По-удобно е резултатът да се представи под формата на таблица 9.6.

Таблица 9.6

Нека използваме формулите за началните моменти и резултатите от таблици 9.3 и 9.4 и изчислим математическите очаквания на компонентите хИ Y:

Изчисляваме дисперсиите, като използваме втория начален момент и резултатите от таблицата. 9.3 и 9.4:

За изчисляване на ковариацията ДА СЕ(X,Y) използваме подобна формула през началния момент:

Коефициентът на корелация се определя по формулата:

Необходимата вероятност се определя като вероятността за попадане в област на равнината, дефинирана от съответното неравенство:

9.2. Корабът предава съобщение „SOS“, което може да бъде получено от две радиостанции. Този сигнал може да се приема от една радиостанция независимо от другата. Вероятността сигналът да бъде приет от първата радиостанция е 0,95; вероятността сигналът да бъде приет от втората радиостанция е 0,85. Намерете закона за разпределение на двумерна случайна променлива, характеризираща приемането на сигнал от две радиостанции. Напишете функцията на разпределение.

Решение:Позволявам х– събитие, състоящо се в приемането на сигнала от първата радиостанция. Y– събитието е, че сигналът се приема от втора радиостанция.

Множество значения .

х=1 – сигнал, получен от първата радиостанция;

х=0 – сигналът не е приет от първата радиостанция.

Множество значения .

Y=l – сигнал, получен от втората радиостанция,

Y=0 – сигналът не се приема от втората радиостанция.

Вероятността сигналът да не бъде приет нито от първата, нито от втората радиостанция е:

Вероятност за приемане на сигнал от първата радиостанция:

Вероятност сигналът да бъде приет от втората радиостанция:

Вероятността сигналът да бъде приет както от първата, така и от втората радиостанция е равна на: .

Тогава законът за разпределение на двумерна случайна променлива е равен на:

х,г) значение Е(х,г) е равна на сумата от вероятностите на тези възможни стойности на случайната променлива ( х,Y), които попадат в посочения правоъгълник.

Тогава функцията за разпределение ще изглежда така:

9.3. Две компании произвеждат идентични продукти. Всеки, независимо от другия, може да реши да модернизира производството. Вероятността първата фирма да вземе такова решение е 0,6. Вероятността втората фирма да вземе такова решение е 0,65. Напишете закона за разпределение на двумерна случайна променлива, която характеризира решението за модернизиране на производството на две фирми. Напишете функцията на разпределение.

Отговор:Закон за разпределение:

За всяка фиксирана стойност на точка с координати ( х,г) стойността е равна на сумата от вероятностите на онези възможни стойности, които попадат в посочения правоъгълник .

9.4. Буталните пръстени за автомобилни двигатели се изработват на автоматичен струг. Измерва се дебелината на пръстена (произволна стойност х) и диаметър на отвора (произволна стойност Y). Известно е, че около 5% от всички бутални пръстени са дефектни. Освен това 3% от дефектите са причинени от нестандартни диаметри на отвора, 1% - от нестандартна дебелина, а 1% - са отхвърлени и на двете основания. Намерете: съвместно разпределение на двумерна случайна променлива ( х,Y); едномерни разпределения на компонентите хИ Y;математически очаквания на компонентите хИ Y; корелационен момент и коефициент на корелация между компонентите хИ Yдвумерна случайна променлива ( х,Y).

Отговор:Закон за разпределение:

; ; ; ; ; .

9.5. Фабричните продукти са дефектни поради дефекти Ае 4%, а поради дефект IN– 3,5%. Стандартното производство е 96%. Определете какъв процент от всички продукти имат и двата вида дефекти.

9.6. Случайна стойност ( х,Y)разпределени с постоянна плътност вътре в площада Р, чиито върхове имат координати (–2;0), (0;2), (2;0), (0;–2). Определете плътността на разпределение на случайната променлива ( х,Y) и условни плътности на разпределение Р(х\при), Р(при\х).

Решение.Да строим върху равнина х 0гдаден квадрат (фиг. 9.5) и определете уравненията на страните на квадрата ABCD, като използвате уравнението на права линия, минаваща през две дадени точки: Заместване на координатите на върховете АИ INполучаваме последователно уравнението на страната AB: или .

По същия начин намираме уравнението на страната слънце: ;страни CD: и страни Д.А.: . : .D X , Y) е полукълбо с център в началото на радиуса Р.Намерете плътността на разпределението на вероятностите.

Отговор:

9.10. Дадена е дискретна двумерна случайна променлива:

Намерете: а) закон за условно разпределение х, при условие че y= 10;

б) закон за условно разпределение Y, при условие че х =10;

в) математическо очакване, дисперсия, коефициент на корелация.

9.11. Непрекъсната двумерна случайна променлива ( х,Y) равномерно разпределени вътре в правоъгълен триъгълник с върхове ОТНОСНО(0;0), А(0;8), IN(8,0).

Намерете: а) плътност на разпределение на вероятностите;

двумерно дискретно разпределение случайно

Често резултатът от експеримента се описва с няколко случайни променливи: . Например, времето на дадено място в определен час от деня може да се характеризира със следните случайни променливи: х 1 - температура, х 2 - налягане, х 3 - влажност на въздуха, х 4 - скорост на вятъра.

В този случай говорим за многомерна случайна величина или система от случайни величини.

Помислете за двумерна случайна променлива, чиито възможни стойности са двойки числа. Геометрично, двумерна случайна променлива може да се интерпретира като произволна точка в равнина.

Ако компонентите хИ Yса дискретни случайни променливи, тогава е дискретна двумерна случайна променлива и ако хИ Yса непрекъснати, тогава е непрекъсната двумерна случайна променлива.

Законът за разпределение на вероятностите на двумерна случайна променлива е съответствието между възможните стойности и техните вероятности.

Законът за разпределение на двумерна дискретна случайна променлива може да бъде определен под формата на таблица с двоен вход (виж таблица 6.1), където е вероятността компонентът хпридоби значението х аз, и компонента Y- значение г й .

Таблица 6.1.1.

Тъй като събитията представляват пълна група от несъвместими по двойки събития, сумата от вероятностите е равна на 1, т.е.

От таблица 6.1 можете да намерите законите на разпределение на едномерните компоненти хИ Y.

Пример 6.1.1 . Намерете законите за разпределение на компонентите хИ Y,ако разпределението на двумерна случайна променлива е дадено под формата на таблица 6.1.2.

Таблица 6.1.2.

Ако фиксираме стойността на един от аргументите, например, тогава полученото разпределение на стойността хнаречено условно разпределение. Условното разпределение се определя по подобен начин Y.

Пример 6.1.2 . Според разпределението на двумерна случайна величина, дадено в табл. 6.1.2, намерете: а) условния закон за разпределение на компонента хпредвид това; б) закон за условно разпределение Yпри условие че.

Решение. Условни вероятности на компоненти хИ Yизчислени с помощта на формули

Закон за условно разпределение хпри условие, че има формата

Контрол: .

Законът за разпределение на двумерна случайна променлива може да бъде определен във формата разпределителни функции, което определя за всяка двойка числа вероятността, че хще вземе стойност по-малка от х, и при което Yще вземе стойност по-малка от г:

Геометрично, функцията означава вероятността произволна точка да попадне в безкраен квадрат с върха си в точката (фиг. 6.1.1).

Нека отбележим свойствата.

• 1. Диапазонът от стойности на функцията е , т.е. .
• 2. Функция - ненамаляваща функция за всеки аргумент.
• 3. Има ограничителни отношения:

Когато функцията на разпределение на системата стане равна на функцията на разпределение на компонента х, т.е. .

По същия начин,.

Като знаете това, можете да намерите вероятността произволна точка да попадне в правоъгълника ABCD.

а именно

Пример 6.1.3. Двумерна дискретна случайна променлива се определя от таблица на разпределение

Намерете функцията на разпределение.

Решение. Стойност в случай на дискретни компоненти хИ Yсе намира чрез сумиране на всички вероятности с индекси азИ й, за което, . Тогава, ако и, тогава (събитията и са невъзможни). По същия начин получаваме:

ако и, тогава;

ако и, тогава;

ако и, тогава;

ако и, тогава;

ако и, тогава;

ако и, тогава;

ако и, тогава;

ако и, тогава;

ако и, тогава.

Нека представим получените резултати под формата на таблица (6.1.3) със стойности:

За двумерен непрекъснатслучайна променлива се въвежда концепцията за плътност на вероятността

Геометричната плътност на вероятността е разпределителна повърхност в пространството

Двумерната плътност на вероятността има следните свойства:

3. Функцията на разпределение може да се изрази чрез формулата

4. Вероятността непрекъсната случайна променлива да попадне в региона е равна на

5. В съответствие със свойство (4) на функцията са валидни следните формули:

Пример 6.1.4.Дадена е функцията на разпределение на двумерна случайна променлива

Доста често, когато изучаваме случайни променливи, човек трябва да работи с две, три или дори повече случайни променливи. Например, двумерна случайна променлива $\left(X,\ Y\right)$ ще опише точката на удара на снаряд, където случайните променливи $X,\ Y$ са съответно абсцисата и ординатата. Представянето на произволно избран студент по време на сесия се характеризира с $n$-мерна случайна променлива $\left(X_1,\ X_2,\ \dots ,\ X_n\right)$, където случайните променливи са $X_1,\ X_2,\ \dots ,\ X_n $ са оценките, вписани в дневника за оценки за различни дисциплини.

Извиква се набор от $n$ случайни променливи $\left(X_1,\ X_2,\ \dots ,\ X_n\right)$ произволен вектор. Ще се ограничим до разглеждането на случая $\left(X,\ Y\right)$.

Нека $X$ е дискретна случайна променлива с възможни стойности $x_1,x_2,\ \dots ,\ x_n$ и $Y$ е дискретна случайна променлива с възможни стойности $y_1,y_2,\ \dots , \ y_n$.

Тогава дискретна двумерна случайна променлива $\left(X,\ Y\right)$ може да приема стойности $\left(x_i,\ y_j\right)$ с вероятности $p_(ij)=P\left(\ ляв(X=x_i \десен)\ляв(Y=y_j\десен)\десен)=P\ляв(X=x_i\десен)P\ляв(Y=y_j|X=x_i\десен)$. Тук $P\left(Y=y_j|X=x_i\right)$ е условната вероятност случайната променлива $Y$ да приеме стойността $y_j$, при условие че случайната променлива $X$ приема стойността $x_i$ .

Вероятността случайната променлива $X$ да приеме стойността $x_i$ е равна на $p_i=\sum_j(p_(ij))$. Вероятността случайната променлива $Y$ да приеме стойността $y_j$ е равна на $q_j=\sum_i(p_(ij))$.

$$P\left(X=x_i|Y=y_j\right)=((P\left(\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right))\над (P\ ляво(Y=y_j\дясно)))=((p_(ij))\над (q_j)).$$

$$P\left(Y=y_j|X=x_i\right)=((P\left(\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right))\over (P\ ляво(X=x_i\дясно)))=((p_(ij))\над (p_i)).$$

Пример 1 . Разпределението на двумерна случайна променлива е дадено:

$\begin(масив)(|c|c|)
\hline
X\обратна наклонена черта Y & 2 & 3 \\
\hline
-1 & 0,15 & 0,25 \\
\hline
0 & 0,28 & 0,13 \\
\hline
1 & 0,09 & 0,1 \\
\hline
\край (масив)$

Нека дефинираме законите на разпределение на случайните променливи $X$ и $Y$. Нека намерим условните разпределения на случайната променлива $X$ при условие $Y=2$ и на случайната променлива $Y$ при условие $X=0$.

Нека попълним следната таблица:

$\begin(масив)(|c|c|)
\hline
X\обратна наклонена черта Y & 2 & 3 & p_i & p_(ij)/q_1 \\
\hline
-1 & 0,15 & 0,25 & 0,4 & 0,29 \\
\hline
0 & 0,28 & 0,13 & 0,41 & 0,54 \\
\hline
1 & 0,09 & 0,1 & 0,19 & 0,17 \\
\hline
q_j & 0,52 & 0,48 & 1 & \\
\hline
p_(ij)/p_2 & 0,68 & 0,32 & & \\
\hline
1 & 0,09 & 0,1 \\
\hline
\край (масив)$

Нека обясним как се попълва таблицата. Стойностите на първите три колони на първите четири реда се вземат от условието. Сумата от числата в $2$-та и $3$-та колони на $2$-ти ($3$-ти) ред е посочена в $4$-та колона на $2$-ти ($3$-ти) ред. Посочваме сумата от числата в $2$-та и $3$-та колони на $4$-ти ред в $4$-та колона на $4$-ти ред.

Записваме сумата от числата в $2$-ти, $3$-ти и $4$-ти редове на $2$-та ($3$-та) колона в $5$-ти ред на $2$-та ($3$-та) колона. Разделяме всяко число в $2$-та колона на $q_1=0,52$, закръгляме резултата до два знака след десетичната запетая и го записваме в $5$-та колона. Разделяме числата от $2$-та и $3$-та колони на $3$-ти ред на $p_2=0.41$, закръгляме резултата до два знака след десетичната запетая и го записваме на последния ред.

Тогава законът за разпределение на случайната величина $X$ има следния вид.

$\begin(масив)(|c|c|)
\hline
X & -1 & 0 & 1 \\
\hline
p_i & 0,4 & 0,41 & 0,19 \\
\hline
\край (масив)$

Закон за разпределение на случайната величина $Y$.

$\begin(масив)(|c|c|)
\hline
Y&2&3\\
\hline
q_j & 0,52 & 0,48 \\
\hline
\край (масив)$

Условното разпределение на случайната величина $X$ при условие $Y=2$ има следния вид.

$\begin(масив)(|c|c|)
\hline
X & -1 & 0 & 1 \\
\hline
p_(ij)/q_1 & 0,29 & 0,54 & 0,17 \\
\hline
\край (масив)$

Условното разпределение на случайната величина $Y$ при условие $X=0$ има следния вид.

$\begin(масив)(|c|c|)
\hline
Y&2&3\\
\hline
p_(ij)/p_2 & 0,68 & 0,32 \\
\hline
\край (масив)$

Пример 2 . Имаме шест молива, включително два червени. Сложихме моливите в две кутии. Първият съдържа $2$ парчета, а вторият също съдържа две. $X$ е броят на червените моливи в първата кутия, а $Y$ - във втората. Напишете закона за разпределение на системата от случайни променливи $(X,\ Y)$.

Нека дискретната случайна променлива $X$ е броят на червените моливи в първото поле, а дискретната случайна променлива $Y$ е броят на червените моливи във второто поле. Възможните стойности на случайни променливи $X,\ Y$ са съответно $X:0,\ 1,\ 2$, $Y:0,\ 1,\ 2$. Тогава дискретна двумерна случайна променлива $\left(X,\ Y\right)$ може да приема стойности $\left(x,\ y\right)$ с вероятности $P=P\left(\left(X =x\right) \times \left(Y=y\right)\right)=P\left(X=x\right)\times P\left(Y=y|X=x\right)$, където $ P\left(Y =y|X=x\right)$ е условната вероятност случайната променлива $Y$ да приеме стойността $y$, при условие че случайната променлива $X$ приема стойността $x$. Нека представим съответствието между стойностите $\left(x,\ y\right)$ и вероятностите $P\left(\left(X=x\right)\times \left(Y=y\right) \right)$ под формата на следните таблици.

$\begin(масив)(|c|c|)
\hline
X\обратна наклонена черта Y & 0 & 1 & 2 \\
\hline
0 & ((1)\над (15)) & ((4)\над (15)) & ((1)\над (15)) \\
\hline
1 & ((4)\над (15)) & ((4)\над (15)) & 0 \\
\hline
2 & ((1)\над (15)) & 0 & 0 \\
\hline
\край (масив)$

Редовете на такава таблица показват стойностите на $X$, а колоните стойностите на $Y$, след това вероятностите $P\left(\left(X=x\right)\times \left( Y=y\right)\right)$ са посочени в пресечната точка на съответния ред и колона. Нека изчислим вероятностите, като използваме класическата дефиниция на вероятността и теоремата за произведението на вероятностите на зависими събития.

$$P\left(\left(X=0\right)\left(Y=0\right)\right)=((C^2_4)\over (C^2_6))\cdot ((C^2_2) \над (C^2_4))=((6)\над (15))\cdot ((1)\над (6))=((1)\над (15));$$

$$P\left(\left(X=0\right)\left(Y=1\right)\right)=((C^2_4)\over (C^2_6))\cdot ((C^1_2\ cdot C^1_2)\над (C^2_4))=((6)\над (15))\cdot ((2\cdot 2)\над (6))=((4)\над (15)) ;$$

$$P\left(\left(X=0\right)\left(Y=2\right)\right)=((C^2_4)\over (C^2_6))\cdot ((C^2_2) \над (C^2_4))=((6)\над (15))\cdot ((1)\над (6))=((1)\над (15));$$

$$P\left(\left(X=1\right)\left(Y=0\right)\right)=((C^1_2\cdot C^1_4)\over (C^2_6))\cdot ( (C^2_3)\над (C^2_4))=((2\cdot 4)\над (15))\cdot ((3)\над (6))=((4)\над (15)) ;$$

$$P\left(\left(X=1\right)\left(Y=1\right)\right)=((C^1_2\cdot C^1_4)\over (C^2_6))\cdot ( (C^1_1\cdot C^1_3)\над (C^2_4))=((2\cdot 4)\над (15))\cdot ((1\cdot 3)\над (6))=(( 4)\над (15));$$

$$P\left(\left(X=2\right)\left(Y=0\right)\right)=((C^2_2)\over (C^2_6))\cdot ((C^2_4) \над (C^2_4))=((1)\над (15))\cdot 1=((1)\над (15)).$$

Тъй като в закона за разпределение (резултантната таблица) целият набор от събития образува пълна група от събития, сумата на вероятностите трябва да е равна на 1. Нека проверим това:

$$\sum_(i,\ j)(p_(ij))=((1)\над (15))+((4)\над (15))+((1)\над (15))+ ((4)\над (15))+((4)\над (15))+((1)\над (15))=1.$$

Функция на разпределение на двумерна случайна променлива

Разпределителна функцияна двумерна случайна променлива $\left(X,\ Y\right)$ се нарича функция $F\left(x,\ y\right)$, която за всякакви реални числа $x$ и $y$ е равна на вероятността за съвместна поява на две събития $ \left\(X< x\right\}$ и $\left\{Y < y\right\}$. Таким образом, по определению

$$F\left(x,\y\right)=P\left\(X< x,\ Y < y\right\}.$$

За дискретна двумерна случайна променлива функцията на разпределение се намира чрез сумиране на всички вероятности $p_(ij)$, за които $x_i< x,\ y_j < y$, то есть

$$F\left(x,\y\right)=\sum_(x_i< x}{\sum_{y_j < y}{p_{ij}}}.$$

Свойства на функцията на разпределение на двумерна случайна величина.

1 . Функцията на разпределение $F\left(x,\ y\right)$ е ограничена, т.е. $0\le F\left(x,\ y\right)\le 1$.

2 . $F\left(x,\ y\right)$ е ненамаляващ за всеки от своите аргументи с другия фиксиран, т.е. $F\left(x_2,\ y\right)\ge F\left(x_1, \ y\right )$ за $x_2>x_1$, $F\left(x,\ y_2\right)\ge F\left(x,\ y_1\right)$ за $y_2>y_1$.

3 . Ако поне един от аргументите приеме стойност $-\infty $, тогава функцията на разпределение ще бъде равна на нула, т.е. $F\left(-\infty ,\ y\right)=F\left(x, \ -\infty \right ),\ F\left(-\infty ,\ -\infty \right)=0$.

4 . Ако и двата аргумента приемат стойност $+\infty $, тогава функцията на разпределение ще бъде равна на $1$, тоест $F\left(+\infty ,\ +\infty \right)=1$.

5 . В случай, че точно един от аргументите приема стойност $+\infty $, функцията на разпределение $F\left(x,\ y\right)$ става функция на разпределение на случайната променлива, съответстваща на другия елемент, т.е. , $F\left(x ,\ +\infty \right)=F_1\left(x\right)=F_X\left(x\right),\ F\left(+\infty ,\ y\right)=F_y \left(y\right) =F_Y\left(y\right)$.

6 . $F\left(x,\ y\right)$ е ляво непрекъснато за всеки от своите аргументи, т.е

$$(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) F\left(x,\y\right)\ )=F\left(x_0,\y\right),\ (\mathop(lim) _(y\до y_0-0) F\left(x,\y\right)\ )=F\left(x,\y_0\right).$$

Пример 3 . Нека дискретна двумерна случайна променлива $\left(X,\ Y\right)$ е дадена от серия на разпределение.

$\begin(масив)(|c|c|)
\hline
X\обратна наклонена черта Y & 0 & 1 \\
\hline
0 & ((1)\над (6)) & ((2)\над (6)) \\
\hline
1 & ((2)\над (6)) & ((1)\над (6)) \\
\hline
\край (масив)$

Тогава функцията на разпределение:

$F(x,y)=\left\(\begin(matrix)
0,\ при\ x\le 0,\ y\le 0\\
0,\ при\ x\le 0,\ 0< y\le 1 \\
0,\ at\ x\le 0,\ y>1\\
0,\ при\ 0< x\le 1,\ y\le 0 \\
((1)\над (6)),\при\0< x\le 1,\ 0 < y\le 1 \\
((1)\над (6))+((2)\над (6))=((1)\над (2)),\при\0< x\le 1,\ y>1 \\
0,\ за\ x>1,\ y\le 0\\
((1)\над (6))+((2)\над (6))=((1)\над (2)),\ при\ x>1,\ 0< y\le 1 \\
((1)\над (6))+((2)\над (6))+((2)\над (6))+((1)\над (6))=1,\ при\ x >1,\ y>1 \\
\end(матрица)\right.$