Много теория е написана за геометричното значение. Няма да навлизам в извеждането на нарастването на функцията, но нека ви напомня основите за изпълнение на задачи:
Производната в точка x е равна на наклона на допирателната към графиката на функцията y = f(x) в тази точка, тоест това е тангенса на ъгъла на наклон към оста X.
Нека веднага да вземем задачата от Единния държавен изпит и да започнем да я разбираме:
Задача No1. На снимката се виждаграфика на функция y = f(x) и допирателната към него в точката с абсцисата x0. Намерете стойността на производната на функцията f(x) в точката x0.
Който бърза и не иска да разбере обясненията:изградете до който и да е такъв триъгълник (както е показано по-долу) и разделете изправената страна (вертикално) на легналата страна (хоризонтално) и ще имате късмет, ако не забравите за знака (ако линията намалява (→↓) , тогава отговорът трябва да е минус, ако линията се увеличава (→), тогава отговорът трябва да е положителен!)
Трябва да намерите ъгъла между допирателната и оста X, нека го наречем α: начертайте права линия, успоредна на оста X навсякъде през допирателната към графиката, получаваме същия ъгъл.
По-добре е да не вземете точка x0, т.к Ще ви трябва голяма лупа, за да определите точните координати.
Вземайки произволен правоъгълен триъгълник (на фигурата са предложени 3 варианта), намираме tgα (в такъв случай ъглите са равни, както съответстват), т.е. получаваме производната на функцията f(x) в точката x0. защо е така
Ако начертаем допирателни в други точки x2, x1 и т.н. тангентите ще бъдат различни.
Да се върнем в 7 клас, за да построим линия!
Уравнението на права линия е дадено от уравнението y = kx + b, където
k - наклон спрямо оста X.
b е разстоянието между пресечната точка с оста Y и началото.
Производната на права линия винаги е една и съща: y" = k.
В която и точка от правата да вземем производната, тя ще бъде непроменена.
Следователно всичко, което остава, е да се намери tgα (както беше споменато по-горе: разделете изправената страна на легналата страна). Разделяме противоположната страна на съседната страна, получаваме, че k = 0,5. Ако обаче графиката е намаляваща, коефициентът е отрицателен: k = −0,5.
Съветвам ви да се прегледате втори начин:
Можете да определите права линия с помощта на две точки. Нека намерим координатите на произволни две точки. Например (-2;-2) и (2;-4):
Нека заместим координатите на точките в уравнението y = kx + b вместо y и x:
−2 = −2k + b
Решавайки тази система, получаваме b = −3, k = −0,5
Заключение: Вторият метод отнема повече време, но в него няма да забравите за знака.
Отговор: − 0,5
Задача No2. На снимката се вижда производна графикафункции f(x). По абсцисната ос са отбелязани осем точки: x1, x2, x3, ..., x8. Колко от тези точки лежат на интервалите на нарастваща функция f(x)?
Ако графиката на функция намалява - производната е отрицателна (и обратното е вярно).
Ако графиката на функция нараства, производната е положителна (и обратното е вярно).
Тези две фрази ще ви помогнат да разрешите повечето проблеми.
Гледай внимателно дадена ви е рисунка на производна или функция и след това изберете една от двете фрази.
Нека построим схематична графика на функцията. защото Дадена ни е графика на производната, след това където е отрицателна, графиката на функцията намалява, където е положителна, расте!
Оказва се, че 3 точки лежат върху нарастващи площи: x4; x5; x6.
Отговор: 3
Задача No3. Функцията f(x) е дефинирана на интервала (-6; 4). На снимката се вижда графика на неговата производна. Намерете абсцисата на точката, в която функцията приема най-голямата си стойност.
Съветвам ви винаги да чертаете как върви графиката на функцията, като използвате стрелки като тази или схематично със знаци (както в № 4 и № 5):
Очевидно, ако графиката се увеличи до −2, тогава максималната точка е −2.
Отговор: −2
Задача No4. Фигурата показва графика на функцията f(x) и дванадесет точки по абсцисната ос: x1, x2, ..., x12. В колко от тези точки производната на функцията е отрицателна?
Проблемът е точно обратното, при дадена графика на функция, трябва схематично да изградите как ще изглежда графиката на производната на функцията и да преброите колко точки ще лежат в отрицателния диапазон.
Положителни: x1, x6, x7, x12.
Отрицателни: x2, x3, x4, x5, x9, x10, x11.
Отговор: 7
Друг тип задача, когато ви попитат за някои ужасни „крайности“? Няма да ви е трудно да намерите какво е, но ще го обясня за графиките.
Задача No5. На фигурата е показана графика на производната на функцията f(x), дефинирана на интервала (-16; 6). Намерете броя на точките на екстремум на функцията f(x) на интервала [-11; 5].
Нека отбележим интервала от -11 до 5!
Нека насочим светлите си очи към знака: дадена е графика на производната на функцията => тогава екстремумите са точките на пресичане с оста X.
Отговор: 3
Задача No6. На фигурата е показана графика на производната на функцията f(x), дефинирана на интервала (-13; 9). Намерете броя на максималните точки на функцията f(x) на интервала [-12; 5].
Нека отбележим интервала от -12 до 5!
Можете да гледате таблицата с едно око, максималната точка е екстремум, така че преди нея производната е положителна (функцията нараства), а след нея производната е отрицателна (функцията намалява). Такива точки са оградени.
Стрелките показват как се държи графиката на функцията
Отговор: 3
Задача No7. Фигурата показва графика на функцията f(x), дефинирана на интервала (-7; 5). Намерете броя на точките, в които производната на функцията f(x) е равна на 0.
Можете да погледнете таблицата по-горе (производната е нула, което означава, че това са точки на екстремум). И в тази задача е дадена графиката на функцията, което означава, че трябва да намерите брой точки на инфлексия!
Или можете, както обикновено: да изградите схематична графика на производната.
Производната е нула, когато графиката на функция променя посоката си (от нарастваща към намаляваща и обратно)
Отговор: 8
Задача No8. На снимката се вижда производна графикафункция f(x), дефинирана на интервала (-2; 10). Намерете интервалите на нарастваща функция f(x). В отговора си посочете сумата от целите точки, включени в тези интервали.
Нека изградим схематична графика на функцията:
Когато се увеличава, получаваме 4 цели числа: 4 + 5 + 6 + 7 = 22.
Отговор: 22
Задача No9. На снимката се вижда производна графикафункция f(x), дефинирана на интервала (-6; 6). Намерете броя на точките f(x), в които допирателната към графиката на функцията е успоредна или съвпада с правата y = 2x + 13.
Дадена ни е графика на производната! Това означава, че нашият тангенс също трябва да бъде „преведен“ в производна.
Производна на тангенса: y" = 2.
Сега нека конструираме и двете производни:
Допирателните се пресичат в три точки, което означава, че нашият отговор е 3.
Отговор: 3
Задача No10. На фигурата е показана графика на функцията f(x), като са отбелязани точките -2, 1, 2, 3. В коя от тези точки стойността на производната е най-малка? Моля, посочете тази точка в отговора си.
Задачата е донякъде подобна на първата: за да намерите стойността на производната, трябва да построите допирателна към тази графика в точка и да намерите коефициента k.
Ако линията намалява, k< 0.
Ако линията се увеличава, k > 0.
Нека помислим как стойността на коефициента ще повлияе на наклона на линията:
Когато k = 1 или k = − 1, графиката ще бъде в средата между осите X и Y.
Колкото по-близо е правата линия до оста X, толкова по-близо е коефициентът k до нула.
Колкото по-близо е правата линия до оста Y, толкова по-близо е коефициентът k до безкрайността.
В т. -2 и 1 к<0, однако в точке 1 прямая убывает "быстрее" больше похоже на ось Y =>тук ще бъде най-малката стойност на производната
Отговор: 1
Задача No11. Правата е допирателна y = 3x + 9 към графиката на функцията y = x³ + x² + 2x + 8. Намерете абсцисата на допирателната точка.
Правата ще бъде допирателна към графиката, когато графиките имат обща точка, както и техните производни. Нека приравним графичните уравнения и техните производни:
След като решим второто уравнение, получаваме 2 точки. За да проверим кой е подходящ, заместваме всеки от x в първото уравнение. Само един ще свърши работа.
Изобщо не искам да решавам кубично уравнение, но бих искал да решавам квадратно уравнение.
Но какво трябва да напишете в отговор, ако получите два „нормални“ отговора?
Когато замествате x(x) в оригиналните графики y = 3x + 9 и y = x³ + x² + 2x + 8, трябва да получите същото Y
y= 1³+1²+2×1+8=12
вярно! Така че x=1 ще бъде отговорът
Отговор: 1Задача No12. Правата y = − 5x − 6 е допирателна към графиката на функцията ax² + 5x − 5. Намери си.
Нека по подобен начин приравним функциите и техните производни:
Нека решим тази система за променливи a и x:
Отговор: 25
Задачата с производни се счита за една от най-трудните в първата част на Единния държавен изпит, но с малко внимание и разбиране на въпроса ще успеете и ще увеличите процента на изпълнение на тази задача!
Задача B9 дава графика на функция или производна, от която трябва да определите една от следните величини:
- Стойността на производната в дадена точка x 0,
- Максимални или минимални точки (екстремни точки),
- Интервали на нарастващи и намаляващи функции (интервали на монотонност).
Функциите и производните, представени в този проблем, са винаги непрекъснати, което прави решението много по-лесно. Въпреки факта, че задачата принадлежи към раздела на математическия анализ, дори и най-слабите ученици могат да я направят, тъй като тук не се изискват дълбоки теоретични познания.
За намиране на стойността на производната, точките на екстремум и интервалите на монотонност има прости и универсални алгоритми - всички те ще бъдат разгледани по-долу.
Прочетете внимателно условията на задача B9, за да избегнете глупави грешки: понякога попадате на доста дълги текстове, но важни условия, които влияят върху хода на решението, са малко.
Изчисляване на производната стойност. Метод с две точки
Ако за задачата е дадена графика на функция f(x), допирателна към тази графика в точка x 0, и се изисква да се намери стойността на производната в тази точка, се прилага следният алгоритъм:
- Намерете две „адекватни“ точки на допирателната графика: техните координати трябва да са цели числа. Нека означим тези точки като A (x 1 ; y 1) и B (x 2 ; y 2). Запишете правилно координатите - това е ключов момент в решението и всяка грешка тук ще доведе до неправилен отговор.
- Познавайки координатите, е лесно да се изчисли увеличението на аргумента Δx = x 2 − x 1 и увеличението на функцията Δy = y 2 − y 1 .
- Накрая намираме стойността на производната D = Δy/Δx. С други думи, трябва да разделите увеличението на функцията на увеличението на аргумента - и това ще бъде отговорът.
Още веднъж да отбележим: точките A и B трябва да се търсят именно по допирателната, а не по графиката на функцията f(x), както често се случва. Допирателната задължително ще съдържа поне две такива точки - в противен случай проблемът няма да бъде формулиран правилно.
Разгледайте точки A (−3; 2) и B (−1; 6) и намерете увеличенията:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.
Нека намерим стойността на производната: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.
Задача. Фигурата показва графика на функцията y = f(x) и допирателна към нея в точката с абсцисата x 0. Намерете стойността на производната на функцията f(x) в точката x 0 .
Помислете за точки A (0; 3) и B (3; 0), намерете увеличенията:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.
Сега намираме стойността на производната: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.
Задача. Фигурата показва графика на функцията y = f(x) и допирателна към нея в точката с абсцисата x 0. Намерете стойността на производната на функцията f(x) в точката x 0 .
Разгледайте точки A (0; 2) и B (5; 2) и намерете увеличенията:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.
Остава да намерим стойността на производната: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.
От последния пример можем да формулираме правило: ако допирателната е успоредна на оста OX, производната на функцията в точката на допирателна е нула. В този случай дори не е нужно да броите нищо - просто погледнете графиката.
Изчисляване на максимални и минимални точки
Понякога, вместо графика на функция, задача B9 дава графика на производната и изисква намиране на максималната или минималната точка на функцията. В тази ситуация двуточковият метод е безполезен, но има друг, още по-прост алгоритъм. Първо, нека дефинираме терминологията:
- Точката x 0 се нарича максимална точка на функцията f(x), ако в някаква околност на тази точка е изпълнено неравенството f(x 0) ≥ f(x).
- Точката x 0 се нарича точка на минимум на функцията f(x), ако в някаква околност на тази точка е изпълнено неравенството f(x 0) ≤ f(x).
За да намерите максималните и минималните точки от производната графика, просто изпълнете следните стъпки:
- Преначертайте производната графика, като премахнете цялата ненужна информация. Както показва практиката, ненужните данни само пречат на решението. Затова маркираме нулите на производната на координатната ос - и това е всичко.
- Намерете знаците на производната на интервалите между нулите. Ако за дадена точка x 0 е известно, че f'(x 0) ≠ 0, тогава са възможни само две опции: f'(x 0) ≥ 0 или f'(x 0) ≤ 0. Знакът на производната е лесно се определя от оригиналния чертеж: ако графиката на производната лежи над оста OX, тогава f'(x) ≥ 0. И обратното, ако графиката на производната лежи под оста OX, тогава f'(x) ≤ 0.
- Отново проверяваме нулите и знаците на производната. Там, където знакът се променя от минус на плюс, е минималната точка. Обратно, ако знакът на производната се промени от плюс на минус, това е максималната точка. Броенето винаги се извършва отляво надясно.
Тази схема работи само за непрекъснати функции - в задача B9 няма други.
Задача. Фигурата показва графика на производната на функцията f(x), дефинирана на интервала [−5; 5]. Намерете минималната точка на функцията f(x) върху тази отсечка.
Нека се отървем от ненужната информация и оставим само границите [−5; 5] и нули на производната x = −3 и x = 2.5. Отбелязваме и знаците:
Очевидно в точката x = −3 знакът на производната се променя от минус на плюс. Това е минималната точка.
Задача. Фигурата показва графика на производната на функцията f(x), дефинирана на интервала [−3; 7]. Намерете максималната точка на функцията f(x) на този сегмент.
Нека преначертаем графиката, оставяйки само границите [−3; 7] и нули на производната x = −1.7 и x = 5. Нека отбележим знаците на производната върху получената графика. Ние имаме:
Очевидно в точката x = 5 знакът на производната се променя от плюс на минус - това е максималната точка.
Задача. На фигурата е показана графика на производната на функцията f(x), дефинирана на интервала [−6; 4]. Намерете броя на максималните точки на функцията f(x), принадлежащи на отсечката [−4; 3].
От условията на задачата следва, че е достатъчно да се разгледа само частта от графиката, ограничена от сегмента [−4; 3]. Затова изграждаме нова графика, на която отбелязваме само границите [−4; 3] и нули на производната вътре в него. А именно точки x = −3,5 и x = 2. Получаваме:
На тази графика има само една максимална точка x = 2. Именно в тази точка знакът на производната се променя от плюс на минус.
Малка бележка за точки с нецелочислени координати. Например в последната задача беше разгледана точката x = −3,5, но със същия успех можем да вземем x = −3,4. Ако проблемът е компилиран правилно, подобни промени не трябва да влияят на отговора, тъй като точките „без определено място на пребиваване“ не участват пряко в решаването на проблема. Разбира се, този трик няма да работи с цели точки.
Намиране на интервали на нарастващи и намаляващи функции
В такъв проблем, подобно на максималните и минималните точки, се предлага да се използва графиката на производната, за да се намерят области, в които самата функция нараства или намалява. Първо, нека дефинираме какво е увеличаване и намаляване:
- Казва се, че функция f(x) нараства на отсечка, ако за всеки две точки x 1 и x 2 от тази отсечка е вярно следното твърдение: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . С други думи, колкото по-голяма е стойността на аргумента, толкова по-голяма е стойността на функцията.
- Функция f(x) се нарича намаляваща на отсечка, ако за всеки две точки x 1 и x 2 от тази отсечка е вярно следното твърдение: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Тези. По-голямата стойност на аргумента съответства на по-малка стойност на функцията.
Нека формулираме достатъчни условия за увеличаване и намаляване:
- За да непрекъсната функция f(x) нараства върху отсечката , достатъчно е нейната производна вътре в отсечката да е положителна, т.е. f’(x) ≥ 0.
- За да намалява една непрекъсната функция f(x) върху отсечката , е достатъчно нейната производна вътре в отсечката да е отрицателна, т.е. f’(x) ≤ 0.
Нека приемем тези твърдения без доказателства. По този начин получаваме схема за намиране на интервали на нарастване и намаляване, която в много отношения е подобна на алгоритъма за изчисляване на точки на екстремум:
- Премахнете цялата ненужна информация. В оригиналната графика на производната се интересуваме предимно от нулите на функцията, така че ще оставим само тях.
- Отбележете знаците на производната на интервалите между нулите. Когато f’(x) ≥ 0, функцията нараства, а когато f’(x) ≤ 0, тя намалява. Ако проблемът поставя ограничения върху променливата x, ние допълнително ги маркираме на нова графика.
- Сега, след като знаем поведението на функцията и ограниченията, остава да изчислим необходимото количество в проблема.
Задача. Фигурата показва графика на производната на функцията f(x), дефинирана на интервала [−3; 7.5]. Намерете интервалите на спадане на функцията f(x). В отговора си посочете сумата от целите числа, включени в тези интервали.
Както обикновено, нека преначертаем графиката и да маркираме границите [−3; 7.5], както и нули на производната x = −1.5 и x = 5.3. След това отбелязваме знаците на производната. Ние имаме:
Тъй като производната е отрицателна на интервала (− 1,5), това е интервалът на намаляваща функция. Остава да се сумират всички цели числа, които са вътре в този интервал:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
Задача. На фигурата е показана графика на производната на функцията f(x), дефинирана на интервала [−10; 4]. Намерете интервалите на нарастване на функцията f(x). В отговора си посочете дължината на най-голямата от тях.
Да се отървем от ненужната информация. Нека оставим само границите [−10; 4] и нули на производната, които този път бяха четири: x = −8, x = −6, x = −3 и x = 2. Нека маркираме знаците на производната и получаваме следната картина:
Ние се интересуваме от интервалите на нарастваща функция, т.е. където f’(x) ≥ 0. Има два такива интервала на графиката: (−8; −6) и (−3; 2). Нека изчислим техните дължини:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.
Тъй като трябва да намерим дължината на най-големия от интервалите, записваме стойността l 2 = 5 като отговор.
Калкулаторът изчислява производните на всички елементарни функции, давайки подробно решение. Променливата за диференциране се определя автоматично.
Производна на функция- едно от най-важните понятия в математическия анализ. Появата на производната доведе до такива проблеми като например изчисляване на моментната скорост на точка в даден момент от време, ако е известен пътят в зависимост от времето, проблемът за намиране на допирателната към функция в точка.
Най-често производната на функция се определя като границата на отношението на нарастването на функцията към нарастването на аргумента, ако съществува.
Определение.Нека функцията е дефинирана в някаква околност на точката. Тогава производната на функцията в точка се нарича граница, ако съществува
Как да изчислим производната на функция?
За да се научите да разграничавате функциите, трябва да научите и разберете правила за диференциранеи се научете да използвате таблица с производни.
Правила за диференциране
Нека и са произволни диференцируеми функции на реална променлива и са някаква реална константа. Тогава
— правило за диференциране на произведението на функциите
— правило за диференциране на частни функции
0" height="33" width="370" style="vertical-align: -12px;"> — диференциране на функция с променлив показател
- правило за диференциране сложна функция
— правило за диференциране на степенна функция
Производна на функция онлайн
Нашият калкулатор ще изчисли бързо и точно производната на всяка функция онлайн. Програмата няма да допусне грешки при изчисляване на производната и ще ви помогне да избегнете дълги и досадни изчисления. Онлайн калкулаторът ще бъде полезен и в случаите, когато трябва да проверите дали вашето решение е правилно и ако е неправилно, бързо да намерите грешка.
Пример 1
Справка: Следните начини за отбелязване на функция са еквивалентни: В някои задачи е удобно функцията да се обозначи като „игра“, а в други като „ef от x“.
Първо намираме производната:
Пример 2
Изчислете производната на функция в точка
, , пълно изследванефункциии т.н.
Пример 3
Изчислете производната на функцията в точката. Първо нека намерим производната: 
Е, това е съвсем друг въпрос. Нека изчислим стойността на производната в точката:
Ако не разбирате как е намерена производната, върнете се към първите два урока от темата. Ако имате затруднения (неразбиране) с аркутангенса и неговите значения, Задължително изучават учебния материал Графики и свойства на елементарни функции– последният параграф. Защото има още достатъчно арктангенси за студентската възраст.
Пример 4
Изчислете производната на функцията в точката.
Уравнение на допирателната към графиката на функция
За да подсилите предишния параграф, разгледайте задачата за намиране на допирателната към функционална графикав този момент. С тази задача се сблъскахме в училище, а се появява и в курса по висша математика.
Нека да разгледаме най-простия пример за „демонстрация“.
Напишете уравнение за допирателната към графиката на функцията в точката на абсцисата. Веднага ще дам готово графично решение на проблема (на практика в повечето случаи това не е необходимо):
Дадено е строго определение на допирателната с помощта на определение на производната на функция, но засега ще усвоим техническата част на въпроса. Със сигурност почти всеки интуитивно разбира какво е допирателна. Ако го обясните „на пръсти“, тогава допирателната към графиката на функция е прав, което се отнася до графиката на функцията в единственияточка. В този случай всички близки точки от линията са разположени възможно най-близо до графиката на функцията.
Приложено към нашия случай: допирателната (стандартна нотация) докосва графиката на функцията в една точка.
И нашата задача е да намерим уравнението на правата.
Производна на функция в точка
Как да намерим производната на функция в точка? Две очевидни точки на тази задача следват от формулировката:
1) Необходимо е да се намери производната.
2) Необходимо е да се изчисли стойността на производната в дадена точка.
Пример 1
Изчислете производната на функция в точка
Помощ: Следните начини за отбелязване на функция са еквивалентни:
В някои задачи е удобно функцията да се обозначи като „игра“, а в други като „ef от x“.
Първо намираме производната:
Надявам се, че мнозина вече са свикнали да намират такива производни устно.
Във втората стъпка изчисляваме стойността на производната в точката:
Малък пример за загряване за самостоятелно решаване:
Пример 2
Изчислете производната на функция в точка
Пълно решение и отговор в края на урока.
Необходимостта да се намери производната в дадена точка възниква при следните задачи: конструиране на допирателна към графиката на функция (следващ абзац), изследване на функция за екстремум , изследване на функция за инфлексия на графика , пълно функционално изследване и т.н.
Но въпросната задача се среща в тестовеи от само себе си. И като правило в такива случаи дадената функция е доста сложна. В тази връзка нека разгледаме още два примера.
Пример 3
Изчисляване на производната на функция 
в точка .
Първо нека намерим производната: 
Производната по принцип е намерена и можете да замените необходимата стойност. Но всъщност не искам да правя нищо. Изразът е много дълъг и значението на "x" е дробно. Затова се опитваме да опростим нашата производна колкото е възможно повече. В този случай нека се опитаме да приведем последните три термина към общ знаменател: 
в точка .
Това е пример, който можете да решите сами.
Как да намерим стойността на производната на функцията F(x) в точката Xo? Как изобщо решавате това?
Ако формулата е дадена, тогава намерете производната и заместете X-нула вместо X. Изчисли
Ако говорим за единния държавен изпит B-8, графика, тогава трябва да намерите тангенса на ъгъла (остър или тъп), който образува допирателната към оста X (използвайки умствената конструкция на правоъгълен триъгълник и определяйки тангенс на ъгъла)
Тимур Адилходжаев
Първо, трябва да вземете решение за знака. Ако точката x0 се намира в долната част на координатната равнина, тогава знакът в отговора ще бъде минус, а ако е по-висок, тогава +.
Второ, трябва да знаете какво е tange в правоъгълник. И това е съотношението на противоположната страна (крак) към съседната страна (също крак). Обикновено има няколко черни петна върху картината. От тези знаци оформяте правоъгълен триъгълник и намирате тангеса.
Как да намеря стойността на производната на функцията f x в точка x0?
без конкретен въпрос - преди 3 годиниВ общия случай, за да намерите стойността на производната на функция по отношение на някаква променлива в даден момент, трябва да диференцирате дадената функция по отношение на тази променлива. Във вашия случай по променлива X. В получения израз вместо X поставете стойността на X в точката, за която трябва да намерите стойността на производната, т.е. във вашия случай заменете нула X и изчислете получения израз.
Е, желанието ви да разберете този въпрос, според мен, несъмнено заслужава +, който давам с чиста съвест.
Тази формулировка на проблема за намиране на производната често се задава, за да подсили материала за геометричното значение на производната. Предложена е графика на определена функция, напълно произволна и неопределена с уравнение, като се изисква да се намери стойността на производната (не самата производна, имайте предвид!) в посочената точка X0. За целта се конструира допирателна към дадена функция и се намират точките на нейното пресичане с координатните оси. Тогава уравнението на тази допирателна се съставя във вида y=кx+b.
В това уравнение коефициентът k и ще бъде стойността на производната. Остава само да се намери стойността на коефициента b. За да направим това, намираме стойността на y при x = o, нека е равна на 3 - това е стойността на коефициента b. Заместваме стойностите на X0 и Y0 в оригиналното уравнение и намираме k - нашата стойност на производната в тази точка.
