Решаването на интеграли е лесна задача, но само за малцина избрани. Тази статия е за тези, които искат да се научат да разбират интегралите, но не знаят нищо или почти нищо за тях. Интеграл... Защо е необходим? Как да го изчислим? Какво представляват определени и неопределени интеграли?
Ако единствената употреба, която знаете за интеграла, е да използвате кука за плетене на една кука, оформена като интегрална икона, за да извадите нещо полезно от труднодостъпни места, тогава добре дошли! Разберете как да решавате най-простите и други интеграли и защо не можете без това в математиката.
Ние изучаваме концепцията « интегрална »
Интеграцията беше известна още през Древен Египет. Разбира се, не в модерна форма, но все пак. Оттогава математиците са написали много книги по тази тема. Особено се отличиха Нютон И Лайбниц , но същността на нещата не се е променила.
Как да разберем интегралите от нулата? Няма начин! За да разберете тази тема, все пак ще ви трябват основни познания за основите на математическия анализ. Вече имаме информация за , необходима за разбирането на интегралите, в нашия блог.
Неопределен интеграл
Нека имаме някаква функция f(x) .
Неопределена интегрална функция f(x) тази функция се нарича F(x) , чиято производна е равна на функцията f(x) .
С други думи, интегралът е обратно производно или антипроизводно. Между другото, прочетете как в нашата статия.
Антипроизводното съществува за всички непрекъснати функции. Също така към антипроизводното често се добавя постоянен знак, тъй като производните на функции, които се различават по константа, съвпадат. Процесът на намиране на интеграла се нарича интегриране.
Прост пример:
За да не пресмятаме постоянно противопроизводни елементарни функции, удобно е да ги обобщите в таблица и да използвате готови стойности.
Пълна таблица на интегралите за ученици
Определен интеграл
Когато се занимаваме с концепцията за интеграл, имаме работа с безкрайно малки количества. Интегралът ще помогне да се изчисли площта на фигура, масата на нееднородно тяло, изминатото разстояние по време на неравномерно движение и много други. Трябва да се помни, че интегралът е безкрайна сума голямо количествобезкрайно малки термини.
Като пример, представете си графика на някаква функция.
Как да намерим площта на фигура, ограничена от графиката на функция? С помощта на интеграл! Нека разделим криволинейния трапец, ограничен от координатните оси и графиката на функцията, на безкрайно малки сегменти. По този начин фигурата ще бъде разделена на тънки колони. Сумата от площите на колоните ще бъде площта на трапеца. Но не забравяйте, че такова изчисление ще даде приблизителен резултат. Въпреки това, колкото по-малки и по-тесни са сегментите, толкова по-точно ще бъде изчислението. Ако ги намалим до такава степен, че дължината клони към нула, тогава сумата от площите на сегментите ще клони към площта на фигурата. Това е определен интеграл, който се записва така:
Точки a и b се наричат граници на интегриране.
« Интеграл »
Между другото! За нашите читатели вече има 10% отстъпка от
Правила за изчисляване на интеграли за манекени
Свойства на неопределения интеграл
Как да решим неопределен интеграл? Тук ще разгледаме имотите неопределен интеграл, което ще бъде полезно при решаване на примери.
- Производната на интеграла е равна на интеграла:
- Константата може да бъде извадена от знака за интеграл:
- Интегралът от сбора е равен на сбора от интегралите. Това важи и за разликата:
Свойства на определен интеграл
- Линейност:
- Знакът на интеграла се променя, ако границите на интегриране се разменят:
- При всякаквиточки а, bИ с:
Вече разбрахме, че определен интеграл е границата на сумата. Но как да получите конкретна стойност при решаване на пример? За това има формулата на Нютон-Лайбниц:
Примери за решаване на интеграли
По-долу ще разгледаме неопределения интеграл и примери с решения. Предлагаме ви сами да разберете тънкостите на решението и ако нещо не е ясно, задайте въпроси в коментарите.
За затвърждаване на материала гледайте видео за това как се решават интеграли на практика. Не се отчайвайте, ако интегралът не е даден веднага. Свържете се с професионална служба за студенти и всеки троен или извит интеграл върху затворена повърхност ще бъде по силите ви.
Тези свойства се използват за извършване на трансформации на интеграла, за да се намали до един от елементарните интеграли и по-нататъшно изчисление.
1. Производната на неопределения интеграл е равна на интегранта:
2. Диференциалът на неопределения интеграл е равен на интегранта:
3. Неопределеният интеграл на диференциала на определена функция е равен на сумата от тази функция и произволна константа:
4. Постоянният фактор може да бъде изваден от интегралния знак:
Освен това a ≠ 0
5. Интегралът на сбора (разликата) е равен на сбора (разликата) на интегралите:
6. Имотът е комбинация от свойства 4 и 5:
Освен това, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0
7. Свойство за инвариантност на неопределения интеграл:
Ако , тогава
8. Имот:
Ако , тогава
Всъщност това свойство е частен случай на интегриране с помощта на метода за промяна на променливата, който се обсъжда по-подробно в следващия раздел.
Да разгледаме един пример:
Първо приложихме свойство 5, след това свойство 4, след това използвахме таблицата на антипроизводните и получихме резултата.
Алгоритъмът на нашия онлайн интегрален калкулатор поддържа всички свойства, изброени по-горе, и лесно ще намери подробно решение за вашия интеграл.
В тази статия се говори подробно за основните свойства на определения интеграл. Те се доказват с помощта на концепцията за интеграла на Риман и Дарбу. Изчисляването на определен интеграл става благодарение на 5 свойства. Останалите се използват за оценка на различни изрази.
Преди да преминете към основните свойства на определения интеграл, е необходимо да се уверите, че a не превишава b.
Основни свойства на определения интеграл
Определение 1Функцията y = f (x), дефинирана при x = a, е подобна на справедливото равенство ∫ a a f (x) d x = 0.
Доказателство 1
От това виждаме, че стойността на интеграла със съвпадащи граници е равна на нула. Това е следствие от интеграла на Риман, тъй като всяка интегрална сума σ за всяко разпределение на интервала [ a ; a ] и всеки избор на точки ζ i е равен на нула, защото x i - x i - 1 = 0 , i = 1 , 2 , . . . , n , което означава, че откриваме, че границата на интегралните функции е нула.
Определение 2
За функция, която е интегрируема на интервала [a; b ] , условието ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x е изпълнено.
Доказателство 2
С други думи, ако размените горната и долната граница на интегриране, стойността на интеграла ще се промени на противоположната стойност. Този имотвзети от интеграла на Риман. Но номерацията на дяла на отсечката започва от точката x = b.
Определение 3
∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x се прилага за интегрируеми функции от тип y = f (x) и y = g (x), дефинирани на интервала [ a ; b ] .
Доказателство 3
Запишете интегралната сума на функцията y = f (x) ± g (x) за разделяне на сегменти с даден избор на точки ζ i: σ = ∑ i = 1 n f ζ i ± g ζ i · x i - x i - 1 = = ∑ i = 1 n f (ζ i) · x i - x i - 1 ± ∑ i = 1 n g ζ i · x i - x i - 1 = σ f ± σ g
където σ f и σ g са интегралните суми на функциите y = f (x) и y = g (x) за разделяне на сегмента. След преминаване до границата при λ = m a x i = 1, 2, . . . , n (x i - x i - 1) → 0 получаваме, че lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± σ g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g .
От дефиницията на Риман този израз е еквивалентен.
Определение 4
Разширяване на постоянния множител отвъд знака на определения интеграл. Интегрирана функция от интервала [a; b ] с произволна стойност k има справедливо неравенство от вида ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x .
Доказателство 4
Доказателството за определеното интегрално свойство е подобно на предишното:
σ = ∑ i = 1 n k · f ζ i · (x i - x i - 1) = = k · ∑ i = 1 n f ζ i · (x i - x i - 1) = k · σ f ⇒ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 (k · σ f) = k · lim λ → 0 σ f ⇒ ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x
Определение 5
Ако функция от вида y = f (x) е интегрируема на интервал x с a ∈ x, b ∈ x, получаваме, че ∫ a b f (x) d x = ∫ a c f (x) d x + ∫ c b f (x) d х.
Доказателство 5
Свойството се счита за валидно за c ∈ a; b, за c ≤ a и c ≥ b. Доказателството е подобно на предишните свойства.
Определение 6
Когато една функция може да бъде интегрируема от сегмента [a; b ], тогава това е възможно за всеки вътрешен сегмент c; d ∈ a; b.
Доказателство 6
Доказателството се основава на свойството на Darboux: ако се добавят точки към съществуващо разделение на сегмент, тогава долната сума на Darboux няма да намалее, а горната няма да се увеличи.
Определение 7
Когато една функция е интегрируема върху [a; b ] от f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 за всяка стойност x ∈ a ; b , тогава получаваме, че ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0 .
Свойството може да се докаже с помощта на дефиницията на интеграла на Риман: всяка интегрална сума за всеки избор на точки на разделяне на сегмента и точки ζ i с условието, че f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 е неотрицателна .
Доказателство 7
Ако функциите y = f (x) и y = g (x) са интегрируеми на интервала [ a ; b ], тогава следните неравенства се считат за валидни:
∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a ; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a ; b
Благодарение на изявлението знаем, че интеграцията е допустима. Това следствие ще бъде използвано в доказателството на други свойства.
Определение 8
За интегрируема функция y = f (x) от интервала [ a ; b ] имаме справедливо неравенство от вида ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .
Доказателство 8
Имаме, че - f (x) ≤ f (x) ≤ f (x) . От предишното свойство открихме, че неравенството може да се интегрира член по член и то съответства на неравенство от вида - ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x . Това двойно неравенство може да се запише в друга форма: ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .
Определение 9
Когато функциите y = f (x) и y = g (x) се интегрират от интервала [ a ; b ] за g (x) ≥ 0 за всеки x ∈ a ; b , получаваме неравенство от вида m · ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) · g (x) d x ≤ M · ∫ a b g (x) d x , където m = m i n x ∈ a ; b f (x) и M = m a x x ∈ a ; b f (x) .
Доказателство 9
Доказателството се извършва по подобен начин. M и m се считат за най-големите и най-малките стойности на функцията y = f (x), дефинирана от сегмента [a; b ] , тогава m ≤ f (x) ≤ M . Необходимо е двойното неравенство да се умножи по функцията y = g (x), което ще даде стойността на двойното неравенство във формата m g (x) ≤ f (x) g (x) ≤ M g (x). Необходимо е да се интегрира върху интервала [a; b ] , тогава получаваме твърдението за доказване.
Последица: За g (x) = 1, неравенството приема формата m · b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M · (b - a) .
Първа средна формула
Определение 10За y = f (x), интегрируема на интервала [ a ; b] с m = m i n x ∈ a; b f (x) и M = m a x x ∈ a ; b f (x) има число μ ∈ m; M , което отговаря на ∫ a b f (x) d x = μ · b - a .
Последица: Когато функцията y = f (x) е непрекъсната от интервала [ a ; b ], тогава има число c ∈ a; b, което удовлетворява равенството ∫ a b f (x) d x = f (c) b - a.
Първата средна формула в обобщен вид
Определение 11Когато функциите y = f (x) и y = g (x) са интегрируеми от интервала [ a ; b] с m = m i n x ∈ a; b f (x) и M = m a x x ∈ a ; b f (x) и g (x) > 0 за всяка стойност x ∈ a; b. От тук имаме, че има число μ ∈ m; M , което удовлетворява равенството ∫ a b f (x) · g (x) d x = μ · ∫ a b g (x) d x .
Втора средна формула
Определение 12Когато функцията y = f (x) е интегрируема от интервала [ a ; b ] и y = g (x) е монотонно, тогава има число, което c ∈ a; b , където получаваме справедливо равенство във формата ∫ a b f (x) · g (x) d x = g (a) · ∫ a c f (x) d x + g (b) · ∫ c b f (x) d x
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
Нека функцията г = f(х) е дефинирана на интервала [ а, b ], а < b. Нека извършим следните операции:
1) нека се разделим [ а, b] точки а = х 0 < х 1 < ... < х аз- 1 < х аз < ... < х н = b На нчастични сегменти [ х 0 , х 1 ], [х 1 , х 2 ], ..., [х аз- 1 , х аз ], ..., [х н- 1 , х н ];
2) във всеки от частичните сегменти [ х аз- 1 , х аз ], аз = 1, 2, ... н, изберете произволна точка и изчислете стойността на функцията в тази точка: f(z i ) ;
3) намерете произведенията f(z i ) · Δ х аз , където е дължината на частичния сегмент [ х аз- 1 , х аз ], аз = 1, 2, ... н;
4) да се подобрим интегрална сумафункции г = f(х) на сегмента [ а, b ]:
От геометрична гледна точка тази сума σ е сумата от площите на правоъгълници, чиито основи са частични сегменти [ х 0 , х 1 ], [х 1 , х 2 ], ..., [х аз- 1 , х аз ], ..., [х н- 1 , х н ], а височините са равни f(z 1 ) , f(z 2 ), ..., f(z n) съответно (фиг. 1). Нека означим с λ дължина на най-дългия частичен сегмент:
5) намерете границата на интегралната сума, когато λ → 0.
Определение.Ако има крайна граница на интегралната сума (1) и тя не зависи от метода на разделяне на сегмента [ а, b] към частични сегменти, нито от избора на точки z iв тях, тогава тази граница се нарича определен интегралот функция г = f(х) на сегмента [ а, b] и се обозначава
По този начин,
В този случай функцията f(х) е наречен интегрируемиНа [ а, b]. Числа аИ bсе наричат съответно долна и горна граница на интегриране, f(х) – интегрална функция, f(х ) dx– интегрален израз, х– интеграционна променлива; сегмент [ а, b] се нарича интеграционен интервал.
Теорема 1.Ако функцията г = f(х) е непрекъснат на интервала [ а, b], тогава той е интегрируем на този интервал.
Определеният интеграл със същите граници на интегриране е равен на нула:
Ако а > b, тогава по дефиниция приемаме
2. Геометричен смисъл на определения интеграл
Нека върху сегмента [ а, b] е определена непрекъсната неотрицателна функция г = f(х ) . Криволинеен трапеце фигура, ограничена отгоре от графиката на функция г = f(х), отдолу - по оста Ох, отляво и отдясно - прави линии х = аИ x = b(фиг. 2).
Определен интеграл от неотрицателна функция г = f(х) от геометрична гледна точка е равна на площта на криволинейния трапец, ограничен отгоре от графиката на функцията г = f(х), ляво и дясно – отсечки х = аИ x = b, отдолу - сегмент от оста Ox.
3. Основни свойства на определения интеграл
1. Стойността на определения интеграл не зависи от обозначението на интегриращата променлива:
2. Постоянният фактор може да бъде изваден от знака на определения интеграл:
3. Определеният интеграл на алгебричната сума на две функции е равен на алгебричната сума на определените интеграли на тези функции:
4. Функция If г = f(х) е интегрируем на [ а, b] И а < b < ° С, Че
5. (теорема за средната стойност). Ако функцията г = f(х) е непрекъснат на интервала [ а, b], тогава на този сегмент има такава точка, че
4. Формула на Нютон–Лайбниц
Теорема 2.Ако функцията г = f(х) е непрекъснат на интервала [ а, b] И Е(х) е който и да е от неговите антипроизводни в този сегмент, тогава следната формула е валидна:
което се нарича Формула на Нютон-Лайбниц.Разлика Е(b) - Е(а) обикновено се записва по следния начин:
където символът се нарича двоен заместващ знак.
Така формула (2) може да се запише като:
Пример 1.Изчислете интеграл
Решение. За интегранта f(х ) = х 2 произволна първоизводна има формата
Тъй като всяка първоизводна може да се използва във формулата на Нютон-Лайбниц, за изчисляване на интеграла вземаме първоизводната, която има най-простата форма:
5. Замяна на променлива в определен интеграл
Теорема 3.Нека функцията г = f(х) е непрекъснат на интервала [ а, b]. Ако:
1) функция х = φ ( T) и неговата производна φ "( T) са непрекъснати за ;
2) набор от стойности на функцията х = φ ( T) за е отсечката [ а, b ];
3) φ ( а) = а, φ ( b) = b, тогава формулата е валидна
което се нарича формула за промяна на променлива в определен интеграл .
За разлика от неопределения интеграл, в този случай не е задължителноза да се върнете към първоначалната интеграционна променлива - достатъчно е просто да намерите нови граници на интеграция α и β (за това трябва да решите за променливата Tуравнения φ ( T) = аи φ ( T) = b).
Вместо замяна х = φ ( T) можете да използвате заместване T = ж(х) . В този случай намиране на нови граници на интегриране върху променлива Tопростява: α = ж(а) , β = ж(b) .
Пример 2. Изчислете интеграл
Решение. Нека въведем нова променлива с помощта на формулата. Като повдигаме на квадрат двете страни на равенството, получаваме 1 + x = T 2 , където x = T 2 - 1, dx = (T 2 - 1)"дт= 2tdt. Откриваме нови граници на интеграция. За да направите това, нека заместим старите граници във формулата x = 3 и x = 8. Получаваме: , откъде T= 2 и α = 2; , където T= 3 и β = 3. И така,
Пример 3.Изчисли
Решение. Позволявам u= дневник х, Тогава , v = х. По формула (4)
Първопроизводен и неопределен интеграл.
Първоизводна на функция f(x) в интервала (a; b) е функция F(x), така че равенството е в сила за всеки x от дадения интервал.
Ако вземем предвид факта, че производната на константата C е равна на нула, тогава равенството е вярно 
. По този начин функцията f(x) има набор от първоизводни F(x)+C за произволна константа C и тези антипроизводни се различават една от друга с произволна постоянна стойност.
Цялото множество от първоизводни на функцията f(x) се нарича неопределен интеграл на тази функция и се означава 
.
Изразът се нарича интегранд, а f(x) се нарича интегранд. Интегралната функция представлява диференциала на функцията f(x).
Действието за намиране на неизвестна функция при даден неин диференциал се нарича неопределено интегриране, тъй като резултатът от интегрирането не е една функция F(x), а набор от нейните първоизводни F(x)+C.
Таблични интеграли
Най-простите свойства на интегралите
1. Производната на резултата от интегрирането е равна на интегралната функция.
2. Неопределеният интеграл на диференциала на функция е равен на сумата от самата функция и произволна константа.
3. Коефициентът може да бъде изваден от знака на неопределения интеграл.
4. Неопределеният интеграл на сбора/разликата на функциите е равен на сбора/разликата на неопределените интеграли на функциите.
За пояснение са дадени междинни равенства на първо и второ свойство на неопределения интеграл.
За доказване на третото и четвъртото свойство е достатъчно да се намерят производните на десните части на равенствата:
Тези производни са равни на интеграндите, което е доказателство поради първото свойство. Използва се и при последните преходи.
По този начин проблемът с интеграцията е обратен на проблема с диференциацията и има много тясна връзка между тези проблеми:
първото свойство позволява да се провери интеграцията. За да проверите правилността на извършеното интегриране, е достатъчно да изчислите производната на получения резултат. Ако получената в резултат на диференцирането функция се окаже равна на интегранта, това ще означава, че интегрирането е извършено правилно;
второто свойство на неопределения интеграл позволява да се намери неговата антипроизводна от известен диференциал на функция. Прякото изчисляване на неопределени интеграли се основава на това свойство.
1.4.Инвариантност на интеграционните форми.
Инвариантната интеграция е вид интеграция за функции, чиито аргументи са елементи от група или точки от хомогенно пространство (всяка точка от такова пространство може да бъде прехвърлена в друга чрез дадено действие на групата).
функция f(x) се свежда до изчисляване на интеграла на диференциалната форма f.w, където
По-долу е дадена ясна формула за r(x). Условието на споразумението има формата 
.
тук Tg означава оператора за смяна на X с помощта на gОG: Tgf(x)=f(g-1x). Нека X=G е топология, група, действаща върху себе си чрез леви смени. Аз и. съществува тогава и само ако G е локално компактен (по-специално, върху безкрайномерни групи I.I. не съществува). За подмножество от I. и. характеристичната функция cA (равна на 1 на A и 0 извън A) определя лявата Xaar мярка m(A). Определящото свойство на тази мярка е нейната инвариантност при леви отмествания: m(g-1A)=m(A) за всички gОG. Лявата мярка на Хаар върху група е уникално дефинирана до положителен скаларен фактор. Ако мярката на Хаар m е известна, тогава I. и. функция f е дадена с формулата 
. Правилната мярка на Хаар има подобни свойства. Съществува непрекъснат хомоморфизъм (карта, запазваща груповото свойство) DG на групата G в груповата (по отношение на умножението) позиция. числа, за които
където dmr и dmi са дясната и лявата мярка на Хаар. Извиква се функцията DG(g). модул на групата G. Ако , тогава групата G се нарича. едномодулен; в този случай дясната и лявата мярка на Хаар съвпадат. Компактните, полупростите и нилпотентните (по-специално комутативни) групи са унимодуларни. Ако G е n-мерна група на Ли и q1,...,qn е базис в пространството на лявоинвариантните 1-форми на G, тогава лявата мярка на Хаар на G е дадена от n-формата. В местни координати за изчисление
форми qi, можете да използвате всяка матрична реализация на групата G: матрицата 1-форма g-1dg остава инвариантна и нейният коефициент. са ляво-инвариантни скаларни 1-форми, от които се избира търсената база. Например пълната матрична група GL(n, R) е унимодуларна и мярката на Хаар върху нея е дадена от формата. Позволявам 
X=G/H е хомогенно пространство, за което локално компактната група G е трансформационна група, а затворената подгрупа H е стабилизатор на дадена точка. За да съществува i.i. върху X е необходимо и достатъчно за всички hОH да е в сила равенството DG(h)=DH(h). По-специално, това е вярно в случая, когато H е компактен или полупрост. Пълна теория на I. и. не съществува на безкрайномерни многообразия.
Замяна на променливи.
