Функция за изграждане

Предлагаме на вашето внимание услуга за конструиране на графики на функции онлайн, всички права върху които принадлежат на компанията Десмос. Използвайте лявата колона, за да въведете функции. Можете да въведете ръчно или с помощта на виртуалната клавиатура в долната част на прозореца. За да увеличите прозореца с графиката, можете да скриете както лявата колона, така и виртуалната клавиатура.

Предимства на онлайн графики

• Визуално показване на въведените функции
• Изграждане на много сложни графики
• Конструиране на имплицитно зададени графики (например елипса x^2/9+y^2/16=1)
• Възможност за запазване на диаграми и получаване на връзка към тях, която става достъпна за всички в Интернет
• Контрол на мащаба, цвета на линията
• Възможност за начертаване на графики по точки, като се използват константи
• Изграждане на графики на няколко функции едновременно
• График в полярни координати (използвайте r и θ(\theta))

С нас е лесно да създавате диаграми с различна сложност онлайн. Строителството се извършва моментално. Услугата е търсена за намиране на пресечни точки на функции, за изобразяване на графики за по-нататъшното им преместване в документ на Word като илюстрации при решаване на проблеми и за анализ на поведенческите характеристики на функционалните графики. Оптималният браузър за работа с диаграми на тази страница на уебсайта е Google Chrome. Правилната работа не е гарантирана при използване на други браузъри.

Този учебен материал е само за справка и се отнася до широк кръг от теми. Статията предоставя преглед на графики на основни елементарни функции и разглежда най-важния въпрос - как да изградите графика правилно и БЪРЗО. В хода на изучаване на висша математика без познаване на графиките на основните елементарни функции ще бъде трудно, така че е много важно да запомните как изглеждат графиките на парабола, хипербола, синус, косинус и т.н. и да запомните някои от значенията на функциите. Ще говорим и за някои свойства на основните функции.

Не претендирам за изчерпателност и научна изчерпателност на материалите, акцентът ще бъде поставен преди всичко върху практиката - онези неща, с които човек се среща буквално на всяка крачка, във всяка тема от висшата математика. Графики за манекени? Може да се каже така.

Поради многобройни искания от читатели съдържание, върху което може да се кликне:

Освен това има ултра кратък синопсис по темата
– овладейте 16 вида диаграми, като изучавате ШЕСТ страници!

Сериозно, шест, дори аз бях изненадан. Това резюме съдържа подобрена графика и се предлага срещу номинална такса; може да се види демо версия. Удобно е да отпечатате файла, така че графиките да са винаги под ръка. Благодаря за подкрепата на проекта!

И да започнем веднага:

Как правилно да конструираме координатни оси?

На практика контролните работи почти винаги се попълват от учениците в отделни тетрадки, подредени в квадрат. Защо се нуждаете от карирана маркировка? В крайна сметка работата по принцип може да се извърши на листове А4. И клетката е необходима само за висококачествено и точно проектиране на чертежи.

Всеки чертеж на функционална графика започва с координатни оси.

Чертежите могат да бъдат двуизмерни и триизмерни.

Нека първо разгледаме двумерния случай Декартова правоъгълна координатна система:

1) Начертайте координатни оси. Оста се нарича ос х , а оста е у-ос . Винаги се опитваме да ги нарисуваме чист и не крив. Стрелките също не трябва да приличат на брадата на татко Карло.

2) Подписваме осите с големи букви „X“ и „Y“. Не забравяйте да обозначите осите.

3) Задайте скалата по осите: нарисувайте нула и две единици. При рисуване най-удобният и често използван мащаб е: 1 единица = 2 клетки (чертеж вляво) – при възможност се придържайте към него. От време на време обаче се случва чертежът да не се побира на листа на тетрадката - тогава намаляваме мащаба: 1 единица = 1 клетка (чертеж вдясно). Рядко, но се случва, че мащабът на чертежа трябва да бъде намален (или увеличен) още повече

НЯМА НУЖДА от „картечница“ …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ….Защото координатната равнина не е паметник на Декарт, а ученикът не е гълъб. Ние поставяме нулаИ две единици по осите. Понякога вместоединици, удобно е да „маркирате“ други стойности, например „две“ по абсцисната ос и „три“ по ординатната ос - и тази система (0, 2 и 3) също ще дефинира еднозначно координатната мрежа.

По-добре е да оцените приблизителните размери на чертежа ПРЕДИ да конструирате чертежа. Така, например, ако задачата изисква начертаване на триъгълник с върхове , , , тогава е напълно ясно, че популярният мащаб 1 единица = 2 клетки няма да работи. Защо? Нека да разгледаме точката - тук ще трябва да измерите петнадесет сантиметра надолу и, очевидно, рисунката няма да се побере (или едва се побере) на лист от тетрадка. Затова веднага избираме по-малък мащаб: 1 единица = 1 клетка.

Между другото, за сантиметри и клетки от тетрадка. Вярно ли е, че 30 клетки от тетрадка съдържат 15 сантиметра? За забавление измерете 15 сантиметра в тетрадката си с линийка. В СССР това може би е било вярно... Интересно е да се отбележи, че ако измерите същите тези сантиметри хоризонтално и вертикално, резултатите (в клетките) ще бъдат различни! Строго погледнато, съвременните тетрадки не са карирани, а правоъгълни. Това може да изглежда глупост, но рисуването, например, на кръг с компас в такива ситуации е много неудобно. Честно казано, в такива моменти започвате да мислите за правотата на другаря Сталин, който беше изпратен в лагери за халтура в производството, да не говорим за местната автомобилна индустрия, падащи самолети или експлодиращи електроцентрали.

Говорейки за качество, или кратка препоръка за канцеларски материали. Днес повечето от продаваните тетрадки са меко казано пълна глупост. Поради причината, че се мокрят и то не само от гел химикалки, но и от химикалки! Те спестяват пари на хартия. За регистрация тестовеПрепоръчвам да използвате тетрадки от Архангелската целулозно-хартиена фабрика (18 листа, мрежа) или „Pyaterochka“, въпреки че е по-скъпо. Препоръчително е да изберете гел химикал, дори най-евтиният китайски гел пълнител е много по-добър от химикалка, която или размазва, или къса хартията. Единствената „конкурентна“ химикалка, която мога да си спомня, е Erich Krause. Тя пише ясно, красиво и последователно – независимо дали с пълно ядро ​​или с почти празно.

Допълнително: Визията за правоъгълна координатна система през очите на аналитичната геометрия е разгледана в статията Линейна (не)зависимост на векторите. Основа на векторите, подробна информация за координатните квартали можете да намерите във втория параграф на урока Линейни неравенства.

3D калъф

Тук е почти същото.

1) Начертайте координатни оси. Стандартен: прилагане на ос – насочена нагоре, ос – насочена надясно, ос – насочена надолу наляво строгопод ъгъл от 45 градуса.

2) Маркирайте осите.

3) Задайте скалата по осите. Мащабът по оста е два пъти по-малък от мащаба по другите оси. Също така имайте предвид, че в десния чертеж използвах нестандартен "прорез" по оста (тази възможност вече беше спомената по-горе). От моя гледна точка това е по-точно, по-бързо и по-естетически приятно - няма нужда да търсите средата на клетката под микроскоп и да „извайвате“ единица, близка до началото на координатите.

Когато правите 3D чертеж, отново дайте приоритет на мащаба
1 единица = 2 клетки (чертеж вляво).

За какво са всички тези правила? Правилата са създадени за да се нарушават. Това ще направя сега. Факт е, че следващите чертежи на артикула ще бъдат направени от мен в Excel и координатните оси ще изглеждат неправилни от гледна точка на правилния дизайн. Бих могъл да начертая всички графики на ръка, но всъщност е страшно да ги начертая, тъй като Excel не желае да ги начертае много по-точно.

Графики и основни свойства на елементарни функции

Линейна функция е дадена от уравнението. Графиката на линейните функции е директен. За да се построи права линия, е достатъчно да се познават две точки.

Пример 1

Постройте графика на функцията. Нека намерим две точки. Изгодно е да изберете нула като една от точките.

Ако , тогава

Да вземем друга точка, например 1.

Ако , тогава

При изпълнение на задачи координатите на точките обикновено се обобщават в таблица:

А самите стойности се изчисляват устно или на чернова, калкулатор.

Намерени са две точки, нека направим чертежа:

Когато изготвяме чертеж, ние винаги подписваме графиките.

Би било полезно да си припомним специални случаи на линейна функция:

Забележете как поставих подписите, подписите не трябва да позволяват несъответствия при изучаване на чертежа. В този случай беше изключително нежелателно да се постави подпис до точката на пресичане на линиите или долу вдясно между графиките.

1) Линейна функция от формата () се нарича пряка пропорционалност. Например, . Графиката на правата пропорционалност винаги минава през началото. Така конструирането на права линия е опростено - достатъчно е да се намери само една точка.

2) Уравнение от формата определя права линия, успоредна на оста, по-специално, самата ос е дадена от уравнението. Графиката на функцията се начертава веднага, без да се откриват точки. Това означава, че записът трябва да се разбира по следния начин: „y винаги е равно на –4 за всяка стойност на x.“

3) Уравнение от формата определя права линия, успоредна на оста, по-специално, самата ос е дадена от уравнението. Графиката на функцията също се начертава веднага. Записът трябва да се разбира по следния начин: „x винаги, за всяка стойност на y, е равно на 1.“

Някои ще попитат, защо да помним 6 клас?! Така е, може би е така, но през годините на практика срещнах добра дузина студенти, които бяха объркани от задачата да построят графика като или.

Изграждането на права линия е най-често срещаното действие при правене на чертежи.

Правата е разгледана подробно в курса по аналитична геометрия, а интересуващите се могат да се обърнат към статията Уравнение на права на равнина.

Графика на квадратна, кубична функция, графика на полином

Парабола. График квадратична функция () представлява парабола. Помислете за известния случай:

Нека си припомним някои свойства на функцията.

И така, решението на нашето уравнение: – в тази точка се намира върхът на параболата. Защо това е така може да се намери в теоретичната статия за производната и урока за екстремуми на функцията. Междувременно нека изчислим съответната стойност „Y“:

Така върхът е в точката

Сега намираме други точки, докато нагло използваме симетрията на параболата. Трябва да се отбележи, че функцията – не е дори, но въпреки това никой не е отменил симетрията на параболата.

В какъв ред да намерите останалите точки, мисля, че ще стане ясно от финалната маса:

Този алгоритъм на изграждане образно може да се нарече „совалка” или принципът „напред и назад” при Анфиса Чехова.

Да направим чертежа:

От разгледаните графики идва на ум още една полезна функция:

За квадратична функция () вярно е следното:

Ако , тогава клоновете на параболата са насочени нагоре.

Ако , тогава клоновете на параболата са насочени надолу.

Задълбочени знания за кривата могат да се получат в урока Хипербола и парабола.

Кубична парабола е дадена от функцията. Ето рисунка, позната от училище:

Нека изброим основните свойства на функцията

Графика на функция

Представлява един от клоновете на парабола. Да направим чертежа:

Основни свойства на функцията:

В този случай оста е вертикална асимптота за графиката на хипербола при .

Би било ГРУБА грешка, ако при съставяне на чертеж небрежно позволите графиката да се пресече с асимптота.

Също така едностранните граници ни казват, че хиперболата не се ограничава отгореИ не се ограничава отдолу.

Нека разгледаме функцията в безкрайност: , тоест, ако започнем да се движим по оста наляво (или надясно) до безкрайност, тогава „игрите“ ще бъдат в подредена стъпка безкрайно близоприближават нулата и съответно клоновете на хиперболата безкрайно близоприближете се до оста.

Така че оста е хоризонтална асимптота за графиката на функция, ако „x“ клони към плюс или минус безкрайност.

Функцията е странно, и следователно хиперболата е симетрична спрямо началото. Този факт е очевиден от чертежа, освен това лесно се проверява аналитично: .

Графиката на функция от формата () представлява два клона на хипербола.

Ако , тогава хиперболата се намира в първата и третата координатна четвърт(вижте снимката по-горе).

Ако , тогава хиперболата се намира във втората и четвъртата координатна четвърт.

Посоченият модел на пребиваване на хипербола е лесен за анализ от гледна точка на геометрични трансформации на графики.

Пример 3

Конструирайте десния клон на хиперболата

Използваме метода на точково конструиране и е изгодно да изберете стойностите така, че да се делят на цяло:

Да направим чертежа:

Няма да е трудно да се конструира левият клон на хиперболата, странността на функцията ще помогне тук. Грубо казано, в таблицата на точковата конструкция ние мислено добавяме минус към всяко число, поставяме съответните точки и рисуваме втория клон.

Подробна геометрична информация за разглежданата права можете да намерите в статията Хипербола и парабола.

Графика на експоненциална функция

В този раздел веднага ще разгледам експоненциалната функция, тъй като в проблемите на висшата математика в 95% от случаите се появява експоненциалната.

Нека ви напомня, че това е ирационално число: , това ще се изисква при изграждането на графика, която всъщност ще изградя без церемонии. Три точки вероятно са достатъчни:

Нека засега оставим графиката на функцията, повече за нея по-късно.

Основни свойства на функцията:

Функционалните графики и т.н. изглеждат фундаментално еднакви.

Трябва да кажа, че вторият случай се среща по-рядко в практиката, но се среща, затова сметнах за необходимо да го включа в тази статия.

Графика на логаритмична функция

Да разгледаме функция с натурален логаритъм.
Нека направим чертеж точка по точка:

Ако сте забравили какво е логаритъм, вижте учебниците си.

Основни свойства на функцията:

Домейн:

Диапазон от стойности: .

Функцията не е ограничена отгоре: , макар и бавно, но клонът на логаритъма се издига до безкрайност.
Нека разгледаме поведението на функцията близо до нула вдясно: . Така че оста е вертикална асимптота за графиката на функция като "x" клони към нула отдясно.

Задължително е да знаете и запомните типичната стойност на логаритъма: .

По принцип графиката на логаритъма при основа изглежда по същия начин: , , (десетичен логаритъм при основа 10) и т.н. Освен това, колкото по-голяма е основата, толкова по-плоска ще бъде графиката.

Няма да разглеждаме случая; не помня последния път, когато съм правил графика с такава основа. А логаритъмът изглежда е много рядък гост в задачите на висшата математика.

В края на този параграф ще кажа още един факт: Експоненциална функция и логаритмична функция– това са две взаимно обратни функции. Ако погледнете внимателно графиката на логаритъма, можете да видите, че това е същият показател, просто е разположен малко по-различно.

Графики на тригонометрични функции

Откъде започват тригонометричните мъки в училище? вярно От синуса

Нека начертаем функцията

Тази линия се нарича синусоида.

Позволете ми да ви напомня, че „пи“ е ирационално число: , а в тригонометрията ви заслепява очите.

Основни свойства на функцията:

Тази функция е периодиченс точка . Какво означава? Нека да разгледаме сегмента. Вляво и вдясно от нея безкрайно се повтаря точно една и съща част от графиката.

Домейн: , тоест за всяка стойност на „x“ има синусова стойност.

Диапазон от стойности: . Функцията е ограничен: , тоест всички „игри“ се намират строго в сегмента .
Това не се случва: или, по-точно, случва се, но тези уравнения нямат решение.

Първо опитайте да намерите домейна на функцията:

успяхте ли Нека сравним отговорите:

всичко наред ли е Много добре!

Сега нека се опитаме да намерим диапазона от стойности на функцията:

намерени? Да сравним:

Схванах го? Много добре!

Нека отново да работим с графики, само че сега е малко по-сложно - намерете както домейна на дефиниция на функцията, така и диапазона от стойности на функцията.

Как да намерите домейна и диапазона на функция (разширено)

Ето какво се случи:

Мисля, че разбрахте графиките. Сега нека се опитаме да намерим домейна на дефиниция на функция в съответствие с формулите (ако не знаете как да направите това, прочетете раздела за):

успяхте ли Да проверим отговори:

1. , тъй като радикалният израз трябва да е по-голям или равен на нула.
2. , тъй като не можете да разделите на нула и радикалният израз не може да бъде отрицателен.
3. , тъй като, съответно, за всички.
4. , тъй като не можете да разделите на нула.

Все още обаче имаме още един въпрос без отговор...

Още веднъж ще повторя определението и ще го подчертая:

Забеляза ли? Думата „неженен“ е много, много важен елемент от нашето определение. Ще се опитам да ви го обясня с пръсти.

Да кажем, че имаме функция, дефинирана от права линия. . В, ние заместваме тази стойност в нашето „правило“ и получаваме това. Една стойност съответства на една стойност. Можем дори да направим таблица с различните стойности и да начертаем графика на тази функция, за да видим сами.

"Виж! - вие казвате, "" се случва два пъти!" Така че може би параболата не е функция? Не, то е!

Фактът, че “ ” се появява два пъти не е причина да обвиняваме параболата в двусмислие!

Факт е, че при изчисляването за получихме една игра. И при изчисляване с, получихме една игра. Така че, така е, параболата е функция. Вижте графиката:

Схванах го? Ако не, ето един житейски пример, който е много далеч от математиката!

Да приемем, че имаме група кандидати, които се срещнаха при подаването на документи, всеки от които каза в разговор къде живее:

Съгласете се, че е напълно възможно няколко момчета да живеят в един град, но е невъзможно един човек да живее в няколко града едновременно. Това е като логично представяне на нашата "парабола" - Няколко различни X съответстват на една и съща игра.

Сега нека измислим пример, при който зависимостта не е функция. Да кажем, че същите тези момчета ни казаха за какви специалности са кандидатствали:

Тук имаме съвсем различна ситуация: едно лице може лесно да подаде документи за едно или няколко направления. Това е един елементкомплекти се въвеждат в кореспонденция няколко елементамножества. съответно това не е функция.

Нека проверим знанията ви на практика.

Определете от снимките кое е функция и кое не:

Схванах го? И ето го отговори:

• Функцията е - B, E.
• Функцията не е - A, B, D, D.

Питате защо? Да, ето защо:

На всички снимки с изключение на IN)И Д)Има няколко за един!

Сигурен съм, че сега можете лесно да различите функция от нефункция, да кажете какво е аргумент и какво е зависима променлива, както и да определите диапазона от допустими стойности на аргумент и диапазона на дефиниция на функция . Нека да преминем към следващия раздел - как да настроите функция?

Методи за задаване на функция

Какво мислите, че означават думите? "задайте функция"? Точно така, това означава да обясним на всички за каква функция говорим в случая. Освен това го обяснете по такъв начин, че всички да ви разберат правилно и графиките на функциите, начертани от хората въз основа на вашето обяснение, да са еднакви.

Как мога да направя това? Как да зададете функция?Най-простият метод, който вече е използван повече от веднъж в тази статия, е използвайки формулата.Пишем формула и като заместваме стойност в нея, изчисляваме стойността. И както си спомняте, формулата е закон, правило, чрез което за нас и за друг човек става ясно как X се превръща в Y.

Обикновено те правят точно това - в задачите виждаме готови функции, определени с формули, но има и други начини за задаване на функция, за които всички забравят, и следователно въпросът „как иначе можете да зададете функция?“ прегради. Нека разберем всичко по ред и да започнем с аналитичния метод.

Аналитичен метод за определяне на функция

Аналитичният метод е да се определи функция с помощта на формула. Това е най-универсалният, изчерпателен и недвусмислен метод. Ако имате формула, тогава знаете абсолютно всичко за функция - можете да направите таблица със стойности от нея, можете да построите графика, да определите къде функцията нараства и къде намалява, като цяло, изучавайте я изцяло.

Нека разгледаме функцията. Каква е разликата?

"Какво означава?" - ти питаш. Сега ще обясня.

Нека ви напомня, че в нотацията изразът в скоби се нарича аргумент. И този аргумент може да бъде всеки израз, не непременно прост. Съответно, какъвто и да е аргументът (изразът в скоби), ние ще го запишем вместо това в израза.

В нашия пример ще изглежда така:

Нека разгледаме друга задача, свързана с аналитичния метод за задаване на функция, която ще имате на изпита.

Намерете стойността на израза при.

Сигурен съм, че в началото сте се уплашили, когато сте видели такова изражение, но в това няма абсолютно нищо страшно!

Всичко е същото като в предишния пример: какъвто и да е аргументът (изразът в скоби), ще го запишем вместо него в израза. Например за функция.

Какво трябва да се направи в нашия пример? Вместо това трябва да напишете и вместо това -:

съкратете получения израз:

Това е всичко!

Самостоятелна работа

Сега опитайте сами да намерите значението на следните изрази:

1. , Ако
2. , Ако

успяхте ли Нека сравним нашите отговори: Свикнали сме с факта, че функцията има формата

Дори в нашите примери ние дефинираме функцията точно по този начин, но аналитично е възможно функцията да се посочи в неявна форма, например.

Опитайте сами да изградите тази функция.

успяхте ли

Ето как го построих.

Какво уравнение най-накрая получихме?

вярно! Линеен, което означава, че графиката ще бъде права линия. Нека направим таблица, за да определим кои точки принадлежат на нашата права:

Точно за това говорехме... Едно отговаря на няколко.

Нека се опитаме да нарисуваме какво се случи:

Функция ли е това, което имаме?

Точно така, не! Защо? Опитайте се да отговорите на този въпрос с помощта на рисунка. Какво получи?

„Защото една стойност съответства на няколко стойности!“

Какво заключение можем да направим от това?

Точно така, една функция не винаги може да бъде изразена експлицитно и това, което е „маскирано“ като функция, не винаги е функция!

Табличен метод за определяне на функция

Както подсказва името, този метод е прост знак. Да да. Като този, който вие и аз вече направихме. Например:

Тук веднага забелязахте модел - Y е три пъти по-голям от X. А сега задачата „помислете много внимателно“: смятате ли, че функция, дадена под формата на таблица, е еквивалентна на функция?

Да не говорим дълго, а да рисуваме!

Така. Чертаем функцията, определена от тапета, по следните начини:

Виждате ли разликата? Не всичко е в отбелязаните точки! Погледни отблизо:

Видяхте ли го сега? Когато дефинираме функция в табличен вид, показваме на графиката само тези точки, които имаме в таблицата и правата (както в нашия случай) минава само през тях. Когато дефинираме функция аналитично, можем да вземем всякакви точки и нашата функция не се ограничава до тях. Това е особеността. Помня!

Графичен метод за конструиране на функция

Графичният метод за конструиране на функция е не по-малко удобен. Ние чертаем нашата функция и друго заинтересовано лице може да намери на какво е равно y при определено x и така нататък. Графичните и аналитичните методи са сред най-разпространените.

Тук обаче трябва да запомните това, за което говорихме в самото начало - не всяка „качулка“, начертана в координатната система, е функция! Помниш ли? За всеки случай ще копирам тук дефиницията на това какво е функция:

По правило хората обикновено назовават точно трите начина за определяне на функция, които обсъдихме - аналитичен (с помощта на формула), табличен и графичен, напълно забравяйки, че една функция може да бъде описана словесно. Като този? Да, много просто!

Словесно описание на функцията

Как да опишем вербално функция? Да вземем нашия скорошен пример - . Тази функцияможе да се опише като „за всяка реална стойност на x съответства нейната тройна стойност“. Това е всичко. Нищо сложно. Вие, разбира се, ще възразите - „има така сложни функции, които просто не могат да бъдат зададени устно!“ Да, има такива, но има функции, които е по-лесно да се опишат словесно, отколкото да се дефинират с формула. Например: „всяка естествена стойност на x съответства на разликата между цифрите, от които се състои, докато умаленото се приема за най-голямата цифра, съдържаща се в нотацията на числото.“ Сега нека да разгледаме как нашето словесно описание на функцията се прилага на практика:

Най-високата цифра в дадено число- съответно е умалително, тогава:

Основни видове функции

Сега да преминем към най-интересното - нека да разгледаме основните типове функции, с които сте работили/работите и ще работите в курса на училищната и студентската математика, тоест да се запознаем с тях, така да се каже , и им дайте Кратко описание. Прочетете повече за всяка функция в съответния раздел.

Линейна функция

Функция от формата където са реални числа.

Графиката на тази функция е права линия, така че конструирането на линейна функция се свежда до намиране на координатите на две точки.

Положението на правата върху координатната равнина зависи от ъгловия коефициент.

Обхватът на функция (известен още като обхват на валидни стойности на аргумент) е .

Диапазон от стойности - .

Квадратична функция

Функция на формата, където

Графиката на функцията е парабола, когато клоновете на параболата са насочени надолу, когато клоните са насочени нагоре.

Много свойства на квадратична функция зависят от стойността на дискриминанта. Дискриминантът се изчислява по формулата

Позицията на параболата върху координатната равнина спрямо стойността и коефициента е показана на фигурата:

Домейн

Диапазонът на стойностите зависи от екстремума на дадената функция (върхова точка на параболата) и коефициента (посоката на клоновете на параболата)

Обратна пропорционалност

Функцията, дадена от формулата, където

Числото се нарича коефициент на обратна пропорционалност. В зависимост от стойността клоновете на хиперболата са в различни квадрати:

Домейн - .

Диапазон от стойности - .

ОБОБЩЕНИЕ И ОСНОВНИ ФОРМУЛИ

1. Функцията е правило, според което всеки елемент от множеството се свързва с един елемент от множеството.

• - това е формула, обозначаваща функция, тоест зависимостта на една променлива от друга;
• - променливо количество, или, аргумент;
• - зависимо количество - променя се, когато аргументът се променя, тоест според всяка конкретна формула, отразяваща зависимостта на едно количество от друго.

2. Валидни стойностиаргумент, или областта на функция, е това, което е свързано с възможностите, в които функцията има смисъл.

3. Функционален диапазон- това е какви стойности приема, като се имат предвид приемливите стойности.

4. Има 4 начина за задаване на функция:

• аналитичен (с помощта на формули);
• табличен;
• графика
• словесно описание.

5. Основни видове функции:

• : , където, са реални числа;
• : , Където;
• : , Където.

Национален изследователски университет

Катедра Приложна геология

Реферат по висша математика

По темата: „Основни елементарни функции,

техните свойства и графики"

Завършено:

Проверено:

учител

Определение. Функцията, дадена с формулата y=a x (където a>0, a≠1) се нарича експоненциална функция с основа a.

Нека формулираме основните свойства на експоненциалната функция:

1. Област на дефиниция - множеството (R) на всички реални числа.

2. Диапазон - множеството (R+) от всички положителни реални числа.

3. При a > 1 функцията нараства по цялата числова ос; на 0<а<1 функция убывает.

4. Е функция от общ вид.

, на интервала xО [-3;3] , на интервала xО [-3;3]

Функция от вида y(x)=x n, където n е числото ОR, се нарича степенна функция. Числото n може да приема различни стойности: както цяло, така и дробно, както четно, така и нечетно. В зависимост от това степенната функция ще има различна форма. Нека разгледаме специални случаи, които са степенни функции и отразяват основните свойства на този тип крива в следния ред: степенна функция y=x² (функция с четен показател - парабола), степенна функция y=x³ (функция с нечетен показател - кубична парабола) и функция y=√x (x на степен ½) (функция с дробна степен), функция с отрицателна цяло число (хипербола).

Силова функция y=x²

1. D(x)=R – функцията е дефинирана върху цялата числова ос;

2. E(y)= и расте на интервала

Силова функция y=x³

1. Графиката на функцията y=x³ се нарича кубична парабола. Степенната функция y=x³ има следните свойства:

2. D(x)=R – функцията е дефинирана върху цялата числова ос;

3. E(y)=(-∞;∞) – функцията приема всички стойности в своята област на дефиниране;

4. При x=0 y=0 – функцията преминава през началото на координати O(0;0).

5. Функцията нараства в цялата област на дефиниция.

6. Функцията е нечетна (симетрична спрямо началото).

, на интервала xО [-3;3]

В зависимост от числения фактор пред x³, функцията може да бъде стръмна/плоска и нарастваща/намаляваща.

Степенна функция с цяло отрицателно число:

Ако показателят n е нечетен, тогава графиката на такава степенна функция се нарича хипербола. Степенна функция с цяло число отрицателен показател има следните свойства:

1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) за всяко n;

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), ако n е нечетно число; E(y)=(0;∞), ако n е четно число;

3. Функцията намалява по цялата област на дефиниция, ако n е нечетно число; функцията расте в интервала (-∞;0) и намалява в интервала (0;∞), ако n е четно число.

4. Функцията е нечетна (симетрична спрямо началото), ако n е нечетно число; функцията е четна, ако n е четно число.

5. Функцията преминава през точките (1;1) и (-1;-1), ако n е нечетно число и през точките (1;1) и (-1;1), ако n е четно число.

, на интервала xО [-3;3]

Степенна функция с дробен показател

Степенна функция с дробен показател (картинка) има графика на функцията, показана на фигурата. Степенна функция с дробен показател има следните свойства: (картинка)

1. D(x) ОR, ако n е нечетно число и D(x)= , на интервала xО , на интервала xО [-3;3]

Логаритмичната функция y = log a x има следните свойства:

1. Област на дефиниция D(x)О (0; + ∞).

2. Диапазон от стойности E(y) О (- ∞; + ∞)

3. Функцията не е нито четна, нито нечетна (от общ вид).

4. Функцията нараства на интервала (0; + ∞) за a > 1, намалява на (0; + ∞) за 0< а < 1.

Графиката на функцията y = log a x може да се получи от графиката на функцията y = a x с помощта на трансформация на симетрия спрямо правата линия y = x. Фигура 9 показва графика на логаритмичната функция за a > 1, а фигура 10 за 0< a < 1.

; на интервала xО ; на интервала xО

Функциите y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = ctg x се наричат ​​тригонометрични функции.

Функциите y = sin x, y = tan x, y = ctg x са нечетни, а функцията y = cos x е четна.

Функция y = sin(x).

1. Област на дефиниция D(x) ОР.

2. Диапазон от стойности E(y) О [ - 1; 1].

3. Функцията е периодична; главният период е 2π.

4. Функцията е нечетна.

5. Функцията расте на интервали [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] и намалява на интервалите [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n О Z.

Графиката на функцията y = sin (x) е показана на фигура 11.