В тази статия разглеждаме начини да определим разстоянието от точката на теоретично и при примера на конкретни задачи. И за начало въведем някои дефиниции.
Определение 1.
Разстояние между точки - Това е дължината на сегмента, свързваща ги в съществуващия мащаб. Задайте скалата е необходима, за да имате единица за измерване. Следователно, най-вече задачата за намиране на разстоянието между точките се решава, като се използват техните координати на координатата директно, в координатът или триизмерното пространство.
Първоначални данни: Координиране Direct o X и произволната точка на А. Всяка точка е пряко присъща на един действителен брой: нека бъде за точка и ще бъде вид номер x a,това е координатна точка А.
Като цяло можем да кажем, че оценката на продължителността на даден сегмент възниква в сравнение с сегмента, приет на единица дължина по определен мащаб.
Ако точката А съответства на целия валиден номер, отлагайки последователно от точката o до точката по права линия и сегменти - единици с дължина, ние можем да определим дължината на сегмента в съответствие с крайния брой отсрочени единични сегменти .
Например, точка А съответства на номер 3 - да влезете в него от точката o, ще е необходимо да се отложат три единични сегмента. Ако точката А има координатна - 4 - единични сегмента се отлагат по подобен начин, но в друга, отрицателна посока. По този начин, в първия случай, разстоянието o, както е 3; Във втория случай, O \u003d 4.
Ако въпросът А има рационален номер като координат, след това от началото на референцията (точка o) отлагаме цяло число на единични сегменти, а след това и необходимата му част. Но геометрично не винаги е възможно да се измери. Например, трудно е да се отложи на координатата директна фракция 4 111.
По-горе начин да отложите директния ирационален номер и изобщо не е невъзможно. Например, когато координата на точката А е равна на 11. В този случай е възможно да се позове на абстракцията: ако определената координатна точка е по-голяма от нула, след това o a \u003d x a (броят им се поема над разстоянието); Ако координатата е по-малка от нула, тогава o a \u003d - x a. Като цяло, тези твърдения са валидни за всеки действителен брой x a.
Обобщаване: разстоянието от началото на позоваването на точката, което съответства на действителния номер на директната координат, е:
- 0, ако точката съвпада с началото на координатите;
- x a if x a\u003e 0;
- - x A, ако x a< 0 .
Очевидно е, че самата дължина не може да бъде отрицателна, така че използването на знака на модула, запишете разстоянието от точка o, за да посочите координата X A.: O a \u003d x a
Това ще бъде верен: разстоянието от една точка към другата ще бъде равна на режима на координатна разлика.Тези. За точки А и Б, разположени на същата координатна директива с някое от тяхното местоположение и съответно координати X A. и x B: a b \u003d x b - x a.
Източници: Точки А и Б, лежащи на равнината в правоъгълна координатна система O X Y с определени координати: a (x A, Y а) и b (x b, y b).
Ние извършваме през точки А и Б перпендикулярно на осите на координатите O X и O Y и получават точка на прожекция: a x, a y, b x, b y. Въз основа на местоположението на точки А и Б, възможни са следните опции:
Ако точки А и В съвпадат, разстоянието между тях е нула;
Ако точките А и Б лъжат по права линия, перпендикулярна ос O х (абсцеса), след това точки и съвпадащи, и | И в \u003d | A y b y | . Тъй като разстоянието между точките е равно на модула на разликата в техните координати, след това a y b y \u003d y b-y a и, следователно, a b \u003d a y b y \u003d y b - y a.
Ако точките А и Б са на права линия, перпендикулярна ос o y (оста на ординатата) - по аналогия с предишния параграф: a b \u003d a x B x \u003d x B - x a
Ако точките А и Б не лежат по права линия, перпендикулярна на една от координатните оси, ще намерим разстоянието между тях, да изтеглим формулата за изчисление:
Виждаме, че триъгълникът А в С е правоъгълен за изграждане. В този случай, c \u003d a x b x и b c \u003d a y b y. Използвайки теоремата на Питагор, ние ще направим равенство: AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 ⇔ AB 2 \u003d A X B X 2 + A Y B Y 2, и след това го трансформираме: ab \u003d a x B x 2 + a y b y 2 \u003d xb - xa2 + YB - YA 2 \u003d (XB - XA) 2 + (YB - YA) 2
Ние формулираме заключение от получения резултат: разстоянието от точка А до точката в равнината се определя от изчислението по формулата, използвайки координатите на тези точки
A b \u003d (x b - x a) 2 + (y b - y а) 2
Получената формула потвърждава и образуваните преди това изявления за случаи на съвпадение на точките или ситуациите, когато точките са на пряко, перпендикулярно на осите. Така че, за случай на съвпадение на точките А и Б, равенството ще бъде вярно: a b \u003d (x B - x A) 2 + (Y B - Y A) 2 \u003d 0 2 + 0 2 \u003d 0
За ситуация, в която точките А и Б лъжат по права линия, перпендикулярна ос на абсциса:
A b \u003d (x b - x а) 2 + (y b - y а) 2 \u003d 0 2 + (y b - y а) 2 \u003d y b - y a
За случая, когато точки А и Б лъжат по права линия, перпендикулярна на ординатата:
A b \u003d (x B - x A) 2 + (y b - y a) 2 \u003d (x B - x A) 2 + 0 2 \u003d x B - x a
Източници: правоъгълна координатна система O X Y Z с произволни точки, разположени върху него с предварително определени координати А (x A, Y a, z а) и b (x b, y b, z b). Необходимо е да се определи разстоянието между тези точки.
Помислете за общия случай, когато точки А и Б не са в равнината, успоредна на една от координатите. Ние извършваме чрез точките А и B самолети, перпендикулярни на координатните оси, и получаваме съответните прожекционни точки: a x, a y, z, b x, b y, b z
Разстоянието между точките А и В е диагонал на приготвения паралелепипед. Според изграждането на измерването на този паралелепипед: a x B x, a y b y и z b z
От хода на геометрията е известно, че квадратният диагонал на паралелепипеда е равен на сумата на квадратите на нейните измервания. Въз основа на това одобрение, ние получаваме равенство: a b 2 \u003d a x B x 2 + a y b y2 + a z b z2
Използвайки предварително получените заключения, запишете следното:
A x B x \u003d x B - x A, a y b y \u003d y b - y a, a z b z \u003d z b - z a
Ние трансформираме израз:
AB 2 \u003d A x B X 2 + A Y B Y2 + A Z B Z2 \u003d X B - X A 2 + Y B - Y A 2 + Z B - Z A 2 \u003d \u003d (x B - x A) 2 + (Y B - Y A) 2 + Z B - Z A2
Финал формула за определяне на разстоянието между точките в пространството Ще изглежда така:
A b \u003d x B - x A 2 + Y B - Y A 2 + (Z B - Z A) 2
Получената формула е валидна и за случаи, когато:
Точките съвпадат;
Лежащи на една координатна ос или директно успоредно една от координатните оси.
Примери за решаване на проблеми при намиране на разстояние между точките
Пример 1.Изходните данни: Дадени са директни директни и точки, които лежат върху него с посочените координати А (1 - 2) и Б (11 + 2). Необходимо е да се намери разстоянието от мястото на започване на точка А и между точки А и б.
Решение
- Разстоянието от позоваването на точката е равно на модула на координата на тази точка, съответно o a \u003d 1 - 2 \u003d 2 - 1
- Разстоянието между точките А и В се определя като модул за координатна разлика от тези точки: a b \u003d 11 + 2 - (1 - 2) \u003d 10 + 2 2
Отговор: o a \u003d 2 - 1, a b \u003d 10 + 2 2
Пример 2.
Източници на източника: настройте се правоъгълна координатна система и две точки, лежащи върху него (1, - 1) и b (λ + 1, 3). λ е някакъв валиден номер. Необходимо е да се намерят всички стойности на този брой, в които разстоянието a b ще бъде равно на 5.
Решение
За да намерите разстоянието между точките А и Б, е необходимо да използвате формулата A B \u003d (x B - x A) 2 + Y B - Y A 2
Заместване на реалните стойности на координатите, получаваме: a b \u003d (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 \u003d λ 2 + 16
И използвайте съществуващото състояние, което е b \u003d 5 и след това ще бъде верен на равенството:
λ 2 + 16 \u003d 5 λ 2 + 16 \u003d 25 λ \u003d ± 3
Отговор: a b \u003d 5, ако λ \u003d ± 3.
Пример 3.
Източници: триизмерно пространство в правоъгълна координатна система O X Y Z и точките А (1, 2, 3) и В-7, 2, 4 са зададени.
Решение
За да разрешите проблема, ние използваме формулата A B \u003d X B - x A 2 + Y B - Y A 2 + (Z B - Z A) 2
Заместване на реалните стойности, получаваме: a b \u003d (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 \u003d 81 \u003d 9
Отговор: | И в \u003d 9.
Ако забележите грешка в текста, моля, изберете го и натиснете Ctrl + Enter
Урок № / 3
Тема: Разстояние между точките на координата
Целта на дейностите на учителя: създаване на условия за овладяване на уменията, за да се намери разстоянието между точките на координата, изчисляване на разликата модула, координатите на средата на сегмента.
Планирани резултати от проучването на теми:
Лични: Показват когнитивен интерес да научите темата.
Предмет: Може да намери разстоянието между точките върху директното директно, изчисляване на разликата модула, координатите на средата на сегмента.
Метапнали резултати от изследването на темата (универсални действия за обучение):
когнитивен: ориентирани към разнообразието от начини за решаване на проблеми; знаете как да обобщавате и систематизирате информация;
регулаторна: да вземат предвид правилото за планиране и контрол на решението на решението;
комуникативен: те се разглеждат с различни мнения и се стремят да координират различни позиции в сътрудничество.
Урок по сценария.
I.
, ARG момент.
Здравейте момчета. Днес ние ги приветстваме!
Седни.
Ние не сме съвсем обикновен урок. Урок обобщаване на знанията. Трябва да покажем какво научихме какво научихме.
Каква тема работим напоследък? (Сравнение, добавянето на рационални числа)
Epigraph урок взех тези думи : Отиваме по пътя за науката днес
Ние вземаме фантазия, която да помогнем
От пътя директно, който не ходи никъде
И най-вероятно да постигнат цели
Трябва ли да се изкачим по стълбите, за да набъбвам!
2. Актуализиране на знанията .
Задача "стълбище".
Работа по опции, проверка и самочувствие
3 Добре направено, ние продължаваме да се движим нагоре.Проверете домашното.
1. Намерете разстоянието между точките на координата Direct: d / s
а) а (-4) и в (-6); б) а (5) и в (-7); в) a (3) и в (-18).
Решение: а) av \u003d | -6 - (- 4) | \u003d | -2 | \u003d 2
б) AV \u003d | -7-5 | \u003d 12
в) AV \u003d | -18-3 | \u003d 21
2. Координатите на точките, отдалечени от точката:
а) a (-8) с 5; б) в (6) на -2.7; в) с (4) на -3.2
Решение: а) -8 + 5 \u003d -3 НО 1 (-3) и -8-5 \u003d -13 НО 2 (-13)
б) 6 + (- 2.7) \u003d 3.3 В 1 (3,3) и 6 - (- 2.7) \u003d 8.7 В 2 (8,7)
в) 4 + (- 3,2) \u003d 0.8 От 1 (0,8) 4-(-3,2) = 7,2 От 2 (7,2)
3) Намерете координата на точка В, средата на сегмента, ако:
а) a (-12) в (1) б) a (-7) и в (9) в) a (16) и в (-8) \\ t
Решение:
12 + 1 \u003d -11 b) -7 + 9 \u003d 2 V) 16 + (- 8) \u003d 8
11: 2=-5,5 2:2=1 8:2 =4
C (-5,5) C (1) C (4)
Имате стандарт за домашна работа на вашите маси. Проверете и поставете оценка в листа за самочувствие.
4 . Блиц - проучване :
1. Какво е координатът директно?
2. Какви правила сравнява рационалните числа знаете?
3. Какъв е номерът на модула?
4. Как да сгънете две числа със същите признаци?
5. Как да сгънете две числа с различни признаци?
6. Как да се определи разстоянието между точките на координата?
Е, сега ще покажем как можем да приложим нашите знания на практика.
5. Справедливи грешки
12+4 =-16 -12+(-18) =6 9-14=5
16 +(-10)=6 30 +(-10) =-20 5 –(-3)=2
6 –(-5) =11 -20 -14 =-34 -2 +7=9
11-28 =-39 -34 -5 =-29 9 -13=22
Извършете самостоятелно тест.
12+4 =--8 -12+(-18) =30 9-14= -5
16 +(-10)=-26 30 +(-10) =20 5 –(-3)=8
26 –(-5) =-21 -20 -14 =-34 -2 +7=5
11-28 =--17 -34 -5 =-41 9 -13=-4
6. Определя разстоянието между точките: и намерете средата на сегмента (по опции)
(обмен на тетрадки и взаимен тест.)
7. Е, сега ще си починем. Нашите трябва да се отпуснат
8. Оценка на цялата работа (в преносим компютър).
1wariant 2 вариант
1,5-4,6 0,8 -1,2
-2,8 +3,8 4-9,4
0,45 -1 -4,3 +(-1,2) (Слайд 9)
Предназначение: Проверете способността да приложите законите на допълнение към конвертиране на изрази; развиват когнитивен интерес, независимост; Да култивира постоянство и постоянство за постигане на целта.
Намерете стойността на експресията и според резултата, получен в съответствие с таблицата, оцветете GNOME. (карта с GNOME остава със студенти като талисман)
Добре направени момчета!
Вие се справихте с комплекта
И проблясваше със знания.
И магическият ключ към преподаването
Вашето упоритост и търпение!
Разстояние между точките на координата на Директен 6-ти клас.
Формула за намиране на разстоянието между точките на координата
Алгоритъм за намиране на координатите на точката - средата на сегмента
Благодарение на колегите в интернет, чийто материал, използван в тази презентация!
Изтегли:
Визуализация:
За да се насладите на преглед на презентации, създайте себе си профил (акаунт) Google и влезте в него: https://accounts.google.com
Подписи за слайдове:
Разстояние между точките на координата Direct X 0 1 A в AB \u003d ρ (A, B)
Разстоянието между точките за директна цел на координата на урока: - Намерете метода (формула, правило), за да намерите разстоянието между точките на координата. - Научете как да намерите разстоянието между точките на координата, като използвате установеното правило.
1. Устна сметка 15 -22 +8 -31 +43 -27 -14
2. Орално решават задачата, използваща координатът директно: колко цели числа са сключени между числа: а) - 8.9 и 2 б) - 10.4 и - 3.7 V) - 1,2 и 4.6? а) 10 б) 8 в) 6
0 1 2 7 N високо през числа -1 -5 за магистрални номера Разстояние от къща до стадион 6 разстояние от къща до училище 6 координатна директна директна \\ t
0 1 2 7 -1 -5 -5 разстояние от стадиона до дома 6 разстояние от училище до дома 6 намиране на разстояние между точките за координатна директна ρ (-5; 1) \u003d 6 ρ (7; 1) \u003d 6 разстоянието между точките ще бъдат обозначени с буквата ρ (RO)
0 1 2 7 -1 -5 -5 разстояние от стадиона до дома си 6 разстояние от училище до Начало 6 Намиране на разстояние между точките на координата Direct ρ (-5; 1) \u003d 6 ρ (7; 1) \u003d 6 ρ (7; a; b) \u003d? | A-B |
Разстоянието между точки А и Б е равно на модула на разликата в координата на тези точки. ρ (a; b) \u003d | A-B | Разстояние между точките на координата
Геометричният смисъл на модула на действителния брой a b a a \u003d b b x x x е разстоянието между две точки
0 1 2 7 -1 -5 на разстоянията между точките на координатния директ - 2 - 3 - 4 3 4 5 6 -6 ρ (-6; 2) \u003d ρ (6; 3) \u003d ρ (0; 7) \u003d ρ (1; -4) \u003d 8 3 7 5
0 1 2 7 -1 -5 на разстоянията между точките на координатния директ - 2 - 3 - 4 3 4 5 6 -6 ρ (2; -6) \u003d ρ (3; 6) \u003d ρ (7; 0) \u003d ρ (-4; 1) \u003d 8 3 7 5
Заключение: изрази | A - b | и | B - A | са равни за всякакви стойности a и b \u003d
-16 -2 0 -3 +8 0 +4 +17 0 ρ (-3; 8) \u003d 11; | (-3) - (+8) | \u003d 11; | (+8) - (-3) | \u003d 11. ρ (-16; -2) \u003d 14; | (-16) - (-2) | \u003d 14; | (-2) - (-16) | \u003d 14. ρ (4; 17) \u003d 13; | (+4) - (+17) | \u003d 13; | (+17) - (+4) | \u003d 13. Разстояние между точките на координата
Намерете ρ (x; y), ако: 1) x \u003d - 14, y \u003d - 23; ρ (x; y) \u003d | x - y | \u003d | -14 - (- 23) | \u003d | -14 + 23 | \u003d | 9 | \u003d 9 2) x \u003d 5.9, y \u003d -6.8; ρ (x; y) \u003d | 5, 9 - (- 6,8) | \u003d | 5,9 + 6.8 | \u003d | 12.7 | \u003d 12.7
Продължи предложение 1. Координатът директно е директно с ... 2. Разстоянието между две точки е ... 3. Обратните числа са числа, ... 4. Броят на номерата на номерата се обажда ... 5. - Сравнете стойностите на експресиите A - BVB - DEAD ... - Сравнете изразите | A - b | V | B - A | C Направете заключение ...
Лебедката и езикът вървят по координатния лъч. Vickyt е в точка (236), shpunter - в точката SH (193) на това, което един от друг е винтът и езика? ρ (b, w) \u003d 43
Намерете разстоянието между точки a (0), в (1) a (2), в (5) a (0), в (- 3) a (- 10), в (1) AV \u003d 1 AV \u003d 3 AB \u003d 3 ab \u003d 11
Намерете разстоянието между точките а (- 3.5), в (1,4) до (1.8), в (4.3) А (- 10), С (3)
Проверка на AV \u003d KV \u003d AC \u003d
C (- 5) C (- 3) Намерете точката на точката - средата на сегмента на
От директна координация се отбелязват точки а (-3.25) и в (2.65). Намерете координата на въпроса за - средата на сегмента AV. Решение: 1) ρ (a; c) \u003d | -3.25 - 2.65 | \u003d | -5.9 | \u003d 5.9 2) 5.9: 2 \u003d 2.95 3) -3.25 + 2.95 \u003d - 0.3 или 2.65 - 2.95 \u003d - 0.3 Отговор: O (-0, 3)
Относно координата, точки C (- 5.17) и D (2,33). Намерете точката координата на средата на CD сегмента. Решение: 1) ρ (s; d) \u003d | - 5, 17 - 2, 33 | \u003d | - 7, 5 | \u003d 7, 5 2) 7, 5: 2 \u003d 3, 7 5 3) - 5, 17 + 3, 7 5 \u003d 1, 42 или 2, 33 - 3, 7 5 \u003d - 1, 42 Отговор: a ( - 1, 42)
Заключение: алгоритъмът за намиране на координатна точка - средата на този сегмент: 1. Намерете разстоянието между точките - краищата на този сегмент \u003d 2. да разделяте резултата от 1 до 2 (половината от стойността) \u003d C 3 , Добавяне на резултати-2 за координиране на или изваждане на резултата-2 от координата A + C или - C 4. Резултатът-3 е координата на точката - средата на този сегмент
Работа с учебник: §19, стр.112, А. № 573, 575 V. № 578, 580 домашна работа: §19, стр.112, А. № 574, 576, V. No. 579, 581 се подготвят за Киргизска република "Добавяне и изваждане на рационални числа. Разстояние между точките на координатната линия »
Днес научих ... това беше интересно ... аз осъзнах, че ... сега мога ... научих ... аз го направих ... аз бях изненадан ... исках .. . Исках ...
§ 1 правилото за намиране на разстоянието между точките на координата на директно
В този урок ще оттеглим правилото за намиране на разстоянието между точките на координата, както и да научим как да намерим продължителността на сегмента, използвайки това правило.
Изпълнете задачата:
Сравнете изразите
1. А \u003d 9, b \u003d 5;
2. A \u003d 9, B \u003d -5;
3. A \u003d -9, b \u003d 5;
4. A \u003d -9, B \u003d -5.
Ние ще заменим стойностите в израза и ще намерим резултата:
Модулът за разлика 9 и 5 е модулът 4, модулът 4 е 4. Разликата 5 и 9 е минус 4, модулът -4 е 4.
Разликата модул 9 и -5 е равна на модула 14, модулът 14 е 14. Модулът на разликата е минус 5 и 9 е равен на модула -14, модул -14 \u003d 14.
Модулът за разлика минус 9 и 5 е минус минус 14, minus 14 модул е \u200b\u200b14. Разликата модул 5 и минус 9 е равна на модула 14, модулът 14 е 14
Разликата minus 9 и минус 5 е равна на minus 4 модула, модулът -4 е 4. Различателният модул минус 5 и минус 9 е равен на модула 4, модулът 4 е равен на (L-9 - ( -5) L \u003d L-4L \u003d 4; L -5 - (-9) L \u003d L4L \u003d 4)
Във всеки случай имаше равни резултати, следователно можем да заключим:
Стойности на експресията Модул A и B и модулът за разлика В и А са равни на всякакви стойности на А и Б.
Друга задача:
Намерете разстоянието между точките на координата
1.a (9) и в (5)
2.a (9) и в (-5)
Относно координатната директна бележка точка А (9) и в (5).
Помислете за броя на единичните сегменти между тези точки. Техните 4, което означава разстоянието между точки А и Б е 4. По подобен начин ще намерим разстоянието между две други точки. Отбелязваме за координата на директна точка А (9) и в (-5), ние определяме координатното директно разстояние между тези точки, разстоянието е 14.
Сравнете резултатите с предишни задачи.
Разликата в модула 9 и 5 е 4, а разстоянието между точките с координати 9 и 5 е и 4. Разликата модул 9 и минус 5 е 14, разстоянието между точките с координати 9 и минус 5 е 14.
Той предполага заключението:
Разстоянието между точки a (a) и в буква б) координатното директно е равно на модула на разликата в координатните точки на точката А - Б Л.
Освен това, разстоянието може да бъде намерено както като различен модул B и A, тъй като броят на единичните сегменти няма да се променя от каква точка ги считаме.
§ 2 Правило намираме продължителността на сегмента по координатите на две точки
Намерете дължината на CD, ако е на координатна линия C (16), D (8).
Знаем, че дължината на сегмента е равна на разстоянието от единия край на сегмента към другия, т.е. От точка c до точка г на координатната линия.
Ние използваме правилото:
и да намерите модула за координатна разлика C и D
Така че, дължината на сегмента на компактдиска е 8.
Помислете за друг случай:
Намерете дължината на сегмента на MN, чиито координати имат различни признаци m (20), n (-23).
Заместващ смисъл
ние знаем това - (- 23) \u003d +23
така че, разликата модул 20 и минус 23 е равна на модула на сумата 20 и 23
Ще намерим сумата от координатни модули на този сегмент:
Стойността на модула за координатна разлика и сумата на координатите в този случай се оказа същата.
Можем да заключим:
Ако координатите на две точки имат различни признаци, разстоянието между точките е равно на сумата на координатите.
В урока се запознахме с правилото за разстоянието между две точки на координата на директна и се научихме да намерим продължителността на сегмента, използвайки това правило.
Списък на препратките:
- Математика. Степен 6: Планове за удари за учебника I.I. ЗУБАРЕВА, a.g. Мордович // Автор-компилатор L.A. Топил. - m.: Mnemozina 2009.
- Математика. 6 клас: учебник за студенти от общи образователни институции. I.i. ЗУБАРЕВА, a.g. Мордович. - m.: Mnemozina, 2013.
- Математика. Степен 6: Урок за студенти от общообразователни институции. / N.I. Vilenkin, v.i. Zhokhov, А.С. Ческоков, с.И. Шварцборд. - m.: Mnemozina, 2013.
- Директория по математика - http://lyudmilanik.com.ua
- Директория за ученици в гимназията http://shkolo.ru
