядов на расстоянии можно объяснить наличием вокруг них электрического поля - материального объекта, непрерывного в пространстве и способного действовать на другие заряды.
Поле неподвижных электрических зарядов называют электростатическим.
Характеристикой поля является его напряженность.
Напряженность электрического поля в данной точке - это вектор, модуль которого равен отношению силы, действующей на точечный положительный заряд, к величине этого заряда, а направление совпадает с направлением силы.
Напряженность поля точечного заряда Q на расстоянии r от него равна
Принцип суперпозиции полей
Напряженность поля системы зарядов равна векторной сумме напряженностей полей каждого из зарядов системы:
Диэлектрическая проницаемость среды равна отношению напряженностей поля в вакууме и в веществе:
Она показывает во сколько раз вещество ослабляет поле. Закон Кулона для двух точечных зарядов q и Q , расположенных на расстоянии r в среде c диэлектрической проницаемостью:
Напряженность поля на расстоянии r от заряда Q равна
ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ЗАРЯЖЕННОГО ТЕЛА В ОДНОРОДНОМ ЭЛЕКТРО-СТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ
Между двумя большими пластинами, заряженными противоположными знаками и расположенными параллельно, поместим точечный заряд q .
Так как электрическое поле между пластинами с напряженностью однородное, то на заряд во всех точках действует сила F = qE , которая при перемещении заряда на расстояние вдоль совершает работу
Эта работа не зависит от формы траектории, то есть при перемещении заряда q вдоль произвольной линии L работа будет такой же.
Работа электростатического поля по перемещению заряда не зависит от формы траектории, а определяется исключительно начальным и конечным состояниями системы. Она, как и в случае с полем сил тяжести, равна изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком:
Из сравнения с предыдущей формулой видно, что потенциальная энергия заряда в однородном электростатическом поле равна:
Потенциальная энергия зависит от выбора нулевого уровня и поэтому сама по себе не имеет глубокого смысла.
ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ И НАПРЯЖЕНИЕ
Потенциальным называется поле, работа которого при переходе из одной точки поля в другую не зависит от формы траектории. Потенциальными являются поле силы тяжести и электростатическое поле.
Работа, совершаемая потенциальным полем, равна изменению потенциальной энергии системы, взятой с противоположным знаком:
Потенциал - отношение потенциальной энергии заряда в поле к величине этого заряда:
Потенциал однородного поля равен
где d - расстояние, отсчитываемое от некоторого нулевого уровня.
Потенциальная энергия взаимодействия заряда q с полем равна .
Поэтому работа поля по перемещению заряда из точки с потенциалом φ 1 в точку с потенциалом φ 2 составляет:
Величина называется разностью потенциалов или напряжением.
Напряжение или разность потенциалов между двумя точками - это отношение работы электрического поля по перемещению заряда из начальной точки в конечную к величине этого заряда:
[U]=1Дж/Кл=1В
НАПРЯЖЕННОСТЬ ПОЛЯ И РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ
При перемещении заряда q вдоль силовой линии электрического поля напряженностью на расстояние Δ d поле совершает работу
Так как по определению, то получаем:
Отсюда и напряженность электрического поля равна
Итак, напряженность электрического поля равна изменению потенциала при перемещении вдоль силовой линии на единицу длины.
Если положительный заряд перемещается в направлении силовой линии, то направление действия силы совпадает с направлением перемещения, и работа поля положительна:
Тогда , то есть напряженность направлена в сторону убывания потенциала.
Напряженность измеряют в вольтах на метр:
[E]=1 B/м
Напряженность поля равна 1 В/м, если напряжение между двумя точками силовой линии, расположенными на расстоянии 1 м, равна 1 В.
ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЕМКОСТЬ
Если независимым образом измерять заряд Q , сообщаемый телу, и его потенциал φ, то можно обнаружить, что они прямо пропорциональны друг другу:
Величина С характеризует способность проводника накапливать электрический заряд и называется электрической емкостью. Электроемкость проводника зависит от его размеров, формы, а также электрических свойств среды.
Электроёмкостъ двух проводников - отношение заряда одного из них к разности потенциалов между ними:
Емкость тела равно 1 Ф , если при сообщении ему заряда 1 Кл оно приобретает потенциал 1 В.
КОНДЕНСАТОРЫ
Конденсатор - два проводника, разделенные диэлектриком, служащие для накопления электрического заряда. Под зарядом конденсатора понимают модуль заряда одной из его пластин или обкладок.
Способность конденсатора накапливать заряд характеризуется электроемкостью, которая равна отношению заряда конденсатора к напряжению:
Емкость конденсатора равна 1 Ф, если при напряжении 1 В его заряд равен 1 Кл.
Емкость плоского конденсатора прямо пропорциональна площади пластин S , диэлектрической проницаемости среды, и обратно пропорциональна расстоянию между пластинами d :
ЭНЕРГИЯ ЗАРЯЖЕННОГО КОНДЕНСАТОРА.
Точные эксперименты показывают, что W=CU 2 /2
Так как q = CU , то
Плотность энергии электрического поля
где V = Sd - объем, занимаемый полем внутри конденсатора. Учитывая, что емкость плоского конденсатора
а напряжение на его обкладках U=Ed
получаем:
Пример. Электрон, двигаясь в электрическом поле из точки 1 через точку 2, увеличил свою скорость от 1000 до 3000 км/с. Определите разность потенциалов между точками 1 и 2.
Если в электростатическом поле точечного заряда q из точки 1 в точку 2 вдоль произвольной траектории перемещается другой точечный заряд q 0 , то сила, приложенная к заряду, совершает работу. Работа силы на элементарном перемещении dl равна
Работа при перемещении заряда q 0 из точки 1 в точку 2
Работа A 12 не зависит от траектории перемещения, а определяется только положениями начальной и конечной точек . Следовательно, электростатическое поле точечного заряда является потенциальным , а электростатические силы - консервативными .
Таким образом, работа перемещения заряда в электростатическом поле по любому замкнутому контуру L равна нулю
Интеграл называется циркуляцией вектора напряженности. Из обращения ее в нуль следует, что линии напряженности электростатического поля никогда не могут быть замкнуты сами на себя.
Они начинаются и кончаются на зарядах, либо уходят в бесконечность. Это свидетельствует о наличии в природе двух родов электрических зарядов. Формула 
справедлива только для электростатического поля.
При перемещении зарядов изменяется их взаимное расположение, поэтому работа, совершаемая электрическими силами, в этом случае равна изменению потенциальной энергии перемещаемого заряда:
Потенциальная энергия заряда q 0 , находящегося в поле заряда q на расстоянии r от него равна
Считая, что при удалении заряда на бесконечность, потенциальная энергия обращается в нуль, получаем: const = 0.
Для одноименных зарядов потенциальная энергия их взаимодействия (отталкивания) положительна , для разноименных зарядов потенциальная энергия из взаимодействия (притяжения) отрицательна .
В любой точке поля потенциальная энергия W заряда численно равна работе, которую необходимо совершить для перемещения заряда из бесконечности в эту точку.
Отношение зависит только от q
и r
. Эту величину называют потенциалом: 
Единица электрического потенциала – вольт (В).
Она характеризует потенциальную энергию, которой обладал бы положительный единичный заряд, помещенный в данную точку поля.Для поля точечного заряда: 
. Потенциал данной точки поля равен работе перемещения единичного положительного заряда из данной точки в бесконечность.
Потенциал поля, создаваемого системой точечных зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов всех этих зарядов
: 
.
Работа сил поля при перемещении заряда q’ из точки 1 в точку 2 может быть записана в виде:
Величину 
называют разностью потенциалов (напряжением) электрического поля.
