При решаване на мн математически задачи, особено тези, които се случват преди 10 клас, редът на извършените действия, които ще доведат до целта, е ясно определен. Такива проблеми включват например линейни и квадратни уравнения, линейни и квадратни неравенства, дробни уравнения и уравнения, които се свеждат до квадратни. Принципът за успешно решаване на всеки от споменатите проблеми е следният: трябва да установите какъв тип проблем решавате, да запомните необходимата последователност от действия, които ще доведат до желания резултат, т.е. отговорете и следвайте тези стъпки.
Очевидно е, че успехът или неуспехът при решаването на конкретен проблем зависи главно от това колко правилно е определен типът на решаваното уравнение, колко правилно е възпроизведена последователността на всички етапи на неговото решение. Разбира се, в този случай е необходимо да имате умения за извършване на идентични трансформации и изчисления.
Ситуацията е различна при тригонометрични уравнения.Не е никак трудно да се установи, че уравнението е тригонометрично. Трудности възникват при определяне на последователността от действия, които биха довели до верния отговор.
Понякога е трудно да се определи неговият тип въз основа на появата на уравнение. И без да знаете вида на уравнението, е почти невъзможно да изберете правилното от няколко десетки тригонометрични формули.
За да решите тригонометрично уравнение, трябва да опитате:
1. привеждане на всички функции, включени в уравнението, до „едни и същи ъгли“;
2. приведете уравнението към „еднакви функции”;
3. множете лявата страна на уравнението и т.н.
Нека помислим основни методи за решаване на тригонометрични уравнения.
I. Свеждане до най-простите тригонометрични уравнения
Диаграма на решението
Етап 1.Изразете тригонометрична функция чрез известни компоненти.
Стъпка 2.Намерете аргумента на функцията, като използвате формулите:
cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.
sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.
тен х = а; x = arctan a + πn, n Є Z.
ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.
Стъпка 3.Намерете неизвестната променлива.
Пример.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Решение.
1) cos(3x – π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
Отговор: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
II. Замяна на променливи
Диаграма на решението
Етап 1.Редуцирайте уравнението до алгебрична форма по отношение на една от тригонометричните функции.
Стъпка 2.Обозначете получената функция с променливата t (ако е необходимо, въведете ограничения върху t).
Стъпка 3.Запишете и решете полученото алгебрично уравнение.
Стъпка 4.Направете обратна замяна.
Стъпка 5.Решете най-простото тригонометрично уравнение.
Пример.
2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.
Решение.
1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;
2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.
2) Нека sin (x/2) = t, където |t| ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 или e = -3/2, не отговаря на условието |t| ≤ 1.
4) sin(x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;
x = π + 4πn, n Є Z.
Отговор: x = π + 4πn, n Є Z.
III. Метод за намаляване на реда на уравнението
Диаграма на решението
Етап 1.Заменете това уравнение с линейно, като използвате формулата за намаляване на степента:
sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);
cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);
tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).
Стъпка 2.Решете полученото уравнение, като използвате методи I и II.
Пример.
cos 2x + cos 2 x = 5/4.
Решение.
1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;
3/2 cos 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;
x = ±π/6 + πn, n Є Z.
Отговор: x = ±π/6 + πn, n Є Z.
IV. Хомогенни уравнения
Диаграма на решението
Етап 1.Редуцирайте това уравнение до формата
а) a sin x + b cos x = 0 (хомогенно уравнение от първа степен)
или към гледката
б) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (хомогенно уравнение от втора степен).
Стъпка 2.Разделете двете страни на уравнението на
а) cos x ≠ 0;
б) cos 2 x ≠ 0;
и получете уравнението за tan x:
а) a tan x + b = 0;
b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.
Стъпка 3.Решете уравнението с известни методи.
Пример.
5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.
Решение.
1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.
3) Тогава нека tg x = t
t 2 + 3t – 4 = 0;
t = 1 или t = -4, което означава
tg x = 1 или tg x = -4.
От първото уравнение x = π/4 + πn, n Є Z; от второто уравнение x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
Отговор: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
V. Метод за преобразуване на уравнение с помощта на тригонометрични формули
Диаграма на решението
Етап 1.Използвайки всички възможни тригонометрични формули, редуцирайте това уравнение до уравнение, решено с методи I, II, III, IV.
Стъпка 2.Решете полученото уравнение, като използвате известни методи.
Пример.
sin x + sin 2x + sin 3x = 0.
Решение.
1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;
2sin 2x cos x + sin 2x = 0.
2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 или 2cos x + 1 = 0;
От първото уравнение 2x = π/2 + πn, n Є Z; от второто уравнение cos x = -1/2.
Имаме x = π/4 + πn/2, n Є Z; от второто уравнение x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.
В резултат на това x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Отговор: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Способността и умението за решаване на тригонометрични уравнения е много 
важно, тяхното развитие изисква значителни усилия, както от страна на ученика, така и от страна на учителя.
С решаването на тригонометрични уравнения са свързани много проблеми на стереометрията, физиката и т. н. Процесът на решаване на такива задачи въплъщава много от знанията и уменията, които се придобиват чрез изучаване на елементите на тригонометрията.
Тригонометричните уравнения заемат важно място в процеса на обучение по математика и личностното развитие като цяло.
Все още имате въпроси? Не знаете как да решавате тригонометрични уравнения?
За да получите помощ от преподавател, регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!
уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.
Изисква познаване на основните формули на тригонометрията - сбор от квадратите на синус и косинус, изразяване на тангенс през синус и косинус и др. За тези, които са ги забравили или не ги знаят, препоръчваме да прочетете статията "".
И така, знаем основните тригонометрични формули, време е да ги използваме на практика. Решаване на тригонометрични уравненияс правилния подход това е доста вълнуващо занимание, като например решаването на кубчето на Рубик.
От самото име става ясно, че тригонометричното уравнение е уравнение, в което неизвестното е под знака на тригонометричната функция.
Има така наречените най-прости тригонометрични уравнения. Ето как изглеждат: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Нека помислим как се решават такива тригонометрични уравнения, за яснота ще използваме вече познатата тригонометрична окръжност.
sinx = а
cos x = a
тен х = а
детско легло x = a
Всяко тригонометрично уравнение се решава на два етапа: свеждаме уравнението до най-простата му форма и след това го решаваме като просто тригонометрично уравнение.
Има 7 основни метода, чрез които се решават тригонометрични уравнения.
Заместване на променливи и метод на заместване
Решаване на тригонометрични уравнения чрез факторизация
Свеждане до хомогенно уравнение
Решаване на уравнения чрез преход към половин ъгъл
Въвеждане на спомагателен ъгъл
Решете уравнението 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0
Използвайки формулите за намаляване, получаваме:
2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0
Заменете cos(x + /6) с y, за да опростите и да получите обичайното квадратно уравнение:
2y 2 – 3y + 1 + 0
Корените на което са y 1 = 1, y 2 = 1/2
Сега да вървим в обратен ред
Заменяме намерените стойности на y и получаваме две опции за отговор:
Как да решим уравнението sin x + cos x = 1?
Нека преместим всичко наляво, така че 0 да остане отдясно:
sin x + cos x – 1 = 0
Нека използваме идентичностите, обсъдени по-горе, за да опростим уравнението:
sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0
Нека разложим на множители:
2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0
2sin(x/2) * = 0
Получаваме две уравнения
Едно уравнение е хомогенно по отношение на синус и косинус, ако всички негови членове са относителни към синус и косинус на една и съща степен на същия ъгъл. За да решите хомогенно уравнение, продължете както следва:
а) прехвърлете всичките си членове от лявата страна;
б) извадете всички общи множители извън скоби;
в) приравнете всички множители и скоби на 0;
г) в скоби се получава хомогенно уравнение от по-ниска степен, което от своя страна се разделя на синус или косинус от по-висока степен;
д) решете полученото уравнение за tg.
Решете уравнението 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2
Нека използваме формулата sin 2 x + cos 2 x = 1 и да се отървем от отворените две отдясно:
3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x
sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0
Разделете на cos x:
tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0
Заменете tan x с y и получете квадратно уравнение:
y 2 + 4y +3 = 0, чиито корени са y 1 =1, y 2 = 3
От тук намираме две решения на първоначалното уравнение:
x 2 = арктан 3 + k
Решете уравнението 3sin x – 5cos x = 7
Да преминем към x/2:
6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)
Нека преместим всичко наляво:
2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0
Разделете на cos(x/2):
tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0
За разглеждане нека вземем уравнение от вида: a sin x + b cos x = c,
където a, b, c са произволни коефициенти, а x е неизвестно.
Нека разделим двете страни на уравнението на:
Сега коефициентите на уравнението, според тригонометричните формули, имат свойствата sin и cos, а именно: техният модул е не повече от 1 и сумата на квадратите = 1. Нека ги обозначим съответно като cos и sin, където - това е така нареченият спомагателен ъгъл. Тогава уравнението ще приеме формата:
cos * sin x + sin * cos x = C
или sin(x + ) = C
Решението на това най-просто тригонометрично уравнение е
x = (-1) k * arcsin C - + k, където
Трябва да се отбележи, че обозначенията cos и sin са взаимозаменяеми.
Решете уравнението sin 3x – cos 3x = 1
Коефициентите в това уравнение са:
a = , b = -1, така че разделете двете страни на = 2
Можете да поръчате подробно решение на вашия проблем!!!
Равенство, съдържащо неизвестно под знака на тригонометрична функция (`sin x, cos x, tan x` или `ctg x`), се нарича тригонометрично уравнение и по-нататък ще разгледаме неговите формули.
Най-простите уравнения са „sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a“, където „x“ е ъгълът, който трябва да се намери, „a“ е произволно число. Нека запишем коренните формули за всеки от тях.
1. Уравнение `sin x=a`.
За `|a|>1` няма решения.
Когато `|a| \leq 1` има безкраен брой решения.
Коренна формула: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`
2. Уравнение `cos x=a`
За `|a|>1` - както в случая със синус, той няма решения сред реални числа.
Когато `|a| \leq 1` има безкраен брой решения.
Основна формула: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
Специални случаи за синус и косинус в графики. 
3. Уравнение `tg x=a`
Има безкраен брой решения за всякакви стойности на `a`.
Основна формула: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. Уравнение `ctg x=a`
Също така има безкраен брой решения за всякакви стойности на „a“.
Основна формула: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
Формули за корените на тригонометричните уравнения в таблицата
За синус: 
За косинус: 
За тангенс и котангенс: 
Формули за решаване на уравнения, съдържащи обратни тригонометрични функции:
Методи за решаване на тригонометрични уравнения
Решаването на всяко тригонометрично уравнение се състои от два етапа:
- с помощта на трансформирането му в най-простия;
- решаване на най-простото уравнение, получено с помощта на коренните формули и таблиците, написани по-горе.
Нека да разгледаме основните методи за решение, използвайки примери.
Алгебричен метод.
Този метод включва заместване на променлива и нейното заместване в равенство.
Пример. Решете уравнението: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,
направете замяна: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, след това `2y^2-3y+1=0`,
намираме корените: `y_1=1, y_2=1/2`, от което следват два случая:
1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.
Отговор: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
Факторизация.
Пример. Решете уравнението: `sin x+cos x=1`.
Решение. Нека преместим всички членове на равенството наляво: `sin x+cos x-1=0`. Използвайки, трансформираме и факторизираме лявата страна:
`sin x — 2sin^2 x/2=0`,
„2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0“,
„2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0“,
- `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
- `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Отговор: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Свеждане до хомогенно уравнение
Първо, трябва да намалите това тригонометрично уравнение до една от двете форми:
`a sin x+b cos x=0` (хомогенно уравнение от първа степен) или `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (хомогенно уравнение от втора степен).
След това разделете двете части на `cos x \ne 0` - за първия случай, и на `cos^2 x \ne 0` - за втория. Получаваме уравнения за `tg x`: `a tg x+b=0` и `a tg^2 x + b tg x +c =0`, които трябва да бъдат решени по известни методи.
Пример. Решете уравнението: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.
Решение. Нека запишем дясната страна като `1=sin^2 x+cos^2 x`:
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`
`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.
Това е хомогенно тригонометрично уравнение от втора степен, разделяме лявата и дясната му страна на `cos^2 x \ne 0`, получаваме:
`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`
„tg^2 x+tg x — 2=0“. Нека въведем замяната `tg x=t`, което води до `t^2 + t - 2=0`. Корените на това уравнение са `t_1=-2` и `t_2=1`. Тогава:
- `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
- `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.
Отговор. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.
Преминаване към половин ъгъл
Пример. Решете уравнението: `11 sin x - 2 cos x = 10`.
Решение. Нека приложим формулите за двоен ъгъл, което води до: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`
`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`
Прилагайки алгебричния метод, описан по-горе, получаваме:
- `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
- `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Отговор. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Въвеждане на спомагателен ъгъл
В тригонометричното уравнение „a sin x + b cos x =c“, където a,b,c са коефициенти и x е променлива, разделете двете страни на „sqrt (a^2+b^2)“:
`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.
Коефициентите от лявата страна имат свойствата на синус и косинус, а именно сумата от техните квадрати е равна на 1 и техните модули не са по-големи от 1. Нека ги обозначим по следния начин: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, тогава:
`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.
Нека разгледаме по-отблизо следния пример:
Пример. Решете уравнението: `3 sin x+4 cos x=2`.
Решение. Разделяме двете страни на равенството на `sqrt (3^2+4^2)`, получаваме:
`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`
„3/5 sin x+4/5 cos x=2/5“.
Нека означим `3/5 = cos \varphi`, `4/5=sin \varphi`. Тъй като `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, тогава ние приемаме `\varphi=arcsin 4/5` като спомагателен ъгъл. След това записваме нашето равенство във формата:
`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`
Прилагайки формулата за сбора на ъглите за синуса, записваме нашето равенство в следната форма:
`sin (x+\varphi)=2/5`,
`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,
`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Отговор. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Дробни рационални тригонометрични уравнения
Това са равенства с дроби, чиито числители и знаменатели съдържат тригонометрични функции.
Пример. Решете уравнението. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.
Решение. Умножете и разделете дясната страна на равенството на „(1+cos x)“. В резултат получаваме:
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`
`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`
Като се има предвид, че знаменателят не може да бъде равен на нула, получаваме `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.
Нека приравним числителя на дробта към нула: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. След това „sin x=0“ или „1-sin x=0“.
- `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
- `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.
Като се има предвид, че ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, решенията са `x=2\pi n, n \in Z` и `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.
Отговор. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.
Тригонометрията и по-специално тригонометричните уравнения се използват в почти всички области на геометрията, физиката и инженерството. Ученето започва в 10 клас, винаги има задачи за Единния държавен изпит, така че се опитайте да запомните всички формули на тригонометричните уравнения - те определено ще ви бъдат полезни!
Въпреки това, дори не е необходимо да ги запомняте, основното е да разберете същността и да можете да я извлечете. Не е толкова трудно, колкото изглежда. Убедете се сами, като изгледате видеото.
Тригонометричните уравнения не са лесна тема. Те са твърде разнообразни.) Например тези:
sin 2 x + cos3x = ctg5x
sin(5x+π /4) = cot(2x-π /3)
sinx + cos2x + tg3x = ctg4x
и т.н...
Но тези (и всички други) тригонометрични чудовища имат две общи и задължителни характеристики. Първо - няма да повярвате - в уравненията има тригонометрични функции.) Второ: всички изрази с x са намерени в рамките на същите тези функции.И само там! Ако X се появи някъде навън,Например, sin2x + 3x = 3,това вече ще е уравнение от смесен тип. Такива уравнения изискват индивидуален подход. Няма да ги разглеждаме тук.
В този урок също няма да решаваме зли уравнения.) Тук ще се занимаваме с най-простите тригонометрични уравнения.Защо? Да, защото решението всякаквитригонометричните уравнения се състоят от два етапа. На първия етап злото уравнение се свежда до просто чрез различни трансформации. На втория се решава това най-просто уравнение. Няма друг начин.
Така че, ако имате проблеми на втория етап, първият етап няма много смисъл.)
Как изглеждат елементарните тригонометрични уравнения?
sinx = а
cosx = а
tgx = а
ctgx = a
Тук А означава произволно число. Всякакви.
Между другото, вътре в една функция може да няма чисто X, а някакъв вид израз, като:
cos(3x+π /3) = 1/2
и т.н. Това усложнява живота, но не засяга метода за решаване на тригонометрично уравнение.
Как се решават тригонометрични уравнения?
Тригонометричните уравнения могат да се решават по два начина. Първият начин: използване на логиката и тригонометричната окръжност. Ще разгледаме този път тук. Вторият начин - използване на памет и формули - ще бъде разгледан в следващия урок.
Първият начин е ясен, надежден и трудно се забравя.) Добър е за решаване на тригонометрични уравнения, неравенства и всякакви трудни нестандартни примери. Логиката е по-силна от паметта!)
Решаване на уравнения с помощта на тригонометрична окръжност.
Включваме елементарна логика и умение да използваме тригонометричния кръг. Не знаеш ли как? Въпреки това... Ще ви е трудно в тригонометрията...) Но това няма значение. Разгледайте уроците "Тригонометрична окръжност...... Какво е това?" и "Измерване на ъгли върху тригонометрична окръжност." Там всичко е просто. За разлика от учебниците...)
О, знаеш ли!? И дори усвои „Практическа работа с тригонометричния кръг“!? Честито. Тази тема ще ви бъде близка и разбираема.) Особено радващото е, че тригонометричната окръжност не се интересува какво уравнение решавате. Синус, косинус, тангенс, котангенс – всичко му е едно и също. Има само един принцип на решение.
Така че вземаме всяко елементарно тригонометрично уравнение. Поне това:
cosx = 0,5
Трябва да намерим X. Казано на човешки език, имате нужда намерете ъгъла (x), чийто косинус е 0,5.
Как използвахме кръга преди? Начертахме ъгъл върху него. В градуси или радиани. И то веднага трион тригонометрични функции на този ъгъл. Сега нека направим обратното. Нека начертаем косинус върху окръжността, равен на 0,5 и веднага ще видим ъгъл. Остава само да напиша отговора.) Да, да!
Начертайте кръг и маркирайте косинуса, равен на 0,5. По косинусовата ос, разбира се. Като този:
Сега нека начертаем ъгъла, който ни дава този косинус. Задръжте курсора на мишката върху снимката (или докоснете снимката на таблета) и ще видитеточно този ъгъл Х.
Косинусът на кой ъгъл е 0,5?
x = π /3
cos 60°= cos( π /3) = 0,5
Някои хора ще се усмихнат скептично, да... Като например, струваше ли си да направим кръг, когато всичко вече е ясно... Можете, разбира се, да се усмихнете...) Но факт е, че това е грешен отговор. Или по-скоро недостатъчно. Познавачите на кръговете разбират, че тук има цял куп други ъгли, които също дават косинус от 0,5.
Ако завъртите подвижната страна OA пълен оборот, точка А ще се върне в първоначалната си позиция. Със същия косинус равен на 0,5. Тези. ъгълът ще се променис 360° или 2π радиана и косинус - не.Новият ъгъл 60° + 360° = 420° също ще бъде решение на нашето уравнение, т.к.
Могат да бъдат направени безкраен брой такива пълни завъртания... И всички тези нови ъгли ще бъдат решения на нашето тригонометрично уравнение. И всички те трябва да бъдат записани по някакъв начин в отговор. Всичко.Иначе решението не се брои, да...)
Математиката може да направи това просто и елегантно. Запишете в един кратък отговор безкрайно множестворешения. Ето как изглежда нашето уравнение:
x = π /3 + 2π n, n ∈ Z
Ще го дешифрирам. Все пак пиши смисленоПо-приятно е, отколкото глупаво да рисувате мистериозни букви, нали?)
π /3 - това е същият ъгъл, който ние трионвърху кръга и определенспоред косинусовата таблица.
2π е една пълна революция в радиани.
н - това е броят на пълните, т.е. цялооб/мин Ясно е, че н може да бъде равно на 0, ±1, ±2, ±3.... и така нататък. Както е посочено от краткия запис:
n ∈ Z
н принадлежи ( ∈ ) набор от цели числа ( З ). Между другото, вместо писмото н буквите могат да бъдат използвани к, м, т и т.н.
Тази нотация означава, че можете да вземете всяко цяло число н . Най-малко -3, поне 0, поне +55. Каквото поискаш. Ако замените това число в отговора, ще получите конкретен ъгъл, който определено ще бъде решението на нашето сурово уравнение.)
Или, с други думи, x = π /3 е единственият корен на безкрайно множество. За да получите всички други корени, е достатъчно да добавите произволен брой пълни обороти към π /3 ( н ) в радиани. Тези. 2π n радиан.
Всичко? Не. Нарочно удължавам удоволствието. За да запомним по-добре.) Получихме само част от отговорите на нашето уравнение. Ще напиша тази първа част от решението така:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
х 1 - не само един корен, а цяла поредица от корени, записани в кратка форма.
Но има и ъгли, които също дават косинус от 0,5!
Да се върнем към нашата снимка, от която записахме отговора. Ето я:
Задръжте мишката върху изображението и виждамедруг ъгъл, който също дава косинус от 0,5.На какво мислите, че е равно? Триъгълниците са еднакви... Да! То е равно на ъгъла х , само забавено в отрицателна посока. Това е ъгълът -Х. Но ние вече изчислихме x. π /3 или 60°. Следователно можем спокойно да напишем:
x 2 = - π /3
Е, разбира се, добавяме всички ъгли, които се получават чрез пълни обороти:
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Това е всичко сега.) На тригонометричната окръжност ние трион(който разбира, разбира се)) всичкоъгли, които дават косинус от 0,5. И ние записахме тези ъгли в кратка математическа форма. Отговорът доведе до две безкрайни серии от корени:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Това е правилният отговор.
надежда, общ принцип за решаване на тригонометрични уравненияизползването на кръг е ясно. Отбелязваме върху окръжност косинуса (синус, тангенс, котангенс) от даденото уравнение, начертаваме съответстващите му ъгли и записваме отговора.Разбира се, трябва да разберем какви ъгли сме трионвърху кръга. Понякога не е толкова очевидно. Е, казах, че тук е необходима логика.)
Например, нека разгледаме друго тригонометрично уравнение:
Моля, имайте предвид, че числото 0,5 не е единственото възможно число в уравненията!) Просто ми е по-удобно да го напиша, отколкото корени и дроби.
Ние работим според общия принцип. Начертаваме кръг, маркираме (на синусовата ос, разбира се!) 0,5. Начертаваме всички ъгли, съответстващи на този синус наведнъж. Получаваме тази снимка:
Нека първо се заемем с ъгъла х през първото тримесечие. Спомняме си таблицата на синусите и определяме стойността на този ъгъл. Това е проста работа:
x = π /6
Спомняме си за пълните завои и с чиста съвест записваме първата поредица от отговори:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
Половината работа е свършена. Но сега трябва да определим втори ъгъл...По-сложно е от косинусите, да... Но логиката ще ни спаси! Как да определим втория ъгъл през х? Да Лесно! Триъгълниците на снимката са еднакви и червеният ъгъл х равен на ъгъл х . Само той се брои от ъгъла π в отрицателна посока. Затова е червен.) А за отговора ни трябва ъгъл, измерен правилно от положителната полуос OX, т.е. от ъгъл 0 градуса.
Задръжте курсора върху чертежа и виждаме всичко. Премахнах първия ъгъл, за да не усложнявам картината. Ъгълът, който ни интересува (начертан в зелено), ще бъде равен на:
π - х
X ние знаем това π /6 . Следователно вторият ъгъл ще бъде:
π - π /6 = 5π /6
Отново си спомняме за добавянето на пълни обороти и записваме втората серия от отговори:
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Това е всичко. Пълният отговор се състои от две серии от корени:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Тангенсните и котангенсните уравнения могат лесно да бъдат решени, като се използва същият общ принцип за решаване на тригонометрични уравнения. Ако, разбира се, знаете как да начертаете тангенс и котангенс върху тригонометрична окръжност.
В примерите по-горе използвах табличната стойност на синус и косинус: 0,5. Тези. едно от онези значения, които ученикът знае трябва да.Сега нека разширим възможностите си до всички други стойности.Решете, така че решете!)
И така, да кажем, че трябва да решим това тригонометрично уравнение:
В кратките таблици няма такава косинусова стойност. Хладно игнорираме този ужасен факт. Начертайте окръжност, маркирайте 2/3 върху косинусната ос и начертайте съответните ъгли. Получаваме тази снимка.
Нека да разгледаме първо ъгъла в първата четвърт. Само ако знаехме на какво е равно x, веднага щяхме да запишем отговора! Не знаем... Провал!? Спокоен! Математиката не оставя своя народ в беда! Тя измисли дъгови косинуси за този случай. Не знам? Напразно. Разберете, това е много по-лесно, отколкото си мислите. На този линк няма нито едно сложно заклинание за "обратни тригонометрични функции"... Това е излишно в тази тема.
Ако сте наясно, просто си кажете: "X е ъгъл, чийто косинус е равен на 2/3." И веднага, чисто по дефиницията на аркосинус, можем да напишем:
Спомняме си за допълнителните обороти и спокойно записваме първата серия от корени на нашето тригонометрично уравнение:
x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
Втората поредица от корени за втория ъгъл се записва почти автоматично. Всичко е същото, само X (arccos 2/3) ще бъде с минус:
x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
И това е! Това е правилният отговор. Дори по-лесно, отколкото с таблични стойности. Няма нужда да помните нищо.) Между другото, най-внимателните ще забележат, че тази снимка показва решението през аркосинус по същество не се различава от картината за уравнението cosx = 0,5.
Точно! Общият принцип е точно такъв! Нарочно нарисувах две почти еднакви картини. Кръгът ни показва ъгъла х по своя косинус. Дали е табличен косинус или не, не е известно на всички. Какъв вид ъгъл е това, π /3, или какво е арккосинус - това зависи от нас да решим.
Същата песен със синуса. Например:
Начертайте отново кръг, маркирайте синуса, равен на 1/3, начертайте ъглите. Това е картината, която получаваме:
И отново картината е почти същата като при уравнението sinx = 0,5.Отново започваме от корнер през първата четвърт. На какво е равно X, ако неговият синус е 1/3? Няма проблем!
Сега първият пакет корени е готов:
x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Нека се заемем с втория ъгъл. В примера с таблична стойност от 0,5 тя е равна на:
π - х
И тук ще бъде абсолютно същото! Само х е различно, arcsin 1/3. И какво от това!? Можете спокойно да запишете втория пакет корени:
x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Това е напълно правилен отговор. Въпреки че не изглежда много познато. Но е ясно, надявам се.)
Ето как тригонометричните уравнения се решават с помощта на кръг. Този път е ясен и разбираем. Той е този, който спестява в тригонометрични уравнения с избор на корени на даден интервал, в тригонометрични неравенства - те обикновено се решават почти винаги в кръг. Накратко, във всякакви задачи, които са малко по-трудни от стандартните.
Да приложим знанията на практика?)
Решете тригонометрични уравнения:
Първо, по-просто, направо от този урок.
Сега е по-сложно.
Съвет: тук ще трябва да помислите за кръга. Лично.)
И сега те са външно прости... Наричат ги още специални случаи.
sinx = 0
sinx = 1
cosx = 0
cosx = -1
Съвет: тук трябва да разберете в кръг къде има две серии от отговори и къде има една... И как да напишете една вместо две серии от отговори. Да, за да не се загуби нито един корен от безкраен брой!)
Е, много просто):
sinx = 0,3
cosx = π
tgx = 1,2
ctgx = 3,7
Съвет: тук трябва да знаете какво са арксинус и аркосинус? Какво е арктангенс, арккотангенс? Най-простите определения. Но не е необходимо да помните стойности на таблица!)
Отговорите, разбира се, са бъркотия):
х 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
х 2= π - arcsin0,3 + 2
Не всичко се получава? Случва се. Прочетете урока отново. само замислено(има такава остаряла дума...) И следвайте връзките. Основните връзки са за кръга. Без нея тригонометрията е като пресичане на пътя със завързани очи. Понякога работи.)
Ако харесвате този сайт...
Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)
Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)
Можете да се запознаете с функции и производни.
