Цель проекта: изучить одну из кривых второго порядка (параболу) и сферы её применения. Задачи проекта: 1. Дать строгое математическое определение параболы. 2. Изучить свойства параболы. 3. Выяснить, почему параболу называют коническим сечением. 4. Выявить области применения параболы.
Парабола (греч. παραβολή приложение) кривая, точки которой одинаково удалены от некоторой точки, называемой фокусом, и от некоторой прямой, называемой директрисой параболы. Наряду с эллипсом и гиперболой, парабола является коническим сечением. Изображение конического сечения, являющегося параболой. Построение параболы как конического сечения.
Построение параболы Первый способ. Параболу можно построить « по точкам » с помощью циркуля и линейки, не зная уравнения и имея в наличии только фокус и директрису. Вершина является серединой отрезка между фокусом и директрисой. На директрисе задаётся произвольная система отсчёта с нужным единичным отрезком. Каждая последующая точка является пересечением серединного перпендикуляра отрезка между фокусом и точкой директрисы, находящейся на кратном единичному отрезку расстоянии от начала отсчёта, и прямой, проходящей через эту точку и параллельной оси параболы
Построение параболы Второй способ. Для того чтобы нарисовать параболу, потребуются линейка, угольник, нить длиной, равной большему катету угольника, и кнопки. Прикрепим один конец нити к фокусу, а другой - к вершине меньшего угла угольника. Приложим линейку к директрисе и поставим на нее угольник меньшим катетом. Карандашом натянем нить так, чтобы его острие касалось бумаги и прижималось к большему катету. Будем перемещать угольник и прижимать к его катету карандаш так, чтобы нить оставалась натянутой. При этом карандаш будет вычерчивать на бумаге параболу.
Свойства параболы 1. Парабола кривая второго порядка. 2. Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и вершину перпендикулярно директрисе. 3. Оптическое свойство. Пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. И наоборот, свет от источника, находящегося в фокусе, отражается параболой в пучок параллельных её оси лучей. 4. Для параболы фокус находится в точке (0; 0.25). Для параболы фокус находится в точке (0; f). 5. Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб. 6. При вращении параболы вокруг оси симметрии получается эллиптический параболоид.
Свойства параболы Расстояние от Pn до фокуса F такое же, как и от Pn до Qn. Иллюстрация к доказательству теоремы Паскаля через теорему о 9 точках. Длина линий F-Pn-Qn одинакова. Можно сказать, что, в отличие от эллипса, второй фокус у параболы в бесконечности (см. также Шары Данделена).
Использование параболоидов в технике Параболоид вращения фокусирует пучок лучей, параллельный главной оси, в одну точку. Часто используется свойство параболоида вращения собирать пучок лучей, параллельный главной оси, в одну точку фокус, или, наоборот, формировать параллельный пучок излучения от находящегося в фокусе источника. На этом принципе основаны параболические антенны, телескопы - рефлекторы, прожекторы, автомобильные фары. Антенна радиотелескопа.
Солнечная зажигалка Оригинальный способ использования энергии Солнца. Солнечная зажигалка представляет собой параболическое зеркало из нержавеющей стали, почти такое же, как то, которое используется для зажигания Олимпийского огня в Афинах. Параболическое зеркало дает возможность собрать всю энергию в одной фокусной точке и зажечь огонь. Температура в этой точке может достигать 537- ми градусов по Цельсию. Такое устройство будет незаменимо в походе и в других полевых условиях.
Параболы в физическом пространстве Траектории некоторых космических тел (комет, астероидов и других), проходящих вблизи звезды или другого массивного объекта (звезды, чёрной дыры или просто планеты) на достаточно большой скорости имеют форму параболы (или гиперболы). Эти тела вследствие своей большой скорости и малой массы не захватываются гравитационным полем звезды и продолжают свободный полёт. Это явление используется для гравитационных манёвров космических кораблей.
Применение параболы в баллистике Баллистика (от греч. βάλλειν бросать) наука о движении тел, брошенных в пространстве, основанная на математике и физике. Она занимается, главным образом, исследованием движения снарядов, выпущенных из огнестрельного оружия, ракетных снарядов и баллистических ракет. Различают внутреннюю баллистику, занимающуюся исследованием движения снаряда в канале орудия, в противоположность внешней баллистике, исследующей движение снаряда по выходу из орудия. Под внешней баллистикой понимают, как правило, науку о движении тел в воздушном и безвоздушном пространстве под действием только внешних сил.
Висячий мост Структура конструкции. Основные напряжения в висячем мосте это напряжения растяжения в основных тросах и напряжения сжатия в опорах, напряжения в самом пролёте малы. Почти все силы в опорах направлены вертикально вниз и стабилизируются за счёт тросов, поэтому опоры могут быть очень тонкими. Сравнительно простое распределение нагрузок по разным элементам конструкции упрощает расчёт висячих мостов. Под действием собственного веса и веса мостового пролёта тросы провисают и образуют дугу, близкую к параболе. Ненагруженный трос, подвешенный между двумя опорами, принимает форму т. н. « цепной линии », которая близка к параболе в почти горизонтальном участке. Если весом тросов можно пренебречь, а вес пролёта равномерно распределён по длине моста, тросы принимают форму параболы. Если вес троса сравним с весом дорожного полотна, то его форма будет промежуточной между цепной линией и параболой.
Итоги В ходе работы над данным проектом: 1. Сформулировано строгое математическое определение параболы. 2. Рассмотрен способ построения параболы. 3. Изучены некоторые свойства параболы. 4. Выявлена связь между понятиями « парабола » и « конические сечения ». 5. Определены сферы применения параболы (физика, техника, баллистика, астрономия, архитектура, мостостроение). 6. Подтверждена значимость математики в окружающем мире.
Интернет - ресурсы Парабола Коническое сечение Антенна Рефлектор _(телескоп) Прожектор Фокус _(физика) Висячий мост Эллиптический параболоид
ПАРАБОЛА.
РОДСТВЕННИКИ ПАРАБОЛЫ -
БЛИЖНИЕ И ДАЛЬНИЕ
Сильченко Ольга, Изотова Анна
ученицы 9 класса МБОУ Страшевичская СОШ
учитель: Самолысова Татьяна Васильевна
Цель проекта:
изучить одну из кривых второго порядка (параболу) и сферы её применения.
Задачи проекта:
1.Дать математическое определение параболы.
2. Изучить свойства параболы.
3. Выяснить, почему параболу называют коническим сечением.
4.Найти сведения о «родственниках» параболы
5. Выявить области применения параболы
Всем нам хорошо знаком квадратный трехчлен, про который казалось бы, мы все знаем: и как корни находить, и как график строить, и как неравенства квадратичные решать... Но это поспешное суждение - у нашего старого знакомого есть немало секретов и сюрпризов!
Пара́бола (греч. παραβολή - приложение) -кривая, точки которой одинаково удалены от некоторой точки, называемой фокусом, и от некоторой прямой, называемой директрисой параболы.
Парабола - это сечение конуса плоскостью, параллельной его образующей.
Еще один способ построения
Оказывается, что парабола – график квадратичной функции – обладает интересным свойством: есть такая точка и такая прямая, что каждая точка параболы одинаково удалена от этой точки и от этой прямой (точку называют фокусом параболы, а прямую – директрисой). Это свойство параболы было известно еще математикам античной Греции. Для графика функции у = х 2 фокусом служит точка с координатами (0;0,25), а директрисой – прямая у = -0,25.
Попробуйте придумать, как можно строить параболу, используя это свойство.
Свойства параболы
1. Парабола - кривая второго порядка.
2. Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и вершину перпендикулярно директрисе.
3.Оптическое свойство. Пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. И наоборот, свет от источника, находящегося в фокусе, отражается параболой в пучок параллельных её оси лучей.
4. Для параболы фокус находится в точке (0; 0.25).
Для параболы фокус находится в точке (0; f).
5.Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.
Самые близкие родственники параболы – это окружность , гипербола и эллипс.
А роднит все эти кривые обыкновенный конус:
провести плоскость, которая параллельна оси конуса,
то линией пересечения окажется гипербола
- если плоскость перпендикулярна оси, то пересечение – окружность ,
- если плоскость расположить между последними двумя,
то в пересечении получится эллипс.
если плоскость параллельна образующей конуса, то в пересечении получится парабола ,
Поэтому все эти кривые вместе называют коническими сечениями.
Уже в 340 году до нашей эры греческий математик Менехм знал о таком свойстве этих кривых, а во втором веке до нашей эры Аполлоний из Перги написал подобный трактат «Конические сечения».
Циклоида.
Еще одна знаменитая родственница параболы - циклоида. Это траектория точки обода колеса, которое катится без скольжения по прямой. Такое название дал кривой Галилей. Если спускаться на санках с горки построенной в виде циклоиды, то время спуска не зависит от того, с какого места начали катиться санки. Но зато спуск с той же высоты по горке любой другой формы займет больше времени. Из-за этого свойства циклоиду еще называют «брахистохроной» (от греческих слов, означающих «кратчайший» и «время»).
Параболоид вращения.
Если вращать параболу вокруг ее оси вращения то получится поверхность, которую называют параболоидом вращения.
Если сильно размешать ложечкой воду в стакане, а потом вынуть ложечку, то поверхность воды примет форму такого параболоида.
Использование параболоидов в технике
Параболоид вращения фокусирует пучок лучей, параллельный главной оси, в одну точку.
Часто используется свойство параболоида вращения собирать пучок лучей, параллельный главной оси, в одну точку - фокус, или, наоборот, формировать параллельный пучок излучения от находящегося в фокусе источника.
На этом принципе основаны параболические антенны, телескопы-рефлекторы, прожекторы, автомобильные фары.
Использование параболоидов в технике
Телескопы-рефлекторы
Прожектор
Автомобильные фары
Солнечная зажигалка
Оригинальный способ использования энергии Солнца. Солнечная зажигалка представляет собой параболическое зеркало из нержавеющей стали, почти такое же, как то, которое используется для зажигания Олимпийского огня в Афинах.
Параболическое зеркало дает возможность собрать всю энергию в одной фокусной точке и зажечь огонь. Температура в этой точке может достигать 537-ми градусов по Цельсию. Такое устройство будет незаменимо в походе и в других полевых условиях.
Параболы в физическом пространстве
Параболическая орбита и движение спутника по ней
Падение баскетбольного мяча
Параболическая солнечная электростанция в Калифорнии, США.
Парабола в природе
Парабола. Её форма невероятна, как, впрочем, и высота. Некоторые люди
до сих пор не верят в существование этой странной скалы. Так и говорят:
“ Нет ни бога, ни Параболы. А то, что показывают – это фотошоп.”
Парабола в живой природе
Несомненно заблуждается тот, кто считает, что параболу можно встретить только на страницах учебника. Внимательно посмотрите на рисунки и найдите в них параболы.
Сами выполните несколько рисунков листьев, цветов,животных и найдите в них параболы.
Параболы в животном мире
Траектории прыжков животных близки к параболе
Итоги
В ходе работы над данным проектом :
1. Сформулировано строгое математическое определение параболы.
2. Рассмотрен способ построения параболы.
3. Изучены некоторые свойства параболы.
4. Выявлена связь между понятиями «парабола» и «конические сечения», найдены родственники параболы.
5. Определены сферы применения параболы(физика, техника, астрономия, архитектура и др.).
6. Подтверждена значимость математики в окружающем мире.
Список использованных источников:
1. Энциклопедический словарь юного математика. Составитель А.П.Савин, М, Педагогика, 1982 год.
2. Энциклопедия для детей, том 11, "Математика", М, "Аванта+", 1998 год.
3. Математический клуб "Кенгуру", "Вокруг квадратного трехчлена" СПб, 2002 год.
4. Сайт http://www/uvlekat - matem.narod.ru/
5.Сайт www.bigpi.biysk.ru
6.Сайт ru.wikipedia.org › Коническое сечение
Презентация на тему: Парабола и ее свойства Выполнил: Ученик 10 б класса Гречкин Ярослав Учитель Шамсутдинова Р.Р. Школа
Парабола. Фокус. Директриса Парабола - геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых расстояние до фиксированной точки этой плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой, лежащей в той же плоскости и называемой директрисой параболы. Парабола – кривая второго порядка. Фокус – произвольная точка параболы. Директриса – прямая, лежащая в плоскости параболы и обладающая тем свойством, что отношение расстояния от любой точки кривой до фокуса кривой к расстоянию от той же точки до этой прямой есть величина постоянная, равная эксцентриситету. Эксцентриситет – числовая характеристика конического сечения.
Историческая справка Открывателем конических сечений предположительно считается Менехм (4 в. до н.э.), ученик Платона и учитель Александра Македонского. Менехм использовал параболу и равнобочную гиперболу для решения задачи об удвоении куба. Трактаты о конических сечениях, написанные Аристеем и Евклидом в конце 4 в. до н.э., были утеряны, но материалы из них вошли в знаменитые Конические сечения Аполлония Пергского (ок. 260–170 до н.э.), которые сохранились до нашего времени. Аполлоний отказался от требования перпендикулярности секущей плоскости образующей конуса и, варьируя угол ее наклона, получил все конические сечения из одного кругового конуса, прямого или наклонного. Аполлонию мы обязаны и современными названиями кривых – эллипс, парабола и гипербола. В своих построениях Аполлоний использовал двухполостной круговой конус. Со времен Аполлония конические сечения делятся на три типа в зависимости от наклона секущей плоскости к образующей конуса. Парабола образуется, когда секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса. Фокусы эллипса и гиперболы были известны еще Аполлонию, но фокус параболы, по-видимому, впервые установил Папп (2-я пол. 3 в.), определивший эту кривую как геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки (фокуса) и заданной прямой, которая называется директрисой. Построение параболы с помощью натянутой нити, основанное на определении Паппа, было предложено Исидором Милетским (6 в.).
Вывод уравнения параболы Чтобы получить уравнение кривой, соответствующей этому определению, введем подходящую систему координат. Для этого из фокуса F опустим перпендикуляр FD на директрису l. Начало координат O расположим на середине отрезка FD, ось направим вдоль отрезка FD так, чтобы ее направление совпадало с направлением вектора. Ось проведем перпендикулярно оси. Пусть расстояние между фокусом и директрисой параболы равно p. Тогда в выбранной системе координат парабола имеет уравнение
Вывод уравнения параболы В выбранной системе координат фокусом параболы служит точка, а директриса имеет уравнение. Пусть текущая точка параболы. Тогда по формуле для плоского случая находим Расстоянием от точки M до директрисы l служит длина перпендикуляра MK, опущенного на директрису из точки M. Из рисунка очевидно, что Тогда по определению параболы MK=FM,то есть: Каноническое уравнение параболы
Свойства параболы Парабола имеет ось симметрии. Доказательство: Переменная y входит в уравнение только во второй степени. Поэтому, если координаты точки M (x ; y) удовлетворяют уравнению параболы, то и координаты точки N (x ; – y) будут ему удовлетворять. Точка N симметрична точке M относительно оси Ox. Следовательно, ось Ox является осью симметрии параболы в канонической системе координат. Ось симметрии называется осью параболы. Точка пересечения параболы с осью называется вершиной параболы. Вершина параболы в канонической системе координат находится в начале координат.
Свойства параболы Пусть F фокус параболы, M произвольная точка параболы, l луч с началом в точке параллельный оси параболы. Тогда нормаль к параболе в точке M делит угол, образованный отрезком FM и лучом l, пополам. Это свойство означает, что луч света, вышедший из фокуса, отразившись от параболы, дальше пойдет параллельно оси этой параболы. И наоборот, все лучи, приходящие из бесконечности и параллельные оси параболы, сойдутся в ее фокусе. Это свойство широко используется в технике. В прожекторах обычно ставят зеркало, поверхность которого получается при вращении параболы вокруг ее оси симметрии (параболическое зеркало). Источник света в прожекторах помещают в фокусе параболы. В результате прожектор дает пучок почти параллельных лучей света. Это же свойство используется и в приемных антеннах космической связи и в зеркалах телескопов, которые собирают поток параллельных лучей радиоволн или поток параллельных лучей света и концентрируют его в фокусе зеркала.
Построение параболы Для того чтобы нарисовать параболу, потребуется линейка, угольник, нить длиной, равной большему катету угольника, и кнопки. Прикрепим один конец нити к фокусу, а другой - к вершине меньшего угла угольника. Приложим линейку к директрисе и поставим на нее угольник меньшим катетом. Карандашом натянем нить так, чтобы его острие касалось бумаги и прижималось к большему катету. Будем перемещать угольник и прижимать к его катету карандаш так, чтобы нить оставалась натянутой. При этом карандаш будет вычерчивать на бумаге параболу.
Построение параболы Если изготовить зеркальную поверхность в форме параболоида и поместить в ее фокус источник света, то лучи света, отразившись от зеркальной поверхности, пойдут в одном направлении, перпендикулярном директрисе параболы. Поэтому отражающие поверхности прожекторов, автомобильных фар, карманных фонариков, телескопов, параболических антенн и т.д. изготавливают в форме параболоида.
«Показательная и логарифмическая функции» - Процессы, которые подчиняются законам выравнивания. Логарифмическая спираль. Применения показательной функции. Схематические графики функции у = logax. Дробные показатели степени. Ножи в механизме. Свойства функции у = logax. Свойства функции у = logax при a > 1. Спирали. Логарифмическая функция, ее свойства и график.
««Степенные функции» 11 класс» - Степенная функция. Функция у=х-2. Гипербола. Функция у = х2n-1. Кубическая функция. У = х. Функция у=х-3. Функция у=х0. Степенные функции с натуральным показателем. Функция у=х4. Графиком является парабола. Функция у = х2n.
«Обратная функция» - Обратная функция к v(t). Задача. у = f (x), x - ! Обратная. Построить функцию, обратную к данной. Найти значение х при заданном значении у. Поменяем местами х и у: у = g(x). Функцию у = g(x) называют обратной к функции у = f(x). Обратимая функция. Пусть у = f(x) – обратимая функция. Найти значение у при заданном значении х.
«Урок Линейная функция» - 20 минут. Длина растущих волос. Сон ребенка. Плата за стационарный телефон. Плата за такси. Когда графики линейных функций параллельны или пересекаются? Домашнее задание. Шкалирование. Как построить график линейной функции? Где 265 – базовая единица + 3 рубля за минуту. G – возраст ребенка. Обсуждаемые вопросы.
«Взаимно обратные функции» - Свойства взаимно обратных функций. Графики взаимно обратных функций. Всегда ли определена обратная функция. Обратная функция не всегда определена. Признак обратимости функции. Поведение взаимно обратных функций. Связь графиков прямой и обратной функции. Информационные ресурсы. Определение взаимно обратных функций.
