По математика, алгебрата и геометрията поставят задачи за намиране на разстоянието до точката или директно от посочения обект. Той е по съвсем различен начин, чийто изборът зависи от източниците на данни. Помислете как да намерите разстоянието между посочените обекти в различни условия.
Използване на измервателни уредиНа началния етап на овладяване на математическата наука се научава как да се използват елементарни инструменти (като владетел, транспорт, цирк, триъгълник и др.). Изцяло е лесно да се намери разстоянието между точките или директно. Достатъчно е да прикачите скалата на разделянето и да запишете отговора. Струва си се само да знаете, че разстоянието ще бъде равно на дължината на прав, което може да се извърши между точки и в случай на паралелни линии - перпендикулярно между тях.
Използването на теореми и аксиома на геометрията
Като се научим да измервате разстоянието без помощта на специални устройства или за това, имате нужда от множество теореми, аксиоми и техните доказателства. Често предизвикателствата за това как да се намери разстоянието, да се сведат до образование и търсене на своите партии. За да разрешите такива задачи, е достатъчно да знаете теоремата на Питагора, свойствата на триъгълниците и методите за тяхната трансформация.
Ако има две точки и задайте позицията си върху координатната ос, тогава как да намерите разстоянието от един към друг? Решението ще включва няколко етапа:
- Свързваме директните точки, чиято дължина и ще бъде разстоянието между тях.
- Намерете разликата в стойностите на координатите на точките (k; p) на всяка ос: | K 1 - K 2 | \u003d D1 и | P 1 - P 2 | \u003d D2 (стойностите приемат модул, защото разстоянието не може да бъде отрицателно).
- След това ще бъдем издигнати на площада на площада и ще намерим тяхната сума: D 1 2 + D 2 2
- Последният етап ще бъде извлечен от получения номер. Това ще бъде разстояние между точките: d \u003d v (d 1 2 + d 2 2).
В резултат на това, цялото решение се извършва в една формула, където разстоянието е еднакво квадратен корен от сумата на квадратите на координатната разлика:
d \u003d V (| K 1 - K2 | 2 + | P 1 - P2 | 2)
Ако въпросът възникне как да намерите разстоянието от една точка до другата до търсенето на отговор на него, няма да бъде особено различно от горното. Решението ще се извършва по следната формула:
d \u003d V (| K 1 - K2 | 2 + | P 1 - P2 | 2 + | E 1 - E 2 | 2)
Перпендикулярно проведено от всяка точка, разположена по една права линия до паралели и ще бъде разстояние. При решаването на задачите в равнината е необходимо да се намерят координатите на всяка точка на един от директните. И след това изчислете разстоянието от него към второто директно. За да направите това, донесете ги до общата форма AH + W + C \u003d 0. От свойствата на паралелния директ е известно, че техните коефициенти А и В ще бъдат равни. В този случай можете да намерите по формулата:
d \u003d | C 1 - C 2 | / V (2 + B 2)
Така, когато отговаряте на въпроса как да намерите разстоянието от посочения обект, трябва да насочите състоянието на задачата и инструментите, предоставени на инструментите. Те могат да бъдат както измервателни устройства, така и теореми и формули.
Разстояние от точка до точка - Това е дължината на сегмента, свързващ тези точки в определен мащаб. Така, когато става въпрос за измерване на разстоянието, е необходимо да се знае скалата (единица дължина), в която ще се извършват измервания. Следователно задачата за намиране на разстоянието от точката до точката обикновено се счита или на директна директна координация, или в правоъгълна десертална координатна система на равнината или в триизмерно пространство. С други думи, най-често трябва да изчислите разстоянието между точките от техните координати.
В тази статия, ние, първо, ние припомняме как разстоянието от точката до точката е определено на координатите. След това получаваме формулата за изчисляване на разстоянието между двете точки на равнината или пространството според посочените координати. В заключение разглеждаме подробно решенията на характерните примери и задачи.
Навигация.
Разстоянието между две точки върху координата.
Нека първо да дефинираме с наименованията. Разстоянието от точка А до точката, която означава, че.
От тук можете да приключите това разстоянието от точка А, с координатната до точката в координатата е равна на модула за координатна разлика, 
За всяко местоположение на точките на директна директна.
Разстояние от точка до точка на равнината, формула.
Получаваме формула за изчисляване на разстоянието между точките и посочени в правоъгълната декартова координатна система в равнината.
В зависимост от местоположението на точки А и в възможни следните опции.
Ако точки А и В съвпадат, разстоянието между тях е нула.
Ако точки А и Б лъжат по права линия, перпендикулярна ос на абсцисата, тогава точките и съвпадащи, и разстоянието е разстоянието. В предишния параграф разбрахме, че разстоянието между двете точки върху директната директно е равно на режима на тяхната координатна разлика, 
. Следователно.
По същия начин, ако точки А и Б са на пряка, перпендикулярна ос на ординатата, след това разстоянието от точка А до точката Б е подобно.
В този случай, триъгълникът на ABC е правоъгълен чрез строителство, и 
и. До теорема на Питагора Можем да записваме равенството, откъде.
Чрез обобщаване на всички получени резултати: разстоянието от точката до точката на самолета е чрез координатите на точките по формулата 
.
Получената формула за намиране на разстоянието между точките може да се използва, когато точките А и В съвпадат или лежат върху пряк перпендикулярен на една от координатните оси. Всъщност, ако и и съвпадате. Ако точките А и Б лъжат по права линия, перпендикулярна ос, тогава. Ако a и b лежат по права линия, тогава перпендикулярно на осната ос.
Разстояние между точки в пространството, формула.
Въвеждаме правоъгълна координатна система Oxyz в пространството. Получаваме формула за намиране на разстоянието от точката 
към основния въпрос 
.
Като цяло, точки А и Б не лежат в самолета, успоредна на една от координатите. Ние извършваме през точки А и в самолета, перпендикулярно на координатните оси, Оу и Оз. Точките за пресичане на тези равнини с координатни оси ще ни дадат точки А и Б за тези оси. Означава чрез проекция 
.
Желаното разстояние между точки А и В е диагонал на правоъгълен паралелепипед, показан на фигурата. Чрез изграждане, измерванията на този паралелепипед са равни 
и. Курсът на геометрията на гимназията беше доказан, че площадът на диагонала на правоъгълния паралелепипед е равен на сумата на квадратите на трите му измерения. Следователно разчитате на информацията за първия раздел на настоящия член, следователно можем да запишем следните равенства,
Къде получавате формулата за намиране на разстоянието между точките в пространството .
Тази формула също е валидна, ако точки А и в
- съвпада;
- принадлежат към една от координатните оси или директно успоредно на координатните оси;
- принадлежат към една от координатите или самолета, успоредна на една от координатите.
Намиране на разстояние от точка до точка, примери и решения.
Така че, получихме формули за намиране на разстоянието между двете точки на координатната директна, равнина и триизмерното пространство. Време е да обмислим решаването на характерните примери.
Броят на задачите, при решаването на който последната стъпка е да се намери разстоянието между двете точки според техните координати, е наистина огромно. Пълният преглед на такива примери е извън обхвата на настоящия член. Тук сме ограничени до примери, в които са известни две точки координатите и трябва да се изчисли разстоянието между тях.
Разстояние между точките на координата на Директен 6-ти клас.
Формула за намиране на разстоянието между точките на координата
Алгоритъм за намиране на координатите на точката - средата на сегмента
Благодарение на колегите в интернет, чийто материал, използван в тази презентация!
Изтегли:
Визуализация:
За да се насладите на преглед на презентации, създайте себе си профил (акаунт) Google и влезте в него: https://accounts.google.com
Подписи за слайдове:
Разстояние между точките на координата Direct X 0 1 A в AB \u003d ρ (A, B)
Разстоянието между точките за директна цел на координата на урока: - Намерете метода (формула, правило), за да намерите разстоянието между точките на координата. - Научете как да намерите разстоянието между точките на координата, като използвате установеното правило.
1. Устна сметка 15 -22 +8 -31 +43 -27 -14
2. Орално решават задачата, използваща координатът директно: колко цели числа са сключени между числа: а) - 8.9 и 2 б) - 10.4 и - 3.7 V) - 1,2 и 4.6? а) 10 б) 8 в) 6
0 1 2 7 N високо през числа -1 -5 за магистрални номера Разстояние от къща до стадион 6 разстояние от къща до училище 6 координатна директна директна \\ t
0 1 2 7 -1 -5 -5 разстояние от стадиона до дома 6 разстояние от училище до дома 6 намиране на разстояние между точките за координатна директна ρ (-5; 1) \u003d 6 ρ (7; 1) \u003d 6 разстоянието между точките ще бъдат обозначени с буквата ρ (RO)
0 1 2 7 -1 -5 -5 разстояние от стадиона до дома си 6 разстояние от училище до Начало 6 Намиране на разстояние между точките на координата Direct ρ (-5; 1) \u003d 6 ρ (7; 1) \u003d 6 ρ (7; a; b) \u003d? | A-B |
Разстоянието между точки А и Б е равно на модула на разликата в координата на тези точки. ρ (a; b) \u003d | A-B | Разстояние между точките на координата
Геометричният смисъл на модула на действителния брой a b a a \u003d b b x x x е разстоянието между две точки
0 1 2 7 -1 -5 на разстоянията между точките на координатния директ - 2 - 3 - 4 3 4 5 6 -6 ρ (-6; 2) \u003d ρ (6; 3) \u003d ρ (0; 7) \u003d ρ (1; -4) \u003d 8 3 7 5
0 1 2 7 -1 -5 на разстоянията между точките на координатния директ - 2 - 3 - 4 3 4 5 6 -6 ρ (2; -6) \u003d ρ (3; 6) \u003d ρ (7; 0) \u003d ρ (-4; 1) \u003d 8 3 7 5
Заключение: изрази | A - b | и | B - A | са равни за всякакви стойности a и b \u003d
-16 -2 0 -3 +8 0 +4 +17 0 ρ (-3; 8) \u003d 11; | (-3) - (+8) | \u003d 11; | (+8) - (-3) | \u003d 11. ρ (-16; -2) \u003d 14; | (-16) - (-2) | \u003d 14; | (-2) - (-16) | \u003d 14. ρ (4; 17) \u003d 13; | (+4) - (+17) | \u003d 13; | (+17) - (+4) | \u003d 13. Разстояние между точките на координата
Намерете ρ (x; y), ако: 1) x \u003d - 14, y \u003d - 23; ρ (x; y) \u003d | x - y | \u003d | -14 - (- 23) | \u003d | -14 + 23 | \u003d | 9 | \u003d 9 2) x \u003d 5.9, y \u003d -6.8; ρ (x; y) \u003d | 5, 9 - (- 6,8) | \u003d | 5,9 + 6.8 | \u003d | 12.7 | \u003d 12.7
Продължи предложение 1. Координатът директно е директно с ... 2. Разстоянието между две точки е ... 3. Обратните числа са числа, ... 4. Броят на номерата на номерата се обажда ... 5. - Сравнете стойностите на експресиите A - BVB - DEAD ... - Сравнете изразите | A - b | V | B - A | C Направете заключение ...
Лебедката и езикът вървят по координатния лъч. Vickyt е в точка (236), shpunter - в точката SH (193) на това, което един от друг е винтът и езика? ρ (b, w) \u003d 43
Намерете разстоянието между точки a (0), в (1) a (2), в (5) a (0), в (- 3) a (- 10), в (1) AV \u003d 1 AV \u003d 3 AB \u003d 3 ab \u003d 11
Намерете разстоянието между точките а (- 3.5), в (1,4) до (1.8), в (4.3) А (- 10), С (3)
Проверка на AV \u003d KV \u003d AC \u003d
C (- 5) C (- 3) Намерете точката на точката - средата на сегмента на
От директна координация се отбелязват точки a (-3.25) и в (2.65). Намерете координата на въпроса за - средата на сегмента AV. Решение: 1) ρ (a; c) \u003d | -3.25 - 2.65 | \u003d | -5.9 | \u003d 5.9 2) 5.9: 2 \u003d 2.95 3) -3.25 + 2.95 \u003d - 0.3 или 2.65 - 2.95 \u003d - 0.3 Отговор: O (-0, 3)
Относно координата, точки C (- 5.17) и D (2,33). Намерете точката координата на средата на CD сегмента. Решение: 1) ρ (s; d) \u003d | - 5, 17 - 2, 33 | \u003d | - 7, 5 | \u003d 7, 5 2) 7, 5: 2 \u003d 3, 7 5 3) - 5, 17 + 3, 7 5 \u003d 1, 42 или 2, 33 - 3, 7 5 \u003d - 1, 42 Отговор: a ( - 1, 42)
Заключение: алгоритъмът за намиране на координатна точка - средата на този сегмент: 1. Намерете разстоянието между точките - краищата на този сегмент \u003d 2. да разделяте резултата от 1 до 2 (половината от стойността) \u003d C 3 , Добавяне на резултати-2 за координиране на или изваждане на резултата-2 от координата A + C или - C 4. Резултатът-3 е координата на точката - средата на този сегмент
Работа с учебник: §19, стр.112, А. № 573, 575 V. № 578, 580 домашна работа: §19, стр.112, А. № 574, 576, V. No. 579, 581 се подготвят за Киргизска република "Добавяне и изваждане на рационални числа. Разстояние между точките на координатната линия »
Днес научих ... това беше интересно ... аз осъзнах, че ... сега мога ... научих ... аз го направих ... аз бях изненадан ... исках .. . Исках ...
§ 1 правилото за намиране на разстоянието между точките на координата на директно
В този урок ще оттеглим правилото за намиране на разстоянието между точките на координата, както и да научим как да намерим продължителността на сегмента, използвайки това правило.
Изпълнете задачата:
Сравнете изразите
1. А \u003d 9, b \u003d 5;
2. A \u003d 9, B \u003d -5;
3. A \u003d -9, B \u003d 5;
4. A \u003d -9, B \u003d -5.
Ние ще заменим стойностите в израза и ще намерим резултата:
Модулът за разлика 9 и 5 е модулът 4, модулът 4 е 4. Разликата 5 и 9 е минус 4, модулът -4 е 4.
Разликата модул 9 и -5 е равна на модула 14, модулът 14 е 14. Модулът на разликата е минус 5 и 9 е равен на модула -14, модул -14 \u003d 14.
Модулът за разлика минус 9 и 5 е минус минус 14, minus 14 модул е \u200b\u200b14. Разликата модул 5 и минус 9 е равна на модула 14, модулът 14 е 14
Разликата minus 9 и минус 5 е равна на minus 4 модула, модулът -4 е 4. Различателният модул минус 5 и минус 9 е равен на модула 4, модулът 4 е равен на (L-9 - ( -5) L \u003d L-4L \u003d 4; L -5 - (-9) L \u003d L4L \u003d 4)
Във всеки случай имаше равни резултати, следователно можем да заключим:
Стойности на експресията Модул A и B и модулът за разлика В и А са равни на всякакви стойности на А и Б.
Друга задача:
Намерете разстоянието между точките на координата
1.a (9) и в (5)
2.a (9) и в (-5)
Относно координатната директна бележка точка А (9) и в (5).
Помислете за броя на единичните сегменти между тези точки. Техните 4, което означава разстоянието между точки А и Б е 4. По подобен начин ще намерим разстоянието между две други точки. Отбелязваме за координата на директна точка А (9) и в (-5), ние определяме координатното директно разстояние между тези точки, разстоянието е 14.
Сравнете резултатите с предишни задачи.
Разликата в модула 9 и 5 е 4, а разстоянието между точките с координати 9 и 5 е и 4. Разликата модул 9 и минус 5 е 14, разстоянието между точките с координати 9 и минус 5 е 14.
Той предполага заключението:
Разстоянието между точки a (a) и в буква б) координатното директно е равно на модула на разликата в координатните точки на точката А - Б Л.
Освен това, разстоянието може да бъде намерено както като различен модул B и A, тъй като броят на единичните сегменти няма да се променя от каква точка ги считаме.
§ 2 Правило намираме продължителността на сегмента по координатите на две точки
Намерете дължината на CD, ако е на координатна линия C (16), D (8).
Знаем, че дължината на сегмента е равна на разстоянието от единия край на сегмента към другия, т.е. От точка c до точка г на координатната линия.
Ние използваме правилото:
и да намерите модула за координатна разлика C и D
Така че, дължината на сегмента на компактдиска е 8.
Помислете за друг случай:
Намерете дължината на сегмента на MN, чиито координати имат различни признаци m (20), n (-23).
Заместващ смисъл
ние знаем това - (- 23) \u003d +23
така че, разликата модул 20 и минус 23 е равна на модула на сумата 20 и 23
Ще намерим сумата от координатни модули на този сегмент:
Стойността на модула за координатна разлика и сумата на координатите в този случай се оказа същата.
Можем да заключим:
Ако координатите на две точки имат различни признаци, разстоянието между точките е равно на сумата на координатите.
В урока се запознахме с правилото за разстоянието между две точки на координата на директна и се научихме да намерим продължителността на сегмента, използвайки това правило.
Списък на препратките:
- Математика. Степен 6: Планове за удари за учебника I.I. ЗУБАРЕВА, a.g. Мордович // Автор-компилатор L.A. Топил. - m.: Mnemozina 2009.
- Математика. 6 клас: учебник за студенти от общи образователни институции. I.i. ЗУБАРЕВА, a.g. Мордович. - m.: Mnemozina, 2013.
- Математика. Степен 6: Урок за студенти от общообразователни институции. / N.I. Vilenkin, v.i. Zhokhov, А.С. Ческоков, с.И. Шварцборд. - m.: Mnemozina, 2013.
- Директория по математика - http://lyudmilanik.com.ua
- Директория за ученици в гимназията http://shkolo.ru
План на урока.
Разстоянието между две точки по права линия.
Правоъгълна (декартайска) координатна система.
Разстоянието между две точки по права линия.
Теорема 3.Ако (x) и в (y) са две точки, тогава D е разстоянието между тях се изчислява по формулата: D \u003d L - XL.
Доказателства. Според Theorem 2, ние имаме AV \u003d U - x. Но разстоянието между точки А и е равно на дължината на сегмента AV, тези. Дължината на вектора aw. Следователно, d \u003d lavl \u003d lu-xl.
Тъй като числата на YKH и X-Y са взети в модула, можете да напишете d \u003d LH-ul. Така че, за да намерите разстоянието между точките на директна координатна директна, трябва да намерите разликия модул на техните координати.
Пример 4.. Сочи a (2) и в (-6), намерете разстоянието между тях.
Решение. Заместител във формулата вместо x \u003d 2 и y \u003d -6. Получаваме, AV \u003d LU-XL \u003d L-6-2L \u003d L-8L \u003d 8.
Пример 5. Изграждане на точка, симетрична точка m (4) по отношение на началото на координатите.
Решение. Като От точка m до точка 4 единични сегмента, висящи отдясно, за изграждане на симетрична точка към нея, депозирайте от точката на 4 единични сегмента наляво, ние получаваме точка M "(-4).
Пример 6. Изграждане на точка с (x), симетрична точка a (-4) по отношение на точката в (2).
Решение. Отбелязваме точките a (-4) и в (2) на числения директ. Ще намерим разстоянието между точките на теорема 3, получаваме 6. След това разстоянието между точки B и C трябва да бъде равно на 6. депозираме от точката до десните 6 единични сегмента, получаваме точка с (8 ).
Упражнения. 1) Намерете разстоянието между точките А и Б: а) a (3) и в (11), б) a (5) и (2), в) a (-1) и в (3), d. ) и (-5) и в (-3), г) a (-1) и в (3), (отговор: а) 8, б) 3, в) 4, г) 2, е) 2).
2) Изграждане на точка с (x), симетрична точка a (-5) по отношение на точката в (-1). (Отговор: C (3)).
Правоъгълна (декартайска) координатна система.
Две взаимно перпендикулярни оси OH и OU, които имат общото начало на O и една и съща форма на мащаба правоъгълна (или cartesova.) система за координация на равнината.
О, О, извика ос на абсцисаи оста на OU - акски ордината. Точката на пресичане на осите се нарича началото на координатите. Равнината, в която оста на осите OH и OU се наричат \u200b\u200bкоординатна равнина и е обозначена с OHU.
Нека m да бъде произволна точка на самолета. Пропуснете от нея перпендикулярно на MA и MV, съответно на оста, и OU. Точки на пресичане А и в Eitch Perpendics с оси се наричат \u200b\u200bоси проекции точки m на оста на координатите.
Точките А и Б съответстват на определени номера X и Y - координати на осите о, и ou. Номерът x се нарича абсциса точки m, броя на нея порода.
Фактът, че точката m има координира x и y, символично означават, както следва: m (x, y). В този случай първите в скоби показват абсцисата и втората ординаха. Произходът на координатата има координати (0.0).
По този начин, с избраната координатна система на всяка точка, равнината съответства на двойки числа (x, y) - неговите правоъгълни координати и обратно, всяка двойка числа (x, y) съответства и освен това, точка m На самолета OHU така, че абсцисата е х, а ордината е равна на y.
Така че, правоъгълната координатна система на равнината установява взаимно уникална кореспонденция между набора от всички точки на равнината и набор от двойки числа, което прави възможно при решаването на геометрични проблеми за прилагане на алгебрични методи.
Осите на координатите разделят самолета на четири части, те се наричат квартали, квадрационери или координатни ъгли и номерирани от римски числа I, II, III, IV, както е показано на фигурата (хипервръзка).
Фигурата показва признаците на координатите на точките в зависимост от тяхното местоположение. (Например през първото тримесечие и двете координати са положителни).
Пример 7. Точки за изграждане: а (3; 5), в (-3; 2), с (2; -4), d (-5; -1).
Решение. Ние изграждаме точка А (3; 5). На първо място, ние въвеждаме правоъгълна координатна система. След това, според ос от абсциса, ние публикуваме 3 единици вдясно, и по протежение на ордината - 5 единици на мащаба нагоре и чрез крайните точки на разделение, ние ще извършим прави, успоредни оси на координатите. Точката на пресичане на тези преки е желаната точка А (3; 5). Останалите точки са изградени по същия начин (виж фигура-хипервръзка).
Упражнения.
Не нарисувайте точки А (2; -4), разберете какво принадлежи той.
В кои квартали може да има точка, ако ордината й е положителна?
На оста на AU, точката с координатна -5 е взета. Какви са координатите му в самолета? (Отговор: Тъй като точката се крие върху оста на OU, тогава нейната абсциса е 0, ординатата се дава от условието, така че координатите на точката (0; -5)).
Дават се точки: а) а (2; 3), b) в (-3; 2), с) с (-1; -1), g) d (x; y). Намерете координатите на точките, симетрични за тях по отношение на оста о. Изграждане на всички тези точки. (Отговор: а) (2; -3), б) (-3; -2), в) (-1; 1), d) (x; -u)).
Дават се точки: а) a (-1; 2), b) в (3; -1), с) с (-2; -2), g) d (x; y). Намерете координатите на точките, симетрични за тях спрямо оста на OU. Изграждане на всички тези точки. (Отговор: а) (1; 2), b) (-3; -1), в) (2; -2), d) (s; y)).
Дават се точки: а) а (3; 3), b) в (2; -4), с) с (-2; 1), d) d (x; y). Намерете координатите на точките, симетрични за тях по отношение на началото на координатите. Изграждане на всички тези точки. (Отговор: а) (-3; -3), б) (-2; 4), в) (2; -1), d) (s; -u)).
Дана точка m (3; -1). Намерете координатите на точките, симетрични към него спрямо ос OH, оста на OU и началото на координатите. Изграждане на всички точки. (Отговор: (3; 1), (-3; -1), (-3; 1)).
Определи в кои квартали може да има точка m (x; y), ако: a) hu\u003e 0, b) hu< 0, в) х-у=0, г) х+у=0. (ответ: а) в первой и третьей, б)во второй и четвертой, в) в первой и третьей, г) во второй и четвертой).
Определете координатите на върха на равностранения триъгълник със страна на 10, лежащ през първото тримесечие, ако един от върховете съвпада с началото на координатите O, и основата на триъгълника е разположена на оста о. Направете рисунка. (Отговор: (0; 0), (10; 0), (5; 5V3)).
Използвайки координатен метод, определете координатите на всички върхове на правилния шестоъгълник на ABCDEF. (Отговор: А (0; 0), b (1; 0), С (1.5; V3 / 2), D (1; V3), Е (0; V3), F (-0,5; V3 / 2 ). Забележка: Вземете точка и за началото на координатите ос от абсцисата директно от А до В, на единица мащабна страна поемат дължината на страната на AV. Удобно е да се държи голям диагонал на шестоъгълника.)
